Алгебраїчний вираз вираз, складений з літер і цифр, з'єднаних знаками дій складання, віднімання, множення, поділу, зведення в цілий ступінь та вилучення кореня (показники ступеня та кореня мають бути постійними числами). А. в. називається раціональним щодо деяких літер, що до нього входять, якщо воно не містить їх під знаком вилучення кореня, наприклад раціонально щодо a, b та с. А. в. називається цілим щодо деяких букв, якщо воно не містить поділу на вирази, що містять ці букви, наприклад 3а/с + bc 2 - 3ас/4
є цілим щодо а та b. Якщо деякі з літер (чи всі) вважати змінними, то А. в. є алгебраїчна функція.
Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .
Дивитися що таке "Алгебраїчне вираз" в інших словниках:
Вираз, складений з літер і чисел, з'єднаних знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, отримання кореня... Великий Енциклопедичний словник
алгебраїчний вираз- — Тематика нафтогазова промисловість EN algebraic expression … Довідник технічного перекладача
Алгебраїчним виразом називається одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і літер), з'єднаних між собою знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення та поділу, а також вилучення кореня та зведення в цілу… Вікіпедія
Вираз, складений з літер і чисел, з'єднаних знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, добування кореня. * * * АЛГЕБРАЇЧНЕ ВИРАЗ АЛГЕБРАЇЧНЕ ВИРАЗ, вираз,… … Енциклопедичний словник
алгебраїчний вираз- algebrinė iraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expresion vok. algebraischer Ausdruck, m rus. вираз алгебри, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Вираз, складений із літер і чисел, з'єднаних знаками алгебр. дій: додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь, отримання кореня … Природознавство. Енциклопедичний словник
Алгебраїчним виразом щодо даного змінного, на відміну від трансцендентного, називають такий вираз, який не містить інших функцій від даної кількості, крім сум, творів або ступенів цієї кількості, причому доданками … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
ВИРАЗ, вирази, порівн. 1. Дія за гол. висловити. Не знаходжу слів для висловлення вдячності. 2. частіше од. Втілення ідеї у формах якогось мистецтва (філос.). Тільки великий художник здатний створити такий вислів, … Тлумачний словникУшакова
Рівняння, що виходить при прирівнюванні двох виразів алгебри (Див. Алгебраїчне вираз). А. в. з одним невідомим називається дробовим, якщо невідоме входить у знаменник, та ірраціональним, якщо невідоме входить під… Велика Радянська Енциклопедія
ВИРАЗ- первинне математичне поняття, під яким мають на увазі запис із букв і чисел, з'єднаних знаками арифметичних дій, при цьому можуть бути використані дужки, позначення функцій тощо; Традиційно в формула млн. її частина. Розрізняють (1)… … Велика політехнічна енциклопедія
Статті з природничих наук та математики
Що таке числове та алгебраїчне вираз?
Числовий вираз- це будь-який запис, складений із чисел і знаків арифметичних дій і записаний за відомими правилами, внаслідок чого має певний зміст. Наприклад, числовими виразами є такі записи: 4 + 5; -1,05 × 22,5 — 34. З іншого боку, запис × 16 — × 0,5 не є числовим, оскільки, хоч і складається з чисел та знаків арифметичних операцій, записано не за правилами складання числових виразів.
Якщо в числовому виразі зустрічаються букви замість чисел (всіх або лише деяких), то цей вираз є вже алгебраїчним.
Сенс використання букв полягає приблизно в наступному. Замість букв можуть бути підставлені різні числа, отже вираз може мати різні значення. Алгебра як наука вивчає принципи спрощення виразів, пошуку та використання різних правил, законів, формул. Алгебра вивчає найбільш раціональні способи виконання обчислень, а саме для цього потрібні узагальнення, тобто використання змінних (літер) замість конкретних чисел.
До алгебраїчним фактам можна віднести закони складання та множення, поняття негативного числа, звичайного та десяткового дробів та правила арифметичних операцій з ними, властивості звичайних дробів. Алгебра покликана розібратися в цьому різноманітті фактів, навчити їх використовувати, бачити застосовність законів у конкретних числових і алгебраїчних висловлюваннях.
Коли числове вираз обчислюється, то результаті виходить його значення. Значення алгебраїчного вираз може бути обчислено тільки, якщо замість букв будуть підставлені певні числові значення. Наприклад, вираз a b при а = 3 і b = 5 має значення 3 5 або 0,6. Однак вираз алгебри може бути таким, що при деяких значеннях змінних (літер) може зовсім не мати змила. Для того ж прикладу (a ÷ b) вираз не має сенсу при b = 0, тому що на нуль не можна ділити.
Тому говорять про допустимі і неприпустимі значення змінних для того чи іншого виразу алгебри.
scienceland.info
Алгебраїчні вирази
- Визначення поняття
- Значення виразу
- Тотожні вирази
- Вирішення задач
- Що ми дізналися?
Визначення поняття
Які вирази називають алгебраїчними? Це математичний запис, складений із цифр, літер та знаків арифметичних дій. Наявність букв – це основна відмінність числових та алгебраїчних виразів. Приклади:
Літера в алгебраїчних виразів позначає якесь число. Тому вона називається змінною – у першому прикладі це буква а, у другому – b, а третьому – с. Сам алгебраїчний вираз ще називають виразом зі змінною.
Значення виразу
Значення виразу алгебри– це число, одержуване внаслідок виконання всіх арифметичних дій, зазначених у цьому виразі. Але щоб його отримати, літери необхідно замінити числами. Тому в прикладах завжди вказують, скільки відповідає букві. Розглянемо, як визначити значення виразу 8а-14*(5-а), якщо а=3.
Підставимо замість букви цифру 3. Отримуємо наступний запис: 8*3-14*(5-3).
Як і в числових виразах, рішення виразу алгебри проводиться за правилами виконання арифметичних дій. Вирішимо все по порядку.
Таким чином, значення виразу 8а-14 * (5-а) при а = 3 дорівнює -4.
Значення змінної називають допустимим, якщо при ньому вираз має сенс, тобто можна знайти його рішення.
Приклад допустимої змінної виразу 5:2а – це цифра 1. Підставивши їх у вираз, отримуємо 5:2*1=2,5. Неприпустима змінна для виразу – це 0. Якщо підставити нуль у вираз, отримуємо 5:2*0, тобто 5:0. На нуль ділити не можна, отже, вираз немає сенсу.
Тотожні вирази
Якщо два вирази при будь-яких значеннях змінних, що входять до їх складу, виявляються рівні, їх називають тотожними.
Приклад тотожних виразів
:
4(а+с) та 4а+4с.
Які б значення не набували букви а і с, вирази завжди будуть рівні. Будь-який вираз можна замінити іншим, тотожним йому. Цей процес називають тотожним перетворенням.
Приклад тотожного перетворення
.
4*(5а+14с) – цей вираз можна замінити тотожним, застосувавши математичний закон множення. Щоб помножити число на суму двох чисел, потрібно це число помножити на кожен доданок і скласти отримані результати.
Таким чином, вираз 4*(5а+14с) є тотожним 20а+64с.
Число, що стоїть в алгебраїчному вираженні перед літерною змінною, називається коефіцієнтом. Коефіцієнт та змінна – це множники.
Вирішення задач
Алгебраїчні вирази використовують для вирішення задач та рівнянь.
Розглянемо завдання. Петро придумав число. Для того, щоб його відгадав однокласник Сашко, Петя сказав йому: спочатку я додав до 7, потім вирахував з нього 5 і помножив на 2. У результаті я отримав число 28. Яке число я загадав?
Для розв'язання задачі потрібно задумане число позначити літерою а, а потім зробити всі ці дії з ним.
Тепер вирішимо отримане рівняння.
Петро загадав число 12.
Що ми дізналися?
Алгебраїчне вираз - запис, складений з літер, цифр і знаків арифметичних дій. Кожен вираз має значення, яке знаходять шляхом виконання всіх арифметичних дій у виразі. Літера в алгебраїчному вираженні називається змінною, а число перед нею – коефіцієнтом. Алгебраїчні вирази використовують для розв'язання задач.
6.4.1. Алгебраїчний вираз
I. Вирази, в яких поряд з літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій та дужки, називаються виразами алгебри.
Приклади виразів алгебри:
2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;
Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінною, а саме вираз алгебри - виразом зі змінною.
ІІ. Якщо в алгебраїчному виразі літери (змінні) замінити їх значеннями та виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.
приклади. Знайти значення виразу:
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) | + | y | -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. Отримаємо:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) | + | y | -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль від'ємного числа дорівнює протилежному йому числу, а модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу. Отримуємо:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
ІІІ.Значення літери (змінної), у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).
приклади. При яких значеннях змінної вираз немає сенсу?
Рішення.Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому кожен з цих виразів не матиме сенсу при тому значенні літери (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!
У прикладі 1) це значення а = 0. Справді, якщо замість а підставити 0, потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) немає сенсу при а = 0.
У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) немає сенсу при х = 4.
У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 за х = -2. Відповідь: вираз 3) немає сенсу при х = -2.
У прикладі 4) знаменник 5-|x| = 0 за |x| = 5. Оскільки |5| = 5 та |-5| = 5, то не можна брати х = 5 та х = -5. Відповідь: вираз 4) немає сенсу при х = -5 і за х = 5.
IV. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо за будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.
Приклад: 5 (a – b) і 5a – 5b теж однакові, оскільки рівність 5 (a – b) = 5a – 5b буде вірним за будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a – b) = 5a – 5b є тотожністю.
Тотожність – це рівність, справедливе за всіх допустимих значеннях змінних, що входять до нього. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання та множення, розподільна властивість.
Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу. Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.
a)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 10 · (1,2 х + 2,3у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).
Рішення. Згадаймо розподільну властивість (закон) множення:
(a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).
1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.
2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.
3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.
б)перетворіть вираз у тотожно рівну, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) складання:
4) х+4,5+2х+6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с.
Рішення.Застосуємо закони (властивості) складання:
a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).
4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4 с -3 -2,5 -2,3 с = (5,4 с -2,3 с) + (-3 -2,5) = 3,1 с -5,5.
в)перетворіть вираз у тотожно рівне, використовуючи переміщувальну та поєднувальну властивості (закони) множення:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
Рішення.Застосуємо закони (властивості) множення:
a b = b a(переміщувальний: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).
7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.
8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.
9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.
Якщо алгебраїчне вираз дано як скоротливої дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто. замінити тотожно рівним йому простішим виразом.
приклади. Спростіть за допомогою скорочення дробів. 
Рішення.Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на те саме число (вираз), відмінне від нуля. Дроб 10) скоротимо на 3b; дріб 11) скоротимо на аі дріб 12) скоротимо на 7n. Отримуємо:
Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.
Формула – це вираз алгебри, записаний у вигляді рівності і що виражає залежність між двома або декількома змінними.Приклад: відома вам формула шляху s=v·t(s – пройдений шлях, v – швидкість, t – час). Згадайте, які формули ви знаєте.
www.mathematics-repetition.com
Правило значення виразу алгебри
Числові та алгебраїчні вирази
У молодших класах ви вчилися проводити обчислення з цілими та дробовими числами, Вирішували рівняння, знайомилися з геометричними фігурами, з координатною площиною. Все це становило зміст одного шкільного предмета «Математика». Насправді така важлива галузь науки, як математика, поділяється на величезну кількість самостійних дисциплін: алгебру, геометрію, теорію ймовірностей, математичний аналіз, математичну логіку, математичну статистику, теорію ігор тощо. Кожна дисципліна має свої об'єкти вивчення, свої методи пізнання реальної дійсності.
Алгебра, до вивчення якої ми приступаємо, дає людині можливість не лише виконувати різні обчислення, Але й вчить його робити це якнайшвидше, раціональніше. Людина, що володіє алгебраїчними способами, має перевагу перед тими, хто не володіє цими способами: він швидше вважає, успішніше орієнтується в життєвих ситуаціях, чіткіше приймає рішення, краще мислить. Наше завдання - допомогти вам опанувати алгебраїчними методами, ваше завдання - не противитися навчанню, охоче слідувати за нами, долаючи труднощі.
Насправді в молодших класах вам вже прочинили вікно чарівний світалгебри, адже алгебра насамперед вивчає числові та алгебраїчні вирази.
Нагадаємо, що числовим виразом називають будь-який запис, складений із чисел і знаків арифметичних дій (складений, зрозуміло, із змістом: наприклад, 3 + 57 - числове вираз, тоді як 3 + : - не числове вираження, а безглуздий набір символів). З деяких причин (про них ми говоритимемо надалі) часто замість конкретних чисел вживаються букви (переважно з латинського алфавіту); тоді виходить вираз алгебри. Ці вирази можуть бути дуже громіздкими. Алгебра вчить спрощувати їх, використовуючи різні правила, закони, властивості, алгоритми, формули, теореми.
Приклад 1. Спростити числове вираз:
Рішення. Зараз ми разом з вами дещо згадаємо, і ви побачите, як багато фактів алгебри ви вже знаєте. Насамперед потрібно виробити план здійснення обчислень. Для цього доведеться використовувати ухвалені в математиці угоди про порядок дій. Порядок дій у даному прикладібуде таким:
1) знайдемо значення А висловлювання у перших дужках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;
2) знайдемо значення У виразі у других дужках:
3) розділимо А на Б - тоді знатимемо, яке число З міститься в чисельнику (тобто над горизонтальною рисою);
4) знайдемо значення D знаменника (тобто вирази, що міститься під горизонтальною межею):
D = 25 - 37-0,4;
5) розділимо З D - це і буде шуканий результат. Отже, план обчислень є (а наявність плану – половина
успіху!), приступимо до його реалізації.
1) Знайдемо А = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Звичайно, можна вважати підряд або, як кажуть, «в лоб»: 2,73 + 4,81, потім до цього числа додати
3,27, потім відняти 2,81. Але культурна людина так не вираховуватиме. Він згадає переміщувальний і сполучний закони складання (втім, йому їх і не треба згадувати, вони у нього завжди в голові) і обчислюватиме так:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
А тепер ще раз разом проаналізуємо, які математичні факти нам довелося згадати у процесі рішення прикладу (причому не просто згадати, а й використати).
1. Порядок арифметичних процесів.
2. Переміщувальний закон додавання: а + b = b + а.
4. Сполучний закон складання:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Сполучний закон множення: abc = (ab) c = а (bс).
6. Поняття звичайного дробу, десяткового дробу , Негативного числа.
7. Арифметичні операції з десятковими дробами.
8. Арифметичні операції із звичайними дробами.
10. Правила дій з позитивними та негативними числами. Все це ви знаєте, але все це - алгебраїчні факти. Таким чином, деяке знайомство з алгеброю у вас вже відбулося у молодших класах. Основна складність, як видно вже з прикладу 1, полягає в тому, що таких фактів досить багато, причому їх треба не тільки знати, а й уміти використовувати, як кажуть, « потрібний часта у потрібному місці». Ось цьому і вчитимемося.
Оскільки літер, що входять до складу алгебраїчного виразу, можна надавати різні числові значення (тобто можна змінювати значення літер), ці літери називають змінними.
б) Аналогічно, дотримуючись порядку дій, послідовно знаходимо:
А на нуль ділити не можна! Що це означає у цьому випадку (і в інших аналогічних випадках)? Це означає, що з : заданий алгебраїчне вираз немає сенсу.
Використовується така термінологія: якщо за конкретних значень літер (змінних) алгебраїчне вираз має числове значення, то зазначені значення змінних називають допустимими; якщо при конкретних значеннях букв (змінних) алгебраїчне вираз немає сенсу, то зазначені значення змінних називають недопустимими.
Так, у прикладі 2 значення a = 1 і b = 2, а = 3,7 та b = -1,7 - допустимі, тоді як значення
неприпустимі (точніше: перші дві пари значень - допустимі, а третя пара значень - недопустима).
Взагалі, у прикладі 2 недопустимими будуть такі значення змінних а, b, при яких або а + b = 0, або а - b = 0. Наприклад, a = 7, b = - 7 або a = 28,3, b = 28 ,3 - Неприпустимі пари значень; в першому випадку a + b = 0, а в другому випадку a - b = 0. В обох випадках знаменник заданого в цьому прикладі виразу звертається в нуль, а на нуль, повторимо ще раз, ділити не можна. Тепер, напевно, ви самі зможете придумати як допустимі пари значень для змінних а, b, і неприпустимі пари значень цих змінних у прикладі 2. Спробуйте!
Матеріали з математики онлайн, завдання та відповіді за класами, плани конспектів уроків з математики
А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ
Якщо ви маєте виправлення або пропозиції до цього уроку, напишіть нам.
Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.
Алгебраїчний вираз- це будь-який запис з букв, чисел, знаків арифметичних дій та дужок, складений із змістом. Власне, алгебраїчне вираз – це числове вираз , у якому крім чисел використовуються ще й букви. Тому алгебраїчні вирази також називають літерними виразами.
В основному в буквених виразах використовують літери латинського алфавіту. Навіщо ж потрібні ці літери? Натомість ми можемо підставити різні числа. Тому ці літери називаються змінними. Тобто, вони можуть змінювати своє значення.
Приклади виразів алгебри.
$\begin(align) & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac(a-b)(2) ; \\ & \\ & \sqrt(((b)^(2))-4ac);\,\,\,\,\,\frac(2)(z)+\frac(1)(h); \,\,\,\,\,a((x)^(2))+bx+c; \\ \end(align)$
Якщо, наприклад, у виразі x + 5 ми підставимо замість змінної х якесь число, ми отримаємо числове вираз. При цьому значення цього числового виразу буде значенням алгебраїчного виразу x + 5 при даному значенні змінної. Тобто, за x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. А при x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.
Бувають такі значення змінної, у якому алгебраїчне вираз втрачає сенс. Так, наприклад, буде, якщо вираз 1:x ми підставимо замість x значення 0.
Бо на нуль ділити не можна.
Область визначення виразу алгебри.
Безліч значень змінної, у яких вираз не втрачає сенс, називається областю визначенняцього виразу. Також можна сказати, що область визначення виразу – це множина всіх допустимих значень змінної.
Розглянемо приклади:
- y+5 – областю визначення будуть будь-які значення y.
- 1:x – вираз матиме сенс при всіх значеннях x крім 0. Тому областю визначення будуть будь-які значення x, за винятком нуля.
- (x+y):(x-y) – область визначення – будь-які значення x та y, при яких x ≠ y.
Раціональні вирази алгебри- Це цілі та дробові алгебраїчні вирази.
- Ціле вираз алгебри – не містить зведення в ступінь з дробовим показником, вилучення кореня зі змінної, а також поділу на змінну. У цілих виразах алгебри всі значення змінних є допустимими. Наприклад, ax + bx + c - ціле вираз алгебри.
- Дробове – містить розподіл на змінну. $\frac(1)(a)+bx+c$ - дробове вираз алгебри. У дробових алгебраїчних виразах допустимими є значення змінних, у яких немає поділу на нуль.
$\sqrt(((a)^(2))+((b)^(2)));\,\,\,\,\,\,\,((a)^(\frac(2) (3)))+((b)^(\frac(1)(3)));$- ірраціональні вирази алгебри. У ірраціональних алгебраїчних виразах допустимими є значення змінних, у яких вираз, що стоїть під знаком кореня парного ступеня не негативно.
Якісь математичні вирази ми можемо записати різними способами. Залежно від наших цілей того, чи вистачає нам даних і т.д. Числові та алгебраїчні виразивідрізняються тим, що ми записуємо лише числами, об'єднаними з допомогою символів арифметичних процесів (складення, віднімання, множення, розподіл) і дужок.
Якщо замість чисел ввести у вираз латинські літери (змінні), воно стане алгебраїчним. У алгебраїчних виразах використовуються літери, числа, знаки складання та віднімання, множення та поділу. А також може бути використаний знак кореня, ступеня, дужки.
У будь-якому випадку, числове це вираз або алгебраїчне, воно не може бути просто випадковим набором знаків, чисел і букв – у ньому має бути сенс. Це означає, що букви, числа, знаки мають бути пов'язані якимись відносинами. Правильний приклад: 7х + 2: (у + 1). Поганий приклад): + 7х - * 1.
Вище було згадано слово «змінна» – що воно означає? Це латинська літера, замість якої можна підставити число. І якщо ми говоримо про змінні, в цьому випадку алгебраїчні вирази можна назвати функцією алгебри.
Змінна може набувати різних значень. І підставляючи якесь число на її місце, ми можемо знайти значення виразу алгебри при цьому конкретному значенні змінної. Коли значення змінної інше, іншим буде значення виразу.
Як вирішувати вирази алгебри?
Для обчислення значень потрібно робити перетворення алгебраїчних виразів. А для цього вам потрібно врахувати кілька правил.
По-перше: областю визначення алгебраїчних виразів є всі можливі значення змінної, у яких цей вираз може мати сенс. Що мається на увазі? Наприклад, не можна підставляти таке значення змінної, у якому довелося б ділити на нуль. У виразі1/(х – 2)з області визначення треба виключити 2.
По-друге, запам'ятайте, як спрощувати вирази: розкладати на множники, виносити за дужки однакові змінні тощо. Наприклад: якщо поміняти місцями доданки, сума від цього не зміниться (у + х = х + у). Аналогічно і твір не зміниться, якщо поміняти місцями множники (х * у = у * х).
А взагалі для спрощення виразів алгебри відмінно служать формули скороченого множення. Тим, хто їх ще не вивчив, обов'язково треба це зробити – однаково знадобляться неодноразово:
знаходимо різницю змінних, зведених у квадрат: х 2 – у 2 = (х – у) (х + у);
знаходимо суму, зведену в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2;
обчислюємо різницю, зведену в квадрат: (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2;
зводимо суму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 або (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху (х + у);
зводимо в куб різницю: (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 або (х - у) 3 = х 3 - у 3 - 3ху (х - у);
знаходимо суму змінних, зведених у куб: х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2);
обчислюємо різницю змінних, зведених у куб: х 3 – у 3 = (х – у) (х 2 + ху + у 2);
використовуємо коріння: ха 2 + уа + z = х (а - а 1) (а - а 2), а 1 і а 2 - це коріння виразу ха 2 + уа + z.
Ще вам варто мати уявлення про види виразів алгебри. Вони бувають:
раціональні, і ті у свою чергу поділяються на:
цілі (у них немає поділу на змінні, немає вилучення коренів із змінних і немає зведення в дробовий ступінь): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ). Область визначення – всі можливі значення змінних;
дробові (крім інших математичних операцій, на кшталт складання, віднімання, множення, у цих виразах ділять на змінну і зводять у ступінь (з натуральним показником): (2/b – 3/a + с/4) 2. Область визначення – всі значення змінних, у яких вираз не дорівнює нулю;
ірраціональні – щоб алгебраїчне вираз вважалося таким, у ньому має бути зведення змінних у ступінь з дробовим показником та/або вилучення коренів зі змінних: √а + b 3/4 . Область визначення – всі значення змінних, крім тих, у яких вираз під коренем парного ступеня чи під дробовим ступенем стає негативним числом.
Тотожні перетворення алгебраїчних виразів- Ще один корисний прийом для їх вирішення. Тотожність - такий вираз, який буде вірним за будь-яких змінних, що входять в область визначення, які в нього підставлять.
Вираз, що залежить від деяких змінних, може бути тотожно дорівнює іншому виразу, якщо то залежить від тих же змінних і якщо значення обох виразів рівні, які значення змінних не були обрані. Іншими словами, якщо вираз можна виразити двома різними способами (виразами), значення яких однакові, ці вирази тотожно рівні. Наприклад: у + у = 2у, або х 7 = х 4 * х 3 або x + y + z = z + x + y.
При виконанні завдань з виразами алгебри тотожне перетворення служить для того, щоб один вираз можна було замінити на інше, тотожне йому. Наприклад, замінити х 9 добуток х 5 *х 4 .
Приклади рішення
Щоб було зрозуміліше, розберемо кілька прикладів перетворення алгебраїчних виразів. Завдання такого рівня можуть потрапити у КІМах на ЄДІ.
Завдання 1: Знайти значення виразу ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).
Рішення: ((12х) 2 - 12х) / (12х 2 - 1) = (12х (12х -1)) / х * (12х - 1) = 12.
Завдання 2: Знайти значення виразу (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3)).
Рішення: (4х 2 - 9) * (1 / (2х - 3) - 1 / (2х +3) = (2х - 3) (2х + 3) (2х + 3 - 2х + 3) / (2х - 3) ) (2х + 3) = 6.
Висновок
Під час підготовки до шкільних контрольних, екзаменам ЄДІта ГІА ви завжди можете використовувати цей матеріал як підказку. У пам'яті, що алгебраїчним виразом називається комбінація з чисел і змінних, виражених латинськими літерами. А ще знаків арифметичних операцій (складання, віднімання, множення, поділ), дужок, ступенів, коріння.
Використовуйте формули скороченого множення та знання про тотожні рівність, щоб перетворювати алгебраїчні вирази.
Пишіть нам свої зауваження та побажання у коментарях – нам важливо знати, що ви читаєте.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Алгебраїчне вираз - це запис, складена зі змістом, в якому числа можуть бути позначені і літерами, і цифрами. Також вона може містити знаки арифметичних дій та дужки.
Будь-яку літеру, що позначає число, і будь-яке число, зображене за допомогою цифр, прийнято вважати в алгебрі також виразом алгебри.
Алгебраїчні вирази, що входять до складу формул, можуть застосовуватися до вирішення приватних арифметичних завдань, якщо в них замінити літери цими числами та зробити зазначені дії. Число, яке вийде, якщо взяти замість літер якісь числа та зробити над ними зазначені дії, називається чисельною величиноюалгебраїчного виразу. З цього легко зробити висновок, що те саме алгебраїчне вираз при різних значеннях входять до нього букв може мати різні числові величини. Так, наприклад, вираз
am+bn
при a=2, m=5, b=1, n=4 обчислюється: 2 · 5 + 1 · 4 = 14, а при a=3, m=4, b=5, n=1 обчислюється: 3 · 4 + 5 · 1 = 17 тощо; вираз
abз
при a=1, b=2, c=3, дорівнює 6, а a=2, b=3, c=4, дорівнює 24, і т.д.
Коефіцієнт
Твір кількох співмножників a, b, c, d, пишеться abcd. Якщо, крім літерних множників, є і чисельний (все одно, цілий чи дробовий), він зазвичай ставиться попереду і називається коефіцієнтом. Таким чином,
добуток величин a, b, c, d 4 пишуть так: 4 abcd
добуток величин m, n, pпишуть так: .
Числа 4 і – це коефіцієнти. Очевидно, що 4 abcd = abcd + abcd + abcd + abcdі так само . Отже, коефіцієнт показує, скільки разів ціле вираз алгебри або відома його частина береться доданком.
Якщо при алгебраїчному вираженні немає коефіцієнта, то мається на увазі, що він дорівнює одиниці, оскільки a= 1 · a; bc= 1 · bcі так далі.
Види виразів
Алгебраїчне вираз, до якого не входять буквені дільники, називається цілим, в іншому випадку дробовимабо алгебраїчним дробом.
