Funciones de una variable compleja. Diferenciación de funciones de una variable compleja. Derivado del FKP. Condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones analíticas Función lineal de una variable compleja.

Sea la función = tu(x, y)+IV(x, y) se define en las proximidades del punto z = X+yo. Si la variable z incremento  z= X+i y, entonces la función
recibirá un incremento


= (z+ z)–
=tu(X+ X, y+ y)+

+ IV(X+ X, y+ y) - tu(x, y) - IV(x, y) = [tu(X+ X, y+ y) –

– tu(x, y)] + i[v(X+ X, y+ y) - v(x, y)] =

= tu(x, y) + i v(x, y).

Definición. Si hay un límite

=

,

entonces este límite se llama derivada de la función
en el punto z y se denota por F(z) o
. Así, por definición,

=

=

. (1.37)

Si la función
tiene una derivada en el punto z, entonces dicen que la función
diferenciable en el punto z. Obviamente, para que la función sea diferenciable
es necesario que las funciones tu(x, y) Y v(x, y) eran diferenciables. Sin embargo, esto no es suficiente para la existencia del derivado. F(z). Por ejemplo, para la función w== X–yo funciones tu(x, y)=X

Y v(x, y)=–y diferenciable en todos los puntos M( x, y), pero el límite de la relación
en  X0,  y0 no existe, porque si  y= 0,  X 0, entonces  w/ z= 1,

si  X = 0,  y 0, entonces  w/z = -1.

No existe un límite único. Esto significa que la función

w= no tiene derivada en ningún punto z. Para la existencia de una derivada de una función de una variable compleja, se requieren condiciones adicionales. ¿Cuáles exactamente? La respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema.

Teorema. Deja que las funciones tu(x, y) Y v(x, y) son diferenciables en el punto M( x, y). Entonces para que la función

= tu(x, y) + IV(x, y)

tenía una derivada en el punto z = X+yo, es necesario y suficiente que se cumplan las igualdades

Las igualdades (1.38) se denominan condiciones de Cauchy-Riemann.

Prueba. 1) Necesidad. Deja que la función
tiene una derivada en el punto z, es decir, hay un límite

=

=
.(1.39)

El límite en el lado derecho de la igualdad (1.39) no depende del camino que tome el punto  z =  X+i y se esfuerza

a 0. En particular, si y = 0, x  0 (figura 1.10), entonces

Si x = 0, y  0 (figura 1.11), entonces

(1.41)

Fig.1.10 Fig. 1.11

Los lados izquierdos en las igualdades (1.40) y (1.41) son iguales. Esto significa que los lados derechos también son iguales.

Resulta que

Así, a partir del supuesto de la existencia de la derivada F(z) se sigue la igualdad (1.38), es decir, las condiciones de Cauchy-Riemann son necesarias para la existencia de la derivada F(z).

1) Suficiencia. Supongamos ahora que se satisfacen las igualdades (1.38):

y demostrar que en este caso la función
tiene una derivada en el punto z= X+yo, es decir, el límite (1.39)

=

existe.

Dado que las funciones tu(x, y) Y v(x, y) son diferenciables en el punto M( x, y), entonces el incremento total de estas funciones en el punto M( x, y) se puede representar en la forma

donde  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 en  X0, y0.

Dado que, en virtud de (1.38),

Por eso,

=
,

 1 =  1 +i 1 0,  2 =  2 +i 2 0 en z =  X+iy0.

De este modo,

Desde  z 2 =  X 2 + y 2 , entonces  X/ z1,  y/z1. Es por eso

en  z  0.

Se deduce que el lado derecho de la igualdad (1.42) tiene un límite en  z 0, por lo tanto, el lado izquierdo también tiene un límite en  z 0, y este límite no depende de qué camino  z tiende a 0. Así, se ha demostrado que si en el punto M(x,y) se cumplen las condiciones (1.38), entonces la función
tiene una derivada en el punto z = X+yo, y

El teorema está completamente demostrado.

En el proceso de demostración del teorema se obtuvieron dos fórmulas (1.40) y (1.42) para la derivada de una función de una variable compleja.

Usando las fórmulas (1.38) podemos obtener dos fórmulas más

, (1.43)

. (1.44)

Si la función F(z) tiene una derivada en todos los puntos de la región D, entonces decimos que la función
es diferenciable en el dominio D. Para ello, es necesario y suficiente que se cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos del dominio D.

Ejemplo. Consulte las condiciones de Cauchy-Riemann para

funciones mi z .

Porque mi z = mi x+iy = mi X(porque y + i pecado y),

Eso tu(X, y) = Re mi z = mi X porque y, v(X, y) = soy mi z = mi X pecado y,

,
,

por eso,

Condiciones de Cauchy-Riemann para una función mi z cumplido en todos los puntos z. Entonces la función mi z es diferenciable en todo el plano de la variable compleja, y

La diferenciabilidad se demuestra exactamente de la misma manera.

funciones z norte , porque z, pecado z,ch z,sh z, Ln z, y la validez de las fórmulas

(z norte) = n z n-1, (porque z) = -pecado z, (pecado z) = porque z,

(cap. z) = sh z, (sh z) = ch z, (en z) = 1/z.

Para funciones de una variable compleja, todas las reglas para derivar funciones de una variable real siguen vigentes. La prueba de estas reglas se desprende de la definición de la derivada de la misma manera que para las funciones de una variable real.

Funciones de una variable compleja.
Diferenciación de funciones de una variable compleja.

Este artículo abre una serie de lecciones en las que consideraré problemas típicos relacionados con la teoría de funciones de una variable compleja. Para dominar con éxito los ejemplos, debes tener conocimientos básicos de números complejos. Para consolidar y repetir el material, basta con visitar la página. También necesitarás las habilidades para encontrar derivadas parciales de segundo orden. Aquí están, estas derivadas parciales... incluso ahora me sorprendió un poco la frecuencia con la que ocurren...

El tema que empezamos a considerar no presenta especiales dificultades, y en las funciones de una variable compleja, en principio, todo es claro y accesible. Lo principal es cumplir con la regla básica que deduje experimentalmente. ¡Sigue leyendo!

Concepto de función de variable compleja.

Primero, refresquemos nuestro conocimiento sobre la función escolar de una variable:

Función de variable única es una regla según la cual cada valor de la variable independiente (del dominio de definición) corresponde a uno y sólo un valor de la función. Naturalmente, "x" e "y" son números reales.

En el caso complejo, la dependencia funcional se especifica de manera similar:

Función de un solo valor de una variable compleja- esta es la regla según la cual todos integral el valor de la variable independiente (del dominio de definición) corresponde a uno y sólo uno integral valor de la función. La teoría también considera funciones multivaluadas y algunos otros tipos, pero por simplicidad me centraré en una definición.

¿Cuál es la diferencia entre una función de variable compleja?

La principal diferencia: números complejos. No estoy siendo irónico. Estas preguntas a menudo dejan a la gente estupefacta; al final del artículo les contaré una historia divertida. En la lección Números complejos para tontos consideramos un número complejo en la forma . Desde ahora la letra “z” se ha convertido variable, entonces lo denotaremos de la siguiente manera: , mientras que “x” e “y” pueden tomar diferentes válido significados. En términos generales, la función de una variable compleja depende de las variables y , que toman valores "ordinarios". De este hecho se desprende lógicamente el siguiente punto:

La función de una variable compleja se puede escribir como:
, donde y son dos funciones de dos válido variables.

La función se llama parte real funciones
La función se llama parte imaginaria funciones

Es decir, la función de una variable compleja depende de dos funciones reales y . Para aclararlo todo finalmente, veamos ejemplos prácticos:

Ejemplo 1

Solución: La variable independiente “zet”, como recordarás, se escribe en la forma , por lo tanto:

(1) Sustituimos.

(2) Para el primer término se utilizó la fórmula de multiplicación abreviada. En el término se han abierto los paréntesis.

(3) Cuadrado cuidadosamente, sin olvidar que

(4) Reordenamiento de términos: primero reescribimos los términos , en el que no existe ninguna unidad imaginaria(primer grupo), luego los términos donde los hay (segundo grupo). Cabe señalar que no es necesario barajar los términos y que este paso se puede omitir (realizándolo oralmente).

(5) Para el segundo grupo lo quitamos de paréntesis.

Como resultado, nuestra función resultó estar representada en la forma

Respuesta:
– parte real de la función.
– parte imaginaria de la función.

¿Qué tipo de funciones resultaron ser estas? Las funciones más comunes de dos variables de las que puedes encontrar tan populares. Derivadas parciales. Sin piedad, lo encontraremos. Pero un poco más tarde.

Brevemente, el algoritmo para el problema resuelto se puede escribir de la siguiente manera: sustituimos , en la función original, realizamos simplificaciones y dividimos todos los términos en dos grupos: sin una unidad imaginaria (parte real) y con una unidad imaginaria (parte imaginaria). .

Ejemplo 2

Encuentra la parte real e imaginaria de la función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Antes de lanzarte a la batalla en el complejo plano con tus fichas dibujadas, déjame darte el consejo más importante sobre el tema:

¡TEN CUIDADO! Por supuesto, debes tener cuidado en todas partes, ¡pero en números complejos debes tener más cuidado que nunca! Recuerda que, abre con cuidado los soportes, no pierdas nada. Según mis observaciones, el error más común es la pérdida de una señal. ¡No te apures!

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ahora el cubo. Usando la fórmula de multiplicación abreviada, derivamos:
.

Las fórmulas son muy cómodas de utilizar en la práctica, ya que aceleran significativamente el proceso de solución.

Diferenciación de funciones de una variable compleja.

Tengo dos noticias: buenas y malas. Empezaré por el bueno. Para una función de variable compleja, son válidas las reglas de derivación y la tabla de derivadas de funciones elementales. Por tanto, la derivada se toma exactamente de la misma forma que en el caso de una función de una variable real.

La mala noticia es que para muchas funciones variables complejas no existe ninguna derivada y hay que averiguar ¿Es diferenciable? una función u otra. Y "descubrir" cómo se siente su corazón se asocia con problemas adicionales.

Consideremos la función de una variable compleja. Para que esta función sea diferenciable es necesario y suficiente:

1) De modo que existen derivadas parciales de primer orden. Olvídese de estas notaciones de inmediato, ya que en la teoría de funciones de una variable compleja se usa tradicionalmente una notación diferente: .

2) Realizar las denominadas Condiciones de Cauchy-Riemann:

¡Solo en este caso existirá la derivada!

Ejemplo 3

Solución se divide en tres etapas sucesivas:

1) Encontremos las partes real e imaginaria de la función. Esta tarea se analizó en ejemplos anteriores, así que la escribiré sin comentarios:

Desde entonces:

De este modo:

– parte imaginaria de la función.

Permítanme tocar un punto técnico más: en qué orden escribir los términos en las partes real e imaginaria? Sí, en principio no importa. Por ejemplo, la parte real se puede escribir así: , y el imaginario – así: .

2) Comprobemos el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Hay dos de ellos.

Comencemos comprobando el estado. Encontramos Derivadas parciales:

Por tanto, se cumple la condición.

Por supuesto, la buena noticia es que las derivadas parciales casi siempre son muy simples.

Comprobamos el cumplimiento de la segunda condición:

El resultado es el mismo, pero con signos opuestos, es decir, también se cumple la condición.

Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, por lo tanto la función es diferenciable.

3) Encontremos la derivada de la función. La derivada también es muy sencilla y se obtiene según las reglas habituales:

La unidad imaginaria se considera una constante durante la diferenciación.

Respuesta: – parte real, - parte imaginaria.
Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Hay dos formas más de encontrar la derivada; por supuesto, se usan con menos frecuencia, pero la información será útil para comprender la segunda lección: ¿Cómo encontrar una función de una variable compleja?

La derivada se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

De este modo

Tenemos que resolver el problema inverso: en la expresión resultante debemos aislar . Para ello es necesario en los términos y fuera de paréntesis:

La acción inversa, como muchos han notado, es algo más difícil de realizar, para comprobar siempre es mejor tomar la expresión en un borrador o abrir oralmente los corchetes, asegurándose de que el resultado sea exactamente

Fórmula especular para encontrar la derivada:

En este caso: , Es por eso:

Ejemplo 4

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, encuentre la derivada de la función.

Una breve solución y una muestra aproximada del diseño final al final de la lección.

¿Se cumplen siempre las condiciones de Cauchy-Riemann? En teoría, no se cumplen con más frecuencia de la que se cumplen. Pero en ejemplos prácticos, no recuerdo un caso en el que no se cumplieron =) Por lo tanto, si sus derivadas parciales "no convergen", entonces con una probabilidad muy alta puede decir que cometió un error en alguna parte.

Compliquemos nuestras funciones:

Ejemplo 5

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Calcular

Solución: El algoritmo de solución se conserva por completo, pero al final se añadirá un nuevo punto: encontrar la derivada en un punto. Para el cubo, ya se ha obtenido la fórmula requerida:

Definamos las partes real e imaginaria de esta función:

¡Atención y atención de nuevo!

Desde entonces:

De este modo:
– parte real de la función;
– parte imaginaria de la función.

Comprobando la segunda condición:

El resultado es el mismo, pero con signos opuestos, es decir, también se cumple la condición.

Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, por lo tanto la función es diferenciable:

Calculemos el valor de la derivada en el punto requerido:

Respuesta:, , se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann,

Las funciones con cubos son comunes, así que aquí tienes un ejemplo para reforzar:

Ejemplo 6

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Calcular.

Solución y ejemplo de finalización al final de la lección.

En la teoría del análisis complejo también se definen otras funciones de un argumento complejo: exponente, seno, coseno, etc. Estas funciones tienen propiedades inusuales e incluso extrañas, ¡y esto es realmente interesante! Tengo muchas ganas de decírselo, pero resulta que aquí no es un libro de referencia o de texto, sino un libro de soluciones, por lo que consideraré el mismo problema con algunas funciones comunes.

Primero sobre el llamado. las fórmulas de euler:

Para cualquiera válido números, las siguientes fórmulas son válidas:

También puedes copiarlo en tu cuaderno como material de referencia.

Estrictamente hablando, solo hay una fórmula, pero generalmente por conveniencia también escriben un caso especial con un signo menos en el exponente. El parámetro no tiene que ser una sola letra, puede ser una expresión o función compleja, solo es importante que acepten solo válido significados. De hecho, veremos esto ahora mismo:

Ejemplo 7

Encuentra la derivada.

Solución: La línea general del partido sigue siendo inquebrantable: es necesario distinguir las partes real e imaginaria de la función. Daré una solución detallada y comentaré cada paso a continuación:

Desde entonces:

(1) Sustituya "z" en su lugar.

(2) Después de la sustitución, debe seleccionar las partes real e imaginaria. primero en el indicador expositores. Para hacer esto, abra los corchetes.

(3) Agrupamos la parte imaginaria del indicador, colocando la unidad imaginaria fuera de paréntesis.

(4) Usamos la acción escolar con títulos.

(5) Para el multiplicador utilizamos la fórmula de Euler, y .

(6) Abra los corchetes, lo que resulta en:

– parte real de la función;
– parte imaginaria de la función.

Otras acciones son estándar, comprobemos el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann:

Ejemplo 9

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Que así sea, no encontraremos la derivada.

Solución: El algoritmo de solución es muy similar a los dos ejemplos anteriores, pero hay puntos muy importantes, por lo que volveré a comentar la etapa inicial paso a paso:

Desde entonces:

1) Sustituya "z" en su lugar.

(2) Primero, seleccionamos las partes real e imaginaria. dentro del seno. Para estos efectos, abrimos los corchetes.

(3) Usamos la fórmula, y .

(4) Uso paridad del coseno hiperbólico: Y rareza del seno hiperbólico: . Las hiperbólicas, aunque fuera de este mundo, recuerdan en muchos aspectos a funciones trigonométricas similares.

Eventualmente:
– parte real de la función;
– parte imaginaria de la función.

¡Atención! El signo menos hace referencia a la parte imaginaria, ¡y bajo ningún concepto debemos perderla! Para una ilustración clara, el resultado obtenido anteriormente se puede reescribir de la siguiente manera:

Comprobemos el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann:

Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Respuesta:, , se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Damas y caballeros, averigüémoslo por nuestra cuenta:

Ejemplo 10

Determina las partes real e imaginaria de la función. Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Elegí deliberadamente ejemplos más difíciles, porque todo el mundo parece poder afrontar algo, como un maní sin cáscara. ¡Al mismo tiempo, entrenarás tu atención! Galleta de nueces al final de la lección.

Bueno, para concluir, veremos otro ejemplo interesante cuando un argumento complejo está en el denominador. Ha sucedido un par de veces en la práctica, veamos algo simple. Eh, me estoy haciendo viejo...

Ejemplo 11

Determina las partes real e imaginaria de la función. Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Solución: Nuevamente es necesario distinguir las partes real e imaginaria de la función.
Si entonces

Surge la pregunta, ¿qué hacer cuando “Z” está en el denominador?

Todo es simple: el estándar ayudará método de multiplicar el numerador y el denominador por la expresión conjugada, ya se ha utilizado en los ejemplos de la lección. Números complejos para tontos. Recordemos la fórmula escolar. Ya tenemos en el denominador, lo que significa que la expresión conjugada será. Por lo tanto, debes multiplicar el numerador y el denominador por:

Deja que la función W. = F(z) se da en algún conjunto y z 0 , perteneciendo a mi, el punto límite de este conjunto. agreguemos z 0 = X 0 + i· y 0 incremento Δ z = Δ X+ i· Δ y apuntar z = z 0 + Δ z perteneció a muchos mi. Entonces la función W. = tu+ i· v = F(z) = tu(X, y)+ i· v(X, y). Obtenemos el incremento Δ W. = Δ tu+ i· Δ v = F(z 0 + Δ z) - F(z 0 ) = Δ F(z 0 ) ,
.

Si hay un límite finito
, entonces se llama derivada de una funciónF(z) en el puntoz 0 por muchomi, y se denota
,
,
, W." .

Formalmente, la función derivada de una variable compleja se define exactamente de la misma manera que la función derivada de una variable real, pero su contenido es diferente.

En la definición de la derivada de una función. F(X) variable real en un punto X 0 , X→ x 0 a lo largo de una línea recta. En el caso de una función de una variable compleja F(z), z puede esforzarse por z 0 a lo largo de cualquier trayectoria plana que conduzca a un punto z 0 .

Por tanto, el requisito de la existencia de una derivada de una función de una variable compleja es muy estricto. Esto explica que incluso las funciones simples de una variable compleja no tienen derivada.

Ejemplo.

Considere la función W. = = X- i· y. Demostremos que esta función no tiene derivada en ningún punto. Tomemos cualquier punto z 0 = X 0 + i· y 0 , vamos a darle un incremento Δ z = Δ X+ i· Δ y, entonces la función recibirá un incremento. Medio

,
,

Primero consideraremos Δ z = Δ X + i· Δ y tal que Δ X → 0 , y Δ y = 0 , es decir, punto z 0 + Δ z → z 0 a lo largo de una línea recta horizontal. En este caso conseguimos que

Ahora consideraremos el incremento ∆ z tal que ∆ X = 0 , y ∆ y → 0 , es decir. Cuando z 0 + ∆ z→ z 0 a lo largo de una línea recta vertical, y será obvio
.

Los límites resultantes son diferentes, por lo que la relación no tiene límite en ∆ z → 0 , es decir, la función
no tiene derivada en ningún punto z 0 .

Averigüemos el significado de la derivada con respecto a un conjunto. Dejar mi es el eje real, y W. = F(z) = X, entonces esta es una función real ordinaria de una variable real F(X) = X y su derivada será igual 1 (
).

Déjalo ahora mi- este es el avión completo (Z). Demostremos que la función F(z) = X en este caso no tiene derivada en ningún punto. En efecto, en este caso
.De esto se desprende claramente que si
A
, Eso
. Si
, A
, Eso
.De ahí la actitud no tiene límite en
, entonces la función F(z) = X no tiene derivada en ningún punto
.

Tenga en cuenta que si consideramos una función de valor complejo de una variable real, de la definición de la derivada se sigue inmediatamente que
, por lo tanto (esta es la derivada a lo largo del eje real).

Fórmula para funciones incrementales.

Deja que la función W. = F(z) tiene en el punto z 0 derivado
. Demostremos que se cumple la representación (1), donde la cantidad
, Cuando
.

De hecho, por definición de derivada tenemos
, por lo tanto, el valor
, Cuando
. Por lo tanto, se realiza la representación (1) (multiplica ambos lados por
y muévelo
hacia el lado izquierdo).

Conferencia No. 8 Diferenciabilidad y diferencial de una función de una variable compleja

Función W. = F(z) llamado diferenciable en el puntoz 0 , si en este punto tiene lugar la representación (2), donde A es un número complejo fijo y la cantidad
tiende a cero cuando
.

Si la función W. = F(z) diferenciable en el punto z 0 , entonces el lineal principal relativo a
Parte de ello A·
incremento
en el punto z 0 llamado función diferencial F(z) en el punto y es designado
.

El teorema se cumple.

Teorema.

Para que la funciónW. = F(z) era diferenciable en el puntoz 0 , es necesario y suficiente que tenga una derivada finita en este punto
, y siempre resulta que en la representación (2)
.

Prueba.

Necesidad. Sea la función derivable en el punto z 0 . Demostremos que tiene una derivada finita en este punto, y que esta derivada es igual al número A. Debido a la diferenciación F(z) en el punto z 0 tiene lugar la representación (2), lo que significa
(3). Pasando al límite aquí en
entendemos eso
, Medio
.

Adecuación. Deja que la función F(z) tiene en el punto z 0 derivada final
. Demostremos que se cumple la representación (2). Debido a la existencia del derivado
tiene lugar la representación (1), pero ésta también es la representación (2), en la que A =
. Se ha establecido la suficiencia.

Como sabemos, el diferencial, tomando como diferencial de la variable independiente z su incremento
, es decir, suponiendo
, podemos escribir
y por lo tanto
(Esta es una relación de diferenciales, no un solo símbolo).

Consideremos una cantidad compleja $w$, que viene dada por la expresión $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, donde $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ son funciones reales de una variable real, $z=x+yi$.

Esta cantidad es una función compleja de una variable real.

Definición 1

Una función $w(z)$ se llama analítica en algún punto z si esta función es diferenciable en alguna vecindad de este punto z.

Definición 2

Una función se llama analítica en algún dominio D si es analítica en todos los puntos de este dominio.

Sean diferenciables las funciones $u(x),\, \, \, v(x)$.

Definición 3

La expresión $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ se llama derivada de una función compleja de una variable real con respecto al argumento real $x$.

La derivada con respecto al argumento real $y$ se define de manera similar.

Para calcular la derivada utilizamos la siguiente fórmula:

\ \

1) Para la función $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ obtenemos:

\ \

2) Para la función $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ obtenemos:

\ \

Para que alguna función $w(z)$ sea diferenciable en algún punto $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$, es necesario y suficiente que $u(x,y) $ y $v(x,y)$ eran diferenciables en el punto $(x_(0) ;y_(0))$ y se cumplían las siguientes condiciones:

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) ) \\ ( \frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) ) \end(array).\]

Estas condiciones se denominan condiciones de Cauchy-Riemann.

Nota 1

Las condiciones de Cauchy-Riemann son relaciones que conectan las partes real e imaginaria de la función diferenciable $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, donde $u(x,y) ,\, \, \, v(x,y)$ son funciones reales de una variable real, $z=x+yi$.

Seleccionemos las partes real e imaginaria de la función. Pongamos $z=x+yi$ y obtengamos:

Por lo tanto, $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - las partes real e imaginaria requeridas de la función.

Usemos las condiciones de Cauchy-Riemann: $\frac(\partial u)(\partial x) =\frac(\partial v)(\partial y) ;\frac(\partial u)(\partial y) =-\ frac(\partial v)(\partial x) $.

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\partial v)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2y) \cdot \sin ( -2x)) \end(array)\] \[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\partial v)(\partial x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(array)\]

Las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen para cualquier $x,y$ real. Por lo tanto, la función es analítica para cualquier $x,y$ real.

Encontremos la derivada de la función y calculemos el valor de la derivada de la función en un punto dado $z_(0) =\frac(\pi )(6) $.

La derivada de la función tiene la forma:

Calculemos el valor de la derivada de la función en un punto dado.

En la práctica, puede encontrar los siguientes problemas.

Problema 1

Dada la parte real $u(x,y)$ de alguna función de una variable compleja $w(z)$, es necesario encontrar la parte imaginaria $v(x,y)$ de esta función. Reconstruya la función $w(z)$ a partir de las partes reales e imaginarias conocidas.

Problema 2

Dada la parte imaginaria $v(x,y)$ de alguna función de una variable compleja $w(z)$, es necesario encontrar la parte imaginaria $u(x,y)$ de esta función. Reconstruya la función $w(z)$ a partir de las partes reales e imaginarias conocidas.

El algoritmo para resolver el problema 2 será el siguiente:

encontrar la pieza real utilizando las condiciones de Cauchy-Riemann;
componer la función $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
realice transformaciones y seleccione la variable $z=x+yi$ o $\overline(z)=x-yi$.

Nota 1

Al resolver problemas prácticos, las siguientes relaciones pueden resultar útiles:

\ \ \

Nota 2

La operación de división por la unidad imaginaria $i$ es equivalente a la operación de multiplicación por $-i$.

Ejemplo 3

De la parte real $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ de alguna función de una variable compleja, restaurar su parte imaginaria $v(x,y)$ y restaurar esto función, mientras que la función satisface la condición inicial $w(0)=0$.

Encontremos la parte imaginaria $v(x,y)$ de la función deseada $w(z)$. Usemos la primera condición de Cauchy-Riemann:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y).\]

Sustituyamos los valores originales y obtenemos:

\[\frac(\partial v(x,y))(\partial y) =\frac(\partial (-x^(2) +y^(2) -5y))(\partial x) =-2x \] \ \

Encontremos la función desconocida $\phi (x)$.

Usemos la segunda condición de Cauchy-Riemann:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x).\] \ \[\phi "(x) =5\Flecha derecha \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

Por eso,

Se restaura la parte imaginaria de la función deseada $w(z)$, luego podemos escribir la función en sí:

Transformemos la expresión resultante:

\ \[=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \

Usando la condición inicial $w(0)=0$, encontramos el valor de la constante $C$.

Por tanto, la función requerida tiene la forma:

La parte imaginaria de la función tomará la forma.

Teorema

Para que la función w = F(z) , definido en alguna área D plano complejo, era diferenciable en el punto z 0 = X 0 + iy 0 en función de una variable compleja z, es necesario y suficiente que sus partes real e imaginaria tu Y v eran diferenciables en el punto ( X 0 ,y 0) como funciones de variables reales X Y y y que, además, en este punto se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann:

; ;

Si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, entonces la derivada F"(z) puede representarse en cualquiera de las siguientes formas:

Prueba

Consecuencias

Historia

Estas condiciones aparecieron por primera vez en la obra de d'Alembert (1752), y en la obra de Euler, comunicada a la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1777, las condiciones recibieron por primera vez el carácter de un signo general de analiticidad de las funciones. utilizó estas relaciones para construir la teoría de funciones, comenzando con las memorias presentadas a la Academia de Ciencias de París en 1814. La famosa disertación de Riemann sobre los fundamentos de la teoría de funciones se remonta a 1851.

Literatura

Shabat B.V. Introducción al análisis complejo. - M.: Ciencia, . - 577 p.
Titchmarsh E. Teoría de funciones: Transl. De inglés - 2ª ed., revisada. - M.: Ciencia, . - 464 segundos.
Privalov I. I. Introducción a la teoría de funciones de una variable compleja: un manual para la educación superior. - M.-L.: Editorial Estatal, . - 316 segundos.
Evgrafov M. A. Funciones analíticas. - 2ª ed., revisada. y adicional - M.: Ciencia, . - 472 segundos.

Fundación Wikimedia. 2010.

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