การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม การแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม - ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้ คุณสมบัติของอนุพันธ์ลอการิทึม

เมื่อแยกแยะฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังหรือนิพจน์เศษส่วนที่ยุ่งยาก จะสะดวกที่จะใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ในบทความนี้เราจะดูตัวอย่างการใช้งานพร้อมวิธีแก้ไขโดยละเอียด

การนำเสนอเพิ่มเติมถือว่าสามารถใช้ตารางอนุพันธ์ กฎการหาอนุพันธ์ และความรู้เกี่ยวกับสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

ขั้นแรก เรานำลอการิทึมไปที่ฐาน e ลดความซับซ้อนของรูปแบบของฟังก์ชันโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม แล้วหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

ตัวอย่างเช่น ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเลขชี้กำลัง x กำลัง x

การหาลอการิทึมให้ ตามคุณสมบัติของลอการิทึม การแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันนำไปสู่ผลลัพธ์:

คำตอบ: .

ตัวอย่างเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์ลอการิทึม คุณสามารถทำการแปลงบางอย่างและย้ายจากการหาความแตกต่างของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังไปเป็นการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชัน คือเศษส่วนและอนุพันธ์ของมันสามารถพบได้โดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ แต่เนื่องจากความยุ่งยากในการแสดงออก จึงต้องมีการเปลี่ยนแปลงหลายอย่าง ในกรณีเช่นนี้ จะสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้สูตรอนุพันธ์ลอการิทึม . ทำไม คุณจะเข้าใจตอนนี้

ต้องหาให้เจอก่อน ในการแปลง เราจะใช้คุณสมบัติของลอการิทึม (ลอการิทึมของเศษส่วนเท่ากับผลต่างของลอการิทึม และลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม และระดับของการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมสามารถเป็นได้ นำออกมาเป็นสัมประสิทธิ์หน้าลอการิทึม):

การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้นำเราไปสู่การแสดงออกที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่หาได้ง่าย:

เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นสูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึมและรับคำตอบ:

เพื่อรวมเนื้อหา เราจะยกตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างโดยไม่มีคำอธิบายโดยละเอียด

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเลขชี้กำลัง

หัวข้อบทเรียน: “ความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล" ในการมอบหมาย UNT

เป้า : พัฒนาทักษะของผู้เรียนในการประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในหัวข้อ “ความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" สำหรับการแก้ปัญหา UNT

งาน

เกี่ยวกับการศึกษา: จัดระบบความรู้ทางทฤษฎีของนักเรียน รวบรวมทักษะการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

เกี่ยวกับการศึกษา:พัฒนาความจำ การสังเกต การคิดเชิงตรรกะ การพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน ความสนใจ ความนับถือตนเอง และทักษะการควบคุมตนเอง

เกี่ยวกับการศึกษา:มีส่วนช่วย:

การพัฒนาทัศนคติที่รับผิดชอบต่อการเรียนรู้ของนักเรียน

การพัฒนาความสนใจทางคณิตศาสตร์อย่างยั่งยืน

สร้างแรงจูงใจภายในที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์

วิธีการสอน: วาจา, ภาพ, การปฏิบัติ

รูปแบบการทำงาน:บุคคล, หน้าผาก, เป็นคู่

ในระหว่างเรียน

Epigraph: “ จิตใจไม่เพียงอยู่ในความรู้เท่านั้น แต่ยังอยู่ในความสามารถในการประยุกต์ความรู้ในทางปฏิบัติด้วย” อริสโตเติล (สไลด์ 2)

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง การแก้ปริศนาอักษรไขว้ (สไลด์ 3-21)

ปิแอร์ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ให้นิยามเส้นนี้ว่า “เส้นตรงที่อยู่ติดกับเส้นโค้งมากที่สุดในย่านเล็กๆ ของจุดนั้น”

แทนเจนต์

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y = log ก x.

ลอการิทึม

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y = กเอ็กซ์

บ่งชี้

ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดนี้ใช้เพื่อค้นหาความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุและค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

อนุพันธ์

ชื่อของฟังก์ชัน F(x) สำหรับฟังก์ชัน f(x) คืออะไร หากตรงตามเงื่อนไข F"(x) =f(x) สำหรับจุดใดๆ จากช่วงเวลา I

สารต้านอนุพันธ์

ชื่อของความสัมพันธ์ระหว่าง X และ Y คืออะไร โดยที่แต่ละองค์ประกอบของ X เชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของ Y

อนุพันธ์ของการกระจัด

ความเร็ว

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตร y = e x

ผู้แสดงสินค้า

หากฟังก์ชัน f(x) สามารถแสดงเป็น f(x)=g(t(x)) ได้ ฟังก์ชันนี้จะเรียกว่า...

สาม. การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์ (สไลด์ 22)

1. เขียนสูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ( ก x)" = ก xln ก

2. เขียนสูตรหาอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง (อีเอ็กซ์)" = อีเอ็กซ์

3. เขียนสูตรหาอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ (ln x)"=

4. เขียนสูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม (บันทึก ก x)"=

5. เขียนรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) = กเอ็กซ์ ฉ(x)=

6. เขียนรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) =, x≠0 F(x)=ln|x|+ค

ตรวจสอบงานของคุณ (คำตอบในสไลด์ 23)

IV. การแก้ปัญหา UNT (จำลอง)

A) หมายเลข 1,2,3,6,10,36 บนกระดานและในสมุดบันทึก (สไลด์ 24)

B) ทำงานเป็นคู่หมายเลข 19,28 (จำลอง) (สไลด์ 25-26)

V. 1. ค้นหาข้อผิดพลาด: (สไลด์ 27)

1) ฉ(x)=5 อี – 3х, ฉ "(x)= – 3 อี – 3х

2) ฉ(x)=17 2x, ฉ "(x)= 17 2x ln17

3) ฉ(x)=บันทึก 5 (7x+1), ฉ "(x)=

4) ฉ(x)= ln(9 – 4х), ฉ "(x)=
.

วี. การนำเสนอของนักเรียน

Epigraph: “ ความรู้เป็นสิ่งล้ำค่าที่ไม่มีความละอายในการได้รับจากแหล่งใด ๆ ” Thomas Aquinas (สไลด์ 28)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้านหมายเลข 19,20 น.116

8. ทดสอบ (งานสำรอง) (สไลด์ 29-32)

ทรงเครื่อง สรุปบทเรียน

“หากคุณต้องการมีส่วนร่วมในชีวิตที่ยิ่งใหญ่ จงเติมคณิตศาสตร์ในขณะที่คุณมีโอกาส จากนั้นเธอจะให้ความช่วยเหลืออย่างดีแก่คุณตลอดชีวิต” M. Kalinin (สไลด์ 33)

อนุญาต
(1)
เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร x ก่อนอื่นเราจะพิจารณามันในชุดของค่า x ซึ่ง y รับค่าบวก: . ต่อไปนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับนั้นใช้ได้กับค่าลบของ

ในบางกรณี เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1) จะสะดวกในการหาลอการิทึมล่วงหน้า
,
แล้วคำนวณอนุพันธ์ จากนั้นตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน จะได้ว่า
.
จากที่นี่
(2) .

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเรียกว่าอนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน y = ฉ(x) คืออนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันนี้: (ใน f(x))′.

กรณีของค่า y ติดลบ

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ตัวแปรสามารถรับทั้งค่าบวกและค่าลบ ในกรณีนี้ ให้หาลอการิทึมของโมดูลัสและค้นหาอนุพันธ์ของโมดูลัส:
.
จากที่นี่
(3) .
นั่นคือในกรณีทั่วไป คุณต้องค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชัน

เปรียบเทียบ (2) และ (3) เรามี:
.
นั่นคือผลลัพธ์อย่างเป็นทางการของการคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึมไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเราใช้โมดูโลหรือไม่ ดังนั้น เมื่อคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึม เราไม่ต้องกังวลว่าฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายอะไร

สถานการณ์นี้สามารถชี้แจงได้โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน ปล่อยให้ค่า x บางค่าเป็นลบ: ถ้าเราพิจารณาเฉพาะจำนวนจริง ฟังก์ชันนี้ก็จะนิยามไม่ได้ อย่างไรก็ตาม หากเราพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน เราจะได้ดังต่อไปนี้:
.
นั่นคือฟังก์ชั่นและแตกต่างตามค่าคงที่เชิงซ้อน:
.
เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ดังนั้น
.

คุณสมบัติของอนุพันธ์ลอการิทึม

จากการพิจารณาดังกล่าวจึงเป็นไปตามนั้น อนุพันธ์ลอการิทึมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณคูณฟังก์ชันด้วยค่าคงที่ใดๆ :
.
จริงๆ แล้วใช้. คุณสมบัติของลอการิทึม,สูตร ผลรวมอนุพันธ์และ อนุพันธ์ของค่าคงที่, เรามี:

.

การประยุกต์อนุพันธ์ลอการิทึม

สะดวกในการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมในกรณีที่ฟังก์ชันดั้งเดิมประกอบด้วยผลคูณของกำลังหรือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในกรณีนี้ การดำเนินการลอการิทึมจะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลรวม สิ่งนี้ทำให้การคำนวณอนุพันธ์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

สารละลาย

ลองลอการิทึมฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

ลองแยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x กัน
ในตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
;
;
;
;
(A1.1) .
คูณด้วย:

.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์ลอการิทึม:
.
จากที่นี่เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

หากเราต้องการใช้เฉพาะจำนวนจริง เราควรหาลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันเดิม:
.
แล้ว
;
.
และเราได้สูตร (A1.1) ผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนแปลง

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.

สารละลาย

ลองใช้ลอการิทึม:
(A2.1) .
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
;
;

;
;
;
.

คูณด้วย:
.
จากที่นี่เราจะได้อนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

ที่นี่ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่เป็นลบ: . มีกำหนดไว้ที่. หากเราไม่ถือว่าสามารถกำหนดลอการิทึมสำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ สูตร (A2.1) ควรเขียนดังนี้:
.
เพราะว่า

และ
,
สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์สุดท้าย

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์
.

สารละลาย

เราทำการสร้างความแตกต่างโดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ลองใช้ลอการิทึมโดยคำนึงถึงว่า:
(A3.1) .

โดยการหาความแตกต่าง เราได้อนุพันธ์ลอการิทึม
;
;
;
(A3.2) .

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

.

บันทึก

ให้เราทำการคำนวณโดยไม่ต้องสันนิษฐานว่าสามารถกำหนดลอการิทึมสำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้ลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.
แทนที่จะเป็น (A3.1) เรามี:
;

.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (A3.2) เราพบว่าผลลัพธ์ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ผลงานที่เสร็จแล้ว

งานระดับปริญญา

หลายอย่างผ่านไปแล้วและตอนนี้คุณสำเร็จการศึกษาแล้วแน่นอนว่าคุณเขียนวิทยานิพนธ์ตรงเวลา แต่ชีวิตเป็นสิ่งที่ชัดเจนสำหรับคุณแล้วว่าเมื่อเลิกเป็นนักเรียนแล้ว คุณจะสูญเสียความสุขของนักเรียนไปทั้งหมด ซึ่งหลายอย่างคุณไม่เคยลองเลย ละทิ้งทุกสิ่งและเลื่อนมันออกไปในภายหลัง และตอนนี้ แทนที่จะตามทัน คุณกำลังทำวิทยานิพนธ์ของคุณอยู่เหรอ? มีวิธีแก้ปัญหาที่ยอดเยี่ยม: ดาวน์โหลดวิทยานิพนธ์ที่คุณต้องการจากเว็บไซต์ของเรา - แล้วคุณจะมีเวลาว่างมากมายทันที!
วิทยานิพนธ์ได้รับการปกป้องเรียบร้อยแล้วที่มหาวิทยาลัยชั้นนำของสาธารณรัฐคาซัคสถาน
ต้นทุนงานจาก 20,000 tenge

หลักสูตรได้ผล

โครงการหลักสูตรนี้เป็นงานภาคปฏิบัติอย่างจริงจังงานแรก ด้วยการเขียนรายวิชาที่การเตรียมการสำหรับการพัฒนาโครงการอนุปริญญาเริ่มต้นขึ้น หากนักเรียนเรียนรู้ที่จะนำเสนอเนื้อหาของหัวข้อในโครงการหลักสูตรอย่างถูกต้องและจัดรูปแบบอย่างมีความสามารถในอนาคตเขาจะไม่มีปัญหาในการเขียนรายงานหรือเขียนวิทยานิพนธ์หรือปฏิบัติงานภาคปฏิบัติอื่น ๆ เพื่อช่วยนักเรียนในการเขียนงานนักเรียนประเภทนี้และเพื่อชี้แจงคำถามที่เกิดขึ้นระหว่างการเตรียมงาน อันที่จริงส่วนข้อมูลนี้จึงถูกสร้างขึ้น
ต้นทุนงานจาก 2,500 tenge

วิทยานิพนธ์ของอาจารย์

ปัจจุบันในสถาบันการศึกษาระดับสูงของคาซัคสถานและกลุ่มประเทศ CIS ระดับการศึกษาวิชาชีพระดับสูงที่ตามมาหลังจากสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีเป็นเรื่องธรรมดามาก - ปริญญาโท ในหลักสูตรปริญญาโท นักศึกษาจะเรียนโดยมีเป้าหมายเพื่อให้ได้ปริญญาโท ซึ่งเป็นที่ยอมรับในประเทศส่วนใหญ่ของโลกมากกว่าปริญญาตรี และยังเป็นที่ยอมรับจากนายจ้างชาวต่างชาติอีกด้วย ผลการศึกษาระดับปริญญาโทคือการป้องกันวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโท
เราจะจัดเตรียมเนื้อหาเชิงวิเคราะห์และข้อความที่ทันสมัยให้กับคุณ ราคานี้รวมบทความทางวิทยาศาสตร์ 2 บทความและบทคัดย่อ
ต้นทุนงานจาก 35,000 tenge

รายงานการปฏิบัติ

หลังจากเสร็จสิ้นการฝึกงานของนักศึกษาทุกประเภท (การศึกษา อุตสาหกรรม ก่อนสำเร็จการศึกษา) จะต้องมีรายงาน เอกสารนี้จะเป็นการยืนยันการปฏิบัติงานของนักเรียนและเป็นพื้นฐานในการประเมินการปฏิบัติงาน โดยปกติในการจัดทำรายงานเกี่ยวกับการฝึกงานคุณจะต้องรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลเกี่ยวกับองค์กร พิจารณาโครงสร้างและกิจวัตรการทำงานขององค์กรที่มีการฝึกงาน จัดทำแผนปฏิทินและอธิบายการปฏิบัติของคุณ กิจกรรม.
เราจะช่วยคุณเขียนรายงานเกี่ยวกับการฝึกงานของคุณโดยคำนึงถึงกิจกรรมเฉพาะขององค์กรนั้น ๆ