Bei der statischen Berechnung von Ingenieurbauwerken geht es in vielen Fällen um die Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen eines Bauwerks, das aus einem System von Körpern besteht, die durch Verbindungen verbunden sind. Die Verbindungen, die die Teile dieser Struktur verbinden, werden aufgerufen intern im Gegensatz zu extern Verbindungen, die die Struktur mit Körpern verbinden, die nicht darin enthalten sind (z. B. mit Stützen).
Wenn die Struktur nach dem Verwerfen äußerer Verbindungen (Stützen) starr bleibt, werden die statischen Probleme für sie wie für einen absolut starren Körper gelöst. Allerdings kann es technische Strukturen geben, die nach dem Verwerfen externer Verbindungen nicht stabil bleiben. Ein Beispiel für ein solches Design ist ein dreigelenkiger Bogen. Wenn wir die Stützen A und B weglassen, ist der Bogen nicht starr: seine Teile können sich um das Scharnier C drehen.
Aufgrund des Erstarrungsprinzips muss das auf eine solche Struktur wirkende Kräftesystem im Gleichgewicht die Gleichgewichtsbedingungen eines Festkörpers erfüllen. Aber diese Bedingungen sind, wie bereits erwähnt, zwar notwendig, aber nicht ausreichend; Daher ist es unmöglich, alle unbekannten Größen daraus zu bestimmen. Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, zusätzlich das Gleichgewicht eines oder mehrerer Teile der Struktur zu berücksichtigen.
Wenn wir beispielsweise Gleichgewichtsbedingungen für die auf einen dreigelenkigen Bogen wirkenden Kräfte zusammenstellen, erhalten wir drei Gleichungen mit vier Unbekannten X A, Y A, X B, Y B . Nachdem wir zusätzlich die Gleichgewichtsbedingungen der linken (oder rechten) Hälfte davon berücksichtigt haben, erhalten wir drei weitere Gleichungen mit zwei neuen Unbekannten X C, Y C, in Abb. 61 nicht dargestellt. Indem wir das resultierende System aus sechs Gleichungen lösen, finden wir alle sechs Unbekannten.
14. Sonderfälle der Reduktion eines räumlichen Kräftesystems
Wenn sich beim Zusammenbringen eines Kräftesystems mit einer dynamischen Schraube herausstellt, dass das Hauptmoment des Dynamos gleich Null ist und der Hauptvektor von Null verschieden ist, bedeutet dies, dass das Kräftesystem auf eine Resultierende reduziert wird. und die Mittelachse ist die Wirkungslinie dieser Resultierenden. Lassen Sie uns herausfinden, unter welchen Bedingungen bezogen auf den Hauptvektor Fp und das Hauptmoment M 0 dies passieren kann. Da das Hauptmoment der Dynamik M* gleich der entlang des Hauptvektors gerichteten Komponente des Hauptmoments M 0 ist, bedeutet der betrachtete Fall M* = O, dass das Hauptmoment M 0 senkrecht zum Hauptvektor steht, also / 2 = Fo*M 0 = 0. Daraus folgt sofort, dass, wenn der Hauptvektor F 0 ungleich Null ist und die zweite Invariante gleich Null ist, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9 ) dann die betrachtete das System wird auf die Resultierende reduziert.
Insbesondere wenn für jedes Reduktionszentrum F 0 ≠0 und M 0 = 0 gilt, dann bedeutet dies, dass das Kräftesystem auf eine Resultierende reduziert wird, die durch dieses Reduktionszentrum verläuft; In diesem Fall ist auch die Bedingung (7.9) erfüllt. Verallgemeinern wir den in Kapitel V gegebenen Satz über das Moment der Resultierenden (Satz von Varignon) auf den Fall eines räumlichen Kräftesystems. Wenn das räumliche System.
Werden Kräfte auf eine Resultierende reduziert, dann ist das Moment der Resultierenden relativ zu einem beliebigen Punkt gleich der geometrischen Summe der Momente aller Kräfte relativ zu demselben Punkt. P 
Das Kräftesystem soll ein resultierendes R und einen Punkt haben UM liegt auf der Wirkungslinie dieser Resultierenden. Wenn wir ein gegebenes Kräftesystem auf diesen Punkt bringen, erhalten wir, dass das Hauptmoment gleich Null ist. 
Nehmen wir ein anderes Reduktionszentrum O1; (7.10)C 
auf der anderen Seite haben wir basierend auf Formel (4.14) Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11), da M 0 = 0. Vergleichen der Ausdrücke (7.10) und (7.11) und unter Berücksichtigung, dass in diesem Fall F 0 = R erhalten wir (7.12).
Damit ist der Satz bewiesen.
Sei für jede Wahl des Reduktionszentrums Fo=O, M ≠0. Da der Hauptvektor nicht vom Reduktionszentrum abhängt, ist er für jede andere Wahl des Reduktionszentrums gleich Null. Daher ändert sich auch das Hauptmoment nicht, wenn sich das Reduktionszentrum ändert, und daher reduziert sich in diesem Fall das Kräftesystem auf ein Kräftepaar mit einem Moment gleich M0.
Stellen wir nun eine Tabelle aller möglichen Fälle der Reduktion des räumlichen Kräftesystems zusammen:
Wenn alle Kräfte in derselben Ebene liegen, beispielsweise in der Ebene Oh, dann ihre Projektionen auf die Achse G und Momente um die Achsen X Und bei wird gleich Null sein. Daher ist Fz=0; Mox=0, Moy=0. Wenn wir diese Werte in die Formel (7.5) einführen, stellen wir fest, dass die zweite Invariante eines ebenen Kräftesystems gleich Null ist. Wir erhalten das gleiche Ergebnis für ein räumliches System paralleler Kräfte. In der Tat seien alle Kräfte parallel zur Achse z. Dann ihre Projektionen auf die Achse X Und bei und die Momente um die z-Achse werden gleich 0 sein. Fx=0, Fy=0, Moz=0
Basierend auf den Beweisen kann argumentiert werden, dass ein ebenes Kräftesystem und ein System paralleler Kräfte nicht auf eine dynamische Schraube reduziert werden.
1
1.
Gleichgewicht eines Körpers bei Gleitreibung Wenn zwei Körper / und // (Abb. 6.1) miteinander interagieren, berühren sie sich an einem Punkt A, dann kann die Reaktion R A, die beispielsweise von der Seite des Körpers // einwirkt und auf den Körper angewendet wird /, immer in zwei Komponenten zerlegt werden: N.4, gerichtet entlang der gemeinsamen Normalen zur Oberfläche der sich berührenden Körper bei Punkt A und T 4 liegen in der Tangentenebene. Komponente N.4 wird aufgerufen normale Reaktion Kraft T l heißt Gleitreibungskraft - es verhindert, dass der Körper / am Körper entlang rutscht // Gemäß dem Axiom 4
(Newtons 3. Z-on) Eine Reaktionskraft gleicher Größe und entgegengesetzter Richtung wirkt auf den Körper // von der Seite des Körpers /. Seine Komponente senkrecht zur Tangentenebene heißt Kraft des Normaldrucks. Wie oben erwähnt, die Reibungskraft T A
=
Oh, wenn die Kontaktflächen vollkommen glatt sind. Unter realen Bedingungen sind Oberflächen rau und in vielen Fällen kann die Reibungskraft nicht vernachlässigt werden. Um die grundlegenden Eigenschaften der Reibungskräfte zu klären, führen wir ein Experiment gemäß dem in Abb. dargestellten Schema durch. 6.2, A. Am Körper 5, der sich auf einer stationären Platte D befindet, ist ein über Block C geworfener Faden befestigt, dessen freies Ende mit einer Stützplattform ausgestattet ist A. Wenn das Pad A allmählich laden, dann erhöht sich mit zunehmendem Gesamtgewicht die Fadenspannung S,
was dazu neigt, den Körper nach rechts zu bewegen. Solange die Gesamtlast jedoch nicht zu groß ist, hält die Reibungskraft T den Körper IN im Ruhezustand. In Abb. 6.2, B Es werden Handlungen am Körper dargestellt IN Kräfte, und P bezeichnet die Schwerkraft und N bezeichnet die normale Reaktion der Platte D.
Reicht die Belastung nicht aus, um den Rest zu brechen, gelten folgende Gleichgewichtsgleichungen: N-
P
= 0,
(6.1) S-T = 0. (6.2) Daraus folgt N
=
PUnd T = S. Während der Körper ruht, bleibt die Reibungskraft also gleich der Spannungskraft des Fadens S. Bezeichnen wir mit Tmax
Reibungskraft im kritischen Moment des Belastungsprozesses, wenn der Körper IN verliert das Gleichgewicht und beginnt auf der Platte zu rutschen D.
Wenn sich der Körper im Gleichgewicht befindet, gilt daher T≤Tmax.Maximale Reibungskraft T Tah
hängt von den Eigenschaften der Materialien, aus denen die Körper bestehen, ihrem Zustand (z. B. von der Art der Oberflächenbehandlung) sowie vom Wert des Normaldrucks ab N. Erfahrungsgemäß ist die maximale Reibungskraft etwa proportional zum Normaldruck, d.h. e. es herrscht Gleichberechtigung Tmax=
fN.
(6.4) Diese Beziehung heißt Amonton-Coulomb-Gesetz. Der dimensionslose Koeffizient / heißt Gleitreibungskoeffizient. Wie aus Erfahrung hervorgeht, ist es der Wert hängt in weiten Grenzen nicht von der Fläche der sich berührenden Flächen ab, hängt aber vom Material und dem Rauheitsgrad der Kontaktflächen ab. Die Werte des Reibungskoeffizienten werden empirisch ermittelt und sind in Referenztabellen zu finden. Ungleichung“ (6.3) kann nun als T≤fN geschrieben werden
(6.5). Der Fall der strikten Gleichheit in (6.5) entspricht dem Maximalwert der Reibungskraft. Das bedeutet, dass die Reibungskraft mit der Formel berechnet werden kann T
=
fN
nur in Fällen, in denen im Voraus bekannt ist, dass ein kritischer Vorfall vorliegt. In allen anderen Fällen sollte die Reibungskraft aus den Gleichgewichtsgleichungen ermittelt werden. Betrachten Sie einen Körper, der sich auf einer rauen Oberfläche befindet. Wir gehen davon aus, dass sich der Körper durch die Wirkung von Wirk- und Reaktionskräften in einem Grenzgleichgewicht befindet. In Abb. 6,6, A
Dargestellt sind die Grenzreaktion R und ihre Komponenten N und Tmax (in der in dieser Abbildung gezeigten Position neigen aktive Kräfte dazu, den Körper nach rechts zu bewegen, die maximale Reibungskraft Tmax ist nach links gerichtet). Ecke F zwischen Grenzreaktion R und die Normale zur Oberfläche wird Reibungswinkel genannt. Finden wir diesen Winkel. Aus Abb. 6.6, und wir haben tgφ=Tmax/N oder, unter Verwendung des Ausdrucks (6.4), tgφ= f (6-7) Aus dieser Formel ist klar, dass Sie anstelle des Reibungskoeffizienten den Reibungswinkel einstellen können (in den Referenztabellen). P 
beide Größen sind angegeben).
Das Kräftesystem heißt ausgewogen, wenn der Körper unter dem Einfluss dieses Systems in Ruhe bleibt.
Gleichgewichtsbedingungen:
Die erste Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers:
Damit sich ein starrer Körper im Gleichgewicht befindet, muss die Summe der auf den Körper einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null sein.
Die zweite Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers:
Wenn sich ein starrer Körper im Gleichgewicht befindet, ist die Summe der Momente aller auf ihn einwirkenden äußeren Kräfte relativ zu einer beliebigen Achse gleich Null.
Allgemeine Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers:
Damit sich ein starrer Körper im Gleichgewicht befindet, müssen die Summe der äußeren Kräfte und die Summe der auf den Körper einwirkenden Kraftmomente Null sein. Die Anfangsgeschwindigkeit des Massenschwerpunkts und die Drehwinkelgeschwindigkeit des Körpers müssen ebenfalls gleich Null sein.
Satz. Drei Kräfte gleichen einen starren Körper nur dann aus, wenn sie alle in derselben Ebene liegen.
11. Flaches Kraftsystem– das sind Kräfte, die in einer Ebene liegen.
Drei Formen von Gleichgewichtsgleichungen für ein ebenes System:
Schwerpunkt des Körpers.
Schwerpunkt Ein Körper mit endlichen Abmessungen wird der Punkt genannt, um den herum die Summe der Schwerkraftmomente aller Teilchen des Körpers gleich Null ist. An diesem Punkt wirkt die Schwerkraft des Körpers. Der Schwerpunkt eines Körpers (oder Kräftesystems) fällt normalerweise mit dem Massenschwerpunkt des Körpers (oder Kräftesystems) zusammen.
Schwerpunkt einer flachen Figur:
Eine praktische Methode zum Ermitteln des Massenschwerpunkts einer ebenen Figur: Hängen Sie den Körper in ein Schwerkraftfeld, sodass er sich frei um den Aufhängepunkt drehen kann O1 . Im Gleichgewicht der Schwerpunkt MIT liegt auf derselben Vertikalen wie der Aufhängepunkt (darunter), da er gleich Null ist
Moment der Schwerkraft, das im Massenschwerpunkt wirken kann. Durch Ändern des Aufhängepunkts finden wir auf die gleiche Weise eine weitere Gerade O 2 C , durch den Schwerpunkt gehen. Die Lage des Massenschwerpunkts ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden.
Schwerpunktgeschwindigkeit:
Der Impuls eines Teilchensystems ist gleich dem Produkt der Masse des Gesamtsystems M= Σmi von der Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts ab V :
Der Massenschwerpunkt charakterisiert die Bewegung des Gesamtsystems.
15. Gleitreibung– Reibung bei der Relativbewegung sich berührender Körper.
Statische Reibung– Reibung ohne relative Bewegung der sich berührenden Körper.
Gleitreibungskraft Ftr zwischen den Oberflächen sich berührender Körper während ihrer Relativbewegung hängt von der Kraft der Normalreaktion ab N oder aus der Kraft des Normaldrucks Pn , Und Ftr=kN oder Ftr=kPn , wo k – Gleitreibungskoeffizient , abhängig von den gleichen Faktoren wie der Haftreibungskoeffizient k0 sowie von der Geschwindigkeit der Relativbewegung der sich berührenden Körper.
16. Rollreibung- Dies ist das Rollen eines Körpers über einen anderen. Die Gleitreibungskraft hängt nicht von der Größe der Reibflächen ab, sondern nur von der Qualität der Oberflächen der Reibkörper und von der Kraft, die die Reibflächen verkleinert und senkrecht zu ihnen gerichtet ist. F=kN, Wo F- Reibungskraft, N– die Größe der normalen Reaktion und k – Gleitreibungskoeffizient.
17. Gleichgewicht von Körpern bei Reibung- Dies ist die maximale Adhäsionskraft proportional zum Normaldruck des Körpers auf der Ebene.
Der Winkel zwischen der Gesamtreaktion, bezogen auf die größte Reibungskraft für eine gegebene Normalreaktion, und der Richtung der Normalreaktion wird genannt Reibungswinkel.
Ein Kegel mit einer Spitze am Angriffspunkt der Normalreaktion einer rauen Oberfläche, deren Erzeugende mit dieser Normalreaktion einen Reibungswinkel bildet, wird genannt Reibungskegel.
Dynamik.
1. IN Dynamik Der Einfluss von Wechselwirkungen zwischen Körpern auf deren mechanische Bewegung wird berücksichtigt.
Gewicht- Dies ist ein malerisches Merkmal eines materiellen Punktes. Die Masse ist konstant. Die Masse ist Adjektiv (additiv)
Gewalt - Dies ist ein Vektor, der die Interaktion eines materiellen Punktes mit anderen materiellen Punkten vollständig charakterisiert.
Materieller Punkt– ein Körper, dessen Abmessungen und Form für die betrachtete Bewegung unwichtig sind (z. B. kann bei einer translatorischen Bewegung ein starrer Körper als materieller Punkt betrachtet werden).
Materialsystem Punkte genannt eine Reihe materieller Punkte, die miteinander interagieren.
Newtons 1. Gesetz: Jeder materielle Punkt behält einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige geradlinige Bewegung bei, bis äußere Einflüsse diesen Zustand ändern.
Newtons 2. Gesetz: Beschleunigung, die von einem materiellen Punkt in einem Trägheitsbezugssystem erfasst wird, direkt proportional zur auf den Punkt wirkenden Kraft, umgekehrt proportional zur Masse des Punktes und in der Richtung mit der Kraft übereinstimmt: a=F/m
DEFINITION
Stabiles Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, bei dem ein Körper, der aus seiner Gleichgewichtsposition entfernt und sich selbst überlassen wird, in seine vorherige Position zurückkehrt.
Dies geschieht, wenn bei einer geringfügigen Verschiebung des Körpers in eine beliebige Richtung aus der ursprünglichen Position die Resultierende der auf den Körper einwirkenden Kräfte ungleich Null wird und in Richtung der Gleichgewichtsposition gerichtet ist. Zum Beispiel eine Kugel, die am Boden einer kugelförmigen Vertiefung liegt (Abb. 1 a).
DEFINITION
Instabiles Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, in dem ein Körper, der aus der Gleichgewichtsposition genommen und sich selbst überlassen wird, noch mehr von der Gleichgewichtsposition abweicht.
In diesem Fall ist bei einer leichten Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage die Resultierende der auf ihn ausgeübten Kräfte ungleich Null und von der Gleichgewichtslage gerichtet. Ein Beispiel ist eine Kugel, die sich am oberen Punkt einer konvexen Kugeloberfläche befindet (Abb. 1 b).
DEFINITION
Gleichgültiges Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, in dem ein Körper, wenn er aus der Gleichgewichtsposition genommen und sich selbst überlassen wird, seine Position (Zustand) nicht ändert.
In diesem Fall bleibt bei kleinen Verschiebungen des Körpers aus der Ausgangslage die Resultierende der auf den Körper ausgeübten Kräfte gleich Null. Zum Beispiel ein Ball, der auf einer ebenen Fläche liegt (Abb. 1c).
Abb.1. Verschiedene Arten der Körperbalance auf einer Unterlage: a) stabiles Gleichgewicht; b) instabiles Gleichgewicht; c) indifferentes Gleichgewicht.
Statisches und dynamisches Gleichgewicht von Körpern
Erhält der Körper durch Krafteinwirkung keine Beschleunigung, kann er ruhen oder sich gleichmäßig geradlinig bewegen. Daher können wir über statisches und dynamisches Gleichgewicht sprechen.
DEFINITION
Statisches Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, wenn der Körper unter dem Einfluss der einwirkenden Kräfte ruht.
Dynamisches Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, wenn der Körper aufgrund der Krafteinwirkung seine Bewegung nicht ändert.
Eine an Seilen aufgehängte Laterne oder eine beliebige Gebäudestruktur befindet sich in einem statischen Gleichgewichtszustand. Betrachten Sie als Beispiel für ein dynamisches Gleichgewicht ein Rad, das ohne Reibungskräfte auf einer ebenen Fläche rollt.
Statik.
Ein Zweig der Mechanik, der die Gleichgewichtsbedingungen mechanischer Systeme unter dem Einfluss der auf sie einwirkenden Kräfte und Momente untersucht.
Gleichgewicht der Kräfte.
Mechanische Waage, auch statisches Gleichgewicht genannt, ist ein Zustand eines ruhenden oder gleichförmig bewegten Körpers, in dem die Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte und Momente Null ist
Bedingungen für das Gleichgewicht eines starren Körpers.
Notwendige und ausreichende Bedingungen für das Gleichgewicht eines freien starren Körpers sind die Gleichheit der Vektorsumme aller auf den Körper einwirkenden äußeren Kräfte gegen Null, die Gleichheit der Summe aller Momente äußerer Kräfte relativ zu einer beliebigen Achse, die Gleichheit der Anfangsgeschwindigkeit der Translationsbewegung des Körpers mit Null und Bedingung der Gleichheit der Anfangswinkelgeschwindigkeit der Rotation mit Null.
Arten des Gleichgewichts.
Das Körpergleichgewicht ist stabil, wenn bei geringfügigen Abweichungen von der durch äußere Verbindungen zugelassenen Gleichgewichtslage Kräfte oder Kraftmomente im System auftreten, die den Körper in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzen wollen.
Das Körpergleichgewicht ist instabil, wenn zumindest bei einigen kleinen Abweichungen von der Gleichgewichtslage, die durch äußere Verbindungen zugelassen werden, Kräfte oder Kraftmomente im System auftreten, die dazu neigen, den Körper weiter vom ursprünglichen Gleichgewichtszustand abzuweichen.
Das Gleichgewicht eines Körpers nennt man indifferent, wenn bei geringfügigen Abweichungen von der durch äußere Verbindungen zugelassenen Gleichgewichtslage Kräfte oder Kraftmomente im System auftreten, die den Körper in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzen wollen
Schwerpunkt eines starren Körpers.
Schwerpunkt Der Körper ist der Punkt, relativ zu dem das gesamte auf das System wirkende Schwerkraftmoment gleich Null ist. In einem System, das beispielsweise aus zwei identischen Massen besteht, die durch einen unflexiblen Stab verbunden sind und sich in einem ungleichmäßigen Gravitationsfeld befinden (z. B. ein Planet), liegt der Massenschwerpunkt in der Mitte des Stabes, während der Mittelpunkt von Die Schwerkraft des Systems wird auf das Ende des Stabes verlagert, das näher am Planeten liegt (da das Gewicht der Masse P = m · g vom Gravitationsfeldparameter g abhängt) und im Allgemeinen sogar außerhalb des Stabes liegt.
In einem konstanten parallelen (gleichförmigen) Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt immer mit dem Massenschwerpunkt zusammen. Daher fallen diese beiden Zentren in der Praxis nahezu zusammen (da das äußere Gravitationsfeld bei Nichtraumproblemen als konstant innerhalb des Körpervolumens angesehen werden kann).
Aus dem gleichen Grund fallen die Begriffe Schwerpunkt und Schwerpunkt zusammen, wenn diese Begriffe in der Geometrie, Statik und ähnlichen Bereichen verwendet werden, wo ihre Anwendung im Vergleich zur Physik als metaphorisch bezeichnet werden kann und wo die Situation ihrer Äquivalenz implizit vorausgesetzt wird (da es kein echtes Gravitationsfeld gibt und es sinnvoll ist, dessen Heterogenität zu berücksichtigen). In diesen Anwendungen werden traditionell beide Begriffe synonym verwendet, und oft wird der zweite bevorzugt, einfach weil er älter ist.
