Casi todos los sistemas de control, estrictamente hablando, son no lineales, es decir. se describen mediante ecuaciones no lineales. Los sistemas de control lineal son sus modelos lineales, que se obtienen mediante linealización convencional: linealización que consiste en expandir funciones no lineales en una serie de Taylor y descartar términos no lineales. Sin embargo, esta linealización no siempre es posible. Si la no linealidad admite la linealización habitual, entonces dicha no linealidad se llama no esencial. En caso contrario, se dice que la no linealidad es significativa. Todos los tipos de elementos de relé tienen no linealidades significativas. Incluso en los casos en los que la linealización convencional es posible, a menudo puede ser necesario considerar el modelo no lineal original en la etapa final del estudio.
Un sistema de control automático no lineal es un sistema que contiene al menos un vínculo descrito por una ecuación no lineal.
Tipos de enlaces no lineales:
enlace tipo relé;
enlace con característica lineal por partes;
un enlace con una característica curvilínea de cualquier forma;
un eslabón cuya ecuación contiene el producto de variables o sus derivadas y sus demás combinaciones;
enlace no lineal con retraso;
enlace de impulso no lineal;
enlace lógico;
enlaces descritos por sistemas de control lineal por partes, incluidos aquellos con estructura variable.
En la Fig. 2.1 presenta características de relés de diferentes tipos:
características de un relé ideal (a);
características de un relé con zona muerta (b);
características de un relé con histéresis (c);
características de un relé con zona muerta e histéresis (g);
característica de cuantificación por nivel (d).
En la Fig. 2.2 presenta características lineales por partes:
característica lineal por partes con saturación (a);
característica lineal por partes con zona muerta y saturación (b)
característica lineal por partes con zona muerta (c);
contragolpe (característica de un enlace con contragolpe) (d);
característica del diodo (d);
Característica lineal por partes con histéresis y saturación (e).
Hay no linealidades estáticas y dinámicas. Las primeras se presentan en forma de características estáticas no lineales, las segundas en forma de ecuaciones diferenciales no lineales.
El accionamiento del organismo regulador, cualquiera que sea (eléctrico, hidráulico o neumático), siempre tiene, en primer lugar, una zona muerta en el origen; en segundo lugar, la zona de saturación en los bordes. Además, también puede producirse histéresis. También existen variadores de velocidad constante relacionados con enlaces de tipo relé.
La zona muerta se expresa por el hecho de que el motor tiene una determinada corriente mínima de arranque, hasta alcanzar la cual el motor estará parado.
HISTÉRESIS (del griego histéresis - retraso, retraso), fenómeno que consiste en lo físico. una cantidad que caracteriza el estado de un cuerpo (por ejemplo, la magnetización) depende ambiguamente de las propiedades físicas. una cantidad que caracteriza las condiciones externas (por ejemplo, campo magnético). G. se observa en los casos en que el estado del cuerpo en un momento dado está determinado por condiciones externas no solo al mismo tiempo, sino también en momentos anteriores. En cualquier proceso se observa una dependencia ambigua de cantidades, ya que cambiar el estado del cuerpo siempre requiere un cierto tiempo (tiempo de relajación) y la reacción del cuerpo va por detrás de las causas que la provocan.
Los sistemas no lineales tienen una serie de características fundamentales en comparación con los lineales. En particular, estas características son las siguientes:
El principio de superposición no se cumple, y el estudio de un sistema no lineal bajo varias influencias no puede reducirse a un estudio bajo una sola influencia;
La estabilidad y naturaleza del proceso de transición dependen de la magnitud de la desviación inicial de la posición de equilibrio;
Bajo influencias externas fijas, son posibles varias (y a veces un número infinito) de posiciones de equilibrio;
Surgen procesos libres de estado estacionario que son imposibles en sistemas lineales (por ejemplo, autooscilaciones).
No existen métodos analíticos (matemáticos) universales para estudiar sistemas no lineales. En el proceso de desarrollo de la teoría del control automático, se desarrollaron varios métodos matemáticos para el análisis y síntesis de sistemas no lineales, cada uno de los cuales es aplicable a una determinada clase de sistemas y problemas. Los métodos más utilizados para estudiar sistemas no lineales son:
Método del plano de fase;
método de la función de Lyapunov;
Método de linealización armónica (método de equilibrio armónico);
Métodos para estudiar la estabilidad absoluta.
Cualquier estudio de sistemas no lineales más o menos complejos, por regla general, termina con el modelado matemático. Y en este sentido, el modelado matemático es uno de los métodos de investigación universales (no analíticos).
Plano de fase
Si las ecuaciones del sistema de control se presentan en forma normal, entonces el vector de estado del sistema determina de forma única su estado. Cada estado del sistema en el espacio de estados corresponde a un punto. El punto correspondiente al estado actual del sistema se llama punto representativo. Cuando el estado cambia, el punto representativo describe una trayectoria. Esta trayectoria se llama trayectoria de fase. El conjunto de trayectorias de fase correspondientes a todas las condiciones iniciales posibles se denomina retrato de fase.
La trayectoria de fase y el retrato de fase se pueden representar visualmente en el caso de un espacio de fase bidimensional. El espacio de fase bidimensional se llama plano de fase.
El plano de fase es un plano de coordenadas en el que se trazan dos variables (coordenadas de fase) a lo largo de los ejes de coordenadas, que determinan de forma única el estado del sistema de segundo orden.
El método de análisis y síntesis de un sistema de control basado en la construcción de un retrato de fase se denomina método del plano de fase.
A partir del retrato de fase se puede juzgar la naturaleza de los procesos transitorios. En particular, utilizando la trayectoria de fase, puede construir una característica de tiempo cualitativamente sin cálculos: una curva de x versus tiempo y, a la inversa, utilizando la característica de tiempo, puede construir cualitativamente una trayectoria de fase.
Como ejemplo, primero construiremos una característica de tiempo usando la trayectoria de fase y luego construiremos una trayectoria de fase usando la característica de tiempo. Sea la trayectoria de fase dada (Fig. 2.4, a).
Habiendo marcado en él los puntos característicos (el punto de partida, los puntos de intersección con los ejes de coordenadas), trazamos los puntos correspondientes en el plano temporal y los conectamos con una curva suave (Fig. 2.4, b).
Sea ahora la característica del tiempo (Fig. 2.5, a). Habiendo marcado puntos característicos en él (el punto de partida, los puntos extremos y los puntos de intersección con el eje del tiempo), trazamos los puntos correspondientes en el plano de fase y los conectamos con una curva suave.
(Figuras 2.5,6).
Los retratos de fase de sistemas no lineales pueden contener un tipo de curva especial: trayectorias cerradas aisladas. Estas curvas se llaman ciclos límite. Si, desde el interior y el exterior, las trayectorias de fase convergen al ciclo límite (Fig. 2.8, a),
entonces dicho ciclo límite se denomina ciclo límite estable. Un ciclo límite estable corresponde a un movimiento periódico asintóticamente orbitalmente estable (autooscilaciones).
Si las trayectorias de fase dentro y fuera del ciclo límite se alejan de él (Fig. 2.8,6), dicho ciclo límite se denomina ciclo límite inestable. No se puede observar un proceso periódico correspondiente a un ciclo límite inestable.
Si el movimiento comienza dentro de dicho ciclo límite, entonces el proceso converge a una posición de equilibrio. Si el movimiento comienza fuera de dicho ciclo límite, entonces el proceso diverge. Un ciclo límite inestable sirve como límite de la región de atracción o límite de estabilidad de la posición de equilibrio (origen).
Son posibles dos ciclos límite (Fig. 2.8, c, d). Pre-interno
ciclo límite en la Fig. 2.8, en es estable y las autooscilaciones le corresponden, y el ciclo límite exterior es inestable y es el límite de la región de autooscilaciones: las autooscilaciones ocurren para cualquier desviación inicial que no vaya más allá del ciclo límite exterior. .
El ciclo límite exterior en la Fig. 2.8, d es estable y corresponde a autooscilaciones, y el ciclo límite interno es inestable y es el límite de la región de atracción de la posición de equilibrio. En un sistema con tal retrato de fase, las autooscilaciones surgen cuando el sistema se desvía lo suficiente de la posición de equilibrio, una desviación que va más allá del ciclo límite interno. Si el sistema se mueve dentro de un ciclo límite inestable, entonces se acerca a una posición de equilibrio.
Método de linealización armónica
El método de linealización armónica, o método de equilibrio armónico, se desarrolló originalmente para estudiar condiciones periódicas. Sin embargo, posteriormente comenzó a utilizarse también para análisis de estabilidad y síntesis de sistemas no lineales.
La idea principal del método es la siguiente. Los sistemas controlados (objetos), por regla general, tienen la propiedad de un filtro de paso bajo: cuando ocurren modos periódicos, no transmiten, o transmiten con mayor atenuación, segundos y armónicos superiores. Y la esencia del método de linealización armónica es describir un vínculo no lineal mediante una ecuación lineal, que se obtiene descuidando (descartando) los armónicos indicados en la expansión de la función no lineal en una serie de Fourier.
El método de linealización armónica es un método aproximado. Sin embargo, su ventaja es que es aplicable a sistemas de cualquier orden, a diferencia del método del plano de fase, que sólo puede aplicarse eficazmente a sistemas de segundo orden.
Método Goldfarb (método para estudiar autooscilaciones simétricas)
Método de la función de Lyapunov
El método de investigación basado en la construcción de la función de Lyapunov, incluido el método directo de Lyapunov, comenzó a denominarse método de las funciones de Lyapunov.
Método para estudiar la estabilidad absoluta.
El problema de la estabilidad absoluta fue considerado por primera vez por A. I. Lurie, y a veces se le llama problema de Lurie. Desarrolló un método para resolver este problema, basado en la construcción de la función de Lyapunov. En 1961 El científico rumano V.M. Popov publicó un artículo en el que describía un método de frecuencia para resolver este problema. Esto dio lugar a una gran corriente de trabajo en esta dirección.
Para tareas:
Relación entre el proceso transitorio y el retrato de fase:
(Besekersky-Popov p. 595 muchas cosas)
La presencia de no linealidades en los sistemas de control conduce a la descripción de dicho sistema mediante ecuaciones diferenciales no lineales, a menudo de órdenes bastante altos. Como saben, la mayoría de los grupos de ecuaciones no lineales no se pueden resolver en forma general y solo se puede hablar de casos especiales de solución, por lo que varios métodos aproximados juegan un papel importante en el estudio de sistemas no lineales.
Utilizando métodos aproximados para estudiar sistemas no lineales, generalmente es imposible obtener una comprensión suficientemente completa de todas las propiedades dinámicas del sistema. Sin embargo, con su ayuda es posible responder una serie de preguntas esenciales individuales, como la cuestión de la estabilidad, la presencia de auto-oscilaciones, la naturaleza de algunos modos particulares, etc.
Actualmente, existe una gran cantidad de diferentes métodos analíticos y grafoanalíticos para estudiar sistemas no lineales, entre los que podemos destacar los métodos del plano de fase, ajuste, transformaciones puntuales, linealización armónica, método directo de Lyapunov, métodos de frecuencia para estudiar el absoluto. Estabilidad de Popov, métodos para estudiar sistemas no lineales en modelos electrónicos y computadoras.
Breve descripción de algunos de los métodos enumerados.
El método del plano de fase es preciso, pero tiene una aplicación limitada, ya que es prácticamente inaplicable para sistemas de control cuya descripción no se puede reducir a controles de segundo orden.
El método de linealización armónica es un método aproximado; no tiene restricciones en el orden de las ecuaciones diferenciales. Al aplicar este método, se supone que hay oscilaciones armónicas en la salida del sistema y que la parte lineal del sistema de control es un filtro de paso alto. En el caso de un filtrado débil de señales por parte de la parte lineal del sistema, cuando se utiliza el método de linealización armónica, es necesario tener en cuenta los armónicos más altos. Al mismo tiempo, el análisis de la estabilidad y la calidad de los procesos de control de sistemas no lineales se vuelve más complicado.
El segundo método de Lyapunov permite obtener sólo condiciones suficientes para la estabilidad. Y si sobre esta base se determina la inestabilidad del sistema de control, entonces, en varios casos, para verificar la exactitud del resultado obtenido, es necesario reemplazar la función de Lyapunov por otra y realizar nuevamente el análisis de estabilidad. Además, no existen métodos generales para determinar la función de Lyapunov, lo que dificulta la aplicación práctica de este método.
El criterio de estabilidad absoluta permite analizar la estabilidad de sistemas no lineales utilizando características de frecuencia, lo cual es una gran ventaja de este método, ya que combina el aparato matemático de sistemas lineales y no lineales en un solo todo. Las desventajas de este método incluyen la complejidad de los cálculos al analizar la estabilidad de sistemas con una parte lineal inestable. Por tanto, para obtener el resultado correcto sobre la estabilidad de sistemas no lineales, es necesario utilizar varios métodos. Y sólo la coincidencia de varios resultados nos permitirá evitar juicios erróneos sobre la estabilidad o inestabilidad del sistema de control automático diseñado.
Criterio de estabilidad Popova V.M.
(científico rumano)
Este es un método de frecuencia para estudiar la estabilidad de un NL ACS con una no linealidad inequívoca que satisface la condición
Se considera la estabilidad de la posición de equilibrio.
Condiciones suficientes estabilidad absoluta Estos sistemas fueron formulados por V. M. Popov.
1. Se introduce la función de transferencia.
Se asume que 
Corresponde a un sistema asintóticamente estable (comprobado por cualquiera de los criterios de estabilidad).
2.Se encuentra la respuesta de frecuencia. 
.
3. Se construye una respuesta de frecuencia modificada. 
,
que está determinada por la relación
Re
=Re 
,
Soy
=
.
4.Construido en el plano complejo. 
.
Criterio de Popov:
si por un punto 
Se puede dibujar una línea recta en el eje real para que el AFC modificado 
yacía a un lado de esta línea recta, luego una pistola autopropulsada NL cerrada será absolutamente estable.
Ejemplo. Investigue la estabilidad absoluta de las armas autopropulsadas NL con el diagrama de bloques de la Fig. 1, si
ya que todo 
en la ecuación característica de segundo orden es mayor que cero, entonces 
- es asintóticamente estable y, por tanto, se cumple la condición (1) del criterio de estabilidad de Popov.
Re
=Re 
=
Soy
=
Soy
=
Estamos construyendo una AFFC 
.
Estabilidad asintótica para una forma especial.
características no lineales
1. Característica no lineal ambigua
El estado de reposo será absolutamente estable si
1.
Corresponde a un sistema asintóticamente estable.
2.
2. Sistema con característica de relé.
r=0 . Éste es un caso especial de la característica comentada anteriormente.
Condición suficiente para una estabilidad absoluta - en lugar de la condición (2)
3.No linealidad del tipo de relé
1.
- asintóticamente estable.
2.Soy 
Estabilidad absoluta del proceso
Consideremos ahora la estabilidad no de los sistemas de estabilización (modo nominal - estado de reposo), sino el caso en el que el modo nominal se caracteriza por la señal de entrada. 
y señal de salida 
, que son limitado continuo Funciones del tiempo.
Supondremos que el elemento no lineal tiene la forma 
, Dónde 
es una función continua de un solo valor que satisface la condición
aquellos. la tasa de cambio de la característica no lineal es limitada. Ésta es una condición bastante estricta.
En este caso, para garantizar la estabilidad absoluta del proceso limitado. 
,
basta con que se cumplan las condiciones6
1.
- era asintóticamente estable.
2.
.
En el caso especial cuando r=0
o 
La teoría asociada con el desarrollo de las ideas de Popov aún no está completa; aquí son posibles resultados nuevos y más sólidos. Un resumen de dichos resultados hasta la fecha está disponible en el libro de Naumov "Nonlinear Automatic Control Systems".
Métodos aproximados para estudiar sistemas de control automático no lineales.
Método de equilibrio armónico
Al estudiar el NL ACS, a veces es posible observar la aparición de cambios periódicos en el valor de salida. y(t)
incluso en los casos en que 
Si al estudiar las armas autopropulsadas nos limitamos a lineal modelo con coeficientes constantes, entonces el fenómeno indicado (oscilaciones naturales) solo puede ocurrir si hay raíces puramente imaginarias en la ecuación característica 
.
Sin embargo, con esta explicación, un pequeño cambio en los parámetros del sistema “desplazará” la raíz del eje imaginario hacia la izquierda o hacia la derecha y las oscilaciones naturales se amortiguarán o se balancearán. En la práctica, en sistemas no lineales, las oscilaciones periódicas de la señal de salida persisten con pequeños cambios en los parámetros del sistema.
Este tipo de oscilaciones no amortiguadas se explica por la naturaleza no lineal del sistema. Se llaman autooscilaciones.
Considere el método equilibrio armónico, lo que permite determinar la presencia o ausencia de autooscilaciones en función del flujo mutuo de la respuesta fase-frecuencia de la parte lineal y las características del elemento no lineal.
Consideremos un sistema de bucle único en el que se identifica un elemento no lineal.
(1)
y parte lineal con función de transferencia 
.
Supuesto:
1.
corresponde a un sistema estable,
2. característica no lineal 
- impar simétrico, es decir
,
3.señal de entrada 
, es decir. Este es un sistema de estabilización.
Buscaremos la señal de salida. y(t) como
,
(2)
Dónde 
- amplitud de las autooscilaciones,
- frecuencia de autooscilaciones.
Y 
necesita ser determinado.
Hipótesis sinusoidal y(t) parece arbitrario. Sin embargo, se darán más condiciones bajo las cuales esta hipótesis se vuelve natural.
Porque el 
,(3)
perdamos la señal 
secuencialmente a través del elemento no lineal y la parte lineal y encontrar ecuaciones a partir de las cuales será posible determinar la amplitud 
y frecuencia 
Autooscilaciones en armas autopropulsadas NL.
Tutorial 
mediante elemento lineal
Porque
-
función periódica, entonces la señal
en la salida del no lineal
elemento
También será una función periódica, pero diferente de una onda sinusoidal.
Rango 
Rango 
Como se sabe, cualquier función periódica se puede representar mediante una serie de Fourier:
(4)
Suponemos que el término libre en la fórmula (4) es igual a cero. Esto tendrá lugar, por ejemplo, cuando la característica de un elemento no lineal cumpla la condición
, es decir, es una función impar.
Aquí los coeficientes de Fourier. 
Y 
están determinadas:
,
(5)
Transformemos (4) multiplicando y dividiendo cada término del lado derecho por 
(6)
.
Te recordamos que
(8)
Así, al pasar la señal 
a través de un elemento no lineal, en la salida del elemento no lineal hay una señal 
contiene muchos armónicos que son múltiplos de 
. (ver imagen arriba).
Flujo de señal 
a través de la parte lineal
De la teoría de sistemas lineales sabemos que si la entrada de un enlace lineal con una función de transferencia 
, correspondiente a un sistema estable, dará una señal armónica; en estado estable, habrá una señal a la salida de este enlace.
Aquí 
- módulo de respuesta de frecuencia 
en el punto 
,
argumento 
.
Usando estas relaciones, podemos escribir expresiones para 
, pasando por separado por la parte lineal todas las componentes de la serie (8) y luego sumando las expresiones resultantes para 
Debido a la linealidad del sistema, este procedimiento es legal.
Obtenemos, suponiendo 
:
La expresión resultante (9) para 
tiene una estructura bastante compleja. Se puede simplificar enormemente usando hipótesis del filtro.
Al estudiar las características de frecuencia de unidades elementales típicas, vimos que su respuesta de frecuencia tiende a cero en 
La hipótesis del filtro es que la respuesta de frecuencia en el lado derecho de (9) disminuye al aumentar la frecuencia tan rápidamente que en (9) solo se puede tener en cuenta el primer término, correspondiente a k=1, y considere que los términos restantes son insignificantes. En otras palabras, la hipótesis del filtro es la hipótesis de que la parte lineal del ACS prácticamente no deja pasar las oscilaciones de alta frecuencia. Por tanto, la fórmula (9) (y esta es la aproximación del método) se simplifica de la siguiente manera:
Por lo tanto, al cerrar el sistema bajo el supuesto de la hipótesis del filtro, obtendremos un equilibrio armónico (de ahí el nombre del método, método de equilibrio armónico).
Veamos cómo utilizar método equilibrio armónico determinar la amplitud A y frecuencia 
autooscilaciones.
Introduzcamos el concepto. función de transferencia equivalente de un elemento no lineal:
(11)
Si 
(y esto ocurre con características no lineales simétricas inequívocas), entonces
(12)
La ecuación característica de un SCA cerrado (Fig.1) tiene la forma:
o respuesta de frecuencia
(13)
(14)
imaginemos
Entonces se reescribirá la ecuación (14):
=
(17)
La igualdad (14) o (17) es la base del método analítico gráfico para determinar los parámetros de las autooscilaciones. A Y 
.
La respuesta de fase-frecuencia de la parte lineal se construye en el plano complejo.
y características del elemento no lineal
Si las curvas se cruzan, entonces existen autooscilaciones en el SCA.
La frecuencia de las autooscilaciones en el punto de intersección de las curvas a lo largo 
, y la amplitud es según 
.
Echemos un vistazo más de cerca al área seleccionada.
Conocemos la amplitud y frecuencia de los puntos más cercanos al punto de intersección de las curvas. La amplitud y la frecuencia en el punto de intersección se pueden determinar, por ejemplo, dividiendo el segmento por la mitad.
Método de linealización armónica
Este es un método aproximado muy eficaz para determinar las oscilaciones periódicas en NL ACS.
Para aplicar el método de linealización armónica de no linealidad, es necesario cumplir el requisito: la parte lineal debe tener propiedades de filtro, es decir no debe permitir el paso de altas frecuencias.
En la práctica, este requisito suele cumplirse.
Sea un elemento no lineal.
(1)
Dejar 
(2)
Entonces 
(3)
Expandamos (1) en una serie de Fourier:
Recuerde que la función no lineal F(X) , ampliado en una serie de Fourier, tiene la forma:
,
,
,
Entonces la serie de Fourier para nuestra no linealidad quedará así:
++armónicos superiores (4)
Pongamos un componente constante. 
De la ecuación (2): 
De la ecuación (3): 
Entonces la ecuación (4) se puede reescribir:
,
En la ecuación (5) despreciamos las altas frecuencias y esta es la aproximación del método.
Por lo tanto, el elemento no lineal en 
se reemplaza por la expresión linealizada (5), que, cuando se satisface la hipótesis del filtro de parte lineal, toma la forma:
(6)
Este procedimiento se llama linealización armónica.
Impares 
Y 
en constante una Y 
. En modo dinámico, cuando cambian A Y 
, coeficientes 
Y 
cambiará. Ésta es la diferencia entre linealización armónica y linealización convencional. (Con la linealización convencional, el coeficiente de la ecuación linealizada A depende del punto de linealización). Dependencia de los coeficientes de linealización en A Y 
le permite aplicar métodos para estudiar sistemas lineales a NL ACS (6) y analizar las propiedades de NL ACS que no se pueden detectar con la linealización convencional.
Coeficientes de linealización armónica
algunas no linealidades típicas
Característica del relé
2. Característica del relé con zona muerta.
,
amplitud de oscilación 
3. Característica del relé con bucle de histéresis
,
,
4. Característica del relé con zona muerta y bucle de histéresis.
,
Consideremos ahora un sistema cerrado.
,
Podemos introducir el concepto de función de transferencia de un elemento no lineal.
,
.
Entonces la ecuación característica de un SCA cerrado:
,
o
Cuando surgen oscilaciones naturales no amortiguadas de amplitud y frecuencia constantes en un sistema cerrado, los coeficientes de linealización armónica se vuelven constantes y el sistema de control automático se vuelve lineal. Y en un sistema lineal, la presencia de oscilaciones periódicas no amortiguadas indica la presencia de raíces puramente imaginarias.
Así, para determinar periódico las soluciones deben sustituirse en la ecuación característica 
. Aquí 
- frecuencia actual, y 
- frecuencia de autooscilaciones.
Las incógnitas en esta ecuación son 
Y 
.
Aislamos las partes real e imaginaria de esta ecuación.
Introduzcamos la notación para la frecuencia y amplitud de la solución periódica deseada: 
,
.
Obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolviendo estas ecuaciones encontramos 
Y 
- amplitud y frecuencia de soluciones periódicas en el NL ACS.
Usando estas ecuaciones, puedes determinar no solo 
Y 
, pero también construye una dependencia 
Y 
, por ejemplo, de la ganancia del ACS A.
Entonces, considerando A variables, escribimos:
Preguntarse A, encontramos 
Y 
, es decir. 
Y 
Poder elegir A de modo que
1.
no seria suficiente
2.
Sería inofensivo para las armas autopropulsadas,
3. no habría autooscilaciones.
Usando las mismas ecuaciones, es posible en el plano de dos parámetros (por ejemplo, t Y A) construyen líneas de valores iguales de amplitud y frecuencia de autooscilaciones. Para esta ecuación reescribimos:
Especificación de valores numéricos 
, obtenemos 
Y 
De estos gráficos puedes elegir t Y A.
Determinación de la estabilidad de soluciones en sistemas de control automático no lineales.
Las autooscilaciones en el NL ACS deben corresponder a soluciones periódicas estables. Por lo tanto, después de encontrar la amplitud 
y frecuencias 
soluciones periódicas, es necesario examinar su estabilidad.
Consideremos un método aproximado para estudiar la estabilidad de soluciones periódicas en NL ACS utilizando la hodógrafa Mikhailov.
Dejemos que las armas autopropulsadas de NL
,
.
- obtenido mediante el método de linealización armónica.
Ecuación característica de un sistema cerrado.
Escribamos la ecuación de la curva característica (hodógrafa de Mikhailov), que la sustituimos 
.
- valor de frecuencia actual según la hodógrafa Mikhailov,
- frecuencia de linealización armónica (autooscilaciones).
Entonces para cualquier dado permanente
Y 
la curva de Mikhailov tendrá la misma forma que para los sistemas lineales ordinarios.
Para soluciones periódicas correspondientes 
Y 
, la hodógrafa de Mikhailov pasará por el origen de coordenadas (ya que el sistema está en el límite de estabilidad).
Para determinar la estabilidad de soluciones periódicas damos 
incremento 
Estoy gordo 
la curva de Mikhailov tomará la posición 1, y cuando
- posición 2, entonces la solución periódica es estable.
Estoy gordo 
la curva tomará la posición 2, y cuando 
- posición 1, entonces la solución periódica es inestable.
"Teoría del control automático"
"Métodos para estudiar sistemas no lineales"
1. Método de ecuaciones diferenciales
La ecuación diferencial de un sistema no lineal cerrado de enésimo orden (Fig.1) se puede transformar en un sistema de n-ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma:
donde: – variables que caracterizan el comportamiento del sistema (una de ellas puede ser una variable controlada); – funciones no lineales; u – influencia del establecimiento.
Normalmente, estas ecuaciones se escriben en diferencias finitas:
¿Dónde están las condiciones iniciales?
Si las desviaciones no son grandes, entonces este sistema se puede resolver como un sistema de ecuaciones algebraicas. La solución se puede representar gráficamente.
2. Método del espacio de fase
Consideremos el caso en el que la influencia externa es cero (U = 0).
El movimiento del sistema está determinado por un cambio en sus coordenadas, en función del tiempo. Los valores en cualquier momento caracterizan el estado (fase) del sistema y determinan las coordenadas del sistema que tiene n ejes y pueden representarse como las coordenadas de algún punto (representante) M (Fig. 2).
El espacio de fases es el espacio de coordenadas del sistema.
A medida que cambia el tiempo t, el punto M se mueve a lo largo de una trayectoria llamada trayectoria de fase. Si cambiamos las condiciones iniciales, obtenemos una familia de trayectorias de fase llamada retrato de fase. El retrato de fase determina la naturaleza del proceso de transición en un sistema no lineal. El retrato de fase tiene puntos especiales hacia los que tienden o se alejan las trayectorias de fase del sistema (puede haber varios).
El retrato de fase puede contener trayectorias de fase cerradas, que se denominan ciclos límite. Los ciclos límite caracterizan las autooscilaciones del sistema. Las trayectorias de fase no se cruzan en ningún lugar, excepto en puntos especiales que caracterizan los estados de equilibrio del sistema. Los ciclos límite y los estados de equilibrio pueden ser estables o inestables.
El retrato de fase caracteriza completamente el sistema no lineal. Un rasgo característico de los sistemas no lineales es la presencia de varios tipos de movimientos, varios estados de equilibrio y la presencia de ciclos límite.
El método del espacio de fases es un método fundamental para estudiar sistemas no lineales. Es mucho más fácil y conveniente estudiar sistemas no lineales en el plano de fase que trazar procesos transitorios en el dominio del tiempo.
Las construcciones geométricas en el espacio son menos visuales que las construcciones en un plano, cuando el sistema es de segundo orden y se utiliza el método del plano de fase.
Aplicación del método del plano de fases para sistemas lineales.
Analicemos la relación entre la naturaleza del proceso de transición y las curvas de trayectorias de fase. Las trayectorias de fase se pueden obtener integrando la ecuación de trayectoria de fase o resolviendo la ecuación diferencial original de segundo orden.
Dejemos que se dé el sistema (Fig. 3).
Consideremos la libre circulación del sistema. En este caso: U(t)=0, e(t)=– x(t)
En general, la ecuación diferencial tiene la forma
Dónde 
(1)
Esta es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden; su ecuación característica es igual a
. (2)
Las raíces de la ecuación característica se determinan a partir de las relaciones.
(3)
Representemos una ecuación diferencial de segundo orden en forma de sistema.
Ecuaciones de primer orden:
(4)
donde es la tasa de cambio de la variable controlada.
En el sistema lineal considerado, las variables xey representan las coordenadas de fase. Construimos el retrato de fase en el espacio de las coordenadas xey, es decir en el plano de fase.
Si excluimos el tiempo de la ecuación (1), obtenemos la ecuación de curvas integrales o trayectorias de fase.
. (5)
Esta es una ecuación separable.
Consideremos varios casos.
Los archivos GB_prog.m y GB_mod.mdl, y el análisis de la composición espectral del modo periódico en la salida de la parte lineal, utilizando los archivos GB_prog.m y R_Fourie.mdl. Contenido del archivo GB_prog.m: % Estudio de sistemas no lineales por el método del balance armónico % Archivos utilizados: GB_prog.m, GB_mod.mdl y R_Fourie.mdl. % Designaciones utilizadas: NE - elemento no lineal, LP - parte lineal. %Borrar todo...
Libre de inercia en el rango de frecuencia permitido (limitado desde arriba), más allá del cual se vuelve inercial. Dependiendo del tipo de características, se distinguen elementos no lineales con características simétricas y asimétricas. Una característica que no depende de la dirección de las cantidades que la determinan se llama simétrica, es decir teniendo simetría relativa al origen del sistema...
Consideremos un objeto químico-tecnológico, cuya entrada recibe una señal aleatoria. Y(/), y se observa un proceso aleatorio en la salida en(/). Cuando se utilizan métodos de correlación para identificar objetos lineales con parámetros constantes, generalmente se supone (o la señal de prueba se selecciona especialmente de esta manera) que las funciones aleatorias y T) Y en (t) son estacionarios y están relacionados en pares estacionarios en un sentido amplio, es decir, sus expectativas matemáticas son constantes, y las funciones de autocorrelación y correlación cruzada son funciones no de dos, sino de un argumento igual a su diferencia.
Al identificar sistemas dinámicos no lineales, las condiciones para la normalidad de las densidades de probabilidad de funciones. y T) Y y(t) y sus densidades de probabilidad conjuntas, por regla general, no se satisfacen, es decir, las características de un objeto se determinan en condiciones en las que las densidades de probabilidad conjuntas de las funciones y T) Y en(/) no son gaussianos.
Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad condicional y(t) relativamente y T) también será no gaussiano. La regresión de la variable aleatoria de salida con respecto a la función aleatoria de entrada para valores dados de los argumentos es, en el caso general, no lineal, y la correlación de funciones Y(0 y en (t) heterocedástico.
Por lo tanto, para identificar objetos no lineales ya no son suficientes los métodos de correlación que operan con expectativas matemáticas y funciones de correlación de procesos aleatorios. El error al resolver el problema de identificar un objeto no lineal utilizando métodos de correlación utilizados para sistemas lineales es mayor cuanto más fuerte es la regresión de funciones. y(t) relativamente y T) difiere de lineal y cuanto mayor es la desigualdad de la expectativa matemática de las varianzas condicionales.
El problema de identificar objetos no lineales que funcionan bajo condiciones de perturbaciones aleatorias es un problema matemático muy complejo que está actualmente en desarrollo y aún está lejos de estar terminado. Sin embargo, ya es posible nombrar una serie de métodos que, aunque no pueden considerarse exhaustivos, proporcionan una solución aproximada bastante buena al problema de identificar objetos no lineales mediante métodos estadísticos. Estos métodos incluyen: 1) métodos basados en el uso de funciones de dispersión e interdispersivas de procesos aleatorios; 2) método de linealización de regresión no lineal en áreas de homocedasticidad de la expectativa matemática de la varianza condicional de la función y(t) relativamente y T) 3) Enfoque de Wiener para identificar sistemas no lineales; 4) un método para identificar sistemas no lineales basado en el uso del aparato de procesos condicionales de Markov.
Veamos brevemente cada uno de los métodos enumerados.
1. Si la dependencia entre los valores de funciones aleatorias. Y(0 y en (t) no lineal, entonces el coeficiente de correlación entre los valores de una función aleatoria ya no puede servir como un criterio suficientemente bueno para medir la cercanía de la conexión entre ellos. Por lo tanto, para caracterizar la conexión entre Y Y en son usados
relaciones de dispersión, que se determinan mediante funciones de dispersión (2, 3].
Función de dispersión mutua 0 yU (*, t) para funciones aleatorias reales y(t) Y y T) Y función de dispersión automática (dispersión) G„ K (*, m) para un proceso aleatorio Y(t) están determinadas por las relaciones
Dónde METRO( ) - símbolo de expectativa matemática; METRO.
Basado en los valores definidos anteriormente p ui, t| reino unido y R Puede construir un criterio de TV especial para probar la hipótesis sobre la linealidad de la relación entre señales. y y y:
Dónde PAG- número de experimentos; A- número de intervalos en la tabla de correlación. Comprobemos la hipótesis sobre la linealidad de la relación entre y t Y etc. para el objeto discutido en §6.4. Función
norte(t), construido a partir de las implementaciones de entrada y salida del sistema, se muestra en la Fig. 8.2. En este caso, el problema de identificación se reduce a buscar parámetros desconocidos del objeto, que son los coeficientes del operador en el espacio de Hilbert. La señal en la entrada del sistema se expande en una serie de subfunciones de Laguerre:
con probabilidades 
Arroz. 8.3.
Arroz. 8.4.
Aquí PAG-ésima función de Laguerre gn (t) se construye como producto del polinomio de Laguerre en(t) al exponente:
Tenga en cuenta que la imagen de Laplace de los polinomios de Laguerre basada en (8.19) tiene la forma
Esto muestra que los coeficientes de Laguerre necesarios se pueden obtener pasando la señal y T) a través de una cadena de eslabones dinámicos lineales (ver Fig. 8.3).
El operador de un sistema no lineal se representa como una expansión en polinomios Ermnt:
que son ortogonales al eje real - oo t. Las funciones de Hermite se construyen a partir de polinomios de Hermite:
con la ayuda del cual el operador de transición de los coeficientes de Laguerre de la señal de entrada a la señal de salida se escribe en la forma
La relación (8.20) es válida para cualquier objeto no lineal y puede usarse como base para su identificación. El método de identificación se simplifica enormemente si se aplica a la entrada una señal especial en forma de ruido blanco gaussiano. En este caso, las funciones de Laguerre son procesos aleatorios gaussianos no correlacionados con varianzas iguales. En este caso, la determinación de coeficientes... A se reduce a encontrar la función de correlación cruzada de la salida del sistema y los polinomios de Hermite:
Determinación de probabilidades b(j)... A completa la solución al problema de identificación. El esquema de cálculo general se muestra en la Fig. 8.4.
Al resolver problemas de identificación de objetos tecnológicos químicos, el método considerado tiene una aplicación limitada por varias razones. Estos últimos incluyen, por ejemplo, las dificultades que surgen al pasar de coeficientes b tjk a los parámetros tecnológicos del objeto. El método no es adecuado para sistemas no estacionarios. Las dificultades para implementar este procedimiento durante el funcionamiento normal de la instalación también reducen la eficacia del método. Finalmente, la necesidad de truncar todas las operaciones asociadas con pasajes al límite y la sustitución de series por sumas finitas son fuentes de errores computacionales adicionales.
4. Otro posible enfoque para construir filtros óptimos para sistemas no lineales se basa en el uso del aparato de procesos condicionales de Markov. Consideremos la esencia de este enfoque usando un ejemplo específico.
EJEMPLO Sea la señal útil un pulso rectangular.
es necesario determinar el momento de aparición del cual t en el segmento 0 x T. Altura del pulso Un 0 y se supone que su duración h es conocida. La señal que llega al objeto es y (t)=s(*)+m> (*) es la suma del componente útil s(0 y ruido blanco w(*), que se describe mediante la integral de probabilidad)
