Kimsə "tərəqqi" sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın bölmələrindən çox mürəkkəb bir termin kimi. Bu arada, ən sadə arifmetik irəliləyiş- taksi sayğacının işi (hələ də qaldıqları yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti dərk etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.
Riyazi ədədlər ardıcıllığı
Rəqəmsal ardıcıllığı hər birinin öz nömrəsi olan bir sıra nömrələr adlandırmaq adətdir.
və 1 ardıcıllığın birinci üzvüdür;
və 2 ardıcıllığın ikinci üzvüdür;
və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;
n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;
Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci üzvün qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən bir asılılıq ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.
a - ədədi ardıcıllığın üzvünün qiyməti;
n onun seriya nömrəsidir;
f(n) n ədədi ardıcıllığındakı sıranın arqument olduğu funksiyadır.
Tərif
Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci üzvü üçün düstur aşağıdakı kimidir:
a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;
a n+1 - növbəti ədədin düsturu;
d - fərq (müəyyən bir rəqəm).
Müəyyən etmək asandır ki, əgər fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.
Aşağıdakı qrafikdə say ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını asanlıqla görmək olar.
Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Göstərilən üzvün dəyəri
Bəzən arifmetik irəliləyişin bəzi ixtiyari a n həddinin qiymətini təyin etmək lazımdır. Birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaraq bunu edə bilərsiniz. Lakin, məsələn, beş mininci və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablama çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə araşdırıla bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı üzvünün qiyməti, irəliləyişin birinci üzvünün cəmi, arzu olunan üzvün sayına bir çıxılmaqla, proqresiyanın fərqi ilə müəyyən edilə bilər. .
Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.
Verilmiş üzvün dəyərinin hesablanması nümunəsi
Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.
Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:
Ardıcıllığın birinci üzvü 3-dür;
Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.
Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır
Həlli: verilmiş üzvün dəyərini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edirik:
a(n) = a1 + d(n-1)
Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Cavab: Ardıcıllığın 214-cü üzvü 258,6-ya bərabərdir.
Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.
Müəyyən sayda üzvlərin cəmi
Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək tələb olunur. Həm də hər bir terminin dəyərlərini hesablamaq və sonra onları yekunlaşdırmaq lazım deyil. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.
1-dən n-ə qədər olan arifmetik proqresiyanın üzvlərinin cəmi birinci və n-ci üzvlərin cəminə bərabərdir, n üzvün nömrəsinə vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci üzvün dəyəri məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:
Hesablama nümunəsi
Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:
Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;
Fərq 0,5-dir.
Məsələdə 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəmini müəyyən etmək tələb olunur.
Həll. Proqresiyanın cəmini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 üzvünün qiymətlərinin cəmini təyin edirik:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5
Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi
Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı) qayıdaq. Belə bir nümunəni nəzərdən keçirək.
Taksiyə minmək (3 km daxil olmaqla) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl / km nisbətində ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km. Gəzintinin qiymətini hesablayın.
1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.
30 - 3 = 27 km.
2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.
Üzv sayı qət edilən kilometrlərin sayıdır (ilk üçü çıxmaqla).
Üzvün dəyəri cəmidir.
Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.
Tərəqqi fərqi d = 22 p.
bizi maraqlandıran sayı - arifmetik irəliləyişin (27 + 1)-ci üzvünün dəyəri - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın oxunuşu - 27.999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablanması müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi olaraq göy cisminin işığın işığına olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədədi silsilələr statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.
Nömrə ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir
Həndəsi irəliləyiş arifmetik ilə müqayisədə böyük dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə çox vaxt konkret hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yayılma sürətinin yüksək olduğunu göstərmək üçün prosesin eksponensial şəkildə inkişaf etdiyini deyirlər.
Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci üzvü əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci üzv 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-dir, onda:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - həndəsi proqresiyanın cari üzvünün qiyməti;
b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti üzvünün düsturu;
q həndəsi irəliləyişin (sabit ədədin) məxrəcidir.
Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi bir az fərqli bir şəkil çəkir:
Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari üzvün qiyməti üçün düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə gedən proqresiyanın məxrəcinin bir azaldılmasına bərabərdir:
Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddi tapın
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Müəyyən sayda üzvlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci üzvü ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci üzvü arasındakı fərqin bir azaldılmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:
Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n üzvlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:
Misal. Həndəsi irəliləmə 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə bərabər qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Formulun mahiyyəti nədir?
Bu formula tapmağa imkan verir hər hansı NÖMRƏSİ İLƏ" n" .
Təbii ki, birinci termini bilmək lazımdır a 1 və irəliləyiş fərqi d, yaxşı, bu parametrlər olmadan müəyyən bir irəliləyiş yaza bilməzsiniz.
Bu düsturu əzbərləmək (və ya aldatmaq) kifayət deyil. Onun mahiyyətini mənimsəmək və formulunu müxtəlif məsələlərdə tətbiq etmək lazımdır. Bəli və doğru zamanda unutma, bəli ...) Necə unutma- Bilmirəm. Və burada necə xatırlamaq Lazım olsa, sizə bir ipucu verəcəm. Dərsi sona qədər mənimsəyənlər üçün.)
Beləliklə, arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu ilə məşğul olaq.
Ümumiyyətlə düstur nədir - təsəvvür edirik.) Arifmetik irəliləyiş, üzv sayı, irəliləyiş fərqi nədir - əvvəlki dərsdə aydın şəkildə ifadə edilmişdir. Oxumamısınızsa baxın. Orada hər şey sadədir. Nə olduğunu anlamaq qalır n-ci üzv.
Ümumilikdə irəliləyiş bir sıra nömrələr kimi yazıla bilər:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- arifmetik irəliləyişin birinci həddini bildirir; a 3- üçüncü üzv a 4- dördüncü və s. Əgər bizi beşinci dövr maraqlandırırsa, tutaq ki, işləyirik a 5, yüz iyirminci olarsa - dən 120.
Ümumiyyətlə necə müəyyənləşdirmək olar hər hansı arifmetik proqresiyanın üzvü, s hər hansı nömrə? Çox sadə! Bunun kimi:
a n
Bu budur arifmetik proqresiyanın n-ci üzvü. N hərfi altında üzvlərin bütün nömrələri bir anda gizlənir: 1, 2, 3, 4 və s.
Və belə bir rekord bizə nə verir? Düşünün, nömrə yerinə məktub yazdılar ...
Bu qeyd bizə arifmetik irəliləyişlərlə işləmək üçün güclü alət verir. Qeyddən istifadə a n, tez tapa bilərik hər hansıüzv hər hansı arifmetik irəliləyiş. Və irəliləyişlə həll ediləcək bir sıra tapşırıqlar. Daha sonra görəcəksiniz.
Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturunda:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- arifmetik proqresiyanın ilk üzvü;
n- üzv nömrəsi.
Formula istənilən irəliləyişin əsas parametrlərini əlaqələndirir: a n ; a 1; d Və n. Bu parametrlər ətrafında bütün bulmacalar irəliləyişlə fırlanır.
N-ci müddətli düsturdan da müəyyən irəliləyiş yazmaq üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, problemdə irəliləmənin şərtlə verildiyini söyləmək olar:
a n = 5 + (n-1) 2.
Belə bir problem hətta çaşdıra bilər ... Heç bir sıra yoxdur, heç bir fərq yoxdur ... Ancaq şərti düsturla müqayisə edərək, bu irəliləyişdə olduğunu başa düşmək asandır. a 1 \u003d 5 və d \u003d 2.
Və daha da qəzəbli ola bilər!) Eyni şərti götürsək: a n = 5 + (n-1) 2, bəli, mötərizələri açın və oxşarlarını verin? Yeni bir formula alırıq:
an = 3 + 2n.
Bu Yalnız ümumi deyil, müəyyən bir inkişaf üçün. Tələ buradadır. Bəzi insanlar birinci terminin üç olduğunu düşünürlər. Baxmayaraq ki, əslində birinci üzv beşdir ... Bir az aşağı, belə bir dəyişdirilmiş düsturla işləyəcəyik.
Tərəqqi üçün tapşırıqlarda başqa bir qeyd var - a n+1. Bu, təxmin etdiniz, irəliləyişin "n plus birinci" terminidir. Onun mənası sadə və zərərsizdir.) Bu, sayı n rəqəmindən birə bərabər olan irəliləyişin üzvüdür. Məsələn, əgər hansısa bir problem üçün alırıq a n sonra beşinci dövr a n+1 altıncı üzv olacaq. və s.
Çox vaxt təyinat a n+1 rekursiv düsturlarda baş verir. Bu dəhşətli sözdən qorxma!) Bu, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin terminini ifadə etmək üsuludur. əvvəlki vasitəsilə. Tutaq ki, təkrarlanan düsturdan istifadə edərək bizə bu formada arifmetik irəliləyiş verilib:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Dördüncü - üçüncü vasitəsilə, beşinci - dördüncü vasitəsilə və s. Dərhal necə saymaq olar, iyirminci müddəti deyin, a 20? Amma heç cür!) 19-cu dövr məlum olmasa da, 20-ni saymaq olmaz. Bu, rekursiv düsturla n-ci hədd düsturu arasındakı əsas fərqdir. Rekursiv yalnız vasitəsilə işləyir əvvəlki termini və n-ci həddinin düsturu - vasitəsilə birinci və imkan verir dərhal nömrəsinə görə istənilən üzvü tapın. Nömrələrin bütün seriyasını sıra ilə saymadan.
Arifmetik irəliləyişdə rekursiv düstur asanlıqla adi düstura çevrilə bilər. Ardıcıl şərtləri sayın, fərqi hesablayın d, lazım gələrsə, birinci termini tapın a 1, düsturu adi formada yazın və onunla işləyin. DİA-da belə vəzifələrə tez-tez rast gəlinir.
Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturunun tətbiqi.
Əvvəlcə düsturun birbaşa tətbiqinə baxaq. Əvvəlki dərsin sonunda bir problem var idi:
Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.
Bu problemi heç bir düstur olmadan, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin mənasına əsaslanaraq həll etmək olar. Əlavə et, bəli əlavə et... Bir-iki saat.)
Və formulaya görə, həll bir dəqiqədən az vaxt aparacaq. Siz vaxt ayıra bilərsiniz.) Biz qərar veririk.
Şərtlər düsturdan istifadə üçün bütün məlumatları təqdim edir: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Nə olduğunu görmək qalır n. Problem deyil! tapmaq lazımdır a 121. Burada yazırıq:
Diqqət edin! Bir indeks əvəzinə n konkret rəqəm meydana çıxdı: 121. Bu olduqca məntiqlidir.) Bizi arifmetik proqresiyanın üzvü maraqlandırır. yüz iyirmi bir nömrə. Bu bizim olacaq n. Bu mənadır n= 121 biz mötərizədə daha sonra düsturda əvəz edəcəyik. Düsturdakı bütün rəqəmləri əvəz edin və hesablayın:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Bütün bunlar var. Necə ki, beş yüz onuncu üzvü, min üçüncü isə hər hansı birini tapmaq olar. Əvəzinə qoyuruq n hərf indeksində istədiyiniz nömrə " a" və mötərizədə və biz hesab edirik.
Mən sizə mahiyyəti xatırlatdım: bu düstur sizə tapmağa imkan verir hər hansı arifmetik irəliləyişin müddəti NÖMRƏSİ İLƏ" n" .
Problemi daha ağıllı həll edək. Deyək ki, bizdə aşağıdakı problem var:
a 17 =-2 olarsa, arifmetik irəliləyişin birinci həddi (a n) tapın; d=-0,5.
Hər hansı bir çətinlik varsa, ilk addımı təklif edəcəm. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturunu yazın! Hə hə. Əl dəftərinizə düz yazın:
| a n = a 1 + (n-1)d |
İndi düsturun hərflərinə baxaraq hansı məlumatların olduğunu və nəyin çatışmadığını başa düşürük? Mövcuddur d=-0,5, on yeddinci üzv var ... Hər şey? Bütün bunlar olduğunu düşünürsənsə, problemi həll edə bilməzsən, bəli ...
Bizim də nömrəmiz var n! Vəziyyətdə a 17 =-2 gizli iki variant. Bu, həm on yeddinci üzvün (-2) qiymətidir, həm də onun sayıdır (17). Bunlar. n=17. Bu “kiçik şey” tez-tez başın üstündən sürüşüb keçir və onsuz (baş deyil, “kiçik şey” olmadan!) Problemi həll etmək mümkün deyil. Baxmayaraq ki ... və başsız da.)
İndi məlumatlarımızı düsturla sadəcə axmaqcasına əvəz edə bilərik:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Bəli, a 17-2 olduğunu bilirik. Yaxşı, onu daxil edək:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Əslində, hamısı budur. Düsturdan arifmetik irəliləyişin birinci həddini ifadə etmək və hesablamaq qalır. Cavab alırsınız: a 1 = 6.
Belə bir texnika - düsturun yazılması və sadəcə məlum məlumatları əvəz etmək - sadə tapşırıqlarda çox kömək edir. Yaxşı, əlbəttə ki, düsturdan dəyişən ifadə etməyi bacarmalısan, amma nə etməli!? Bu bacarıq olmadan riyaziyyatı heç öyrənmək mümkün deyil...
Başqa bir məşhur problem:
a 1 =2 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini (a n) tapın; a 15 =12.
Biz nə edirik? Təəccüblənəcəksiniz, düsturu biz yazırıq!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Bildiyimizə nəzər salın: a 1 =2; a 15 =12; və (xüsusi vurğulamaq!) n=15. Formulda əvəz etməkdən çekinmeyin:
12=2 + (15-1)d
Gəlin hesab edək.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Bu düzgün cavabdır.
Beləliklə, tapşırıqlar a n, a 1 Və d qərar verdi. Nömrəni necə tapmağı öyrənmək qalır:
99 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 =12; d=3. Bu üzvün nömrəsini tapın.
Məlum kəmiyyətləri n-ci hədd düsturu ilə əvəz edirik:
a n = 12 + (n-1) 3
İlk baxışdan burada iki naməlum kəmiyyət var: a n və n. Amma a n sayı ilə irəliləyişin bəzi üzvüdür n... Və irəliləyişin bu üzvü biz bilirik! 99-dur. Biz onun nömrəsini bilmirik. n, ona görə də bu rəqəmi tapmaq lazımdır. Proqressiv 99-u düsturla əvəz edin:
99 = 12 + (n-1) 3
Düsturdan ifadə edirik n, düşünürük. Cavab alırıq: n=30.
İndi eyni mövzuda bir problem, lakin daha yaradıcı):
117 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub olmadığını müəyyən edin:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Düsturu yenidən yazaq. Nə, seçim yoxdur? Hm... Gözlər nəyə lazımdır?) Proqresiyanın birinci üzvünü görürük? Biz görürük. Bu -3.6. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz: a 1 \u003d -3,6. Fərq d seriyasından müəyyən etmək olar? Arifmetik irəliləyişin fərqinin nə olduğunu bilsəniz, asan olar:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Bəli, biz ən sadə şeyi etdik. Naməlum bir nömrə ilə məşğul olmaq qalır n və anlaşılmaz bir rəqəm 117. Əvvəlki məsələdə ən azı irəliləyişin termini verildiyi məlum idi. Amma burada biz bunu heç bilmirik ... Necə olaq!? Yaxşı, necə olmaq, necə olmaq... Yaradıcı qabiliyyətlərinizi işə salın!)
Biz güman ki, 117, nəhayət, bizim irəliləyişimizin üzvüdür. Naməlum nömrə ilə n. Və əvvəlki problemdə olduğu kimi, gəlin bu rəqəmi tapmağa çalışaq. Bunlar. düsturunu yazırıq (bəli-bəli!)) və nömrələrimizi əvəz edirik:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Yenə düsturdan ifadə edirikn, sayırıq və alırıq:
Vay! Nömrə çıxdı fraksiya! Yüz bir yarım. Proqressiyalardakı kəsr ədədləri ola bilməz. Nə nəticə çıxarırıq? Bəli! Nömrə 117 deyil inkişafımızın üzvü. 101-ci və 102-ci üzvlər arasında bir yerdədir. Nömrənin təbii olduğu ortaya çıxarsa, yəni. müsbət tam, onda ədəd tapılan ədədlə irəliləyişin üzvü olacaq. Və bizim vəziyyətimizdə problemin cavabı belə olacaq: Yox.
GIA-nın real versiyasına əsaslanan tapşırıq:
Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir:
a n \u003d -4 + 6.8n
Proqresiyanın birinci və onuncu hədlərini tapın.
Burada irəliləyiş qeyri-adi şəkildə qurulur. Bir növ düstur... Belə olur.) Ancaq bu düstur (yuxarıda yazdığım kimi) - həm də arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün düsturu! O da icazə verir Proqresiyanın istənilən üzvünü sayına görə tapın.
İlk üzvü axtarırıq. Düşünən. birinci hədisin mənfi dörd olması, ölümcül səhvdir!) Çünki məsələdəki düstur dəyişdirilib. Ondakı arifmetik irəliləyişin birinci həddi gizli. Heç nə, indi tapacağıq.)
Əvvəlki tapşırıqlarda olduğu kimi, biz əvəz edirik n=1 bu düsturla:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Budur! Birinci termin -4 deyil, 2.8-dir!
Eynilə, onuncu termini axtarırıq:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Bütün bunlar var.
İndi bu sətirləri oxuyanlar üçün vəd edilmiş bonus.)
Tutaq ki, GIA və ya Vahid Dövlət İmtahanının çətin döyüş vəziyyətində, arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün faydalı düsturunu unutmusunuz. Ağlıma bir şey gəlir, amma bir növ qeyri-müəyyən şəkildə ... İstər-istəməz n orada və ya n+1 və ya n-1... Necə olmaq!?
Sakit ol! Bu formula asanlıqla əldə edilir. Çox sərt deyil, amma əminlik və düzgün qərar üçün mütləq kifayətdir!) Nəticə üçün arifmetik irəliləyişin elementar mənasını xatırlamaq və bir neçə dəqiqə vaxt ayırmaq kifayətdir. Sadəcə bir şəkil çəkmək lazımdır. Aydınlıq üçün.
Rəqəmsal bir oxu çəkirik və onun üzərində birincisini qeyd edirik. ikinci, üçüncü və s. üzvləri. Və fərqi qeyd edin düzvlər arasında. Bunun kimi:
Şəkilə baxıb fikirləşirik: ikinci termin nəyə bərabərdir? İkinci bir d:
a 2 =a 1 + 1 d
Üçüncü müddət nədir? üçüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir iki d.
a 3 =a 1 + 2 d
başa düşürsən? Bəzi sözləri boş yerə qalın hərflə yazmıram. Yaxşı, daha bir addım.)
Dördüncü müddət nədir? Dördüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir üç d.
a 4 =a 1 + 3 d
Anlamaq vaxtıdır ki, boşluqların sayı, yəni. d, Həmişə axtardığınız üzvün sayından bir az n. Yəni sayı qədər n, boşluqların sayı olacaq n-1. Beləliklə, formula belə olacaq (seçim yoxdur!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ümumiyyətlə, vizual şəkillər riyaziyyatda bir çox məsələlərin həllində çox kömək edir. Şəkillərə laqeyd yanaşmayın. Ancaq şəkil çəkmək çətindirsə, onda ... yalnız bir düstur!) Bundan əlavə, n-ci hədd düsturu riyaziyyatın bütün güclü arsenalını həll yolu ilə birləşdirməyə imkan verir - tənliklər, bərabərsizliklər, sistemlər və s. Şəkili bərabərliyə qoya bilməzsən...
Müstəqil qərar vermək üçün tapşırıqlar.
İstiləşmə üçün:
1. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 tapın.
İpucu: şəklə görə problem 20 saniyəyə həll olunur... Düstura görə daha çətin çıxır. Amma düsturu mənimsəmək üçün daha faydalıdır.) 555-ci bölmədə bu məsələ həm şəkil, həm də düsturla həll olunur. Fərqi hiss edin!)
Və bu artıq istiləşmə deyil.)
2. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. 3-ü tapın.
Nə, şəkil çəkmək istəməmək?) Hələ! Daha yaxşı formula, bəli...
3. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu irəliləyişin yüz iyirmi beşinci hədini tapın.
Bu tapşırıqda gedişat təkrarlanan şəkildə verilir. Amma yüz iyirmi beşinci dövrə qədər hesabla... Hər kəs belə bir şücaət edə bilməz.) Amma n-ci hədisin düsturu hər kəsin səlahiyyətindədir!
4. Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Proqresiyanın ən kiçik müsbət üzvünün sayını tapın.
5. 4-cü tapşırığın şərtinə görə irəliləyişin ən kiçik müsbət və ən böyük mənfi hədlərinin cəmini tapın.
6. Artan arifmetik proqresiyanın beşinci və on ikinci üzvlərinin hasili -2,5, üçüncü və on birinci hədlərin cəmi isə sıfırdır. 14 tapın.
Ən asan iş deyil, bəli ...) Burada "barmaqlarda" üsul işləməyəcək. Düsturlar yazmaq və tənlikləri həll etmək lazımdır.
Cavablar (qarışıq):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
baş verdi? gözəldir!)
Hər şey alınmır? baş verir. Yeri gəlmişkən, sonuncu tapşırıqda bir incə məqam var. Problemi oxuyarkən diqqətli olmaq tələb olunacaq. Və məntiq.
Bütün bu problemlərin həlli Bölmə 555-də ətraflı müzakirə olunur. Və dördüncü üçün fantaziya elementi və altıncı üçün incə məqam və n-ci müddətli düstur üçün hər hansı bir problemin həlli üçün ümumi yanaşmalar - hər şey rənglənir. Mən məsləhət görürəm.
Bu saytı bəyənirsinizsə...
Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)
Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)
funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.
Rəssamlıq və şeir kimi riyaziyyatın da öz gözəlliyi var.
Rus alimi, mexanik N.E. Jukovski
Riyaziyyatdan qəbul imtahanlarında çox yayılmış tapşırıqlar arifmetik irəliləyiş anlayışı ilə bağlı tapşırıqlardır. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün arifmetik proqresiyanın xassələrini yaxşı bilmək və onların tətbiqində müəyyən bacarıqlara malik olmaq lazımdır.
Əvvəlcə arifmetik irəliləyişin əsas xassələrini xatırlayaq və ən vacib düsturları təqdim edək, bu konsepsiya ilə əlaqələndirilir.
Tərif. Rəqəmsal ardıcıllıq, hər bir sonrakı termin əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir, arifmetik irəliləyiş adlanır. Eyni zamanda, nömrəirəliləyiş fərqi adlanır.
Arifmetik irəliləyiş üçün düsturlar etibarlıdır
, (1)
Harada. Formula (1) arifmetik irəliləyişin ümumi həddinin düsturu adlanır və düstur (2) arifmetik proqresiyanın əsas xassəsidir: proqresiyanın hər bir üzvü qonşu üzvlərinin arifmetik ortası ilə üst-üstə düşür və .
Qeyd edək ki, məhz bu xassəsinə görə nəzərdən keçirilən proqressiya “arifmetik” adlanır.
Yuxarıdakı düsturlar (1) və (2) aşağıdakı kimi ümumiləşdirilmişdir:
(3)
Cəmi hesablamaq üçün birinci arifmetik irəliləyişin üzvləriformul adətən istifadə olunur
(5) harada və .
Formulu nəzərə alsaq (1), onda (5) düstur nəzərdə tutulur
təyin etsək
Harada. Çünki (7) və (8) düsturları müvafiq (5) və (6) düsturlarının ümumiləşdirilməsidir.
Xüsusilə , düsturdan (5) belə çıxır, Nə
Əksər tələbələrə az məlum olanlar arasında aşağıdakı teorem vasitəsilə tərtib edilmiş arifmetik irəliləyişin xassəsidir.
Teorem.Əgər, onda
Sübut.Əgər, onda
Teorem sübut edilmişdir.
Misal üçün , teoremdən istifadə etməklə, bunu göstərmək olar
“Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda məsələlərin həllinin tipik nümunələrinin nəzərdən keçirilməsinə keçək.
Misal 1 Qoy və. tap .
Həll. Düsturu (6) tətbiq edərək, əldə edirik. Bundan sonra və , sonra və ya .
Misal 2Üç dəfə çox olsun və bölgüdə bölünəndə 2 olur, qalan isə 8 olur. Müəyyən edin və.
Həll. Tənliklər sistemi nümunənin şərtindən irəli gəlir
olduğundan, , və , onda (10) tənliklər sistemindən alırıq
Bu tənliklər sisteminin həlli və .
Misal 3Əgər tapın və .
Həll.(5) düsturuna görə bizdə və ya var. Bununla belə, (9) mülkiyyətindən istifadə edərək .
bəri və , sonra bərabərliyindən tənlik aşağıdakı kimidir və ya .
Misal 4Əgər tapın.
Həll.Formula (5) görə bizdə var
Ancaq teoremdən istifadə edərək yazmaq olar
Buradan və düsturdan (11) əldə edirik.
Misal 5. Verildi: . tap .
Həll. O vaxtdan bəri . Bununla belə .
Misal 6 Qoy, və. tap .
Həll.(9) düsturundan istifadə edərək əldə edirik. Buna görə də əgər , onda və ya .
O vaxtdan və onda burada tənliklər sistemimiz var
Hansını həll edərək, alırıq və .
Tənliyin təbii kökü edir .
Misal 7Əgər tapın və .
Həll.Çünki (3) düsturuna görə biz buna malikik, deməli məsələnin şərtindən tənliklər sistemi çıxır
ifadəsini əvəz etsəksistemin ikinci tənliyinə daxil edilir, onda alırıq və ya .
Kvadrat tənliyin kökləri bunlardır Və .
Gəlin iki halı nəzərdən keçirək.
1. Qoy, sonra. O vaxtdan bəri və sonra.
Bu halda (6) düsturuna görə bizdə var
2. Əgər , onda , və
Cavab: və.
Misal 8 Məlumdur ki, və tap .
Həll. Formula (5) və nümunənin şərtini nəzərə alaraq və yazırıq.
Bu, tənliklər sistemini nəzərdə tutur
Sistemin birinci tənliyini 2-yə vurub ikinci tənliyə əlavə etsək, alırıq.
Formula (9) görə bizdə var. Bununla əlaqədar (12)-dən belə çıxır və ya .
O vaxtdan bəri və sonra.
Cavab: .
Misal 9Əgər tapın və .
Həll. O vaxtdan , və şərtlə , onda və ya .
(5) düsturundan məlumdur, Nə . O vaxtdan bəri .
Beləliklə, burada xətti tənliklər sistemimiz var
Buradan alırıq və . Formulu (8) nəzərə alaraq yazırıq.
Misal 10 Tənliyi həll edin.
Həll. Verilmiş tənlikdən belə çıxır ki. Fərz edək ki, , və. Bu halda .
Formula (1) uyğun olaraq və ya yaza bilərik.
Çünki (13) tənliyinin unikal uyğun kökü var.
Misal 11. və olması şərtilə maksimum dəyəri tapın.
Həll.-dən bəri hesab edilən arifmetik irəliləyiş azalır. Bu baxımdan ifadə irəliləyişin minimum müsbət üzvünün sayı olduqda maksimum qiymət alır.
Formula (1) və faktdan istifadə edirik, hansı və . Sonra bunu alırıq və ya .
Çünki , sonra və ya . Ancaq bu bərabərsizlikdəən böyük natural ədəd, Buna görə də .
Əgər və dəyərləri (6) düsturu ilə əvəz edilərsə, onda biz alarıq.
Cavab: .
Misal 12. 6-ya bölündükdə 5 qalığı olan bütün ikirəqəmli natural ədədlərin cəmini tapın.
Həll. Bütün ikiqiymətli natural ədədlərin çoxluğu ilə işarələyin, yəni. . Sonra, çoxluğun həmin elementlərindən (rəqəmlərindən) ibarət alt çoxluq qururuq ki, 6 rəqəminə bölündükdə 5-in qalığını verir.
Quraşdırmaq asandır, Nə . Aydındır ki, ki, çoxluğun elementləriarifmetik irəliləyiş əmələ gətirir, hansı və .
Çoxluğun kardinallığını (elementlərin sayını) müəyyən etmək üçün güman edirik ki, . Çünki və , onda (1) düstur və ya nəzərdə tutur. (5) düsturunu nəzərə alaraq əldə edirik.
Problemlərin həllinə dair yuxarıda göstərilən nümunələr heç bir halda tam olduğunu iddia edə bilməz. Bu məqalə verilmiş mövzu üzrə tipik problemlərin həlli üçün müasir metodların təhlili əsasında yazılmışdır. Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısına müraciət etmək məsləhətdir.
1. Texniki ali məktəblərə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan tapşırıqlar toplusu / Red. M.İ. Skanavi. - M .: Dünya və Təhsil, 2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: məktəb kurikulumunun əlavə bölmələri. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
3. Medınski M.M. Tapşırıqlar və məşqlərdə ibtidai riyaziyyatın tam kursu. Kitab 2: Nömrələrin ardıcıllığı və irəliləmələri. – M.: Editus, 2015. - 208 s.
Hər hansı bir sualınız var?
Repetitordan kömək almaq üçün - qeydiyyatdan keçin.
sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.
Bəli, bəli: arifmetik irəliləyiş sizin üçün oyuncaq deyil :) Yaxşı, dostlar, əgər siz bu mətni oxuyursunuzsa, onda daxili qapaq sübutu mənə deyir ki, siz hələ də arifmetik irəliləyişin nə olduğunu bilmirsiniz, amma həqiqətən (yox, belə: SOOOOO!) bilmək istəyirsiniz. Buna görə də sizi uzun təqdimatlarla incitməyəcəyəm və dərhal işə başlayacağam.
Başlamaq üçün bir neçə nümunə. Bir neçə ədəd dəstini nəzərdən keçirin:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Bütün bu dəstlərin ortaq cəhəti nədir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər növbəti element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.
Özünüz mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə ardıcıl nömrələrdir, hər biri əvvəlkindən çoxdur. İkinci halda, qonşu ədədlər arasındakı fərq artıq beşə bərabərdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, ümumiyyətlə köklər var. Bununla belə, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yəni. bu halda hər növbəti element sadəcə olaraq $\sqrt(2)$ artır (və bu rəqəmin irrasional olmasından qorxma).
Beləliklə: bütün belə ardıcıllıqlar sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişlər adlanır. Ciddi bir tərif verək:
Tərif. Hər bir sonrakının əvvəlkindən tam eyni miqdarda fərqləndiyi nömrələr ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləyiş fərqi deyilir və ən çox $d$ hərfi ilə işarələnir.
Qeyd: $\left(((a)_(n)) \right)$ irəliləyişin özüdür, $d$ onun fərqidir.
Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız irəliləyiş nəzərə alınır nizamlı nömrələrin ardıcıllığı: onların yazıldığı ardıcıllıqla ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə yoxdur. Siz nömrələri yenidən təşkil edə və ya dəyişdirə bilməzsiniz.
İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxluğu açıq şəkildə sonlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq (1; 2; 3; 4; ...) kimi bir şey yazsanız - bu, artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördündən sonrakı ellips, olduğu kimi, çox sayda rəqəmin daha da irəli getdiyinə işarə edir. Məsələn, sonsuz sayda. :)
Onu da qeyd edim ki, irəliləyişlər artır və azalır. Artıq artanları gördük - eyni çoxluq (1; 2; 3; 4; ...). Aşağıda irəliləyişlərin azaldılmasına dair nümunələr verilmişdir:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Tamam, tamam: son nümunə həddindən artıq mürəkkəb görünə bilər. Amma qalanları, məncə, başa düşürsən. Buna görə də yeni təriflər təqdim edirik:
Tərif. Arifmetik irəliləyiş deyilir:
- hər növbəti element əvvəlkindən böyükdürsə, artır;
- azalan, əgər əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən azdırsa.
Bundan əlavə, "stasionar" ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan nömrədən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).
Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırd etmək olar? Xoşbəxtlikdən, burada hər şey yalnız $d$ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. irəliləmə fərqləri:
- Əgər $d \gt 0$, deməli, irəliləyiş artır;
- Əgər $d \lt 0$ olarsa, deməli irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
- Nəhayət, $d=0$ halı var — bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin stasionar ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.
Yuxarıdakı üç azalan irəliləyiş üçün $d$ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər hansı iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və sağdakı nömrədən, soldakı nömrəni çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Gördüyünüz kimi, hər üç halda fərq həqiqətən mənfi oldu. İndi biz tərifləri az-çox başa düşdük, irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və onların hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.
Proqressiyanın üzvləri və təkrarlanan düstur
Ardıcıllığımızın elementləri bir-birini əvəz edə bilmədiyi üçün onları nömrələmək olar:
\[\sol(((a)_(n)) \sağ)=\sol\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \sağ\)\]
Bu çoxluğun ayrı-ayrı elementləri proqressiyanın üzvləri adlanır. Onlar rəqəmin köməyi ilə bu şəkildə göstərilir: birinci üzv, ikinci üzv və s.
Bundan əlavə, artıq bildiyimiz kimi, irəliləyişin qonşu üzvləri düsturla əlaqələndirilir:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Sağ ox ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Qısaca desək, irəliləyişin $n$-ci həddini tapmaq üçün $n-1$th termini və $d$ fərqini bilmək lazımdır. Belə bir düstur təkrarlanan adlanır, çünki onun köməyi ilə hər hansı bir nömrə tapa bilərsiniz, yalnız əvvəlkini (və əslində, bütün əvvəlkiləri) bilərək. Bu, çox əlverişsizdir, ona görə də hər hansı bir hesablamanı birinci terminə və fərqə endirən daha çətin bir düstur var:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sol(n-1 \sağ)d\]
Yəqin ki, bu düsturla əvvəllər rastlaşmısınız. Onu hər cür arayış kitablarında və reshebniklərdə verməyi xoşlayırlar. Riyaziyyat üzrə hər hansı bir ağıllı dərslikdə o, birincilərdən biridir.
Bununla belə, bir az məşq etməyi məsləhət görürəm.
Tapşırıq nömrəsi 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ olarsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik proqressiyasının ilk üç şərtini yazın.
Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=8$ birinci termini və $d=-5$ irəliləyiş fərqini bilirik. Gəlin indi verilmiş düsturdan istifadə edək və $n=1$, $n=2$ və $n=3$ əvəz edək:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sol(2-1 \sağ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sol(3-1 \sağ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizalayın)\]
Cavab: (8; 3; -2)
Hamısı budur! Qeyd edək ki, irəliləyişimiz getdikcə azalır.
Əlbəttə, $n=1$ əvəz edilə bilməzdi - biz artıq birinci termini bilirik. Bununla belə, vahidi əvəz etməklə biz əmin olduq ki, hətta birinci dövr üçün formulamız işləyir. Digər hallarda, hər şey banal hesaba düşdü.
Tapşırıq nömrəsi 2. Yeddinci üzvü −40, on yeddinci üzvü isə −50-dirsə, arifmetik proqresiyanın ilk üç həddini yazın.
Həll. Problemin vəziyyətini adi şərtlərlə yazırıq:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]
\[\sol\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \sağ.\]
Sistemin işarəsini ona görə qoyuram ki, bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. İndi isə qeyd edirik ki, ikinci tənlikdən birinci tənliyi çıxarsaq (bunu etmək hüququmuz var, çünki sistemimiz var), bunu alırıq:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizalayın)\]
Eynilə, biz irəliləyiş fərqini tapdıq! Sistemin hər hansı bir tənliyində tapılan ədədi əvəz etmək qalır. Məsələn, birincidə:
\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \son (matris)\]
İndi birinci şərti və fərqi bilməklə ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizalayın)\]
Hazır! Problem həll edildi.
Cavab: (-34; -35; -36)
Kəşf etdiyimiz irəliləyişin maraqlı bir xüsusiyyətinə diqqət yetirin: $n$th və $m$th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, irəliləyişin fərqini $n-m$ ədədinə vururuq:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \sol(n-m \sağ)\]
Mütləq bilməli olduğunuz sadə, lakin çox faydalı bir xüsusiyyət - onun köməyi ilə bir çox irəliləyiş problemlərinin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Bunun əsas nümunəsi budur:
Tapşırıq nömrəsi 3. Arifmetik proqresiyanın beşinci həddi 8,4, onuncu üzvü isə 14,4-dür. Bu irəliləyişin on beşinci üzvünü tapın.
Həll. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ və $((a)_(15))$ tapmaq lazım olduğuna görə aşağıdakıları qeyd edirik:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizalayın)\]
Lakin $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ şərtinə görə $5d=6$, buradan əldə edirik:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizalayın)\]
Cavab: 20.4
Hamısı budur! Hər hansı tənliklər sistemini tərtib etməyə və birinci həddi və fərqi hesablamağa ehtiyac duymadıq - hər şey yalnız bir neçə sətirdə həll edildi.
İndi problemin başqa bir növünü - proqresiyanın mənfi və müsbət üzvlərinin axtarışını nəzərdən keçirək. Heç kimə sirr deyil ki, əgər irəliləyiş artarsa, onun ilk termini mənfi olarsa, gec-tez müsbət şərtlər onda görünəcəkdir. Və əksinə: azalan irəliləyişin şərtləri gec-tez mənfi olacaq.
Eyni zamanda, ardıcıl olaraq elementləri sıralayaraq bu anı "alnında" tapmaq həmişə mümkün deyil. Çox vaxt problemlər elə qurulur ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəq aparsın - cavabı tapana qədər sadəcə yuxuya gedirdik. Ona görə də çalışacağıq ki, bu problemləri daha tez həll edək.
Tapşırıq nömrəsi 4. Arifmetik irəliləyişdə neçə mənfi hədd -38,5; -35,8; …?
Həll. Beləliklə, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan dərhal fərqi tapırıq:
Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə də irəliləyiş artır. Birinci termin mənfidir, ona görə də nə vaxtsa müsbət rəqəmlərlə qarşılaşacağıq. Yeganə sual bunun nə vaxt baş verəcəyidir.
Gəlin öyrənməyə çalışaq: şərtlərin mənfiliyi nə qədər müddətə (yəni, $n$ hansı natural ədədə qədər) saxlanılır:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Sağ ox ((a)_(1))+\left(n-1 \sağ)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \sağ)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \sol(n-1 \sağ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Sağ ox ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizalayın)\]
Sonuncu sətir aydınlaşdırma tələb edir. Beləliklə, $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, nömrənin yalnız tam dəyərləri bizə uyğun olacaq (üstəlik: $n\in \mathbb(N)$), buna görə də ən böyük icazə verilən nömrə dəqiq olaraq $n=15$-dır və heç bir halda 16-dır.
Tapşırıq nömrəsi 5. Arifmetik irəliləyişdə $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu irəliləyişin birinci müsbət üzvünün sayını tapın.
Bu, əvvəlki problemlə eyni problem olacaq, lakin biz $((a)_(1))$ bilmirik. Ancaq qonşu şərtlər məlumdur: $((a)_(5))$ və $((a)_(6))$, beləliklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:
Bundan əlavə, standart düsturdan istifadə edərək beşinci termini birinci və fərq baxımından ifadə etməyə çalışaq:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizalayın)\]
İndi əvvəlki problemə bənzətmə ilə davam edirik. Müsbət ədədlərin ardıcıllığımızın hansı nöqtəsində görünəcəyini öyrənirik:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Sağ ox ((n)_(\dəq ))=56. \\ \end(hizalayın)\]
Bu bərabərsizliyin minimum tam həlli 56 ədədidir.
Nəzərə alın ki, son tapşırıqda hər şey ciddi bərabərsizliyə endirildi, ona görə də $n=55$ variantı bizə uyğun gəlməyəcək.
Sadə məsələlərin həllini öyrəndiyimizə görə, indi daha mürəkkəb olanlara keçək. Ancaq əvvəlcə arifmetik irəliləyişlərin başqa bir çox faydalı xüsusiyyətini öyrənək, bu, gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri-bərabər hüceyrələrə qənaət edəcəkdir. :)
Arifmetik orta və bərabər abzaslar
$\left(((a)_(n)) \right)$ artan arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl şərtini nəzərdən keçirin. Onları rəqəm xəttində qeyd etməyə çalışaq:
Say xəttində arifmetik irəliləyiş üzvləriMən xüsusi olaraq $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyari üzvləri qeyd etdim və hər hansı $((a)_(1)) deyil, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ və s. Çünki indi sizə deyəcəyim qayda istənilən “seqmentlər” üçün eyni işləyir.
Və qayda çox sadədir. Gəlin rekursiv düsturu xatırlayaq və onu bütün işarələnmiş üzvlər üçün yazaq:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizalayın)\]
Bununla belə, bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizalayın)\]
Yaxşı, bəs nə? Lakin $((a)_(n-1))$ və $((a)_(n+1))$ şərtlərinin $((a)_(n)) $-dan eyni məsafədə olması faktı . Və bu məsafə $d$-a bərabərdir. Eyni şeyi $((a)_(n-2))$ və $((a)_(n+2))$ terminləri haqqında da demək olar - onlar da $((a)_(n) terminindən çıxarılıb. )$ eyni məsafədə $2d$-a bərabərdir. Siz qeyri-müəyyən müddətə davam edə bilərsiniz, lakin şəkil mənasını yaxşı göstərir
Proqresiyanın üzvləri mərkəzdən eyni məsafədə yerləşir Bu bizim üçün nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, əgər qonşu ədədlər məlumdursa, siz $((a)_(n))$ tapa bilərsiniz:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]
Möhtəşəm bir ifadə çıxardıq: arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü qonşu üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir! Üstəlik, biz $((a)_(n))$-dan sola və sağa bir addım deyil, $k$ addımları ilə yayına bilərik - və yenə də düstur düzgün olacaq:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Bunlar. $((a)_(150))$ və $((a)_(100))$ və $((a)_(200))$ bildiyimiz halda asanlıqla bəzi $((a)_(150))$ tapa bilərik, çünki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bu fakt bizə faydalı heç nə vermir. Bununla belə, praktikada arifmetik ortanın istifadəsi üçün bir çox tapşırıqlar xüsusi olaraq "kəskinləşdirilir". Bax:
Tapşırıq nömrəsi 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ və $14+4((x)^(2))$ ədədlərinin ardıcıl üzvləri olması üçün $x$-ın bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (müəyyən edilmiş qaydada).
Həll. Bu ədədlər proqresiyanın üzvləri olduğundan onlar üçün orta hesab şərti ödənilir: $x+1$ mərkəzi elementi qonşu elementlərlə ifadə oluna bilər:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizalayın)\]
Nəticə klassik kvadrat tənlikdir. Onun kökləri: $x=2$ və $x=-3$ cavablardır.
Cavab: -3; 2.
Tapşırıq nömrəsi 7. $$-ın elə dəyərlərini tapın ki, $-1;4-3;(()^(2))+1$ ədədləri arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin (həmin ardıcıllıqla).
Həll. Yenə də orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortası ilə ifadə edirik:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizalayın)\]
Başqa bir kvadrat tənlik. Və yenə iki kök: $x=6$ və $x=1$.
Cavab: 1; 6.
Əgər problemin həlli zamanı bəzi qəddar nömrələr alırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, onda yoxlamağa imkan verən gözəl bir hiylə var: problemi düzgün həll etdikmi?
Tutaq ki, 6-cı məsələdə -3 və 2 cavablarını aldıq. Bu cavabların düzgün olduğunu necə yoxlaya bilərik? Gəlin onları orijinal vəziyyətə qoşaq və nə baş verdiyini görək. Nəzərinizə çatdırım ki, bizdə üç ədəd ($-6(()^(2))$, $+1$ və $14+4(()^(2))$ var, bunlar arifmetik irəliləyiş təşkil etməlidir. $x=-3$ əvəz edin:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
-54 nömrələrini aldıq; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik irəliləyişdir. Eyni şey $x=2$ üçün də baş verir:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Yenə irəliləyiş, lakin 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olunur. İstəyənlər ikinci tapşırığı özləri yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyəcəm: orada da hər şey qaydasındadır.
Ümumiyyətlə, son problemləri həll edərkən başqa bir maraqlı fakta rast gəldik ki, onu da xatırlamaq lazımdır:
Əgər üç ədəd elədirsə ki, ikincisi birincinin və sonuncunun ortasıdır, onda bu ədədlər arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.
Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək bizə problemin vəziyyətinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq belə bir "tikinti" ilə məşğul olmamışdan əvvəl daha bir fakta diqqət yetirməliyik ki, bu da artıq nəzərdən keçiriləndən birbaşa irəli gəlir.
Elementlərin qruplaşdırılması və cəmi
Yenidən rəqəm xəttinə qayıdaq. Orada irəliləyişin bir neçə üzvünü qeyd edirik, onların arasında, bəlkə də. bir çox digər üzvlərə dəyər:
Rəqəm xəttində işarələnmiş 6 elementGəlin “sol quyruğu” $((a)_(n))$ və $d$, “sağ quyruğu” isə $((a)_(k))$ və $ ifadələri ilə ifadə etməyə çalışaq. d$. Çox sadədir:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizalayın)\]
İndi aşağıdakı məbləğlərin bərabər olduğuna diqqət yetirin:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Sadə dillə desək, cəmi $S$ sayına bərabər olan iki irəliləyiş elementini başlanğıc kimi nəzərdən keçirsək və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə addımlamağa başlasaq (bir-birinə doğru və ya əksinə uzaqlaşmaq üçün), sonra rastlaşacağımız elementlərin cəmi də bərabər olacaq$S$. Bunu ən yaxşı qrafik olaraq göstərmək olar:
Eyni abzaslar bərabər məbləğlər verir Bu həqiqəti başa düşmək bizə yuxarıda nəzərdən keçirdiklərimizdən daha yüksək səviyyəli mürəkkəblik problemlərini həll etməyə imkan verəcəkdir. Məsələn, bunlar:
Tapşırıq nömrəsi 8. Birinci həddinin 66, ikinci və on ikinci hədlərin hasilinin mümkün olan ən kiçik olduğu arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.
Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\dəq. \end(align)\]
Beləliklə, $d$ irəliləməsinin fərqini bilmirik. Əslində, bütün həll fərq ətrafında qurulacaq, çünki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\sol(66+d \sağ)\cdot \sol(66+11d \sağ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ). \end(align)\]
Tankda olanlar üçün: Mən ikinci mötərizədən ümumi faktor 11-i götürdüm. Beləliklə, istənilən hasil $d$ dəyişəninə münasibətdə kvadrat funksiyadır. Buna görə də, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları yuxarı olan parabola olacaq, çünki mötərizələri açsaq, alırıq:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Gördüyünüz kimi, ən yüksək termini olan əmsal 11-dir - bu müsbət rəqəmdir, ona görə də biz həqiqətən budaqları yuxarı olan parabola ilə məşğul oluruq:
kvadratik funksiyanın qrafiki - parabola
Diqqət edin: bu parabola minimum qiymətini $((d)_(0))$ absis ilə təpəsində götürür. Təbii ki, biz bu absissanı standart sxem üzrə hesablaya bilərik ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ düsturu var), lakin bunu etmək daha məqsədəuyğun olardı. qeyd edin ki, istədiyiniz təpə parabolanın oxu simmetriyası üzərində yerləşir, ona görə də $((d)_(0))$ nöqtəsi $f\left(d \right)=0$ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \sağ)\cdot \left(d+6 \sağ)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\dörd ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizalayın)\]
Buna görə də mötərizələri açmağa tələsmirdim: orijinal formada kökləri tapmaq çox, çox asan idi. Beləliklə, absis −66 və −6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Aşkar edilmiş nömrəni bizə nə verir? Onunla tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, biz $((y)_(\min ))$ hesablamadıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm ilkin irəliləyişin fərqidir, yəni. cavabını tapdıq. :)
Cavab: -36
Tapşırıq nömrəsi 9. $-\frac(1)(2)$ və $-\frac(1)(6)$ ədədlərinin arasına üç ədəd daxil edin ki, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsin.
Həll. Əslində, ilk və son nömrə artıq məlum olan beş ədəd ardıcıllığı yaratmalıyıq. Çatışmayan ədədləri $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ilə işarələyin:
\[\left(((a)_(n)) \sağ)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \sağ\ )\]
Qeyd edək ki, $y$ rəqəmi ardıcıllığımızın "ortasıdır" - o, $x$ və $z$ rəqəmlərindən, $-\frac(1)(2)$ və $-\frac ədədlərindən bərabər məsafədədir. (1)( 6)$. Əgər hazırda $x$ və $z$ rəqəmlərindən $y$ ala bilmiriksə, o zaman irəliləyişin uclarında vəziyyət fərqlidir. Arifmetik ortanı xatırlayın:
İndi $y$-ı bilməklə, qalan ədədləri tapacağıq. Qeyd edək ki, $x$ $-\frac(1)(2)$ və $y=-\frac(1)(3)$ arasında yerləşir. Buna görə də
Eyni şəkildə mübahisə edərək, qalan rəqəmi tapırıq:
Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Cavabda onları ilkin ədədlərin arasına daxil edilməli olan ardıcıllıqla yazaq.
Cavab: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tapşırıq nömrəsi 10. 2 və 42 ədədlərinin arasına daxil edilmiş ədədlərin birinci, ikinci və sonuncularının cəminin 56 olduğu məlumdursa, verilmiş ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirən bir neçə ədəd daxil edin.
Həll. Daha çətin bir vəzifə, lakin əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur - arifmetik orta vasitəsilə. Problem ondadır ki, biz neçə rəqəmi daxil edəcəyimizi dəqiq bilmirik. Buna görə də, dəqiqlik üçün biz hesab edirik ki, daxil etdikdən sonra tam olaraq $n$ ədədləri olacaq və onlardan birincisi 2, sonuncusu isə 42-dir. Bu halda istənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı kimi göstərilə bilər:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Lakin qeyd edək ki, $((a)_(2))$ və $((a)_(n-1))$ ədədləri bir-birinə doğru bir addım kənarda duran 2 və 42 rəqəmlərindən alınır. , yəni. ardıcıllığın mərkəzinə. Və bu o deməkdir ki
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Lakin sonra yuxarıdakı ifadəni belə yenidən yazmaq olar:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizalayın)\]
$((a)_(3))$ və $((a)_(1))$ bilməklə, irəliləyiş fərqini asanlıqla tapa bilərik:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sol(3-1 \sağ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ox d=5. \\ \end(hizalayın)\]
Qalan üzvləri tapmaq qalır:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizalayın)\]
Beləliklə, artıq 9-cu addımda biz ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə çatacağıq. Ümumilikdə cəmi 7 rəqəm daxil edilməli idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Proqressivlərlə mətn tapşırıqları
Sonda bir neçə nisbətən sadə məsələni nəzərdən keçirmək istərdim. Yaxşı, sadə olanlar kimi: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan tələbələrin əksəriyyəti üçün bu tapşırıqlar jest kimi görünə bilər. Buna baxmayaraq, riyaziyyatda OGE və İSTİFADƏ-də rast gəlinən məhz belə tapşırıqlardır, buna görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.
Tapşırıq nömrəsi 11. Komanda yanvar ayında 62 hissə istehsal edib və hər növbəti ayda əvvəlkindən 14 ədəd çox hissə istehsal edib. Noyabrda briqada neçə hissə istehsal etdi?
Həll. Aydındır ki, aylarla rənglənən hissələrin sayı artan arifmetik irəliləyiş olacaqdır. Və:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\sol(n-1 \sağ)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Noyabr ilin 11-ci ayıdır, ona görə də $((a)_(11))$ tapmalıyıq:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Buna görə də noyabrda 202 hissə istehsal olunacaq.
Tapşırıq nömrəsi 12. Cildləmə emalatxanası yanvar ayında 216 kitab cildləyib və hər ay əvvəlki ayla müqayisədə 4 daha çox kitab cildləyib. Seminar dekabrda neçə kitab cildləşdirdi?
Həll. Hamısı eyni:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\sol(n-1 \sağ)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dekabr ilin sonuncu, 12-ci ayıdır, ona görə də biz $((a)_(12))$ axtarırıq:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildlənəcək.
Yaxşı, bura qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: arifmetik irəliləyişlərdə "gənc döyüşçü kursunu" uğurla başa vurdunuz. Təhlükəsiz şəkildə növbəti dərsə keçə bilərik, burada irəliləyiş cəmi düsturunu, eləcə də ondan vacib və çox faydalı nəticələri öyrənəcəyik.
