Ang ilang mga tao ay itinuturing ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka-komplikadong termino mula sa mga sangay ng mas mataas na matematika. At gayon pa man ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika- trabaho ng metro ng taxi (kung saan nananatili pa rin sila). At ang pag-unawa sa kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "pag-unawa sa kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na pinag-aralan ang ilang mga elementarya na konsepto.
Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika
Ang isang numerical sequence ay karaniwang tinatawag na isang serye ng mga numero, bawat isa ay may sariling numero.
a 1 ang unang miyembro ng sequence;
at ang 2 ay ang pangalawang termino ng pagkakasunod-sunod;
at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;
at n ang ika-n miyembro ng sequence;
Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-n term ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang relasyon na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: ang numerical value ng nth number ay ilang function ng n.
a ay ang halaga ng isang miyembro ng isang numerical sequence;
n ang serial number nito;
Ang f(n) ay isang function, kung saan ang ordinal na numero sa numerical sequence n ay ang argument.
Kahulugan
Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n na termino ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:
a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;
isang n+1 - formula ng susunod na numero;
d - pagkakaiba (tiyak na numero).
Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isinasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.
Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.
Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Tinukoy na halaga ng miyembro
Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng anumang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Magagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, simula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng ika-lima-libo o walong-milyong termino. Ang mga tradisyonal na kalkulasyon ay aabutin ng maraming oras. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pag-aralan gamit ang ilang mga formula. Mayroon ding pormula para sa ika-n na termino: ang halaga ng anumang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang termino ng pag-unlad na may pagkakaiba ng pag-unlad, na pinarami ng bilang ng nais na termino, na binawasan ng isa.
Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.
Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na termino
Ating lutasin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:
Ang unang termino ng sequence ay 3;
Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.
Gawain: kailangan mong hanapin ang halaga ng 214 termino
Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na termino, ginagamit namin ang formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Sagot: Ang ika-214 na termino ng sequence ay katumbas ng 258.6.
Ang mga pakinabang ng pamamaraang ito ng pagkalkula ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.
Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga termino
Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Upang gawin ito, hindi na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Naaangkop ang pamamaraang ito kung maliit ang bilang ng mga termino na kailangang mahanap ang kabuuan. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.
Ang kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n na termino, na minu-multiply sa bilang ng terminong n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng nth term ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:
Halimbawa ng pagkalkula
Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:
Ang unang termino ng sequence ay zero;
Ang pagkakaiba ay 0.5.
Ang problema ay nangangailangan ng pagtukoy sa kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.
Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng dami ng pag-unlad:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 termino ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression
Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang halimbawang ito.
Ang pagsakay sa taxi (na kinabibilangan ng 3 km ng paglalakbay) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles/km. Ang distansya ng paglalakbay ay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.
1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.
30 - 3 = 27 km.
2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng isang serye ng numero ng aritmetika.
Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (binawasan ang unang tatlo).
Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.
Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.
Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 r.
ang numerong interesado tayo ay ang halaga ng (27+1)th term ng arithmetic progression - ang meter reading sa dulo ng 27th kilometer ay 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical na pagkakasunud-sunod. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa bituin. Bilang karagdagan, ang iba't ibang serye ng numero ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na mga lugar ng matematika.
Ang isa pang uri ng pagkakasunud-sunod ng numero ay geometric
Ang pag-unlad ng geometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas malaking mga rate ng pagbabago kumpara sa pag-unlad ng arithmetic. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, at medisina, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo sa geometric na pag-unlad.
Ang Nth term ng geometric number series ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay katumbas ng 2, pagkatapos:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ang halaga ng kasalukuyang termino ng geometric na pag-unlad;
b n+1 - formula ng susunod na termino ng geometric progression;
q ang denominator ng geometric progression (isang pare-parehong numero).
Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang isang geometric progression ay nagpinta ng isang bahagyang naiibang larawan:
Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang geometric progression ay may formula para sa halaga ng isang arbitrary na termino. Anumang nth term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:
Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin natin ang 5th term ng progression
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga termino ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n na termino ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang termino ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:
Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n termino ng serye ng numero na isinasaalang-alang ay kukuha ng anyo:
Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakda sa 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Ano ang pangunahing diwa ng formula?
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .
Siyempre, kailangan mo ring malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.
Ang pagsasaulo (o pag-cribing) ng formula na ito ay hindi sapat. Kailangan mong maunawaan ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang mga problema. At huwag ding kalimutan sa tamang sandali, oo...) Paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. At dito paano maalala Kung kinakailangan, talagang ipapayo ko sa iyo. Para sa mga nakakumpleto ng aralin hanggang sa wakas.)
Kaya, tingnan natin ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ano ang isang pormula sa pangkalahatan? By the way, tingnan mo kung hindi mo pa ito nabasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ito nth term.
Ang pag-unlad sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro, a 4- ang ikaapat, at iba pa. Kung interesado tayo sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan tayo isang 5, kung isang daan at dalawampu - s isang 120.
Paano natin ito matutukoy sa mga pangkalahatang termino? anuman termino ng isang arithmetic progression, na may anuman numero? Napakasimple! Ganito:
isang n
Iyon na iyon nth term ng isang arithmetic progression. Itinago ng letrang n ang lahat ng numero ng miyembro nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.
At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Isipin mo na lang, sa halip na isang numero ay sumulat sila ng isang liham...
Ang notasyong ito ay nagbibigay sa amin ng isang mahusay na tool para sa pagtatrabaho sa pag-unlad ng arithmetic. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At lutasin ang isang bungkos ng iba pang mga problema sa pag-unlad. Mas makikita mo ang iyong sarili.
Sa formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ang unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika;
n- numero ng miyembro.
Ang formula ay nag-uugnay sa mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d At n. Ang lahat ng mga problema sa pag-unlad ay umiikot sa mga parameter na ito.
Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, maaaring sabihin ng problema na ang pag-unlad ay tinukoy ng kundisyon:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ang ganitong problema ay maaaring maging isang dead end... Walang serye o pagkakaiba... Ngunit, kung ihahambing ang kundisyon sa formula, madaling maunawaan na sa pag-unlad na ito. a 1 =5, at d=2.
At maaari itong maging mas malala pa!) Kung gagawin natin ang parehong kundisyon: a n = 5 + (n-1) 2, Oo, buksan ang mga panaklong at magdala ng mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:
a n = 3 + 2n.
Ito Hindi lang pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakatago ang hukay. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagama't sa katotohanan ang unang termino ay lima... Mas mababa ng kaunti ay gagana tayo sa gayong binagong formula.
Sa mga problema sa pag-unlad ay may isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, gaya ng nahulaan mo, ang terminong "n plus first" ng progression. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng progression na ang bilang ay mas malaki kaysa sa numero n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino noon isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.
Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 matatagpuan sa mga formula ng pag-ulit. Huwag matakot sa nakakatakot na salitang ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng isang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng nauna. Sabihin nating binibigyan tayo ng aritmetika na pag-unlad sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:
isang n+1 = isang n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. Paano natin mabibilang kaagad, sabihin, ang ikadalawampung termino? isang 20? Ngunit walang paraan!) Hanggang sa malaman natin ang ika-19 na termino, hindi natin mabibilang ang ika-20. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng paulit-ulit na pormula at ng pormula ng nth term. Ang paulit-ulit ay gumagana lamang sa pamamagitan ng dati termino, at ang formula ng ika-n na termino ay tapos na una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Nang hindi kinakalkula ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, madaling gawing regular ang isang paulit-ulit na formula. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo nito, at gawin ito. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa State Academy of Sciences.
Paglalapat ng formula para sa ika-1 na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Una, tingnan natin ang direktang aplikasyon ng formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:
Isang arithmetic progression (a n) ang ibinibigay. Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magdagdag at magdagdag... Isang oras o dalawa.)
At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) Let's decide.
Ang mga kundisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: a 1 =3, d=1/6. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang pantay n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Kaya sumulat kami:
Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n lumitaw ang isang tiyak na numero: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ay magiging atin n. Ito ang kahulugan n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Pinapalitan namin ang lahat ng mga numero sa formula at kinakalkula:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Ayan yun. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung termino, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n ang nais na numero sa index ng titik " a" at sa mga bracket, at binibilang namin.
Hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang punto: ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman termino ng pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .
Solusyonan natin ang problema sa mas tusong paraan. Ating harapin ang sumusunod na problema:
Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n), kung a 17 =-2; d=-0.5.
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, sasabihin ko sa iyo ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Isulat gamit ang iyong mga kamay, mismo sa iyong kuwaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may panglabing pitong miyembro... Yun ba? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo...
May number pa kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang parameter. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong termino (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "walang kabuluhan" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "walang kabuluhan", hindi ang ulo!) ang problema ay hindi malulutas. Bagaman... at walang ulo rin.)
Ngayon ay maaari nating palitan ng katangahan ang ating data sa formula:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
oo, isang 17 alam namin na -2. Okay, palitan natin:
-2 = isang 1 + (17-1)·(-0.5)
Iyon lang talaga. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula at kalkulahin ito. Ang magiging sagot ay: a 1 = 6.
Ang pamamaraan na ito - ang pagsusulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay isang malaking tulong sa mga simpleng gawain. Well, siyempre, dapat mong maipahayag ang isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, maaaring hindi na pag-aralan ang matematika...
Isa pang sikat na palaisipan:
Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n), kung a 1 =2; a 15 =12.
Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Isaalang-alang natin ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (lalo kong iha-highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan ito sa formula:
12=2 + (15-1)d
Ginagawa namin ang aritmetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ito ang tamang sagot.
Kaya, ang mga gawain para sa isang n, isang 1 At d nagpasya. Ang natitira na lang ay upang matutunan kung paano hanapin ang numero:
Ang bilang na 99 ay miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.
Pinapalitan namin ang mga dami na alam namin sa formula ng ika-n na termino:
a n = 12 + (n-1) 3
Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n- ito ay ilang miyembro ng progression na may numero n...At kilala natin itong miyembro ng progression! Ito ay 99. Hindi namin alam ang numero nito. n, Kaya ang numerong ito ang kailangan mong hanapin. Pinapalitan namin ang termino ng progression 99 sa formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.
At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):
Tukuyin kung ang numerong 117 ay miyembro ng arithmetic progression (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga parameter? Hm... Bakit tayo binibigyan ng mata?) Nakikita ba natin ang unang termino ng pag-unlad? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: a 1 = -3.6. Pagkakaiba d Masasabi mo ba mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Kaya, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa hindi kilalang numero n at ang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam... Anong gagawin!? Well, how to be, how to be... I-on ang iyong mga creative na kakayahan!)
Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo, oo!)) at palitan ang aming mga numero:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Muli naming ipinapahayag mula sa formulan, binibilang namin at nakukuha namin:
Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga pag-unlad Hindi maaaring. Anong konklusyon ang maaari nating gawin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng isang daan at una at isang daan at ikalawang termino. Kung ang numero ay naging natural, i.e. ay isang positibong integer, kung gayon ang numero ay magiging isang miyembro ng pag-unlad na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: Hindi.
Isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:
a n = -4 + 6.8n
Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.
Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - gayundin ang formula para sa ika-1 na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.
Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat ay nakamamatay na nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic dito nakatago. Okay lang, hahanapin natin ngayon.)
Tulad ng mga nakaraang problema, pinapalitan natin n=1 sa formula na ito:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!
Hinahanap namin ang ikasampung termino sa parehong paraan:
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
Ayan yun.
At ngayon, para sa mga nakabasa sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)
Ipagpalagay na, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan ng State Examination o Unified State Examination, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na formula para sa ika-1 na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. May naalala ako, pero hindi sigurado... O n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?
Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Ito ay hindi masyadong mahigpit, ngunit ito ay tiyak na sapat para sa kumpiyansa at tamang desisyon!) Upang makagawa ng isang konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.
Gumuhit ng linya ng numero at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At napansin namin ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:
Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng pangalawang termino? Pangalawa isa d:
a 2 =a 1 + 1 d
Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.
a 3 =a 1 + 2 d
Nakuha mo ba? It's not for nothing that I highlight some words in bold. Okay, isang hakbang pa).
Ano ang ikaapat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.
a 4 =a 1 + 3 d
Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga puwang, i.e. d, Laging mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, sa numero n, bilang ng mga puwang kalooban n-1. Samakatuwid, ang formula ay magiging (walang mga pagkakaiba-iba!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring magpasok ng larawan sa equation...
Mga gawain para sa malayang solusyon.
Para magpainit:
1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Maghanap ng 3.
Hint: ayon sa larawan, ang problema ay maaaring malutas sa loob ng 20 segundo... Ayon sa formula, ito ay lumalabas na mas mahirap. Ngunit para sa pag-master ng formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay nalulutas gamit ang parehong larawan at ang formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)
At hindi na ito isang warm-up.)
2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .
Ano, ayaw mong gumuhit ng larawan?) Siyempre! Mas maganda ayon sa formula, oo...
3. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon:a 1 = -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay tinukoy sa isang paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa ika-isang daan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay makakagawa ng ganoong gawain.) Ngunit ang pormula para sa ika-10 termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!
4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.
5. Ayon sa mga kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong termino ng pag-unlad.
6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay katumbas ng zero. Maghanap ng 14 .
Hindi ang pinakamadaling gawain, oo...) Ang paraan ng "fingertip" ay hindi gagana dito. Kakailanganin mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.
Mga sagot (magulo):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Nangyari? Maayos!)
Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari. Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang banayad na punto sa huling gawain. Kakailanganin ang pangangalaga kapag binabasa ang problema. At lohika.
Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasya para sa ikaapat, at ang banayad na punto para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema na kinasasangkutan ng formula ng ika-10 termino - lahat ay inilarawan. Nirerekomenda ko.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Ang matematika ay may sariling kagandahan, tulad ng pagpipinta at tula.
Russian scientist, mekaniko N.E. Zhukovsky
Ang mga karaniwang problema sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika ay mga problemang nauugnay sa konsepto ng pag-unlad ng aritmetika. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, dapat kang magkaroon ng isang mahusay na kaalaman sa mga katangian ng pag-unlad ng aritmetika at may ilang mga kasanayan sa kanilang aplikasyon.
Alalahanin muna natin ang mga pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika at ipakita ang pinakamahalagang mga formula, nauugnay sa konseptong ito.
Kahulugan. Pagkakasunod-sunod ng numero, kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong bilang, tinatawag na arithmetic progression. Sa kasong ito ang numerotinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.
Para sa isang pag-unlad ng arithmetic, ang mga sumusunod na formula ay wasto:
, (1)
saan . Ang pormula (1) ay tinatawag na pormula ng pangkalahatang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, at ang pormula (2) ay kumakatawan sa pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika: ang bawat termino ng pag-unlad ay tumutugma sa ibig sabihin ng aritmetika ng mga kalapit na termino nito at .
Tandaan na ito ay tiyak na dahil sa pag-aari na ito na ang pag-unlad na isinasaalang-alang ay tinatawag na "arithmetic".
Ang mga formula sa itaas (1) at (2) ay pangkalahatan gaya ng sumusunod:
(3)
Upang kalkulahin ang halaga una mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetikakaraniwang ginagamit ang formula
(5) saan at .
Kung isasaalang-alang natin ang formula (1), pagkatapos ay mula sa formula (5) ito ay sumusunod
Kung ipahiwatig natin, kung gayon
saan . Dahil , ang mga formula (7) at (8) ay isang paglalahat ng mga katumbas na formula (5) at (6).
Sa partikular, mula sa formula (5) ito ay sumusunod, Ano
Hindi gaanong kilala sa karamihan ng mga mag-aaral ang pag-aari ng pag-unlad ng aritmetika, na nabuo sa pamamagitan ng sumusunod na teorama.
Teorama. Kung , kung gayon
Patunay. Kung , kung gayon
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa , gamit ang theorem, maaari itong ipakita na
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mga tipikal na halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Arithmetic progression".
Halimbawa 1. Hayaan na. Hanapin ang .
Solusyon. Sa paglalapat ng formula (6), nakukuha natin ang . Simula at , noon o .
Halimbawa 2. Hayaan itong maging tatlong beses na mas malaki, at kapag hinati sa quotient, ang resulta ay 2 at ang natitira ay 8. Tukuyin at .
Solusyon. Mula sa mga kondisyon ng halimbawa, ang sistema ng mga equation ay sumusunod
Dahil , , at , pagkatapos ay mula sa sistema ng mga equation (10) makuha namin
Ang solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay at .
Halimbawa 3. Hanapin kung at .
Solusyon. Ayon sa formula (5) mayroon tayo o . Gayunpaman, gamit ang ari-arian (9), nakukuha namin ang .
Dahil at , pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay sumusunod ang equation o .
Halimbawa 4. Hanapin kung .
Solusyon.Ayon sa formula (5) mayroon tayo
Gayunpaman, gamit ang teorama, maaari tayong sumulat
Mula dito at mula sa formula (11) nakukuha natin ang .
Halimbawa 5. Ibinigay: . Hanapin ang .
Solusyon. Simula noon. Gayunpaman, samakatuwid.
Halimbawa 6. Hayaan , at . Hanapin ang .
Solusyon. Gamit ang formula (9), nakukuha natin ang . Samakatuwid, kung , pagkatapos o .
Simula at pagkatapos dito mayroon kaming isang sistema ng mga equation
Paglutas ng alin, nakukuha natin at .
Natural na ugat ng equation ay .
Halimbawa 7. Hanapin kung at .
Solusyon. Dahil ayon sa formula (3) mayroon tayo na , kung gayon ang sistema ng mga equation ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng problema
Kung papalitan natin ang expressionsa pangalawang equation ng system, pagkatapos ay makuha natin o .
Ang mga ugat ng isang quadratic equation ay At .
Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.
1. Hayaan , kung gayon . Simula at , noon .
Sa kasong ito, ayon sa formula (6), mayroon tayo
2. Kung , kung gayon , at
Sagot: at.
Halimbawa 8. Ito ay kilala na at. Hanapin ang .
Solusyon. Isinasaalang-alang ang formula (5) at ang kondisyon ng halimbawa, isinulat namin at .
Ito ay nagpapahiwatig ng sistema ng mga equation
Kung i-multiply natin ang unang equation ng system sa 2 at pagkatapos ay idagdag ito sa pangalawang equation, makukuha natin
Ayon sa formula (9) mayroon tayo. Kaugnay nito, ito ay sumusunod mula sa (12) o .
Simula at , noon .
Sagot: .
Halimbawa 9. Hanapin kung at .
Solusyon. Dahil , at ayon sa kondisyon , pagkatapos o .
Mula sa formula (5) ito ay kilala, Ano . Simula noon.
Samakatuwid, dito mayroon tayong sistema ng mga linear equation
Mula dito nakukuha natin at . Isinasaalang-alang ang formula (8), isinusulat namin ang .
Halimbawa 10. Lutasin ang equation.
Solusyon. Mula sa ibinigay na equation ito ay sumusunod na . Ipagpalagay natin na , , at . Sa kasong ito.
Ayon sa pormula (1), maaari tayong sumulat o .
Dahil , kung gayon ang equation (13) ay may tanging angkop na ugat .
Halimbawa 11. Hanapin ang maximum na halaga na ibinigay na at .
Solusyon. Dahil ang , kung gayon ang pag-unlad ng aritmetika na isinasaalang-alang ay bumababa. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang expression ay tumatagal sa pinakamataas na halaga nito kapag ito ang bilang ng pinakamababang positibong termino ng pag-unlad.
Gamitin natin ang formula (1) at ang katotohanan, iyon at . Pagkatapos makuha namin iyon o .
Mula noong , noon o . Gayunpaman, sa hindi pagkakapantay-pantay na itopinakamalaking natural na numero, Kaya naman .
Kung ang mga halaga ng , at ay pinapalitan sa formula (6), makakakuha tayo ng .
Sagot: .
Halimbawa 12. Tukuyin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na natural na mga numero na, kapag hinati sa numerong 6, mag-iiwan ng natitirang 5.
Solusyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng hanay ng lahat ng dalawang-digit na natural na mga numero, i.e. . Susunod, gagawa kami ng isang subset na binubuo ng mga elementong iyon (mga numero) ng set na, kapag hinati sa numero 6, ay nagbibigay ng natitirang 5.
Madaling i-install, Ano . Obviously, na ang mga elemento ng setbumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung saan at .
Upang maitatag ang cardinality (bilang ng mga elemento) ng set, ipinapalagay namin na . Dahil at , ito ay sumusunod mula sa formula (1) o . Isinasaalang-alang ang formula (5), nakukuha namin ang .
Ang mga halimbawa sa itaas ng paglutas ng problema ay hindi maaaring sabihin na kumpleto. Ang artikulong ito ay isinulat batay sa isang pagsusuri ng mga modernong pamamaraan para sa paglutas ng mga tipikal na problema sa isang partikular na paksa. Para sa isang mas malalim na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika, ipinapayong sumangguni sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.
1. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mga kolehiyo / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Kapayapaan at Edukasyon, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: karagdagang mga seksyon ng kurikulum ng paaralan. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Isang kumpletong kurso ng elementarya na matematika sa mga problema at pagsasanay. Aklat 2: Mga Pagkakasunud-sunod ng Numero at Pag-unlad. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
May mga tanong pa ba?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :) Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, ganyan: SOOOOO!) gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan sa mahabang pagpapakilala at diretso sa punto.
Una, isang pares ng mga halimbawa. Tingnan natin ang ilang hanay ng mga numero:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.
Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay simpleng magkakasunod na numero, bawat susunod ay isa pa kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay lima na, ngunit ang pagkakaiba na ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, may mga ugat sa kabuuan. Gayunpaman, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, at $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ibig sabihin. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $\sqrt(2)$ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).
Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:
Kahulugan. Ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat kasunod ay naiiba mula sa nauna sa eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik na $d$.
Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ang mismong progression, $d$ ang difference nito.
At ilang mahahalagang tala lamang. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang inutusan pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Ang mga numero ay hindi maaaring muling ayusin o palitan.
Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng aritmetika. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat ay tila nagpapahiwatig na may ilang higit pang mga numero na darating. Walang hanggan marami, halimbawa. :)
Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay maaaring tumaas o bumaba. Nakita na natin ang mga dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, naiintindihan mo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:
Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:
- pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
- bumababa kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.
Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).
Isang tanong na lang ang natitira: kung paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat dito ay nakasalalay lamang sa tanda ng numerong $d$, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:
- Kung $d \gt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay tataas;
- Kung $d \lt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
- Sa wakas, mayroong kaso $d=0$ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.
Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $d$ para sa tatlong bumababa na pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Tulad ng nakikita natin, sa lahat ng tatlong mga kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas mababa na natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung anong mga katangian ang mayroon sila.
Mga tuntunin sa pag-unlad at formula ng pag-uulit
Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]
Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng isang pag-unlad. Ang mga ito ay ipinahiwatig ng isang numero: unang miyembro, pangalawang miyembro, atbp.
Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na termino ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Sa madaling salita, upang mahanap ang $n$th term ng isang progression, kailangan mong malaman ang $n-1$th term at ang pagkakaiba $d$. Ang formula na ito ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero sa pamamagitan lamang ng pag-alam sa nauna (at sa katunayan, lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas tusong formula na binabawasan ang anumang mga kalkulasyon sa unang termino at ang pagkakaiba:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kaliwa(n-1 \kanan)d\]
Marahil ay nakita mo na ang formula na ito. Gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at mga libro ng solusyon. At sa anumang matinong aklat-aralin sa matematika ito ay isa sa mga una.
Gayunpaman, iminumungkahi kong magsanay ka ng kaunti.
Gawain Blg. 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kung $((a)_(1))=8,d=-5$.
Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino $((a)_(1))=8$ at ang pagkakaiba ng progression $d=-5$. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $n=1$, $n=2$ at $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kaliwa(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kaliwa(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kaliwa(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Sagot: (8; 3; −2)
Iyon lang! Mangyaring tandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.
Siyempre, hindi maaaring palitan ang $n=1$ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit ng pagkakaisa, kumbinsido kami na kahit sa unang termino ay gumagana ang aming formula. Sa ibang mga kaso, ang lahat ay bumaba sa banal na aritmetika.
Gawain Blg. 2. Isulat ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay katumbas ng −40 at ang ikalabimpitong termino nito ay katumbas ng −50.
Solusyon. Isulat natin ang kondisyon ng problema sa mga pamilyar na termino:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \tama.\]
Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. Ngayon tandaan natin na kung ibawas natin ang una sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Ganyan kadaling hanapin ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ang natitira na lang ay palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]
Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
handa na! Ang problema ay nalutas.
Sagot: (−34; −35; −36)
Pansinin ang kawili-wiling pag-aari ng pag-unlad na aming natuklasan: kung kukunin namin ang mga terminong $n$th at $m$th at ibawas ang mga ito sa isa't isa, makukuha namin ang pagkakaiba ng pag-usad na na-multiply sa $n-m$ na numero:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Isang simple ngunit napaka-kapaki-pakinabang na ari-arian na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa pag-unlad. Narito ang isang malinaw na halimbawa nito:
Gawain Blg. 3. Ang ikalimang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.
Solusyon. Dahil $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, at kailangan naming hanapin ang $((a)_(15))$, tandaan namin ang sumusunod:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ at ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Ngunit ayon sa kundisyon $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, samakatuwid ay $5d=6$, kung saan mayroon tayong:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]
Sagot: 20.4
Iyon lang! Hindi namin kinailangang lumikha ng anumang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - lahat ay nalutas sa loob lamang ng ilang linya.
Ngayon tingnan natin ang isa pang uri ng problema - paghahanap ng mga negatibo at positibong termino ng isang pag-unlad. Hindi lihim na kung ang isang pag-unlad ay tumaas, at ang unang termino nito ay negatibo, sa kalaunan ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At kabaligtaran: ang mga tuntunin ng isang bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.
Kasabay nito, hindi laging posible na mahanap ang sandaling ito na "head-on" sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagdaan sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay isinulat sa paraang nang hindi nalalaman ang mga pormula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet ng papel-kami ay matutulog lamang habang nahanap namin ang sagot. Samakatuwid, subukan nating lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.
Gawain Blg. 4. Ilang negatibong termino ang mayroon sa pag-unlad ng arithmetic −38.5; −35.8; ...?
Solusyon. Kaya, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, mula sa kung saan agad naming nakita ang pagkakaiba:
Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya't sa isang punto ay madadapa tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.
Subukan nating alamin kung gaano katagal (i.e. hanggang sa kung anong natural na bilang na $n$) ang nananatili sa negatibiti ng mga termino:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Ang huling linya ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Kaya alam natin na ang $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sa kabilang banda, nasiyahan kami sa mga integer value lang ng numero (bukod dito: $n\in \mathbb(N)$), kaya ang pinakamalaking pinahihintulutang numero ay tiyak na $n=15$, at sa anumang kaso 16 .
Gawain Blg. 5. Sa arithmetic progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.
Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $((a)_(1))$. Ngunit ang mga katabing termino ay kilala: $((a)_(5))$ at $((a)_(6))$, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:
Bilang karagdagan, subukan nating ipahayag ang ikalimang termino sa pamamagitan ng una at ang pagkakaiba gamit ang karaniwang formula:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ at ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Alamin natin kung anong punto sa ating sequence ang lalabas na mga positibong numero:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Ang pinakamababang integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang bilang na 56.
Pakitandaan: sa huling gawain ang lahat ay napunta sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang opsyon na $n=55$ ay hindi angkop sa amin.
Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)
Arithmetic mean at pantay na indentations
Isaalang-alang natin ang ilang magkakasunod na termino ng tumataas na pag-unlad ng arithmetic $\left(((a)_(n)) \right)$. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:
Mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika sa linya ng numeroPartikular kong minarkahan ang mga arbitrary na termino $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, at hindi ilang $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, atbp. Dahil gumagana na ngayon ang panuntunang sasabihin ko sa iyo para sa anumang "mga segment."
At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang paulit-ulit na formula at isulat ito para sa lahat ng may markang termino:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Well, ano? At ang katotohanan na ang mga terminong $((a)_(n-1))$ at $((a)_(n+1))$ ay nasa parehong distansya mula sa $((a)_(n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $d$. Ganoon din ang masasabi tungkol sa mga terminong $((a)_(n-2))$ at $((a)_(n+2))$ - inalis din ang mga ito sa $((a)_(n) )$ sa parehong distansya na katumbas ng $2d$. Maaari naming ipagpatuloy ang ad infinitum, ngunit ang kahulugan ay mahusay na inilalarawan ng larawan
Ang mga tuntunin ng pag-unlad ay nasa parehong distansya mula sa gitna Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na ang $((a)_(n))$ ay matatagpuan kung ang mga kalapit na numero ay kilala:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Nakakuha kami ng isang mahusay na pahayag: bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng ibig sabihin ng aritmetika ng mga kalapit na termino nito! Bukod dito: maaari tayong umatras mula sa ating $((a)_(n))$ sa kaliwa at pakanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $k$ na mga hakbang - at ang formula ay magiging tama pa rin:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $((a)_(150))$ kung alam natin ang $((a)_(100))$ at $((a)_(200))$, dahil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga problema ang espesyal na iniayon sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:
Gawain Blg. 6. Hanapin ang lahat ng value ng $x$ kung saan ang mga numerong $-6((x)^(2))$, $x+1$ at $14+4((x)^(2))$ ay magkasunod na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig).
Solusyon. Dahil ang mga numerong ito ay miyembro ng isang progression, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: ang gitnang elemento na $x+1$ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ at ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Ang resulta ay isang klasikong quadratic equation. Ang mga ugat nito: $x=2$ at $x=-3$ ang mga sagot.
Sagot: −3; 2.
Gawain Blg. 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ kung saan ang mga numerong $-1;4-3;(()^(2))+1$ ay bumubuo ng isang arithmetic progression (sa ganoong pagkakasunud-sunod).
Solusyon. Muli nating ipahayag ang gitnang termino sa pamamagitan ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ at ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Quadratic equation na naman. At muli mayroong dalawang ugat: $x=6$ at $x=1$.
Sagot: 1; 6.
Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema ay nakabuo ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?
Sabihin natin sa problema Blg. 6 nakatanggap tayo ng mga sagot −3 at 2. Paano natin masusuri kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa orihinal na kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong numero ($-6(()^(2))$, $+1$ at $14+4(()^(2))$), na dapat bumuo ng arithmetic progression. Palitan natin ang $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Nakuha namin ang mga numero −54; −2; Ang 50 na naiiba ng 52 ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Ang mga nais ay maaaring suriin ang pangalawang problema sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.
Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, nakatagpo kami ng isa pang kawili-wiling katotohanan na kailangan ding tandaan:
Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang arithmetic mean ng una at huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang arithmetic progression.
Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad batay sa mga kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo makisali sa naturang "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-usapan na.
Pagpapangkat at pagsusuma ng mga elemento
Bumalik tayo sa number axis muli. Tandaan natin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. ay nagkakahalaga ng maraming iba pang mga miyembro:
Mayroong 6 na elemento na minarkahan sa linya ng numeroSubukan nating ipahayag ang “kaliwang buntot” sa pamamagitan ng $((a)_(n))$ at $d$, at ang “kanang buntot” sa pamamagitan ng $((a)_(k))$ at $d$. Ito ay napaka-simple:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na halaga ay pantay-pantay:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang panimula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $S$, at pagkatapos ay magsisimulang humakbang mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (papunta sa isa't isa o kabaligtaran upang lumayo), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S$. Ito ay maaaring pinaka-malinaw na kinakatawan sa graphic na paraan:
Ang mga pantay na indentasyon ay nagbibigay ng pantay na halaga Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin na lutasin ang mga problema sa panimula na mas mataas na antas ng pagiging kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang namin sa itaas. Halimbawa, ang mga ito:
Gawain Blg. 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.
Solusyon. Isulat natin ang lahat ng ating nalalaman:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba ng pag-unlad $d$. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto na $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Para sa mga nasa tangke: Kinuha ko ang kabuuang multiplier ng 11 mula sa pangalawang bracket. Kaya, ang nais na produkto ay isang parisukat na function na may paggalang sa variable na $d$. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung palawakin natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent ng pinakamataas na termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga pataas na sanga:
graph ng isang quadratic function - parabola
Pakitandaan: kinukuha ng parabola na ito ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito na may abscissa $((d)_(0))$. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito gamit ang karaniwang scheme (mayroong formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ngunit mas makatwirang tandaan na ang gustong vertex ay nasa axis symmetry ng parabola, samakatuwid ang puntong $((d)_(0))$ ay katumbas ng layo mula sa mga ugat ng equation $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa kanilang orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng arithmetic mean ng mga numero −66 at −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Ano ang ibinibigay sa atin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi namin kailanman nakalkula ang $((y)_(\min ))$ - hindi ito kinakailangan sa amin). Kasabay nito, ang numerong ito ay ang pagkakaiba ng orihinal na pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)
Sagot: −36
Gawain Blg. 9. Sa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac(1)(6)$ ay magpasok ng tatlong numero upang kasama ng mga numerong ito ay bumuo sila ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Solusyon. Sa esensya, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling numero. Tukuyin natin ang mga nawawalang numero sa pamamagitan ng mga variable na $x$, $y$ at $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Tandaan na ang numerong $y$ ay ang “gitna” ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa mga numerong $x$ at $z$, at mula sa mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac (1)( 6)$. At kung kasalukuyang hindi natin makukuha ang $y$ mula sa mga numerong $x$ at $z$, iba ang sitwasyon sa mga dulo ng progression. Tandaan natin ang ibig sabihin ng arithmetic:
Ngayon, alam ang $y$, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $x$ ay nasa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at ang $y=-\frac(1)(3)$ na kakahanap lang namin. kaya lang
Gamit ang katulad na pangangatwiran, nakita namin ang natitirang numero:
handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang maipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.
Sagot: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Gawain Blg. 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magpasok ng ilang mga numero na, kasama ng mga numerong ito, ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam mo na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.
Solusyon. Ang isang mas kumplikadong problema, na, gayunpaman, ay nalutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang kailangang ipasok. Samakatuwid, ipagpalagay natin para sa katiyakan na pagkatapos ipasok ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $n$ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang kinakailangang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin sa anyo:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $((a)_(2))$ at $((a)_(n-1))$ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa, ibig sabihin.. sa gitna ng pagkakasunod-sunod. At ito ay nangangahulugan na
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ngunit ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Alam ang $((a)_(3))$ at $((a)_(1))$, madali nating mahahanap ang pagkakaiba ng progression:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kaliwa(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]
Ang natitira na lang ay hanapin ang mga natitirang termino:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Kaya, nasa ika-9 na hakbang na tayo ay darating sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang bilang na 42. Sa kabuuan, 7 numero lamang ang kailangang ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Mga problema sa salita sa mga pag-unlad
Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang medyo simpleng mga problema. Well, kasing simple niyan: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa ang nakasulat sa itaas, ang mga problemang ito ay maaaring mukhang mahirap. Gayunpaman, ito ang mga uri ng mga problema na lumilitaw sa OGE at Unified State Exam sa matematika, kaya inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa kanila.
Gawain Blg. 11. Ang koponan ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat kasunod na buwan ay gumawa sila ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nakaraang buwan. Ilang bahagi ang ginawa ng pangkat noong Nobyembre?
Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi na nakalista ayon sa buwan ay kumakatawan sa isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Samakatuwid, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.
Gawain Blg. 12. Ang bookbinding workshop ay nag-bound ng 216 na aklat noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay nag-bound ito ng 4 pang aklat kaysa sa nakaraang buwan. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?
Solusyon. Lahat pare-pareho:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.
Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong nakumpleto ang "kurso ng batang manlalaban" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari kang ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.
