T 8 derivácia logaritmických a exponenciálnych funkcií. Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií - Knowledge Hypermarket. Prípad záporných hodnôt y

Hotové práce

STUPEŇ FUNGUJE

Veľa už prešlo a teraz ste absolvent, ak, samozrejme, prácu napíšete načas. Ale život je taká vec, že ​​až teraz je vám jasné, že keď prestanete byť študentom, stratíte všetky študentské radosti, z ktorých mnohé ste nikdy nevyskúšali, všetko odložíte a odložíte na neskôr. A teraz namiesto dobiehania pracuješ na diplomovej práci? Existuje vynikajúce riešenie: stiahnite si diplomovú prácu, ktorú potrebujete, z našej webovej stránky - a okamžite budete mať veľa voľného času!
Práce boli úspešne obhájené na popredných univerzitách Kazašskej republiky.
Cena práce od 20 000 tenge

KURZ FUNGUJE

Projekt kurzu je prvou serióznou praktickou prácou. Práve písaním ročníkových prác začína príprava na vypracovanie diplomových projektov. Ak sa študent naučí správne prezentovať obsah témy v projekte kurzu a správne ho formátovať, nebude mať v budúcnosti problémy s písaním referátov, ani so zostavovaním diplomových prác, či s plnením iných praktických úloh. Na pomoc študentom pri písaní tohto typu študentskej práce a na objasnenie otázok, ktoré sa vynárajú pri jej príprave, vznikla táto informačná sekcia.
Cena práce od 2500 tenge

MAGISTERSKÉ DIZERÁTNE PRÁCE

V súčasnosti je na vysokých školách v Kazachstane a krajinách SNŠ úroveň vyššieho odborného vzdelávania, ktorá nasleduje po bakalárskom stupni, veľmi bežná - magisterský stupeň. V magisterskom programe študenti študujú s cieľom získať magisterský titul, ktorý je vo väčšine krajín sveta uznávaný viac ako bakalársky a uznávajú ho aj zahraniční zamestnávatelia. Výsledkom magisterského štúdia je obhajoba diplomovej práce.
Poskytneme vám aktuálny analytický a textový materiál v cene sú 2 vedecké články a abstrakt.
Náklady na prácu od 35 000 tenge

PRAXE

Po absolvovaní akéhokoľvek typu študentskej praxe (vzdelávacej, priemyselnej, predpromócie) je potrebná správa. Tento dokument bude potvrdením praktickej práce študenta a základom pre udelenie známky za prax. Aby ste mohli vypracovať správu o stáži, musíte zvyčajne zhromaždiť a analyzovať informácie o podniku, zvážiť štruktúru a pracovnú rutinu organizácie, v ktorej stáž prebieha, zostaviť kalendárny plán a opísať svoje praktické skúsenosti. činnosti.
Pomôžeme vám napísať správu o vašej stáži, berúc do úvahy špecifiká činnosti konkrétneho podniku.

Algebra a začiatok matematickej analýzy

Diferencovanie exponenciálnych a logaritmických funkcií

Skomplikovaný:

učiteľ matematiky, Mestský vzdelávací ústav Stredná škola č. 203 KhEC

Mesto Novosibirsk

Vidútová T.V.

číslo e. Funkcia y = e X, jeho vlastnosti, graf, diferenciácia

1. Zostavme grafy pre rôzne bázy: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (možnosť 2) (možnosť 1) " width="640"

Zvážte exponenciálnu funkciu y = a X, kde a je 1.

Budeme stavať pre rôzne základne A grafika:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Možnosť 2)

(1 možnosť)

1) Všetky grafy prechádzajú bodom (0; 1);

2) Všetky grafy majú horizontálnu asymptotu y = 0

pri X  ∞;

3) Všetky sú konvexne obrátené nadol;

4) Všetky majú dotyčnice vo všetkých svojich bodoch.

Nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie y=2 X v bode X= 0 a zmerajte uhol, ktorý dotyčnica zviera s osou X

Pomocou presných konštrukcií dotyčníc ku grafom si môžete všimnúť, že ak základ A exponenciálna funkcia y = a X základňa sa postupne zvyšuje z 2 na 10, potom sa uhol medzi dotyčnicou ku grafu funkcie v bode X= 0 a os x sa postupne zvyšuje z 35' na 66,5'.

Preto existuje dôvod A, pre ktorý je zodpovedajúci uhol 45'. A toto je zmysel A sa uzatvára medzi 2. a 3., pretože pri A= 2 uhol je 35', s A= 3 sa rovná 48'.

V priebehu matematickej analýzy je dokázané, že tento základ existuje, zvyčajne sa označuje písmenom e.

To sa rozhodlo e – iracionálne číslo, t. j. predstavuje nekonečný neperiodický desatinný zlomok:

e = 2,7182818284590… ;

V praxi sa zvyčajne predpokladá, že e ≈ 2,7.

Funkčný graf a vlastnosti y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) zvyšuje;

4) neobmedzené zhora, obmedzené zdola

5) nemá ani najväčšie, ani najmenšie

hodnoty;

6) kontinuálne;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) konvexné nadol;

9) diferencovateľné.

Funkcia y = e X volal exponent .

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že funkcia y = e X má deriváciu v akomkoľvek bode X :

(napr X ) = e X

(napr 5x )" = 5e 5x

(napr x-3 )" = e x-3

(napr -4x+1 )" = -4е -4x-1

Príklad 1 . Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie v bode x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-l); y = ex

odpoveď:

Príklad 2 .

X = 3.

Príklad 3 .

Preskúmajte extrémnu funkciu

x = 0 a x = -2

X= -2 – maximálny bod

X= 0 – minimálny bod

Ak je základom logaritmu číslo e, potom hovoria, že je to dané prirodzený logaritmus . Pre prirodzené logaritmy bol zavedený špeciálny zápis ln (l – logaritmus, n – prirodzený).

Graf a vlastnosti funkcie y = ln x

Vlastnosti funkcie y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nie je párne ani nepárne;

3) zvyšuje sa o (0; + ∞);

4) bez obmedzenia;

5) nemá ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty;

6) kontinuálne;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) konvexný vrchol;

9) diferencovateľné.

0 je platný vzorec na rozlíšenie "width="640".

V priebehu matematickej analýzy je dokázané, že pre akúkoľvek hodnotu x0 platí diferenciačný vzorec

Príklad 4:

Vypočítajte hodnotu derivácie funkcie v bode X = -1.

Napríklad:

Internetové zdroje:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Diferenciácia exponenciálnych a logaritmických funkcií

1. Číslo e. Funkcia y = e x, jej vlastnosti, graf, diferenciácia

Uvažujme o exponenciáli funkciu y=a x, kde a > 1. Pre rôzne bázy a dostaneme rôzne grafy (obr. 232-234), ale môžete si všimnúť, že všetky prechádzajú bodom (0; 1), všetky majú vodorovnú asymptotu y = 0 v , všetky sú konvexne otočené nadol a nakoniec majú všetky dotyčnice vo všetkých svojich bodoch. Nakreslíme napríklad dotyčnicu k grafika funkcia y=2x v bode x = 0 (obr. 232). Ak robíte presné konštrukcie a merania, môžete sa uistiť, že táto dotyčnica zviera s osou x uhol 35° (približne).

Teraz nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie y = 3 x aj v bode x = 0 (obr. 233). Tu bude uhol medzi dotyčnicou a osou x väčší - 48°. A pre exponenciálnu funkciu y = 10 x podobne
situácii dostaneme uhol 66,5° (obr. 234).

Ak teda základ a exponenciálnej funkcie y=ax postupne narastá z 2 na 10, potom sa uhol medzi dotyčnicou ku grafu funkcie v bode x=0 a úsečkou postupne zväčšuje z 35° na 66,5°. Je logické predpokladať, že existuje základňa a, pre ktorú je zodpovedajúci uhol 45°. Táto základňa musí byť uzavretá medzi číslami 2 a 3, keďže pre funkciu y-2x je uhol, ktorý nás zaujíma, 35°, čo je menej ako 45° a pre funkciu y = 3 x sa rovná 48°. , čo je už o niečo viac ako 45°. Základ, ktorý nás zaujíma, sa zvyčajne označuje písmenom e Ustálilo sa, že číslo e je iracionálne, t.j. predstavuje nekonečnú desatinnú neperiodickú zlomok :

e = 2,7182818284590...;

v praxi sa zvyčajne predpokladá, že e=2,7.

Komentujte(nie veľmi vážne). Je jasné, že L.N. Tolstoj nemá nič spoločné s číslom e, pri písaní čísla e však upozorňujeme, že číslo 1828 sa opakuje dvakrát za sebou - rok narodenia L.N. Tolstoj.

Graf funkcie y=e x je na obr. 235. Ide o exponenciálu, ktorá sa líši od ostatných exponenciál (grafov exponenciálnych funkcií s inými bázami) tým, že uhol medzi dotyčnicou ku grafu v bode x=0 a osou x je 45°.

Vlastnosti funkcie y = e x:

1)
2) nie je párne ani nepárne;
3) zvyšuje;
4) neobmedzené zhora, obmedzené zdola;
5) nemá ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty;
6) kontinuálne;
7)
8) konvexné nadol;
9) diferencovateľné.

Vráťte sa k § 45, pozrite si zoznam vlastností exponenciálnej funkcie y = a x pre a > 1. Nájdete tam rovnaké vlastnosti 1-8 (čo je celkom prirodzené) a deviatu vlastnosť spojenú s
diferencovateľnosť funkcie sme vtedy nespomínali. Poďme o tom teraz diskutovať.

Odvoďme vzorec na nájdenie derivácie y-ex. V tomto prípade nepoužijeme obvyklý algoritmus, ktorý sme vyvinuli v § 32 a ktorý bol už viackrát úspešne použitý. V tomto algoritme je v konečnej fáze potrebné vypočítať limitu a naše znalosti z teórie limitov sú stále veľmi, veľmi obmedzené. Preto sa budeme spoliehať na geometrické premisy, berúc do úvahy najmä samotnú skutočnosť existencie dotyčnice ku grafu exponenciálnej funkcie bezpochyby (preto sme tak sebavedome zapísali deviatu vlastnosť do vyššie uvedeného zoznamu vlastností - diferencovateľnosť funkcie y = e x).

1. Všimnite si, že pre funkciu y = f(x), kde f(x) =ех, je nám už známa hodnota derivácie v bode x =0: f / = tan45°=1.

2. Zaveďme funkciu y=g(x), kde g(x) -f(x-a), t.j. g(x)-ex" a. Obr. 236 znázorňuje graf funkcie y = g(x): získa sa z grafu funkcie y - fx) posunutím pozdĺž osi x o |a| jednotky mierky. Dotyčnica ku grafu funkcie y = g (x) v bode x-a je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y = f(x) v bode x -0 (pozri obr. 236), čo znamená, že je. zviera s osou x uhol 45° Pomocou geometrického významu derivácie môžeme zapísať, že g(a) =tg45°;=1.

3. Vráťme sa k funkcii y = f(x). Máme:

4. Zistili sme, že pre akúkoľvek hodnotu a platí vzťah. Namiesto písmena a môžete samozrejme použiť písmeno x; potom dostaneme

Z tohto vzorca získame zodpovedajúci integračný vzorec:

A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video matematiky online, Matematika v škole Stiahnuť ▼

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok; Integrované lekcie

Pri diferenciácii exponenciálnych mocninových funkcií alebo ťažkopádnych zlomkových výrazov je vhodné použiť logaritmickú deriváciu. V tomto článku sa pozrieme na príklady jeho aplikácie s podrobnými riešeniami.

Ďalšia prezentácia predpokladá schopnosť používať tabuľku derivácií, pravidlá diferenciácie a znalosť vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie.

Odvodenie vzorca pre logaritmickú deriváciu.

Najprv vezmeme logaritmy na základ e, zjednodušíme tvar funkcie pomocou vlastností logaritmu a potom nájdeme deriváciu implicitne špecifikovanej funkcie:

Napríklad nájdime deriváciu exponenciálnej mocninnej funkcie x na mocninu x.

Preberanie logaritmov dáva . Podľa vlastností logaritmu. Odlíšenie oboch strán rovnosti vedie k výsledku:

odpoveď: .

Rovnaký príklad možno vyriešiť bez použitia logaritmickej derivácie. Môžete vykonať niekoľko transformácií a prejsť od diferenciácie exponenciálnej mocninovej funkcie k nájdeniu derivácie komplexnej funkcie:

Príklad.

Nájdite deriváciu funkcie .

Riešenie.

V tomto príklade funkcia je zlomok a jeho derivát možno nájsť pomocou pravidiel diferenciácie. Ale kvôli ťažkopádnosti výrazu si to bude vyžadovať veľa transformácií. V takýchto prípadoch je rozumnejšie použiť logaritmický derivačný vzorec . prečo? Teraz to pochopíš.

Najprv to nájdime. Pri transformáciách budeme využívať vlastnosti logaritmu (logaritmus zlomku sa rovná rozdielu logaritmov a logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov a stupeň výrazu pod logaritmickým znamienkom môže byť vyrátaný ako koeficient pred logaritmom):

Tieto transformácie nás priviedli k pomerne jednoduchému výrazu, ktorého derivát je ľahké nájsť:

Získaný výsledok dosadíme do vzorca pre logaritmickú deriváciu a dostaneme odpoveď:

Na konsolidáciu materiálu uvedieme niekoľko ďalších príkladov bez podrobných vysvetlení.

Príklad.

Nájdite deriváciu exponenciálnej mocninnej funkcie