T 8 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม - ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้ กรณีของค่า y ติดลบ

ผลงานที่เสร็จแล้ว

งานระดับปริญญา

หลายอย่างผ่านไปแล้วและตอนนี้คุณสำเร็จการศึกษาแล้วแน่นอนว่าคุณเขียนวิทยานิพนธ์ตรงเวลา แต่ชีวิตเป็นสิ่งที่ชัดเจนสำหรับคุณแล้วว่าเมื่อเลิกเป็นนักเรียนแล้ว คุณจะสูญเสียความสุขของนักเรียนไปทั้งหมด ซึ่งหลายอย่างคุณไม่เคยลองเลย ละทิ้งทุกสิ่งและเลื่อนมันออกไปในภายหลัง และตอนนี้ แทนที่จะตามทัน คุณกำลังทำวิทยานิพนธ์ของคุณอยู่เหรอ? มีวิธีแก้ปัญหาที่ยอดเยี่ยม: ดาวน์โหลดวิทยานิพนธ์ที่คุณต้องการจากเว็บไซต์ของเรา - แล้วคุณจะมีเวลาว่างมากมายทันที!
วิทยานิพนธ์ได้รับการปกป้องเรียบร้อยแล้วที่มหาวิทยาลัยชั้นนำของสาธารณรัฐคาซัคสถาน
ต้นทุนงานจาก 20,000 tenge

หลักสูตรได้ผล

โครงการหลักสูตรนี้เป็นงานภาคปฏิบัติอย่างจริงจังงานแรก ด้วยการเขียนรายวิชาที่การเตรียมการสำหรับการพัฒนาโครงการอนุปริญญาเริ่มต้นขึ้น หากนักเรียนเรียนรู้ที่จะนำเสนอเนื้อหาของหัวข้อในโครงการหลักสูตรอย่างถูกต้องและจัดรูปแบบอย่างมีความสามารถในอนาคตเขาจะไม่มีปัญหาในการเขียนรายงานหรือเขียนวิทยานิพนธ์หรือปฏิบัติงานภาคปฏิบัติอื่น ๆ เพื่อช่วยนักเรียนในการเขียนงานนักเรียนประเภทนี้และเพื่อชี้แจงคำถามที่เกิดขึ้นระหว่างการเตรียมงาน อันที่จริงส่วนข้อมูลนี้จึงถูกสร้างขึ้น
ต้นทุนงานจาก 2,500 tenge

วิทยานิพนธ์ของอาจารย์

ปัจจุบันในสถาบันการศึกษาระดับสูงของคาซัคสถานและกลุ่มประเทศ CIS ระดับการศึกษาวิชาชีพระดับสูงที่ตามมาหลังจากสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีเป็นเรื่องธรรมดามาก - ปริญญาโท ในหลักสูตรปริญญาโท นักศึกษาจะเรียนโดยมีเป้าหมายเพื่อให้ได้ปริญญาโท ซึ่งเป็นที่ยอมรับในประเทศส่วนใหญ่ของโลกมากกว่าระดับปริญญาตรี และยังเป็นที่ยอมรับจากนายจ้างชาวต่างชาติอีกด้วย ผลการศึกษาระดับปริญญาโทคือการป้องกันวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโท
เราจะจัดเตรียมเนื้อหาเชิงวิเคราะห์และข้อความที่ทันสมัยให้กับคุณ ราคานี้รวมบทความทางวิทยาศาสตร์ 2 บทความและบทคัดย่อ
ต้นทุนงานจาก 35,000 tenge

รายงานการปฏิบัติ

หลังจากเสร็จสิ้นการฝึกงานของนักศึกษาประเภทใดก็ตาม (การศึกษา อุตสาหกรรม ก่อนสำเร็จการศึกษา) จะต้องมีรายงาน เอกสารนี้จะเป็นการยืนยันการปฏิบัติงานของนักเรียนและเป็นพื้นฐานในการประเมินการปฏิบัติงาน โดยปกติในการจัดทำรายงานเกี่ยวกับการฝึกงานคุณจะต้องรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลเกี่ยวกับองค์กร พิจารณาโครงสร้างและกิจวัตรการทำงานขององค์กรที่มีการฝึกงาน จัดทำแผนปฏิทินและอธิบายการปฏิบัติของคุณ กิจกรรม.
เราจะช่วยคุณเขียนรายงานเกี่ยวกับการฝึกงานของคุณโดยคำนึงถึงกิจกรรมเฉพาะขององค์กรนั้น ๆ

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

รวบรวมโดย:

ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมศึกษาเทศบาล ลำดับที่ 203 คอีซี

เมืองโนโวซีบีสค์

วิดูโตวา ที.วี.

ตัวเลข จ.การทำงาน ย = อี xคุณสมบัติของกราฟ การหาอนุพันธ์

1. มาสร้างกราฟสำหรับฐานต่างๆ กัน: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (ตัวเลือกที่ 2) (ตัวเลือกที่ 1) " width="640"

พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = ก xโดยที่ a คือ 1

เราจะสร้างฐานต่างๆ ก กราฟิก:

1. ย=2 x

3. ย=10 x

2. ย=3 x

(ตัวเลือกที่ 2)

(1 ตัวเลือก)

1) กราฟทั้งหมดผ่านจุด (0; 1)

2) กราฟทั้งหมดมีเส้นกำกับแนวนอน ย = 0

ที่ เอ็กซ์  ∞;

3) ทั้งหมดคว่ำหน้าลง

4) พวกมันทั้งหมดมีแทนเจนต์อยู่ที่จุดทุกจุด

ลองวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันกัน ย=2 x ตรงจุด เอ็กซ์= 0 และวัดมุมที่แทนเจนต์ทำกับแกน เอ็กซ์

การใช้โครงสร้างแทนเจนต์ที่แม่นยำกับกราฟจะสังเกตได้ว่าหากใช้ฐาน กฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ย = ก xฐานจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก 2 เป็น 10 แล้วมุมระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เอ็กซ์= 0 และแกน x ค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก 35' เป็น 66.5'

ดังนั้นจึงมีเหตุผล กซึ่งมุมที่สอดคล้องกันคือ 45 ฟุต และนั่นคือความหมาย กสรุปได้ระหว่าง 2 และ 3 เพราะ ที่ ก= 2 มุมคือ 35’ โดยมี ก= 3 เท่ากับ 48’

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีการพิสูจน์แล้วว่ามีรากฐานนี้อยู่ โดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษร จ.

กำหนดไว้แล้วว่า จ – จำนวนอตรรกยะ เช่น แทนเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัด:

อี = 2.7182818284590… ;

ในทางปฏิบัติก็มักจะสันนิษฐานว่า จ ≈ 2,7.

กราฟฟังก์ชันและคุณสมบัติ ย = อี x :

1) ง(ฉ) = (- ∞; + ∞);

3) เพิ่มขึ้น;

4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง

5) ไม่มีทั้งที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ค่านิยม;

6) ต่อเนื่อง;

7) อี(ฉ) = (0; + ∞);

8) นูนลง;

9) หาอนุพันธ์ได้

การทำงาน ย = อี x เรียกว่า เลขชี้กำลัง .

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน ย = อี x มีอนุพันธ์ ณ จุดใดก็ได้ เอ็กซ์ :

(เช่น x ) = อี x

(เช่น 5x )" = 5e 5x

(เช่น x-3 )" = จ x-3

(เช่น -4x+1 )" = -4е -4x-1

ตัวอย่างที่ 1 . วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x=1

2) ฉ()=ฉ(1)=อี

4) y=อี+อี(x-1); y = อดีต

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2 .

x = 3.

ตัวอย่างที่ 3 .

ตรวจสอบฟังก์ชันสุดขั้ว

x=0 และ x=-2

เอ็กซ์= -2 – จุดสูงสุด

เอ็กซ์= 0 – จุดต่ำสุด

ถ้าฐานของลอการิทึมเป็นตัวเลข จแล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลอการิทึมธรรมชาติ - มีการนำสัญลักษณ์พิเศษสำหรับลอการิทึมธรรมชาติมาใช้ ln (ล. – ลอการิทึม, n – ธรรมชาติ)

กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = ln x

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = ใช่:

1) ง(ฉ) = (0; + ∞);

2) ไม่เป็นคู่หรือคี่;

3) เพิ่มขึ้น (0; + ∞);

4) ไม่จำกัด;

5) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุด

6) ต่อเนื่อง;

7) อี(ฉ) = (- ∞; + ∞);

8) ด้านบนนูน;

9) หาอนุพันธ์ได้

0 สูตรสร้างความแตกต่าง "width="640" ถูกต้อง

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นั้น ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีค่าใดๆ ก็ตาม x0สูตรการสร้างความแตกต่างนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4:

คำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง x = -1.

ตัวอย่างเช่น:

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
http://ru.wikipedia.org/wiki/
http://900igr.net/prezentatsii
http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

1. ตัวเลข e ฟังก์ชัน y = e x คุณสมบัติของกราฟ การหาอนุพันธ์

ลองพิจารณาเลขยกกำลังดู การทำงาน y=a x โดยที่ a > 1 สำหรับฐานที่ต่างกัน a เราจะได้กราฟที่แตกต่างกัน (รูปที่ 232-234) แต่คุณสังเกตได้ว่ากราฟทั้งหมดผ่านจุด (0; 1) กราฟทั้งหมดมีเส้นกำกับแนวนอน y = 0 ที่ พวกมันทั้งหมดคว่ำหน้าลง และสุดท้ายพวกมันทั้งหมดมีแทนเจนต์อยู่ที่จุดทั้งหมด ให้เราวาดแทนเจนต์ถึง กราฟิก ฟังก์ชัน y=2x ที่จุด x = 0 (รูปที่ 232) หากคุณสร้างโครงสร้างและการวัดที่แม่นยำ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าแทนเจนต์นี้สร้างมุม 35° (โดยประมาณ) กับแกน x

ทีนี้ลองวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน y = 3 x ที่จุด x = 0 เช่นกัน (รูปที่ 233) มุมระหว่างแทนเจนต์กับแกน x จะมากกว่า - 48° และสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = 10 x ในทำนองเดียวกัน
สถานการณ์เราจะได้มุม 66.5° (รูปที่ 234)

ดังนั้น หากฐาน a ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y=ax ค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก 2 เป็น 10 มุมระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x=0 และแกน x จะค่อยๆ เพิ่มขึ้นจาก 35° เป็น 66.5 ° มีเหตุผลที่จะสมมติว่ามีฐาน a ซึ่งมุมที่สอดคล้องกันคือ 45° ฐานนี้จะต้องอยู่ระหว่างตัวเลข 2 และ 3 เนื่องจากสำหรับฟังก์ชัน y-2x มุมที่เราสนใจคือ 35° ซึ่งน้อยกว่า 45° และสำหรับฟังก์ชัน y=3 x มุมที่เราสนใจคือ 48° ซึ่งมากกว่า 45 °เล็กน้อยอยู่แล้ว ฐานที่เราสนใจมักจะแสดงด้วยตัวอักษร e มีการพิสูจน์แล้วว่าตัวเลข e นั้นไม่มีเหตุผล เช่น แทนทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่เป็นงวด เศษส่วน :

อี = 2.7182818284590...;

ในทางปฏิบัติมักสันนิษฐานว่า e=2.7

ความคิดเห็น(ไม่จริงจังมาก) เป็นที่ชัดเจนว่า L.N. ตอลสตอยไม่เกี่ยวข้องกับหมายเลข e อย่างไรก็ตามในการเขียนหมายเลข e โปรดทราบว่าหมายเลข 1828 ซ้ำสองครั้งติดต่อกัน - ปีเกิดของ L.N. ตอลสตอย.

กราฟของฟังก์ชัน y=e x แสดงในรูปที่ 1 235 นี่เป็นเลขชี้กำลังที่แตกต่างจากเลขชี้กำลังอื่นๆ (กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฐานอื่น) โดยที่มุมระหว่างเส้นสัมผัสกันกับกราฟที่จุด x=0 และแกน x คือ 45°

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = e x:

1)
2) ไม่เป็นคู่หรือคี่;
3) เพิ่มขึ้น;
4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง
5) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุด
6) ต่อเนื่อง;
7)
8) นูนลง;
9) หาอนุพันธ์ได้

กลับไปที่ § 45 ดูรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x สำหรับ a > 1 คุณจะพบคุณสมบัติเดียวกัน 1-8 (ซึ่งค่อนข้างเป็นธรรมชาติ) และคุณสมบัติที่เก้าที่เกี่ยวข้องกับ
เราไม่ได้พูดถึงความแตกต่างของฟังก์ชันในตอนนั้น มาหารือกันตอนนี้

ขอให้เราได้สูตรในการหาอนุพันธ์ y-ex ในกรณีนี้ เราจะไม่ใช้อัลกอริธึมปกติซึ่งเราพัฒนาขึ้นในมาตรา 32 และมีการใช้อย่างประสบความสำเร็จมากกว่าหนึ่งครั้ง ในอัลกอริทึมนี้ ในขั้นตอนสุดท้าย จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัด และความรู้ของเราเกี่ยวกับทฤษฎีขีดจำกัดยังคงมีจำกัดมาก ดังนั้นเราจะพึ่งพาสถานที่ทางเรขาคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยพิจารณาถึงความเป็นจริงของการมีอยู่ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลอย่างไม่ต้องสงสัย (นั่นคือสาเหตุที่เราเขียนคุณสมบัติที่เก้าในรายการคุณสมบัติข้างต้นอย่างมั่นใจ - ความแตกต่างของฟังก์ชัน y = e x)

1. โปรดทราบว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) โดยที่ f(x) =ex เรารู้ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x =0 แล้ว: f / = tan45°=1

2. ให้เราแนะนำฟังก์ชัน y=g(x) โดยที่ g(x) -f(x-a) เช่น g(x)-ex" ก. รูปที่ 236 แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = g(x): ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y - fx) โดยการเลื่อนไปตามแกน x ด้วยหน่วยสเกล |a| . แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = g (x) ที่จุด x-a ขนานกับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x -0 (ดูรูปที่ 236) ซึ่งหมายความว่า สร้างมุม 45° กับแกน x โดยใช้ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ เราสามารถเขียนมันลงไปได้ โดยที่ g(a) =tg45°;=1

3. กลับไปที่ฟังก์ชัน y = f(x) กัน เรามี:

4. เราได้กำหนดไว้แล้วว่าค่าใดๆ ของความสัมพันธ์นั้นถูกต้อง แทนที่จะใช้ตัวอักษร a คุณสามารถใช้ตัวอักษร x ได้แน่นอน แล้วเราก็ได้

จากสูตรนี้ เราได้สูตรการรวมที่สอดคล้องกัน:

เอ.จี. พีชคณิต Mordkovich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอคณิตศาสตร์ ออนไลน์,คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ดาวน์โหลด

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการอัปเดตส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน การแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธี บทเรียนบูรณาการ

เมื่อแยกแยะฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังหรือนิพจน์เศษส่วนที่ยุ่งยาก จะสะดวกที่จะใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ในบทความนี้เราจะดูตัวอย่างการใช้งานพร้อมวิธีแก้ไขโดยละเอียด

การนำเสนอเพิ่มเติมถือว่าสามารถใช้ตารางอนุพันธ์ กฎการหาอนุพันธ์ และความรู้เกี่ยวกับสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

ขั้นแรก เรานำลอการิทึมไปที่ฐาน e ลดความซับซ้อนของรูปแบบของฟังก์ชันโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม แล้วหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

ตัวอย่างเช่น ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเลขชี้กำลัง x กำลัง x

การหาลอการิทึมให้ ตามคุณสมบัติของลอการิทึม การแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันนำไปสู่ผลลัพธ์:

คำตอบ: .

ตัวอย่างเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์ลอการิทึม คุณสามารถทำการแปลงบางอย่างและย้ายจากการหาความแตกต่างของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังไปเป็นการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชัน คือเศษส่วนและอนุพันธ์ของมันสามารถพบได้โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ แต่เนื่องจากความยุ่งยากในการแสดงออก จึงต้องมีการเปลี่ยนแปลงหลายอย่าง ในกรณีเช่นนี้ จะสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้สูตรอนุพันธ์ลอการิทึม - ทำไม คุณจะเข้าใจตอนนี้

ต้องหาให้เจอก่อน ในการแปลง เราจะใช้คุณสมบัติของลอการิทึม (ลอการิทึมของเศษส่วนเท่ากับผลต่างของลอการิทึม และลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม และระดับของการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมสามารถเป็นได้ นำออกมาเป็นสัมประสิทธิ์หน้าลอการิทึม):