अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है। अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र। अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

कोई व्यक्ति "प्रगति" शब्द को उच्च गणित के वर्गों से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में सावधानी के साथ मानता है। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति- टैक्सी काउंटर का काम (जहाँ वे अभी भी रहते हैं)। और सार को समझने के लिए (और गणित में "सार को समझने के लिए" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) एक अंकगणितीय अनुक्रम इतना मुश्किल नहीं है, कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण किया है।

गणितीय संख्या अनुक्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को संख्याओं की एक श्रृंखला कहने की प्रथा है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

और 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा सदस्य है;

और 7 क्रम का सातवाँ सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालांकि, आंकड़ों और संख्याओं का कोई मनमाना सेट हमें रूचि नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें n-वें सदस्य का मान एक निर्भरता द्वारा इसकी क्रमिक संख्या से संबंधित होता है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवीं संख्या का संख्यात्मक मान n का कुछ कार्य है।

ए - संख्यात्मक अनुक्रम के एक सदस्य का मूल्य;

n इसकी क्रम संख्या है;

f(n) एक ऐसा कार्य है जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमिक तर्क है।

परिभाषा

एक अंकगणितीय प्रगति को आमतौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद की अवधि समान संख्या से पिछले एक की तुलना में अधिक (कम) होती है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें सदस्य के लिए सूत्र इस प्रकार है:

एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

एक n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (एक निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर सकारात्मक है (डी> 0), तो विचाराधीन श्रृंखला के प्रत्येक बाद के सदस्य पिछले एक से अधिक होंगे, और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती जा रही है।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, यह देखना आसान है कि संख्या क्रम को "बढ़ता हुआ" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर नकारात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य का मूल्य

कभी-कभी अंकगणितीय प्रगति के कुछ मनमाना शब्द a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। आप पहले से वांछित अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके ऐसा कर सकते हैं। हालांकि, यह तरीका हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पांच हजारवें या आठ मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में लंबा समय लगेगा। हालांकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति की जांच की जा सकती है। एनवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मूल्य प्रगति के अंतर के साथ प्रगति के पहले सदस्य के योग के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, वांछित सदस्य की संख्या से गुणा, शून्य से एक .

बढ़ने और घटने की प्रगति के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए सदस्य के मूल्य की गणना करने का एक उदाहरण

आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

स्थिति: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला सदस्य 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: 214 शब्दों का मान ज्ञात करना आवश्यक है

समाधान: किसी दिए गए सदस्य का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एन) = ए1 + डी(एन-1)

समस्या कथन से डेटा को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास:

ए (214) = ए 1 + डी (एन -1)

ए (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वाँ सदस्य 258.6 के बराबर है।

इस गणना पद्धति के लाभ स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान 2 पंक्तियों से अधिक नहीं लेता है।

पदों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी अंकगणितीय श्रृंखला में, इसके कुछ खंडों के मूल्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। इसमें प्रत्येक पद के मानों की गणना करने और फिर उनका योग करने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है जब जिन पदों का योग मिलना चाहिए उनकी संख्या कम होती है। अन्य मामलों में, निम्न सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग पहले और nth सदस्यों के योग के बराबर है, सदस्य संख्या n से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में n-th सदस्य का मान लेख के पिछले पैराग्राफ से अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ एक समस्या का समाधान करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है।

समस्या में, श्रृंखला की शर्तों का योग 56 से 101 तक निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान। आइए प्रगति का योग निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 सदस्यों के मूल्यों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

स्पष्ट रूप से, 56वें ​​से 101वें तक की प्रगति के पदों का योग ज्ञात करने के लिए, S 55 को S 101 से घटाना आवश्यक है।

एस 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

तो इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

एस 101 - एस 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटते हैं - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

टैक्सी (जिसमें 3 किमी शामिल है) में प्रवेश करने पर 50 रूबल का खर्च आता है। प्रत्येक बाद के किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल / किमी की दर से किया जाता है। यात्रा दूरी 30 किमी. यात्रा की लागत की गणना करें।

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 कि.मी.

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या यात्रा की गई किलोमीटर की संख्या है (पहले तीन को घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है।

इस समस्या का पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर डी = 22 पी।

हमारे लिए रुचि की संख्या - अंकगणितीय प्रगति के (27 + 1) वें सदस्य का मूल्य - 27 किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग - 27.999 ... = 28 किमी।

एक 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा की गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से खगोलीय पिंड की दूरी पर प्रकाशमान होने पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित की अन्य अनुप्रयुक्त शाखाओं में विभिन्न संख्यात्मक श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या अनुक्रम ज्यामितीय है

एक ज्यामितीय प्रगति एक अंकगणितीय, परिवर्तन की दर की तुलना में एक बड़ी विशेषता है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र, चिकित्सा में, अक्सर, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति को दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया तेजी से विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का एन-वां सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है जिसमें इसे किसी स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है - भाजक, उदाहरण के लिए, पहला सदस्य 1 है, भाजक क्रमशः 2 है, फिर:

एन = 1: 1 ∙ 2 = 2

एन = 2: 2 ∙ 2 = 4

एन = 3: 4 ∙ 2 = 8

एन = 4: 8 ∙ 2 = 16

एन = 5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

ख n+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का सूत्र;

क्यू एक ज्यामितीय प्रगति (स्थिर संख्या) का भाजक है।

यदि एक अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय एक थोड़ा अलग चित्र बनाता है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति में एक स्वेच्छ सदस्य के मान के लिए एक सूत्र है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी n-वाँ पद पहले पद के गुणनफल के बराबर होता है और प्रगति के भाजक को n की शक्ति से घटाकर एक कर दिया जाता है:

उदाहरण। हमारे पास 3 के बराबर पहली अवधि के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है और 1.5 के बराबर प्रगति का भाजक है। श्रेढ़ी का 5वां पद ज्ञात कीजिए

बी 5 \u003d बी 1 ∙ क्यू (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

सदस्यों की दी गई संख्या का योग भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों का योग प्रगति के nवें सदस्य और उसके भाजक के उत्पाद और प्रगति के पहले सदस्य के बीच के अंतर के बराबर है, जो भाजक द्वारा एक घटाकर विभाजित किया जाता है:

यदि b n को ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाता है, तो विचार की गई संख्या श्रृंखला के पहले n सदस्यों के योग का मान रूप ले लेगा:

उदाहरण। गुणोत्तर श्रेढ़ी पहले पद के बराबर 1 से शुरू होती है। हर को 3 के बराबर सेट किया गया है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

सूत्र का सार क्या है?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला कार्यकाल जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस फॉर्मूले को याद कर लेना (या धोखा देना) काफी नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और सूत्र को विभिन्न समस्याओं में लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ ...) कैसे भूलना नहीं- मुझें नहीं पता। और यहां कैसे याद करेंअगर जरूरत पड़ी तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक सीखते हैं।)

तो, चलिए अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र से निपटते हैं।

सामान्य रूप में एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर क्या है - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से बताया गया है। अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है वां सदस्य।

सामान्य रूप से प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

एक 1, एक 2, एक 3, एक 4, एक 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पाँचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवीं - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, एस कोईसंख्या? बहुत सरल! इस कदर:

एक

यह वही है एक अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ सदस्य।पत्र एन के तहत सभी सदस्यों की संख्या एक साथ छिपी हुई है: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने नंबर की जगह एक खत लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और प्रगति में हल करने के लिए कार्यों का एक समूह। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1; डीऔर एन. इन मापदंडों के आसपास, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

nवाँ पद सूत्र का उपयोग एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि स्थिति द्वारा प्रगति दी गई है:

एन = 5 + (एन -1) 2।

इस तरह की समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करके यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2।

और यह और भी अधिक क्रोधित हो सकता है!) यदि हम एक ही स्थिति लें: एक एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान दो? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए = 3 + 2एन।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर गड्ढा होता है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य एक पांच है... थोड़ा कम हम इस तरह के एक संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और अंकन है - एक एन + 1. यह, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस द फर्स्ट" शब्द है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकपांचवां कार्यकाल, फिर एक एन + 1छठे सदस्य होंगे। वगैरह।

सबसे अधिक बार पदनाम एक एन + 1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति की अवधि को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि आवर्ती सूत्र का उपयोग करके हमें इस रूप में अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन + 1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5 + 3 = 8

एक 3 = एक 2 + 3 = 8 + 3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवां - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वाँ ​​पद ज्ञात नहीं है, 20वाँ पद गिना नहीं जा सकता है। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। रिकर्सिव के माध्यम से ही काम करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम से नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार शब्दों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला कार्यकाल खोजें एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। जीआईए में ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है। एक 121 ज्ञात करें यदि a 1 =3 और d=1/6 है।

अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर, इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है कि क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

कृपया ध्यान दीजिए! इंडेक्स के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121। जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं संख्या एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

एक 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

इसके लिए यही सब कुछ है। जितनी जल्दी कोई पाँच सौ दसवाँ सदस्य, और एक हज़ार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को समझदारी से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेढ़ी का पहला पद ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई आती है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हां हां। हाथ से लिखें, ठीक आपकी नोटबुक में:

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध डी = -0.5,सत्रहवां सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, जी हां...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छिपा हुआ दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी चीज़" अक्सर सिर के पिछले हिस्से से फिसल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी चीज़" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम बेवकूफी से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

एक 17 \u003d एक 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलिए इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति की पहली अवधि को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको जवाब मिलता है: एक 1 = 6।

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करता है। ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें !? इस कौशल के बिना गणित का अध्ययन बिल्कुल नहीं किया जा सकता है ...

एक अन्य लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेढ़ी का अंतर ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आप हैरान होंगे, हम सूत्र लिखते हैं!)

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

हम जो जानते हैं उस पर विचार करें: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1और डीतय। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 12; डी = 3। इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक n = 12 + (n-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात राशियाँ हैं: एक एन और एन।लेकिन एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हम उसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या भी खोजने की जरूरत है। सूत्र में प्रगति पद 99 को प्रतिस्थापित करें:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति का सदस्य होगा (एन):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए सूत्र को फिर से लिखें। क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से ज्ञात किया जा सकता है? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हाँ, हमने सबसे आसान काम किया। यह एक अज्ञात संख्या से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह दी गई प्रगति की अवधि थी। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो !? खैर, कैसे हो, कैसे हो... अपनी रचनात्मक क्षमताओं को चालू करें!)

हम कल्पना करनाआखिरकार, वह 117 हमारी प्रगति का एक सदस्य है। किसी अनजान नंबर से एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!डेढ़ सौ। और भिन्नात्मक संख्या क्रम में हो नहीं सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य। यह कहीं 101वें और 102वें सदस्य के बीच है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

एक n \u003d -4 + 6.8n

श्रेढ़ी का पहला और दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... होता है।) तथापि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य का सूत्र भी!वह अनुमति भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद माइनस चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह ही, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहाँ! पहला पद 2.8 है, न कि -4!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

एक 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

इसके लिए यही सब कुछ है।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, GIA या एकीकृत राज्य परीक्षा की एक कठिन मुकाबला स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए। कुछ मन में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित ... चाहे एनवहाँ, या एन + 1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए निश्चित रूप से पर्याप्त है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्राथमिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय देना पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष बनाते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। इस कदर:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 = एक 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 = एक 1 + 2 डी

आपको समझ आया? मैं व्यर्थ में कुछ शब्दों को बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा कार्यकाल क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 = एक 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, यानी। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक एन, अंतराल की संख्याइच्छा एन-1।तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

सामान्यतः दृश्य चित्र गणित की अनेक समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा मत करो। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान - समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों, आदि से जोड़ने की अनुमति देता है। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. अंकगणितीय श्रेढ़ी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1। एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। फर्क महसूस करो!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. a 3 ज्ञात कीजिये।

क्या, चित्र बनाने की अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। इस श्रेणी का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक की गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन nवें पद का सूत्र हर किसी की शक्ति के भीतर है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है (एक एन):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की स्थिति के अनुसार, श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति की पांचवीं और बारहवीं शर्तों का उत्पाद -2.5 है, और तीसरी और ग्यारहवीं शर्तों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं है, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने हैं और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (विवाद में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

घटित? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? ह ाेती है। वैसे लास्ट टास्क में एक सूक्ष्म बात है। समस्या को पढ़ते समय ध्यान देने की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान की धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए फंतासी तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और एनवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

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चित्रकला और कविता की तरह ही गणित का भी अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में बहुत सामान्य कार्य अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित कार्य हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के गुणों को अच्छी तरह से जानना और उनके आवेदन में कुछ कौशल होना आवश्यक है।

आइए पहले अंकगणितीय प्रगति के मुख्य गुणों को याद करें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करें, इस अवधारणा से जुड़े।

परिभाषा। संख्यात्मक क्रम, जिसमें प्रत्येक बाद की अवधि पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होती है, अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। उसी समय, संख्याप्रगति अंतर कहा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, सूत्र मान्य हैं

, (1)

कहाँ । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य शब्द का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति है: प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है और ।

ध्यान दें कि यह इस संपत्ति के कारण ठीक है कि विचाराधीन प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) संक्षेप में इस प्रकार हैं:

(3)

राशि की गणना करने के लिएपहला एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यसूत्र आमतौर पर प्रयोग किया जाता है

(5) कहाँ और।

यदि हम सूत्र को ध्यान में रखते हैं (1), तब सूत्र (5) का तात्पर्य है

अगर हम नामित करते हैं

कहाँ । चूँकि , तब सूत्र (7) और (8) संबंधित सूत्रों (5) और (6) का सामान्यीकरण हैं।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह अनुसरण करता है, क्या

अधिकांश छात्रों के लिए कम ज्ञात एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति है, जिसे निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार किया गया है।

प्रमेय।तो अगर

सबूत।तो अगर

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, यह दिखाया जा सकता है

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1चलो और। पाना ।

समाधान।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। चूंकि और , तब या .

उदाहरण 2तीन गुना अधिक होने दें, और भागफल में विभाजित करने पर, यह 2 निकलता है और शेष 8. निर्धारित करें और।

समाधान।समीकरणों की प्रणाली उदाहरण की स्थिति से अनुसरण करती है

चूँकि , , और , तब समीकरणों की प्रणाली (10) से हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान हैं और।

उदाहरण 3अगर और खोजें।

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार, हमारे पास या है। हालाँकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

चूंकि और , फिर समानता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4अगर खोजो।

समाधान।सूत्र (5) द्वारा हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, कोई लिख सकता है

यहाँ से और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया: । पाना ।

समाधान।के बाद से । मगर इसलिए ।

उदाहरण 6चलो, और। पाना ।

समाधान।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि, तब या।

चूंकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें और प्राप्त होता है।

समीकरण की प्राकृतिक जड़है ।

उदाहरण 7अगर और खोजें।

समाधान।चूँकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समस्या की स्थिति से समीकरणों की प्रणाली का अनुसरण होता है

यदि हम अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैंसिस्टम के दूसरे समीकरण में, तो हमें या मिलता है।

द्विघात समीकरण के मूल हैंऔर ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. चलो , फिर . तब से और, तब।

इस स्थिति में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. अगर, तो, और

उत्तर: और।

उदाहरण 8यह ज्ञात है कि और पाना ।

समाधान।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम और लिखते हैं।

इसका तात्पर्य समीकरणों की प्रणाली से है

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ते हैं, तो हमें मिलता है

सूत्र (9) के अनुसार, हमारे पास है. इस संबंध में, (12) से यह निम्नानुसार हैया ।

तब से और, तब।

उत्तर: ।

उदाहरण 9अगर और खोजें।

समाधान।चूँकि , और शर्त के अनुसार , तब या .

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । के बाद से ।

इस तरह , यहाँ हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

यहाँ से हम और प्राप्त करते हैं। सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10प्रश्न हल करें।

समाधान।दिए गए समीकरण से यह पता चलता है कि। आइए मान लें कि , , और . इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार हम लिख सकते हैं या .

चूँकि, समीकरण (13) का एक अद्वितीय उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11।अधिकतम मान ज्ञात कीजिए बशर्ते कि और .

समाधान।तब से माना अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, अभिव्यक्ति अधिकतम मान लेती है जब यह प्रगति के न्यूनतम सकारात्मक सदस्य की संख्या होती है।

हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करते हैं, कौन सा और। तब हमें वह मिलता है या।

क्योंकि, तब या . हालाँकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि मान, और सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो हमें मिलता है।

उत्तर: ।

उदाहरण 12।उन सभी दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जिन्हें 6 से विभाजित करने पर शेषफल 5 आता है।

समाधान।सभी दो-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय द्वारा निरूपित करें, अर्थात . इसके बाद, हम सेट के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय का निर्माण करते हैं, जिसे जब संख्या 6 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 5 देता है।

इन्सटाल करना आसान, क्या । ज़ाहिर तौर से , कि सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएँ, जिसमें और .

सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) निर्धारित करने के लिए, हम मानते हैं कि . चूंकि और , तब सूत्र (1) का तात्पर्य या है। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्याओं को हल करने के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते। यह लेख किसी दिए गए विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के आधुनिक तरीकों के विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है। अंकगणितीय प्रगति से संबंधित समस्याओं को हल करने के तरीकों के गहन अध्ययन के लिए अनुशंसित साहित्य की सूची का संदर्भ लेना उचित है।

1. तकनीकी विश्वविद्यालयों / एड के आवेदकों के लिए गणित में कार्यों का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: विश्व और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम .: लेनंड / यूआरएसएस, 2014. - 216 पी।

3. मेडेंस्की एम.एम. कार्यों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का एक पूर्ण पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम .: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचयों से परेशान नहीं करूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन असल में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से उसी संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए न्याय करो। पहला सेट केवल लगातार संख्याएं हैं, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पाँच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। जिस स्थिति में प्रत्येक अगला तत्व $\sqrt(2)$ से बढ़ जाता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

अत: ऐसे सभी क्रमों को अंकगणितीय श्रेढ़ी कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होती है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। वह राशि जिसके द्वारा संख्याएँ भिन्न होती हैं, प्रगति अंतर कहलाती है और इसे अक्सर $d$ अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ प्रगति ही है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उसी क्रम में पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, सेट (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, यह संकेत देता है कि बहुत सारी संख्याएँ आगे बढ़ती हैं। असीमित कई, उदाहरण के लिए। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - एक ही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती हुई प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति कहलाती है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से अधिक है;
2. घट रहा है, अगर, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...).

केवल एक ही प्रश्न शेष है: एक बढ़ती हुई प्रगति को एक घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल संख्या $d$ के चिन्ह पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति मतभेद:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए $d$ के अंतर की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहले और दूसरे) को लेने के लिए पर्याप्त है और दाईं ओर की संख्या से बाईं ओर की संख्या घटाएं। यह ऐसा दिखाई देगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रम के तत्वों का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही\)\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, और इसी तरह।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एन-1))=d\Rightarrow ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी \]

संक्षेप में, प्रगति का $n$वाँ पद ज्ञात करने के लिए, आपको $n-1$वाँ पद और अंतर $d$ जानने की आवश्यकता है। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप केवल पिछले एक को जानकर (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) किसी भी संख्या का पता लगा सकते हैं। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक पेचीदा सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d\]

आप शायद इस फॉर्मूले से पहले आ चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह सबसे पहले में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1। अंकगणितीय प्रगति $\left(((a)_(n)) \right)$ के पहले तीन पदों को लिखें यदि $((a)_(1))=8,d=-5$।

समाधान। तो, हम पहले शब्द $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d; \\ & ((ए)_(1))=((ए)_(1))+\बाएं(1-1 \दाएं)डी=((ए)_(1))=8; \\ & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+\बाएं(2-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+\बाएं(3-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति कम हो रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले से ही पहले शब्द को जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने यह सुनिश्चित किया कि पहले पद के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ साधारण अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2। अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद -40 है और इसका सत्रहवाँ पद -50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((ए)_(7))=-40;\क्वाड ((ए)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6d \\ & ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \अंत(संरेखित) \सही।\]

मैंने सिस्टम का चिन्ह लगाया क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(1))+16d-\बाएं(((ए)_(1))+6d \दाएं)=-50-\बाएं(-40 \दाएं); \\ & ((ए)_(1))+16डी-((ए)_(1))-6डी=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&डी=-1. \\ \end(संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \डाउनएरो \\ ((ए)_(1))-6=-40; \\ ((क)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, यह दूसरे और तीसरे पद को खोजने के लिए बना रहता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=-34-1=-35; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

हमारे द्वारा खोजी गई प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे से घटाते हैं, तो हमें संख्या $n-m$ से गुणा की गई प्रगति का अंतर मिलता है:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एम))=d\cdot \बाएं(एन-एम \दाएं)\]

एक सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति जिसे आपको निश्चित रूप से जानना चाहिए - इसकी मदद से आप प्रगति की कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। यहाँ इसका एक प्रमुख उदाहरण है:

टास्क नंबर 3। समांतर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस श्रेणी का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5d; \\ & ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ & ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की किसी भी प्रणाली की रचना करने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ कुछ पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसकी पहली अवधि नकारात्मक है, तो अभी या बाद में इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती हुई प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" ढूंढना हमेशा संभव होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छंटनी। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणना में कई शीट लगेंगी - जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता, तब तक हम सो जाते हैं। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4। एक अंकगणितीय श्रेढ़ी में कितने ऋणात्मक पद -38.5; -35.8; ...?

समाधान। तो, $((ए)_(1))=-38.5$, $((ए)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम धनात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएँगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए यह पता लगाने की कोशिश करें: कितने समय तक (यानी, किस प्राकृतिक संख्या $n$ तक) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन)) \lt 0\Rightarrow ((ए)_(1))+\बाएं (n-1 \दाएं)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \बाएं| \cdot 10 \सही। \\ & -385+27\cdot \बाएं(n-1 \दाएं) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान हमारे अनुरूप होंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16 नहीं है।

कार्य संख्या 5। अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस श्रेढ़ी के प्रथम धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह पिछले वाले के समान ही समस्या होगी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पहले और अंतर के संदर्भ में पांचवें पद को व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot डी; \\ & ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4d; \\ & -150=((ए)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ए)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में सकारात्मक संख्याएँ किस बिंदु पर दिखाई देंगी:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=-162+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56। \\ \end(संरेखित करें)\]

इस असमिका का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता तक कम कर दिया गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमारे अनुरूप नहीं होगा।

अब जब हमने सरल समस्याओं को हल करना सीख लिया है, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत ही उपयोगी संपत्ति सीखें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगी। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई पदों पर विचार करें $\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)$। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई नहीं $((a)_(1)) , \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ वगैरह। क्योंकि जो नियम अब मैं आपको बताऊंगा वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान रूप से काम करता है।

और नियम बहुत ही सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ & ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ & ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ & ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन))-3डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शर्तें $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ से समान दूरी पर हैं $((a)_(n)) $ . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शर्तों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया गया है )$ उसी दूरी से जो $2d$ के बराबर है। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अच्छी तरह से अर्थ दिखाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि पड़ोसी नंबर ज्ञात हैं तो आप $((ए)_(एन))$ पा सकते हैं:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-1))+((ए)_(एन+1)))(2)\]

हमने एक शानदार कथन निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-के))+((ए)_(एन+के)))(2)\]

वे। हम कुछ $((a)_(150))$ आसानी से पा सकते हैं यदि हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं, क्योंकि $((a)_ (150))=\frac(((ए)_(100))+((ए)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई कार्य विशेष रूप से "तेज" होते हैं। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6। $X$ के सभी मान ज्ञात कीजिए जैसे कि संख्याएँ $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ के लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूंकि ये संख्याएं एक प्रगति के सदस्य हैं, अंकगणितीय माध्य स्थिति उनके लिए संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

परिणाम एक क्लासिक द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7। $$ के मान ज्ञात कीजिए कि संख्याएं $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

समाधान। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के संदर्भ में व्यक्त करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \बाएं| \cdot 2\दाएं.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत ट्रिक है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लीजिए कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$) हैं, जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ अंत (संरेखित करें) \]

हमें संख्याएँ मिलीं -54; -2; 50 जो 52 से भिन्न है निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी ऐसा ही होता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ अंत (संरेखित करें) \]

फिर से प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो लोग चाहते हैं वे अपने दम पर दूसरे कार्य की जाँच कर सकते हैं, लेकिन मैं अभी कहूँगा: वहाँ भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछली समस्याओं को हल करते समय, हम एक और दिलचस्प तथ्य पर आ गए, जिसे याद रखने की भी आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का औसत है, तो ये संख्याएँ अंकगणितीय श्रेढ़ी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में संलग्न हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो कि पहले से ही माना जा चुका है।

समूहीकरण और तत्वों का योग

आइए फिर से संख्या रेखा पर वापस जाएं। हम प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान देते हैं, जिनके बीच, शायद। बहुत सारे अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "लेफ्ट टेल" और $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में "राइट टेल" को व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ & ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \end(संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((ए)_(एन+1))+((ए)_(के-1))=((ए)_(एन))+डी+((ए)_(के))-डी= एस; \\ & ((ए)_(एन+2))+((ए)_(के-2))=((ए)_(एन))+2d+((ए)_(के))-2डी= एस। \ अंत (संरेखित करें) \]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के शुरुआती दो तत्वों पर विचार करते हैं, जो कुल मिलाकर $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में कदम रखना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए), तब जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$स$। इसे रेखांकन के रूप में सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

समान इंडेंट समान योग देते हैं

इस तथ्य को समझने से हमें उन समस्याओं की तुलना में मूल रूप से उच्च स्तर की जटिलता को हल करने की अनुमति मिलेगी, जिन्हें हमने ऊपर माना था। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8। अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करें जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए हम जो कुछ भी जानते हैं उसे लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=66; \\&डी =? \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\मिनट। \ अंत (संरेखित करें) \]

इसलिए, हम $ d $ की प्रगति के अंतर को नहीं जानते हैं। दरअसल, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=66+डी; \\ & ((ए)_(12))=((ए)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\बाएं(66+d \दाएं)\cdot \बाएं(66+11d \दाएं)= \\ & =11 \cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं). \ अंत (संरेखित करें) \]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट में से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक पैराबोला होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें मिलता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी \दाएं)=11\बाएं (((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \दाएं)= \\ और =11(( डी)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद वाला गुणांक 11 है - यह एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

द्विघात फलन का ग्राफ - परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $((d)_(0))$ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस भुज की गणना कर सकते हैं (एक सूत्र है $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), लेकिन यह अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष पैराबोला की धुरी समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी\दाएं)=0; \\ & 11\cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं)=0; \\ & ((डी)_(1))=-66;\क्वाड ((डी)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित करें)\]

यही कारण है कि मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ों को खोजना बहुत आसान था। इसलिए, भुज संख्या -66 और -6 के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजी गई संख्या क्या देती है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मान लेता है (वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - यह हमारे लिए आवश्यक नहीं है)। साथ ही, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर :-36

टास्क नंबर 9। संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे अंकगणितीय प्रगति बना सकें।

समाधान। वास्तव में, हमें पाँच संख्याओं का एक क्रम बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पहली और अंतिम संख्या पहले से ही ज्ञात हो। चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा लापता संख्याओं को निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \दाएं\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्या $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्या $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से (1)(6)$। और अगर फिलहाल हम संख्या $x$ और $z$ से $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणितीय माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करते हुए, हम शेष संख्या ज्ञात करते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

कार्य संख्या 10। संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ सम्मिलित करें, जो दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात है कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम ठीक से नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित की जाएँ। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि सम्मिलित करने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएँ होंगी, और उनमें से पहली 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\लेफ्ट(((ए)_(एन)) \राइट)=\लेफ्ट\( 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्याएँ $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ किनारों पर खड़ी संख्या 2 और 42 से एक दूसरे की ओर एक कदम आगे बढ़कर प्राप्त की जाती हैं। , अर्थात्। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब यह है

\[((ए)_(2))+((ए)_(एन-1))=2+42=44\]

लेकिन तब उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ & \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ & 44+((ए)_(3))=56; \\ & ((ए)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ को जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=\बाएं(3-1 \दाएं)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=2; \\ & ((ए)_(2))=2+5=7; \\ & ((ए)_(3))=12; \\ & ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9वें चरण में हम अनुक्रम के बाईं ओर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याएँ सम्मिलित की जानी थीं: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूंगा। ठीक है, सरल के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित का अध्ययन करते हैं और जो ऊपर लिखा गया है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ऐसे कार्य हैं जो गणित में ओजीई और यूएसई में आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे खुद को परिचित करें।

टास्क नंबर 11। टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और बाद के प्रत्येक महीने में उन्होंने पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जों का उत्पादन किया?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=62;\क्वाड डी=14; \\ & ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(संरेखित करें)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((ए)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पुर्जों का निर्माण किया जाएगा।

कार्य संख्या 12। बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 किताबों की बाउंडिंग की, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 और किताबों की बाउंडिंग की। दिसंबर में कार्यशाला में कितनी पुस्तकों की जिल्दसाजी हुई?

समाधान। सब एक जैसे:

$\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=216;\क्वाड डी=4; \\ & ((ए)_(एन))=216+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 4. \\ \end(संरेखित करें)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((ए)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये रहा जवाब- दिसंबर में 260 किताबों की जिल्दसाजी होगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अभी तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने की जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। हम सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर जा सकते हैं, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इससे महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणाम भी।