Koja se formula koristi za izračunavanje projekcije pomaka tijela pri ravnomjerno ubrzanom pravolinijskom kretanju? Sabiranje vektora okomitih jedan na drugi

Strana 8 od 12

§ 7. Kretanje pod ravnomjernim ubrzanjem
pravo kretanje

1. Koristeći grafik brzine u odnosu na vrijeme, možete dobiti formulu za pomicanje tijela tokom ravnomjernog pravolinijskog kretanja.

Slika 30 prikazuje grafik projekcije brzine ravnomerno kretanje po osi X od vremena. Ako vratimo okomicu na vremensku osu u nekoj tački C, tada dobijamo pravougaonik OABC. Površina ovog pravokutnika jednaka je proizvodu stranica O.A. I O.C.. Ali dužina strane O.A. jednak v x, i dužina strane O.C. - t, odavde S = v x t. Proizvod projekcije brzine na osu X a vrijeme je jednako projekciji pomaka, tj. s x = v x t.

dakle, projekcija pomaka pri ravnomjernom pravolinijskom kretanju brojčano je jednaka površini pravokutnika omeđenog koordinatnim osa, grafom brzine i okomitom na vremensku os.

2. Na sličan način dobijamo formulu za projekciju pomaka za pravolinijski ravnomerno ubrzano kretanje. Da bismo to učinili, koristit ćemo graf projekcije brzine na os X s vremena na vreme (Sl. 31). Odaberimo malo područje na grafikonu ab i ispusti okomice iz tačaka a I b na vremenskoj osi. Ako je vremenski interval D t, koji odgovara sajtu CD na vremenskoj osi mala, onda možemo pretpostaviti da se brzina ne menja u tom vremenskom periodu i da se telo kreće jednoliko. U ovom slučaju figura cabd malo se razlikuje od pravokutnika i njegova površina je brojčano jednaka projekciji kretanja tijela tokom vremena koje odgovara segmentu CD.

Cijela figura se može podijeliti na takve trake OABC, a njegova površina će biti jednaka zbroju površina svih traka. Dakle, projekcija kretanja tijela kroz vrijeme t brojčano jednak površini trapeza OABC. Iz kursa geometrije znate da je površina trapeza jednaka umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine: S= (O.A. + B.C.)O.C..

Kao što se može videti sa slike 31, O.A. = v 0x , B.C. = v x, O.C. = t. Iz toga slijedi da je projekcija pomaka izražena formulom: s x= (v x + v 0x)t.

Kod ravnomjerno ubrzanog pravolinijskog kretanja, brzina tijela u svakom trenutku je jednaka v x = v 0x + a x t, dakle, s x = (2v 0x + a x t)t.

Odavde:

Da bismo dobili jednačinu gibanja tijela, zamjenjujemo njegov izraz u smislu razlike u koordinatama u formulu projekcije pomaka s x = x – x 0 .

Dobijamo: x – x 0 = v 0x t+ , ili

x = x 0 + v 0x t + .

Koristeći jednadžbu kretanja, možete odrediti koordinate tijela u bilo kojem trenutku ako su poznate početne koordinate, početna brzina i ubrzanje tijela.

3. U praksi se često javljaju problemi u kojima je potrebno pronaći pomak tijela pri ravnomjerno ubrzanom pravolinijskom kretanju, ali je vrijeme kretanja nepoznato. U tim slučajevima se koristi drugačija formula za projekciju pomaka. Hajde da ga uzmemo.

Iz formule za projekciju brzine ravnomjerno ubrzanog pravolinijskog kretanja v x = v 0x + a x t Izrazimo vrijeme:

t = .

Zamjenom ovog izraza u formulu projekcije pomaka dobijamo:

s x = v 0x + .

Odavde:

s x = , ili
–= 2a x s x.

Ako je početna brzina tijela nula, tada:

2a x s x.

4. Primjer rješenja problema

Skijaš klizi niz planinsku padinu iz stanja mirovanja sa ubrzanjem od 0,5 m/s 2 za 20 s, a zatim se kreće po horizontalnoj dionici, prešavši 40 m do zaustavljanja.Kojim ubrzanjem se skijaš kretao po horizontali površina? Kolika je dužina planinske padine?

Dato:

Rješenje

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

Kretanje skijaša se sastoji od dvije etape: u prvoj fazi, spuštajući se sa planinske padine, skijaš se kreće sve većom brzinom; u drugoj fazi, kada se kreće po horizontalnoj površini, njegova brzina se smanjuje. Vrijednosti koje se odnose na prvu fazu kretanja zapisujemo indeksom 1, a one vezane za drugu fazu indeksom 2.

a 2?

s 1?

Povezujemo referentni sistem sa Zemljom, osovinom X usmjerimo skijaša u smjeru brzine u svakoj fazi njegovog kretanja (Sl. 32).

Napišimo jednačinu za brzinu skijaša na kraju spusta sa planine:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

U projekcijama na osu X dobijamo: v 1x = a 1x t. Budući da su projekcije brzine i ubrzanja na os X su pozitivni, modul brzine skijaša je jednak: v 1 = a 1 t 1 .

Napišimo jednačinu koja povezuje projekcije brzine, ubrzanja i pomaka skijaša u drugoj fazi kretanja:

–= 2a 2x s 2x .

S obzirom da je početna brzina skijaša u ovoj fazi kretanja jednaka njegovoj konačnoj brzini u prvoj etapi

v 02 = v 1 , v 2x= 0 dobijamo

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Odavde a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2 .

Modul kretanja skijaša u prvoj fazi kretanja jednak je dužini planinske padine. Napišimo jednačinu za pomak:

s 1x = v 01x t + .

Otuda je dužina planinske padine s 1 = ;

s 1 == 100 m.

odgovor: a 2 = 0,125 m/s 2 ; s 1 = 100 m.

Pitanja za samotestiranje

1. Kao na grafu projekcije brzine ravnomjernog pravolinijskog kretanja na osu X

2. Kao na grafu projekcije brzine jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja na osu X odrediti projekciju kretanja tijela s vremena na vrijeme?

3. Koja se formula koristi za izračunavanje projekcije pomaka tijela pri ravnomjerno ubrzanom pravolinijskom kretanju?

4. Koja se formula koristi za izračunavanje projekcije pomaka tijela koje se kreće jednoliko ubrzano i pravolinijsko ako je početna brzina tijela nula?

Zadatak 7

1. Koliki je modul kretanja automobila za 2 minute, ako se za to vrijeme njegova brzina promijenila sa 0 na 72 km/h? Koja je koordinata automobila u ovom trenutku t= 2 min? Početna koordinata se smatra jednakom nuli.

2. Voz se kreće početnom brzinom od 36 km/h i ubrzanjem od 0,5 m/s 2 . Koliki je pomak voza za 20 s i njegova koordinata u trenutku? t= 20 s ako je početna koordinata vlaka 20 m?

3. Koliki je pomak bicikliste za 5 s nakon početka kočenja, ako je njegova početna brzina pri kočenju 10 m/s, a ubrzanje 1,2 m/s 2? Koja je koordinata bicikliste u ovom trenutku? t= 5 s, ako je u početnom trenutku bilo u početku?

4. Automobil koji se kreće brzinom od 54 km/h zaustavlja se pri kočenju 15 s. Koliki je modul kretanja automobila pri kočenju?

5. Dva automobila se kreću jedan prema drugom iz dva naselja koja se nalaze na udaljenosti od 2 km jedno od drugog. Početna brzina jednog automobila je 10 m/s, a ubrzanje je 0,2 m/s 2 , početna brzina drugog je 15 m/s, a ubrzanje je 0,2 m/s 2 . Odredite vrijeme i koordinate mjesta susreta automobila.

Laboratorijski rad br.1

Proučavanje ravnomjerno ubrzanih
pravolinijsko kretanje

Cilj rada:

naučiti mjeriti ubrzanje tokom ravnomjerno ubrzanog linearnog kretanja; eksperimentalno utvrditi omjer puteva koje tijelo pređe tokom ravnomjerno ubrzanog pravolinijskog kretanja u uzastopnim jednakim vremenskim intervalima.

Uređaji i materijali:

rov, tronožac, metalna kugla, štoperica, mjerna traka, metalni cilindar.

Radni nalog

1. Učvrstite jedan kraj žlijeba u nozi stativa tako da bude pod blagim uglom sa površinom stola. Na drugi kraj žlijeba postavite metalni cilindar u njega.

2. Izmjerite putanje koje je lopta prešla u 3 uzastopna vremenska perioda jednaka po 1 s. To se može učiniti na različite načine. Na žlijeb možete staviti oznake kredom koje bilježe položaj loptice u trenucima jednakim 1 s, 2 s, 3 s i mjeriti udaljenosti s_ između ovih oznaka. Možete, svaki put puštajući loptu sa iste visine, izmjeriti putanju s, koju je prešao prvo za 1 s, zatim za 2 s i za 3 s, a zatim izračunajte putanju koju je lopta prešla u drugoj i trećoj sekundi. Zapišite rezultate mjerenja u tablicu 1.

3. Nađite omjer puta pređenog u drugoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi, i puta pređenog u trećoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi. Izvucite zaključak.

4. Izmjerite vrijeme kretanja lopte duž žlijeba i udaljenost koju pređe. Izračunajte ubrzanje njegovog kretanja koristeći formulu s = .

5. Koristeći eksperimentalno dobijenu vrijednost ubrzanja, izračunajte udaljenosti koje lopta mora preći u prvoj, drugoj i trećoj sekundi svog kretanja. Izvucite zaključak.

Tabela 1

Iskustvo br.

Eksperimentalni podaci

Teorijski rezultati

Vrijeme t , With

Way s , cm

Vrijeme t , With

Put

s, cm

Ubrzanje a, cm/s2

Vrijemet, With

Way s , cm

Brzina (v) je fizička veličina, numerički jednaka putu (s) koji tijelo pređe u jedinici vremena (t).

Put

Put (S) - dužina putanje duž koje se tijelo kretalo, numerički je jednaka proizvodu brzine (v) tijela i vremena (t) kretanja.

Vrijeme vožnje

Vrijeme kretanja (t) jednako je omjeru udaljenosti (S) koju tijelo pređe prema brzini (v) kretanja.

prosječna brzina

Prosječna brzina (vsr) jednaka je omjeru zbira dionica puta (s 1 s 2, s 3, ...) koje je tijelo prešlo do vremenskog perioda (t 1 + t 2 + t 3 + . ..) tokom koje je ovaj put pređen .

prosječna brzina- ovo je odnos dužine puta koji je prešlo tijelo i vremena za koje je ovaj put prešao.

prosječna brzina za neravnomjerno kretanje u pravoj liniji: ovo je omjer cijele putanje prema cijelom vremenu.

Dvije uzastopne faze pri različitim brzinama: gdje

Prilikom rješavanja problema - koliko će faza kretanja biti toliko komponenti:

Projekcije vektora pomaka na koordinatne ose

Projekcija vektora pomaka na osu OX:

Projekcija vektora pomaka na osu OY:

Projekcija vektora na osu je nula ako je vektor okomit na osu.

Znakovi projekcija pomaka: projekcija se smatra pozitivnom ako se kretanje od projekcije početka vektora do projekcije kraja odvija u smjeru ose, a negativnom ako se prema osi. U ovom primjeru

Modul pokreta je dužina vektora pomaka:

Prema Pitagorinoj teoremi:

Projekcije pokreta i ugao nagiba

u ovom primjeru:

Koordinatna jednačina (u opštem obliku):

Radijus vektor- vektor čiji se početak poklapa sa početkom koordinata, a kraj sa položajem tijela u datom trenutku. Projekcije radijus vektora na koordinatne ose određuju koordinate tijela u datom trenutku.

Radijus vektor vam omogućava da odredite položaj materijalne tačke u datoj referentni sistem:

Ravnomjerno linearno kretanje - definicija

Ujednačeno linearno kretanje- kretanje u kojem tijelo čini jednake pokrete u bilo kojem jednakom vremenskom periodu.

Brzina tokom ravnomjernog linearnog kretanja. Brzina je vektorska fizička veličina koja pokazuje koliko kretanje tijelo napravi u jedinici vremena.

U vektorskom obliku:

U projekcijama na osu OX:

Dodatne jedinice brzine:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/min =1 m/60 s.

Mjerni uređaj - brzinomjer - pokazuje modul brzine.

Predznak projekcije brzine ovisi o smjeru vektora brzine i koordinatne osi:

Grafikon projekcije brzine predstavlja zavisnost projekcije brzine od vremena:

Grafikon brzine za ravnomjerno linearno kretanje- prava paralelna sa vremenskom osom (1, 2, 3).

Ako graf leži iznad vremenske ose (.1), tada se tijelo kreće u smjeru ose OX. Ako se graf nalazi ispod vremenske ose, tada se tijelo pomiče prema OX osi (2, 3).

Geometrijsko značenje kretanja.

Kod ravnomjernog linearnog kretanja, pomak se određuje formulom. Isti rezultat dobivamo ako izračunamo površinu figure ispod grafa brzine u osi. To znači da je za određivanje putanje i modula pomaka tokom linearnog kretanja potrebno izračunati površinu figure ispod grafa brzine u osama:

Grafikon projekcije pomaka- zavisnost projekcije pomaka o vremenu.

Grafikon projekcije pomaka na ravnomerno pravolinijsko kretanje- prava linija koja dolazi od početka koordinata (1, 2, 3).

Ako pravac (1) leži iznad vremenske ose, tada se tijelo kreće u smjeru ose OX, a ako je ispod ose (2, 3), onda u odnosu na os OX.

Što je veća tangenta nagiba (1) grafika, veći je modul brzine.

Koordinate grafikona- zavisnost koordinata tijela od vremena:

Grafikon koordinata za ravnomjerno pravolinijsko kretanje - prave (1, 2, 3).

Ako se koordinata povećava tokom vremena (1, 2), tada se tijelo kreće u smjeru ose OX; ako se koordinata smanji (3), tada se tijelo kreće protiv smjera ose OX.

Što je veći tangent ugla nagiba (1), veći je modul brzine.

Ako se koordinatni grafovi dvaju tijela sijeku, onda iz točke sjecišta okomice treba spustiti na vremensku osu i koordinatnu osu.

Relativnost mehaničkog kretanja

Pod relativnošću razumijemo zavisnost nečega od izbora referentnog okvira. Na primjer, mir je relativan; kretanje je relativno, a položaj tela relativan.

Pravilo za dodavanje pomaka. Vektorski zbir pomaka

gdje je kretanje tijela u odnosu na pokretni referentni okvir (MSF); - kretanje PSO u odnosu na fiksni referentni sistem (FRS); - kretanje tijela u odnosu na fiksni referentni okvir (FFR).

Vektorski dodatak:

Sabiranje vektora usmjerenih duž jedne prave linije:

Sabiranje vektora okomitih jedan na drugi

Prema Pitagorinoj teoremi

Izvedemo formulu pomoću koje možete izračunati projekciju vektora pomaka tijela koje se kreće pravolinijski i jednoliko ubrzano za bilo koji vremenski period. Da bismo to učinili, okrenimo se slici 14. I na slici 14, a i na slici 14, b, segment AC je grafik projekcije vektora brzine tijela koje se kreće konstantnim ubrzanjem a (početnom brzinom v 0).

Rice. 14. Projekcija vektora pomaka tijela koje se kreće pravolinijski i jednoliko ubrzano numerički je jednaka površini S ispod grafika

Podsjetimo da je u slučaju pravolinijskog ravnomjernog gibanja tijela, projekcija vektora pomaka koju napravi ovo tijelo određena je istom formulom kao i površina pravokutnika zatvorenog ispod grafika projekcije vektora brzine (vidi sliku 6). Stoga je projekcija vektora pomaka numerički jednaka površini ovog pravokutnika.

Dokažimo da se u slučaju pravolinijskog ravnomjerno ubrzanog kretanja, projekcija vektora pomaka s x može odrediti istom formulom kao i površina figure zatvorene između grafa AC, Ot ose i segmenata OA i BC , tj. kao u ovom slučaju, projekcija vektora pomaka je numerički jednaka površini figure ispod grafa brzine. Da bismo to učinili, na Ot osi (vidi sliku 14, a) biramo mali vremenski period db. Iz tačaka d i b povlačimo okomice na Ot os dok se ne ukrste sa grafikom projekcije vektora brzine u tačkama a i c.

Dakle, tokom vremenskog perioda koji odgovara segmentu db, brzina tijela se mijenja od v ax do v cx.

U prilično kratkom vremenskom periodu, projekcija vektora brzine se vrlo malo mijenja. Stoga se kretanje tijela u tom vremenskom periodu malo razlikuje od ravnomjernog kretanja, odnosno od kretanja konstantnom brzinom.

Cijelo područje figure OASV, koja je trapez, može se podijeliti na takve trake. Prema tome, projekcija vektora pomaka sx za vremenski period koji odgovara segmentu OB numerički je jednaka površini S trapeza OASV i određena je istom formulom kao i ova površina.

Prema pravilu datom u školski kursevi geometrije, površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih baza i visine. Sa slike 14, b je jasno da su osnovice trapeza OASV odsjeci OA = v 0x i BC = v x, a visina odsječak OB = t. dakle,

Pošto je v x = v 0x + a x t, a S = s x, možemo napisati:

Tako smo dobili formulu za izračunavanje projekcije vektora pomaka pri jednoliko ubrzanom kretanju.

Po istoj formuli izračunava se i projekcija vektora pomaka kada se tijelo kreće opadajućom brzinom, samo će u tom slučaju vektori brzine i ubrzanja biti usmjereni u suprotnim smjerovima, pa će njihove projekcije imati različite predznake.

Pitanja

Pomoću slike 14, a dokazati da je projekcija vektora pomaka pri jednoliko ubrzanom kretanju brojčano jednaka površini figure OASV.
Zapišite jednačinu za određivanje projekcije vektora pomaka tijela za vrijeme njegovog pravolinijskog jednoliko ubrzanog kretanja.

Vježba 7

Strana 8 od 12

§ 7. Kretanje pod ravnomjernim ubrzanjem
pravo kretanje

1. Koristeći grafik brzine u odnosu na vrijeme, možete dobiti formulu za pomicanje tijela tokom ravnomjernog pravolinijskog kretanja.

Na slici 30 prikazan je grafik projekcije brzine ravnomjernog kretanja na osu X od vremena. Ako vratimo okomicu na vremensku osu u nekoj tački C, tada dobijamo pravougaonik OABC. Površina ovog pravokutnika jednaka je proizvodu stranica O.A. I O.C.. Ali dužina strane O.A. jednak v x, i dužina strane O.C. - t, odavde S = v x t. Proizvod projekcije brzine na osu X a vrijeme je jednako projekciji pomaka, tj. s x = v x t.

dakle, projekcija pomaka pri ravnomjernom pravolinijskom kretanju brojčano je jednaka površini pravokutnika omeđenog koordinatnim osa, grafom brzine i okomitom na vremensku os.

2. Na sličan način dobijamo formulu za projekciju pomaka pri pravolinijskom jednoliko ubrzanom kretanju. Da bismo to učinili, koristit ćemo graf projekcije brzine na os X s vremena na vreme (Sl. 31). Odaberimo malo područje na grafikonu ab i ispusti okomice iz tačaka a I b na vremenskoj osi. Ako je vremenski interval D t, koji odgovara sajtu CD na vremenskoj osi mala, onda možemo pretpostaviti da se brzina ne menja u tom vremenskom periodu i da se telo kreće jednoliko. U ovom slučaju figura cabd malo se razlikuje od pravokutnika i njegova površina je brojčano jednaka projekciji kretanja tijela tokom vremena koje odgovara segmentu CD.

Kao što se može videti sa slike 31, O.A. = v 0x , B.C. = v x, O.C. = t. Iz toga slijedi da je projekcija pomaka izražena formulom: s x= (v x + v 0x)t.

Kod ravnomjerno ubrzanog pravolinijskog kretanja, brzina tijela u svakom trenutku je jednaka v x = v 0x + a x t, dakle, s x = (2v 0x + a x t)t.

Da bismo dobili jednačinu gibanja tijela, zamjenjujemo njegov izraz u smislu razlike u koordinatama u formulu projekcije pomaka s x = x – x 0 .

Dobijamo: x – x 0 = v 0x t+ , ili

x = x 0 + v 0x t + .

Koristeći jednadžbu kretanja, možete odrediti koordinate tijela u bilo kojem trenutku ako su poznate početne koordinate, početna brzina i ubrzanje tijela.

Iz formule za projekciju brzine ravnomjerno ubrzanog pravolinijskog kretanja v x = v 0x + a x t Izrazimo vrijeme:

Zamjenom ovog izraza u formulu projekcije pomaka dobijamo:

s x = v 0x + .

s x = , ili
–= 2a x s x.

Ako je početna brzina tijela nula, tada:

2a x s x.

4. Primjer rješenja problema

Dato:

v 01 = 0

a 1 = 0,5 m/s 2

t 1 = 20 s

s 2 = 40 m

v 2 = 0

a 2?

s 1?

Povezujemo referentni sistem sa Zemljom, osovinom X usmjerimo skijaša u smjeru brzine u svakoj fazi njegovog kretanja (Sl. 32).

Napišimo jednačinu za brzinu skijaša na kraju spusta sa planine:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

U projekcijama na osu X dobijamo: v 1x = a 1x t. Budući da su projekcije brzine i ubrzanja na os X su pozitivni, modul brzine skijaša je jednak: v 1 = a 1 t 1 .

Napišimo jednačinu koja povezuje projekcije brzine, ubrzanja i pomaka skijaša u drugoj fazi kretanja:

–= 2a 2x s 2x .

S obzirom da je početna brzina skijaša u ovoj fazi kretanja jednaka njegovoj konačnoj brzini u prvoj etapi

v 02 = v 1 , v 2x= 0 dobijamo

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Odavde a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s 2 .

Modul kretanja skijaša u prvoj fazi kretanja jednak je dužini planinske padine. Napišimo jednačinu za pomak:

s 1x = v 01x t + .

Otuda je dužina planinske padine s 1 = ;

s 1 == 100 m.

odgovor: a 2 = 0,125 m/s 2 ; s 1 = 100 m.

Pitanja za samotestiranje

1. Kao na grafu projekcije brzine ravnomjernog pravolinijskog kretanja na osu X

2. Kao na grafu projekcije brzine jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja na osu X odrediti projekciju kretanja tijela s vremena na vrijeme?

3. Koja se formula koristi za izračunavanje projekcije pomaka tijela pri ravnomjerno ubrzanom pravolinijskom kretanju?

4. Koja se formula koristi za izračunavanje projekcije pomaka tijela koje se kreće jednoliko ubrzano i pravolinijsko ako je početna brzina tijela nula?

Zadatak 7

2. Voz se kreće početnom brzinom od 36 km/h i ubrzanjem od 0,5 m/s 2 . Koliki je pomak voza za 20 s i njegova koordinata u trenutku? t= 20 s ako je početna koordinata vlaka 20 m?

4. Automobil koji se kreće brzinom od 54 km/h zaustavlja se pri kočenju 15 s. Koliki je modul kretanja automobila pri kočenju?

Laboratorijski rad br.1

Proučavanje ravnomjerno ubrzanih
pravolinijsko kretanje

Cilj rada:

Uređaji i materijali:

rov, tronožac, metalna kugla, štoperica, mjerna traka, metalni cilindar.

Radni nalog

1. Učvrstite jedan kraj žlijeba u nozi stativa tako da bude pod blagim uglom sa površinom stola. Na drugi kraj žlijeba postavite metalni cilindar u njega.

3. Nađite omjer puta pređenog u drugoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi, i puta pređenog u trećoj sekundi i puta prijeđenog u prvoj sekundi. Izvucite zaključak.

4. Izmjerite vrijeme kretanja lopte duž žlijeba i udaljenost koju pređe. Izračunajte ubrzanje njegovog kretanja koristeći formulu s = .

5. Koristeći eksperimentalno dobijenu vrijednost ubrzanja, izračunajte udaljenosti koje lopta mora preći u prvoj, drugoj i trećoj sekundi svog kretanja. Izvucite zaključak.

Tabela 1

Iskustvo br.

Eksperimentalni podaci

Teorijski rezultati

Vrijeme t , With

Way s , cm

Vrijeme t , With

Put

s, cm

Ubrzanje a, cm/s2

Vrijemet, With

Way s , cm

Kako, znajući put kočenja, odrediti početnu brzinu automobila i kako, znajući karakteristike kretanja, kao što su početna brzina, ubrzanje, vrijeme, odrediti kretanje automobila? Odgovore ćemo dobiti nakon što se upoznamo s temom današnje lekcije: „Kretanje pri ravnomjerno ubrzanom kretanju, ovisnost koordinata o vremenu pri ravnomjerno ubrzanom kretanju“

Kod ravnomjerno ubrzanog kretanja, graf izgleda kao prava linija koja ide prema gore, jer je njegova projekcija ubrzanja veća od nule.

Kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja, površina će biti brojčano jednaka modulu projekcije kretanja tijela. Pokazalo se da se ova činjenica može generalizirati za slučaj ne samo ravnomjernog kretanja, već i za bilo koje kretanje, odnosno može se pokazati da je površina ispod grafika numerički jednaka modulu projekcije pomaka. Ovo se radi striktno matematički, ali ćemo koristiti grafičku metodu.

Rice. 2. Grafikon brzine u odnosu na vrijeme za ravnomjerno ubrzano kretanje ()

Podijelimo grafik projekcije brzine u odnosu na vrijeme za jednoliko ubrzano kretanje na male vremenske intervale Δt. Pretpostavimo da su toliko mali da se brzina praktički nije mijenjala na njihovoj dužini, odnosno, graf linearne zavisnosti na slici ćemo uvjetno pretvoriti u ljestve. Na svakom koraku vjerujemo da se brzina praktički nije promijenila. Zamislimo da vremenske intervale Δt učinimo beskonačno malim. U matematici kažu: pravimo prelaz do granice. U ovom slučaju, površina takve ljestve će se neograničeno blisko poklapati s površinom trapeza, koja je ograničena grafom V x (t). To znači da za slučaj jednoliko ubrzanog kretanja možemo reći da je modul projekcije pomaka brojčano jednak površini ograničenoj grafom V x (t): apscisa i ordinatna osa i okomica spuštena na apscisu, tj. je, površina trapeza OABC koju vidimo na slici 2.

Problem se iz fizičkog pretvara u matematički problem - pronalaženje površine trapeza. Ovo je standardna situacija kada fizičari oni stvaraju model koji opisuje ovu ili onu pojavu, a onda na scenu stupa matematika koja ovaj model obogaćuje jednačinama, zakonima – ono što model pretvara u teoriju.

Pronalazimo površinu trapeza: trapez je pravougaonog oblika, budući da je ugao između osi 90 0, trapez dijelimo na dvije figure - pravougaonik i trokut. Očigledno je da ukupne površine biće jednak zbiru površina ovih figura (slika 3). Nađimo njihove površine: površina pravokutnika jednaka je proizvodu stranica, odnosno V 0x t, površina pravougaonog trougla bit će jednak polovini umnoška nogu - 1/2AD·BD, zamjenom vrijednosti projekcija, dobijamo: 1/2t·(V x - V 0x), i, prisjećajući se zakona promjene brzine tokom vremena tokom jednoliko ubrzanog kretanja: V x (t) = V 0x + a x t, sasvim je očigledno da je razlika u projekcijama brzina jednaka proizvodu projekcije ubrzanja a x na vrijeme t, odnosno V x - V 0x = a x t.

Rice. 3. Određivanje površine trapeza ( Izvor)

Uzimajući u obzir činjenicu da je površina trapeza numerički jednaka modulu projekcije pomaka, dobijamo:

S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2

Dobili smo zakon zavisnosti projekcije pomaka od vremena za vreme jednoliko ubrzanog kretanja u skalarnom obliku; u vektorskom obliku će izgledati ovako:

(t) = t + t 2 / 2

Izvedemo još jednu formulu za projekciju pomaka, koja neće uključivati vrijeme kao varijablu. Hajde da rešimo sistem jednačina, eliminišući vreme iz njega:

S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2

V x (t) = V 0 x + a x t

Zamislimo da nam je vrijeme nepoznato, tada ćemo vrijeme izraziti iz druge jednačine:

t = V x - V 0x / a x

Zamijenimo rezultirajuću vrijednost u prvu jednačinu:

Hajde da dobijemo ovaj glomazan izraz, kvadratniramo ga i damo slične:

Dobili smo vrlo zgodan izraz za projekciju kretanja za slučaj kada ne znamo vrijeme kretanja.

Neka je naša početna brzina automobila, kada je počelo kočenje, V 0 = 72 km/h, konačna brzina V = 0, ubrzanje a = 4 m/s 2 . Saznajte dužinu puta kočenja. Pretvaranjem kilometara u metre i zamjenom vrijednosti u formuli, nalazimo da će put kočenja biti:

S x = 0 - 400 (m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m

Analizirajmo sljedeću formulu:

S x = (V 0 x + V x) / 2 t

Projekcija pomaka je poluzbroj projekcija početne i konačne brzine, pomnožen s vremenom kretanja. Prisjetimo se formule pomaka za prosječnu brzinu

S x = V av · t

U slučaju ravnomjerno ubrzanog kretanja, prosječna brzina će biti:

V av = (V 0 + V k) / 2

Približili smo se rješavanju glavnog problema mehanike ravnomjerno ubrzanog kretanja, odnosno dobijanju zakona po kojem se koordinata mijenja s vremenom:

x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2

Da bismo naučili kako koristiti ovaj zakon, analizirajmo tipičan problem.

Automobil, krećući se iz mirovanja, postiže ubrzanje od 2 m/s 2 . Pronađite put koji je automobil prešao za 3 sekunde i za treću sekundu.

Dato je: V 0 x = 0

Zapišimo zakon po kojem se pomicanje mijenja s vremenom u

jednoliko ubrzano kretanje: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s

Na prvo pitanje problema možemo odgovoriti tako što ćemo uključiti podatke:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - ovo je put koji se prijeđe

c auto za 3 sekunde.

Hajde da saznamo koliko je daleko prešao za 2 sekunde:

S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

Dakle, ti i ja znamo da je auto za dvije sekunde prešao 4 metra.

Sada, znajući ove dvije udaljenosti, možemo pronaći put koji je prešao u trećoj sekundi:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Ravnomjerno ubrzano kretanje naziva se takvo kretanje u kojem vektor ubrzanja ostaje nepromijenjen po veličini i smjeru. Primjer takvog kretanja je kretanje kamena bačenog pod određenim kutom prema horizontu (bez uzimanja u obzir otpora zraka). U bilo kojoj tački putanje, ubrzanje kamena je jednako ubrzanju gravitacije. Dakle, proučavanje jednoliko ubrzanog kretanja svodi se na proučavanje pravolinijskog ravnomjerno ubrzanog kretanja. U slučaju pravolinijskog kretanja, vektori brzine i ubrzanja su usmjereni duž prave linije kretanja. Stoga se brzina i ubrzanje u projekcijama na smjer kretanja mogu smatrati algebarskim veličinama. Pri ravnomjerno ubrzanom pravolinijskom kretanju brzina tijela određena je formulom (1)

U ovoj formuli je brzina tijela na t = 0 (startna brzina ), = const – ubrzanje. U projekciji na odabranu x osu, jednačina (1) će biti zapisana kao: (2). Na grafiku projekcije brzine υ x ( t) ova zavisnost izgleda kao prava linija.

Ubrzanje se može odrediti iz nagiba grafa brzine a tijela. Odgovarajuće konstrukcije su prikazane na sl. za graf I Ubrzanje je brojčano jednako omjeru strana trougla ABC: .

Što je veći ugao β koji graf brzine formira sa vremenskom osom, tj. veći je nagib grafika ( strmina), što je veće ubrzanje tijela.

Za grafikon I: υ 0 = –2 m/s, a= 1/2 m/s 2. Za raspored II: υ 0 = 3 m/s, a= –1/3 m/s 2 .

Grafikon brzine vam također omogućava da odredite projekciju pomaka tijela s tokom nekog vremena t. Istaknimo određeni mali vremenski interval Δt na vremenskoj osi. Ako je ovaj vremenski period dovoljno kratak, onda je promjena brzine u tom periodu mala, odnosno kretanje u tom vremenskom periodu može se smatrati ujednačenim sa nekim prosječna brzina, što je jednako trenutnoj brzini υ tijela u sredini intervala Δt. Stoga će pomak Δs tokom vremena Δt biti jednak Δs = υΔt. Ovo kretanje je jednako osenčenom području na Sl. pruge. Podjelom vremenskog intervala od 0 do određenog momenta t na male intervale Δt, možemo dobiti da je pomak s za dato vrijeme t uz jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje jednak površini ODEF trapeza. Odgovarajuće konstrukcije su prikazane na sl. za raspored II. Pretpostavlja se da je vrijeme t 5,5 s.

(3) – rezultirajuća formula vam omogućava da odredite pomak tijekom ravnomjerno ubrzanog kretanja ako je ubrzanje nepoznato.

Ako izraz za brzinu (2) zamijenimo jednačinom (3), dobićemo (4) - ova formula se koristi za pisanje jednačine kretanja tijela: (5).

Ako vrijeme kretanja (6) izrazimo iz jednačine (2) i zamijenimo ga jednakošću (3), tada

Ova formula vam omogućava da odredite kretanje s nepoznatim vremenom kretanja.

Razmotrimo kako se izračunava projekcija vektora pomaka tijela koje se kreće jednoliko ubrzano ako je njegova početna brzina v 0 nula. U ovom slučaju, jednačina

izgledat će ovako:

Prepišimo ovu jednačinu tako što ćemo u nju umjesto projekcija s x i a x zamijeniti module vektora s i a

kretanje i ubrzanje. Kako su u ovom slučaju sua vektori usmjereni u istom smjeru, njihove projekcije imaju iste predznake. Stoga se jednadžba za module vektora može napisati:

Iz ove formule proizlazi da je u slučaju pravolinijskog ravnomjerno ubrzanog kretanja bez početne brzine, veličina vektora pomaka direktno proporcionalna kvadratu vremenskog intervala tokom kojeg je ovo pomicanje napravljeno. To znači da kada se vrijeme kretanja (računano od trenutka početka kretanja) poveća za n puta, pomak se povećava za n 2 puta.

Na primjer, ako se tokom proizvoljnog vremenskog perioda t 1 od početka kretanja tijelo pomjerilo

tada će se tokom vremenskog perioda t 2 = 2t 1 (računajući od istog trenutka kada i t 1) kretati

za vremenski period t n = nt l - kretanje s n = n 2 s l (gdje je n prirodan broj).

Ova zavisnost modula vektora pomaka od vremena za pravolinijsko ravnomerno ubrzano kretanje bez početne brzine jasno je prikazana na slici 15, gde segmenti OA, OB, OS, OD i OE predstavljaju module vektora pomaka (s 1, s 2, s 3, s 4 i s 5), koje tijelo izvodi u vremenskim intervalima t 1, t 2 = 2t 1, t 3 = 3t 1, t 4 = 4t 1 i t 5 = 5t 1.

Rice. 15. Pravilnosti jednoliko ubrzanog kretanja: OA:OV:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

Iz ove brojke je jasno da

OA:OV:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

tj. sa povećanjem vremenskih intervala računanih od početka kretanja za cijeli broj puta u odnosu na t 1, moduli odgovarajućih vektora pomaka rastu kao niz kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva.

Sa slike 15 vidljiv je još jedan uzorak:

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

tj. moduli vektora pomaka koje je napravilo tijelo tokom uzastopnih jednakih vremenskih perioda (od kojih je svaki jednak t 1) povezani su kao niz uzastopnih neparnih brojeva.

Pravilnosti (1) i (2) su svojstvene samo jednoliko ubrzanom kretanju. Stoga se mogu koristiti ako je potrebno utvrditi da li je kretanje ravnomjerno ubrzano ili ne.

Utvrdimo, na primjer, da li je kretanje puža bilo ravnomjerno ubrzano; u prvih 20 s kretanja kretao se za 0,5 cm, u drugih 20 s za 1,5 cm, u trećih 20 s za 2,5 cm.

Da bismo to uradili, pronađimo koliko puta su pokreti napravljeni tokom drugog i trećeg vremenskog perioda veći nego tokom prvog:

To znači 0,5 cm: 1,5 cm: 2,5 cm = 1: 3: 5. Pošto ovi odnosi predstavljaju niz uzastopnih neparnih brojeva, kretanje tijela je jednoliko ubrzano.

U ovom slučaju, ravnomjerno ubrzana priroda kretanja identificirana je na osnovu pravilnosti (2).

Pitanja

Koje se formule koriste za izračunavanje projekcije i veličine vektora pomaka tijela za vrijeme njegovog ravnomjerno ubrzanog kretanja iz stanja mirovanja?
Koliko će se puta povećati modul vektora pomaka tijela kada se vrijeme njegovog kretanja iz mirovanja poveća za n puta?
Zapišite u kakvom su odnosu moduli vektora pomaka tijela koje se kreće jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja kada se vrijeme njegovog kretanja poveća cijeli broj puta u odnosu na t 1 .
Zapišite kako su moduli vektora pomaka koje je izvršilo tijelo u uzastopnim jednakim vremenskim intervalima međusobno povezani ako se ovo tijelo kreće ravnomjerno ubrzano iz stanja mirovanja.
U koju svrhu možemo koristiti obrasce (1) i (2)?

Vježba 8

Tokom prvih 20 s, voz koji napušta stanicu kreće se pravolinijski i ravnomjerno ubrzano. Poznato je da je u trećoj sekundi od početka kretanja voz prešao 2 m. Odrediti veličinu vektora pomaka koji je napravio voz u prvoj sekundi i veličinu vektora ubrzanja s kojim se kretao.
Automobil koji se kreće ravnomjerno ubrzano iz stanja mirovanja pređe 6,3 m u toku pete sekunde ubrzanja Koju brzinu je automobil razvio do kraja pete sekunde od početka kretanja?
Određeno tijelo se pomjerilo za 2 mm u prvih 0,03 s kretanja bez početne brzine, za 8 mm u prvih 0,06 s i za 18 mm u prvih 0,09 s. Na osnovu pravilnosti (1) dokazati da se tokom čitavih 0,09 s tijelo kretalo jednoliko ubrzano.

Pitanja.

1. Koje formule se koriste za izračunavanje projekcije i veličine vektora pomaka tijela za vrijeme njegovog ravnomjerno ubrzanog kretanja iz stanja mirovanja?

2. Koliko će se puta povećati modul vektora pomaka tijela kada se vrijeme njegovog kretanja iz mirovanja poveća za n puta?

3. Zapišite u kakvom su odnosu moduli vektora pomaka tijela koje se kreće jednoliko ubrzano iz stanja mirovanja kada se vrijeme njegovog kretanja poveća cijeli broj puta u odnosu na t 1.

4. Zapišite u kakvom su odnosu moduli vektora pomaka koje je izvršilo tijelo u uzastopnim jednakim vremenskim intervalima, ako se ovo tijelo kreće ravnomjerno ubrzano iz stanja mirovanja.

5. U koju svrhu se mogu koristiti zakoni (3) i (4)?

Pravilnosti (3) i (4) se koriste za određivanje da li je kretanje ravnomjerno ubrzano ili ne (vidi str. 33).

Vježbe.

1. Voz koji napušta stanicu kreće se pravolinijski i ravnomjerno ubrzano tokom prvih 20 s. Poznato je da je u trećoj sekundi od početka kretanja voz prešao 2 m. Odrediti veličinu vektora pomaka koji je napravio voz u prvoj sekundi i veličinu vektora ubrzanja s kojim se kretao.