Algunas personas tratan la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las ramas de las matemáticas superiores. Y sin embargo, el más simple. progresión aritmética- trabajo del taxímetro (donde aún permanecen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que “comprender la esencia”) de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.
Secuencia numérica matemática
Una secuencia numérica generalmente se denomina serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.
un 1 es el primer miembro de la secuencia;
y 2 es el segundo término de la secuencia;
y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;
yn es el enésimo miembro de la secuencia;
Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de números y cifras. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del enésimo término está relacionado con su número ordinal mediante una relación que puede formularse claramente matemáticamente. En otras palabras: el valor numérico del enésimo número es alguna función de n.
a es el valor de un miembro de una secuencia numérica;
n es su número de serie;
f(n) es una función, donde el número ordinal de la secuencia numérica n es el argumento.
Definición
Una progresión aritmética suele denominarse secuencia numérica en la que cada término posterior es mayor (menor) que el anterior en el mismo número. La fórmula para el enésimo término de una secuencia aritmética es la siguiente:
a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;
a n+1 - fórmula del siguiente número;
d - diferencia (cierto número).
Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie considerada será mayor que el anterior y dicha progresión aritmética será creciente.
En el siguiente gráfico es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".
En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Valor de miembro especificado
A veces es necesario determinar el valor de cualquier término arbitrario an de una progresión aritmética. Esto se puede hacer calculando secuencialmente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, comenzando desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, este camino no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cinco mil u ocho millones. Los cálculos tradicionales llevarán mucho tiempo. Sin embargo, se puede estudiar una progresión aritmética específica utilizando determinadas fórmulas. También existe una fórmula para el enésimo término: el valor de cualquier término de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer término de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del término deseado, reducida por uno.
La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.
Un ejemplo de cálculo del valor de un término determinado.
Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del enésimo término de una progresión aritmética.
Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:
El primer término de la secuencia es 3;
La diferencia en la serie numérica es 1,2.
Tarea: necesitas encontrar el valor de 214 términos.
Solución: para determinar el valor de un término determinado utilizamos la fórmula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Respuesta: El término 214 de la secuencia es igual a 258,6.
Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.
Suma de un número determinado de términos
Muy a menudo, en una determinada serie aritmética, es necesario determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Para ello, tampoco es necesario calcular los valores de cada término y luego sumarlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma debe calcularse es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.
La suma de los términos de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma del primer y enésimo término, multiplicada por el número del término n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del enésimo término por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:
Ejemplo de cálculo
Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:
El primer término de la secuencia es cero;
La diferencia es 0,5.
El problema requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.
Solución. Usemos la fórmula para determinar la cantidad de progresión:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Primero, determinamos la suma de los valores de 101 términos de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Evidentemente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 de S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Así, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética.
Al final del artículo, volvamos al ejemplo de una secuencia aritmética dado en el primer párrafo: un taxímetro (medidor de taxi). Consideremos este ejemplo.
Subir a un taxi (que incluye 3 km de recorrido) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro posterior se paga a razón de 22 rublos/km. La distancia recorrida es de 30 km. Calcula el coste del viaje.
1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.
30 - 3 = 27 kilómetros.
2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.
Número de miembro: el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).
El valor del miembro es la suma.
El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.
Diferencia de progresión d = 22 r.
el número que nos interesa es el valor del término (27+1) de la progresión aritmética: la lectura del medidor al final del kilómetro 27 es 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Los cálculos de los datos del calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen determinadas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la estrella. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras áreas aplicadas de las matemáticas.
Otro tipo de secuencia numérica es geométrica.
La progresión geométrica se caracteriza por mayores tasas de cambio en comparación con la progresión aritmética. No es casualidad que en política, sociología y medicina, para mostrar la alta velocidad de propagación de un fenómeno particular, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, digan que el proceso se desarrolla en progresión geométrica.
El enésimo término de la serie de números geométricos se diferencia del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer término es 1, el denominador es correspondientemente igual a 2, luego:
norte=1: 1 ∙ 2 = 2
norte=2: 2 ∙ 2 = 4
norte=3: 4 ∙ 2 = 8
norte=4: 8 ∙ 2 = 16
norte=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - el valor del término actual de la progresión geométrica;
b n+1 - fórmula del siguiente término de la progresión geométrica;
q es el denominador de la progresión geométrica (un número constante).
Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces una progresión geométrica presenta una imagen ligeramente diferente:
Como en el caso de la aritmética, la progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un término arbitrario. Cualquier enésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término por el denominador de la progresión a la potencia de n reducido en uno:
Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encontremos el quinto término de la progresión.
segundo 5 = segundo 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
La suma de un número determinado de términos también se calcula mediante una fórmula especial. La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del enésimo término de la progresión por su denominador y el primer término de la progresión, dividido por el denominador reducido en uno:
Si se reemplaza b n usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n términos de la serie numérica considerada tomará la forma:
Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece en 3. Encontremos la suma de los primeros ocho términos.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
¿Cuál es la esencia principal de la fórmula?
Esta fórmula le permite encontrar cualquier POR SU NÚMERO " norte" .
Por supuesto, también necesitas saber el primer término. un 1 y diferencia de progresión d Pues bien, sin estos parámetros no puedes anotar una progresión concreta.
Memorizar (o criticar) esta fórmula no es suficiente. Es necesario comprender su esencia y aplicar la fórmula en diversos problemas. Y también para no olvidar en el momento adecuado, sí...) ¿Cómo No olvide- No sé. Y aquí como recordar Si es necesario, definitivamente te asesoraré. Para aquellos que completan la lección hasta el final.)
Entonces, veamos la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.
¿Qué es una fórmula en general? Por cierto, echa un vistazo si no lo has leído. Allí todo es sencillo. Queda por descubrir qué es. enésimo término.
La progresión en general se puede escribir como una serie de números:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5,.....
un 1- denota el primer término de una progresión aritmética, un 3- tercer miembro, un 4- el cuarto, y así sucesivamente. Si estamos interesados en el quinto mandato, digamos que estamos trabajando con un 5, si ciento veinte - s un 120.
¿Cómo podemos definirlo en términos generales? cualquier término de una progresión aritmética, con cualquier¿número? ¡Muy simple! Como esto:
un
Eso es lo que es enésimo término de una progresión aritmética. La letra n oculta todos los números de miembros a la vez: 1, 2, 3, 4, etc.
¿Y qué nos aporta ese registro? Imagínense, en lugar de un número escribieron una letra...
Esta notación nos brinda una herramienta poderosa para trabajar con progresión aritmética. Usando la notación un, podemos encontrar rápidamente cualquier miembro cualquier progresión aritmética. Y resuelve muchos otros problemas de progresión. Lo comprobarás por ti mismo más adelante.
En la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética:
| un norte = un 1 + (n-1)d |
un 1- el primer término de una progresión aritmética;
norte- número de miembro.
La fórmula conecta los parámetros clave de cualquier progresión: un ; un 1; d Y norte. Todos los problemas de progresión giran en torno a estos parámetros.
La fórmula del enésimo término también se puede utilizar para escribir una progresión específica. Por ejemplo, el problema puede decir que la progresión está especificada por la condición:
un norte = 5 + (n-1) 2.
Tal problema puede ser un callejón sin salida... No hay una serie ni una diferencia... Pero, comparando la condición con la fórmula, es fácil entender que en esta progresión a 1 = 5 y d = 2.
¡Y puede ser aún peor!) Si tomamos la misma condición: un norte = 5 + (n-1) 2, Si, abre los paréntesis y trae otros similares? Obtenemos una nueva fórmula:
un norte = 3 + 2norte.
Este Simplemente no general, sino para una progresión específica. Aquí es donde acecha el peligro. Algunas personas piensan que el primer término es un tres. Aunque en realidad el primer término es cinco... Un poco más abajo trabajaremos con una fórmula tan modificada.
En los problemas de progresión hay otra notación: un n+1. Este es, como habrás adivinado, el término “n más el primero” de la progresión. Su significado es simple e inofensivo.) Este es un miembro de la progresión cuyo número es mayor que el número n en uno. Por ejemplo, si en algún problema tomamos un quinto mandato entonces un n+1 Será el sexto miembro. Etc.
Muy a menudo la designación un n+1 encontrado en fórmulas de recurrencia. ¡No tengas miedo de esta palabra aterradora!) Esta es solo una forma de expresar un miembro de una progresión aritmética. a través del anterior. Digamos que nos dan una progresión aritmética de esta forma, usando una fórmula recurrente:
un norte+1 = un norte +3
un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Del cuarto al tercero, del quinto al cuarto, y así sucesivamente. ¿Cómo podemos contar inmediatamente, digamos, el vigésimo término? un 20? ¡Pero no hay manera!) Hasta que sepamos el término 19, no podremos contar el 20. Ésta es la diferencia fundamental entre la fórmula recurrente y la fórmula del enésimo término. Trabajos recurrentes sólo a través de anterior término, y la fórmula del enésimo término es mediante primero y permite inmediatamente encontrar cualquier miembro por su número. Sin calcular toda la serie de números en orden.
En una progresión aritmética, es fácil convertir una fórmula recurrente en una regular. Cuente un par de términos consecutivos, calcule la diferencia d, Encuentre, si es necesario, el primer término. un 1, escribe la fórmula en su forma habitual y trabaja con ella. Estas tareas se encuentran a menudo en la Academia Estatal de Ciencias.
Aplicación de la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética.
Primero, veamos la aplicación directa de la fórmula. Al final de la lección anterior hubo un problema:
Se da una progresión aritmética (an). Encuentra un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.
Este problema se puede resolver sin fórmulas, simplemente basándose en el significado de una progresión aritmética. Suma y agrega... Una hora o dos.)
Y según la fórmula, la solución tardará menos de un minuto. Puedes cronometrarlo.) Decidamos.
Las condiciones proporcionan todos los datos para utilizar la fórmula: a 1 =3, d=1/6. Queda por descubrir qué es igual. norte.¡Ningún problema! Necesitamos encontrar un 121. Entonces escribimos:
¡Por favor pon atención! En lugar de un índice norte apareció un número específico: 121. Lo cual es bastante lógico.) Nos interesa el miembro de la progresión aritmética número ciento veintiuno. Esto será nuestro norte. Este es el significado norte= 121 lo sustituiremos más en la fórmula, entre paréntesis. Sustituimos todos los números en la fórmula y calculamos:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Eso es todo. Con la misma rapidez se podía encontrar el término quinientos décimo y el mil tercero, cualquiera. ponemos en su lugar norte el número deseado en el índice de la letra " a" y entre paréntesis, y contamos.
Déjame recordarte el punto: esta fórmula te permite encontrar cualquier término de progresión aritmética POR SU NÚMERO " norte" .
Resolvamos el problema de una manera más astuta. Nos topemos con el siguiente problema:
Encuentre el primer término de la progresión aritmética (a n), si a 17 =-2; d=-0,5.
Si tienes alguna dificultad te cuento el primer paso. ¡Escribe la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética! Sí Sí. Escribe con tus manos, directamente en tu cuaderno:
| un norte = un 1 + (n-1)d |
Y ahora, mirando las letras de la fórmula, ¿entendemos qué datos tenemos y cuáles faltan? Disponible d=-0,5, hay un decimoséptimo miembro... ¿Es ese? Si crees que es eso, entonces no solucionarás el problema, sí...
todavía tenemos un número norte! En condicion un 17 =-2 oculto dos parámetros. Este es tanto el valor del decimoséptimo término (-2) como su número (17). Aquellos. n=17. Esta “bagatela” a menudo se nos escapa de la cabeza, y sin ella (¡sin la “bagatela”, ¡no la cabeza!) el problema no se puede resolver. Aunque... y sin cabeza además.)
Ahora podemos simplemente sustituir estúpidamente nuestros datos en la fórmula:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh sí, un 17 sabemos que es -2. Bien, sustituyamos:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Eso es básicamente todo. Queda por expresar el primer término de la progresión aritmética a partir de la fórmula y calcularlo. La respuesta será: un 1 = 6.
Esta técnica (escribir una fórmula y simplemente sustituir datos conocidos) es de gran ayuda en tareas sencillas. Bueno, por supuesto, debes poder expresar una variable a partir de una fórmula, pero ¿¡qué hacer!? Sin esta habilidad, es posible que las matemáticas no se puedan estudiar en absoluto...
Otro rompecabezas popular:
Encuentre la diferencia de la progresión aritmética (a n), si a 1 =2; 15 = 12.
¿Que estamos haciendo? ¡Te sorprenderás, estamos escribiendo la fórmula!)
| un norte = un 1 + (n-1)d |
Consideremos lo que sabemos: un 1 =2; un 15 =12; y (¡lo destacaré especialmente!) n=15. Siéntete libre de sustituir esto en la fórmula:
12=2 + (15-1)d
Hacemos la aritmética.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Esta es la respuesta correcta.
Así, las tareas de un n, un 1 Y d decidido. Todo lo que queda es aprender a encontrar el número:
El número 99 es miembro de la progresión aritmética (an), donde a 1 = 12; d=3. Encuentra el número de este miembro.
Sustituimos las cantidades que conocemos en la fórmula del enésimo término:
un norte = 12 + (n-1) 3
A primera vista, aquí hay dos cantidades desconocidas: una n y n. Pero un- este es algún miembro de la progresión con un número norte...¡Y conocemos a este miembro de la progresión! Es 99. No sabemos su número. norte, Entonces este número es lo que necesitas encontrar. Sustituimos el término de la progresión 99 en la fórmula:
99 = 12 + (n-1) 3
Expresamos de la fórmula. norte, Nosotros pensamos. Obtenemos la respuesta: n=30.
Y ahora un problema sobre el mismo tema, pero más creativo):
Determine si el número 117 es miembro de la progresión aritmética (an):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Escribamos la fórmula nuevamente. ¿Qué, no hay parámetros? Hm... ¿Por qué nos dan ojos?) ¿Vemos el primer término de la progresión? Vemos. Esto es -3,6. Puedes escribir con seguridad: a 1 = -3,6. Diferencia d¿Puedes distinguirlo de la serie? Es fácil si sabes cuál es la diferencia de una progresión aritmética:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Entonces hicimos lo más simple. Queda por lidiar con el número desconocido. norte y el incomprensible número 117. En el problema anterior, al menos se sabía que era el término de la progresión que se daba. Pero aquí ni siquiera sabemos... ¿¡Qué hacer!? Bueno, cómo ser, cómo ser... ¡Enciende tus habilidades creativas!)
Nosotros suponer que 117 es, después de todo, un miembro de nuestra progresión. Con un numero desconocido norte. Y, al igual que en el problema anterior, intentemos encontrar este número. Aquellos. escribimos la fórmula (¡sí, sí!)) y sustituimos nuestros números:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Nuevamente expresamos a partir de la fórmula.norte, contamos y obtenemos:
¡Ups! El número resultó ¡fraccionario! Ciento uno y medio. Y números fraccionarios en progresiones. no puede ser.¿Qué conclusión podemos sacar? ¡Sí! Número 117 no es miembro de nuestra progresión. Está en algún lugar entre los términos centésimo primero y centésimo segundo. Si el número resultó natural, es decir es un número entero positivo, entonces el número sería miembro de la progresión con el número encontrado. Y en nuestro caso, la respuesta al problema será: No.
Una tarea basada en una versión real del GIA:
Una progresión aritmética viene dada por la condición:
un norte = -4 + 6.8n
Encuentra el primer y décimo término de la progresión.
Aquí la progresión se establece de una manera inusual. Algún tipo de fórmula... Sucede.) Sin embargo, esta fórmula (como escribí arriba) - ¡También la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética! Ella también permite Encuentra cualquier miembro de la progresión por su número.
Estamos buscando al primer miembro. El que piensa. (¡Que el primer término es menos cuatro es un error fatal!) Porque se modifica la fórmula del problema. El primer término de la progresión aritmética en él. oculto. Está bien, lo encontraremos ahora).
Al igual que en problemas anteriores, sustituimos norte=1 en esta fórmula:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
¡Aquí! ¡El primer término es 2,8, no -4!
Buscamos el décimo término de la misma forma:
un 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Eso es todo.
Y ahora, para aquellos que hayan leído estas líneas, el bono prometido.)
Supongamos que, en una situación de combate difícil del Examen Estatal o Examen Estatal Unificado, usted ha olvidado la fórmula útil para el enésimo término de una progresión aritmética. Recuerdo algo, pero de alguna manera con incertidumbre... O norte allí, o n+1, o n-1...¿¡Cómo ser!?
¡Calma! Esta fórmula es fácil de derivar. No es muy estricto, ¡pero definitivamente es suficiente para tener confianza y tomar la decisión correcta!) Para llegar a una conclusión, basta con recordar el significado elemental de una progresión aritmética y disponer de un par de minutos de tiempo. Sólo necesitas hacer un dibujo. Para mayor claridad.
Dibuja una recta numérica y marca la primera en ella. segundo, tercero, etcétera. miembros. Y notamos la diferencia d entre miembros. Como esto:
Miramos la imagen y pensamos: ¿a qué equivale el segundo término? Segundo uno d:
a 2 =un 1 + 1 d
¿Cuál es el tercer término? Tercero término es igual al primer término más dos d.
a 3 =un 1 + 2 d
¿Lo entiendes? No en vano resalto algunas palabras en negrita. Bueno, un paso más).
¿Cuál es el cuarto término? Cuatro término es igual al primer término más tres d.
a 4 =un 1 + 3 d
Es hora de darse cuenta de que el número de brechas, es decir. d, Siempre uno menos que el número del miembro que buscas norte. Es decir, al número. n, número de espacios voluntad n-1. Por tanto, la fórmula será (¡sin variaciones!):
| un norte = un 1 + (n-1)d |
En general, las imágenes visuales son muy útiles para resolver muchos problemas de matemáticas. No descuides las fotos. Pero si es difícil hacer un dibujo, entonces... ¡solo una fórmula!) Además, la fórmula del enésimo término le permite conectar todo el poderoso arsenal de las matemáticas a la solución: ecuaciones, desigualdades, sistemas, etc. No puedes insertar una imagen en la ecuación...
Tareas para solución independiente.
Para calentar:
1. En progresión aritmética (an) a 2 =3; a 5 = 5,1. Encuentra un 3.
Pista: según la imagen, el problema se puede resolver en 20 segundos... Según la fórmula, resulta más difícil. Pero para dominar la fórmula, es más útil). En la Sección 555, este problema se resuelve usando tanto la imagen como la fórmula. ¡Siente la diferencia!)
Y esto ya no es un calentamiento).
2. En progresión aritmética (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Encuentra a 3 .
¿Qué, no quieres hacer un dibujo?) ¡Por supuesto! Mejor según la fórmula, sí...
3. La progresión aritmética viene dada por la condición:a 1 = -5,5; un norte+1 = un norte +0,5. Encuentra el término ciento veinticinco de esta progresión.
En esta tarea, la progresión se especifica de forma recurrente. Pero contando hasta el término ciento veinticinco... No todo el mundo es capaz de tal hazaña.) ¡Pero la fórmula del enésimo término está al alcance de todos!
4. Dada una progresión aritmética (an):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Encuentra el número del término positivo más pequeño de la progresión.
5. De acuerdo con las condiciones de la tarea 4, encuentre la suma de los términos positivos más pequeños y negativos más grandes de la progresión.
6. El producto de los términos quinto y duodécimo de una progresión aritmética creciente es igual a -2,5, y la suma de los términos tercero y undécimo es igual a cero. Encuentra un 14.
No es la tarea más fácil, sí...) El método de la “punta del dedo” no funcionará aquí. Tendrás que escribir fórmulas y resolver ecuaciones.
Respuestas (en desorden):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
¿Sucedió? ¡Es agradable!)
¿No todo sale bien? Sucede. Por cierto, hay un punto sutil en la última tarea. Se requerirá cuidado al leer el problema. Y lógica.
La solución a todos estos problemas se analiza en detalle en la Sección 555. Y el elemento de fantasía para el cuarto, y el punto sutil para el sexto, y los enfoques generales para resolver cualquier problema que involucre la fórmula del enésimo término: todo se describe. Recomiendo.
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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Las matemáticas tienen su propia belleza, al igual que la pintura y la poesía.
Científico y mecánico ruso N.E. Zhukovski
Los problemas muy comunes en las pruebas de acceso a matemáticas son problemas relacionados con el concepto de progresión aritmética. Para resolver con éxito este tipo de problemas, es necesario tener un buen conocimiento de las propiedades de la progresión aritmética y tener ciertas habilidades en su aplicación.
Primero recordemos las propiedades básicas de una progresión aritmética y presentemos las fórmulas más importantes., asociado a este concepto.
Definición. secuencia numérica, en el que cada término subsiguiente difiere del anterior en el mismo número, llama progresión aritmética. En este caso el númerollamada diferencia de progresión.
Para una progresión aritmética, son válidas las siguientes fórmulas:
, (1)
Dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término general de una progresión aritmética, y la fórmula (2) representa la propiedad principal de una progresión aritmética: cada término de la progresión coincide con la media aritmética de sus términos vecinos y.
Tenga en cuenta que es precisamente por esta propiedad que la progresión considerada se llama "aritmética".
Las fórmulas anteriores (1) y (2) se generalizan de la siguiente manera:
(3)
Para calcular la cantidad primero términos de una progresión aritméticala fórmula se usa generalmente
(5) dónde y .
Si tenemos en cuenta la fórmula (1), entonces de la fórmula (5) se deduce
Si denotamos , entonces
Dónde . Dado que , las fórmulas (7) y (8) son una generalización de las fórmulas correspondientes (5) y (6).
En particular , de la fórmula (5) se deduce, Qué
Poco conocida por la mayoría de los estudiantes es la propiedad de la progresión aritmética, formulada mediante el siguiente teorema.
Teorema. Si entonces
Prueba. Si entonces
El teorema ha sido demostrado.
Por ejemplo , usando el teorema, se puede demostrar que
Pasemos a considerar ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión aritmética".
Ejemplo 1. Déjalo ser. Encontrar .
Solución. Aplicando la fórmula (6), obtenemos . Desde y , entonces o .
Ejemplo 2. Sea tres veces mayor, y al dividirlo por el cociente, el resultado es 2 y el resto es 8. Determinar y .
Solución. De las condiciones del ejemplo, el sistema de ecuaciones sigue
Dado que , y , entonces del sistema de ecuaciones (10) obtenemos
La solución de este sistema de ecuaciones es y .
Ejemplo 3. Encuentre si y .
Solución. Según la fórmula (5) tenemos o . Sin embargo, usando la propiedad (9), obtenemos .
Desde y , entonces de la igualdad la ecuación sigue o .
Ejemplo 4. Encuentra si.
Solución.Según la fórmula (5) tenemos
Sin embargo, usando el teorema, podemos escribir
De aquí y de la fórmula (11) obtenemos .
Ejemplo 5. Dado: . Encontrar .
Solución. Desde entonces. Sin embargo, por lo tanto.
Ejemplo 6. Deja , y . Encontrar .
Solución. Usando la fórmula (9), obtenemos. Por lo tanto, si , entonces o .
Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones
Resolviendo cuál, obtenemos y .
Raíz natural de la ecuación. es .
Ejemplo 7. Encuentre si y .
Solución. Dado que según la fórmula (3) tenemos eso , entonces el sistema de ecuaciones se deriva de las condiciones del problema
Si sustituimos la expresiónen la segunda ecuación del sistema, entonces obtenemos o .
Las raíces de una ecuación cuadrática son Y .
Consideremos dos casos.
1. Vamos, entonces. Desde y, entonces.
En este caso, según la fórmula (6), tenemos
2. Si, entonces, y
Respuesta: y.
Ejemplo 8. Se sabe que y. Encontrar .
Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5) y la condición del ejemplo, escribimos y .
Esto implica el sistema de ecuaciones.
Si multiplicamos la primera ecuación del sistema por 2 y luego la sumamos a la segunda ecuación, obtenemos
Según la fórmula (9) tenemos. En este sentido, se desprende de (12) o .
Desde y, entonces.
Respuesta: .
Ejemplo 9. Encuentre si y .
Solución. Desde y por condición, entonces o.
De la fórmula (5) se sabe, Qué . Desde entonces.
Por eso , Aquí tenemos un sistema de ecuaciones lineales.
De aquí obtenemos y . Teniendo en cuenta la fórmula (8), escribimos .
Ejemplo 10. Resuelve la ecuación.
Solución. De la ecuación dada se deduce que . Supongamos que , y . En este caso .
Según la fórmula (1), podemos escribir o .
Dado que , entonces la ecuación (13) tiene la única raíz adecuada.
Ejemplo 11. Encuentre el valor máximo siempre que y .
Solución. Desde , entonces la progresión aritmética considerada es decreciente. En este sentido, la expresión toma su valor máximo cuando es el número del término mínimo positivo de la progresión.
Usemos la fórmula (1) y el hecho, eso y . Entonces obtenemos eso o .
Desde entonces o . Sin embargo, en esta desigualdadmayor número natural, Es por eso .
Si los valores de y se sustituyen en la fórmula (6), obtenemos.
Respuesta: .
Ejemplo 12. Determina la suma de todos los números naturales de dos dígitos que, al dividirlos por el número 6, dejan un resto de 5.
Solución. Denotemos por el conjunto de todos los números naturales de dos dígitos, es decir . A continuación, construiremos un subconjunto formado por aquellos elementos (números) del conjunto que, divididos por el número 6, dan un resto de 5.
Fácil de instalar, Qué . Obviamente , que los elementos del conjuntoformar una progresión aritmética, en el cual y .
Para establecer la cardinalidad (número de elementos) del conjunto, asumimos que . Dado que y , se deduce de la fórmula (1) o . Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos .
Los ejemplos anteriores de resolución de problemas no pueden pretender ser exhaustivos. Este artículo está escrito a partir de un análisis de métodos modernos para resolver problemas típicos sobre un tema determinado. Para un estudio más profundo de los métodos para resolver problemas relacionados con la progresión aritmética, es recomendable consultar la lista de literatura recomendada.
1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.
2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del plan de estudios escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en problemas y ejercicios. Libro 2: Secuencias numéricas y progresiones. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
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Sí, sí: la progresión aritmética no es un juguete para ti :) Bueno, amigos, si están leyendo este texto, entonces la evidencia interna del límite me dice que aún no saben qué es una progresión aritmética, pero realmente (no, así: ¡MUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUOO!) realmente queréis saberlo. Por lo tanto, no los atormentaré con largas presentaciones e iré directo al grano.
Primero, un par de ejemplos. Veamos varios conjuntos de números:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
¿Qué tienen todos estos conjuntos en común? A primera vista, nada. Pero en realidad hay algo. A saber: cada elemento siguiente difiere del anterior en el mismo número.
Juzga por ti mismo. El primer conjunto son simplemente números consecutivos, siendo cada uno uno más que el anterior. En el segundo caso, la diferencia entre números adyacentes ya es cinco, pero esta diferencia sigue siendo constante. En el tercer caso, hay raíces por completo. Sin embargo, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, y $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, es decir y en este caso, cada elemento siguiente simplemente aumenta en $\sqrt(2)$ (y no temas que este número sea irracional).
Entonces: todas estas secuencias se llaman progresiones aritméticas. Demos una definición estricta:
Definición. Una secuencia de números en la que cada uno de los siguientes difiere del anterior exactamente en la misma cantidad se llama progresión aritmética. La misma cantidad en la que difieren los números se llama diferencia de progresión y generalmente se denota con la letra $d$.
Notación: $\left(((a)_(n)) \right)$ es la progresión misma, $d$ es su diferencia.
Y sólo un par de notas importantes. En primer lugar, la progresión sólo se considera ordenado secuencia de números: se permite leerlos estrictamente en el orden en que están escritos, y nada más. Los números no se pueden reorganizar ni intercambiar.
En segundo lugar, la secuencia misma puede ser finita o infinita. Por ejemplo, el conjunto (1; 2; 3) es obviamente una progresión aritmética finita. Pero si escribes algo en espíritu (1; 2; 3; 4; ...), ya es una progresión infinita. Los puntos suspensivos después de los cuatro parecen insinuar que hay bastantes números más por venir. Infinitas, por ejemplo. :)
También me gustaría señalar que las progresiones pueden ser crecientes o decrecientes. Ya hemos visto unos crecientes: el mismo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). A continuación se muestran ejemplos de progresiones decrecientes:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Vale, vale: el último ejemplo puede parecer demasiado complicado. Pero creo que el resto lo entiendes. Por ello, introducimos nuevas definiciones:
Definición. Una progresión aritmética se llama:
- aumentando si cada elemento siguiente es mayor que el anterior;
- decreciente si, por el contrario, cada elemento posterior es menor que el anterior.
Además, existen las llamadas secuencias "estacionarias": consisten en el mismo número repetido. Por ejemplo, (3; 3; 3; ...).
Sólo queda una pregunta: ¿cómo distinguir una progresión creciente de una decreciente? Afortunadamente, aquí todo depende únicamente del signo del número $d$, es decir diferencias de progresión:
- Si $d \gt 0$, entonces la progresión aumenta;
- Si $d \lt 0$, entonces la progresión obviamente es decreciente;
- Finalmente, está el caso $d=0$ - en este caso toda la progresión se reduce a una secuencia estacionaria de números idénticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Intentemos calcular la diferencia $d$ para las tres progresiones decrecientes dadas anteriormente. Para hacer esto, basta con tomar dos elementos adyacentes cualesquiera (por ejemplo, el primero y el segundo) y restar el número de la izquierda del número de la derecha. Se verá así:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Como podemos ver, en los tres casos la diferencia resultó ser negativa. Y ahora que hemos descubierto más o menos las definiciones, es hora de descubrir cómo se describen las progresiones y qué propiedades tienen.
Términos de progresión y fórmula de recurrencia
Como los elementos de nuestras secuencias no se pueden intercambiar, se pueden numerar:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \bien\)\]
Los elementos individuales de este conjunto se denominan miembros de una progresión. Se indican con un número: primer miembro, segundo miembro, etc.
Además, como ya sabemos, los términos vecinos de la progresión están relacionados mediante la fórmula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
En resumen, para encontrar el $n$ésimo término de una progresión, necesitas conocer el $n-1$ésimo término y la diferencia $d$. Esta fórmula se llama recurrente porque con su ayuda puedes encontrar cualquier número solo conociendo el anterior (y de hecho, todos los anteriores). Esto es muy inconveniente, por lo que existe una fórmula más astuta que reduce cualquier cálculo al primer término y la diferencia:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
Probablemente ya te hayas encontrado con esta fórmula. Les gusta incluirlo en todo tipo de libros de referencia y libros de soluciones. Y en cualquier libro de texto de matemáticas sensato es uno de los primeros.
Sin embargo, te sugiero que practiques un poco.
Tarea número 1. Escribe los primeros tres términos de la progresión aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.
Solución. Entonces, conocemos el primer término $((a)_(1))=8$ y la diferencia de la progresión $d=-5$. Usemos la fórmula que acabamos de dar y sustituyamos $n=1$, $n=2$ y $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinear)\]
Respuesta: (8; 3; −2)
¡Eso es todo! Tenga en cuenta: nuestra progresión está disminuyendo.
Por supuesto, $n=1$ no se pudo sustituir: el primer término ya lo conocemos. Sin embargo, al sustituir la unidad, nos convencimos de que nuestra fórmula funciona incluso durante el primer mandato. En otros casos, todo se redujo a una aritmética banal.
Tarea número 2. Escribe los primeros tres términos de una progresión aritmética si su séptimo término es igual a −40 y su decimoséptimo término es igual a −50.
Solución. Escribamos la condición del problema en términos familiares:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \bien.\]
Pongo el cartel del sistema porque estos requisitos deben cumplirse simultáneamente. Ahora observemos que si restamos la primera de la segunda ecuación (tenemos derecho a hacerlo, ya que tenemos un sistema), obtenemos esto:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinear)\]
¡Así de fácil es encontrar la diferencia de progresión! Todo lo que queda es sustituir el número encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, en el primero:
\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]
Ahora, sabiendo el primer término y la diferencia, queda encontrar el segundo y tercer término:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinear)\]
¡Listo! El problema esta resuelto.
Respuesta: (−34; −35; −36)
Observe la interesante propiedad de la progresión que descubrimos: si tomamos los términos $n$ésimo y $m$ésimo y los restamos entre sí, obtenemos la diferencia de la progresión multiplicada por el número $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Una propiedad simple pero muy útil que definitivamente necesitas conocer: con su ayuda puedes acelerar significativamente la solución de muchos problemas de progresión. He aquí un claro ejemplo de ello:
Tarea número 3. El quinto término de una progresión aritmética es 8,4 y su décimo término es 14,4. Encuentra el decimoquinto término de esta progresión.
Solución. Dado que $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, y necesitamos encontrar $((a)_(15))$, observamos lo siguiente:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinear)\]
Pero por la condición $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, por lo tanto $5d=6$, de donde tenemos:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(alinear)\]
Respuesta: 20.4
¡Eso es todo! No necesitábamos crear ningún sistema de ecuaciones ni calcular el primer término y la diferencia; todo se resolvió en solo un par de líneas.
Ahora veamos otro tipo de problema: la búsqueda de términos negativos y positivos de una progresión. No es ningún secreto que si una progresión aumenta y su primer término es negativo, tarde o temprano aparecerán en ella términos positivos. Y viceversa: los términos de una progresión decreciente tarde o temprano se volverán negativos.
Al mismo tiempo, no siempre es posible encontrar este momento "de frente" repasando secuencialmente los elementos. A menudo, los problemas están escritos de tal manera que, sin conocer las fórmulas, los cálculos requerirían varias hojas de papel; simplemente nos quedaríamos dormidos mientras encontrábamos la respuesta. Por tanto, intentemos solucionar estos problemas de una forma más rápida.
Tarea número 4. ¿Cuántos términos negativos hay en la progresión aritmética −38,5; −35,8; ...?
Solución. Entonces, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, de donde inmediatamente encontramos la diferencia:
Tenga en cuenta que la diferencia es positiva, por lo que la progresión aumenta. El primer término es negativo, por lo que efectivamente en algún momento nos toparemos con números positivos. La única pregunta es cuándo sucederá esto.
Intentemos averiguar cuánto tiempo (es decir, hasta qué número natural $n$) permanece la negatividad de los términos:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \derecha. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinear)\]
La última línea requiere alguna explicación. Entonces sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por otro lado, nos conformamos sólo con valores enteros del número (además: $n\in \mathbb(N)$), por lo que el mayor número permitido es precisamente $n=15$, y en ningún caso 16 .
Tarea número 5. En progresión aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encuentra el número del primer término positivo de esta progresión.
Este sería exactamente el mismo problema que el anterior, pero no sabemos $((a)_(1))$. Pero los términos vecinos son conocidos: $((a)_(5))$ y $((a)_(6))$, por lo que podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:
Además, intentemos expresar el quinto término mediante el primero y la diferencia usando la fórmula estándar:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinear)\]
Ahora procedemos por analogía con la tarea anterior. Averigüemos en qué punto de nuestra secuencia aparecerán los números positivos:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinear)\]
La solución entera mínima de esta desigualdad es el número 56.
Tenga en cuenta: en la última tarea todo se redujo a una desigualdad estricta, por lo que la opción $n=55$ no nos conviene.
Ahora que hemos aprendido a resolver problemas simples, pasemos a otros más complejos. Pero primero, estudiemos otra propiedad muy útil de las progresiones aritméticas, que nos ahorrará mucho tiempo y celdas desiguales en el futuro. :)
Media aritmética y sangrías iguales.
Consideremos varios términos consecutivos de la progresión aritmética creciente $\left(((a)_(n)) \right)$. Intentemos marcarlos en la recta numérica:
Términos de una progresión aritmética en la recta numéricaMarqué específicamente términos arbitrarios $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, y no algunos $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Porque la regla que te contaré ahora funciona igual para cualquier “segmento”.
Y la regla es muy simple. Recordemos la fórmula recurrente y anotémosla para todos los términos marcados:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinear)\]
Sin embargo, estas igualdades se pueden reescribir de otra manera:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinear)\]
Bueno, ¿y qué? Y el hecho de que los términos $((a)_(n-1))$ y $((a)_(n+1))$ se encuentran a la misma distancia de $((a)_(n)) $ . Y esta distancia es igual a $d$. Lo mismo puede decirse de los términos $((a)_(n-2))$ y $((a)_(n+2))$ - también se eliminan de $((a)_(n) )$ a la misma distancia igual a $2d$. Podemos continuar hasta el infinito, pero el significado queda bien ilustrado por la imagen.
Los términos de la progresión se encuentran a la misma distancia del centro. ¿Qué significa esto para nosotros? Esto significa que se puede encontrar $((a)_(n))$ si se conocen los números vecinos:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Hemos obtenido una afirmación excelente: ¡cada término de una progresión aritmética es igual a la media aritmética de sus términos vecinos! Además: podemos retroceder desde nuestro $((a)_(n))$ hacia la izquierda y hacia la derecha no un paso, sino $k$ pasos, y la fórmula seguirá siendo correcta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Aquellos. podemos encontrar fácilmente algo de $((a)_(150))$ si conocemos $((a)_(100))$ y $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A primera vista puede parecer que este hecho no nos aporta nada útil. Sin embargo, en la práctica, muchos problemas están especialmente diseñados para utilizar la media aritmética. Echar un vistazo:
Tarea número 6. Encuentre todos los valores de $x$ para los cuales los números $-6((x)^(2))$, $x+1$ y $14+4((x)^(2))$ son términos consecutivos de una progresión aritmética (en el orden indicado).
Solución. Dado que estos números son miembros de una progresión, la condición de la media aritmética se cumple para ellos: el elemento central $x+1$ se puede expresar en términos de elementos vecinos:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinear)\]
El resultado es una ecuación cuadrática clásica. Sus raíces: $x=2$ y $x=-3$ son las respuestas.
Respuesta: −3; 2.
Tarea número 7. Encuentra los valores de $$ para los cuales los números $-1;4-3;(()^(2))+1$ forman una progresión aritmética (en ese orden).
Solución. Expresemos nuevamente el término medio mediante la media aritmética de los términos vecinos:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \derecha.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinear)\]
Ecuación cuadrática nuevamente. Y nuevamente hay dos raíces: $x=6$ y $x=1$.
Respuesta 1; 6.
Si en el proceso de resolución de un problema se te ocurren cifras brutales, o no estás del todo seguro de la exactitud de las respuestas encontradas, entonces existe una técnica maravillosa que te permite comprobar: ¿hemos resuelto el problema correctamente?
Digamos que en el problema número 6 recibimos las respuestas −3 y 2. ¿Cómo podemos comprobar que estas respuestas son correctas? Conectémoslos a su estado original y veamos qué sucede. Déjame recordarte que tenemos tres números ($-6(()^(2))$, $+1$ y $14+4(()^(2))$), que deben formar una progresión aritmética. Sustituyamos $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinear)\]
Obtuvimos los números −54; −2; 50 que difieren en 52 es sin duda una progresión aritmética. Lo mismo sucede para $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\&x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinear)\]
De nuevo una progresión, pero con una diferencia de 27. Así, el problema se resolvió correctamente. Quien lo desee puede comprobar el segundo problema por su cuenta, pero diré de inmediato: allí también todo está correcto.
En general, mientras resolvíamos los últimos problemas, nos encontramos con otro dato interesante que también conviene recordar:
Si tres números son tales que el segundo es la media aritmética del primero y del último, entonces estos números forman una progresión aritmética.
En el futuro, comprender esta afirmación nos permitirá literalmente "construir" las progresiones necesarias en función de las condiciones del problema. Pero antes de emprender tal "construcción", debemos prestar atención a un hecho más, que se deriva directamente de lo que ya se ha discutido.
Agrupación y suma de elementos.
Volvamos nuevamente al eje numérico. Observemos allí varios miembros de la progresión, entre los cuales, quizás. vale mucho para otros miembros:
Hay 6 elementos marcados en la recta numérica.Intentemos expresar la “cola izquierda” mediante $((a)_(n))$ y $d$, y la “cola derecha” mediante $((a)_(k))$ y $d$. Es muy sencillo:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinear)\]
Ahora tenga en cuenta que las siguientes cantidades son iguales:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinear)\]
En pocas palabras, si tomamos como punto de partida dos elementos de la progresión, que en total son iguales a algún número $S$, y luego comenzamos a alejarnos de estos elementos en direcciones opuestas (uno hacia el otro o viceversa para alejarnos), entonces las sumas de los elementos con los que tropezaremos también serán iguales$S$. Esto se puede representar más claramente gráficamente:
Sangrías iguales dan cantidades iguales Comprender este hecho nos permitirá resolver problemas de un nivel de complejidad fundamentalmente mayor que los que consideramos anteriormente. Por ejemplo, estos:
Tarea número 8. Determina la diferencia de una progresión aritmética en la que el primer término es 66 y el producto del segundo y duodécimo término es el menor posible.
Solución. Anotemos todo lo que sabemos:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinear)\]
Entonces, no conocemos la diferencia de progresión $d$. En realidad, toda la solución se construirá en torno a la diferencia, ya que el producto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinear)\]
Para aquellos en el tanque: tomé el multiplicador total de 11 del segundo grupo. Por tanto, el producto deseado es una función cuadrática con respecto a la variable $d$. Por lo tanto, considere la función $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, porque si ampliamos los corchetes, obtenemos:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Como puede ver, el coeficiente del término más alto es 11; este es un número positivo, por lo que en realidad estamos ante una parábola con ramas hacia arriba:
gráfica de una función cuadrática - parábola
Nota: esta parábola toma su valor mínimo en su vértice con la abscisa $((d)_(0))$. Por supuesto, podemos calcular esta abscisa usando el esquema estándar (existe la fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), pero sería mucho más razonable notar que el vértice deseado se encuentra en el eje de simetría de la parábola, por lo tanto el punto $((d)_(0))$ es equidistante de las raíces de la ecuación $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinear)\]
Por eso no tenía mucha prisa por abrir los corchetes: en su forma original, las raíces eran muy, muy fáciles de encontrar. Por tanto, la abscisa es igual a la media aritmética de los números −66 y −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
¿Qué nos aporta el número descubierto? Con él, el producto requerido toma el valor más pequeño (por cierto, nunca calculamos $((y)_(\min ))$; esto no es un requisito de nuestra parte). Además, este número es la diferencia de la progresión original, es decir encontramos la respuesta. :)
Respuesta: −36
Tarea número 9. Entre los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac(1)(6)$ inserta tres números para que junto con estos números formen una progresión aritmética.
Solución. Esencialmente, necesitamos hacer una secuencia de cinco números, con el primero y el último número ya conocidos. Denotemos los números que faltan con las variables $x$, $y$ y $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Tenga en cuenta que el número $y$ es el “medio” de nuestra secuencia: es equidistante de los números $x$ y $z$, y de los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac (1)(6)$. Y si actualmente no podemos obtener $y$ de los números $x$ y $z$, entonces la situación es diferente con los finales de la progresión. Recordemos la media aritmética:
Ahora, sabiendo $y$, encontraremos los números restantes. Tenga en cuenta que $x$ se encuentra entre los números $-\frac(1)(2)$ y $y=-\frac(1)(3)$ que acabamos de encontrar. Es por eso
Usando un razonamiento similar, encontramos el número restante:
¡Listo! Encontramos los tres números. Escribámoslos en la respuesta en el orden en que deben insertarse entre los números originales.
Respuesta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tarea número 10. Entre los números 2 y 42, inserta varios números que, junto con estos números, forman una progresión aritmética, si sabes que la suma del primero, segundo y último de los números insertados es 56.
Solución. Un problema aún más complejo, que, sin embargo, se resuelve según el mismo esquema que los anteriores: mediante la media aritmética. El problema es que no sabemos exactamente cuántos números hay que insertar. Por lo tanto, supongamos con certeza que después de insertar todo habrá exactamente $n$ números, y el primero de ellos es 2 y el último es 42. En este caso, la progresión aritmética requerida se puede representar en la forma:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Sin embargo, tenga en cuenta que los números $((a)_(2))$ y $((a)_(n-1))$ se obtienen de los números 2 y 42 en los bordes un paso hacia el otro, es decir. . al centro de la secuencia. Y esto significa que
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Pero entonces la expresión escrita arriba se puede reescribir de la siguiente manera:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinear)\]
Conociendo $((a)_(3))$ y $((a)_(1))$, podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Flecha derecha d=5. \\ \end(alinear)\]
Todo lo que queda es encontrar los términos restantes:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinear)\]
Así, ya en el noveno paso llegaremos al extremo izquierdo de la secuencia: el número 42. En total, solo fue necesario insertar 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Respuesta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Problemas verbales con progresiones
En conclusión, me gustaría considerar un par de problemas relativamente simples. Bueno, tan simple como eso: para la mayoría de los estudiantes que estudian matemáticas en la escuela y no han leído lo escrito anteriormente, estos problemas pueden parecer difíciles. Sin embargo, estos son los tipos de problemas que aparecen en la OGE y el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, por lo que te recomiendo que te familiarices con ellos.
Tarea número 11. El equipo produjo 62 piezas en enero y en cada mes siguiente produjo 14 piezas más que el mes anterior. ¿Cuántas piezas produjo el equipo en noviembre?
Solución. Evidentemente, el número de piezas enumeradas por mes representará una progresión aritmética creciente. Además:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Noviembre es el undécimo mes del año, por lo que necesitamos encontrar $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Por tanto, en noviembre se producirán 202 piezas.
Tarea número 12. El taller de encuadernación encuadernó 216 libros en enero y en cada mes posterior encuadernó 4 libros más que el mes anterior. ¿Cuántos libros encuadernó el taller en diciembre?
Solución. Todos iguales:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Diciembre es el último mes número 12 del año, por lo que buscamos $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Esta es la respuesta: en diciembre se encuadernarán 260 libros.
Bueno, si has leído hasta aquí, me apresuro a felicitarte: has completado con éxito el “curso para jóvenes luchadores” en progresiones aritméticas. Puede pasar con seguridad a la siguiente lección, donde estudiaremos la fórmula para la suma de la progresión, así como sus importantes y muy útiles consecuencias.
