У цьому параграфі ми розповімо про дивовижну здогад Ньютона, що призвела до відкриття закону всесвітнього тяжіння.
Чому випущений із рук камінь падає на Землю? Тому що його притягує Земля, скаже кожен із вас. Насправді камінь падає на Землю з прискоренням вільного падіння. Отже, на камінь із боку Землі діє сила, спрямовану Землі. Згідно з третім законом Ньютона і камінь діє на Землю з такою ж по модулю силою, спрямованою до каменю. Іншими словами, між Землею та каменем діють сили взаємного тяжіння.
Здогад Ньютона
Ньютон був першим, хто спочатку здогадався, а потім і суворо довів, що причина, що викликає падіння каменю на Землю, рух Місяця навколо Землі та планет навколо Сонця, одна й та сама. Це сила тяжіння, що діє між будь-якими тілами Всесвіту. Ось перебіг його міркувань, наведених у головній праці Ньютона «Математичні засади натуральної філософії»: «Покинутий горизонтально камінь відхилиться
, \\
1
/ /
У
Мал. 3.2
під впливом тяжкості від прямолінійного шляху і, описавши криву траєкторію, впаде нарешті Землю. Якщо його залишити з більшою швидкістю, ! то він впаде далі» (рис. 3.2). Продовжуючи ці міркування, Ньютон приходить до висновку, що якби не опір повітря, то траєкторія каменю, кинутого з високої гориз певною швидкістю, могла б стати такою, що він взагалі ніколи не досяг би поверхні Землі, а рухався навколо неї «подібно до того, як планети описують у небесному просторі свої орбіти».
Зараз нам став настільки звичним рух супутників навколо Землі, що пояснювати думку Ньютона докладніше не потрібно.
Отже, на думку Ньютона, рух Місяця навколо Землі або планет навколо Сонця - це теж вільне падіння, але лише падіння, яке триває, не припиняючись, мільярди років. Причиною такого «падіння» (чи йдеться дійсно про падіння звичайного каменю на Землю або рух планет по їх орбітах) є сила всесвітнього тяжіння. Від чого ця сила залежить?
Залежність сили тяжіння від маси тіл
У § 1.23 йшлося про вільне падіння тел. Згадувалися досліди Галілея, які довели, що Земля повідомляє всім тілам у цьому місці те саме прискорення незалежно від своїх маси. Це можливо лише в тому випадку, якщо сила тяжіннядо Землі прямо пропорційна масі тіла. Саме в цьому випадку прискорення вільного падіння, що дорівнює відношенню сили земного тяжіння до маси тіла, є постійною величиною.
Дійсно, в цьому випадку збільшення маси т, наприклад, удвічі призведе до збільшення модуля сили F теж удвічі, а ско-
F
ние, яке дорівнює відношенню - , залишиться незмінним.
Узагальнюючи цей висновок для сил тяжіння між будь-якими тілами, робимо висновок, що сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна масі тіла, на яке ця сила діє. Але у взаємному тяжінні беруть участь щонайменше два тіла. На кожне з них, згідно з третім законом Ньютона, діють однакові за модулем сили тяжіння. Тому кожна з цих сил має бути пропорційна як масі одного тіла, так і масі іншого тіла.
Тому сила всесвітнього тяжіння між двома тілами прямо пропорційна добутку їх мас:
F - тут2. (3.2.1)
Від чого залежить сила тяжіння, що діє на дане тіло з боку іншого тіла?
Залежність сили тяжіння від відстані між тілами
Можна припустити, що сила тяжіння має залежати від відстані тіла. Щоб перевірити правильність цього припущення та знайти залежність сили тяжіння від відстані між тілами, Ньютон звернувся до руху супутника Землі – Місяця. Її рух був у ті часи вивчений набагато точніше, ніж рух планет.
Звернення Місяця навколо Землі відбувається під впливом сили тяжіння з-поміж них. Приблизно орбіту Місяця вважатимуться окружністю. Отже, Земля повідомляє Місяцю доцентрове прискорення. Воно обчислюється за формулою
л 2
а = - Тг
де В - радіус місячної орбіти, що дорівнює приблизно 60 радіусам Землі, Т = 27 діб 7 год 43 хв = 2,4 106 с - період обігу Місяця навколо Землі. Враховуючи, що радіус Землі R3 = 6,4 106 м, отримаємо, що доцентрове прискорення Місяця дорівнює:
2 6 4к 60 6,4 10
М „„„„. , про
а = 2 ~ 0,0027 м / с *.
(2,4 | 106 с)
Знайдене значення прискорення менше прискорення вільного падіння тіл біля Землі (9,8 м/с2) приблизно 3600 = 602 раз.
Таким чином, збільшення відстані між тілом і Землею у 60 разів призвело до зменшення прискорення, що повідомляється земним тяжінням, а отже, і самої сили тяжіння у 602 разів.
Звідси випливає важливий висновок: прискорення, яке повідомляє тілам сила тяжіння до Землі, зменшується пропорційно квадрату відстані до центру Землі:
ci
а = -К, (3.2.2)
R
де Сj - постійний коефіцієнт, однаковий всім тел.
Закони Кеплера
Дослідження руху планет показало, що цей рух викликаний силою тяжіння до Сонця. Використовуючи ретельні багаторічні спостереження датського астронома Тихо Браге, німецький вчений Йоганн Кеплер на початку XVII ст. встановив кінематичні закони руху планет - так звані закони Кеплера.
Перший закон Кеплера
Всі планети рухаються еліпсами, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.
Еліпсом (рис. 3.3) називається плоска замкнута крива, сума відстаней від будь-якої точки якої до двох фіксованих точок, званих фокусами, постійна. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі АВ еліпса, тобто.
FгР + F2P = 2b,
де Fl і F2 – фокуси еліпса, a b = ^^ – його велика піввісь; О – центр еліпса. Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка - р
У
Мал. 3.4
«2
В А А афелієм. Якщо Сонце знаходиться у фокусі Fr (див. рис. 3.3), то точка А – перигелій, а точка В – афелій.
Другий закон Кеплера
Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі. Так, якщо заштриховані сектори (рис. 3.4) мають однакові площі, то шляхи si>s2>s3 будуть пройдені планетою за рівні проміжки часу. З малюнка видно, що Sj > s2. Отже, лінійна швидкість руху планети у різних точках її орбіти неоднакова. У перигелії швидкість планети найбільша, афелії - найменша.
Третій закон Кеплера
Квадрати періодів обігу планет навколо Сонця ставляться як куби великих півосей їх орбіт. Позначивши велику піввісь орбіти та період звернення однієї з планет через Ьх і Tv а інший – через Ь2 та Т2, третій закон Кеплера можна записати так:
З цієї формули видно, що що далі планета від Сонця, то більший її період звернення навколо Сонця.
На підставі законів Кеплера можна зробити певні висновки про прискорення, які повідомляють планети Сонцем. Ми для простоти вважатимемо орбіти не еліптичними, а круговими. Для планет Сонячної системи ця заміна не є надто грубим наближенням.
Тоді сила тяжіння з боку Сонця у цьому наближенні має бути спрямована всім планет до центру Сонця.
Якщо через Т позначити періоди звернення планет, а через R – радіуси їх орбіт, то, згідно з третім законом Кеплера, для двох планет можна записати
т\ Л? Т2 R2
Нормальне прискорення під час руху коло а = со2R. Тому ставлення прискорень планет
Q-i Голд.
7Г=-2~- (3-2-5)
2 t:r0
Використовуючи рівняння (3.2.4), отримаємо
Т2
Оскільки третій закон Кеплера справедливий всім планет, то прискорення кожної планети назад пропорційно квадрату відстані її до Сонця:
Про о
а = -|. (3.2.6)
ВТ
Постійна С2 однакова всім планет, але з збігається з постійної С2 у формулі для прискорення, сообщаемого тілам земною кулею.
Вирази (3.2.2) і (3.2.6) показують, що сила тяжіння в обох випадках (притягнення до Землі та притягнення до Сонця) повідомляє всім тілам прискорення, що не залежить від їхньої маси і спадне пропорційно квадрату відстані між ними:
F~a~-2. (3.2.7)
R
Закон всесвітнього тяготіння
Існування залежностей (3.2.1) та (3.2.7) означає, що сила всесвітнього тяжіння 12
ТП.Л Ш
F ~
R2? Тть-і ТПп
F = G
У 1667 р. Ньютон остаточно сформулював закон всесвітнього тяжіння:
(3.2.8) R
Сила взаємного тяжіння двох тіл прямо пропорційна добутку мас цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Коефіцієнт пропорційності G називається гравітаційною постійною.
Взаємодія точкових та протяжних тіл
Закон всесвітнього тяжіння (3.2.8) справедливий лише для таких тіл, розміри яких зневажливо малі порівняно з відстанню між ними. Інакше висловлюючись, він справедливий лише матеріальних точок. При цьому сили гравітаційної взаємодії спрямовані вздовж лінії, яка з'єднує ці точки (рис. 3.5). Такі сили називаються центральними.
Для знаходження сили тяжіння, що діє дане тіло з боку іншого, у разі, коли розмірами тіл знехтувати не можна, надходять таким чином. Обидва тіла подумки поділяють на такі малі елементи, щоб кожен з них можна було вважати точковим. Складаючи сили тяжіння, що діють на кожен елемент даного тіла з боку всіх елементів іншого тіла, набувають чинності, що діє на цей елемент (рис. 3.6). Виконавши таку операцію для кожного елемента даного тіла і склавши отримані сили, знаходять повну силу тяжіння, що діє на це тіло. Завдання це складне.
Є, однак, практично важливий випадок, коли формула (3.2.8) застосовна до протяжних тіл. Можна доказати
m^
Fi Рис. 3.5 Мал. 3.6
зати, що сферичні тіла, щільність яких залежить тільки від відстаней до їх центрів, при відстанях між ними, великих суми їх радіусів, притягуються з силами, модулі яких визначаються формулою (3.2.8). У цьому випадку R - це відстань між центрами куль.
І, нарешті, оскільки розміри падаючих Землю тіл набагато менше розмірів Землі, ці тіла можна як точкові. Тоді під R у формулі (3.2.8) слід розуміти відстань від тіла до центру Землі.
Між усіма тілами діють сили взаємного тяжіння, що залежать від самих тіл (їх мас) та від відстані між ними.
? 1. Відстань від Марса до Сонця на 52% більше відстані від Землі до Сонця. Яка тривалість року на Марсі? 2. Як зміниться сила тяжіння між кулями, якщо алюмінієві кулі (рис. 3.7) замінити сталевими кулями тієї самої маси? того ж обсягу?
Чому випущений із рук камінь падає на Землю? Тому що його притягує Земля, скаже кожен із вас. Насправді камінь падає на Землю з прискоренням вільного падіння. Отже, на камінь із боку Землі діє сила, спрямована до Землі. Згідно з третім законом Ньютона і камінь діє на Землю з такою ж за модулем силою, спрямованою до каменю. Іншими словами, між Землею та каменем діють сили взаємного тяжіння.
Ньютон був першим, хто спочатку здогадався, а потім і суворо довів, що причина, що викликає падіння каменю на Землю, рух Місяця навколо Землі та планет навколо Сонця, одна й та сама. Це сила тяжіння, що діє між будь-якими тілами Всесвіту. Ось перебіг його міркувань, наведених у головній праці Ньютона «Математичні засади натуральної філософії»:
«Покинутий горизонтально камінь відхилиться під впливом тяжкості від прямолінійного шляху і, описавши криву траєкторію, впаде нарешті Землю. Якщо його кинути з більшою швидкістю, він впаде далі» (рис. 1).
Продовжуючи ці міркування, Ньютон приходить до висновку, що якби не опір повітря, то траєкторія каменю, кинутого з високої гори з певною швидкістю, могла б стати такою, що він взагалі ніколи не досяг би поверхні Землі, а рухався навколо неї «подібно до того , як планети описують у небесному просторі свої орбіти».
Зараз нам став настільки звичним рух супутників навколо Землі, що пояснювати думку Ньютона докладніше не потрібно.
Отже, на думку Ньютона, рух Місяця навколо Землі або планет навколо Сонця - це теж вільне падіння, але тільки падіння, яке триває, не припиняючись, мільярди років. Причиною такого «падіння» (чи йдеться дійсно про падіння звичайного каменю на Землю або рух планет по їх орбітах) є сила всесвітнього тяжіння. Від чого ця сила залежить?
Залежність сили тяжіння від маси тіл
Галілей довів, що при вільному падінні Земля повідомляє всім тілам у цьому місці одне й те саме прискорення незалежно від їхньої маси. Але прискорення за другим законом Ньютона обернено пропорційно масі. Як же пояснити, що прискорення, яке повідомляє тіло силою тяжіння Землі, однаково для всіх тіл? Це можливо лише в тому випадку, якщо сила тяжіння Землі прямо пропорційна масі тіла. У цьому випадку збільшення маси т, наприклад, удвічі призведе до збільшення модуля сили Fтеж удвічі, а прискорення, яке дорівнює \(a = \frac(F)(m)\), залишиться незмінним. Узагальнюючи цей висновок для сил тяжіння між будь-якими тілами, робимо висновок, що сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна масі тіла, на яке ця сила діє.
Але у взаємному тяжінні беруть участь щонайменше два тіла. На кожне з них, згідно з третім законом Ньютона, діють однакові за модулем сили тяжіння. Тому кожна з цих сил має бути пропорційна як масі одного тіла, так і масі іншого тіла. Тому сила всесвітнього тяжіння між двома тілами прямо пропорційна добутку їх мас:
\(F \sim m_1 \cdot m_2\)
Залежність сили тяжіння від відстані між тілами
З досвіду добре відомо, що прискорення вільного падіння дорівнює 9,8 м/с 2 і однаково для тіл, що падають з висоти 1, 10 і 100 м, тобто не залежить від відстані між тілом і Землею. Це ніби-то означає, що й сила від відстані не залежить. Але Ньютон вважав, що відраховувати відстані треба від поверхні, як від центру Землі. Але радіус Землі 6400 км. Зрозуміло, кілька десятків, сотень і навіть тисяч метрів над поверхнею Землі що неспроможні помітно змінити значення прискорення вільного падіння.
Щоб з'ясувати, як впливає відстань між тілами на силу їхнього взаємного тяжіння, потрібно було б дізнатися, яке прискорення тіл, віддалених від Землі на досить великі відстані. Однак спостерігати та вивчати вільне падіння тіла з висоти у тисячі кілометрів над Землею важко. Але сама природа прийшла тут на допомогу і дала можливість визначити прискорення тіла, що рухається по колу навколо Землі і тому має відчутне прискорення, викликане, зрозуміло, тією ж силою тяжіння до Землі. Таким тілом є природний супутникЗемлі – Місяць. Якби сила тяжіння між Землею та Місяцем не залежала від відстані між ними, то доцентрове прискорення Місяця було б таким самим, як прискорення тіла, що вільно падає біля поверхні Землі. Насправді ж доцентрове прискорення Місяця дорівнює 0,0027 м/с 2 .
Доведемо це. Звернення Місяця навколо Землі відбувається під впливом сили тяжіння з-поміж них. Приблизно орбіту Місяця вважатимуться окружністю. Отже, Земля повідомляє Місяцю доцентрове прискорення. Воно обчислюється за формулою \(a = \frac (4 \pi^2 \cdot R)(T^2)\), де R- радіус місячної орбіти, що дорівнює приблизно 60 радіусам Землі, Т≈ 27 діб 7 год 43 хв ≈ 2,4∙10 6 с – період навернення Місяця навколо Землі. Враховуючи, що радіус Землі Rз ≈ 6,4∙10 6 м, отримаємо, що доцентрове прискорення Місяця дорівнює:
\(a = \frac (4 \pi^2 \cdot 60 \cdot 6,4 \cdot 10^6)((2,4 \cdot 10^6)^2) \approx 0,0027\) м/с 2 .
Знайдене значення прискорення менше прискорення вільного падіння тіл біля Землі (9,8 м/с 2) приблизно 3600 = 60 2 раз.
Таким чином, збільшення відстані між тілом і Землею у 60 разів призвело до зменшення прискорення, що повідомляється земним тяжінням, а отже, і самої сили тяжіння у 60-2 разів.
Звідси випливає важливий висновок: прискорення, яке повідомляє тілам сила тяжіння до Землі, зменшується пропорційно квадрату відстані до центру Землі
\(F \sim \frac(1)(R^2)\).
Закон всесвітнього тяготіння
У 1667 р. Ньютон остаточно сформулював закон всесвітнього тяжіння:
\(F = G \cdot \frac (m_1 \cdot m_2)(R^2).\quad (1)\)
Сила взаємного тяжіння двох тіл прямо пропорційна добутку мас цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.
Коефіцієнт пропорційності Gназивається гравітаційної постійної.
Закон всесвітнього тяготіннясправедливий лише для таких тіл, розміри яких зневажливо малі проти відстанню з-поміж них. Інакше кажучи, він справедливий для матеріальних точок. При цьому сили гравітаційної взаємодії спрямовані вздовж лінії, яка з'єднує ці точки (рис. 2). Такі сили називаються центральними.
Для знаходження сили тяжіння, що діє дане тіло зі сторони іншого, у разі, коли розмірами тіл знехтувати не можна, надходять таким чином. Обидва тіла подумки поділяють настільки малі елементи, щоб кожен із новачків можна було вважати точковим. Складаючи сили тяжіння, що діють на кожен елемент даного тіла з боку всіх елементів іншого тіла, набувають чинності, що діє на цей елемент (рис. 3). Виконавши таку операцію для кожного елемента даного тіла і склавши отримані сили, знаходять повну силу тяжіння, що діє на це тіло. Завдання це складне.
Є, однак, один практично важливий випадок, коли формула (1) може бути застосована до протяжних тіл. Можна довести, що сферичні тіла, щільність яких залежить тільки від відстаней до їхніх центрів, при відстанях між ними, великі суми їх радіусів, притягуються з силами, модулі яких визначаються формулою (1). В цьому випадку R- Це відстань між центрами куль.
І, нарешті, оскільки розміри падаючих Землю тіл набагато менше розмірів Землі, ці тіла можна як точкові. Тоді під Rу формулі (1) слід розуміти відстань від даного тіла до центру Землі.
Між усіма тілами діють сили взаємного тяжіння, що залежать від самих тіл (їх мас) та від відстані між ними.
Фізичний сенс гравітаційної постійної
З формули (1) знаходимо
\ (G = F \ cdot \ frac (R ^ 2) (m_1 \ cdot m_2) \).
Звідси випливає, що якщо відстань між тілами чисельно дорівнює одиниці ( R= 1 м) і маси тіл, що взаємодіють, теж рівні одиниці ( m 1 = m 2 = 1 кг), то гравітаційна постійна чисельно дорівнює модулю сили F. Таким чином ( фізичний сенс ),
гравітаційна стала чисельно дорівнює модулю сили тяжіння, що діє на тіло масою 1 кг з боку іншого тіла такої ж маси при відстані між тілами, що дорівнює 1 м.
У СІ гравітаційна постійна виражається в
.
Досвід Кавендіша
Значення гравітаційної постійної Gможе бути знайдено лише досвідченим шляхом. Для цього треба виміряти модуль сили тяжіння F, що діє на тіло масою m 1 з боку тіла масою m 2 за відомої відстані Rміж тілами.
Перші виміри гравітаційної постійної були здійснені в середині XVIII ст. Оцінити, правда дуже грубо, значення Gтоді вдалося в результаті розгляду тяжіння маятника до гори, маса якої була визначена геологічними методами.
Точні вимірювання постійної гравітаційної вперше були проведені в 1798 р. англійським фізиком Г. Кавендішем за допомогою приладу, званого крутильними вагами. Схематично крутильні ваги показані малюнку 4.
Кавендіш закріпив дві маленькі свинцеві кулі (діаметром 5 см і масою m 1 = 775 г кожен) на протилежних кінцях двометрового стрижня. Стрижень був підвішений на тонкому дроті. Для цього дроту попередньо визначалися сили пружності, що виникають у ньому при закручуванні різні кути. Дві великі свинцеві кулі (діаметром 20 см і масою m 2 = 49,5 кг) можна було близько підводити до маленьких куль. Сили тяжіння з боку великих куль змушували маленькі кулі переміщатися до них, при цьому натягнутий дріт трохи закручувався. Ступінь закручування була мірою сили, що діє між кулями. Кут закручування дроту (або повороту стрижня з малими кулями) виявився настільки малим, що його довелося вимірювати оптичною трубою. Результат, отриманий Кавендішем, лише на 1% відрізняється від значення постійної гравітаційної, прийнятого сьогодні:
G ≈ 6,67∙10 -11 (Н∙м 2)/кг 2
Таким чином, сили тяжіння двох тіл масою по 1 кг кожне, що знаходяться на відстані 1 м одна від одної, за модулями дорівнюють лише 6,67∙10 -11 Н. Це дуже мала сила. Тільки в тому випадку, коли взаємодіють тіла величезної маси (або, принаймні, маса одного з тіл велика), сила тяжіння стає великою. Наприклад, Земля притягує Місяць із силою F≈ 2∙10 20 Н.
Гравітаційні сили - "найслабші" з усіх сил природи. Це з тим, що гравітаційна стала мала. Але за великих масах космічних тіл сили всесвітнього тяжіння стають дуже великими. Ці сили утримують усі планети біля Сонця.
Значення закону всесвітнього тяжіння
Закон всесвітнього тяжіння є основою небесної механіки – науки про рух планет. За допомогою цього закону з величезною точністю визначаються положення небесних тіл на небесному склепінні на багато десятків років уперед і обчислюються їх траєкторії. Закон всесвітнього тяжіння застосовується також у розрахунках руху штучних супутників Землі та міжпланетних автоматичних апаратів.
Обурення у русі планет. Планети не рухаються за законами Кеплера. Закони Кеплера точно дотримувалися б руху даної планети лише тому випадку, коли навколо Сонця зверталася одна ця планета. Але в Сонячної системипланет багато, всі вони притягуються як Сонцем, і один одним. Тому виникають збурення руху планет. У Сонячній системі обурення невеликі, тому що тяжіння планети Сонцем набагато сильніше за тяжіння іншими планетами. При обчисленні видимого стану планет доводиться враховувати обурення. При запуску штучних небесних тіл і розрахунку їх траєкторій користуються наближеною теорією руху небесних тіл – теорією обурень.
Відкриття Нептуна. Одним із яскравих прикладів тріумфу закону всесвітнього тяжіння є відкриття планети Нептун. У 1781 р. англійський астроном Вільям Гершель відкрив планету Уран. Було обчислено її орбіту та складено таблицю положень цієї планети на багато років уперед. Проте перевірка цієї таблиці, проведена 1840 р., показала, що її розходяться з реальністю.
Вчені припустили, що відхилення в русі Урана викликане тяжінням невідомої планети, що знаходиться від Сонця ще далі, ніж Уран. Знаючи відхилення від розрахункової траєкторії (обурення руху Урану), англієць Адаме і француз Леверр'є, користуючись законом всесвітнього тяжіння, вирахували становище цієї планети на небі. Адамі раніше закінчив обчислення, але спостерігачі, яким він повідомив свої результати, не поспішали з перевіркою. Тим часом Леверр'є, закінчивши обчислення, вказав німецькому астроному Галле місце, де треба шукати невідому планету. Першого ж вечора, 28 вересня 1846 р., Галле, направивши телескоп на вказане місце, виявив нову планету. Її назвали Нептуном.
Так само 14 березня 1930 р. було відкрито планету Плутон. Обидва відкриття, як кажуть, було зроблено «на кінчику пера».
З допомогою закону всесвітнього тяжіння можна визначити масу планет та його супутників; пояснити такі явища, як припливи та відливи води в океанах, та багато іншого.
Сили всесвітнього тяжіння – найуніверсальніші з усіх сил природи. Вони діють між будь-якими тілами, які мають масу, а масу мають всі тіла. Для сил тяжіння немає ніяких перешкод. Вони діють крізь будь-які тіла.
Література
- Кікоїн І.К., Кікоїн А.К. Фізика: Навч. для 9 кл. середовищ. шк. - М.: Просвітництво, 1992. - 191 с.
- Фізика: Механіка. 10 кл.: Навч. для поглибленого вивчення фізики/М.М. Балашов, А.І. Гомонова, А.Б. Долицький та ін; За ред. Г.Я. М'якішева. - М.: Дрофа, 2002. - 496 с.
Падіння тіл на Землю у порожнечі називається вільним падінням тіл. При падінні у скляній трубці, з якої за допомогою насоса відкачано повітря, шматок свинцю, пробка та легке перо досягають дна одночасно (рис. 26). Отже, при вільному падінні всі тіла незалежно від їхньої маси рухаються однаково.
Вільне падіння є рівноприскореним рухом.
Прискорення, з яким падають на Землю тіла у порожнечі, називається прискоренням вільного падіння. Прискорення вільного падіння позначається літерою g. У поверхні земної кулі модуль прискорення вільного падіння приблизно дорівнює
Якщо розрахунках не потрібна висока точність, то приймають, що модуль прискорення вільного падіння біля Землі дорівнює
Однакове значення прискорення тіл, що вільно падають, мають різну масу, свідчить про те, що сила, під дією якої тіло набуває прискорення вільного падіння, пропорційна масі тіла. Ця сила тяжіння, що діє з боку Землі на всі тіла, називається силою тяжіння:
Сила тяжіння діє будь-яке тіло біля Землі і відстані від поверхні, і відстані 10 км, де літають літаки. А чи діє сила тяжкості ще більших відстанях від Землі? Чи залежить сила тяжкості та прискорення вільного падіння від відстані до Землі? Над цими питаннями думали багато вчених, але вперше відповіді на них дав у XVII ст. великий англійський фізик Ісаак Ньютон (1643-1727).
Залежність сили тяжіння від відстані.
Ньютон припустив, що сила тяжіння діє на будь-якій відстані від Землі, але її значення зменшується пропорційно квадрату відстані від центру Землі. Перевіркою цього припущення міг бути вимірювання сили тяжіння якогось тіла, що знаходиться на великій відстані від Землі, та порівняння її із силою тяжіння того ж тіла біля Землі.
Для визначення прискорення руху тіла під дією сили тяжіння на великій відстані від Землі Ньютон скористався результатами астрономічних спостережень за рухом Місяця.
Він припустив, що сила тяжіння, що діє з боку Землі на Місяць, є та сама сила тяжіння, яка діє на будь-які тіла біля поверхні Землі. Отже, доцентрове прискорення під час руху Місяця по орбіті навколо Землі є прискорення вільного падіння Місяця Землю.
Відстань від центру Землі до центру Місяця дорівнює км. Це приблизно в 60 разів більше від центру Землі до її поверхні.
Якщо сила тяжіння зменшується пропорційно квадрату відстані від центру Землі, то прискорення вільного падіння на орбіті Місяця має бути в рази менше прискорення вільного падіння біля поверхні Землі
за відомим значеннямрадіуса орбіти Місяця та періоду її звернення навколо Землі Ньютон обчислив доцентрове прискорення Місяця. Воно виявилося справді рівним
Теоретично передбачене значення прискорення вільного падіння збіглося зі значенням, отриманим внаслідок астрономічних спостережень. Це доводило справедливість припущення Ньютона у тому, що сила тяжкості зменшується пропорційно квадрату відстані від центру Землі:
Закон всесвітнього тяготіння.
Подібно до того, як Місяць рухається навколо Землі, Земля у свою чергу звертається навколо Сонця. Навколо Сонця звертаються Меркурій, Венера, Марс, Юпітер та інші планети
Сонячна система. Ньютон довів, що рух планет навколо Сонця відбувається під дією сили тяжіння, спрямованої до Сонця і зменшується пропорційно квадрату відстані від нього. Земля притягує Місяць, а Сонце - Землю, Сонце притягує Юпітер, а Юпітер - свої супутники і т. д. Звідси Ньютон зробив висновок, що всі тіла у Всесвіті взаємно притягують одне одного.
Силу взаємного тяжіння, що діє між Сонцем, планетами, кометами, зірками та іншими тілами у Всесвіті, Ньютон назвав силою всесвітнього тяжіння.
Сила всесвітнього тяжіння, що діє на Місяць із боку Землі, пропорційна масі Місяця (див. формулу 9.1). Очевидно, що снла всесвітнього тяжіння, що діє з боку Місяця на Землю, пропорційна до маси Землі. Ці сили за третім законом Ньютона рівні між собою. Отже, сила всесвітнього тяжіння, що діє між Місяцем та Землею, пропорційна масі Землі та масі Місяця, тобто пропорційна добутку їх мас.
Поширивши встановлені закономірності - залежність сили тяжкості від відстані та від мас взаємодіючих тіл - на взаємодію всіх тіл у Всесвіті, Ньютон відкрив у 1682 р. закон всесвітнього тяжіння: всі тіла притягуються один до одного, сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна добутку мас тіл і назад квадрату відстані між ними:
Вектори сил всесвітнього тяжіння спрямовані вздовж прямої тіла, що з'єднує.
Закон всесвітнього тяжіння в такій формі може бути використаний для обчислення сил взаємодії між тілами будь-якої форми, якщо розміри тіл значно менші за відстань між ними. Ньютон довів, що для однорідних кулястих тіл закон всесвітнього тяжіння в даній формі застосовується за будь-яких відстаней між тілами. За відстань між тілами у разі приймається відстань між центрами куль.
Сили всесвітнього тяжіння називають гравітаційними силами, а коефіцієнт пропорційності у законі всесвітнього тяжіння називають гравітаційною постійною.
Гравітаційна стала.
Якщо існує сила тяжіння між земною кулею та шматком крейди, то, ймовірно, існує сила тяжіння і між половиною земної кулі та шматком крейди. Продовжуючи подумки такий процес розподілу земної кулі, ми дійдемо висновку, що гравітаційні сили повинні діяти між будь-якими тілами, починаючи від зірок і планет і закінчуючи молекулами, атомами та елементарними частинками. Це було доведено експериментально англійським фізиком Генрі Кавендишем (1731-1810) в 1788 р.
Кавендіш виконав досліди щодо виявлення гравітаційної взаємодії тіл невеликих
розмірів за допомогою крутильних ваг. Два однакові невеликі свинцеві кулі діаметром приблизно 5 см були укріплені на стрижні завдовжки близько підвішеному на тонкому мідному дроті. Проти малих куль він встановлював великі свинцеві кулі діаметром 20 см кожен (рис. 27). Досліди показали, що при цьому стрижень із малими кулями повертався, що говорить про наявність сили тяжіння між свинцевими кулями.
Повороту стрижня перешкоджає сила пружності, що виникає при закручуванні підвісу.
Ця сила пропорційна куту повороту. Силу гравітаційної взаємодії куль можна визначити кутом повороту підвісу.
Маси куль відстань між ними у досвіді Кавендіша були відомі, сила гравітаційної взаємодії вимірювалася безпосередньо; тому досвід дозволив визначити гравітаційну постійну у законі всесвітнього тяжіння. За сучасними даними вона дорівнює
Найголовнішим явищем, що постійно вивчається фізиками, є рух. Електромагнітні явища, закони механіки, термодинамічні та квантові процеси – все це широкий спектр фрагментів світобудови, що вивчаються фізикою. І всі ці процеси зводяться, так чи інакше, до одного – до.
Вконтакте
Все у Всесвіті рухається. Гравітація – звичне явище всім людей з дитинства, ми народилися гравітаційному полі нашої планети, це фізичне явище сприймається нами на найглибшому інтуїтивному рівні і, здавалося б, навіть вимагає вивчення.
Але, на жаль, питання чому і яким чином всі тіла притягуються одне до одного, Залишається і на сьогоднішній день не до кінця розкритим, хоча і вивчений вздовж і впоперек.
У цій статті ми розглянемо, що таке всесвітнє тяжіння за Ньютоном – класичну теорію гравітації. Однак перш ніж перейти до формул і прикладів, розповімо про суть проблеми тяжіння та дамо йому визначення.
Можливо, вивчення гравітації стало початком натуральної філософії (науки про розуміння суті речей), можливо, натуральна філософія породила питання про сутність гравітації, але, так чи інакше, питанням тяжіння тіл зацікавилися ще у Стародавній Греції.
Рух розумівся як суть чуттєвої характеристики тіла, а точніше, тіло рухалося, поки спостерігач це бачить. Якщо ми не можемо явище виміряти, зважити, відчути, чи це означає, що цього явища не існує? Звичайно, не означає. І відколи Аристотель зрозумів це, почалися роздуми про сутність гравітації.
Як виявилося в наші дні, через багато десятків століть, гравітація є основою не тільки земного тяжіння і тяжіння нашої планети, але й основою зародження Всесвіту і багатьох наявних елементарних частинок.
Завдання руху
Проведемо уявний експеримент. Візьмемо в ліву руку невелику кульку. У праву візьмемо такий самий. Відпустимо праву кульку, і вона почне падати вниз. Лівий при цьому залишається в руці, він, як і раніше, нерухомий.
Зупинимо подумки перебіг часу. Права кулька, що падає, «зависає» в повітрі, ліва все також залишається в руці. Права кулька наділена «енергією» руху, ліва – ні. Але у чому глибока, осмислена різниця між ними?
Де, в якій частині падаючої кульки прописано, що вона повинна рухатися? У нього така сама маса, такий самий обсяг. Він володіє такими ж атомами, і вони нічим не відрізняються від атомів кульки, що покоїться. Кулька має? Так, це правильна відповідь, але звідки кульці відомо, що має потенційну енергію, де це зафіксовано в ній?
Саме це завдання ставили собі Аристотель, Ньютон і Альберт Ейнштейн. І всі три геніальних мислителі частково вирішили для себе цю проблему, але на сьогоднішній день існує низка питань, які потребують вирішення.
Гравітація Ньютона
У 1666 році найбільшим англійським фізиком і механіком І. Ньютоном відкрито закон, здатний кількісно порахувати силу, завдяки якій вся матерія у Всесвіті прагне один до одного. Це явище отримало назву всесвітнє тяжіння. Коли вас просять: «Сформулюйте закон всесвітнього тяжіння», ваша відповідь має звучати так:
Сила гравітаційної взаємодії, що сприяє тяжінню двох тіл, знаходиться у прямому пропорційному зв'язку з масами цих тілта у зворотному пропорційному зв'язку з відстанню між ними.
Важливо!У законі тяжіння Ньютона використовується термін «відстань». Під цим терміном слід розуміти не дистанцію між поверхнями тіл, а відстань між їхніми центрами тяжіння. Наприклад, якщо дві кулі радіусами r1 і r2 лежать одна на одній, то дистанція між поверхнями дорівнює нулю, проте сила тяжіння є. Справа в тому, що відстань між їхніми центрами r1+r2 відмінно від нуля. У космічних масштабах це уточнення не має значення, але для супутника на орбіті дана дистанція дорівнює висоті над поверхнею плюс радіус нашої планети. Відстань між Землею та Місяцем також вимірюється як відстань між їхніми центрами, а не поверхнями.
Для закону тяжіння формула виглядає так:
,
- F – сила тяжіння,
- - Маси,
- r – відстань,
- G - гравітаційна постійна, рівна 6,67 · 10-11 м ³ / (кг · с ²).
Що ж є вага, якщо щойно ми розглянули силу тяжіння?
Сила є векторною величиною, проте у законі всесвітнього тяжіння вона традиційно записана як скаляр. У векторній картині закон виглядатиме таким чином:
.
Але це не означає, що сила обернено пропорційна кубу дистанції між центрами. Ставлення слід сприймати як одиничний вектор, спрямований від центру до іншого:
.
Закон гравітаційної взаємодії
Вага та гравітація
Розглянувши закон гравітації, можна зрозуміти, що немає нічого дивного в тому, що ми особисто відчуваємо тяжіння Сонця набагато слабше, ніж земне. Масивне Сонце хоч і має велику масу, проте воно дуже далеке від нас. теж далеко від Сонця, проте вона притягується до нього, так як має велику масу. Як знайти силу тяжіння двох тіл, а саме як обчислити силу тяжіння Сонця, Землі і нас з вами – з цим питанням ми розберемося трохи пізніше.
Наскільки нам відомо, сила тяжіння дорівнює:
де m – наша маса, а g – прискорення вільного падіння Землі (9,81 м/с2).
Важливо!Немає двох, трьох, десяти видів сил тяжіння. Гравітація – єдина сила, яка дає кількісну характеристику тяжіння. Вага (P = mg) і сила гравітації – те саме.
Якщо m – наша маса, M – маса земної кулі, R – її радіус, то гравітаційна сила, що діє на нас, дорівнює:
Таким чином, оскільки F = mg:
.
Маси m скорочуються, і залишається вираз для прискорення вільного падіння:
Як бачимо, прискорення вільного падіння – справді стала величина, оскільки її формулу входять величини постійні — радіус, маса Землі і гравітаційна стала. Підставивши значення цих констант, переконаємося, що прискорення вільного падіння дорівнює 9,81 м/с 2 .
На різних широтах радіус планети дещо відрізняється, оскільки Земля таки не ідеальна куля. Через це прискорення вільного падіння в окремих точках земної кулі різне.
Повернемося до тяжіння Землі та Сонця. Постараємось на прикладі довести, що земна куля притягує нас з вами сильніше, ніж Сонце.
Приймемо для зручності масу людини: m = 100 кг. Тоді:
- Відстань між людиною та земною кулею дорівнює радіусу планети: R = 6,4∙10 6 м.
- Маса Землі дорівнює: M ≈ 6∙10 24 кг.
- Маса Сонця дорівнює: Mc ≈ 2∙10 30 кг.
- Дистанція між нашою планетою та Сонцем (між Сонцем та людиною): r=15∙10 10 м.
Гравітаційне тяжіння між людиною та Землею:
Цей результат досить очевидний із простішого виразу для ваги (P = mg).
Сила гравітаційного тяжіння між людиною та Сонцем:
Як бачимо, наша планета притягує нас майже у 2000 разів сильніше.
Як знайти силу тяжіння між Землею та Сонцем? Наступним чином:
Тепер ми бачимо, що Сонце притягує нашу планету більш ніж мільярд мільярдів разів сильніше, ніж планета притягує нас з вами.
Перша космічна швидкість
Після того, як Ісаак Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння, йому стало цікаво, з якою швидкістю треба кинути тіло, щоб воно, подолавши гравітаційне поле, назавжди залишило земну кулю.
Щоправда, він уявляв це дещо інакше, у його розумінні була не вертикальна ракета, спрямована в небо, а тіло, яке горизонтально робить стрибок з вершини гори. Це була логічна ілюстрація, оскільки на вершині гори сила тяжіння трохи менша.
Так, на вершині Евересту прискорення вільного падіння буде не звичні 9,8 м/с 2 , а майже м/с 2 . Саме з цієї причини там настільки розряджений частки повітря вже не так прив'язані до гравітації, як ті, які «впали» до поверхні.
Намагатимемо дізнатися, що таке космічна швидкість.
Перша космічна швидкість v1 – це така швидкість, коли тіло залишить поверхню Землі (чи іншої планети) і перейде на кругову орбіту.
Постараємося дізнатися чисельного значення цієї величини для нашої планети.
Запишемо другий закон Ньютона для тіла, що обертається навколо планети по круговій орбіті:
,
де h – висота тіла над поверхнею, R – радіус Землі.
На орбіті на тіло діє відцентрове прискорення, таким чином:
.
Маси скорочуються, отримуємо:
,
Ця швидкість називається першою космічною швидкістю:
Як можна помітити, космічна швидкість не залежить від маси тіла. Таким чином, будь-який предмет, розігнаний до швидкості 7,9 км/с, покине нашу планету та перейде на її орбіту.
Перша космічна швидкість
Друга космічна швидкість
Однак навіть розігнавши тіло до першої космічної швидкості, нам не вдасться повністю розірвати його гравітаційний зв'язок із Землею. Для цього потрібна друга космічна швидкість. При досягненні цієї швидкості тіло залишає гравітаційне поле планетиі всі можливі замкнуті орбіти.
Важливо!По помилці часто вважається, що для того, щоб потрапити на Місяць, космонавтам доводилося досягати другої космічної швидкості, адже треба було спершу роз'єднатися з гравітаційним полем планети. Це не так: пара «Земля – Місяць» знаходяться у гравітаційному полі Землі. Їхній загальний центр тяжіння знаходиться всередині земної кулі.
Щоб знайти цю швидкість, поставимо завдання трохи інакше. Припустимо, тіло летить із нескінченності на планету. Питання: яку швидкість буде досягнуто на поверхні при приземленні (без урахування атмосфери, зрозуміло)? Саме така швидкість і потрібно тілу, щоб залишити планету.
Закон всесвітнього тяготіння. Фізика 9 клас
Закон всесвітнього тяготіння.
Висновок
Ми з вами дізналися, що хоча гравітація є основною силою у Всесвіті, багато причин цього явища досі залишилися загадкою. Ми дізналися, що така сила всесвітнього тяжіння Ньютона, навчилися вважати її для різних тіл, а також вивчили деякі корисні наслідки, які випливають із такого явища, як всесвітній закон тяжіння.
Найпростіші арифметичні розрахунки переконливо показують, що сила тяжіння Місяця до Сонця вдвічі більше, ніж Місяця до Землі.Це означає, що, згідно з «Законом Всесвітньої Тяжкості», Місяць повинен обертатися навколо Сонця...
Закон Всесвітньої Тяжкості- це навіть не наукова фантастика, а просто марення, більший, ніж теорія у тому, що земля лежить на черепахах, слонах і китах...
Звернемося до іншої проблеми наукового знання: чи завжди є можливість встановити істину в принципі - хоч колись взагалі. Ні не завжди. Наведемо приклад на основі того самого «всесвітнього тяжіння». Як відомо, швидкість світла кінцева, в результаті, віддалені об'єкти ми бачимо не там, де вони розташовані в даний момент, а бачимо їх у тій точці, звідки стартував проміння світла, яке ми побачили. Багатьох зірок, можливо, взагалі немає, йде лише їхнє світло - побита тема. А от тяжіння- воно з якою швидкістю поширюється? Ще Лапласу вдалося встановити, що тяжіння від Сонця походить не звідти, де ми його бачимо, а з іншої точки. Проаналізувавши дані, накопичені на той час, Лаплас встановив, що «гравітація» поширюється швидше за світло, як мінімум, на сім порядків! Сучасні виміри відсунули швидкість поширення гравітації ще далі - як мінімум, на 11 порядків швидше швидкості світла.
Є великі підозри, що гравітація поширюється взагалі миттєво. Але якщо це насправді має місце, то як це встановити - адже будь-які виміри теоретично неможливі без будь-якої похибки. Тож ми ніколи не дізнаємося – чи кінцева ця швидкість чи нескінченна. А світ, у якому вона має межу, і світ у якому вона безмежна – це «дві великі різниці», і ми ніколи не знатимемо, в якому ж світі живемо! Ось вона межа, яка покладена науковому знанню. Прийняти ту чи іншу точку зору – це справа віри, абсолютно ірраціональної, що не піддається жодній логіці. Як не піддається жодній логіці віра в «наукову картину світу», яка базується на «законі всесвітнього тяжіння», який існує лише в зомбованих головах і який ніяк не виявляється в навколишньому світі...
Тепер залишимо ньютонівський закон, а на закінчення наведемо наочний приклад того, що закони, відкриті на Землі, зовсім не універсальні для решти Всесвіту.
Погляньмо на той самий Місяць. Бажано в повний місяць. Чому Місяць виглядає як диск - швидше млинець, ніж колобок, форму якого він має? Адже вона – куля, а куля, якщо освітлена з боку фотографа, виглядає приблизно так: у центрі – відблиск, далі освітленість падає, до країв диска зображення темніше.
А в місяця на небі освітленість рівномірна - що в центрі, що по краях, досить поглянути на небо. Можна скористатися хорошим біноклем або фотоапаратом із сильним оптичним «зумом», приклад такої фотографії наведено на початку статті. Знято було із 16-кратним наближенням. Це зображення можна обробити в будь-якому графічному редакторі, посиливши контрастність, щоб переконатися - все так і є, більше того, яскравість по краях диска вгорі і внизу навіть трохи вище, ніж у центрі, де вона теоретично повинна бути максимальною.
Тут ми маємо приклад того, що закони оптики на Місяці та на Землі абсолютно різні! Місяць чомусь все падаюче світло відбиває у бік Землі. У нас немає жодних підстав поширювати закономірності, виявлені в умовах Землі, на весь Всесвіт. Не факт, що фізичні «константи» є насправді константами і не змінюються з часом.
Все сказане вище показує, що «теорії» «чорних дірок», «бозони хіггса» та багато іншого - це навіть не наукова фантастика, а просто марення, більший, ніж теорія у тому, що земля лежить на черепахах, слонах і китах...
Природознавство: Закон всесвітнього тяжіння
Так, і ще... давай дружити, і? ---жми сміливіше сюди -->> Додати у друзі на ЖЖА ще давай дружити на
