Trigonometrijske jednadžbe prve. Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Svojstva i graf funkcije y = sin x

primjeri:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe:

Bilo koju trigonometrijsku jednačinu treba svesti na jedan od sljedećih tipova:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

gdje je \(t\) izraz sa x, \(a\) je broj. Takve trigonometrijske jednačine su pozvani najjednostavniji. Mogu se lako riješiti korištenjem () ili posebnim formulama:

Pogledajte infografiku o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi ovdje: i.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednačinu \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Rješenje:

odgovor: \(\left[ \begin(sakupljeno)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(sakupljeno)\desno.\) \(k,n∈Z\)

Šta svaki simbol znači u formuli za korijene trigonometrijskih jednačina, pogledajte.

Pažnja! Jednačine \(\sin⁡x=a\) i \(\cos⁡x=a\) nemaju rješenja ako je \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Zato što su sinus i kosinus za bilo koji x veći ili jednaki \(-1\) i manji ili jednaki \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Primjer . Riješite jednačinu \(\cos⁡x=-1,1\).
Rješenje: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odgovori : nema rješenja.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednačinu tg\(⁡x=1\).
Rješenje:

Rešimo jednačinu pomoću brojevnog kruga. Za ovo: 1) Konstruišite krug) 2) Konstruisati ose \(x\) i \(y\) i tangentnu osu (prolazi kroz tačku \((0;1)\) paralelnu sa osom \(y\)). 3) Na tangentnoj osi označite tačku \(1\). 4) Povežite ovu tačku i početak koordinata - pravom linijom. 5) Označite tačke preseka ove prave i brojevnog kruga. 6) Potpišimo vrijednosti ovih tačaka: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Zapišite sve vrijednosti ovih tačaka. Budući da se nalaze na udaljenosti od tačno \(π\) jedna od druge, sve vrijednosti se mogu napisati u jednoj formuli:

odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednačinu \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Rješenje:

Koristimo ponovo brojčani krug. 1) Konstruirajte krug, ose \(x\) i \(y\). 2) Na osi kosinusa (\(x\) osa), označite \(0\). 3) Kroz ovu tačku povući okomitu na osu kosinusa. 4) Označite tačke preseka okomice i kružnice. 5) Potpišimo vrijednosti ovih tačaka: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Zapisujemo cjelokupnu vrijednost ovih tačaka i izjednačavamo ih sa kosinusom (onim što je unutar kosinusa). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Kao i obično, izrazit ćemo \(x\) u jednačinama. Nemojte zaboraviti tretirati brojeve sa \(π\), kao i \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), itd. Ovo su isti brojevi kao i svi ostali. Nema brojčane diskriminacije! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Svođenje trigonometrijskih jednadžbi na najjednostavnije je kreativan zadatak; ovdje morate koristiti obje i posebne metode za rješavanje jednadžbi:
- Metoda (najpopularnija u Jedinstvenom državnom ispitu).
- Metoda.
- Metoda pomoćnih argumenata.

Razmotrimo primjer rješavanja kvadratne trigonometrijske jednadžbe

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednačinu \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Rješenje:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Napravimo zamjenu \(t=\cos⁡x\).
	Naša jednačina je postala tipična. Možete ga riješiti pomoću .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Vršimo obrnutu zamjenu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Prvu jednačinu rješavamo pomoću brojevnog kruga. Druga jednačina nema rješenja jer \(\cos⁡x∈[-1;1]\) i ne može biti jednako dva za bilo koji x.
	Zapišimo sve brojeve koji leže na ovim tačkama.

odgovor: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Primjer rješavanja trigonometrijske jednadžbe sa proučavanjem ODZ-a:

Primjer (USE) . Riješite trigonometrijsku jednačinu \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Postoji razlomak i postoji kotangens - to znači da ga trebamo zapisati. Da vas podsjetim da je kotangens zapravo razlomak: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prema tome, ODZ za ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Označimo "ne-rješenja" na brojčanom krugu.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Oslobodimo se imenioca u jednadžbi tako što ćemo ga pomnožiti sa ctg\(x\). To možemo učiniti, jer smo gore napisali da je ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Primijenimo formulu dvostrukog ugla za sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ako vam se ruke ispruže da podijelite kosinusom, povucite ih nazad! Možete podijeliti izrazom s promjenljivom ako ona definitivno nije jednaka nuli (na primjer, ove: \(x^2+1.5^x\)). Umjesto toga, uzmimo \(\cos⁡x\) iz zagrada.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Hajde da "podelimo" jednačinu na dva.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Rešimo prvu jednačinu pomoću brojevnog kruga. Podijelimo drugu jednačinu sa \(2\) i pomjerimo \(\sin⁡x\) na desnu stranu.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Dobiveni korijeni nisu uključeni u ODZ. Stoga ih nećemo zapisivati ​​kao odgovor. Druga jednačina je tipična. Podijelimo ga sa \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ne može biti rješenje jednačine jer u ovom slučaju \(\cos⁡x=1\) ili \(\cos⁡ x=-1\)).
	Ponovo koristimo krug.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ove korijene ODZ ne isključuje, pa ih možete napisati u odgovoru.

odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, mi smo već proučavali arksin, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1)Ako je |a|≤ 1, tada jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednačine: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Rješenje:

A) Ovaj put idemo direktno na izračunavanje korijena jednadžbe odmah:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Kod k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udaramo ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliki k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Pogledali smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, ali postoje i složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo metodu uvođenja nove varijable koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobijamo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednačina će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednačine oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelite je sa cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobijamo kontradikciju, tako da možemo sigurno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 na x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a=0 onda će naša jednadžba dobiti oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti obje strane jednadžbe sa kosinusom na kvadrat, dobićemo:

Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobijamo jednačinu:

Riješi primjer br.:3

Riješite jednačinu:
Rješenje:

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer br.:4

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer br.:5

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Hajde da uvedemo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednačinu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: krevetac 2 (x) + 2 krevetac (x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Koncept rješavanja trigonometrijskih jednačina.

• Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednačine.

Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.

• Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednačina uključuje gledanje različitih x pozicija na jediničnom krugu, kao i korištenje tablice za konverziju (ili kalkulatora).
• Primjer 1. sin x = 0,866. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, što znači da se njihove vrijednosti ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Stoga je odgovor napisan ovako:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Primjer 2. cos x = -1/2. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odgovor: x = π/4 + πn.
• Primjer 4. ctg 2x = 1,732.
• Odgovor: x = π/12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

• Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koristite algebarske transformacije(faktorizacija, redukcija homogeni članovi itd.) i trigonometrijski identiteti.
• Primjer 5: Koristeći trigonometrijske identitete, jednačina sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se pretvara u jednačinu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednačine treba riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Pronalaženje uglova po poznate vrednosti funkcije.

  • Prije nego naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći uglove koristeći poznate vrijednosti funkcije. To se može učiniti pomoću tablice konverzije ili kalkulatora.
  • Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stepeni. Jedinični krug će dati dodatne uglove, čiji je kosinus također 0,732.

• Ostavite rješenje na jediničnom krugu.

  • Možete nacrtati rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog poligona.
  • Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove kvadrata.
  • Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove pravilnog šestougla.

• Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.

  • Ako data trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite je kao osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Ako data jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (u zavisnosti od mogućnosti njene transformacije).
    • Metoda 1.
  • Transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednačine.
  • Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Rješenje. Koristeći formulu dvostrukog ugla sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijenite sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
  • Primjer 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
  • Primjer 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Pretvorite datu trigonometrijsku jednačinu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
  • Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Rješenje. U ovoj jednačini zamijenite (cos^2 x) sa (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformirana jednačina je:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x sa t. Sada jednačina izgleda ovako: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba koja ima dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Rješenje. Zamijenite tg x sa t. Prepišite originalnu jednačinu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tan x.

• Specijalne trigonometrijske jednadžbe.

  • Postoji nekoliko posebnih trigonometrijskih jednačina koje zahtijevaju specifične transformacije. primjeri:
  • a*sin x+ b*cos x = c; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

  • Kao što je ranije spomenuto, sve trigonometrijske funkcije su periodične, što znači da se njihove vrijednosti ponavljaju nakon određenog perioda. primjeri:
    • Period funkcije f(x) = sin x je 2π.
    • Period funkcije f(x) = tan x je jednak π.
    • Period funkcije f(x) = sin 2x jednak je π.
    • Period funkcije f(x) = cos (x/2) je 4π.
  • Ako je u problemu naveden period, izračunajte vrijednost "x" unutar tog perioda.
  • Napomena: Rješavanje trigonometrijskih jednačina nije lak zadatak i često dovodi do grešaka. Stoga pažljivo provjerite svoje odgovore. Da biste to učinili, možete koristiti grafički kalkulator da nacrtate datu jednačinu R(x) = 0. U takvim slučajevima, rješenja će biti predstavljena kao decimale(to jest, π se zamjenjuje sa 3.14).

klasa: 10

“Jednačine će trajati zauvijek.”

A. Einstein

Ciljevi lekcije:

• Obrazovni:
  • produbljivanje razumijevanja metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina;
  • razviti vještine razlikovanja i pravilnog odabira metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
• Obrazovni:
  • njegovanje kognitivnog interesa za obrazovni proces;
  • razvijanje sposobnosti analize zadatog zadatka;
  • doprinose poboljšanju psihološke klime u učionici.
• Razvojni:
  • podsticati razvoj vještine samostalnog sticanja znanja;
  • promovirati sposobnost učenika da argumentiraju svoje gledište;

Oprema: poster sa osnovnim trigonometrijskim formulama, kompjuter, projektor, platno.

1 lekcija

I. Ažuriranje referentnog znanja

Usmeno rješavajte jednadžbe:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; do Z.

II. Učenje novog gradiva

– Danas ćemo pogledati složenije trigonometrijske jednačine. Pogledajmo 10 načina da ih riješimo. Sljedeće će biti dvije lekcije za konsolidaciju, a za sljedeću lekciju će biti test. Na štandu „Za lekciju“ postavljeni su zadaci koji su slični onima koji će biti na testu, koje morate riješiti prije testa. (Dan prije testa, postaviti rješenja ovih zadataka na štand).

Dakle, pređimo na razmatranje načina rješavanja trigonometrijskih jednačina. Neke od ovih metoda će vam se vjerovatno učiniti teškim, dok će vam se druge činiti lake, jer... Već znate neke tehnike za rješavanje jednačina.

Četiri učenika u razredu su dobili individualni zadatak: razumjeti i pokazati vam 4 načina rješavanja trigonometrijskih jednačina.

(Učenici koji govore unaprijed su pripremili slajdove. Ostatak razreda zapisuje glavne korake za rješavanje jednačina u svesku.)

1 učenik: 1 način. Rješavanje jednadžbi faktoringom

sin 4x = 3 cos 2x

Za rješavanje jednačine koristimo sinusnu formulu dvostrukog ugla sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Proizvod ovih faktora jednak je nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

2x = + k, k Z ili sin 2x = 1,5 – nema rješenja, jer | sin| 1
x = + k; do Z.
Odgovor: x = + k, k Z.

2 student. Metoda 2. Rješavanje jednadžbi pretvaranjem sume ili razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Za rješavanje jednačine koristimo formulu sin– sin = 2 sin sos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

sos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna skupu od dvije jednačine:

Skup rješenja druge jednačine u potpunosti je uključen u skup rješenja prve jednačine. Sredstva

odgovor:

3 student. 3 way. Rješavanje jednadžbi pretvaranjem proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Za rješavanje jednadžbe koristimo formulu

odgovor:

4 student. 4 way. Rješavanje jednadžbi koje se svode na kvadratne jednadžbe

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Neka je sin x = t, gdje je | t |. Dobijamo kvadratnu jednačinu 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

Tako . ne zadovoljava uslov | t |.

Dakle sin x = . Zbog toga .

odgovor:

III. Konsolidacija naučenog iz udžbenika A. N. Kolmogorova

1. br. 164 (a), 167 (a) (kvadratna jednačina)
2. br. 168 (a) (faktorizacija)
3. br. 174 (a) (pretvaranje sume u proizvod)
4. (pretvoriti proizvod u zbroj)

(Na kraju lekcije pokažite rješenje ovih jednačina na ekranu radi provjere)

№ 164 (A)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Neka je sin x = t, | t | 1. Onda
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Gdje

Odgovor: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Neka je tg x = 1, tada dobijamo jednačinu 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

odgovor:

№ 168 (A)

odgovor:

№ 174 (A)

Riješite jednačinu:

odgovor:

Lekcija 2 (lekcija-predavanje)

IV. Učenje novog gradiva(nastavak)

– Dakle, nastavimo proučavati načine rješavanja trigonometrijskih jednačina.

5 način. Rješavanje homogenih trigonometrijskih jednačina

Jednačine oblika a sin x + b cos x = 0, gdje su a i b neki brojevi, nazivaju se homogene jednadžbe prvog stepena u odnosu na sin x ili cos x.

Razmotrite jednačinu

sin x – cos x = 0. Podijelimo obje strane jednačine sa cos x. To se može učiniti; gubitak korijena neće doći, jer , Ako cos x = 0, To sin x = 0. Ali to je u suprotnosti sa osnovnim trigonometrijskim identitetom grijeh 2 x+cos 2 x = 1.

Dobijamo tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Jednačine oblika kao u 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Gdje a, b, c – neki brojevi se nazivaju homogene jednačine drugog stepena u odnosu na sin x ili cos x.

Razmotrite jednačinu

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Podijelimo obje strane jednačine sa cos x, i korijen se neće izgubiti, jer cos x = 0 nije korijen ove jednadžbe.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Neka je tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

Tada je tg x = 2 ili tg x = 1.

Kao rezultat, x = arktan 2 + , x =

Odgovor: arctg 2 + ,

Razmotrimo još jednu jednačinu: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Transformirajmo desnu stranu jednačine u obliku 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Tada dobijamo:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Dobili smo 2. jednačinu koju smo već analizirali).

Odgovor: arktan 2 + k,

6 način. Rješavanje linearnih trigonometrijskih jednačina

Linearna trigonometrijska jednačina je jednačina oblika a sin x + b cos x = c, gdje su a, b, c neki brojevi.

Razmotrite jednačinu sin x + cos x= – 1.
Prepišimo jednačinu kao:

S obzirom na to i, dobijamo:

odgovor:

7 način. Uvođenje dodatnog argumenta

Izraz a cos x + b sin x može se pretvoriti:

(već smo koristili ovu transformaciju kada smo pojednostavljivali trigonometrijske izraze)

Hajde da uvedemo dodatni argument - ugao je takav da

Onda

Razmotrimo jednačinu: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Zadaća: br. 164 -170 (c, d).

U ovoj lekciji ćemo pogledati osnovne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi, kao i lista osnovne vrste trigonometrijskih jednačina i sistema. Osim toga, ukazujemo opća rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi i njihovi posebni slučajevi.

Ova lekcija će vam pomoći da se pripremite za jednu od vrsta zadataka B5 i C1.

Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike

Eksperimentiraj

Lekcija 10. Trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske jednadžbe i njihovi sistemi.

Teorija

Sažetak lekcije

Već smo mnogo puta koristili termin "trigonometrijska funkcija". Još u prvoj lekciji ove teme identifikovali smo ih pomoću pravougaonog trougla i jedinični trigonometrijski krug. Koristeći ove metode specificiranja trigonometrijskih funkcija, već možemo zaključiti da za njih jedna vrijednost argumenta (ili ugla) odgovara tačno jednoj vrijednosti funkcije, tj. imamo pravo zvati sinusne, kosinusne, tangentne i kotangensne funkcije.

U ovoj lekciji, vrijeme je da pokušamo apstrahirati od prethodno razmatranih metoda izračunavanja vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Danas ćemo prijeći na uobičajeni algebarski pristup radu s funkcijama, pogledat ćemo njihova svojstva i prikazati grafove.

Što se tiče svojstava trigonometrijskih funkcija, posebnu pažnju treba obratiti na:

Domen definicije i raspon vrijednosti, jer za sinus i kosinus postoje ograničenja na raspon vrijednosti, a za tangentu i kotangens postoje ograničenja na opseg definicije;

Periodičnost svih trigonometrijskih funkcija, jer Već smo primijetili prisustvo najmanjeg argumenta različitog od nule, čije dodavanje ne mijenja vrijednost funkcije. Ovaj argument se naziva periodom funkcije i označava se slovom . Za sinus/kosinus i tangent/kotangens ovi periodi su različiti.

Razmotrite funkciju:

1) Obim definicije;

2) Raspon vrijednosti ;

3) Funkcija je neparna ;

Napravimo graf funkcije. U ovom slučaju, zgodno je započeti konstrukciju sa slikom područja koje ograničava graf odozgo s brojem 1, a dolje s brojem, koji je povezan s rasponom vrijednosti funkcije. Osim toga, za konstrukciju je korisno zapamtiti vrijednosti sinusa nekoliko glavnih uglova tablice, na primjer, da će vam to omogućiti da izgradite prvi puni "val" grafa, a zatim ga ponovo nacrtate udesno i lijevo, koristeći činjenicu da će se slika ponoviti sa pomakom za tačku, tj. na .

Pogledajmo sada funkciju:

Glavna svojstva ove funkcije:

1) Obim definicije;

2) Raspon vrijednosti ;

3) Ravnomjerna funkcija Ovo implicira da je graf funkcije simetričan u odnosu na ordinatu;

4) Funkcija nije monotona u cijelom svom domenu definicije;

Napravimo graf funkcije. Kao i kod konstruisanja sinusa, zgodno je započeti sa slikom područja koje ograničava graf na vrhu brojem 1, a na dnu brojem, koji je povezan s rasponom vrijednosti funkcije. Na grafikonu ćemo također iscrtati koordinate nekoliko tačaka, za koje moramo zapamtiti vrijednosti kosinusa nekoliko uglova glavne tablice, na primjer, da uz pomoć ovih tačaka možemo izgraditi prvi puni „val ” grafikona, a zatim ga precrtajte udesno i ulijevo, koristeći činjenicu da će se slika ponavljati sa pomakom tačke, tj. na .

Pređimo na funkciju:

Glavna svojstva ove funkcije:

1) Domena osim , gdje je . Već smo u prethodnim lekcijama ukazivali da ne postoji. Ova izjava se može generalizirati razmatranjem tangentnog perioda;

2) Raspon vrijednosti, tj. tangentne vrijednosti nisu ograničene;

3) Funkcija je neparna ;

4) Funkcija monotono raste unutar svojih takozvanih tangentnih grana, što ćemo sada vidjeti na slici;

5) Funkcija je periodična s tačkom

Napravimo graf funkcije. U ovom slučaju, zgodno je započeti konstrukciju prikazivanjem vertikalnih asimptota grafa u tačkama koje nisu uključene u domenu definicije, tj. itd. Zatim prikazujemo grane tangente unutar svake od traka koje formiraju asimptote, pritiskajući ih na lijevu asimptotu i na desnu. Istovremeno, ne zaboravite da se svaka grana monotono povećava. Sve grane prikazujemo na isti način, jer funkcija ima period jednak . To se može vidjeti iz činjenice da se svaka grana dobiva pomicanjem susjedne duž ose apscise.

I završavamo s osvrtom na funkciju:

Glavna svojstva ove funkcije:

1) Domena osim , gdje je . Iz tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija već znamo da ona ne postoji. Ova izjava se može generalizirati razmatranjem kotangensnog perioda;

2) Raspon vrijednosti, tj. kotangens vrijednosti nisu ograničene;

3) Funkcija je neparna ;

4) Funkcija monotono opada unutar svojih grana, koje su slične tangentnim granama;

5) Funkcija je periodična s tačkom

Napravimo graf funkcije. U ovom slučaju, što se tiče tangente, zgodno je započeti konstrukciju prikazivanjem vertikalnih asimptota grafa u tačkama koje nisu uključene u područje definicije, tj. itd. Zatim prikazujemo grane kotangensa unutar svake od pruga koje formiraju asimptote, pritiskajući ih na lijevu asimptotu i na desnu. U ovom slučaju uzimamo u obzir da se svaka grana monotono smanjuje. Sve grane prikazujemo slično tangenti na isti način, jer funkcija ima period jednak .

Odvojeno, treba napomenuti da trigonometrijske funkcije sa složenim argumentima mogu imati nestandardni period. Govorimo o funkcijama oblika:

Njihov period je jednak. I o funkcijama:

Njihov period je jednak.

Kao što vidite, da biste izračunali novi period, standardni period se jednostavno podijeli sa faktorom u argumentu. Ne ovisi o drugim modifikacijama funkcije.

Možete detaljnije razumjeti i razumjeti odakle ove formule dolaze u lekciji o konstrukciji i transformaciji grafova funkcija.

Došli smo do jednog od najvažnijih dijelova teme „Trigonometrija“ koji ćemo posvetiti rješavanju trigonometrijskih jednačina. Sposobnost rješavanja takvih jednačina važna je, na primjer, kada se opisuju oscilatorni procesi u fizici. Zamislimo da ste odvezli nekoliko krugova u kartingu u sportskom automobilu; rješavanje trigonometrijske jednadžbe pomoći će vam da odredite koliko dugo ste bili u utrci ovisno o položaju automobila na stazi.

Napišimo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu:

Rješenje takve jednačine su argumenti čiji je sinus jednak . Ali već znamo da zbog periodičnosti sinusa postoji beskonačan broj takvih argumenata. Dakle, rješenje ove jednačine će biti itd. Isto vrijedi i za rješavanje bilo koje druge jednostavne trigonometrijske jednadžbe; bit će ih beskonačan broj.

Trigonometrijske jednadžbe su podijeljene u nekoliko glavnih tipova. Odvojeno, treba se zadržati na najjednostavnijim, jer sve ostalo se svodi na njih. Postoje četiri takve jednačine (prema broju osnovnih trigonometrijskih funkcija). Za njih su poznata opšta rješenja, moraju se zapamtiti.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe i njihova opća rješenja izgleda ovako:

Imajte na umu da vrijednosti sinusa i kosinusa moraju uzeti u obzir ograničenja koja su nam poznata. Ako, na primjer, jednadžba nema rješenja i navedena formula se ne bi trebala primjenjivati.

Osim toga, navedene korijenske formule sadrže parametar u obliku proizvoljnog cijelog broja. IN školski program Ovo je jedini slučaj kada rješenje jednadžbe bez parametra sadrži parametar. Ovaj proizvoljni cijeli broj pokazuje da je moguće zapisati beskonačan broj korijena bilo koje od gornjih jednačina jednostavnom zamjenom svih cijelih brojeva redom.

Sa detaljnim izvođenjem ovih formula možete se upoznati ponavljanjem poglavlja „Trigonometrijske jednačine“ u programu algebre 10. razreda.

Odvojeno, potrebno je obratiti pažnju na rješavanje posebnih slučajeva najjednostavnijih jednadžbi sa sinusom i kosinusom. Ove jednačine izgledaju ovako:

Formule za pronalaženje općih rješenja ne bi trebalo primjenjivati ​​na njih. Takve jednadžbe se najpogodnije rješavaju pomoću trigonometrijskog kruga, što daje jednostavniji rezultat od općih formula rješenja.

Na primjer, rješenje jednadžbe je . Pokušajte sami dobiti ovaj odgovor i riješiti preostale navedene jednadžbe.

Pored navedene najčešće vrste trigonometrijskih jednadžbi, postoji još nekoliko standardnih. Navodimo ih uzimajući u obzir one koje smo već naveli:

1) Protozoa, Na primjer, ;

2) Posebni slučajevi najjednostavnijih jednačina, Na primjer, ;

3) Jednačine sa složenim argumentom, Na primjer, ;

4) Jednačine su svedene na najjednostavnije uklanjanjem zajedničkog faktora, Na primjer, ;

5) Jednadžbe svedene na najjednostavnije transformacijom trigonometrijskih funkcija, Na primjer, ;

6) Jednačine svedene na najjednostavnije supstitucijom, Na primjer, ;

7) Homogene jednadžbe, Na primjer, ;

8) Jednačine koje se mogu riješiti korištenjem svojstava funkcija, Na primjer, . Nemojte biti uznemireni činjenicom da postoje dvije varijable u ovoj jednadžbi; ona se sama rješava;

Kao i jednadžbe koje se rješavaju raznim metodama.

Osim rješavanja trigonometrijskih jednačina, morate biti u stanju riješiti njihove sisteme.

Najčešći tipovi sistema su:

1) U kojoj je jedna od jednačina snaga, Na primjer, ;

2) Sistemi jednostavnih trigonometrijskih jednačina, Na primjer, .

U današnjoj lekciji pogledali smo osnovne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafikone. I mi smo se upoznali opšte formule rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina, ukazala na glavne vrste takvih jednačina i njihove sisteme.

U praktičnom delu lekcije ispitaćemo metode rešavanja trigonometrijskih jednačina i njihovih sistema.

Kutija 1.Rješavanje posebnih slučajeva najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Kao što smo već rekli u glavnom dijelu lekcije, posebni slučajevi trigonometrijskih jednadžbi sa sinusom i kosinusom oblika:

imaju jednostavnija rješenja od onih danih općim formulama rješenja.

Za to se koristi trigonometrijski krug. Analizirajmo način njihovog rješavanja na primjeru jednadžbe.

Oslikajmo na trigonometrijskom krugu tačku u kojoj je vrijednost kosinusa nula, što je ujedno i koordinata duž ose apscise. Kao što vidite, postoje dvije takve tačke. Naš zadatak je da ukažemo čemu je jednak ugao koji odgovara ovim tačkama na kružnici.

Počinjemo računati od pozitivnog smjera ose apscise (kosinusne osi) i pri postavljanju ugla dolazimo do prve prikazane tačke, tj. jedno rješenje bi bila ova vrijednost ugla. Ali i dalje smo zadovoljni uglom koji odgovara drugoj tački. Kako ući u to?