Алгебраическое выражение
выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4
является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:
Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь
Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова
Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия
ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
Статьи по естественным наукам и математике
Что такое числовое и алгебраическое выражение?
Числовое выражение - это любая запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий и записанная по известным правилам, вследствие чего имеющая определенный смысл. Например, числовыми выражениями являются такие записи: 4 + 5; -1,05 × 22,5 — 34. С другой стороны, запись × 16 — × 0,5 не является числовой, так как, хотя и состоит из чисел и знаков арифметических операций, записана не по правилам составления числовых выражений.
Если в числовом выражении встречаются буквы вместо чисел (всех или только некоторых), то это выражение является уже алгебраическим .
Смысл использования букв заключается примерно в следующем. Вместо букв могут быть подставлены разные числа, а значит выражение может иметь различные значения. Алгебра как наука изучает принципы упрощения выражений, поиска и использования различных правил, законов, формул. Алгебра изучает наиболее рациональные способы выполнения вычислений, а как раз для этого нужны обобщения, то есть использование переменных (букв) вместо конкретных чисел.
К алгебраическим фактам можно отнести законы сложения и умножения, понятия отрицательного числа, обыкновенной и десятичной дробей и правила арифметических операций с ними, свойства обыкновенных дробей. Алгебра призвана разобраться во всем этом многообразии фактов, научить их использовать, видеть применимость законов в конкретных числовых и алгебраических выражениях.
Когда числовое выражение вычисляется, то в результате получается его значение. Значение же алгебраического выражение может быть вычислено только, если вместо букв будут подставлены определенные числовые значения. Например, выражение a ÷ b при a = 3 и b = 5 имеет значение 3 ÷ 5 или 0,6. Однако алгебраическое выражение может быть таким, что при некоторых значениях переменных (букв) может вовсе не иметь смыла. Для того же примера (a ÷ b) выражение не имеет смысла при b = 0, так как на ноль делить нельзя.
Поэтому говорят о допустимых и недопустимых значениях переменных для того или иного алгебраического выражения.
scienceland.info
Алгебраические выражения
- Определение понятия
- Значение выражения
- Тождественные выражения
- Решение задач
- Что мы узнали?
Определение понятия
Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:
Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .
Значение выражения
Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.
Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).
Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.
Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.
Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.
Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5. Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.
Тождественные выражения
Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными
.
Пример тождественных выражений
:
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.
Пример тождественного преобразования
.
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.
Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.
Решение задач
Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?
Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.
Теперь решим полученное уравнение.
Петя загадал число 12.
Что мы узнали?
Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.
6.4.1. Алгебраическое выражение
I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
Примеры алгебраических выражений:
2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение - выражением с переменной.
II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Примеры. Найти значение выражения:
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).
Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?
Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!
В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.
В примере 2) знаменатель х - 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.
В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.
В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.
Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:
(a+b)·c=a·c+b·c
(распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c
(распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:
4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.
Решение. Применим законы (свойства) сложения:
a+b=b+a
(переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.
в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
Решение. Применим законы (свойства) умножения:
a·b=b·a
(переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c)
(сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.
8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.
9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.
Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.
Примеры. Упростите, используя сокращение дробей. 
Решение. Сократить дробь - это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:
Алгебраические выражения применяют для составления формул.
Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s - пройденный путь, v - скорость, t - время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.
www.mathematics-repetition.com
Правило значение алгебраического выражения
Числовые и алгебраические выражения
В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами , решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика» . В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины - свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.
Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления , но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача - помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача - не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.
На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.
Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 - числовое выражение, тогда как 3 + : - не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алгоритмы, формулы, теоремы.
Пример 1 . Упростить числовое выражение:
Решение . Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном примере будет таким:
1) найдем значение А выражения в первых скобках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81;
2) найдем значение В выражения во вторых скобках:
3) разделим А на Б - тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);
4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
D = 25 — 37- 0,4;
5) разделим С на D - это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана - половина
успеха!), приступим к его реализации.
1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математические факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причем не просто вспомнить, но и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.
4. Сочетательный закон сложения:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = а(bс).
6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби , отрицательного числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
10. Правила действий с положительными и отрицательными числами . Все это вы знаете, но ведь все это - алгебраические факты. Таким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1, заключается в том, что таких фактов довольно много, причем их надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нужное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т.е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными.
б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно находим:
А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в других аналогичных случаях)? Это значит, что при : заданное алгебраическое выражение не имеет смысла.
Используется такая терминология: если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми.
Так, в примере 2 значения a = 1 и b = 2, а = 3,7 и b = -1,7 - допустимые, тогда как значения
недопустимые (более точно: первые две пары значений - допустимые, а третья пара значений - недопустимая).
Вообще, в примере 2 недопустимыми будут такие значения переменных а, b, при которых либо а + b = 0, либо а — b = 0. Например, a = 7, b = — 7 или a = 28,3, b = 28,3 - недопустимые пары значений; в первом случае a + b = 0, а во втором случае a — b = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается в нуль, а на нуль, повторим еще раз, делить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений для переменных а, b, так и недопустимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте!
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.
Алгебраическое выражение - это любая запись из букв, чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленная со смыслом. По сути, алгебраическое выражение – это числовое выражение , в котором помимо чисел употребляются также и буквы. Поэтому алгебраические выражения также называют буквенными выражениями.
В основном в буквенных выражениях используют буквы латинского алфавита. Для чего же нужны эти буквы? Вместо них мы можем подставить различные числа. Поэтому эти буквы называются переменными. То есть они могут менять свое значение.
Примеры алгебраических выражений.
$\begin{align} & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac{a-b}{2}; \\ & \\ & \sqrt{{{b}^{2}}-4ac};\,\,\,\,\,\frac{2}{z}+\frac{1}{h};\,\,\,\,\,a{{x}^{2}}+bx+c; \\ \end{align}$
Если, например, в выражении x + 5 мы подставим вместо переменной х какое-нибудь число, то мы получим числовое выражение. При этом, значение этого числового выражения будет значением алгебраического выражения x + 5 при данном значении переменной. То есть, при x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. А при x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.
Бывают такие значения переменной, при котором алгебраическое выражение теряет смысл. Так, например, будет, если в выражение 1:x мы подставим вместо x значение 0.
Так как на нуль делить нельзя.
Область определения алгебраического выражения.
Множество значений переменной, при которых выражение не теряет смысл, называется областью определения этого выражения. Также можно сказать, что область определения выражения – это множество всех допустимых значений переменной.
Рассмотрим примеры:
- y+5 – областью определения будут любые значения y.
- 1:x – выражение будет иметь смысл при всех значениях x кроме 0. Поэтому областью определения будут любые значения x за исключением нуля.
- (x+y):(x-y) – область определения – любые значения x и y, при которых x ≠ y.
Рациональные алгебраические выражения – это целые и дробные алгебраические выражения.
- Целое алгебраическое выражение – не содержит возведение в степень с дробным показателем, извлечение корня из переменной, а также деления на переменную. В целых алгебраических выражениях все значения переменных являются допустимыми. Например, ax + bx + c – целое алгебраическое выражение.
- Дробное – содержит деление на переменную. $\frac{1}{a}+bx+c$ - дробное алгебраическое выражение. В дробных алгебраических выражениях допустимыми являются все значения переменных, при которых не происходит деления на нуль.
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{\frac{2}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}};$ - иррациональные алгебраические выражения. В иррациональных алгебраических выражениях допустимыми являются все значения переменных, при которых выражение, стоящее под знаком корня четной степени не отрицательно.
Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.
Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.
В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.
Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.
Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.
Как решать алгебраические выражения?
Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.
Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.
Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).
А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:
находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);
находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;
вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;
возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);
возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);
находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);
вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);
используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.
Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:
рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:
целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;
дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;
иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.
Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.
Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.
При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .
Примеры решения
Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.
Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).
Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.
Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).
Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.
Заключение
При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.
Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.
Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Алгебраическое выражение - это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.
Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.
Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины. Так, например, выражение
a m +b n
при a =2, m =5, b =1, n =4 вычисляется: 2 · 5 + 1 · 4 = 14, а при a =3, m =4, b =5, n =1 вычисляется: 3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т.д.; выражение
a b с
при a =1, b =2, c =3, равно 6, а a =2, b =3, c =4, равно 24, и т.д.
Коэффициент
Произведение нескольких сомножителей a , b , c , d , пишется abcd . Если, кроме буквенных множителей, есть и численный (всё равно, целый или дробный), то он обычно ставится впереди и называется коэффициентом . Таким образом,
произведение величин a , b , c , d , 4 пишут так: 4abcd
произведение величин m , n , p пишут так: .
Числа 4 и - это коэффициенты. Очевидно, что 4abcd = abcd + abcd + abcd + abcd и точно также . Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.
Если при алгебраическом выражении нет коэффициента, то подразумевается, что он равен единице, так как a = 1 · a ; bc = 1 · bc и так далее.
Виды выражений
Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым , в противном случае дробным или алгебраической дробью .
