Peelback és tulajdonságai
Az f(x) függvény antideriváltja az (a; b) intervallumon egy olyan F(x) függvény, amelyre az egyenlőség az adott intervallum bármely x-ére érvényes.
Ha figyelembe vesszük, hogy a C állandó deriváltja nulla, akkor az egyenlőség igaz 
. Így az f(x) függvénynek van egy F(x)+C antiderivált egy halmaza egy tetszőleges C állandóhoz, és ezek az antideriválták tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.
Az antiderivatív tulajdonságai.
Ha az F(x) függvény az f(x) függvény antideriváltája az X intervallumon, akkor az f(x) + C függvény, ahol C egy tetszőleges állandó, szintén antideriválta lesz f(x) függvénynek az X intervallumon. ezt az intervallumot.
Ha az F(x) függvény az f(x) függvény valamilyen antideriváltja az X=(a,b) intervallumon, akkor bármely más F1(x) antiderivált az F1(x) = F(x) + C, ahol C egy konstans függvény X-en.
2 A határozatlan integrál definíciója.
Az f(x) függvény antideriváltjainak teljes halmazát e függvény határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük 
.
A kifejezést integrandusnak, az f(x)-et pedig integrandusnak nevezzük. Az integrandus az f(x) függvény differenciálját reprezentálja.
Azt a műveletet, amikor egy ismeretlen függvényt megtalálunk a differenciáljával, határozatlan integrációnak nevezzük, mivel az integráció eredménye nem egy F(x) függvény, hanem annak F(x)+C antideriváltjainak halmaza.
a határozatlan integrál tulajdonságai (az antiderivált tulajdonságai).
Az integrációs eredmény deriváltja egyenlő az integrandusszal.
Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő magának a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével.
ahol k tetszőleges állandó. Az együttható kivehető a határozatlan integrál jeleként.
A függvények összegének/különbségének határozatlan integrálja egyenlő a függvények határozatlan integráljainak összegével/különbségével.
Változó megváltoztatása határozatlan integrálban
Változó csere a határozatlan integrálban kétféle helyettesítéssel hajtjuk végre:
a) ahol az új t változó monoton, folytonosan differenciálható függvénye. A változó helyettesítési képlete ebben az esetben:
Ahol U egy új változó. A változó ezzel a helyettesítéssel történő helyettesítésének képlete a következő:
Integráció alkatrészek szerint
Az integrál keresése a képlet segítségével 
részenkénti integrációnak nevezzük. Itt U=U(x),υ=υ(x) x folytonosan differenciálható függvényei. Ezzel a képlettel az integrál keresése egy másik integrál keresésére redukálódik, használata akkor célszerű, ha az utolsó integrál egyszerűbb, mint az eredeti, vagy ahhoz hasonló.
Ebben az esetben υ-t egy olyan függvénynek tekintjük, amely a differenciálás során egyszerűsödik, és dU-t az integrandus azon részének tekintjük, amelynek integrálja ismert vagy megtalálható.
Newton–Leibniz képlet
A határozott integrál folytonossága a felső határ függvényében
Ha az y = f (x) függvény integrálható az intervallumon, akkor nyilvánvalóan integrálható egy tetszőleges [a, x] intervallumon is, amely -be van ágyazva. Funkció 
,
ahol x О változó felső határú integrálnak nevezzük. Az Ф (x) függvény értéke az x pontban egyenlő az [a, x] szakaszon az y = f (x) görbe alatti S(x) területtel. Ez egy változó felső határú integrál geometriai jelentése.
Tétel. Ha az f (x) függvény folytonos egy intervallumon, akkor az Ф (x) függvény is folytonos [a, b]-n.
Legyen Δх olyan, hogy x + Δ x О . Nekünk van
Az átlagérték tétel szerint О [ x, x + Δ x]-vel van olyan érték, hogy mivel О-vel és az f (x) függvény korlátos, akkor a határértékhez Δ x → 0 alakban átlépve kapjuk.
ODR 1. rend
Mi a különbség a homogén differenciálegyenletek és az egyéb típusú differenciálegyenletek között? Ezt a legegyszerűbben egy konkrét példával lehet azonnal megmagyarázni.
Differenciálegyenlet megoldása
Mit kell először elemezni az elsőrendű differenciálegyenlet megoldásakor? Mindenekelőtt azt kell ellenőrizni, hogy lehetséges-e a változók azonnali elkülönítése „iskolai” műveletekkel? Ez az elemzés általában mentálisan történik, vagy úgy, hogy megpróbálják szétválasztani a változókat egy piszkozatban.
Ebben a példában a változók nem oszthatók fel (megpróbálhatja a kifejezéseket részről részre dobni, a tényezőket zárójelből kiemelni stb.). Egyébként ebben a példában az a tény, hogy a változók nem oszthatók, teljesen nyilvánvaló a szorzó jelenléte miatt
Felmerül a kérdés: hogyan lehet megoldani ezt a diffúz problémát?
Meg kell vizsgálni, hogy ez az egyenlet homogén-e? Az ellenőrzés egyszerű, maga az ellenőrző algoritmus a következőképpen fogalmazható meg:
Az eredeti egyenlethez:
x helyett y helyett a származékot helyettesítjük érintés nélkül: 
A lambda betű valami elvont numerikus paraméter, a lényeg nem magukban a lambdákban van, és nem az értékükben, hanem ez:
Ha a transzformációk eredményeként az ÖSSZES „lambdát” le lehet redukálni (azaz megkapjuk az eredeti egyenletet), akkor ez a differenciálegyenlet homogén.
Nyilvánvaló, hogy a lambdákat azonnal csökkenti a kitevő: 
Most a jobb oldalon kivesszük a lambdát a zárójelekből: 
Az egyenlet mindkét oldala ugyanarra a lambdára redukálható: Ennek eredményeként az összes lambda eltűnt, mint egy álom, mint a reggeli köd, és megkaptuk az eredeti egyenletet.
Következtetés: Ez az egyenlet homogén
LOU.A megoldások általános tulajdonságai
vagyis az ismeretlen függvényhez képest lineáris yés származékai és . Ennek az egyenletnek az együtthatói és a jobb oldala folytonosak.
Ha az egyenlet jobb oldala , akkor az egyenletet lineárisan inhomogénnek nevezzük. Ha , akkor az egyenletnek van alakja
 | (9) |
és lineáris homogénnek nevezzük.
Legyen és a (9) egyenlet néhány konkrét megoldása, azaz ne tartalmazzon tetszőleges állandókat.
1. tétel. Ha és egy másodrendű lineáris homogén egyenlet két parciális megoldása, akkor ezek is megoldásai ennek az egyenletnek.
Mivel és a (9) egyenlet megoldásai, ezt az egyenletet azonossággá alakítják, azaz
 És  | (10) |
Helyettesítsük be a (9) egyenletbe. Akkor nálunk van:
(10) alapján. Ez azt jelenti, hogy ez az egyenlet megoldása.
2. tétel. Ha egy másodrendű lineáris homogén egyenlet megoldása, és C–konstans, akkor ennek az egyenletnek is megoldása.
Bizonyíték. Helyettesítsük be a (9) egyenletbe. Kapunk: vagyis az egyenlet megoldását.
Következmény. Ha és a (9) egyenlet megoldásai, akkor az (1) és (2) tétel alapján annak megoldásai is.
Meghatározás. Két megoldást és egyenletet (9) lineárisan (intervallumtól) függőnek nevezünk, ha lehetséges olyan számokat kiválasztani, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával úgy, hogy ezeknek a megoldásoknak a lineáris kombinációja azonosan egyenlő nullával -on, azaz ha .
Ha ilyen számok nem választhatók ki, akkor a megoldásokat lineárisan függetlennek nevezzük (a szakaszon).
Nyilvánvaló, hogy a és megoldások akkor és csak akkor lesznek lineárisan függőek, ha arányuk állandó, azaz (vagy fordítva).
Valójában, ha és lineárisan függőek, akkor ahol legalább egy állandó vagy nem nulla. Legyen például . Ekkor , , Jelölve kapunk , vagyis a kapcsolat állandó.
Vissza, ha akkor 
. Itt az együttható -ban, azaz különbözik nullától, ami definíció szerint azt jelenti, hogy és lineárisan függőek.
Megjegyzés. A lineárisan független megoldások definíciójából és a fenti érvelésből arra a következtetésre juthatunk, hogy ha és lineárisan függetlenek, akkor arányuk nem lehet állandó.
Például a és at függvények lineárisan függetlenek, hiszen 
, mert . Itt van az 5 funkció xÉs x– lineárisan függőek, mivel arányuk .
Tétel. Ha a és lineárisan független parciális megoldásai egy másodrendű lineáris homogén egyenletnek, akkor ezek lineáris kombinációja, ahol és tetszőleges állandók, általános megoldása ennek az egyenletnek.
Bizonyíték. Az 1. és 2. Tétel (és ezek következményei) alapján ez a (9) egyenlet megoldása tetszőleges és állandó választásra.
Ha a és megoldások lineárisan függetlenek, akkor – általános megoldás, mivel ez a megoldás két tetszőleges állandót tartalmaz, amelyek nem redukálhatók eggyel.
Ugyanakkor még ha lineárisan függő megoldások is lennének, az már nem lenne általános megoldás. Ebben az esetben hol α -állandó. Aztán hol van egy konstans. nem lehet általános megoldása egy másodrendű differenciálegyenletnek, mivel csak egy állandótól függ.
Tehát a (9) egyenlet általános megoldása:
19. A lineárisan független függvényrendszer fogalma. Vronszkij meghatározója. elegendő feltétele a lineáris függetlenségnek. egy alapvető funkciórendszer fogalma. Példák. Szükséges és elégséges feltétel ahhoz, hogy a Wronski-determináns eltérjen a nullától az [a,c] intervallumon
A lineárisan független függvényrendszer fogalma 
Funkciók 
lineárisan függőnek nevezzük, ha az egyik a többi lineáris kombinációja. Más szóval, a funkciók lineárisan függőnek nevezzük, hogy vannak-e olyan számok, amelyek közül legalább az egyik nem egyenlő nullával úgy, hogy
Ha a (4) azonosság csak abban az esetben teljesül, ha mind, akkor a függvényeket lineárisan függetlennek nevezzük.
Lineárisan független megoldások rendszere egy intervallumon
A folytonos együtthatókkal rendelkező (3) harmadrendű homogén differenciálegyenletet ezen egyenlet alapvető megoldási rendszerének nevezzük.
A (3) harmadrendű lineáris homogén differenciálegyenlet folytonos együtthatós megoldásához meg kell találni annak alapvető megoldási rendszerét.
Az 1. tétel szerint a megoldások tetszőleges lineáris kombinációja, azaz az összeg
, (5)
ahol tetszőleges számok vannak, az viszont a (3) egyenlet megoldása a -n. De kiderül, hogy fordítva, a (3) differenciálegyenlet minden megoldása az intervallumon a jelzett (független) részmegoldások valamilyen lineáris kombinációja (lásd alább a 4. tételt), ami egy alapvető megoldási rendszert alkot.
Így a (3) homogén differenciálegyenlet általános megoldása (5) alakú, ahol tetszőleges állandók és (3) részmegoldások vannak, amelyek a homogén egyenlet alapvető megoldási rendszerét alkotják.
Figyeljük meg, hogy az (1) inhomogén egyenlet általános megoldása annak bármely konkrét megoldásának és a homogén egyenlet általános megoldásának összege
. (6)
Valóban,
.
Másrészt, ha van tetszőleges megoldása az (1) egyenletnek, akkor
és ezért egy homogén egyenlet megoldása; de hát vannak olyan számok
,
azaz a (6) egyenlőség ezekre a számokra érvényes.
Vronszkij meghatározója.
Tétel 2. Ha a függvények lineárisan függenek a determinánstól, és vannak deriváltjai a harmadrendig, majd a determinánstól
. (7)
én
A determinánst (7) Wronski-determinánsnak vagy Wronski-determinánsnak nevezik, és a szimbólummal jelöljük 
.
Bizonyíték. Mivel a funkciók lineárisan függenek -tól, akkor léteznek olyan számok, amelyek nem mindegyike egyenlő nullával, amelyekre a (4) azonosság érvényes. Egyszer differenciálva egy egyenletrendszert kapunk
Feltétel szerint ennek a homogén rendszernek van egy nemtriviális megoldása (vagyis legalább egy) a -ra. Ez utóbbi akkor lehetséges, ha a rendszer determinánsa, amely a Wronski-determináns, azonos nullával. A tétel bizonyítást nyert.
Megjegyzés. A 2. Tételből következik, hogy ha legalább egy pontban, akkor a függvények lineárisan függetlenek -on.
2. példa A függvények lineárisan függetlenek bármely től, hiszen
.
3. példa A függvények lineárisan függetlenek bármely if - különböző számtól (valós vagy komplex).
Valóban.
,
mivel az utolsó determináns a Vandermonde-determináns, amely különbözőek esetén nem egyenlő nullával.
4. példa: Funkciók 
lineárisan függetlenek bármely .
Mivel
akkor ezeknek a függvényeknek a lineáris függetlensége következik a második példából.
Tétel 3. A megoldások érdekében 
lineáris differenciálhomogén egyenletek folytonos együtthatókkal lineárisan függetlenek -tól, szükséges és elegendő, hogy minden .
Bizonyíték. 1) Ha be, akkor a függvények lineárisan függetlenek, függetlenül attól, hogy megoldásai-e az egyenletre vagy sem (lásd a megjegyzést).
2) Legyenek lineárisan független függvények és megoldásai az egyenletnek.
Bizonyítsuk be ezt mindenhol. Tegyük fel az ellenkezőjét, hogy van egy pont, ahol . Válasszunk olyan számokat, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával, így ezek a rendszer megoldásai
(8)
Ez megtehető, mivel a (8) rendszer determinánsa . Ezután az 1. Tétel szerint a függvény 
megoldása lesz az egyenletnek nulla kezdeti feltétellel (a (8) szerint)
De a triviális megoldás is kielégíti ugyanezeket a feltételeket. A létezés és az egyediség tétele értelmében ezeknek a kezdeti feltételeknek csak egy megoldása lehet, ezért a függvények lineárisan függenek -tól, amit nem feltételeztünk. A tétel bizonyítást nyert.
Ha nem folytonos függvények vannak abban az intervallumban, ahol megoldást keresünk, akkor az egyenletnek több megoldása is lehet, amely kielégíti a kezdeti feltételeket, és akkor lehetséges, hogy -on.
5. példa Könnyen ellenőrizhető, hogy a funkciók működnek
lineárisan függetlenek a -n és számukra -on.
Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a funkció 
az egyenlet általános megoldása
,
Ahol 
pontban nem folytonos. Ennél az egyenletnél a létezés és egyediség tétel nem állja meg a helyét (a pont közelében). Nemcsak a függvény, hanem a függvény is egy differenciálegyenlet megoldása, amely kielégíti a feltételeket és -re.
Az általános megoldás felépítése.
én ndex.Direct Összes hirdetés Egyenletmegoldás online! LoviOtvet kalkulátor – oldjon meg egyenleteket egyetlen kattintással! Töltse le ingyen!loviotvet.ru Ki Jézus Hogyan lehet megtudni, ki is valójában Jézus Krisztus?godlovesrussia.com
4. Tétel. Ha lineárisan független megoldások egy harmadrendű lineáris homogén differenciálegyenlet folytonos együtthatókkal 
, majd a függvény
, (9)
ahol tetszőleges állandók vannak, az egyenlet általános megoldása, azaz a (9) összeg bármely , megoldása ennek az egyenletnek, és fordítva, ennek az egyenletnek bármely megoldása ábrázolható (9) összegként a megfelelő értékei .
Bizonyíték. Azt már tudjuk, hogy a tetszőleges (9) összeg az egyenlet megoldása. Fordítva legyen tetszőleges megoldása ennek az egyenletnek. Tegyük fel
A kapott számokért 
alkossunk egy lineáris egyenletrendszert ismeretlen számokra: , elég néhány valós állandót találni. A (8) egyenlet általános megoldásának megtalálásához ezt tesszük. Összeállítjuk a (8) egyenlet karakterisztikus egyenletét: . A kezdeti feltételeket felhasználva meghatározzuk
Tekintsük a lineáris differenciálegyenletet n-edik sorrend
y (n) + a n -1 (x)y (n- 1) + ... + a 1 (x)y" + a 0 (x)y = f(x).
folytonos együtthatókkal a n -1 (x), a n -2 (x), ..., a 1 (x), a 0 (x) és a folyamatos jobb oldal f(x).
Szuperpozíció elve a következők alapján lineáris differenciálegyenletek megoldásainak tulajdonságai.
1. Ha y 1 (x) És y 2 (x) - lineáris homogén differenciálegyenlet két megoldása
y (n) + a n -1 (x)y (n- 1) + ... + a 1 (x)y" + a 0 (x)y = 0
akkor ezek bármely lineáris kombinációja y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) ennek a homogén egyenletnek a megoldása.
2. Ha y 1 (x) És y 2 (x) - lineáris inhomogén egyenlet két megoldása L(y) = f(x), akkor a különbségük y(x) = y 1 (x) − y 2 (x) a homogén egyenlet megoldása L(y) = 0 .
3. Inhomogén lineáris egyenlet tetszőleges megoldása L(y) = f(x) egy inhomogén egyenlet bármely rögzített (partikuláris) megoldásának és egy homogén egyenlet valamilyen megoldásának összege.
4. Ha y 1 (x) És y 2 (x) - lineáris inhomogén egyenletek megoldásai L(y) = f 1 (x) És L(y) = f 2 (x) ennek megfelelően, majd azok összegét y(x) =y 1 (x) + y 2 (x) az inhomogén egyenlet megoldása L(y) = f 1 (x) + f 2 (x).
Általában ezt az utolsó állítást hívják szuperpozíció elve.
Az állandók variálásának módszere
Tekintsük a harmadrendű inhomogén egyenletet
ahol az együtthatók és a jobb oldal folytonos függvényeket kapnak az intervallumon.
Tegyük fel, hogy ismerjük a megoldások alapvető rendszerét megfelelő homogén egyenlet
Ahogy az 1.15. §-ban ((6) képlet) megmutattuk, az (1) egyenlet általános megoldása egyenlő a (2) egyenlet általános megoldásának és az (1) egyenlet bármely megoldásának összegével.
Az (1) inhomogén egyenlet megoldása lehet
A határozatlan integrálban lévő változó megváltoztatása olyan integrálok keresésére szolgál, amelyekben az egyik függvény egy másik függvény deriváltja. Legyen egy $ \int f(x) dx $ integrál, tegyük meg a $ x=\phi(t) $ helyettesítést. Figyeljük meg, hogy a $ \phi(t) $ függvény differenciálható, így megtaláljuk a $ dx = \phi"(t) dt $ függvényt.
Most behelyettesítjük a $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ elemet az integrálba, és azt kapjuk, hogy:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Ez az egy határozatlan integrálban lévő változó megváltoztatásának formulája.
A változócsere módszer algoritmusa
Így, ha a feladatnak a következő alakú integrált adjuk: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Célszerű a változót egy újra cserélni: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Ezt követően az integrál az alapvető integrációs módszerekkel könnyen átvehető formában kerül bemutatásra: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$
Ne felejtse el visszaadni a helyettesített változót is $x$ értékre.
Példák megoldásokra
| 1. példa |
|
Keresse meg a határozatlan integrált a változómódosítással: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Megoldás |
|
Az integrálban lévő változót a következőre cseréljük: $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Az exponenciális integrálja továbbra is ugyanaz az integrációs tábla szerint, bár $ x $ helyett $ t $ van írva: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától! |
| Válasz |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Integráció helyettesítéssel (változó helyettesítés). Tegyük fel, hogy olyan integrált kell kiszámítania, amely nem táblázatos. A helyettesítési módszer lényege, hogy az integrálban az x változót a t változóval helyettesítjük az x = q(t) képlet szerint, amelyből dx = q"(t)dt.
Tétel. Legyen az x=t(t) függvény definiálva és differenciálható egy bizonyos T halmazon, és legyen X ennek a függvénynek azon értékkészlete, amelyen az f(x) függvény definiálva van. Ekkor ha az X halmazon az f(x) függvénynek van antideriváltja, akkor a T halmazon a képlet érvényes:
Az (1) képletet a változó formula változásának nevezzük a határozatlan integrálban.
Integráció alkatrészek szerint. A részenkénti integráció módszere a két függvény szorzatának differenciálképletéből következik. Legyen u(x) és v(x) az x változó két differenciálható függvénye. Akkor:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Az egyenlőség mindkét oldalát (3) integrálva kapjuk:
De azóta:
A (4) relációt részenkénti integráció képletnek nevezzük. Ezzel a képlettel keressük meg az integrált. Akkor célszerű használni, ha a (4) képlet jobb oldalán lévő integrált egyszerűbb kiszámítani, mint az eredetit.
A (4) képletben nincs tetszőleges C állandó, mivel ennek a képletnek a jobb oldalán van egy tetszőleges állandót tartalmazó határozatlan integrál.
Bemutatunk néhány gyakran előforduló integráltípust, amelyet a részenkénti integráció módszerével számítanak ki.
I. A forma integráljai, (P n (x) egy n fokú polinom, k egy bizonyos szám). Ezen integrálok megtalálásához elegendő beállítani az u=P n (x) értéket, és n-szer alkalmazni a (4) képletet.
II. A (Pn(x) n fokú polinom x-hez képest) alak integráljai. Megtalálhatók a frekvenciák használatával, u-ra véve egy függvényt, amely P n (x) szorzója.
A változók változtatásai egyszerű integrálok kiértékelésére, esetenként a bonyolultabbak számításának egyszerűsítésére használhatók.
A változócsere módszere az, hogy az eredeti integrációs változóról, legyen az x, áttérünk egy másik változóra, amelyet t-vel jelölünk. Ebben az esetben úgy gondoljuk, hogy az x és t változókat valamilyen x = x összefüggés köti össze (t), vagy t = t (x). Például x = ln t, x = sint, t = 2 x + 1, stb. A feladatunk az, hogy olyan összefüggést válasszunk x és t között, hogy az eredeti integrál vagy táblázatossá csökkenjen, vagy egyszerűbbé váljon.
Alap változó helyettesítési képlet
Tekintsük az integráljel alatt álló kifejezést. Az integrandus szorzatából áll, amelyet f-ként jelölünk (x)és differenciál dx: . Lépjünk egy új t változóra valamilyen x = x reláció kiválasztásával (t). Ekkor ki kell fejeznünk az f függvényt (x)és a dx differenciál a t változón keresztül.
Az f integrandusfüggvény kifejezésére (x) a t változón keresztül csak a kiválasztott x = x relációt kell behelyettesíteni az x változó helyett (t).
A differenciál átalakítás a következőképpen történik:
.
Vagyis a dx differenciál egyenlő x t-re vonatkozó deriváltjának és dt differenciáljának szorzatával.
Akkor
.
A gyakorlatban a leggyakoribb eset, amikor a cserét úgy hajtjuk végre, hogy a régi függvényében új változót választunk: t = t (x). Ha sejtettük, hogy az integrandusfüggvény a következőképpen ábrázolható
,
hol t′ (x) t deriváltja x-hez képest, akkor
.
Tehát az alapváltozó-helyettesítő képlet két formában is bemutatható.
(1)
,
ahol x a t függvénye.
(2)
,
ahol t x függvénye.
Fontos jegyzet
Az integráltáblázatokban az integrációs változót leggyakrabban x-ként jelölik. Érdemes azonban figyelembe venni, hogy az integrációs változót bármilyen betűvel jelölhetjük. Ezenkívül bármilyen kifejezés használható integrációs változóként.
Példaként tekintsük a táblázat integrált
.
Itt x helyettesíthető bármely más változóval vagy egy változó függvényével. Példák a lehetséges lehetőségekre:
;
;
.
Az utolsó példában figyelembe kell venni, hogy amikor az x integrációs változóra lépünk, a differenciál a következőképpen alakul:
.
Akkor
.
Ez a példa a helyettesítéssel történő integráció lényegét ragadja meg. Vagyis ezt ki kell találnunk
.
Ezután az integrál táblázatossá redukálódik.
.
Ezt az integrált a változó változásával a képlet segítségével értékelheti ki (2)
. Tegyük fel, hogy t = x 2+x. Akkor
;
;
.
Példák a változó változtatásával történő integrációra
1)
Számítsuk ki az integrált
.
Ezt észrevesszük (sin x)′ = cos x. Akkor
.
Itt a t = helyettesítést használtuk bűn x.
2)
Számítsuk ki az integrált
.
Azt vesszük észre. Akkor
.
Itt a t = változó megváltoztatásával végeztük el az integrációt arctan x.
3)
Integráljunk
.
Azt vesszük észre. Akkor
. Itt az integráció során a t = x változót helyettesítjük 2 + 1
.
Lineáris helyettesítések
Talán a leggyakoribbak a lineáris helyettesítések. Ez helyettesíti az űrlap változóját
t = ax + b,
ahol a és b állandók. Egy ilyen csere esetén a különbségeket a reláció kapcsolja össze
.
Példák a lineáris helyettesítésekkel történő integrációra
A) Integrál kiszámítása
.
Megoldás.
.
B) Keresse meg az integrált
.
Megoldás.
Használjuk az exponenciális függvény tulajdonságait.
.
2-ben- ez állandó. Kiszámoljuk az integrált.
.
C) Integrál kiszámítása
.
Megoldás.
A tört nevezőjében lévő másodfokú polinomot redukáljuk négyzetek összegére.
.
Kiszámoljuk az integrált.
.
D) Keresse meg az integrált
.
Megoldás.
Alakítsuk át a gyök alatti polinomot.
.
Változócsere módszerrel integrálunk.
.
Korábban megkaptuk a képletet
.
Innen
.
Ezt a kifejezést behelyettesítve megkapjuk a végső választ.
E) Integrál kiszámítása
.
Megoldás.
Alkalmazzuk a képletet a szinusz és koszinusz szorzatára.
;
.
Integrálunk és helyettesítünk.
.
Referenciák:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikában, „Lan”, 2003.
Ebben a leckében megismerkedünk az egyik legfontosabb és legelterjedtebb technikával, amelyet határozatlan integrálok megoldásánál alkalmaznak - a változóváltás módszerével. Az anyag sikeres elsajátításához kezdeti ismeretek és integrációs készségek szükségesek. Ha az integrálszámításban üres teli vízforraló érzése van, akkor először meg kell ismerkednie az anyaggal, ahol hozzáférhető formában elmagyaráztam, mi az integrál, és részletesen elemeztem a kezdőknek szóló alapvető példákat.
Technikailag a változó megváltoztatásának módszere egy határozatlan integrálban kétféleképpen valósul meg:
– A függvényt a differenciáljel alá foglalva;
– Valójában a változó cseréje.
Lényegében ugyanazok, de a megoldás kialakítása másképp néz ki.
Kezdjük egy egyszerűbb esettel.
Függvény felvétele a differenciáljel alá
A leckében Határozatlan integrál. Példák megoldásokra megtanultuk, hogyan kell kinyitni a differenciálművet, emlékeztetem a példámra, amit adtam:
Vagyis egy differenciál felfedése formálisan majdnem ugyanaz, mint a derivált megtalálása.
1. példa
Végezzen ellenőrzést.
Megnézzük az integrálok táblázatát, és hasonló képletet találunk: 
. De a probléma az, hogy a szinusz alatt nem csak az „X” betű van, hanem egy összetett kifejezés. Mit kell tenni?
A függvényt a differenciáljel alá visszük:
A differenciálmű kinyitásával könnyen ellenőrizhető, hogy: 
Valójában és 
ugyanarról a dologról készült felvétel.
A kérdés azonban továbbra is fennáll, hogyan jutottunk arra a gondolatra, hogy első lépésben pontosan így kell megírnunk az integrálunkat: 
? Miért van ez és miért nem?
Képlet 
(és az összes többi táblázati képlet) NEM CSAK a változóra érvényes és alkalmazható, hanem bármely összetett kifejezésre is CSAK FUNKCIÓARGUMENTUMKÉNT(- példánkban) ÉS A KIFEJEZÉS A KÜLÖNBSÉGJEL ALATT VOLT UGYANAZ
.
Ezért a megoldás során a mentális érvelésnek valami ilyesminek kell lennie: „Meg kell oldanom az integrált. Megnéztem a táblázatot és hasonló képletet találtam 
. De van egy összetett érvem, és nem tudom azonnal használni a képletet. Viszont ha sikerül a differenciáltábla alá vinnem, akkor minden rendben lesz. Ha leírom, akkor. De az eredeti integrálban nincs hármas tényező, ezért ahhoz, hogy az integrand függvény ne változzon, meg kell szoroznom a "-vel. Körülbelül ilyen mentális okoskodás során a következő szócikk születik:
Most már használhatja a táblázatos képletet 
:
Kész
Az egyetlen különbség az, hogy nem „X” betűnk van, hanem összetett kifejezés.
Ellenőrizzük. Nyissa meg a derivált táblázatot, és különböztesse meg a választ: 
Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy az ellenőrzés során az összetett függvény megkülönböztetésének szabályát alkalmaztuk 
. Lényegében a függvényt a differenciáljel alá foglalva és 
- ez két egymással ellentétes szabály.
2. példa
Elemezzük az integrand függvényt. Itt van egy tört, és a nevező egy lineáris függvény (az első hatvány „x”-szel). Megnézzük az integrálok táblázatát, és megtaláljuk a leginkább hasonlót: 
.
A függvényt a differenciáljel alá visszük: 
Azok, akik nehezen tudják azonnal kitalálni, hogy melyik törttel szorozzák, gyorsan felfedhetik a különbséget egy piszkozatban: . Igen, kiderült, hogy ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy semmi ne változzon, meg kell szoroznom az integrált -val.
Ezután a táblázatos képletet használjuk 
:
Vizsgálat: 
Az eredeti integrand függvényt megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az integrált helyesen találtuk meg.
3. példa
Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.
4. példa
Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A válasz a lecke végén található.
Némi tapasztalattal az integrálok megoldásában, az ilyen példák egyszerűnek tűnnek, és úgy csattannak, mint a dió:
A szakasz végén szeretnék még kitérni a „szabad” esetre, amikor egy lineáris függvényben egy változó egységnyi együtthatóval lép be, például:
Szigorúan véve a megoldásnak így kell kinéznie:
Amint látható, a függvényt a differenciáljel alá szedni „fájdalommentesen”, minden szorzás nélkül zajlott. Ezért a gyakorlatban egy ilyen hosszú megoldást gyakran figyelmen kívül hagynak, és ezt azonnal le is írják 
. De készülj fel, ha szükséges, elmagyarázod a tanárnak, hogyan oldottad meg! Mert valójában nincs integrál a táblázatban.
Változómódosítási módszer határozatlan integrálban
Térjünk át az általános esetre - a változók megváltoztatásának módszerére a határozatlan integrálban.
5. példa
Keresse meg a határozatlan integrált.
Példaként azt az integrált vettem, amelyet az óra legelején megnéztünk. Mint már mondtuk, az integrál megoldásához a táblázatos képlet tetszett 
, és le szeretném szűkíteni az egész ügyet.
A helyettesítési módszer mögött meghúzódó gondolat az cserélje ki az összetett kifejezést (vagy valamilyen függvényt) egyetlen betűvel.
Ebben az esetben a következőket kéri:
A második legnépszerűbb helyettesítő betű a levél.
Elvileg használhatsz más betűket is, de továbbra is ragaszkodunk a hagyományokhoz.
Így: 
De ha lecseréljük, akkor marad! Valószínűleg sokan sejtették, hogy ha áttérünk egy új változóra, akkor az új integrálban mindent betűn keresztül kell kifejezni, és ott egyáltalán nincs helye differenciálnak.
A logikus következtetés az, hogy szükséges olyan kifejezéssé alakul, amely csak attól függ.
A művelet a következő. Miután kiválasztottunk egy helyettesítőt, ebben a példában meg kell találnunk a különbséget. A különbségekkel azt hiszem, mindenki barátságot kötött már.
Azóta
A differenciálmű szétszerelése után azt javaslom, hogy a lehető legrövidebbre írja át a végeredményt:
Most az arányossági szabályok szerint kifejezzük, mire van szükségünk:
Végül is: 
És így: 
És ez már a legtáblásabb integrál 
(a változóra természetesen az integrálok táblázata is érvényes).
Végül már csak a fordított cserét kell végrehajtani. Emlékezzünk erre.
Kész.
A vizsgált példa végső kialakításának valahogy így kell kinéznie:
“
Cseréljük: 
“
Az ikonnak nincs matematikai jelentése, ez azt jelenti, hogy megszakítottuk a megoldást köztes magyarázatokra.
Példa elkészítésekor egy jegyzetfüzetben jobb, ha a fordított helyettesítést egyszerű ceruzával jelöli meg.
Figyelem! A következő példákban a különbség megtalálását nem írjuk le részletesen.
És most itt az ideje, hogy emlékezzünk az első megoldásra: 
Mi a különbség? Nincs alapvető különbség. Valójában ugyanaz. De a feladat megtervezése szempontjából a függvény differenciáljel alá vonásának módja sokkal rövidebb.
Felmerül a kérdés. Ha az első módszer rövidebb, akkor miért használja a helyettesítési módszert? A helyzet az, hogy számos integrál esetében nem olyan egyszerű a függvényt a differenciál előjeléhez „illeszteni”.
6. példa
Keresse meg a határozatlan integrált. 
Cseréljünk: (itt nehéz más cserét elképzelni) 
Amint látható, a csere eredményeként az eredeti integrál jelentősen leegyszerűsödött - egy közönséges teljesítményfunkcióra csökkent. Ez a csere célja - az integrál egyszerűsítése.
A lusta haladók könnyen megoldhatják ezt az integrált, ha a függvényt a differenciáljel alá foglalják: 
A másik dolog az, hogy egy ilyen megoldás nyilvánvalóan nem minden diáknak való. Ezen túlmenően, már ebben a példában a függvénynek a differenciáljel alá vonásának módszerének használata jelentősen megnöveli annak kockázatát, hogy egy döntés során összezavarodnak.
7. példa
Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.
8. példa
Keresse meg a határozatlan integrált. 
Csere:
Majd kiderül, mi lesz belőle 
Oké, kifejeztük, de mit kezdjünk a számlálóban maradó „X”-el?!
Az integrálok megoldása során időről időre a következő trükkel találkozunk: ugyanabból a helyettesítésből fogunk kifejezni ! 
9. példa
Keresse meg a határozatlan integrált.
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A válasz a lecke végén található.
10. példa
Keresse meg a határozatlan integrált.
Bizonyára néhányan észrevették, hogy a keresőtáblámban nincs változó helyettesítési szabály. Ezt szándékosan tették. A szabály zavart okozna a magyarázatban és a megértésben, mivel a fenti példákban nem jelenik meg kifejezetten.
Itt az ideje, hogy beszéljünk a változó helyettesítési módszer használatának alapfeltevéséről: az integrandusnak tartalmaznia kell valamilyen függvényt és származékát:(előfordulhat, hogy a funkciók nincsenek a termékben)
Ebben a tekintetben az integrálok keresésekor gyakran meg kell nézni a derivált táblázatot.
A vizsgált példában azt látjuk, hogy a számláló foka eggyel kisebb, mint a nevező mértéke. A derivált táblázatban találjuk a képletet, amely éppen eggyel csökkenti a fokot. Ez pedig azt jelenti, hogy ha ezt jelöli ki nevezőnek, akkor nagy az esélye, hogy a számlálóból valami jó lesz.
