Hansı ədəd sadə və ya mürəkkəb deyil? Sadə ədədlər. Kompozit ədədlər. Bu ədəd sadədir, yoxsa kompozit?

Teorem.

Sonsuz sayda sadə ədədlər var.

Sübut.

Tutaq ki, belə deyil. Yəni fərz edək ki, cəmi n ədəd sadə ədəd var və bu sadə ədədlər p 1, p 2, ..., p n-dir. Gəlin göstərək ki, biz həmişə göstərilənlərdən fərqli sadə ədəd tapa bilərik.

p 1 ·p 2 ·…·p n +1-ə bərabər olan p ədədini nəzərdən keçirək. Aydındır ki, bu ədəd p 1, p 2, ..., p n sadə ədədlərinin hər birindən fərqlidir. Əgər p ədədi sadədirsə, teorem isbat olunur. Əgər bu ədəd mürəkkəbdirsə, onda əvvəlki teorem əsasında bu ədədin baş böləni var (onu p n+1 işarə edirik). Göstərək ki, bu bölən p 1, p 2, ..., p n ədədlərinin heç biri ilə üst-üstə düşmür.

Əgər bu belə olmasaydı, onda bölünmə xüsusiyyətlərinə görə p 1 ·p 2 ·…·p n hasilatı p n+1-ə bölünəcəkdi. Lakin p ədədi də p n+1-ə bölünür, p 1 ·p 2 ·…·p n +1 cəminə bərabərdir. Buradan belə nəticə çıxır ki, p n+1 bu cəminin birə bərabər olan ikinci həddini bölməlidir, lakin bu mümkün deyil.

Beləliklə, sübut edilmişdir ki, əvvəlcədən müəyyən edilmiş heç bir sadə ədədin sırasına daxil edilməyən yeni sadə ədəd həmişə tapıla bilər. Buna görə də sonsuz sayda sadə ədədlər var.

Deməli, sadə ədədlərin sonsuz sayda olmasına görə, sadə ədədlərin cədvəllərini tərtib edərkən siz həmişə özünüzü yuxarıdan hansısa ədədlə məhdudlaşdırırsınız, adətən 100, 1000, 10000 və s.

Eratosthenes ələk

İndi biz sadə ədədlər cədvəlinin yaradılması yollarını müzakirə edəcəyik. Tutaq ki, 100-ə qədər olan sadə ədədlər cədvəlini tərtib etməliyik.

Bu problemi həll etməyin ən bariz üsulu 2-dən başlayaraq 100-lə bitən müsbət tam ədədləri 1-dən böyük və yoxlanılan ədəddən kiçik olan müsbət bölənin varlığını ardıcıl olaraq yoxlamaqdır (bizim bildiyimiz bölünmə xüsusiyyətlərindən). bölənin mütləq dəyərinin dividendlərin mütləq dəyərindən artıq olmaması, sıfırdan fərqli). Əgər belə bölən tapılmazsa, yoxlanılan ədəd sadədir və o, sadə ədədlər cədvəlinə daxil edilir. Əgər belə bir bölən tapılarsa, o zaman yoxlanılan ədəd mürəkkəbdir, o, sadə ədədlər cədvəlinə DAXİL EDİLMİR. Bundan sonra, bölən varlığı üçün eyni şəkildə yoxlanılan növbəti nömrəyə keçid var.

İlk bir neçə addımı təsvir edək.

2 nömrəsi ilə başlayırıq. 2 rəqəminin 1 və 2-dən başqa müsbət bölənləri yoxdur. Buna görə də sadədir, ona görə də onu sadə ədədlər cədvəlinə daxil edirik. Burada demək lazımdır ki, 2 ən kiçik sadə ədəddir. Gəlin 3 nömrəyə keçək. Onun 1 və 3-dən başqa mümkün müsbət bölməsi 2 rəqəmidir. Lakin 3 2-yə bölünmür, ona görə də 3 sadə ədəddir və onu da sadə ədədlər cədvəlinə daxil etmək lazımdır. Gəlin 4 nömrəyə keçək. Onun 1 və 4-dən başqa müsbət bölənləri 2 və 3 rəqəmləri ola bilər, onları yoxlayaq. 4 rəqəmi 2-yə bölünür, ona görə də 4 mürəkkəb ədəddir və onu sadə ədədlər cədvəlinə daxil etmək lazım deyil. Nəzərə alın ki, 4 ən kiçik kompozit ədəddir. Gəlin 5 nömrəyə keçək. 2, 3, 4 ədədlərindən heç olmasa birinin onun bölən olub olmadığını yoxlayırıq. 5 2, 3 və ya 4-ə bölünmədiyi üçün o, sadədir və onu sadə ədədlər cədvəlinə yazmaq lazımdır. Sonra 6, 7 və s. 100-ə qədər rəqəmlərə keçid var.

Sadə ədədlər cədvəlini tərtib etmək üçün bu yanaşma idealdan uzaqdır. Bu və ya digər şəkildə onun mövcud olmaq hüququ var. Qeyd edək ki, tam ədədlər cədvəlinin qurulmasının bu üsulu ilə siz bölünmə meyarlarından istifadə edə bilərsiniz ki, bu da bölənlərin tapılması prosesini bir qədər sürətləndirəcək.

adlanan sadə ədədlər cədvəlini yaratmağın daha rahat yolu var. Adda mövcud olan "ələk" sözü təsadüfi deyil, çünki bu metodun hərəkətləri sadə olanları mürəkkəb olanlardan ayırmaq üçün Eratosthenes ələkindən tam ədədləri və böyük vahidləri "ələməyə" kömək edir.

50-yə qədər sadə ədədlər cədvəlini tərtib edərkən Eratosthenin ələkini hərəkətdə göstərək.

Əvvəlcə 2, 3, 4, ..., 50 rəqəmlərini sıra ilə yazın.

Yazılan ilk ədəd, 2, sadədir. İndi 2 nömrədən ardıcıl olaraq iki rəqəmlə sağa keçirik və tərtib olunan nömrələr cədvəlinin sonuna çatana qədər bu nömrələri kəsirik. Bu, ikiyə çox olan bütün nömrələri siləcək.

2-dən sonra xətt çəkilməyən ilk rəqəm 3-dür. Bu rəqəm əsasdır. İndi 3 nömrədən ardıcıl olaraq üç rəqəmlə sağa keçirik (artıq kəsilmiş nömrələri nəzərə alaraq) və onları kəsirik. Bu, üçə çox olan bütün nömrələri siləcək.

3-dən sonra xətt çəkilməyən ilk rəqəm 5-dir. Bu rəqəm əsasdır. İndi 5 rəqəmindən ardıcıl olaraq 5 rəqəmlə sağa keçirik (əvvəllər kəsilmiş nömrələri də nəzərə alırıq) və onları kəsirik. Bu, beşə çox olan bütün nömrələri siləcək.

Sonra, 7-nin, sonra 11-in qatlarının və s. olan ədədləri kəsirik. Artıq kəsiləcək nömrə qalmadıqda proses başa çatır. Aşağıda Eratosthenes ələkindən istifadə edərək əldə edilmiş 50-yə qədər sadə ədədlərin tamamlanmış cədvəli verilmişdir. Bütün çarpaz ədədlər sadədir və üzərindən xətt çəkilmiş bütün ədədlər mürəkkəbdir.

Eratosfen süzgəcindən istifadə edərək sadə ədədlər cədvəlinin tərtib edilməsi prosesini sürətləndirəcək bir teoremi də formalaşdıraq və sübut edək.

Teorem.

Mürəkkəb ədədin birdən fərqli olan ən kiçik müsbət bölən a-dan çox deyil, burada a-dandır.

Sübut.

Birdən fərqli olan a kompozit ədədinin ən kiçik bölənini b hərfi ilə işarə edək (b ədədi əvvəlki abzasın lap əvvəlində sübut edilmiş teoremdən aşağıdakı kimi sadədir). Onda q tam ədədi var ki, a=b·q (burada q tam ədədlərin vurulması qaydalarından irəli gələn müsbət tam ədəddir) və (b>q üçün b-nin a-nın ən kiçik bölücü olması şərti pozulur) , çünki a=q·b ) bərabərliyinə görə q həm də a ədədinin bölənidir. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini müsbətə və birdən böyük tam ədədə vurmaqla (bunu etməyə icazə verilir) , hansı və .

Sübut edilmiş teorem Eratosthenes ələk ilə bağlı bizə nə verir?

Birincisi, b ədədinin çoxluğu olan mürəkkəb ədədlərin üstündən xətt çəkmək ona bərabər olan ədədlə başlamalıdır (bu bərabərsizlikdən irəli gəlir). Məsələn, ikiyə çarpan olan ədədlərin üstündən xətt çəkmək 4 rəqəmi ilə, üçə vurmaq 9 rəqəmi ilə, beşə vurmaq 25 rəqəmi və s. ilə başlamalıdır.

İkincisi, Eratosthenes ələkindən istifadə edərək n ədədinə qədər sadə ədədlər cədvəlini tərtib etmək, sadə ədədlərin qatları olan bütün mürəkkəb ədədlər -dən çox olmayan zaman tam hesab edilə bilər. Nümunəmizdə n=50 (çünki biz 50-yə qədər sadə ədədlər cədvəli hazırlayırıq) və buna görə də Eratosfen ələk 2, 3, 5 və 7 sadə ədədlərinin qatları olan bütün mürəkkəb ədədləri aradan qaldırmalıdır. arifmetik kvadrat kökdən 50-dən çox olmamalıdır. Yəni, 11, 13, 17, 19, 23 və s. 47-yə qədər olan sadə ədədləri axtarmağa və üzərindən xətt çəkməyə ehtiyacımız yoxdur, çünki onlar artıq kiçik sadə ədədlər 2-nin qatları kimi üzərindən xətt çəkiləcək. , 3, 5 və 7.

Bu ədəd sadədir, yoxsa kompozit?

Bəzi tapşırıqlar verilmiş ədədin sadə və ya mürəkkəb olduğunu öyrənməyi tələb edir. Ümumiyyətlə, bu tapşırıq sadə deyil, xüsusən yazısı əhəmiyyətli sayda simvoldan ibarət olan nömrələr üçün. Əksər hallarda, onu həll etmək üçün müəyyən bir yol axtarmaq lazımdır. Bununla belə, sadə hallar üçün düşüncə qatarına istiqamət verməyə çalışacağıq.

Əlbəttə ki, verilmiş ədədin kompozit olduğunu sübut etmək üçün bölünmə testlərindən istifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz. Əgər, məsələn, bəzi bölünmə testi verilmiş ədədin birdən böyük müsbət tam ədədə bölündüyünü göstərirsə, onda ilkin ədəd mürəkkəbdir.

Misal.

898,989,898,989,898,989-un mürəkkəb ədəd olduğunu sübut edin.

Həll.

Bu ədədin rəqəmlərinin cəmi 9·8+9·9=9·17-dir. 9·17-ə bərabər olan ədəd 9-a bölündüyü üçün 9-a bölünmə ilə ilkin ədədin də 9-a bölündüyünü deyə bilərik. Buna görə də kompozitdir.

Bu yanaşmanın əhəmiyyətli çatışmazlığı ondan ibarətdir ki, bölünmə meyarları ədədin sadəliyini sübut etməyə imkan vermir. Buna görə də, bir ədədi sınayarkən onun sadə və ya mürəkkəb olduğunu görmək üçün fərqli şəkildə hərəkət etməlisiniz.

Ən məntiqli yanaşma verilmiş ədədin bütün mümkün bölənlərini sınamaqdır. Mümkün bölənlərdən heç biri verilmiş ədədin həqiqi bölməsi deyilsə, bu ədəd sadə, əks halda isə mürəkkəb olacaqdır. Əvvəlki paraqrafda sübut edilmiş teoremlərdən belə çıxır ki, verilmiş a ədədinin bölənləri -dən çox olmayan sadə ədədlər arasında axtarılmalıdır. Beləliklə, verilmiş a ədədini ardıcıl olaraq sadə ədədlərə bölmək olar (onlar sadə ədədlər cədvəlindən rahat şəkildə götürülür), a ədədinin bölənini tapmağa çalışırlar. Bölən tapılarsa, a sayı mürəkkəbdir. -dən çox olmayan sadə ədədlər arasında a ədədinin bölməsi yoxdursa, a ədədi sadədir.

Misal.

Nömrə 11 723 sadə yoxsa mürəkkəb?

Həll.

11.723 ədədinin bölənlərinin hansı sadə ədədə qədər ola biləcəyini öyrənək. Bunu etmək üçün gəlin qiymətləndirək.

Bu olduqca aydındır , 200-dən 2 =40.000 və 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью ədədlərin müqayisəsi). Beləliklə, 11,723-ün mümkün əsas amilləri 200-dən azdır. Bu artıq işimizi xeyli asanlaşdırır. Əgər bunu bilməsəydik, onda 200-ə qədər deyil, 11.723-ə qədər olan bütün sadə ədədləri nəzərdən keçirməli olardıq.

İstəsəniz, daha dəqiq qiymətləndirə bilərsiniz. 108 2 =11,664 və 109 2 =11,881 olduğundan 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Beləliklə, 109-dan kiçik sadə ədədlərdən hər hansı biri potensial olaraq verilmiş 11.723 ədədinin sadə amilidir.

İndi 11.723 ədədini ardıcıl olaraq 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 sadə ədədlərə böləcəyik. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . 11.723 ədədi yazılmış sadə ədədlərdən birinə bölünsə, o, mürəkkəb olacaqdır. Yazılan sadə ədədlərdən heç birinə bölünmürsə, ilkin ədəd sadədir.

Biz bütün bu monoton və monoton bölünmə prosesini təsvir etməyəcəyik. Dərhal deyək ki, 11.723

Biri sadə rəqəmdir? Xeyr, biri sadə rəqəm deyil.

0 sadə ədəddir? Xeyr, sıfır sadə ədəd deyil.

2 sadə ədəddir? Bəli, 2 sadə ədəddir. 2 yeganə cüt sadə ədəddir.

3 sadə ədəddir? Bəli, 3 sadə ədəddir.

5 sadə ədəddir? Bəli, 5 sadə ədəddir.

7 sadə ədəddir? Bəli, 7 sadə ədəddir.

9 sadə ədəddir? Xeyr, 9 sadə rəqəm deyil. Axı 9 özünə, birə və üçə bölünür.

11 sadə ədəddir? Bəli, 11 sadə ədəddir.

13 sadə ədəddir? Bəli, 13 sadə rəqəmdir.

15 sadə ədəddir? Xeyr, 15 sadə rəqəm deyil. Axı 15 özünə, birə, üçə, beşə bölünür.

17 sadə ədəddir? Bəli, 17 sadə rəqəmdir.

19 sadə ədəddir? Bəli, 19 sadə rəqəmdir.

20 sadə ədəddir? Xeyr, 20 sadə rəqəm deyil. Axı 20 özünə, birə, ikiyə, dördə, beşə, onluğa bölünür.

777 sadə rəqəmdir? Xeyr, 777 sadə rəqəm deyil. Axı 777 özünə, birə, 3-ə, 7-yə, 37-yə bölünür.

997 sadə rəqəmdir? Bəli, 997 sadə rəqəmdir.

Sadə ədəd yalnız özünə və birə bölünən natural ədəddir.

Hal-hazırda faktorinq nömrələri üçün məlum polinom alqoritmləri yoxdur, baxmayaraq ki, belə alqoritmlərin mövcud olmadığı sübuta yetirilməmişdir. RSA kriptosistemi və digərləri faktorizasiya probleminin ehtimal edilən yüksək hesablama mürəkkəbliyinə əsaslanır. Şor alqoritmindən istifadə edərək kvant kompüterində çoxhədli mürəkkəbliyi ilə faktorizasiya nəzəri cəhətdən mümkündür.

Sadə ədədlərin axtarışı və tanınması alqoritmləri

Müəyyən bir dəyərə qədər sadə ədədlərin ilkin siyahısını tapmaq üçün sadə üsullar Eratosfen ələk, Sundaram ələk və Atkin ələk tərəfindən verilir.

Bununla belə, praktikada sadə ədədlərin siyahısını almaq əvəzinə, çox vaxt verilmiş ədədin sadə olub-olmadığını yoxlamaq istəyirsiniz. Bu problemi həll edən alqoritmlərə ilkinlik testləri deyilir. Çoxhədli primallıq testləri var, lakin onların əksəriyyəti ehtimal xarakterlidir (məsələn, Miller-Rabin testi) və kriptoqrafiyanın ehtiyacları üçün istifadə olunur. 2002-ci ildə sübut olundu ki, ilkinlik testi problemi ümumi formada çoxhədli həll edilə bilər, lakin təklif olunan deterministik Agrawal-Kajal-Saxena testi kifayət qədər böyük hesablama mürəkkəbliyinə malikdir və bu, onun praktik tətbiqini çətinləşdirir.

Bəzi sinif sinifləri üçün xüsusi effektiv primallıq testləri mövcuddur (aşağıya bax).

Sadə ədədlər çoxluğunun sonsuzluğu

Sonsuz sayda sadə ədədlər var. Bu faktın məlum olan ən qədim sübutu Euclid in the Elements (Kitab IX, bəyanat 20) tərəfindən verilmişdir. Onun sübutunu qısaca aşağıdakı kimi təkrarlamaq olar:

Riyaziyyatçılar başqa sübutlar da təklif etdilər. Onlardan biri (Euler tərəfindən verilmişdir) göstərir ki, birincinin qarşılıqlarının cəmi nəsas ədədlər, böyümə ilə qeyri-məhdud böyüyür n.

Mersenne nömrələri digərlərindən effektiv bir primallıq testinin olması ilə fərqlənir: Luc-Lemaire testi. Onun sayəsində Mersenne başları uzun müddətdir ki, ən böyük məlum başlar kimi rekorda sahibdirlər.

100.000.000 və 1.000.000.000 onluq rəqəmdən çox sadə ədədləri tapmaq üçün EFF müvafiq olaraq 150.000 ABŞ dolları və 250.000 ABŞ dolları məbləğində pul mükafatı verdi. EFF əvvəllər 1.000.000 və 10.000.000 onluq rəqəmlərin sadə ədədlərini tapmaq üçün mükafatlar verdi.

Xüsusi tipli sadə ədədlər

Xüsusi alqoritmlərdən istifadə edərək əsaslığı səmərəli şəkildə müəyyən edilə bilən bir sıra nömrələr var.

Təyin edilmiş növlərin əsas nömrələrini axtarmaq üçün hazırda paylanmış hesablama layihələrindən GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen və ya Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home istifadə olunur.

Bəzi xüsusiyyətlər

• Əgər p sadədirsə və p ab-ı bölürsə, p a və ya b-ni bölür. Bu həqiqətin sübutu Evklid tərəfindən verilmiş və Evklidin lemması kimi tanınır. Hesabın əsas teoreminin isbatında istifadə olunur.
• Çıxarma halqası $\backslash mathbb(Z)\_n$ bir sahədir, əgər və ancaq $n$- sadə.
• Hər bir sahənin xarakteristikası sıfır və ya sadə ədəddir.
• Əgər $səh$- sadə, lakin $a$- onda təbii $a^p-a$ bölünür $səh$(Fermatın kiçik teoremi).
• Əgər $G$ sırası sonlu qrupdur $|G|$ bölünür $səh$, Bu $G$ nizam elementini ehtiva edir $səh$(Koşi teoremi).
• Əgər $G$ sonlu qrupdur və $p^n$- maksimum dərəcə $səh$, bölən $|G|$, Bu $G$ sifariş alt qrupu var $p^n$, Sylow altqrupu adlanır, üstəlik, Sylow altqruplarının sayı bərabərdir $pk+1$ bəzi bütövlükdə $k$(Silov teoremi).
• Təbii $p\; >\; 1$ sadədir, yalnız və yalnız əgər $(s-1)!\; +\; 1$ bölünür $səh$(Vilson teoremi).
• Əgər $n\; >\; 1$- təbii, onda sadə var $səh$, belə (Bertran postulatı).
• Sadə ədədlərin tərsləri silsiləsi ayrılır. Üstəlik, nə vaxt $x\backslash to\backslash infty$
• Formanın istənilən arifmetik irəliləməsi $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Harada $a,\; q\; >\; 1$- tam ədədlər kobud ədədlər, sonsuz sayda sadə ədədlər ehtiva edir (Arifmetik irəliləyişdə sadə ədədlər haqqında Dirixlet teoremi).
• 3-dən böyük hər bir sadə ədəd kimi təmsil oluna bilər $6k+1$ və ya $6k-1$, Harada $k$- bəzi natural ədəd. Deməli, əgər bir neçə ardıcıl sadə ədədlər arasındakı fərq (k>1 üçün) eynidirsə, o, mütləq 6-ya çoxluq təşkil edir - məsələn: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Əgər $p\; >\; 3$- sadə, onda $p^2-1$ 24-ün qatıdır (3-ə bölünməyən bütün tək ədədlər üçün də doğrudur).
• Yaşıl-Tao teoremi. Sadə ədədlərdən ibarət ixtiyari uzun sonlu arifmetik irəliləyişlər var.
• $n^k-1$, Harada n>2, k>1. Başqa sözlə, asaldan sonrakı ədəd kvadrat və ya bazası 2-dən böyük olan daha yüksək səviyyə ola bilməz. Bundan da belə nəticə çıxır ki, əgər sadə ədədin forması varsa $2^k-1$, Bu k- əsas (bax Mersenne nömrələri).
• Heç bir sadə ədədin forması ola bilməz $n^(2k+1)+1$, Harada n>1, k>0. Başqa sözlə, əsasdan əvvəl gələn ədəd kub və ya bazası 1-dən böyük olan tək güc ola bilməz.

Sadə ədədləri tapmaq üçün düsturlar

Müxtəlif vaxtlarda, daxil olan dəyişənlərin müxtəlif qiymətləri nəzərə alınmaqla, dəyərləri sadə ədədlər olacaq ifadəni göstərməyə cəhdlər edilmişdir. L. Eyler çoxhədlini göstərdi $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ sadə dəyərləri götürür n = 0, 1, 2, …, 40. Bununla belə, nə vaxt n = 41 polinomun qiyməti mürəkkəb ədəddir. Sübut oluna bilər ki, bir n dəyişənində bütün n tam ədədləri üçün əsas qiymətlər alan polinom yoxdur. P.Fermat 2 formasının bütün nömrələrini təklif etdi 2 k + 1 sadə; lakin Eyler 2 rəqəminin olduğunu sübut edərək bu fərziyyəni təkzib etdi 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - mürəkkəb.

Bununla belə, müsbət dəyərlər dəsti dəyişənlərin mənfi olmayan qiymətləri ilə sadə ədədlər çoxluğu ilə üst-üstə düşən çoxhədlilər var. Bir nümunə polinomdur

• $\backslash başlamaq\; (hizalamaq)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(düzləşdirin) tərkibində 26 dəyişən və 25 dərəcəyə malikdir. Bu tip məlum polinomlar üçün ən kiçik dərəcə 42 dəyişənli 5-dir; dəyişənlərin ən kiçik sayı təxminən 1.6·10 45 dərəcəsi ilə 10-dur. Bu nəticə Yuri Matiyaseviç tərəfindən sübut edilmiş hər hansı bir sadalanan çoxluğun Diophantine xassəsinin xüsusi halıdır.

Açıq suallar

Ən məşhurları Edmund Landau tərəfindən Beşinci Beynəlxalq Riyaziyyat Konqresində sadalanan sadə ədədlərlə bağlı hələ də bir çox açıq suallar var:

Açıq problem Mersenne ədədləri, Fibonaççi ədədləri, Fermat ədədləri və s. o cümlədən bir çox tam ardıcıllıqda sonsuz sayda sadə ədədlərin mövcudluğudur.

Proqramlar

Açıq açar kriptoqrafiyasında böyük sadə ədədlərdən (10300-ə qədər) istifadə olunur. Baş ədədlər hash cədvəllərində və psevdo-təsadüfi ədədlər yaratmaq üçün də istifadə olunur (xüsusilə Mersenne Twister PRNG-də).

Variasiya və ümumiləşdirmələr

• Halqa nəzəriyyəsində ümumi cəbrin bir qolu olan əsas element və əsas ideal anlayışı müəyyən edilir.
• Düyün nəzəriyyəsində sadə düyün anlayışı qeyri-trivial düyünlərin əlaqəli cəmi kimi təqdim edilə bilməyən qeyri-trivial düyün kimi müəyyən edilir.

həmçinin bax

"Əsas nömrə" məqaləsi haqqında rəy yazın

Qeydlər

Baş ədədi xarakterizə edən bir parça

Nataşa daha sakit idi, amma daha şən deyildi. O, nəinki sevincin bütün xarici şərtlərindən qaçırdı: toplar, konki sürmək, konsertlər, teatr; amma heç vaxt o qədər gülməmişdi ki, gülüşündən göz yaşları eşidilməzdi. O, oxuya bilmirdi. Gülməyə başlayan kimi və ya təkbaşına mahnı oxumağa çalışan kimi göz yaşları onu boğdu: tövbə göz yaşları, o dönməz, saf zamanın xatirələri göz yaşları; bu qədər xoşbəxt ola biləcək gənc həyatını boş yerə məhv etdiyinə görə məyusluq göz yaşları. Xüsusilə gülmək və oxumaq onun kədərinə küfr kimi görünürdü. O, heç vaxt koketlik haqqında düşünmürdü; o, hətta çəkinmək məcburiyyətində deyildi. Dedi və hiss etdi ki, o vaxt bütün kişilər onun üçün zarafatcıl Nastasya İvanovna ilə eyni idi. Daxili qoruyucu ona hər hansı bir sevinci qəti şəkildə qadağan etdi. Və o qızcığaz, qayğısız, ümidli həyat tərzindən bütün köhnə həyat maraqlarına sahib deyildi. Ən tez-tez və ən ağrılı şəkildə, payız aylarını, ovunu, əmisini və Otradnoyedə Nikolay ilə keçirdiyi Milad bayramını xatırladı. O vaxtdan cəmi bir günü geri qaytarmaq üçün nə verərdi! Ancaq əbədi olaraq bitdi. Əvvəlcədən düşünmə onu aldatmadı ki, o azadlıq və bütün sevinclərə açıqlıq bir daha geri qayıtmayacaq. Amma yaşamalıydım.
O, əvvəllər düşündüyü kimi daha yaxşı olmadığını, amma dünyada hamıdan, hamıdan daha pis və daha pis olduğunu düşünməkdən məmnun idi. Amma bu kifayət etmədi. O, bunu bildi və özündən soruşdu: “Bundan sonra nə?” Və sonra heç nə yox idi. Həyatda sevinc yox idi, ömür də keçdi. Nataşa, görünür, yalnız heç kimə yük olmamağa və heç kimi narahat etməməyə çalışırdı, amma özü üçün heç bir şeyə ehtiyacı yox idi. Evdəki hər kəsdən uzaqlaşdı və yalnız qardaşı Petya ilə özünü rahat hiss etdi. Onunla olmağı başqalarından çox sevirdi; bəzən isə onunla üz-üzə olanda gülürdü. Demək olar ki, evdən çıxmadı və onlara gələnlərdən yalnız Pierre ilə xoşbəxt idi. Qraf Bezuxovun onunla rəftar etdiyindən daha zərif, daha diqqətli və eyni zamanda daha ciddi davranmaq mümkün deyildi. Nataşa Oss şüurlu şəkildə müalicənin bu incəliyini hiss etdi və buna görə də onun şirkətindən böyük həzz aldı. Lakin o, zərifliyinə görə ona minnətdar da deyildi; Pierre üçün yaxşı heç nə ona səy kimi görünmürdü. Pierre hamı ilə mehriban olmaq o qədər təbii görünürdü ki, onun xeyirxahlığında heç bir ləyaqət yox idi. Bəzən Nataşa Pierre'nin yanında utandığını və yöndəmsizliyini, xüsusən də onun üçün xoş bir şey etmək istədikdə və ya söhbətdə bir şeyin Nataşa üçün çətin xatirələr yaşatacağından qorxduqda fərq etdi. O, bunu fərq etdi və bunu onun ümumi mehribanlığı və utancaqlığı ilə əlaqələndirdi, onun fikrincə, onunla olduğu kimi, hamı ilə olmalı idi. Azad olsaydı diz çöküb onun əlini və məhəbbətini diləyəcəyinə dair o gözlənilməz sözlərdən sonra Pyer heç vaxt Nataşa ilə bağlı hissləri barədə heç nə demədi; və ona aydın idi ki, o zaman ona təsəlli verən bu sözlər ağlayan uşağı təsəlli etmək üçün hər cür mənasız sözlər deyildiyi kimi deyilib. Pierre evli olduğu üçün yox, Nataşa özü ilə onun arasında mənəvi maneələrin gücünü ən yüksək dərəcədə hiss etdiyinə görə - Kyraginlə hiss etdiyinin yoxluğunu - Pierre ilə münasibətdən çıxa biləcəyi heç vaxt ağlına gəlməzdi. nəinki onun tərəfində, hətta daha az, onun tərəfində, hətta bir neçə nümunə bildiyi bir kişi ilə qadın arasında incə, özünü tanıyan, poetik dostluq.
Pyotr orucunun sonunda Rostovların Otradnenskidən olan qonşusu Aqrafena İvanovna Belova Moskva müqəddəslərinə baş əymək üçün Moskvaya gəldi. Nataşanı oruc tutmağa dəvət etdi və Nataşa bu fikri məmnuniyyətlə qəbul etdi. Həkimin səhər tezdən bayıra çıxmağı qadağan etməsinə baxmayaraq, Nataşa oruc tutmağı və adətən Rostovluların evində oruc tutduqları kimi oruc tutmağı, yəni evdə üç mərasimdə iştirak etməyi yox, Aqrafena İvanovnanın oruc tutduğu kimi oruc tutmağı, yəni oruc tutmağı təkid edirdi. , bütün həftə ərzində bir vespers, kütləvi və ya matinləri itirmədən.
Nataşanın bu canfəşanlığı Qrafinyanın xoşuna gəldi; Uğursuz müalicədən sonra ruhunda duanın ona daha çox dərmanla kömək edəcəyinə ümid etdi və qorxaraq və həkimdən gizlətsə də, Nataşanın istəkləri ilə razılaşdı və onu Belovaya əmanət etdi. Aqrafena İvanovna səhər saat üçdə Nataşanı oyatmağa gəldi və daha çox onun artıq yatmadığını gördü. Nataşa matin zamanı çox yatmaqdan qorxurdu. Tələsik üzünü yuyub təvazökarlıqla ən pis paltarını və köhnə mantilini geyinərək təravətdən titrəyərək Nataşa səhər şəfəqi ilə şəffaf şəkildə işıqlanan kimsəsiz küçələrə çıxdı. Aqrafena İvanovnanın məsləhəti ilə Nataşa öz kilsəsində deyil, dindar Belovanın dediyinə görə, çox sərt və yüksək həyat tərzi sürən bir keşişin olduğu kilsədə oruc tutdu. Kilsədə həmişə az adam olurdu; Nataşa və Belova, sol xorun arxasına yerləşdirilmiş Tanrı Anasının ikonasının qarşısında adi yerlərini tutdular və səhərin bu qeyri-adi saatında böyük, anlaşılmaz, Nataşa üçün yeni bir duyğu onu örtdü. Tanrı Anasının şamlarla işıqlandırılmış, qarşısında yanan qara üzünə və pəncərədən düşən səhər işığına baxaraq, onları başa düşərək izləməyə çalışdığı xidmətin səslərinə qulaq asdı. Onları başa düşdükdə şəxsi duyğusu öz nüansları ilə duasına qoşuldu; başa düşməyəndə, hər şeyi anlamaq istəyinin qürur olduğunu, hər şeyi başa düşməyin mümkün olmadığını, yalnız Allaha inanıb təslim olmaq lazım olduğunu düşünmək onun üçün daha şirin idi, o anlarda o, ruhunu idarə edirdi. O, çarmıxa çəkildi, baş əydi və anlamayanda yalnız öz iyrəncliyindən dəhşətə gələrək Allahdan onu hər şeyə, hər şeyə görə bağışlamasını, rəhm etməsini dilədi. Onun özünü ən çox həsr etdiyi dualar tövbə duaları idi. Səhər tezdən evə qayıdan, yalnız ustaların işə gedərkən, küçəni süpürən xadimələrin olduğu və evdə hamının hələ də yatdığı bir vaxtda Nataşa ona qarşı pisliklərindən və pisliklərindən özünü islah etmək imkanına dair yeni bir hiss hiss etdi. yeni, təmiz həyat və xoşbəxtlik imkanı.
Onun bu həyatı yaşadığı bütün həftə ərzində bu hiss hər gün artırdı. Qoşulmaq və ya ünsiyyət qurmaq xoşbəxtliyi, Aqrafena İvanovnanın ona dediyi kimi, bu sözlə sevinclə oynamaq ona o qədər böyük görünürdü ki, ona elə gəlirdi ki, bu xoşbəxt bazar gününü görməyəcək.
Ancaq xoşbəxt gün gəldi və Nataşa bu unudulmaz bazar günü görüşdən ağ muslin paltarında qayıdanda, aylardan sonra ilk dəfə özünü sakit hiss etdi və qarşıda duran həyatdan yüklənmədi.
Həmin gün gələn həkim Nataşanı müayinə etdi və ona iki həftə əvvəl yazdığı son tozları davam etdirməyi əmr etdi.
"Biz səhər-axşam davam etməliyik" dedi, görünür, uğurundan vicdanla məmnun idi. - Xahiş edirəm daha diqqətli olun. "Sakit ol, qrafinya," həkim zarafatla dedi və əlinin pulpasındakı qızılları məharətlə götürdü, "tezliklə o, yenidən mahnı oxumağa və əylənməyə başlayacaq." Son dərman onun üçün çox yaxşıdır. O, çox təzələnib.
Qrafinya dırnaqlarına baxıb tüpürdü və şən üzlə qonaq otağına qayıtdı.

İyulun əvvəlində Moskvada müharibənin gedişi ilə bağlı getdikcə daha çox həyəcan verici şayiələr yayılırdı: onlar suverenin xalqa müraciətindən, suverenin özünün ordudan Moskvaya gəlişindən danışırdılar. Manifest və müraciət iyulun 11-dən əvvəl alınmadığı üçün onlar haqqında və Rusiyadakı vəziyyətlə bağlı şişirdilmiş şayiələr yayıldı. Suverenin ordunun təhlükədə olduğu üçün getdiyini, Smolenskin təslim olduğunu, Napoleonun bir milyon əsgərinin olduğunu və Rusiyanı yalnız möcüzənin xilas edə biləcəyini söylədilər.
İyulun 11-də, şənbə günü, manifest qəbul edildi, lakin hələ çap olunmayıb; və Rostovları ziyarət edən Pierre ertəsi gün, bazar günü şam yeməyinə gəlməyi və qraf Rastopçindən alacağı bir manifest və müraciət gətirəcəyini vəd etdi.
Bu bazar günü Rostovlular, həmişəki kimi, Razumovskilərin ev kilsəsinə toplaşdılar. İsti iyul günü idi. Artıq saat onda, Rostovlular kilsənin qarşısında vaqondan düşəndə, isti havada, alverçilərin qışqırtılarında, izdihamın parlaq və yüngül yay paltarlarında, tozlu yarpaqlarda bulvarın ağacları, musiqi sədaları və yürüşdə gedən batalyonun ağ şalvarları, səkilərin gurultusu və qızmar günəşin parlaq şəfəqləri arasında o yay yorğunluğu, indiki ilə razılıq və narazılıq vardı, şəhərin açıq isti günündə xüsusilə kəskin hiss olunur. Razumovski kilsəsində bütün Moskva zadəganları, Rostovluların bütün tanışları var idi (bu il sanki nəsə gözləyirmiş kimi, adətən kəndlərə səyahət edən çoxlu varlı ailələr şəhərdə qaldılar). Anasının yanında izdihamı ayıran lirik piyadanın arxasından keçən Nataşa çox yüksək pıçıltı ilə onun haqqında danışan bir gəncin səsini eşitdi:
- Bu da Rostova, eyni...
- Çox arıqladı, amma yenə də yaxşıdır!
Eşitdi və ya ona elə gəldi ki, Kuragin və Bolkonskinin adları çəkilir. Halbuki ona həmişə belə görünürdü. Həmişə ona elə gəlirdi ki, hamı ona baxaraq yalnız başına gələnləri düşünür. Həmişə olduğu kimi, izdiham içində ruhunda əzab çəkən və solğun olan Nataşa qara krujevalı bənövşəyi ipək paltarında qadınların yeriyə bildiyi şəkildə gəzirdi - ruhunda nə qədər sakit və əzəmətli olursa, o qədər ağrılı və utanırdı. O, yaxşı olduğunu bilirdi və səhv etmirdi, lakin bu, əvvəlki kimi indi onu sevindirmirdi. Əksinə, bu yaxınlarda, xüsusən də şəhərin bu parlaq, isti yay günündə onu ən çox əzablandıran da bu idi. “Yenə bir bazar günü, bir həftə daha,” o, öz-özünə dedi və o bazar günü burada necə olduğunu xatırlayaraq, “hələ də həyatsız həyat və əvvəllər yaşamaq asan olan eyni şərtlər. O, yaxşıdır, cavandır və mən bilirəm ki, indi yaxşıyam, əvvəl pis idim, amma indi yaxşıyam, bilirəm” deyə düşündü, “və beləliklə, heç kim üçün ən yaxşı illər boşuna keçir”. O, anasının yanında dayanıb yaxınlıqdakı tanışları ilə söz mübadiləsi aparıb. Nataşa vərdişindən kənarda qadınların paltarlarına göz gəzdirdi, yaxınlıqda dayanan bir xanımın kiçik yerində əli ilə özünü keçməyi və ədəbsiz üsulunu pislədi, yenə əsəblə fikirləşdi ki, onu mühakimə edirlər. o da mühakimə edirdi və birdən xidmətin səslərini eşidib öz iyrəncliyindən dəhşətə gəldi, əvvəlki saflığının yenidən itirilməsindən dəhşətə gəldi.
Yaraşıqlı, sakit qoca namaz qılanların ruhuna elə əzəmətli, sakitləşdirici təsir göstərən o zərif təntənə ilə xidmət edirdi. Kral qapıları bağlandı, pərdə yavaş-yavaş bağlandı; sirli sakit səs oradan nəsə dedi. Onun üçün anlaşılmaz göz yaşları Nataşanın sinəsində dayandı və sevincli və ağrılı bir hiss onu narahat etdi.
"Mənə nə etməli olduğumu, necə əbədi, əbədi olaraq təkmilləşə biləcəyimi, həyatımla nə etməli olduğumu öyrət..." deyə düşündü.
Diakon minbərə çıxdı, baş barmağını geniş tutaraq uzun saçlarını kürəyinin altından düzəltdi və sinəsinə xaç qoyaraq ucadan və təntənəli şəkildə duanın sözlərini oxumağa başladı:
- "Rəbbə sülh içində dua edək."
"Sülh içində - hamımız birlikdə, sinif fərqi olmadan, düşmənçilik etmədən və qardaş sevgisi ilə birləşərək - dua edək" deyə Nataşa düşündü.
- Səmavi dünya və ruhumuzun xilası haqqında!
Nataşa dua etdi: "Mələklərin və üstümüzdə yaşayan bütün cismani varlıqların ruhlarının sülhü üçün".
Ordu üçün dua edəndə o, qardaşını və Denisovu xatırladı. Yelkən və səyahət edənlər üçün dua edəndə o, Şahzadə Andreyi xatırladı və onun üçün dua etdi və Allahdan ona etdiyi pisliyə görə onu bağışlaması üçün dua etdi. Bizi sevənlər üçün dua edəndə o, ailəsi, atası, anası Sonya üçün dua edirdi, indi ilk dəfə onların qarşısında bütün günahını anlayır və onlara olan sevgisinin bütün gücünü hiss edirdi. Onlar bizə nifrət edənlər üçün dua etdikdə, o, onlar üçün dua etmək üçün özünə düşmənlər və düşmənlər uydurdu. Kreditorları və atası ilə rəftar edənlərin hamısını düşmənləri sırasına alır, hər dəfə düşmənlər və nifrət edənlər haqqında düşünəndə ona bu qədər pislik edən Anatolu xatırlayır, nifrət etməsə də, sevinclə dua edirdi. Onun üçün düşmən kimi. Yalnız dua zamanı o, həm Şahzadə Andreyi, həm də Anatolu, Allaha qarşı qorxu və ehtiram hissi ilə müqayisədə hisslərinin məhv olduğu insanlar kimi aydın və sakit bir şəkildə xatırlaya bildi. Kral ailəsi və Sinod üçün dua etdikdə, o, xüsusilə aşağı əyildi və özünü keçdi və özünə dedi ki, əgər başa düşməsə, şübhə edə bilməz və hələ də hakim Sinodu sevir və onun üçün dua edir.
Litaniyanı bitirdikdən sonra deakon sinəsinin ətrafındakı orariondan keçdi və dedi:
- "Biz özümüzü və həyatımızı Məsih Allaha təslim edirik."
"Biz özümüzü Allaha təslim edəcəyik" dedi Nataşa ürəyində. “Allahım, mən özümü Sənin iradəsinə təslim edirəm” deyə düşündü. - Mən heç nə istəmirəm, heç nə istəmirəm; mənə nə edəcəyimi, iradəmi harda istifadə edəcəyimi öyrət! Al məni, apar məni! - Nataşa ürəyində incə səbirsizliklə dedi, özünü keçmədən, arıq əllərini aşağı saldı və sanki gözəgörünməz bir qüvvənin onu götürüb özündən, peşmanlıqlarından, arzularından, məzəmmətlərindən, ümidlərindən və pisliklərindən xilas edəcəyini gözləyirdi.
Xidmət zamanı bir neçə dəfə qrafinya qızının zərif, parıldayan gözlərinə baxdı və Allaha ona kömək etməsi üçün dua etdi.

Tərif 1. Baş nömrə− yalnız özünə və 1-ə bölünən birdən böyük natural ədəddir.

Başqa sözlə, bir ədəd yalnız iki fərqli təbii bölən varsa, sadədir.

Tərif 2. Özündən başqa və bir bölənləri olan istənilən natural ədədə deyilir kompozit nömrə.

Başqa sözlə, sadə ədədlər olmayan natural ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir. 1-ci tərifdən belə çıxır ki, mürəkkəb ədədin ikidən çox təbii faktoru var. 1 rəqəmi nə əsas, nə də mürəkkəbdir, çünki yalnız bir bölən 1 var və bundan əlavə, sadə ədədlərlə bağlı bir çox teoremlər birlik üçün uyğun gəlmir.

1 və 2-ci təriflərdən belə nəticə çıxır ki, 1-dən böyük hər bir müsbət tam ədəd sadə və ya mürəkkəb ədəddir.

Aşağıda 5000-ə qədər sadə ədədləri göstərmək üçün proqram var. Hüceyrələri doldurun, "Yarat" düyməsini basın və bir neçə saniyə gözləyin.

Sadə ədədlər cədvəli

Bəyanat 1. Əgər səh- sadə ədəd və a hər hansı bir tam, sonra ya a bölünür səh, və ya səh Və aümumi ədədlər.

Həqiqətən. Əgər səh Sadə ədəd yalnız özünə və 1-ə bölünür a ilə bölünmür səh, sonra ən böyük ortaq bölən a Və səh 1-ə bərabərdir. Sonra səh Və aümumi ədədlər.

Bəyanat 2. Əgər bir neçə ədədin hasili olarsa a 1 , a 2 , a 3, ... sadə ədədə bölünür səh, sonra nömrələrdən ən azı biri a 1 , a 2 , a 3, ...bölünən səh.

Həqiqətən. Əgər ədədlərdən heç biri bölünməzsə səh, sonra rəqəmlər a 1 , a 2 , a 3, ... ilə bağlı ümumi ədədlər olardı səh. Lakin 3-cü nəticədən () belə çıxır ki, onların məhsulu a 1 , a 2 , a 3, ... ilə bağlı da nisbətən üstündür səh, bəyanatın şərti ilə ziddiyyət təşkil edir. Buna görə də ədədlərdən ən azı biri bölünür səh.

Teorem 1. İstənilən mürəkkəb ədəd həmişə sonlu sayda sadə ədədlərin hasili kimi unikal şəkildə göstərilə bilər.

Sübut. Qoy k kompozit nömrə və icazə verin a 1 onun 1-dən və özündən fərqli bölənlərindən biridir. Əgər a 1 kompozitdir, onda 1-ə əlavə və var a 1 və başqa bölən a 2. Əgər a 2 mürəkkəb ədəddir, onda 1 və əlavə olaraq var a 2 və başqa bölən a 3. Rəqəmləri bu şəkildə və nəzərə alaraq düşünmək a 1 , a 2 , a 3 , ... azalır və bu sıra sonlu sayda şərtləri ehtiva edir, biz bəzi sadə ədədlərə çatacağıq səh 1 . Sonra kşəklində təmsil oluna bilər

Tutaq ki, bir ədədin iki parçalanması var k:

Çünki k=s 1 səh 2 səh 3... sadə ədədə bölünən q 1, sonra amillərdən ən azı biri, məsələn səh 1-ə bölünür q 1 . Amma səh 1 sadə ədəddir və yalnız 1-ə və özünə bölünür. Beləliklə səh 1 =q 1 (çünki q 1 ≠1)

Sonra (2) dən istisna edə bilərik səh 1 və q 1:

Beləliklə, biz əminik ki, birinci genişlənmədə bir və ya bir neçə dəfə faktor kimi görünən hər bir sadə ədəd ikinci genişlənmədə də ən azı bir o qədər görünür və əksinə, ikinci genişlənmədə faktor kimi görünən hər hansı sadə ədəd. bir və ya bir neçə dəfə ilk genişlənmədə də ən azı eyni sayda görünür. Buna görə də, istənilən sadə ədəd hər iki genişlənmədə eyni sayda amil kimi görünür və beləliklə, bu iki genişlənmə eynidir.■

Kompozit ədədin genişləndirilməsi k aşağıdakı formada yazmaq olar

Harada səh 1 , səh 2, ... müxtəlif sadə ədədlər, α, β, γ ... müsbət tam ədədlər.

Genişlənmə (3) adlanır kanonik genişlənmə nömrələri.

Sadə ədədlər natural ədədlər silsiləsində qeyri-bərabər olur. Sıranın bəzi yerlərində daha çox, digərlərində isə daha azdır. Nömrələr seriyası boyunca nə qədər irəliləsək, sadə ədədlər bir o qədər az olur. Sual yaranır, ən böyük sadə ədəd varmı? Qədim yunan riyaziyyatçısı Evklid sonsuz sayda sadə ədədlərin olduğunu sübut etdi. Bu sübutu aşağıda təqdim edirik.

Teorem 2. Sadə ədədlərin sayı sonsuzdur.

Sübut. Tutaq ki, sonlu sayda sadə ədədlər var və ən böyük sadə ədəd olsun səh. Bütün rəqəmləri daha böyük hesab edək səh. Bəyanatın fərziyyəsinə əsasən, bu ədədlər mürəkkəb olmalı və ən azı sadə ədədlərdən birinə bölünməlidir. Gəlin bütün bu sadə ədədlərin hasilinə üstəgəl 1 olan bir ədəd seçək:

Nömrə z daha çox səhçünki 2p artıq daha çox səh. səh bu sadə ədədlərin heç birinə bölünmür, çünki onların hər biri bölündükdə 1-in qalığını verir. Beləliklə, bir ziddiyyətə gəlirik. Buna görə də sonsuz sayda sadə ədədlər var.

Bu teorem daha ümumi bir teoremin xüsusi halıdır:

Teorem 3. Arifmetik irəliləyiş verilsin

Sonra istənilən sadə ədəd daxil edilir n, daxil edilməlidir m, buna görə də n daxil edilməyən digər əsas amillər m və üstəlik, bu əsas amillər n-dən çox olmayan dəfə daxil edilir m.

Bunun əksi də doğrudur. Əgər ədədin hər bir sadə amili n sayına ən azı bir neçə dəfə daxil edilir m, Bu m bölünür n.

Bəyanat 3. Qoy a 1 ,a 2 ,a 3,... daxil olan müxtəlif sadə ədədlər m Belə ki

Harada i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . qeyd et ki αi qəbul edir α +1 dəyərlər, β j qəbul edir β +1 dəyərlər, γ k qəbul edir γ +1 dəyərlər, ... .