3.4 Õige järjekord
Eelmises osas võrdlesime numbreid nende asukoha järgi arvureal. See hea viis võrrelda arvude väärtusi kümnendsüsteemis. See meetod töötab alati, kuid seda on töömahukas ja ebamugav teha iga kord, kui on vaja kahte numbrit võrrelda. On veel üks hea viis välja selgitada, milline kahest arvust on suurem.
Näide A
Mõelge eelmise jaotise numbritele ja võrrelge 0,05 ja 0,2.
Et teada saada, milline arv on suurem, võrdleme esmalt nende täisarvulisi osi. Mõlemal meie näite arvul on võrdne arv täisarve – 0. Seejärel võrrelge nende kümnendikke. Arvul 0,05 on 0 kümnendikku ja arvul 0,2 on 2 kümnendikku. See, et arvus 0,05 on 5 sajandikku, ei oma tähtsust, sest kümnendikud määravad, et arv 0,2 on suurem. Nii võime kirjutada:
Mõlemal arvul on 0 täisarvu ja 6 kümnendikku ning me ei saa veel kindlaks teha, kumb neist on suurem. Kuid arvul 0,612 on vaid 1 sajandik ja arvul 0,62 on kaks. Siis saame selle kindlaks teha
0,62 > 0,612
See, et numbris 0,612 on 2 tuhandikku, ei oma tähtsust, see on ikkagi alla 0,62.
Seda saame illustreerida pildiga:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Selleks, et määrata, kumb kahest kümnendarvust on suurem, peate tegema järgmist.
1. Võrrelge terveid osi. Arv, mille täisarvu osa on suurem ja on suurem.
2 . Kui täisarvud on võrdsed, võrrelge kümnendikke. See arv, millel on rohkem kümnendikke, on suurem.
3 . Kui kümnendikud on võrdsed, võrrelge sajandikuid. See arv, millel on rohkem sajandikku, on suurem.
4 . Kui sajandikud on võrdsed, võrrelge tuhandeid. See arv, millel on rohkem tuhandeid, on suurem.
Kümnendmurd erineb tavalisest murdarvust selle poolest, et selle nimetaja on bitiühik.
Näiteks:
Kümnendmurrud on eraldatud tavalistest murrudest eraldi vormile, mis on viinud oma reegliteni nende murdude võrdlemiseks, liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks. Põhimõtteliselt saab kümnendmurdudega töötada tavaliste murdude reeglite järgi. Oma reeglid kümnendmurdude teisendamiseks lihtsustavad arvutusi ning reeglid tavaliste murdude kümnendmurdudeks teisendamiseks ja vastupidi on lüliks seda tüüpi murdude vahel.
Kümnendmurdude kirjutamine ja lugemine võimaldab neid kirjutada, võrrelda ja nendega opereerida vastavalt reeglitele, mis on väga sarnased naturaalarvudega tehtavate reeglitega.
Esimest korda kirjeldati kümnendmurdude süsteemi ja tehteid nendega 15. sajandil. Samarkandi matemaatik ja astronoom Jamshid ibn-Masudal-Kashi raamatus "Arvepidamise kunsti võti".
Kümnendmurru täisarvuline osa eraldatakse murdosast komaga, mõnes riigis (USA) pannakse punkt. Kui kümnendmurrus pole täisarvu, asetage arv 0 koma ette.
Parempoolse kümnendmurru murdosale võib lisada suvalise arvu nulle, see ei muuda murru väärtust. Kümnendmurru murdosa loetakse viimase olulise numbri järgi.
Näiteks:
0,3 - kolm kümnendikku
0,75 - seitsekümmend viis sajandikku
0,000005 - viis miljonit.
Kümnendarvu täisarvu lugemine on sama, mis naturaalarvude lugemine.
Näiteks:
27,5 - kakskümmend seitse ...;
1.57 - üks...
Pärast kümnendmurru täisarvu hääldatakse sõna "terve".
Näiteks:
10,7 - kümme koma seitse
0,67 - null punkt kuuskümmend seitse sajandikku.
Kümnendkohad on murdarvud. Murdosa ei loeta numbrite järgi (erinevalt naturaalarvudest), vaid tervikuna, seetõttu määratakse kümnendmurru murdosa paremal asuva viimase tähendusega numbri järgi. Kümnendmurru murdosa bitisüsteem erineb mõnevõrra naturaalarvude omast.
- 1. number pärast kinni – kümnendik number
- 2. koht pärast koma – sajandik
- 3. koht pärast koma – tuhandekoht
- 4. koht pärast koma - kümnetuhandik koht
- 5. koht pärast koma – sajatuhandik koht
- 6. koht pärast koma – miljones koht
- 7. koht pärast koma – kümnemiljonik koht
- 8. koht pärast koma on sajamiljonis koht
Arvutustes kasutatakse kõige sagedamini kolme esimest numbrit. Kümnendmurdude murdosa suurt bitisügavust kasutatakse ainult teatud teadmiste harudes, kus arvutatakse lõpmata väikseid väärtusi.
Kümnendmurru teisendamine segamurruks koosneb järgmisest: kirjutada arv enne koma segamurru täisarvuna; arv pärast koma on selle murdosa lugeja ja murdosa nimetajasse kirjutage üks, kus on nii palju nulle, kui palju on pärast koma nulle.
Kümnendmurd peab sisaldama koma. Seda murdosa arvulist osa, mis asub koma vasakul pool, nimetatakse tervikuks; paremale - murdosa:
5,28 5 - täisarvuline osa 28 - murdosa
Kümnendarvu murdosa koosneb kümnendkohad(kümnendkohad):
- kümnendikud - 0,1 (üks kümnendik);
- sajandik - 0,01 (üks sajandik);
- tuhandikud - 0,001 (üks tuhandik);
- kümnetuhandik - 0,0001 (üks kümnetuhandik);
- sajatuhandik - 0,00001 (sadatuhandik);
- miljondik - 0,000001 (üks miljondik);
- kümme miljonit osa - 0,0000001 (üks kümnemiljonik);
- sajamiljondik - 0,00000001 (sadamiljondik);
- miljardik - 0,000000001 (üks miljardik) jne.
- loe number, mis on murdosa täisarv, ja lisa sõna " terve";
- loe number, mis moodustab murdosa murdosa, ja lisa väikseima tähendusega numbri nimi.
Näiteks:
- 0,25 - null koma kakskümmend viis sajandikku;
- 9,1 - üheksa koma üks kümnendik;
- 18.013 - kaheksateist koma kolmteist tuhandikku;
- 100.2834 on sada kaks tuhat kaheksasada kolmkümmend neli kümme tuhandikku.
Kümnendkohtade kirjutamine
Kümnendmurru kirjutamiseks peate:
- kirjuta üles murru täisarvuline osa ja pane koma (arv, mis tähendab murru täisarvu, lõpeb alati sõnaga " terve");
- kirjutage murdosa murdosa nii, et viimane number langeks soovitud numbrisse (kui teatud kümnendkohtades pole olulisi numbreid, asendatakse need nullidega).
Näiteks:
- kakskümmend koma üheksa – 20,9 – selles näites on kõik lihtne;
- viis koma üks sajandik - 5,01 - sõna "sajandik" tähendab, et pärast koma peaks olema kaks numbrit, kuid kuna arvus 1 pole kümnendat kohta, asendatakse see nulliga;
- null koma kaheksasada kaheksa tuhandikku - 0,808;
- kolm koma viisteist - sellist kümnendmurdu pole võimalik kirjutada, kuna murdosa häälduses tehti viga - arv 15 sisaldab kahte numbrit ja sõna "kümnendikud" tähendab ainult ühte. Õige on kolm punkti viisteist sajandikku (või tuhandik, kümme tuhandikku jne).
Kümnendarvude võrdlus
Kümnendmurdude võrdlemine toimub sarnaselt naturaalarvude võrdlus.
- kõigepealt võrreldakse murdude täisarvulisi osi - suurema täisarvuga kümnendmurd on suurem;
- kui murdude täisarvulised osad on võrdsed, võrreldakse murdosasid bittide kaupa, vasakult paremale, alustades komast: kümnendikud, sajandikud, tuhandikud jne. Võrdlus viiakse läbi kuni esimese lahknevuseni - suurem on see kümnendmurd, millel on suurem ebavõrdne number murdosa vastavas numbris. Näiteks: 1.2 8 3 > 1,27 9, sest sajandikkudes on esimeses murrus 8 ja teises 7.
Selles artiklis käsitleme seda teemat kümnendarvu võrdlus". Arutame kõigepealt üldpõhimõte kümnendkohtade võrdlemine. Pärast seda selgitame välja, millised kümnendmurrud on võrdsed ja millised ebavõrdsed. Järgmisena õpime, kuidas määrata, milline kümnendmurd on suurem ja milline väiksem. Selleks uurime lõplike, lõpmatute perioodiliste ja lõpmatute mitteperioodiliste murdude võrdlemise reegleid. Varustame kogu teooria näidetega koos üksikasjalike lahendustega. Kokkuvõtteks peatume kümnendmurdude võrdlemisel naturaalarvude, harilike murdude ja segaarvudega.
Ütleme kohe, et siin räägime ainult positiivsete kümnendmurdude võrdlemisest (vt positiivseid ja negatiivseid numbreid). Ülejäänud juhtumeid analüüsitakse ratsionaalsete arvude võrdlemise artiklites ja reaalarvude võrdlus.
Leheküljel navigeerimine.
Kümnendmurdude võrdlemise üldpõhimõte
Sellest võrdlusprintsiibist lähtuvalt tuletatakse kümnendmurdude võrdlemise reeglid, mis võimaldavad ilma võrreldavaid kümnendmurde tavalisteks murdudeks teisendamata. Neid reegleid ja nende kohaldamise näiteid analüüsime järgmistes lõikudes.
Sarnasel põhimõttel võrreldakse lõplikke kümnendmurde või lõpmatuid perioodilisi kümnendmurde naturaalarvude, harilike murdude ja segaarvudega: võrreldavad arvud asendatakse neile vastavate harilike murrudega, misjärel võrreldakse harilikke murde.
Mis puudutab lõpmatu arvu mittekorduvate kümnendkohtade võrdlus, siis tavaliselt taandub see lõplike kümnendmurdude võrdlemisele. Selleks kaaluge sellist arvu võrreldavate lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude märke, mis võimaldab teil saada võrdluse tulemuse.
Võrdsed ja ebavõrdsed kümnendkohad
Kõigepealt tutvustame võrdsete ja ebavõrdsete lõplike kümnendkohtade määratlused.
Definitsioon.
Kutsutakse kahte kümnendkoha lõppu võrdne kui nende vastavad harilikud murrud on võrdsed, muidu kutsutakse neid kümnendmurde ebavõrdne.
Selle definitsiooni põhjal on lihtne põhjendada järgmist väidet: kui antud kümnendmurru lõpus omistame või jätame kõrvale mitu numbrit 0, siis saame sellega võrdse kümnendmurru. Näiteks 0,3=0,30=0,300=… ja 140 000=140,00=140,0=140 .
Tõepoolest, parempoolse kümnendmurru lõppu nulli lisamine või kõrvalejätmine vastab vastava hariliku murru lugeja ja nimetaja korrutamisele või jagamisele 10-ga. Ja me teame murdosa põhiomadust, mis ütleb, et murdosa lugeja ja nimetaja korrutamine või jagamine sama naturaalarvuga annab murdosa, mis on võrdne algse arvuga. See tõestab, et kümnendmurru murdosas paremale nullide lisamine või kõrvalejätmine annab algse murdosaga võrdse murdosa.
Näiteks kümnendmurru 0,5 vastab harilikule murrule 5/10, pärast nulli paremale lisamist saadakse kümnendmurd 0,50, mis vastab harilikule murrule 50/100 ja. Seega 0,5 = 0,50. Ja vastupidi, kui kümnendmurrus 0,50 jätame paremalt ära 0, siis saame murdarvuks 0,5, nii et tavalisest murrust 50/100 jõuame murdarvuni 5/10, kuid 
. Seega 0,50 = 0,5 .
Liigume edasi võrdsete ja ebavõrdsete lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude määratlus.
Definitsioon.
Kaks lõpmatut perioodilist murdu võrdne, kui neile vastavad harilikud murrud on võrdsed; kui neile vastavad harilikud murrud ei ole võrdsed, siis on ka võrreldavad perioodilised murrud pole võrdne.
Alates see määratlus kolm järeldust:
- Kui perioodiliste kümnendmurdude kirjed on täpselt samad, siis on sellised lõpmatud perioodilised kümnendmurrud võrdsed. Näiteks perioodilised kümnendkohad 0,34 (2987) ja 0,34 (2987) on võrdsed.
- Kui võrreldavate kümnendmurdude perioodid algavad samast kohast, on esimese murru punkt 0, teise punkt 9 ja perioodile 0 eelneva numbri väärtus on ühe võrra suurem numbri väärtusest eelnev periood 9 , siis on sellised lõpmatud perioodilised kümnendmurrud võrdsed. Näiteks perioodilised murrud 8.3(0) ja 8.2(9) on võrdsed ning murrud 141,(0) ja 140,(9) on samuti võrdsed.
- Kaks muud perioodilist murdu ei ole võrdsed. Siin on näited ebavõrdsetest lõpmatutest perioodilistest kümnendmurdudest: 9.0(4) ja 7,(21) , 0,(12) ja 0,(121) , 10,(0) ja 9.8(9) .
Jääb tegeleda võrdsed ja ebavõrdsed lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Teatavasti ei saa selliseid kümnendmurde teisendada tavalisteks murdudeks (sellised kümnendmurrud esindavad irratsionaalarvusid), mistõttu ei saa lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdlust taandada tavaliste murdude võrdluseks.
Definitsioon.
Kaks lõpmatut mittekorduvat kümnendkohta võrdne kui nende kirjed kattuvad täpselt.
Kuid on üks nüanss: lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude "valmis" kirjet on võimatu näha, seetõttu on võimatu olla kindel nende kirjete täielikus kokkulangevuses. Kuidas olla?
Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdlemisel võetakse arvesse vaid lõplikku arvu võrreldavate murdude märke, mis võimaldab teha vajalikke järeldusi. Seega taandatakse lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdlus lõplike kümnendmurdude võrdluseks.
Selle lähenemise korral saame rääkida lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdsusest ainult kuni vaadeldava numbrini. Toome näiteid. Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 5,45839 ... ja 5,45839 ... on võrdsed sajatuhandikestega, kuna viimased kümnendmurrud 5,45839 ja 5,45839 on võrdsed; ühekordsed kümnendmurrud 19,54 ... ja 19,54810375 ... on võrdsed lähima sajandikuga, kuna murrud 19,54 ja 19,54 on võrdsed.
Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude ebavõrdsus selle lähenemisviisiga on üsna kindlalt kindlaks tehtud. Näiteks lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 5,6789… ja 5,67732… ei ole võrdsed, kuna nende kirjete erinevused on ilmsed (lõplikud kümnendmurrud 5,6789 ja 5,6773 ei ole võrdsed). Lõpmatud kümnendkohad 6,49354... ja 7,53789... ei ole samuti võrdsed.
Kümnendmurdude võrdlemise reeglid, näited, lahendid
Pärast tõsiasja tuvastamist, et kaks kümnendmurdu ei ole võrdsed, tuleb sageli välja selgitada, milline neist murdudest on teisest suurem ja milline väiksem. Nüüd analüüsime kümnendmurdude võrdlemise reegleid, mis võimaldavad meil esitatud küsimusele vastata.
Paljudel juhtudel piisab võrreldavate kümnendkohtade täisarvude osade võrdlemisest. Järgnev on tõsi kümnendarvu võrdlusreegel: suurem kui kümnendmurd, mille täisarvuline osa on suurem, ja väiksem kui kümnendmurd, mille täisarvuline osa on väiksem.
See reegel kehtib nii lõplike kümnendkohtade kui ka lõpmatu kümnendkoha kohta. Vaatleme näiteid.
Näide.
Võrrelge kümnendkohti 9,43 ja 7,983023….
Lahendus.
Ilmselgelt pole need kümnendmurrud võrdsed. Lõpmatu kümnendmurru 9,43 täisarv on võrdne 9-ga ja lõpmatu mitteperioodilise murru 7,983023 ... täisarv on 7. Kuna 9>7 (vt naturaalarvude võrdlust), siis 9,43>7,983023.
Vastus:
9,43>7,983023 .
Näide.
Milline kümnendkohtadest 49,43(14) ja 1045,45029... on väiksem?
Lahendus.
Perioodilise murru 49.43(14) täisarv on väiksem kui lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru täisarv 1 045.45029…, seega 49.43(14)<1 045,45029… .
Vastus:
49,43(14) .
Kui võrreldavate kümnendmurdude täisarvud on võrdsed, siis selleks, et teada saada, milline neist on suurem ja milline väiksem, tuleb murdosasid võrrelda. Kümnendmurdude murdosade võrdlemine toimub bittide kaupa- kümnendike kategooriast noorematele.
Esiteks vaatame näidet kahe viimase kümnendmurru võrdlemisest.
Näide.
Võrrelge kümnendkohti 0,87 ja 0,8521 .
Lahendus.
Nende kümnendmurdude täisarvud on võrdsed (0=0 ), seega jätkame murdosade võrdlemist. Kümnendikoha väärtused on võrdsed (8=8) ja murdosa 0,87 sajandikukoha väärtus on suurem kui murdosa 0,8521 sajandikukoha väärtus (7>5). Seetõttu 0,87>0,8521 .
Vastus:
0,87>0,8521 .
Mõnikord, et võrrelda lõpu kümnendkohti erineva arvu kümnendkohtadega, tuleb vähemate kümnendkohtadega murdosast paremale lisada nullid. Üsna mugav on komakohtade arvu võrdsustada enne lõplike kümnendmurdude võrdlemise alustamist, lisades neist ühest paremale teatud arvu nulle.
Näide.
Võrrelge kümnendkohti 18,00405 ja 18,0040532.
Lahendus.
Ilmselgelt on need murrud ebavõrdsed, kuna nende kirjed on erinevad, kuid samas on neil võrdsed täisarvulised osad (18=18).
Enne nende murdude murdosade bititi võrdlemist võrdsustame kümnendkohtade arvu. Selleks määrame murdosa 18.00405 lõppu kaks numbrit 0, kusjuures kümnendmurru saame sellega võrdseks 18.0040500.
18.0040500 ja 18.0040532 kümnendkohad on võrdsed kuni sajatuhandikega ning miljonikoha väärtus 18.0040500 on väiksem kui vastava murdkoha väärtus 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Vastus:
18,00405<18,0040532 .
Lõpliku kümnendmurru võrdlemisel lõpmatuga asendatakse lõppmurd sellega võrdse perioodilise lõpmatu murruga, mille periood on 0, misjärel tehakse võrdlus numbrite järgi.
Näide.
Võrrelge kümnendkoha lõppu 5.27 lõpmatu korduva kümnendkohaga 5.270013….
Lahendus.
Nende kümnendkohtade täisarvud on võrdsed. Nende murdude kümnendiku ja sajandiku numbrite väärtused on võrdsed ning edasiseks võrdlemiseks asendame viimase kümnendmurru lõpmatu perioodilise murruga, mis on võrdne sellega vormi perioodiga 0 5.270000 .... Enne viiendat komakohta on komakohtade 5,270000... ja 5,270013... väärtused võrdsed ning viiendal kümnendkohal on meil 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Vastus:
5,27<5,270013… .
Lõpmatute kümnendmurdude võrdlemine toimub ka bittide kaupa ja lõpeb niipea, kui mõne biti väärtused on erinevad.
Näide.
Võrrelge lõpmatuid kümnendkohti 6.23(18) ja 6.25181815….
Lahendus.
Nende murdude täisarvud on võrdsed, ka kümnenda koha väärtused on võrdsed. Ja perioodilise murru 6.23(18) sajandikkoha väärtus on väiksem kui lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru 6.25181815 sajandikkoht…, seega 6.23(18)<6,25181815… .
Vastus:
6,23(18)<6,25181815… .
Näide.
Milline lõpmatutest perioodilistest kümnendkohtadest 3,(73) ja 3,(737) on suurem?
Lahendus.
On selge, et 3,(73)=3,73737373… ja 3,(737)=3,737737737…. Neljanda kümnendkohaga bitipõhine võrdlus lõpeb, kuna seal on meil 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Vastus:
3,(737) .
Võrrelge kümnendkohti naturaalarvude, harilike murdude ja segaarvudega.
Kümnendmurru naturaalarvuga võrdlemise tulemuse saamiseks võite võrrelda selle murru täisarvu antud naturaalarvuga. Sel juhul tuleb perioodilised murrud punktidega 0 või 9 esmalt asendada nende võrdsete viimaste kümnendmurdudega.
Järgnev on tõsi kümnendmurru ja naturaalarvu võrdlemise reegel: kui kümnendmurru täisarv on etteantud naturaalarvust väiksem, siis on kogu murd väiksem sellest naturaalarvust; kui murdosa täisarv on antud naturaalarvust suurem või sellega võrdne, siis on murd suurem antud naturaalarvust.
Mõelge selle võrdlusreegli rakendamise näidetele.
Näide.
Võrrelge naturaalarvu 7 kümnendmurruga 8,8329….
Lahendus.
Kuna antud naturaalarv on väiksem kui antud kümnendmurru täisarv, siis on see arv väiksem kui antud kümnendmurd.
Vastus:
7<8,8329… .
Näide.
Võrrelge naturaalarvu 7 ja kümnendarvu 7,1.
