Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým to najjednoduchšie aritmetická progresia- práca pri prepážke taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.
Matematická postupnosť čísel
Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.
a 1 je prvý člen sekvencie;
a 2 je druhý člen sekvencie;
a 7 je siedmy člen sekvencie;
a n je n-tý člen sekvencie;
Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovanej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.
a - hodnota člena číselnej postupnosti;
n je jeho sériové číslo;
f(n) je funkcia, kde ordinál v číselnej postupnosti n je argument.
Definícia
Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:
a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;
a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;
d - rozdiel (určité číslo).
Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.
V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „narastajúca“.
V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Hodnota zadaného člena
Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetického postupu, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupnosti, vynásobený číslom požadovaného člena mínus jedna .
Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.
Príklad výpočtu hodnoty daného člena
Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:
Prvý člen postupnosti je 3;
Rozdiel v číselnom rade je 1,2.
Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov
Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:
a(n) = a1 + d(n-1)
Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.
Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.
Súčet daného počtu výrazov
Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.
Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:
Príklad výpočtu
Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:
Prvý člen postupnosti je nula;
Rozdiel je 0,5.
V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.
Riešenie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.
s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:
s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5
Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie
Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxametra (taxi car meter). Zoberme si taký príklad.
Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.
1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.
30 - 3 = 27 km.
2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.
Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).
Hodnota člena je súčet.
Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.
Rozdiel v postupe d = 22 p.
číslo, ktoré nás zaujíma - hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.
Iný druh číselnej postupnosti je geometrický
Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.
N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho tým, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;
b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;
q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).
Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:
Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:
Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti vydelenému menovateľom zníženým o jednu:
Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:
Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Čo je podstatou vzorca?
Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Samozrejme, musíte poznať prvý termín 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov si nemôžete zapísať konkrétny postup.
Nestačí si zapamätať (alebo podvádzať) tento vzorec. Je potrebné asimilovať jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. Áno, a nezabudnite v pravý čas, áno ...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám poradím. Pre tých, ktorí zvládnu lekciu až do konca.)
Poďme sa teda zaoberať vzorcom n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Čo je vzorec vo všeobecnosti - predstavíme si.) Čo je to aritmetický postup, číslo člena, rozdiel postupu - je jasne uvedené v predchádzajúcej lekcii. Pozri, ak si to nečítal. Všetko je tam jednoduché. Zostáva prísť na to, čo n-tý člen.
Priebeh vo všeobecnosti možno zapísať ako sériu čísel:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiaty - od 120.
Ako definovať vo všeobecnosti akýkoľvekčlen aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:
a n
Tak to je n-tý člen aritmetickej postupnosti. Pod písmenom n sú skryté všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.
A čo nám takýto rekord dáva? Len si predstavte, že namiesto čísla napísali písmeno ...
Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickými postupnosťami. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A kopu úloh, ktoré treba postupne riešiť. Ďalej uvidíte.
Vo vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti:
| a n = a1 + (n-1)d |
1- prvý člen aritmetického postupu;
n- členské číslo.
Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d A n. Okolo týchto parametrov sa postupne točia všetky hádanky.
Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Napríklad v probléme možno povedať, že progresia je daná podmienkou:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takýto problém môže dokonca zmiasť ... Neexistuje žiadna séria, žiadny rozdiel ... Ale porovnaním stavu so vzorcom je ľahké zistiť, že v tomto postupe a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.
A môže to byť ešte nahnevanejšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otvorte zatvorky a dajte podobne? Dostávame nový vzorec:
an = 3 + 2n.
Toto Iba nie všeobecné, ale pre konkrétny postup. Práve tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvým členom päťka ... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.
V úlohách na postup je iná notácia - a n+1. Toto je, uhádli ste, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého počet je väčší ako číslo n o jeden. Napríklad, ak v nejakom probléme berieme za a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.
Najčastejšie označenie a n+1 vyskytuje sa v rekurzívnych vzorcoch. Nebojte sa tohto hrozného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia termínu aritmetického postupu cez predchádzajúci. Predpokladajme, že dostaneme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. A ako okamžite počítať, povedzme dvadsiaty termín, 20? Ale v žiadnom prípade!) Zatiaľ čo 19. termín nie je známy, 20. sa nedá započítať. Toto je základný rozdiel medzi rekurzívnym vzorcom a vzorcom n-tého člena. Rekurzívne funguje iba cez predchádzajúcečlen, a vzorec n-tého členu - cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Nepočítajúc celý rad čísel v poradí.
Pri aritmetickej progresii možno rekurzívny vzorec ľahko zmeniť na bežný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v obvyklom tvare a pracujte s ním. V GIA sa takéto úlohy často nachádzajú.
Aplikácia vzorca n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridať, áno pridať ... Hodinu alebo dve.)
A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) My rozhodujeme.
Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Uvidí sa čo n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Tu píšeme:
Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Dosaďte všetky čísla vo vzorci a vypočítajte:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je všetko. Rovnako rýchlo sa dal nájsť päťsto desiaty člen a tisíc a tretí akýkoľvek. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a uvažujeme.
Dovoľte mi pripomenúť vám podstatu: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek termín aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Vyriešme problém múdrejšie. Povedzme, že máme nasledujúci problém:
Nájdite prvý člen aritmetickej progresie (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.
Ak máte nejaké ťažkosti, navrhnem prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Ručne napíšte priamo do zošita:
| a n = a1 + (n-1)d |
A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Všetko? Ak si myslíte, že je to všetko, potom nemôžete vyriešiť problém, áno ...
Máme aj číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dve možnosti. Ide o hodnotu sedemnásteho člena (-2) aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „malej veci“, nie hlavy!) sa problém nedá vyriešiť. Aj keď ... a tiež bez hlavy.)
Teraz môžeme len hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, vložíme to:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať. Dostanete odpoveď: a 1 = 6.
Takáto technika – písanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – veľmi pomáha pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte vedieť vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika nedá vôbec študovať ...
Ďalší populárny problém:
Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.
Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)
| a n = a1 + (n-1)d |
Zvážte, čo vieme: ai = 2; a15=12; a (špeciálne zvýraznenie!) n=15. Neváhajte nahradiť vo vzorci:
12 = 2 + (15-1) d
Poďme na aritmetiku.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Toto je správna odpoveď.
Takže úlohy a n, a 1 A d rozhodol. Zostáva sa naučiť, ako nájsť číslo:
Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.
Známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n je nejaký člen progresie s číslom n... A tento člen postupu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jeho číslo. n, tak toto číslo treba tiež nájsť. Dosaďte progresívny člen 99 do vzorca:
99 = 12 + (n-1) 3
Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.
A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):
Určite, či číslo 117 bude členom aritmetickej postupnosti (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Opäť napíšeme vzorec. Čo, neexistujú žiadne možnosti? Hm... Prečo potrebujeme oči?) Vidíme prvého člena postupu? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a 1 \u003d -3,6. Rozdiel d dá sa určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Áno, urobili sme najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme, že ... Ako byť!? Nuž, ako byť, ako byť... Zapnite svoje tvorivé schopnosti!)
my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno-áno!)) a dosadíme naše čísla:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:
Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver vyvodíme? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi 101. a 102. členom. Ak by sa počet ukázal ako prirodzený, t.j. kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom postupnosti s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: Nie
Úloha založená na skutočnej verzii GIA:
Aritmetický postup je daný podmienkou:
a n \u003d -4 + 6,8n
Nájdite prvý a desiaty termín postupu.
Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec ... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.
Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri, sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nič, teraz to nájdeme.)
Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách suplujeme n=1 do tohto vzorca:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!
Podobne hľadáme desiaty výraz:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
To je všetko.
A teraz, pre tých, ktorí sa dočítali až po tieto riadky, sľúbený bonus.)
Predpokladajme, že v ťažkej bojovej situácii GIA alebo Jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec n-tého člena aritmetického postupu. Niečo ma napadá, ale akosi neisto... Či n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?
Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie veľmi striktné, ale určite dosť na dôveru a správne rozhodnutie!) Na záver si postačí zapamätať si základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.
Nakreslíme si číselnú os a označíme na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimnite si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:
Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čomu sa rovná druhý výraz? Po druhé jeden d:
a 2 = a 1 + 1 d
Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.
a 3 = a 1 + 2 d
Máš to? Niektoré slová nedávam tučným písmom pre nič za nič. Dobre, ešte jeden krok.)
Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.
a 4 = a 1 + 3 d
Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, Vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda až do počtu n, počet medzier bude n-1. Takže vzorec bude (žiadne možnosti!):
| a n = a1 + (n-1)d |
Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého členu umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Nemôžeš dať obrázok do rovnice...
Úlohy pre samostatné rozhodovanie.
Na zahriatie:
1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1. Nájdite 3.
Pomôcka: podľa obrázku je problém vyriešený za 20 sekúnd ... Podľa vzorca je to ťažšie. Ale pre zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V § 555 je tento problém riešený obrázkom aj vzorcom. Cítiť rozdiel!)
A toto už nie je zahrievanie.)
2. V aritmetickej postupnosti (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .
Čo, neochota nakresliť obrázok?) Ešte! Lepší vzorec, áno...
3. Aritmetický postup je daný podmienkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.
V tejto úlohe je postup uvedený opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každému sa to podarí.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!
4. Daná aritmetická progresia (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.
5. Podľa podmienky úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.
6. Súčin piateho a dvanásteho člena rastúcej aritmetickej progresie je -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho člena je nula. Nájdite 14.
Nie je to najjednoduchšia úloha, áno ...) Tu metóda "na prstoch" nebude fungovať. Musíte písať vzorce a riešiť rovnice.
Odpovede (v neporiadku):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Stalo? Je to pekné!)
Nevychádza všetko? Stáva sa. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná pozornosť. A logika.
Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v oddiele 555. A fantazijný prvok pre štvrtý a jemný moment pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov pre vzorec n-tého termínu - všetko je vymaľované. Odporúčam.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.
Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského
Veľmi časté úlohy v prijímacích testoch z matematiky sú úlohy súvisiace s pojmom aritmetický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.
Najprv si pripomeňme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.
Definícia. Číselná postupnosť, v ktorom sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Zároveň aj číslosa nazýva progresívny rozdiel.
Pre aritmetickú postupnosť platia vzorce
, (1)
Kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec spoločného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom susedných členov a .
Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:
(3)
Na výpočet sumy najprv členov aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec
(5) kde a .
Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená
Ak určíme
Kde . Keďže , potom vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).
najmä zo vzorca (5) vyplýva, Čo
Medzi málo známe pre väčšinu študentov patrí vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.
Veta. Ak potom
Dôkaz. Ak potom
Veta bola dokázaná.
Napríklad , pomocou vety, dá sa to ukázať
Prejdime k úvahe o typických príkladoch riešenia úloh na tému „Aritmetický postup“.
Príklad 1 Nechajte a . Nájsť .
Riešenie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Od a , potom alebo .
Príklad 2 Nechajte trikrát viac a pri delení v kvociente vyjde 2 a zvyšok je 8. Určte a.
Riešenie. Systém rovníc vyplýva z podmienky príkladu
Keďže , , a , potom zo sústavy rovníc (10) dostaneme
Riešením tejto sústavy rovníc sú a .
Príklad 3 Zistite, či a .
Riešenie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .
Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .
Príklad 4 Nájdite, ak .
Riešenie.Podľa vzorca (5) máme
Pomocou vety sa však dá písať
Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .
Príklad 5. Dané: . Nájsť .
Riešenie. Odvtedy . Avšak , preto .
Príklad 6 Nechajte , a . Nájsť .
Riešenie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .
Od a potom tu máme systém rovníc
Vyriešením ktorého dostaneme a .
Prirodzený koreň rovnice je .
Príklad 7 Zistite, či a .
Riešenie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom sústava rovníc vyplýva z podmienky úlohy
Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .
Korene kvadratickej rovnice sú A .
Zoberme si dva prípady.
1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.
V tomto prípade podľa vzorca (6) máme
2. Ak , potom , a
Odpoveď: a.
Príklad 8 Je známe, že a Nájsť .
Riešenie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .
To znamená systém rovníc
Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme
Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .
Odvtedy a potom.
Odpoveď: .
Príklad 9 Zistite, či a .
Riešenie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .
Zo vzorca (5) je to známe, Čo . Odvtedy .
preto tu máme systém lineárnych rovníc
Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .
Príklad 10 Vyriešte rovnicu.
Riešenie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že . Predpokladajme, že , , a . V tomto prípade .
Podľa vzorca (1) môžeme napísať alebo .
Pretože rovnica (13) má jedinečný vhodný koreň .
Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .
Riešenie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.
Používame vzorec (1) a skutočnosť, ktorý a . Potom dostaneme, že alebo .
Pretože , potom alebo . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, Preto .
Ak sú hodnoty a dosadené do vzorca (6), dostaneme .
Odpoveď: .
Príklad 12. Nájdite súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 majú zvyšok 5.
Riešenie. Označme množinou všetkých dvojhodnotových prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.
Jednoduchá inštalácia, Čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .
Na určenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Pretože a , potom vzorec (1) znamená alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .
Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné pozrieť si zoznam odporúčanej literatúry.
1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.
Máte nejaké otázky?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :) Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný uzáver hovorí, že stále neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj to chcete vedieť (nie, takto: ÁÁÁÁÁ!). Nebudem vás preto mučiť dlhými úvodmi a hneď sa pustím do veci.
Na začiatok pár príkladov. Zvážte niekoľko sád čísel:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.
Veď posúďte sami. Prvá množina sú len po sebe idúce čísla, každé je viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už rovný piatim, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade existujú korene vo všeobecnosti. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, kým $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. v takom prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nezľaknite sa, že toto číslo je iracionálne).
Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:
Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.
Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.
A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia usporiadaný poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nemôžete preusporiadať ani vymeniť.
Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo ako (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou, ako to bolo, naznačuje, že pomerne veľa čísel ide ďalej. Napríklad nekonečne veľa. :)
Chcel by som tiež poznamenať, že pokroky sa zvyšujú a znižujú. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Dobre, dobre: posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:
Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:
- zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
- klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.
Okrem toho existujú takzvané "stacionárne" sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).
Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:
- Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
- Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
- Nakoniec je tu prípad $d=0$ — v tomto prípade je celý postup redukovaný na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.
Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať od čísla vpravo číslo vľavo. Bude to vyzerať takto:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Ako vidíte, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme už viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sa popisujú progresie a aké vlastnosti majú.
Členovia progresie a opakujúceho sa vzorca
Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]
Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členovia progresie. Označujú sa týmto spôsobom pomocou čísla: prvý člen, druhý člen atď.
Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Takýto vzorec sa nazýva rekurentný, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo, iba ak poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje zložitejší vzorec, ktorý redukuje akýkoľvek výpočet na prvý výraz a rozdiel:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to dávajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a reshebnikov. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.
Odporúčam vám však trochu trénovať.
Úloha číslo 1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.
Riešenie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a progresívny rozdiel $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]
Odpoveď: (8; 3; -2)
To je všetko! Všimnite si, že naša progresia klesá.
Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz už poznáme. Nahradením jednotky sme sa však uistili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.
Úloha číslo 2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak jej siedmy člen je -40 a jej sedemnásty člen je -50.
Riešenie. Stav problému napíšeme obvyklými výrazmi:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]
Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú rovnicu od druhej rovnice (máme na to právo, pretože máme systém), dostaneme toto:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]
Len tak sme našli rozdiel v postupe! Zostáva nahradiť nájdené číslo v ktorejkoľvek z rovníc systému. Napríklad v prvom:
\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]
Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]
Pripravený! Problém je vyriešený.
Odpoveď: (-34; -35; -36)
Všimnite si zvláštnu vlastnosť progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odčítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Jednoduchá, ale veľmi užitočná vlastnosť, ktorú by ste určite mali poznať – s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je ukážkový príklad:
Úloha číslo 3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.
Riešenie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15)))$, všimneme si nasledovné:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]
Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, takže $5d=6$, odkiaľ máme:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]
Odpoveď: 20.4
To je všetko! Nepotrebovali sme skladať žiadne sústavy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel – o všetkom sa rozhodlo v niekoľkých riadkoch.
Teraz zvážme iný typ problému - hľadanie negatívnych a pozitívnych členov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje, pričom jej prvý termín je negatívny, potom sa v ňom skôr či neskôr objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.
Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „na čele“, ktorý postupne triedi prvky. Často sú problémy navrhnuté tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsime tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.
Úloha číslo 4. Koľko záporných členov v aritmetickej progresii -38,5; -35,8; …?
Riešenie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, z čoho okamžite nájdeme rozdiel:
Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.
Skúsme zistiť: ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $n$) sa zachová negativita pojmov:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]
Posledný riadok potrebuje objasnenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane nám budú vyhovovať iba celočíselné hodnoty čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je presne $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16.
Úloha číslo 5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.
Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:
Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen z hľadiska prvého a rozdielu pomocou štandardného vzorca:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]
Teraz postupujeme analogicky s predchádzajúcim problémom. Zisťujeme, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]
Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.
Upozorňujeme, že v poslednej úlohe bolo všetko zredukované na striktnú nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.
Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv sa však naučíme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)
Aritmetický priemer a rovnaké zarážky
Zvážte niekoľko po sebe idúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:
Členovia aritmetického postupu na číselnej osiKonkrétne som si všimol ľubovoľných členov $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie žiadne $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, ktoré vám teraz poviem, funguje rovnako pre akékoľvek „segmenty“.
A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si rekurzívny vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené členy:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]
Tieto rovnosti však možno prepísať inak:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]
No a čo? Ale skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ o rovnakú vzdialenosť rovnajúcu sa $2d$. Môžete pokračovať donekonečna, ale obrázok dobre ilustruje význam
Členovia progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu Čo to pre nás znamená? To znamená, že môžete nájsť $((a)_(n))$, ak sú susedné čísla známe:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Vydedukovali sme veľkolepé tvrdenie: každý člen aritmetického postupu sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Okrem toho sa môžeme odchýliť od nášho $((a)_(n))$ doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a aj tak bude vzorec správny:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa úloh špeciálne „vybrúsených“ na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:
Úloha číslo 6. Nájdite všetky hodnoty $x$ tak, že čísla $-6(x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ sú po sebe idúce členy aritmetický postup (v určenom poradí).
Riešenie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre ne splnená: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]
Výsledkom je klasická kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.
Odpoveď: -3; 2.
Úloha číslo 7. Nájdite hodnoty $$ tak, aby čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvorili aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).
Riešenie. Opäť vyjadrujeme stredný člen z hľadiska aritmetického priemeru susedných členov:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]
Ďalšia kvadratická rovnica. A opäť dva korene: $x=6$ a $x=1$.
Odpoveď: 1; 6.
Ak v procese riešenia problému dostanete nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje skvelý trik, ktorý vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?
Povedzme, že v úlohe 6 sme dostali odpovede -3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré by mali tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradiť $x=-3$:
\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $ x = 2 $:
\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha je teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhú úlohu, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.
Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalšiu zaujímavú skutočnosť, ktorú si tiež treba pamätať:
Ak sú tri čísla také, že druhé je priemerom prvého a posledného, potom tieto čísla tvoria aritmetickú postupnosť.
Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe stavu problému. No skôr, než sa do takejto „stavby“ pustíme, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už uvažovaného.
Zoskupovanie a súčet prvkov
Vráťme sa opäť k číselnému radu. Zaznamenávame tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými sa možno. stojí za veľa ďalších členov:
6 prvkov vyznačených na číselnom radeSkúsme vyjadriť „ľavý chvost“ pomocou $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ pomocou $((a)_(k))$ a $ d$. Je to veľmi jednoduché:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]
Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Zjednodušene povedané, ak za začiatok považujeme dva prvky postupu, ktoré sa v súčte rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme od týchto prvkov vykračovať opačným smerom (k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili), potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S$. Najlepšie sa to dá znázorniť graficky:
Rovnaké zarážky dávajú rovnaké súčty Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti ako tie, ktoré sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:
Úloha číslo 8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.
Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]
Takže nepoznáme rozdiel v progresii $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Pre tých v nádrži: Vybral som spoločný faktor 11 z druhej zátvorky. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak otvoríme zátvorky, dostaneme:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Ako vidíte, koeficient s najvyšším členom je 11 - to je kladné číslo, takže naozaj máme do činenia s parabolou s vetvami nahor:
graf kvadratickej funkcie - parabola
Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať podľa štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie všimnite si, že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, takže bod $((d)_(0))$ je rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:
\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d\vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]
Preto som sa s otváraním zátvoriek neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná aritmetickému priemeru čísel -66 a -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Čo nám dáva objavené číslo? S ním požadovaný produkt nadobúda najmenšiu hodnotu (mimochodom, nepočítali sme $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom počiatočnej progresie, t.j. našli sme odpoveď. :)
Odpoveď: -36
Úloha číslo 9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť.
Riešenie. V skutočnosti musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označte premennými $x$, $y$ a $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Všimnite si, že číslo $y$ je "stredom" našej postupnosti - je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme získať $y$ z čísel $x$ a $z$, potom je situácia iná s koncami progresie. Pamätajte na aritmetický priemer:
Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zvyšné čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ práve nájdeným. Preto
Argumentujúc podobne, nájdeme zostávajúce číslo:
Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Zapíšme si ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.
Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Úloha číslo 10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s danými číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak je známe, že súčet prvého, druhého a posledného vloženého čísla je 56.
Riešenie. Ešte náročnejšia úloha, ktorá sa však rieši rovnako ako tie predchádzajúce – aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne koľko čísel vložiť. Preto pre istotu predpokladáme, že po vložení bude presne $n$ čísel a prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaný aritmetický postup reprezentovaný ako:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 stojacich na okrajoch o krok k sebe. , t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ale vyššie uvedený výraz môže byť prepísaný takto:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]
Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]
Zostáva len nájsť zvyšných členov:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]
Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Textové úlohy s postupmi
Na záver by som rád zvážil niekoľko relatívne jednoduchých problémov. No, jednoducho: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, môžu tieto úlohy pôsobiť ako gesto. Práve s takýmito úlohami sa však stretávame v OGE a USE v matematike, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.
Úloha číslo 11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a v každom ďalšom mesiaci vyrobili o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom. Koľko dielov vyrobila brigáda v novembri?
Riešenie. Je zrejmé, že počet dielov, maľovaných podľa mesiacov, bude stúpať aritmetickým postupom. a:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.
Úloha číslo 12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý mesiac zviazala o 4 knihy viac ako predchádzajúci mesiac. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?
Riešenie. Všetky rovnaké:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.
Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Pokojne môžeme prejsť na ďalšiu lekciu, kde si preštudujeme vzorec súčtu postupu, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z neho.
