Halos lahat ng mga sistema ng kontrol, mahigpit na nagsasalita, ay nonlinear, i.e. ay inilarawan sa pamamagitan ng nonlinear equation. Ang mga linear control system ay ang kanilang mga linear na modelo, na nakukuha sa pamamagitan ng conventional linearization - linearization na binubuo ng pagpapalawak ng mga nonlinear na function sa isang serye ng Taylor at pagtatapon ng mga nonlinear na termino. Gayunpaman, ang ganitong linearization ay hindi palaging posible. Kung tinatanggap ng nonlinearity ang karaniwang linearization, ang nasabing nonlinearity ay tinatawag na inessential. Kung hindi, ang nonlinearity ay sinasabing makabuluhan. Ang lahat ng uri ng mga elemento ng relay ay may makabuluhang nonlinearities. Kahit na sa mga kaso kung saan posible ang conventional linearization, maaaring madalas na kailanganing isaalang-alang ang orihinal na nonlinear na modelo sa huling yugto ng pag-aaral.
Ang isang nonlinear na awtomatikong control system ay isang system na naglalaman ng hindi bababa sa isang link na inilarawan ng isang nonlinear equation.
Mga uri ng nonlinear na link:
link ng uri ng relay;
link na may piecewise linear na katangian;
isang link na may curvilinear na katangian ng anumang hugis;
isang link na ang equation ay naglalaman ng produkto ng mga variable o kanilang mga derivatives at kanilang iba pang mga kumbinasyon;
nonlinear na link na may pagkaantala;
nonlinear impulse link;
lohikal na link;
mga link na inilarawan ng mga piecewise linear control system, kabilang ang mga may variable na istraktura.
Sa Fig. Ang 2.1 ay nagpapakita ng mga katangian ng relay ng iba't ibang uri:
mga katangian ng isang perpektong relay (a);
mga katangian ng isang relay na may patay na zone (b);
mga katangian ng isang relay na may hysteresis (c);
mga katangian ng isang relay na may dead zone at hysteresis (g);
katangian ng quantization ayon sa antas (d).
Sa Fig. Ang 2.2 ay nagpapakita ng hiwa-hiwalay na mga linear na katangian:
piecewise linear na katangian na may saturation (a);
piecewise linear na katangian na may dead zone at saturation (b)
piecewise linear na katangian na may dead zone (c);
backlash (katangian ng isang link na may backlash) (g);
katangian ng diode (d);
piecewise linear na katangian na may hysteresis at saturation (e).
May mga static at dynamic na nonlinearities. Ang una ay ipinakita sa anyo ng mga nonlinear na static na katangian, ang huli sa anyo ng mga nonlinear differential equation.
Ang drive ng regulating body, anuman ito (electric, hydraulic o pneumatic), palaging may, una, isang dead zone sa pinanggalingan; pangalawa, ang saturation zone sa mga gilid. Bilang karagdagan, ang hysteresis ay maaari ding mangyari. Mayroon ding mga pare-pareho ang bilis ng pagmamaneho na nauugnay sa mga link ng uri ng relay.
Ang patay na zone ay ipinahayag sa pamamagitan ng ang katunayan na ang makina ay may isang tiyak na minimum na panimulang kasalukuyang, hanggang sa maabot kung saan ang makina ay nakatigil.
HYSTERESIS (mula sa Greek hysteresis - lag, delay), isang phenomenon na binubuo sa katotohanan na pisikal. isang dami na nagpapakilala sa estado ng isang katawan (halimbawa, magnetization) ay hindi siguradong nakasalalay sa mga pisikal na katangian. isang dami na nagpapakilala sa mga panlabas na kondisyon (halimbawa, magnetic field). Ang G. ay sinusunod sa mga kaso kung saan ang estado ng katawan sa isang naibigay na sandali sa oras ay tinutukoy ng mga panlabas na kondisyon hindi lamang sa parehong oras, kundi pati na rin sa mga nakaraang punto sa oras. Ang isang hindi tiyak na pag-asa ng mga dami ay sinusunod sa anumang proseso, dahil ang pagbabago ng estado ng katawan ay palaging nangangailangan ng isang tiyak na oras (oras ng pagpapahinga) at ang reaksyon ng katawan ay nahuhuli sa mga sanhi na sanhi nito.
Ang mga nonlinear system ay may ilang mga pangunahing tampok kumpara sa mga linear. Sa partikular, ang mga tampok na ito ay ang mga sumusunod:
Ang prinsipyo ng superposisyon ay hindi pinanghahawakan, at ang pag-aaral ng isang nonlinear na sistema sa ilalim ng ilang impluwensya ay hindi maaaring bawasan sa isang pag-aaral sa ilalim ng isang impluwensya;
Ang katatagan at katangian ng proseso ng paglipat ay nakasalalay sa laki ng paunang paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo;
Sa ilalim ng mga nakapirming panlabas na impluwensya, ilang (at kung minsan ay isang walang katapusang bilang) na mga posisyon ng ekwilibriyo ay posible;
Ang mga libreng steady-state na proseso ay lumitaw na imposible sa mga linear na sistema (halimbawa, mga self-oscillations).
Walang unibersal na analytical (matematika) na pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system. Sa proseso ng pagbuo ng teorya ng awtomatikong kontrol, ang iba't ibang mga pamamaraan ng matematika para sa pagsusuri at synthesis ng mga nonlinear system ay binuo, na ang bawat isa ay naaangkop sa isang tiyak na klase ng mga sistema at mga problema. Ang pinakamalawak na ginagamit na mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system ay:
Paraan ng phase plane;
Paraan ng pag-andar ng Lyapunov;
Harmonic linearization method (harmonic balance method);
Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng ganap na katatagan.
Anumang pag-aaral ng mas marami o hindi gaanong kumplikadong nonlinear system, bilang panuntunan, ay nagtatapos sa mathematical modelling. At sa bagay na ito, ang mathematical modeling ay isa sa mga unibersal (non-analytical) na pamamaraan ng pananaliksik.
Phase plane
Kung ang mga equation ng control system ay ipinakita sa normal na anyo, kung gayon ang state vector ng system ay natatanging tinutukoy ang estado nito. Ang bawat estado ng system sa puwang ng estado ay tumutugma sa isang punto. Ang punto na tumutugma sa kasalukuyang estado ng sistema ay tinatawag na isang kumakatawan na punto. Kapag nagbago ang estado, inilalarawan ng kumakatawang punto ang isang tilapon. Ang trajectory na ito ay tinatawag na phase trajectory. Ang hanay ng mga phase trajectories na tumutugma sa lahat ng posibleng paunang kondisyon ay tinatawag na isang phase portrait.
Ang phase trajectory at phase portrait ay maaaring biswal na kinakatawan sa kaso ng isang two-dimensional phase space. Ang two-dimensional phase space ay tinatawag na phase plane.
Ang phase plane ay isang coordinate plane kung saan ang dalawang variable (phase coordinates) ay naka-plot sa kahabaan ng coordinate axes, na natatanging tumutukoy sa estado ng second-order system.
Ang paraan ng pagsusuri at synthesis ng isang control system batay sa pagbuo ng isang phase portrait ay tinatawag na phase plane method.
Mula sa larawan ng yugto ay maaaring hatulan ng isa ang likas na katangian ng mga lumilipas na proseso. Sa partikular, gamit ang phase trajectory, maaari kang bumuo ng isang qualitatively time na katangian nang walang kalkulasyon - isang curve ng x versus time, at, sa kabaligtaran, gamit ang time na katangian, maaari kang qualitatively bumuo ng isang phase trajectory.
Bilang halimbawa, gagawa muna tayo ng katangian ng oras gamit ang phase trajectory, at pagkatapos ay gagawa ng phase trajectory gamit ang time na katangian. Hayaang ibigay ang phase trajectory (Larawan 2.4, a).
Ang pagkakaroon ng minarkahan ang mga punto ng katangian dito (ang panimulang punto, ang mga punto ng intersection na may mga coordinate axes), inilalagay namin ang kaukulang mga punto sa pansamantalang eroplano at ikinonekta ang mga ito sa isang makinis na curve (Larawan 2.4, b).
Hayaang ibigay ngayon ang katangian ng oras (Larawan 2.5, a). Ang pagkakaroon ng minarkahang mga punto ng katangian dito (ang panimulang punto, mga extremum na punto at mga punto ng intersection sa axis ng oras), inilalagay namin ang kaukulang mga punto sa phase plane at ikinonekta ang mga ito sa isang makinis na curve
(Larawan 2.5,6).
Ang mga phase portrait ng mga nonlinear system ay maaaring maglaman ng isang uri ng espesyal na curve - mga nakahiwalay na closed trajectories. Ang mga kurba na ito ay tinatawag limitahan ang mga cycle. Kung, mula sa loob at labas, ang mga phase trajectory ay nagtatagpo sa limit cycle (Larawan 2.8, a),
kung gayon ang naturang limitasyon ng siklo ay tinatawag na isang matatag na siklo ng limitasyon. Ang isang matatag na ikot ng limitasyon ay tumutugma sa asymptotically orbitally stable na periodic motion (self-oscillations).
Kung ang phase trajectories sa loob at labas ng limit cycle ay lumayo mula dito (Fig. 2.8,6), ang naturang limit cycle ay tinatawag na unstable limit cycle. Ang isang panaka-nakang proseso na nauugnay sa isang hindi matatag na ikot ng limitasyon ay hindi maaaring obserbahan.
Kung ang kilusan ay nagsisimula sa loob ng naturang limitasyon na cycle, pagkatapos ay ang proseso ay nagtatagpo sa isang equilibrium na posisyon. Kung ang kilusan ay nagsisimula sa labas ng naturang limitasyon na cycle, pagkatapos ay ang proseso ay magkakaiba. Ang isang hindi matatag na siklo ng limitasyon ay nagsisilbing hangganan ng rehiyon ng atraksyon, o ang hangganan ng katatagan ng posisyon ng ekwilibriyo (pinagmulan).
Dalawang limit cycle ang posible (Larawan 2.8, c, d). Panloob bago-
limitahan ang cycle sa Fig. 2.8, in ay stable, at ang mga self-oscillations ay tumutugma dito, at ang panlabas na ikot ng limitasyon ay hindi matatag at ang hangganan ng rehiyon ng mga self-oscillations: ang mga self-oscillations ay nangyayari para sa anumang mga paunang paglihis na hindi lalampas sa panlabas na limitasyon ng cycle .
Ang panlabas na ikot ng limitasyon sa Fig. 2.8, d ay stable at tumutugma sa self-oscillations, at ang internal limit cycle ay hindi matatag at ang hangganan ng rehiyon ng atraksyon ng posisyon ng balanse. Sa isang sistema na may tulad na isang phase portrait, ang mga self-oscillation ay lumitaw kapag ang system ay lumihis nang sapat mula sa posisyon ng balanse - isang paglihis na lumampas sa panloob na limitasyon ng siklo. Kung ang sistema ay gumagalaw sa loob ng isang hindi matatag na ikot ng limitasyon, pagkatapos ay lumalapit ito sa isang posisyon ng ekwilibriyo.
Paraan ng Harmonic linearization
Ang harmonic linearization method, o harmonic balance method, ay orihinal na binuo upang pag-aralan ang mga pana-panahong kondisyon. Gayunpaman, kalaunan ay nagsimula itong gamitin din para sa pagsusuri ng katatagan at synthesis ng mga nonlinear system.
Ang pangunahing ideya ng pamamaraan ay ang mga sumusunod. Ang mga kinokontrol na sistema (mga bagay), bilang panuntunan, ay may pag-aari ng isang low-pass na filter: kapag nangyari ang mga pana-panahong mode, hindi sila nagpapadala, o nagpapadala nang may higit na pagpapalambing, pangalawa at mas mataas na mga harmonika. At ang kakanyahan ng paraan ng harmonic linearization ay upang ilarawan ang isang nonlinear na link sa pamamagitan ng isang linear equation, na nakukuha sa pamamagitan ng pagpapabaya (pagtatapon) ng ipinahiwatig na mga harmonika sa pagpapalawak ng nonlinear function sa isang Fourier series.
Ang paraan ng harmonic linearization ay isang tinatayang pamamaraan. Gayunpaman, ang bentahe nito ay naaangkop ito sa mga system ng anumang pagkakasunud-sunod, sa kaibahan sa paraan ng phase plane, na maaari lamang mabisang mailapat sa mga sistema ng 2nd order.
Paraan ng Goldfarb (paraan para sa pag-aaral ng simetriko na self-oscillations)
Paraan ng pag-andar ng Lyapunov
Ang pamamaraan ng pananaliksik batay sa pagtatayo ng function ng Lyapunov, kabilang ang direktang pamamaraan ng Lyapunov, ay nagsimulang tawaging paraan ng mga function ng Lyapunov.
Paraan para sa pag-aaral ng ganap na katatagan
Ang problema ng ganap na katatagan ay unang isinasaalang-alang ni A. I. Lurie, at kung minsan ay tinatawag itong problemang Lurie. Gumawa siya ng isang paraan para sa paglutas ng problemang ito, batay sa pagtatayo ng Lyapunov function. Noong 1961 Ang Romanian scientist na si V.M. Inilathala ni Popov ang isang papel kung saan binalangkas niya ang isang paraan ng dalas para sa paglutas ng problemang ito. Nagresulta ito sa isang malaking daloy ng trabaho sa direksyong ito.
Para sa mga gawain:
Relasyon sa pagitan ng lumilipas na proseso at phase portrait:
(Besekersky-Popov p. 595 maraming bagay)
Ang pagkakaroon ng mga nonlinearity sa mga control system ay humahantong sa paglalarawan ng naturang sistema sa pamamagitan ng mga nonlinear na differential equation, kadalasan ng medyo mataas na mga order. Tulad ng nalalaman, ang karamihan sa mga grupo ng mga nonlinear na equation ay hindi malulutas sa isang pangkalahatang anyo, at ang isa ay maaari lamang makipag-usap tungkol sa mga espesyal na kaso ng solusyon, samakatuwid, sa pag-aaral ng mga nonlinear system, ang iba't ibang mga tinatayang pamamaraan ay may mahalagang papel.
Gamit ang tinatayang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system, kadalasan ay imposibleng makakuha ng sapat na kumpletong pag-unawa sa lahat ng mga dynamic na katangian ng system. Gayunpaman, sa kanilang tulong posible na sagutin ang isang bilang ng mga indibidwal na mahahalagang katanungan, tulad ng tanong ng katatagan, ang pagkakaroon ng mga self-oscillations, ang likas na katangian ng anumang partikular na mga mode, atbp.
Sa kasalukuyan, mayroong isang malaking bilang ng iba't ibang mga analytical at graph-analytical na pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system, bukod sa kung saan maaari nating i-highlight ang mga pamamaraan ng phase plane, fitting, point transformations, harmonic linearization, direktang pamamaraan ng Lyapunov, frequency method para sa pag-aaral ng absolute. katatagan ng Popov, mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system sa mga elektronikong modelo at computer.
Maikling paglalarawan ng ilan sa mga nakalistang pamamaraan.
Ang pamamaraan ng phase plane ay tumpak, ngunit may limitadong aplikasyon, dahil halos hindi ito naaangkop para sa mga control system, ang paglalarawan kung saan ay hindi maaaring bawasan sa mga pangalawang-order na kontrol.
Ang paraan ng harmonic linearization ay isang tinatayang pamamaraan; wala itong mga paghihigpit sa pagkakasunud-sunod ng mga differential equation. Kapag inilalapat ang pamamaraang ito, ipinapalagay na may mga harmonic oscillations sa output ng system, at ang linear na bahagi ng control system ay isang high-pass na filter. Sa kaso ng mahinang pag-filter ng mga signal ng linear na bahagi ng system, kapag gumagamit ng harmonic linearization na paraan, kinakailangang isaalang-alang ang mas mataas na harmonics. Kasabay nito, ang pagsusuri ng katatagan at kalidad ng mga proseso ng kontrol ng mga nonlinear system ay nagiging mas kumplikado.
Ang pangalawang paraan ng Lyapunov ay nagpapahintulot sa isa na makakuha lamang ng sapat na mga kondisyon para sa katatagan. At kung sa batayan nito ang kawalang-tatag ng control system ay natutukoy, pagkatapos ay sa isang bilang ng mga kaso, upang suriin ang kawastuhan ng nakuha na resulta, kinakailangan upang palitan ang Lyapunov function sa isa pa at magsagawa muli ng pagsusuri ng katatagan. Bilang karagdagan, walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa pagtukoy ng function ng Lyapunov, na ginagawang mahirap ang praktikal na aplikasyon ng pamamaraang ito.
Ang absolute stability criterion ay nagbibigay-daan sa iyo upang pag-aralan ang katatagan ng mga nonlinear system gamit ang mga katangian ng dalas, na isang mahusay na bentahe ng pamamaraang ito, dahil pinagsasama nito ang mathematical apparatus ng linear at nonlinear system sa isang solong kabuuan. Ang mga disadvantages ng pamamaraang ito ay kinabibilangan ng pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon kapag sinusuri ang katatagan ng mga system na may hindi matatag na linear na bahagi. Samakatuwid, upang makuha ang tamang resulta sa katatagan ng mga nonlinear system, kinakailangan na gumamit ng iba't ibang mga pamamaraan. At ang pagkakataon lamang ng iba't ibang mga resulta ay magbibigay-daan sa amin upang maiwasan ang mga maling paghuhusga tungkol sa katatagan o kawalang-tatag ng dinisenyo na awtomatikong sistema ng kontrol.
Pamantayan ng katatagan Popova V.M.
(Romanian scientist)
Ito ay isang paraan ng dalas para sa pag-aaral ng katatagan ng isang NL ACS na may hindi malabong nonlinearity na nakakatugon sa kundisyon.
Ang katatagan ng posisyon ng balanse ay isinasaalang-alang
Sapat na kondisyon ganap na katatagan Ang ganitong mga sistema ay binuo ni V.M. Popov.
1. Ang transfer function ay ipinakilala
Ito ay ipinapalagay na 
tumutugma sa isang asymptotically stable na sistema (sinusuri ng alinman sa pamantayan ng katatagan).
2.Ang dalas ng pagtugon ay natagpuan 
.
3. Isang binagong tugon ng dalas ay binuo 
,
na tinutukoy ng kaugnayan
Re
=Re 
,
Im
=
.
4.Itinayo sa kumplikadong eroplano 
.
Pamantayan ng Popov:
Kung sa pamamagitan ng isang punto 
ang isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa totoong axis upang ang binagong AFC 
humiga sa isang gilid ng tuwid na linyang ito, pagkatapos ay isang saradong NL self-propelled na baril magiging ganap na matatag.
Halimbawa. Siyasatin ang ganap na katatagan ng NL self-propelled na mga baril na may block diagram ng Fig. 1, kung
Dahil sa lahat 
sa katangian equation ng 2nd order ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos 
- ay asymptotically stable at, samakatuwid, ang kondisyon (1) ng Popov's stability criterion ay natutugunan.
Re
=Re 
=
Im
=
Im
=
Nagtatayo kami ng AFFC 
.
Asymptotic na katatagan para sa isang espesyal na anyo
mga hindi linear na katangian
1. Hindi maliwanag na hindi linear na katangian
Ang estado ng pahinga ay magiging ganap na matatag kung
1.
tumutugma sa isang asymptotically stable na sistema.
2.
2. Sistema na may katangian ng relay
r=0 . Ito ay isang espesyal na kaso ng katangiang tinalakay sa itaas.
Sapat na kondisyon para sa ganap na katatagan - sa halip na kundisyon (2)
3.Nonlinearity ng relay type
1.
- asymptotically stable.
2.Im 
Ganap na katatagan ng proseso
Isaalang-alang natin ngayon ang katatagan hindi ng mga sistema ng pag-stabilize (nominal mode - rest state), ngunit ang kaso kapag ang nominal mode ay nailalarawan sa pamamagitan ng input signal 
at output signal 
, iyon ay limitadong tuloy-tuloy mga function ng oras.
Ipagpalagay namin na ang nonlinear na elemento ay may anyo 
, Saan 
ay isang tuluy-tuloy na single-valued function na nakakatugon sa kundisyon
mga. ang rate ng pagbabago ng nonlinear na katangian ay limitado. Ito ay isang medyo mahigpit na kondisyon.
Sa kasong ito, upang matiyak ang ganap na katatagan ng limitadong proseso 
,
sapat na upang matugunan ang mga kondisyon6
1.
- ay asymptotically stable.
2.
.
Sa espesyal na kaso kapag r=0
o 
Ang teorya na nauugnay sa pagbuo ng mga ideya ni Popov ay hindi pa kumpleto; bago, mas malakas na mga resulta ay posible dito. Ang isang buod ng naturang mga resulta hanggang sa kasalukuyan ay magagamit sa aklat ni Naumov na "Nonlinear Automatic Control Systems".
Tinatayang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear na awtomatikong control system
Paraan ng Harmonic na balanse
Kapag pinag-aaralan ang NL ACS, minsan posible na obserbahan ang hitsura ng mga pana-panahong pagbabago sa halaga ng output y(t)
kahit sa mga kaso kung saan 
Kung, kapag nag-aaral ng mga self-propelled na baril, nililimitahan natin ang ating sarili sa linear modelo na may pare-parehong mga coefficient, kung gayon ang ipinahiwatig na kababalaghan (natural oscillations) ay maaari lamang mangyari kung mayroong mga haka-haka lamang na ugat sa katangiang equation 
.
Gayunpaman, sa paliwanag na ito, ang isang maliit na pagbabago sa mga parameter ng system ay "magpapalit" sa ugat mula sa haka-haka na axis patungo sa kaliwa o kanan at ang mga natural na oscillation ay maaaring mamasa o umuugoy. Sa pagsasagawa, sa mga nonlinear system, ang mga pana-panahong oscillations ng output signal ay nagpapatuloy na may maliliit na pagbabago sa mga parameter ng system.
Ang ganitong uri ng undamped oscillations ay ipinaliwanag ng hindi linear na katangian ng system. Ang mga ito ay tinatawag na self-oscillations.
Isaalang-alang ang pamamaraan maharmonya na balanse, na ginagawang posible upang matukoy ang presensya o kawalan ng self-oscillations batay sa magkaparehong daloy ng phase-frequency na tugon ng linear na bahagi at ang mga katangian ng nonlinear na elemento.
Isaalang-alang natin ang isang single-loop system kung saan natukoy ang isang nonlinear na elemento
(1)
at linear na bahagi na may transfer function 
.
Ipinapalagay:
1.
tumutugma sa isang matatag na sistema,
2. hindi linear na katangian 
- kakaibang simetriko, i.e.
,
3.input signal 
, ibig sabihin. Ito ay isang sistema ng pagpapapanatag.
Hahanapin natin ang output signal y(t) bilang
,
(2)
saan 
- amplitude ng self-oscillations,
- dalas ng self-oscillations.
At 
kailangang matukoy.
Sinusoidal Hypothesis y(t) mukhang arbitrary. Gayunpaman, ang mga karagdagang kondisyon ay ibibigay kung saan nagiging natural ang hypothesis na ito.
Dahil ang 
,(3)
Mawalan tayo ng signal 
sunud-sunod sa pamamagitan ng nonlinear na elemento at ang linear na bahagi at maghanap ng mga equation kung saan posible na matukoy ang amplitude 
at dalas 
self-oscillations sa NL self-propelled na baril.
Walkthrough 
sa pamamagitan ng linear na elemento
kasi
-
periodic function, pagkatapos ay ang signal
sa output ng nonlinear
elemento
magiging panaka-nakang function din, ngunit iba sa sine wave.
Saklaw 
Saklaw 
Tulad ng nalalaman, ang anumang pana-panahong pag-andar ay maaaring katawanin ng isang seryeng Fourier:
(4)
Ipinapalagay namin na ang libreng termino sa formula (4) ay katumbas ng zero. Ito ay magaganap, halimbawa, kapag ang katangian ng isang nonlinear na elemento ay nakakatugon sa kundisyon
, ibig sabihin, ito ay isang kakaibang function.
Narito ang Fourier coefficients 
At 
ay tinutukoy:
,
(5)
Ibahin natin ang (4) sa pamamagitan ng pagpaparami at paghahati sa bawat termino sa kanang bahagi 
(6)
.
Alalahanin natin iyon
(8)
Kaya, kapag pumasa sa signal 
sa pamamagitan ng isang nonlinear na elemento, sa output ng nonlinear na elemento mayroong isang signal 
naglalaman ng maraming harmonika na multiple ng 
. (tingnan ang larawan sa itaas).
Daloy ng Signal 
sa pamamagitan ng linear na bahagi
Mula sa teorya ng linear system alam natin na kung ang input ng isang linear link na may transfer function 
, na tumutugma sa isang matatag na sistema, ay nagbibigay ng isang harmonic signal; sa isang matatag na estado, magkakaroon ng isang senyas sa output ng link na ito.
Dito 
- frequency response module 
sa punto 
,
argumento 
.
Gamit ang mga ugnayang ito, maaari nating isulat ang mga expression para sa 
, hiwalay na dumadaan sa linear na bahagi ang lahat ng mga bahagi ng serye (8) at pagkatapos ay pagbubuod ng mga resultang expression para sa 
Dahil sa linearity ng system, legal ang naturang procedure.
Nakukuha namin, sa pag-aakalang 
:
Ang resultang expression (9) para sa 
ay may medyo kumplikadong istraktura. Maaari itong lubos na pinasimple gamit i-filter ang hypothesis.
Sa pag-aaral ng mga katangian ng dalas ng mga tipikal na yunit ng elementarya, nakita namin na ang kanilang tugon sa dalas ay may posibilidad na zero sa 
Ang filter hypothesis ay ang frequency response sa kanang bahagi ng (9) ay bumababa sa pagtaas ng frequency nang napakabilis na sa (9) tanging ang unang termino ay maaaring isaalang-alang, katumbas ng k=1, at isaalang-alang ang mga natitirang termino na bale-wala. Sa madaling salita, ang filter hypothesis ay ang hypothesis na halos hindi pinapayagan ng linear na bahagi ng ACS na dumaan ang mga high-frequency oscillations. Samakatuwid, ang formula (9) (at ito ang approximation ng pamamaraan) ay pinasimple tulad ng sumusunod:
Kaya, kapag isinara ang system sa ilalim ng pagpapalagay ng filter hypothesis, makakakuha tayo ng harmonic balance (samakatuwid ang pangalan ng pamamaraan - ang harmonic balance method)
Tingnan natin kung paano gamitin paraan maharmonya na balanse matukoy ang amplitude A at dalas 
self-oscillations.
Ipakilala natin ang konsepto katumbas na transfer function ng isang nonlinear na elemento:
(11)
Kung 
(at ito ay nangyayari sa hindi malabo na simetriko nonlinear na katangian), pagkatapos
(12)
Ang katangiang equation ng isang closed ACS (Fig. 1) ay may anyo:
o dalas ng tugon
(13)
(14)
Isipin natin
Pagkatapos ang equation (14) ay muling isusulat:
=
(17)
Ang pagkakapantay-pantay (14) o (17) ay ang batayan ng pamamaraang graph-analytical para sa pagtukoy ng mga parameter ng self-oscillations A At 
.
Ang phase-frequency na tugon ng linear na bahagi ay itinayo sa kumplikadong eroplano
at mga katangian ng nonlinear na elemento
Kung ang mga kurba ay bumalandra, kung gayon ang mga self-oscillation ay umiiral sa ACS.
Ang dalas ng mga self-oscillations sa punto ng intersection ng mga curves kasama 
, at ang amplitude ay ayon sa 
.
Tingnan natin ang napiling lugar
Alam namin ang amplitude at dalas ng mga puntos na pinakamalapit sa intersection point ng mga curves. Ang amplitude at dalas sa intersection point ay maaaring matukoy, halimbawa, sa pamamagitan ng paghahati ng segment sa kalahati.
Paraan ng Harmonic linearization
Ito ay isang napaka-epektibong tinatayang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga pana-panahong oscillations sa NL ACS.
Upang mailapat ang paraan ng harmonic linearization ng nonlinearity, kinakailangan upang matupad ang kinakailangan: ang linear na bahagi ay dapat magkaroon ng mga katangian ng filter, i.e. hindi nito dapat pahintulutan ang mataas na frequency na dumaan.
Sa pagsasagawa, ang pangangailangang ito ay karaniwang natutugunan.
Hayaang magkaroon ng isang nonlinear na elemento
(1)
Hayaan 
(2)
Pagkatapos 
(3)
Palawakin natin ang (1) sa isang seryeng Fourier:
Alalahanin na ang nonlinear function F(x) , pinalawak sa isang seryeng Fourier, ay may anyo:
,
,
,
Pagkatapos ang seryeng Fourier para sa aming nonlinearity ay magiging ganito:
++mas mataas na harmonika (4)
Maglagay tayo ng isang pare-parehong bahagi 
Mula sa equation (2): 
Mula sa equation (3): 
Pagkatapos ang equation (4) ay maaaring muling isulat:
,
Sa equation (5) napapabayaan natin ang mataas na frequency at ito ang approximation ng method.
Kaya, ang nonlinear na elemento sa 
ay pinalitan ng linearized na expression (5), na, kapag ang linear part filter hypothesis ay nasiyahan, ay nasa anyo:
(6)
Ang pamamaraang ito ay tinatawag na harmonic linearization.
Odds 
At 
sa pare-pareho a At 
. Sa dynamic na mode, kapag nagbago sila A At 
, mga coefficient 
At 
magbabago. Ito ang pagkakaiba sa pagitan ng harmonic linearization at conventional linearization. (Gamit ang conventional linearization, ang coefficient ng linearized equation SA depende sa linearization point). Depende sa linearization coefficients sa A At 
ay nagbibigay-daan sa iyo na maglapat ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga linear system sa NL ACS (6) at pag-aralan ang mga katangian ng NL ACS na hindi matukoy gamit ang conventional linearization.
Harmonic linearization coefficients
ilang karaniwang nonlinearities
Katangian ng relay
2. Relay na katangian na may dead zone
,
Amplitude ng oscillation 
3. Relay na katangian na may hysteresis loop
,
,
4. Relay na katangian na may dead zone at hysteresis loop
,
Ngayon isaalang-alang ang isang saradong sistema.
,
Maaari nating ipakilala ang konsepto ng transfer function ng isang nonlinear na elemento
,
.
Pagkatapos ang katangian na equation ng isang saradong ACS:
,
o
Kapag ang natural na undamped oscillations ng pare-pareho ang amplitude at frequency ay lumitaw sa isang closed system, ang harmonic linearization coefficients ay nagiging pare-pareho at ang automatic control system ay nagiging linear. At sa isang linear na sistema, ang pagkakaroon ng panaka-nakang undamped oscillations ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng puro haka-haka na mga ugat.
Kaya, upang matukoy pana-panahon ang mga solusyon ay dapat ipalit sa katangiang equation 
. Dito 
- kasalukuyang dalas, at 
- dalas ng self-oscillations.
Ang mga hindi alam sa equation na ito ay 
At 
.
Ihiwalay natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi sa equation na ito.
Ipakilala natin ang notasyon para sa dalas at amplitude ng nais na pana-panahong solusyon: 
,
.
Nakakakuha kami ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.
Ang paglutas ng mga equation na ito, nakita namin 
At 
- amplitude at dalas ng mga pana-panahong solusyon sa NL ACS.
Gamit ang mga equation na ito, maaari mong matukoy hindi lamang 
At 
, ngunit bumuo din ng isang dependency 
At 
, halimbawa, mula sa pakinabang ng ACS SA.
Pagkatapos, isinasaalang-alang SA mga variable, isinusulat namin:
Nagtataka SA, nahanap namin 
At 
, ibig sabihin. 
At 
Maaaring pumili SA kaya ganun
1.
hindi ito magiging sapat
2.
ito ay hindi nakakapinsala para sa mga self-propelled na baril,
3. hindi magkakaroon ng self-oscillations.
Gamit ang parehong mga equation, posible sa eroplano ng dalawang mga parameter (halimbawa, T At SA) bumuo ng mga linya ng pantay na halaga ng amplitude at dalas ng self-oscillations. Para sa equation na ito, isusulat namin muli:
Pagtukoy ng mga numerong halaga 
, nakukuha namin 
At 
Mula sa mga graph na ito maaari kang pumili T At SA.
Pagtukoy sa katatagan ng mga solusyon sa mga nonlinear na awtomatikong control system
Ang mga self-oscillations sa NL ACS ay dapat tumutugma sa mga matatag na pana-panahong solusyon. Samakatuwid, pagkatapos mahanap ang amplitude 
at mga frequency 
pana-panahong mga solusyon, kinakailangan upang suriin ang mga ito para sa katatagan.
Isaalang-alang natin ang isang tinatayang pamamaraan para sa pag-aaral ng katatagan ng mga pana-panahong solusyon sa NL ACS gamit ang Mikhailov hodograph.
Hayaan ang NL self-propelled na baril
,
.
- nakuha gamit ang harmonic linearization method.
Katangiang equation ng isang closed system
Isulat natin ang equation ng curve ng katangian (hodograph ni Mikhailov), kung saan pinapalitan natin ito 
.
- kasalukuyang halaga ng dalas kasama ang Mikhailov hodograph,
- dalas ng harmonic linearization (self-oscillations).
Pagkatapos para sa anumang ibinigay permanente
At 
ang Mikhailov curve ay magkakaroon ng parehong anyo tulad ng para sa mga ordinaryong linear system.
Para sa mga pana-panahong solusyon na katumbas 
At 
, ang hodograph ni Mikhailov ay dadaan sa pinagmulan ng mga coordinate (dahil ang sistema ay nasa hangganan ng katatagan).
Upang matukoy ang katatagan ng mga pana-panahong solusyon na ibinibigay namin 
pagtaas 
Kung sa 
ang Mikhailov curve ay kukuha ng posisyon 1, at kailan
- posisyon 2, pagkatapos ay ang pana-panahong solusyon ay matatag.
Kung sa 
ang kurba ay kukuha ng posisyon 2, at kailan 
- posisyon 1, pagkatapos ay ang pana-panahong solusyon ay hindi matatag.
"Teorya ng awtomatikong kontrol"
"Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system"
1. Paraan ng mga differential equation
Ang differential equation ng isang closed nonlinear system ng nth order (Fig. 1) ay maaaring mabago sa isang sistema ng n-differential equation ng unang order sa anyo:
kung saan: – mga variable na nagpapakilala sa pag-uugali ng system (ang isa sa mga ito ay maaaring isang kinokontrol na variable); - mga nonlinear na function; u – nagtatakda ng impluwensya.
Karaniwan, ang mga equation na ito ay nakasulat sa may hangganang pagkakaiba:
nasaan ang mga paunang kondisyon.
Kung ang mga paglihis ay hindi malaki, kung gayon ang sistemang ito ay maaaring malutas bilang isang sistema ng mga algebraic equation. Ang solusyon ay maaaring ilarawan nang grapiko.
2. Phase space method
Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang panlabas na impluwensya ay zero (U = 0).
Ang paggalaw ng system ay tinutukoy ng pagbabago sa mga coordinate nito - bilang isang function ng oras. Ang mga halaga sa anumang oras ay nagpapakilala sa estado (phase) ng system at tinutukoy ang mga coordinate ng system na may mga n-axes at maaaring katawanin bilang mga coordinate ng ilang (kumakatawan sa) point M (Fig. 2).
Ang phase space ay ang coordinate space ng system.
Habang nagbabago ang oras t, gumagalaw ang point M sa isang tilapon na tinatawag na phase trajectory. Kung babaguhin natin ang mga paunang kundisyon, makakakuha tayo ng pamilya ng mga phase trajectories na tinatawag na phase portrait. Tinutukoy ng phase portrait ang katangian ng proseso ng paglipat sa isang nonlinear system. Ang phase portrait ay may mga espesyal na punto kung saan ang mga phase trajectory ng system ay may posibilidad o lumalayo (maaaring may ilan sa kanila).
Ang phase portrait ay maaaring maglaman ng closed phase trajectories, na tinatawag na limit cycles. Ang mga limit na cycle ay nagpapakilala sa mga self-oscillation sa system. Ang mga phase trajectory ay hindi nagsalubong kahit saan, maliban sa mga espesyal na punto na nagpapakilala sa mga estado ng balanse ng system. Ang mga ikot ng limitasyon at mga estado ng ekwilibriyo ay maaaring maging matatag o hindi matatag.
Ang phase portrait ay ganap na nagpapakilala sa nonlinear system. Ang isang tampok na katangian ng mga nonlinear system ay ang pagkakaroon ng iba't ibang uri ng mga galaw, ilang mga estado ng balanse, at ang pagkakaroon ng mga siklo ng limitasyon.
Ang phase space method ay isang pangunahing pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system. Ito ay mas madali at mas maginhawa upang pag-aralan ang mga nonlinear system sa phase plane kaysa sa pamamagitan ng pag-plot ng mga transient na proseso sa time domain.
Ang mga geometriko na konstruksyon sa kalawakan ay hindi gaanong nakikita kaysa sa mga konstruksyon sa isang eroplano, kapag ang sistema ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod, at ang paraan ng phase plane ay ginagamit.
Application ng phase plane method para sa mga linear system
Suriin natin ang kaugnayan sa pagitan ng likas na katangian ng proseso ng paglipat at ang mga kurba ng mga yugto ng yugto. Maaaring makuha ang mga phase trajectory sa pamamagitan ng pagsasama ng phase trajectory equation o sa pamamagitan ng paglutas ng orihinal na 2nd order differential equation.
Hayaang ibigay ang sistema (Larawan 3).
Isaalang-alang natin ang malayang paggalaw ng sistema. Sa kasong ito: U(t)=0, e(t)=– x(t)
Sa pangkalahatan, ang differential equation ay may anyo
saan 
(1)
Ito ay isang homogenous na differential equation ng 2nd order; ang katangiang equation nito ay katumbas ng
. (2)
Ang mga ugat ng katangian na equation ay tinutukoy mula sa mga relasyon
(3)
Katawan natin ang isang 2nd order differential equation sa anyo ng isang system
Mga equation ng 1st order:
(4)
kung saan ang rate ng pagbabago ng kinokontrol na variable.
Sa linear system na isinasaalang-alang, ang mga variable na x at y ay kumakatawan sa mga coordinate ng phase. Binubuo namin ang phase portrait sa espasyo ng mga coordinate x at y, i.e. sa phase plane.
Kung ibubukod natin ang oras mula sa equation (1), makukuha natin ang equation ng integral curves o phase trajectories.
. (5)
Ito ay isang separable equation
Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso
Ang mga file na GB_prog.m at GB_mod.mdl, at ang pagsusuri ng spectral na komposisyon ng periodic mode sa output ng linear na bahagi - gamit ang mga file na GB_prog.m at R_Fourie.mdl. Mga nilalaman ng file GB_prog.m: % Pag-aaral ng mga nonlinear system sa pamamagitan ng harmonic balance method % Mga file na ginamit: GB_prog.m, GB_mod.mdl at R_Fourie.mdl. % Mga ginamit na pagtatalaga: NE - nonlinear na elemento, LP - linear na bahagi. %Ina-clear ang lahat...
Inertia-free sa pinapahintulutang (limitado mula sa itaas) na saklaw ng dalas, kung saan ito ay nagiging inertial. Depende sa uri ng mga katangian, ang mga nonlinear na elemento na may simetriko at asymmetrical na mga katangian ay nakikilala. Ang isang katangian na hindi nakasalalay sa direksyon ng mga dami na tumutukoy dito ay tinatawag na simetriko, i.e. pagkakaroon ng symmetry na nauugnay sa pinagmulan ng system...
Isaalang-alang natin ang isang kemikal-teknolohiyang bagay, ang input kung saan tumatanggap ng isang random na signal At(/), at isang random na proseso ang sinusunod sa output sa(/). Kapag gumagamit ng mga pamamaraan ng ugnayan upang makilala ang mga linear na bagay na may pare-parehong mga parameter, kadalasang ipinapalagay (o ang signal ng pagsubok ay espesyal na pinili sa ganitong paraan) na ang mga random na function at (t) At sa (t) ay nakatigil at nakatigil na pares na nauugnay sa isang malawak na kahulugan, ibig sabihin, ang kanilang mga inaasahan sa matematika ay pare-pareho, at ang mga auto- at cross-correlation na function ay mga function ng hindi dalawa, ngunit isang argumento na katumbas ng kanilang pagkakaiba.
Kapag tinutukoy ang mga nonlinear na dynamic na system, ang mga kondisyon para sa normalidad ng probability density ng mga function at (t) At y(t) at ang kanilang magkasanib na mga density ng probabilidad, bilang panuntunan, ay hindi nasisiyahan, ibig sabihin, ang mga katangian ng isang bagay ay tinutukoy sa mga kondisyon kung saan ang magkasanib na probabilidad na density ng mga function at (t) At sa(/) ay hindi Gaussian.
Samakatuwid, ang conditional probability density function y(t) medyo at (t) magiging hindi Gaussian din. Ang regression ng output random variable na nauugnay sa input random function para sa mga ibinigay na halaga ng mga argumento ay nasa pangkalahatang kaso na nonlinear, at ang ugnayan ng mga function At(0 at sa (t) heteroscedastic.
Kaya, upang matukoy ang mga nonlinear na bagay, ang mga pamamaraan ng ugnayan na gumagana sa mga inaasahan sa matematika at mga function ng ugnayan ng mga random na proseso ay hindi na sapat. Ang error sa paglutas ng problema sa pagtukoy ng isang nonlinear na bagay gamit ang mga pamamaraan ng ugnayan na ginagamit para sa mga linear system ay mas malaki, mas malakas ang regression ng mga function. y(t) medyo at (t) ay naiiba mula sa linear at mas malaki ang hindi pantay ng matematikal na inaasahan ng mga kondisyon na pagkakaiba.
Ang problema sa pagtukoy ng mga nonlinear na bagay na tumatakbo sa ilalim ng mga kondisyon ng random na kaguluhan ay isang napakakomplikadong problema sa matematika, na kasalukuyang nasa ilalim ng pag-unlad at malayo pa sa pagkumpleto. Gayunpaman, posible nang pangalanan ang ilang mga pamamaraan na, bagama't hindi maituturing na kumpleto, ay nagbibigay ng isang medyo mahusay na tinatayang solusyon sa problema ng pagtukoy ng mga nonlinear na bagay gamit ang mga istatistikal na pamamaraan. Kabilang sa mga pamamaraang ito ang: 1) mga pamamaraan batay sa paggamit ng dispersion at interdispersive function ng mga random na proseso; 2) paraan ng linearization ng nonlinear regression sa mga lugar ng homoscedasticity ng matematikal na inaasahan ng conditional variance ng function y(t) medyo at (t) 3) Wiener na diskarte sa pagtukoy ng mga nonlinear system; 4) isang paraan para sa pagtukoy ng mga nonlinear system batay sa paggamit ng apparatus ng mga proseso ng kondisyong Markov.
Tingnan natin sandali ang bawat isa sa mga nakalistang pamamaraan.
1. Kung ang pagtitiwala sa pagitan ng mga halaga ng mga random na function At(0 at sa (t) nonlinear, kung gayon ang koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng mga halaga ng isang random na pag-andar ay hindi na maaaring magsilbi bilang isang mahusay na pamantayan para sa pagsukat ng lapit ng koneksyon sa pagitan nila. Samakatuwid, upang makilala ang koneksyon sa pagitan At At sa ay ginamit
mga relasyon sa pagpapakalat, na tinutukoy sa pamamagitan ng mga function ng pagpapakalat (2, 3].
Mutual dispersion function 0 yU (*, t) para sa mga totoong random na function y(t) At at (t) At auto-dispersion (dispersion) function G„ K (*, m) para sa random na proseso At(t) ay tinutukoy ng mga relasyon
saan M( ) - simbolo ng pag-asa sa matematika; M.
Batay sa mga halaga na tinukoy sa itaas p ui, t| uk at R maaari kang bumuo ng isang espesyal na pamantayan sa TV upang subukan ang hypothesis tungkol sa linearity ng relasyon sa pagitan ng mga signal y at at:
saan P- bilang ng mga eksperimento; Upang- bilang ng mga pagitan sa talahanayan ng ugnayan. Suriin natin ang hypothesis tungkol sa linearity ng relasyon sa pagitan y t At atbp para sa bagay na tinalakay sa §6.4. Function
N(t), na binuo mula sa input at output na mga pagpapatupad ng system, ay ipinapakita sa Fig. 8.2. Sa kasong ito, ang problema sa pagkakakilanlan ay nabawasan sa paghahanap para sa hindi kilalang mga parameter ng bagay, na mga coefficient ng operator sa Hilbert space. Ang signal sa input ng system ay pinalawak sa isang serye ng mga subfunction ng Laguerre:
may posibilidad 
kanin. 8.3.
kanin. 8.4.
Dito P-th Laguerre function g n(t) ay itinayo bilang isang produkto ng Laguerre polynomial ln(t) sa exponent:
Tandaan na ang Laplace na imahe ng Laguerre polynomials batay sa (8.19) ay may anyo
Ito ay nagpapakita na ang mga kinakailangang Laguerre coefficients ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpasa ng signal at (t) sa pamamagitan ng isang kadena ng mga linear dynamic na link (tingnan ang Fig. 8.3).
Ang operator ng isang nonlinear system ay kinakatawan bilang isang pagpapalawak sa Ermnt polynomials:
na orthogonal sa totoong axis - oo t. Ang Hermite function ay binuo mula sa Hermite polynomials:
sa tulong ng kung saan ang transition operator mula sa Laguerre coefficients ng input signal sa output signal ay nakasulat sa form
Ang relasyon (8.20) ay may bisa para sa anumang nonlinear na bagay at maaaring gamitin bilang batayan para sa pagkakakilanlan nito. Ang paraan ng pagkakakilanlan ay lubos na pinasimple kung ang isang espesyal na signal sa anyo ng Gaussian white noise ay inilapat sa input. Sa kasong ito, ang mga function ng Laguerre ay hindi nauugnay na mga random na proseso ng Gaussian na may pantay na pagkakaiba-iba. Sa kasong ito, ang pagpapasiya ng mga coefficient... Upang bumababa sa paghahanap ng cross-correlation function ng system output at ang Hermite polynomials:
Pagpapasiya ng mga logro b(j... Upang nakumpleto ang solusyon sa problema sa pagkakakilanlan. Ang pangkalahatang scheme ng pagkalkula ay ipinapakita sa Fig. 8.4.
Kapag nilulutas ang mga problema sa pagtukoy ng mga kemikal na teknolohikal na bagay, ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay may limitadong aplikasyon para sa isang bilang ng mga kadahilanan. Kasama sa huli, halimbawa, ang mga paghihirap na nagmumula kapag lumilipat mula sa mga coefficient b tj k sa mga teknolohikal na parameter ng bagay. Ang pamamaraan ay hindi angkop para sa mga hindi nakatigil na sistema. Ang mga kahirapan sa pagpapatupad ng pamamaraang ito sa panahon ng normal na operasyon ng pasilidad ay nakakabawas din sa bisa ng pamamaraan. Panghuli, ang pangangailangang putulin ang lahat ng mga operasyong nauugnay sa mga sipi sa limitasyon at ang pagpapalit ng serye ng mga may hangganang kabuuan ay mga pinagmumulan ng karagdagang mga error sa pagkalkula.
4. Ang isa pang posibleng diskarte sa pagbuo ng pinakamainam na mga filter para sa mga nonlinear system ay batay sa paggamit ng apparatus ng mga prosesong may kondisyong Markov. Isaalang-alang natin ang kakanyahan ng diskarteng ito gamit ang isang tiyak na halimbawa.
HALIMBAWA Hayaang ang kapaki-pakinabang na signal ay isang hugis-parihaba na pulso
ang sandali ng paglitaw kung saan ang t sa segment na 0 x T ay kailangang matukoy. Taas ng pulso A 0 at ang tagal nito h ay ipinapalagay na kilala. Ang hudyat na dumarating sa bagay ay at (t)=s Ang (*)+m> (*) ay ang kabuuan ng kapaki-pakinabang na bahagi s(0 at puting ingay w(*), na inilalarawan ng probability integral)
