प्रारंभिक छात्रों के साथ एक स्कूल में काम करते हुए, मैं छठी कक्षा के कार्यालय में गया और दीवार पर एक पोस्टर देखा "संख्याओं की विभाज्यता के संकेत"। संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 के लिए विभाज्यता के संकेत थे, लेकिन संख्या 7 के लिए ऐसा कोई संकेत नहीं था। मैंने गणित के शिक्षक से पूछा:
- सात से विभाज्यता का कोई संकेत क्यों नहीं है?
मुझे बताया गया कि यह है, लेकिन बहुत मुश्किल है। इंटरनेट पर संदर्भ बनाए। तीन सुराग मिले हैं।
फ़ीचर 1 : संख्या से विभाज्य है अगर और केवल अगर इकाइयों की संख्या में जोड़े गए दसियों की संख्या 7 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 154, 7 से विभाज्य है, क्योंकि 15*3+4=49, 7 से विभाज्य है।
एक अन्य उदाहरण संख्या 1001 है जो 7 से विभाज्य है, क्योंकि 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14 7 से विभाज्य हैं।
फ़ीचर 2 . एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि संख्याओं के बीजगणितीय योग का मापांक जो तीन अंकों (एक से शुरू होता है) के विषम समूह बनाता है, जिसे "+" चिह्न के साथ लिया जाता है, और "-" चिह्न वाले भी विभाज्य हैं 7 से। उदाहरण के लिए, 138689257 7 से विभाज्य है, क्योंकि |138-689+257|=294 7 से विभाज्य है।
फ़ीचर 3 . एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि अंतिम अंक के बिना इस संख्या के अंतिम अंक को दो बार घटाने का परिणाम 7 से विभाज्य है (उदाहरण के लिए, 259 7 से विभाज्य है, क्योंकि 25 - (2 9) = 7 विभाज्य है 7 द्वारा)।
आइए किसी संख्या की विभाज्यता की जाँच करें 86 576 (छियासी हजार पांच सौ छिहत्तर)। इस संख्या में 8 657 (आठ हजार छह सौ सत्तावन) दसियों और 6 (छह) इकाइयां। हम इस संख्या की विभाज्यता की जाँच करने के लिए आगे बढ़ते हैं 7 (सात):
8657 - 6 x 2 = 8657 - 12 = 8645
फिर से हम विभाज्यता की जाँच करते हैं 7
(सात), अब वह संख्या जो हमें पहले ही मिल चुकी है 8 645
(आठ हजार छह सौ पैंतालीस)। अब हमारे पास है 864
(आठ चौंसठ) दस और 5
(पांच) इकाइयां:
864 - 5 x 2 = 864 - 10 = 854
संख्या के लिए हमारे चरणों को दोबारा दोहराएं 854
(आठ सौ चौवन), जिसमें 85
(अस्सी-पांच) दसियों और 4
(चार) इकाइयां:
85 - 4 x 2 = 85 - 8 = 77
सिद्धांत रूप में, यह पहले से ही नग्न आंखों से देखा जा सकता है कि संख्या 77 (सत्तर-सात) से विभाज्य है 7 (सात) और परिणाम है 11 (ग्यारह)। हम पहले ही ऊपर इसी तरह के परिणाम पर विचार कर चुके हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेत वास्तव में जटिल हैं। बड़ी संख्या में ऑपरेशन के कारण उन्हें दिमाग में इस्तेमाल करना मुश्किल है। सबसे सरल तीसरा संकेत है, लेकिन दो क्रियाएं भी, पहले गुणा और फिर घटाव, और 700 से अधिक संख्या के लिए, कई चक्र पहले ही किए जाने चाहिए।
कार्य निर्धारित करें:
"कम गणित के साथ 7 से विभाजित करने के लिए एक संकेत खोजें।"
TRIZ टूल - IFR (आदर्श अंतिम परिणाम) को लागू किया।
संख्या को ही गणना के लिए एक संसाधन प्रदान करना चाहिए।
और यह संसाधन मिला। यदि आप 7 के गुणन तालिका को देखते हैं, तो इसके उत्पादों की एक विशिष्ट संपत्ति होती है - अंतिम अंक दोहराया नहीं जाता है: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70। पहली नज़र में , यह कार्य को जटिल करता है, टी। किसी भी समाप्ति के साथ जाँच की जा रही संख्या 7 से विभाज्य हो सकती है। लेकिन TRIZ नियम के अनुसार: "जो बाधा डालता है, वह मदद करता है।"हमें इस संपत्ति का अपने लाभ के लिए उपयोग करना चाहिए।
परीक्षण की जा रही संख्या में अंतिम अंक को देखते हुए, हम पहले से ही उत्तर का एक संकेत जानते हैं - यह गुणन तालिका से संख्या है जो यह टिप देती है। उदाहरण के लिए, यदि जाँच की जा रही संख्या 154 है, तो यदि यह 7 से विभाज्य है, तो उत्तर का अंतिम अंक 2 होना चाहिए (7x2=14), और यदि संख्या 259 है, तो उत्तर का अंतिम अंक होना चाहिए 7 (7x7=49).
यहाँ यह आवश्यक संसाधन है - यह 7 से गुणन सारणी है - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
हम मानते हैं कि हमारे पास यह स्मृति में है। अब हम तीसरी (सरलतम) विशेषता से क्रिया का उपयोग करते हैं - घटाव।हमें 7 से विभाज्यता का एक नया चिह्न प्राप्त होता है।
एक संख्या 7 से विभाज्य होती है जब पहले अंक को घटाया जाता है प्रसिद्ध कार्यअंतिम अंक के बिना इस संख्या का 7 से विभाज्य है।
और अब आसान शब्दों में।
- हम जाँच की जा रही संख्या को देखते हैं, उदाहरण के लिए, पहले से ज्ञात 259।
- यह 9 में समाप्त होता है। हम गुणा तालिका से संसाधन लेते हैं 49 . इसका पहला नंबर है 4.
इस संख्या को 25 से घटाएं। 25 – 4 = 21
- उत्तर 21 है। इसलिए संख्या 7 से विभाज्य है। यह इस प्रकार है: 259: 7 \u003d 37। अंतिम अंक 7 है, जैसा कि हमने उम्मीद की थी।
कुछ और उदाहरण। 756 7 से विभाज्य है?
यह 6 में समाप्त होता है। संसाधन 56 है। 75 - 5 = 70 घटाएं। संख्या 756: 7 = 108 से विभाज्य है
संख्या 392. 2 पर समाप्त होती है। संसाधन - 42। घटाएं 39 -4 = 35। 392 को विभाजित करता है: 7 = 56।
संख्या 571. 1 पर समाप्त होती है। संसाधन - 21। घटाएँ 57 - 2 = 55। विभाज्य नहीं।
संख्या 574. 4 में समाप्त होती है। संसाधन - 14. घटाएं 57 - 1 \u003d 56। 574 को विभाजित करें: 7 \u003d 82
इस चिह्न में, हमने एक गणितीय संक्रिया - गुणन को छोड़ दिया है।
जोड़ना।
700 से अधिक संख्याओं की जांच के लिए, बार-बार होने वाले चक्रों से बचने के लिए, जैसा कि साइन 3 में है, सबट्रेंड के लिए दसियों और सैकड़ों सातों के गुणकों का उपयोग करें।
उदाहरण के लिए, संख्या 973 पर विचार करें। यह 3 में समाप्त होता है। संसाधन 63 है। घटाएं 97 - 6 = 91। आप दूसरे चक्र में जा सकते हैं, या आप 6 नहीं, बल्कि 76 घटा सकते हैं। 97 - 76 = 21। विभाज्य।
योजक सात की संख्या प्रणाली के अनुसार चलते हैं: 70, 140, 210, आदि। जाँच की जा रही संख्या के आधार पर।
1. इस चिन्ह का उपयोग 1000 तक की संख्या के लिए बिना किसी कठिनाई के मानसिक रूप से किया जा सकता है। यह आपको विभाजन के लिए गुणज खोजने में मदद करेगा।
2. सहकर्मी, अपनी समस्याओं को हल करने के लिए TRIZ का उपयोग करें! इससे समय की बचत होती है। इंटरनेट पर एनालॉग्स की खोज को ध्यान में रखते हुए, विभाज्यता के इस संकेत को खोजने में मुझे 3 घंटे का समय लगा।
मुझे खुशी होगी अगर यह चिन्ह किसी के लिए उपयोगी हो।
ग्रेड 6 में गणित विभाज्यता की अवधारणा और विभाज्यता के संकेतों के अध्ययन से शुरू होता है। अक्सर ऐसी संख्याओं से विभाज्यता के संकेतों तक सीमित:
- पर 2 : अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होना चाहिए;
- पर 3 : संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए;
- पर 4 : अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए;
- पर 5 : अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए;
- पर 6 : संख्या में 2 और 3 से विभाज्यता के चिह्न होने चाहिए;
- द्वारा विभाज्यता का चिह्न 7 अक्सर छोड़ दिया;
- शायद ही कभी वे विभाज्यता के परीक्षण के बारे में भी बात करते हैं 8 , हालांकि यह 2 और 4 से विभाज्यता के संकेतों के समान है। किसी संख्या को 8 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि तीन अंकों का अंत 8 से विभाज्य हो।
- द्वारा विभाज्यता का चिह्न 9 हर कोई जानता है: किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। जो, हालांकि, अंकशास्त्रियों द्वारा उपयोग की जाने वाली तारीखों के साथ सभी प्रकार की चालों के खिलाफ प्रतिरक्षा विकसित नहीं करता है।
- द्वारा विभाज्यता का चिह्न 10 , शायद सबसे सरल: संख्या शून्य में समाप्त होनी चाहिए।
- कभी-कभी छठी कक्षा के बच्चों को भी विभाज्यता के चिन्ह के बारे में बताया जाता है 11 . आपको संख्या के अंकों को सम स्थानों में जोड़ना होगा, परिणाम से विषम स्थानों में संख्याओं को घटाना होगा। यदि परिणाम 11 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 11 से विभाज्य है।
हम एक नंबर लेते हैं। हम इसे 3 अंकों के ब्लॉक में विभाजित करते हैं (सबसे बाएं ब्लॉक में एक या 2 अंक हो सकते हैं) और वैकल्पिक रूप से इन ब्लॉकों को जोड़ / घटाते हैं।
यदि परिणाम 7, 13 (या 11) से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 7, 13 (या b 11) से विभाज्य है।
यह विधि आधारित है, साथ ही कई गणितीय चालें, इस तथ्य पर कि 7x11x13 \u003d 1001। हालांकि, तीन अंकों की संख्या के साथ क्या करना है, जिसके लिए विभाज्यता का प्रश्न, कभी-कभी, विभाजन के बिना ही हल नहीं किया जा सकता है।
सार्वभौमिक विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करके, यह निर्धारित करने के लिए अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम का निर्माण किया जा सकता है कि कोई संख्या 7 और अन्य "असुविधाजनक" संख्याओं से विभाज्य है या नहीं।
7 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण
यह जांचने के लिए कि क्या कोई संख्या 7 से विभाज्य है, आपको संख्या से अंतिम अंक को हटाने और परिणामी परिणाम से इस अंक को दो बार घटाने की आवश्यकता है। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 7 से विभाज्य है।
उदाहरण 1:
क्या 238 7 से विभाज्य है?
23-8-8 = 7. तो संख्या 238 7 से विभाज्य है।
दरअसल, 238 = 34x7
यह क्रिया कई बार की जा सकती है।
उदाहरण 2:
क्या 65835 7 से विभाज्य है?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 7 से विभाज्य है (यदि हमने इस पर ध्यान नहीं दिया, तो हम 1 और कदम उठा सकते हैं: 6-3-3 = 0, और 0 निश्चित रूप से 7 से विभाज्य है)।
अतः संख्या 65835 भी 7 से विभाज्य है।
सार्वभौमिक विभाज्यता मानदंड के आधार पर, विभाज्यता मानदंड को 4 और 8 से सुधारना संभव है।
4 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण
यदि इकाइयों की संख्या का आधा जोड़ दहाई की संख्या एक सम संख्या है, तो संख्या 4 से विभाज्य होती है।
उदाहरण 3
क्या संख्या 52 4 से विभाज्य है?
5+2/2 = 6, संख्या सम है, इसलिए संख्या 4 से विभाज्य है।
उदाहरण 4
क्या संख्या 134 4 से विभाज्य है?
3+4/2 = 5, विषम संख्या, इसलिए 134, 4 से विभाज्य नहीं है।
8 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण
यदि आप सैकड़ों की संख्या का दोगुना, दहाई की संख्या और इकाइयों की संख्या का आधा जोड़ते हैं, और परिणाम 4 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 8 से विभाज्य है।
उदाहरण 5
क्या संख्या 512 8 से विभाज्य है?
5*2+1+2/2 = 12, संख्या 4 से विभाज्य है, इसलिए 512 8 से विभाज्य है।
उदाहरण 6
क्या 1984 की संख्या 8 से विभाज्य है?
9*2+8+4/2 = 28, संख्या 4 से विभाज्य है, इसलिए 1984 8 से विभाज्य है।
12 से विभाज्यता का चिह्न 3 और 4 से विभाज्यता के चिह्नों का मिलन है। यही बात किसी भी n के लिए काम करती है जो सहअभाज्य p और q का गुणनफल है। किसी संख्या को n से विभाज्य होने के लिए (जो कि pq के गुणनफल के बराबर है, जैसे कि gcd(p,q)=1), किसी को एक ही समय में p और q दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
हालाँकि, सावधान रहें! विभाज्यता के संयुक्त चिह्नों के कार्य करने के लिए, संख्या के गुणनखंडों का ठीक-ठीक सहअभाज्य होना आवश्यक है। आप यह नहीं कह सकते कि कोई संख्या 8 से विभाज्य है यदि वह 2 और 4 से विभाज्य है।
13 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण
यह जांचने के लिए कि क्या कोई संख्या 13 से विभाज्य है, आपको संख्या से अंतिम अंक को हटाने और परिणामी परिणाम में चार बार जोड़ने की आवश्यकता है। यदि परिणाम 13 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 13 से विभाज्य है।
उदाहरण 7
क्या 65835 8 से विभाज्य है?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
संख्या 43 13 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि संख्या 65835 13 से भी विभाज्य नहीं है।
उदाहरण 8
क्या 715 13 से विभाज्य है?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13, 13 से विभाज्य है, इसलिए 715 भी 13 से विभाज्य है।
14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 से विभाज्यता के चिन्हऔर अन्य संमिश्र संख्याएँ जो अभाज्य संख्याओं की घात नहीं हैं, 12 से विभाज्यता के मानदंड के समान हैं। हम इन संख्याओं के कोप्राइम कारकों द्वारा विभाज्यता की जाँच करते हैं।
- 14 के लिए: 2 के लिए और 7 के लिए;
- 15 के लिए: 3 से और 5 से;
- 18: 2 और 9 के लिए;
- 21 के लिए: 3 को और 7 को;
- 20 के लिए: 4 से और 5 से (या, दूसरे शब्दों में, अंतिम अंक शून्य होना चाहिए, और अंतिम एक भी होना चाहिए);
- 24:3 और 8 के लिए;
- 26: 2 और 13 के लिए;
- 28:4 और 7 के लिए।
यह देखने के लिए जाँचने के बजाय कि क्या 4 अंकों का अंत 16 से विभाज्य है, आप इकाई अंक को दहाई अंक के दस गुणा के साथ जोड़ सकते हैं, सैकड़े के अंक को चौगुना कर सकते हैं, और
हजार अंक का आठ गुना, और जांचें कि क्या परिणाम 16 से विभाज्य है।
उदाहरण 9
क्या 1984 16 से विभाज्य है?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 16 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 1984 भी 16 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण 10
क्या संख्या 1526 16 से विभाज्य है?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48, 16 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 1526 भी 16 से विभाज्य है।
17 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण।
यह जांचने के लिए कि क्या कोई संख्या 17 से विभाज्य है, आपको संख्या से अंतिम अंक को हटाने और परिणामी परिणाम से इस अंक को पांच बार घटाना होगा। यदि परिणाम 13 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 13 से विभाज्य है।
उदाहरण 11
क्या संख्या 59772 17 से विभाज्य है?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 17 से विभाज्य है, इसलिए 59772 भी 17 से विभाज्य है।
उदाहरण 12
क्या 4913 17 से विभाज्य है?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17, 17 से विभाज्य है, इसलिए 4913 भी 17 से विभाज्य है।
19 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण।
यह जांचने के लिए कि क्या कोई संख्या 19 से विभाज्य है, आपको अंतिम अंक को हटाने के बाद बची हुई संख्या में अंतिम अंक का दोगुना जोड़ना होगा।
उदाहरण 13
क्या संख्या 9044 19 से विभाज्य है?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 19 से विभाज्य है, इसलिए 9044 भी 19 से विभाज्य है।
23 से विभाज्यता के लिए बेहतर परीक्षण।
यह जांचने के लिए कि क्या कोई संख्या 23 से विभाज्य है, आपको अंतिम अंक को हटाने के बाद बची हुई संख्या में अंतिम अंक को 7 गुना बढ़ाना होगा।
उदाहरण 14
क्या संख्या 208012 23 से विभाज्य है?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
वास्तव में, आप पहले ही देख सकते हैं कि 253 23 है,
नियम
7 से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है, आपको चाहिए:
1. अंतिम अंक के बिना वास्तविक संख्या लें।
2. पहले चरण में प्राप्त संख्या में, मूल संख्या के अंतिम अंक को \(\displaystyle 5\) से गुणा करके जोड़ें।
संख्या \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है यदि और केवल यदि दूसरे चरण में प्राप्त योग \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है।
व्याख्या
दो अंकों की संख्या के लिए 7 चिह्न से विभाज्यता
दो अंकों की संख्या के लिए, \(\displaystyle 7\) द्वारा विभाज्यता का परीक्षण निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:
1. \(\displaystyle (\color(blue)X)(\color(red)Y)\rightarrow (\color(blue)X)\).
2. \(\displaystyle (\color(blue)X)+5\cdot(\color(red)Y)\).
संख्या \(\displaystyle (\color(नीला)X)(\color(red)Y)\) \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है अगर और केवल अगर संख्या \(\displaystyle (\color(नीला)) X )+5\cdot(\color(red)Y)\) \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है।
एक संख्या \(\displaystyle 78\) दी गई है। आइए ऊपर वर्णित नियम के अनुसार गणना करें।
1. हम मूल संख्या के अंतिम अंक को छोड़ देते हैं:
\(\displaystyle (\color(blue)7)(\color(red)8) \rightarrow (\color(blue)7)\).
2. हम गणना करते हैं:
\(\displaystyle (\color(blue)7)+5 \cdot (\color(red)8) = 47\).
संख्या \(\displaystyle 78\) \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है यदि और केवल यदि संख्या \(\displaystyle 47\) \(\displaystyle 7\) से विभाज्य है।
लेकिन चूँकि \(\displaystyle 47\) \(\displaystyle 7\) से विभाज्य नहीं है, इसलिए \(\displaystyle 78\) है। सांझा नहीं कियासे \(\displaystyle 7\).
उत्तर: नहीं, यह \(\displaystyle 7\) से विभाज्य नहीं है।
नमस्कार
आज हम विभाज्यता के संकेतों पर विचार करना जारी रखेंगे।
और हम इसके साथ शुरू करेंगे:
हम संख्या का अंतिम अंक लेते हैं, इसे दोगुना करते हैं और इस अंतिम अंक के बिना शेष संख्या से घटाते हैं। यदि अंतर 7 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 7 से विभाज्य है। इस क्रिया को जितनी बार चाहें तब तक जारी रखा जा सकता है जब तक यह स्पष्ट न हो जाए कि संख्या 7 से विभाज्य है या नहीं।
उदाहरण: 298109।
पहला कदम। हम 9 लेते हैं, इसे 2 से गुणा करते हैं और घटाते हैं:
29810-18=29792.
दूसरा चरण। 29792. 2 लो, इसे 2 से गुणा करो और घटाओ:
2979-4 = 2975.
तीसरा चरण। 2975. हम 5 लेते हैं, 2 से गुणा करते हैं और घटाते हैं: 297-10=287।
चौथा चरण। 287. 7 लो, 2 से गुणा करो और घटाओ 28-14=14। 7 से विभाज्य।
अतः पूर्ण संख्या 298109 7 से विभाज्य है।
एक और उदाहरण। संख्या 1102283।
पहला कदम। 110228-3*2 = 110222
दूसरा चरण। 11022-2*2 = 11018।
तीसरा चरण। 1101-8*2 = 1085.
चौथा चरण। 108-5*2 = 98।
पांचवां चरण। 9-8*2 = -7. 7 से विभाज्य है। इसलिए 1102283 7 से विभाज्य है।
13 से विभाज्यता का चिह्न।हम संख्या का अंतिम अंक लेते हैं, इसे 4 से गुणा करते हैं और इसे अंतिम अंक के बिना संख्या में जोड़ते हैं। यदि योग 13 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 13 से विभाज्य है।
इस क्रिया को आप जितनी बार चाहें तब तक जारी रख सकते हैं जब तक यह स्पष्ट न हो जाए कि संख्या 13 से विभाज्य है या नहीं।
उदाहरण: संख्या 595166।
पहला कदम। 59516 + 6*4 = 59540
दूसरा चरण। 5954 + 0*4 = 5954
तीसरा चरण। 595 + 4*4 = 611
चौथा चरण। 61 + 1*4 = 65
पांचवां चरण। 6 + 5*4 = 26. 13 से विभाज्य।
अतः संख्या 595166 13 से विभाज्य है।
एक और उदाहरण। संख्या 10221224 है।
पहला कदम। 1022122 + 4*4 = 1022138
दूसरा चरण। 102213 + 8*4 = 102245
तीसरा चरण। 10224 + 5*4 = 10244
चौथा चरण। 1024 + 4*4 = 1040
पांचवां चरण। 104 + 0*4 = 104
छठा चरण। 10 + 4*4 = 26. 13 से विभाज्य।
अतः संख्या 10221224, 13 से विभाज्य है।
अब मैं विभाज्यता के लिए और न केवल अभाज्य संख्याओं के लिए, बल्कि समग्र संख्याओं के लिए भी कई अन्य मानदंड दिखाना चाहूंगा।
11 से विभाज्यता का चिह्न।एक संख्या लीजिए और उन सभी संख्याओं को जोड़िए जो विषम स्थानों पर हैं। फिर उस संख्या के सभी अंकों को जोड़ें जो सम स्थानों पर हैं।
यदि पहले योग और दूसरे योग के बीच का अंतर 11 का गुणक है, तो पूरी संख्या 11 से विभाज्य है।
इस मामले में, अंतर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है।
उदाहरण: 160369(उन संख्याओं का योग जो विषम स्थानों पर हैं
1+0+6 = 7.
सम स्थानों की संख्याओं का योग 6+3+9 = 18 है।
18 - 7 \u003d 11. 11 से विभाज्य। इसलिए संख्या 160369 11 से विभाज्य है)।
एक अन्य उदाहरण: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.
संख्या 7527927 11 से विभाज्य है)।
15 से विभाज्यता का चिह्न।संख्या 15 यौगिक है। इसे 5 और 3 जैसे प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।
और हम पहले से ही जानते हैं कि संख्या 15 से विभाज्य है, यदि
1. - यह 0 या 5 के साथ समाप्त होता है;
उदाहरण: 36840(संख्या 0 में समाप्त होती है; इसके अंकों का योग 3+6+8+4 = 21 है। 3 से विभाज्य है।) इसलिए पूरी संख्या 15 से विभाज्य है।
एक अन्य उदाहरण: 113445संख्या 5 में समाप्त होती है; इसके अंकों का योग 1+1+3+4+4+5 = 18 है। 3 से विभाज्य है।) इसलिए पूरी संख्या 15 से विभाज्य है।
12 से विभाज्यता का चिह्न।संख्या 12 यौगिक है। इसे निम्नलिखित कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है: 4 और 3।
तो एक संख्या 12 से विभाज्य है यदि
1. - 2 अंतिम अंक 4 से विभाज्य हैं;
2. - इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य है।
उदाहरण: 78864(अंतिम दो अंक 64 हैं। इनसे बनी संख्या 4 से विभाज्य है; अंकों का योग 7+8+8+6+4 = 33 है। 3 से विभाज्य है।) इसलिए पूरी संख्या 12 से विभाज्य है .
एक अन्य उदाहरण: 943908(अंतिम दो अंक 08 हैं। इन अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, अंकों का योग 9+4+3+9+0+8 = 33 है।
3 से विभाज्य।) इसलिए पूरी संख्या 12 से विभाज्य है।
से स्कूल के पाठ्यक्रमबहुत से लोग याद करते हैं कि विभाज्यता के संकेत हैं। इस वाक्यांश को नियमों के रूप में समझा जाता है जो आपको सीधे अंकगणितीय ऑपरेशन किए बिना, किसी दिए गए एक से अधिक को निर्धारित करने की अनुमति देता है। यह विधि स्थितीय में प्रविष्टि से अंकों के एक भाग के साथ की गई क्रियाओं पर आधारित है
बहुत से लोग स्कूल के पाठ्यक्रम से विभाज्यता के सरल संकेतों को याद करते हैं। उदाहरण के लिए, यह तथ्य कि सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, जिसके रिकॉर्ड में अंतिम अंक सम है। यह सुविधा अभ्यास में याद रखने और लागू करने में सबसे आसान है। यदि हम 3 से भाग देने की विधि की बात करें तो बहु-अंकीय संख्याओं के लिए निम्नलिखित नियम लागू होता है, जिसे इस प्रकार के उदाहरण में दर्शाया जा सकता है। आपको पता लगाना है कि क्या 273 तीन का गुणज है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित कार्रवाई करें: 2+7+3=12। परिणामी योग 3 से विभाज्य है, इसलिए, 273 3 से विभाज्य होगा इस तरह से कि परिणाम एक पूर्णांक है।
5 और 10 से विभाज्यता के चिह्न इस प्रकार होंगे। पहले मामले में, प्रविष्टि संख्या 5 या 0 के साथ समाप्त होगी, दूसरे मामले में केवल 0 के साथ। यह पता लगाने के लिए कि क्या विभाज्य चार का एक गुणक है, निम्नानुसार आगे बढ़ें। अंतिम दो अंकों को अलग करना आवश्यक है। यदि यह दो शून्य या एक संख्या है जो बिना शेष के 4 से विभाज्य है, तो सभी विभाज्य विभाजक का एक गुणक होगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूचीबद्ध संकेत केवल दशमलव प्रणाली में उपयोग किए जाते हैं। वे अन्य मतगणना विधियों पर लागू नहीं होते हैं। ऐसे मामलों में, उनके अपने नियम व्युत्पन्न होते हैं, जो सिस्टम के आधार पर निर्भर करते हैं।
6 से भाग देने के चिन्ह इस प्रकार हैं। 6 यदि यह 2 और 3 दोनों का गुणज है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 7 से विभाज्य है, आपको इसकी प्रविष्टि में अंतिम अंक को दोगुना करना होगा। प्राप्त परिणाम को मूल संख्या से घटाया जाता है, जिसमें अंतिम अंक को ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम को निम्न उदाहरण में देखा जा सकता है। यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या 364 एक गुणक है। ऐसा करने के लिए, 4 को 2 से गुणा किया जाता है, यह 8 निकला। फिर निम्नलिखित क्रिया की जाती है: 36-8=28। प्राप्त परिणाम 7 का एक गुणक है, और इसलिए, मूल संख्या 364 को 7 से विभाजित किया जा सकता है।
8 से विभाज्यता के चिह्न इस प्रकार हैं। यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो आठ का गुणज है, तो संख्या स्वयं दिए गए भाजक द्वारा विभाज्य होगी।
आप यह पता लगा सकते हैं कि एक बहु-अंकीय संख्या 12 से विभाज्य है या नहीं। ऊपर सूचीबद्ध विभाज्यता मानदंडों का उपयोग करके, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या संख्या 3 और 4 की एक बहु है। यदि वे एक साथ एक संख्या के विभाजक के रूप में कार्य कर सकते हैं, तो दिए गए विभाज्य के साथ, आप 12 से भी विभाजित कर सकते हैं। समान नियमअन्य सम्मिश्र संख्याओं पर लागू होता है, जैसे पंद्रह। इस स्थिति में, विभाजक 5 और 3 होने चाहिए। यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 14 से विभाज्य है, आपको यह देखना चाहिए कि क्या यह 7 और 2 का गुणज है। इसलिए, आप निम्न उदाहरण में इस पर विचार कर सकते हैं। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या 658 को 14 से विभाजित किया जा सकता है। प्रविष्टि में अंतिम अंक सम है, इसलिए संख्या दो का गुणक है। अगला, हम 8 को 2 से गुणा करते हैं, हमें 16 मिलते हैं। 65 से, आपको 16 घटाना होगा। परिणाम 49, 7 से विभाज्य है, जैसे कि पूरी संख्या। इसलिए, 658 को 14 से विभाजित भी किया जा सकता है।
यदि किसी दी गई संख्या के अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हैं, तो वह सभी इस भाजक का गुणज होगा। बहु-अंकीय संख्याओं के लिए, 11 से विभाज्यता का चिन्ह इस प्रकार होगा। यह पता लगाना आवश्यक है कि इसके रिकॉर्ड में विषम और सम स्थानों में अंकों के योग के बीच का अंतर किसी दिए गए विभाजक का गुणक है या नहीं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संख्याओं की विभाज्यता के संकेत और उनका ज्ञान बहुत बार गणित में ही नहीं, बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में आने वाले कई कार्यों को बहुत सरल करता है। यह निर्धारित करने की क्षमता के लिए धन्यवाद कि क्या एक संख्या दूसरे का एक गुणक है, आप जल्दी से विभिन्न कार्य कर सकते हैं। इसके अलावा, गणित की कक्षाओं में इन विधियों का उपयोग छात्रों या स्कूली बच्चों को विकसित करने में मदद करेगा, कुछ क्षमताओं के विकास में योगदान देगा।
