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Una progresión aritmética es una serie de números en los que cada número es mayor (o menor) que el anterior en la misma cantidad.
Este tema es a menudo difícil e incomprensible. índices de letras, enésimo miembro progresiones, la diferencia en la progresión: todo esto es algo confuso, sí ... Tratemos el significado progresión aritmética Y todo estará bien.)
El concepto de progresión aritmética.
La progresión aritmética es un concepto muy simple y claro. ¿Duda? En vano.) Compruébelo usted mismo.
Escribiré una serie inconclusa de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
¿Puedes extender esta línea? ¿Qué números irán a continuación, después del cinco? Todos... eh..., en fin, todos se darán cuenta de que los números 6, 7, 8, 9, etc. irán más allá.
Compliquemos la tarea. Doy una serie inconclusa de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Puede captar el patrón, extender la serie y nombrar séptimo¿numero de fila?
Si descubrió que este número es 20, ¡lo felicito! No solo sentiste puntos clave de una progresión aritmética,¡pero también los usó con éxito en los negocios! Si no entiendes, sigue leyendo.
Ahora, traduzcamos los puntos clave de las sensaciones a las matemáticas.)
Primer punto clave.
La progresión aritmética trata de series de números. Esto es confuso al principio. Estamos acostumbrados a resolver ecuaciones, construir gráficas y todo eso... Y luego extender la serie, encontrar el número de la serie...
Está bien. Es solo que las progresiones son el primer contacto con una nueva rama de las matemáticas. La sección se llama "Series" y trabaja con series de números y expresiones. Acostumbrarse a él.)
Segundo punto clave.
En una progresión aritmética, cualquier número difiere del anterior por la misma cantidad.
En el primer ejemplo, esta diferencia es uno. Cualquiera que sea el número que tomes, es uno más que el anterior. En el segundo - tres. Cualquier número es tres veces mayor que el anterior. En realidad, es este momento el que nos da la oportunidad de captar el patrón y calcular los números subsiguientes.
Tercer punto clave.
Este momento no es llamativo, sí... Pero muy, muy importante. Aquí está él: cada número de progresión está en su lugar. Está el primer número, está el séptimo, está el cuadragésimo quinto, y así sucesivamente. Si los confundes al azar, el patrón desaparecerá. La progresión aritmética también desaparecerá. Es solo una serie de números.
Ese es todo el punto.
por supuesto, en nuevo tema aparecen nuevos términos y notación. Necesitan saber. De lo contrario, no entenderás la tarea. Por ejemplo, tienes que decidir algo como:
Escribe los primeros seis términos de la progresión aritmética (a n) si a 2 = 5, d = -2.5.
¿Inspira?) Cartas, algunos índices... Y la tarea, por cierto, no puede ser más sencilla. Solo necesita comprender el significado de los términos y la notación. Ahora dominaremos este asunto y volveremos a la tarea.
Términos y designaciones.
Progresión aritmética es una serie de números en la que cada número es diferente del anterior por la misma cantidad.
Este valor se llama . Vamos a tratar este concepto con más detalle.
Diferencia de progresión aritmética.
Diferencia de progresión aritmética es la cantidad por la cual cualquier número de progresión más El anterior.
Uno punto importante. Por favor, preste atención a la palabra "más". Matemáticamente, esto significa que cada número de progresión se obtiene agregando la diferencia de una progresión aritmética con el número anterior.
Para calcular digamos segundo números de la fila, es necesario primero número agregar esta misma diferencia de una progresión aritmética. Para cálculo quinto- la diferencia es necesaria agregar A cuatro bueno, etc
Diferencia de progresión aritmética Tal vez positivo entonces cada número de la serie resultará ser real más que el anterior. Esta progresión se llama creciente. Por ejemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aquí cada número es agregando número positivo, +5 al anterior.
La diferencia puede ser negativo entonces cada número en la serie será menos que el anterior. Esta progresión se llama (¡no te lo vas a creer!) decreciente.
Por ejemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aquí también se obtiene cada número. agregando al número anterior, pero ya negativo, -5.
Por cierto, cuando se trabaja con una progresión, es muy útil determinar de inmediato su naturaleza, si es creciente o decreciente. Ayuda mucho orientarse en la decisión, detectar los errores y corregirlos antes de que sea demasiado tarde.
Diferencia de progresión aritmética generalmente denotado por la letra d.
Como encontrar d? Muy simple. Es necesario restar de cualquier número de la serie anterior número. Sustraer. Por cierto, el resultado de la resta se llama "diferencia").
Definamos, por ejemplo, d para una progresión aritmética creciente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Tomamos cualquier número de la fila que queramos, por ejemplo, 11. Restamos de él el numero anterior aquellos. 8:
Esta es la respuesta correcta. Para esta progresión aritmética, la diferencia es tres.
solo puedes tomar cualquier número de progresiones, porque para una progresión específica d-siempre lo mismo. Al menos en algún lugar al comienzo de la fila, al menos en el medio, al menos en cualquier lugar. No puedes tomar solo el primer número. Sólo porque el primer número sin previo.)
Por cierto, sabiendo que re=3, encontrar el séptimo número de esta progresión es muy sencillo. Agregamos 3 al quinto número: obtenemos el sexto, será 17. Agregamos tres al sexto número, obtenemos el séptimo número: veinte.
definamos d para una progresión aritmética decreciente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Les recuerdo que, independientemente de los signos, para determinar d necesario de cualquier número quitar el anterior. Elegimos cualquier número de progresión, por ejemplo -7. Su número anterior es -2. Entonces:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La diferencia de una progresión aritmética puede ser cualquier número: entero, fraccionario, irracional, cualquiera.
Otros términos y denominaciones.
Cada número de la serie se llama miembro de una progresión aritmética.
Cada miembro de la progresión tiene su numero Los números están estrictamente en orden, sin trucos. Primero, segundo, tercero, cuarto, etc. Por ejemplo, en la progresión 2, 5, 8, 11, 14, ... dos es el primer miembro, cinco es el segundo, once es el cuarto, bueno, usted entiende ...) Por favor, comprenda claramente - los numeros mismos puede ser absolutamente cualquiera, entero, fraccionario, negativo, lo que sea, pero numeración- estrictamente en orden!
¿Cómo escribir una progresión en forma general? ¡Ningún problema! Cada número de la serie se escribe como una letra. Para denotar una progresión aritmética, por regla general, se utiliza la letra a. El número de miembro está indicado por el índice en la parte inferior derecha. Los miembros se escriben separados por comas (o punto y coma), así:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1 es el primer numero un 3- tercero, etc Nada complicado. Puedes escribir esta serie brevemente así: (un).
hay progresiones finito e infinito.
último la progresión tiene un número limitado de miembros. Cinco, treinta y ocho, lo que sea. Pero es un número finito.
Sin fin progresión: tiene un número infinito de miembros, como puede suponer).
Puedes escribir una progresión final a través de una serie como esta, todos los miembros y un punto al final:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 .
O así, si hay muchos miembros:
un 1 , un 2 , ... un 14 , un 15 .
En una entrada breve, deberá indicar adicionalmente el número de miembros. Por ejemplo (para veinte miembros), así:
(un n), n = 20
Se puede reconocer una progresión infinita por los puntos suspensivos al final de la fila, como en los ejemplos de esta lección.
Ahora ya puedes resolver tareas. Las tareas son simples, puramente para comprender el significado de la progresión aritmética.
Ejemplos de tareas para la progresión aritmética.
Echemos un vistazo más de cerca a la tarea anterior:
1. Escribe los primeros seis miembros de la progresión aritmética (a n), si a 2 = 5, d = -2.5.
Traducimos la tarea a un lenguaje comprensible. Dada una progresión aritmética infinita. El segundo número de esta progresión es conocido: un 2 = 5. Diferencia de progresión conocida: d = -2,5. Necesitamos encontrar los miembros primero, tercero, cuarto, quinto y sexto de esta progresión.
Para mayor claridad, escribiré una serie de acuerdo con la condición del problema. Los primeros seis miembros, donde el segundo miembro es cinco:
un 1 , 5 , un 3 , un 4 , un 5 , un 6 ,....
un 3 = un 2 + d
Sustituimos en la expresión un 2 = 5 Y d=-2,5. ¡No olvides el menos!
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
El tercer término es menor que el segundo. Todo es lógico. Si el número es mayor que el anterior negativo valor, por lo que el número en sí será menor que el anterior. La progresión es decreciente. Bien, tomémoslo en cuenta.) Consideramos al cuarto miembro de nuestra serie:
un 4 = un 3 + d
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + d
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + d
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Entonces, se han calculado los términos del tercero al sexto. Esto resultó en una serie:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Queda por encontrar el primer termino un 1 según el conocido segundo. Este es un paso en la otra dirección, hacia la izquierda). Por lo tanto, la diferencia de la progresión aritmética d no se debe agregar a un 2, A llevar:
un 1 = un 2 - d
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Eso es todo al respecto. Respuesta de la tarea:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De paso, noto que resolvimos esta tarea. recurrente forma. Esta terrible palabra significa, únicamente, la búsqueda de un miembro de la progresión. por el número anterior (adyacente). Más adelante se discutirán otras formas de trabajar con la progresión.
De esta sencilla tarea se puede extraer una conclusión importante.
Recordar:
Si conocemos al menos un miembro y la diferencia de una progresión aritmética, podemos encontrar cualquier miembro de esta progresión.
¿Recordar? Esta simple derivación nos permite resolver la mayoría de los problemas curso escolar sobre este tema. Todas las tareas giran en torno a tres parámetros principales: miembro de una progresión aritmética, diferencia de una progresión, número de un miembro de una progresión. Todo.
Por supuesto, todo el álgebra anterior no se cancela.) Las desigualdades, ecuaciones y otras cosas se adjuntan a la progresión. Pero según la progresión- todo gira en torno a tres parámetros.
Por ejemplo, considere algunas tareas populares sobre este tema.
2. Escribe la progresión aritmética final como una serie si n=5, d=0.4 y a 1=3.6.
Todo es simple aquí. Ya está todo dado. Debe recordar cómo se calculan, cuentan y escriben los miembros de una progresión aritmética. Es recomendable no omitir las palabras en la condición de la tarea: "final" y " n=5". Para no contar hasta que esté completamente azul en la cara.) Solo hay 5 (cinco) miembros en esta progresión:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Queda por escribir la respuesta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Otra tarea:
3. Determinar si el número 7 será miembro de una progresión aritmética (a n) si un 1 \u003d 4.1; d = 1,2.
Mmm... ¿Quién sabe? ¿Cómo definir algo?
Cómo-cómo... ¡Sí, apunta la progresión en forma de serie y mira si sale un siete o no! Creemos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ahora se ve claramente que solo somos siete deslizado a través de entre 6,5 y 7,7! El siete no entró en nuestra serie de números y, por lo tanto, el siete no será miembro de la progresión dada.
Respuesta: no.
Y aquí hay una tarea basada en una versión real del GIA:
4. Se escriben varios miembros consecutivos de la progresión aritmética:
...; 15; X; 9; 6; ...
He aquí una serie sin final ni principio. Sin números de miembro, no hay diferencia d. Está bien. Para resolver el problema, basta con comprender el significado de una progresión aritmética. A ver y ver que podemos saber de esta línea? ¿Cuáles son los parámetros de los tres principales?
números de miembros? Aquí no hay un solo número.
Pero hay tres números y - ¡atención! - palabra "consecutivo" en condicion. Esto significa que los números están estrictamente en orden, sin espacios. ¿Hay dos en esta fila? vecino números conocidos? ¡Sí tengo! Estos son 9 y 6. ¡Entonces podemos calcular la diferencia de una progresión aritmética! restamos de los seis anterior número, es decir nueve:
Quedan espacios vacíos. ¿Qué número será el anterior para x? Quince. Por lo tanto, x se puede encontrar fácilmente mediante una simple suma. A 15 sumarle la diferencia de una progresión aritmética:
Eso es todo. Respuesta: x=12
Solucionamos los siguientes problemas nosotros mismos. Nota: estos acertijos no son para fórmulas. Puramente para entender el significado de una progresión aritmética.) Simplemente escribimos una serie de números-letras, miramos y pensamos.
5. Encuentra el primer término positivo de la progresión aritmética si a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se sabe que el número 5,5 es miembro de la progresión aritmética (a n), donde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine el número n de este término.
7. Se sabe que en una progresión aritmética a 2 = 4; un 5 \u003d 15.1. Encuentra un 3.
8. Se escriben varios miembros consecutivos de la progresión aritmética:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encuentre el término de la progresión, denotado por la letra x.
9. El tren comenzó a moverse desde la estación, aumentando gradualmente su velocidad en 30 metros por minuto. ¿Cuál será la velocidad del tren en cinco minutos? Da tu respuesta en km/h.
10. Se sabe que en una progresión aritmética a 2 = 5; un 6 = -5. encuentra un 1.
Respuestas (en desorden): 7.7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
¿Todo salió bien? ¡Asombroso! Puedes dominar la progresión aritmética para más nivel alto, en las próximas lecciones.
¿No salió todo bien? Ningún problema. En la Sección Especial 555, todos estos acertijos se desglosan pieza por pieza). Y, por supuesto, se describe una técnica práctica simple que resalta de inmediato la solución de tales tareas claramente, claramente, ¡como en la palma de su mano!
Por cierto, en el acertijo del tren hay dos problemas con los que la gente suele tropezar. Uno, puramente por progresión, y el segundo, común a cualquier tarea en matemáticas y física también. Esta es una traducción de dimensiones de una a otra. Muestra cómo se deben resolver estos problemas.
En esta lección, examinamos el significado elemental de una progresión aritmética y sus parámetros principales. Esto es suficiente para resolver casi todos los problemas sobre este tema. Agregar d a los números, escribe una serie, todo se decidirá.
La solución de dedo funciona bien para piezas muy cortas de la serie, como en los ejemplos de esta lección. Si la serie es más larga, los cálculos se vuelven más complicados. Por ejemplo, si en el problema 9 de la pregunta, reemplaza "cinco minutos" en "treinta y cinco minutos" el problema será mucho peor.)
Y también hay tareas que son simples en esencia, pero completamente absurdas en términos de cálculos, por ejemplo:
Dada una progresión aritmética (a n). Encuentre un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.
¿Y qué, agregaremos 1/6 muchas, muchas veces? ¿¡Es posible suicidarse!?
Puede.) Si no conoce una fórmula simple mediante la cual puede resolver tales tareas en un minuto. Esta fórmula estará en la próxima lección. Y ahí se soluciona ese problema. En un minuto.)
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Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Qué Punto principal fórmulas?
Esta fórmula le permite encontrar cualquier POR SU NÚMERO" norte" .
Por supuesto, necesitas saber el primer término. un 1 y diferencia de progresión d, bueno, sin estos parámetros, no puedes escribir una progresión específica.
No es suficiente memorizar (o hacer trampa) esta fórmula. Es necesario asimilar su esencia y aplicar la fórmula en diversos problemas. Sí, y no olvides en el momento adecuado, sí ...) Cómo No olvide- No sé. Y aquí como recordar Si es necesario, te daré una pista. Para aquellos que dominan la lección hasta el final.)
Entonces, tratemos con la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.
Qué es una fórmula en general, imaginamos.) Qué es una progresión aritmética, un número de miembro, una diferencia de progresión, se establece claramente en la lección anterior. Échale un vistazo si no lo has leído. Allí todo es sencillo. Queda por averiguar qué enésimo miembro.
La progresión en general se puede escribir como una serie de números:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1- denota el primer término de una progresión aritmética, un 3- tercer miembro un 4- cuarto, y así sucesivamente. Si estamos interesados en el quinto término, digamos que estamos trabajando con un 5, si ciento veinte - de un 120.
Cómo definir en general cualquier miembro de una progresión aritmética, s cualquier¿número? ¡Muy simple! Como esto:
un
Eso es lo que es n-ésimo miembro de una progresión aritmética. Debajo de la letra n se ocultan todos los números de miembros a la vez: 1, 2, 3, 4, etc.
¿Y qué nos da tal registro? Solo piensa, en lugar de un número, escribieron una letra ...
Esta notación nos brinda una poderosa herramienta para trabajar con progresiones aritméticas. Usando la notación un, podemos encontrar rápidamente cualquier miembro cualquier progresión aritmética. Y un montón de tareas para resolver en progresión. Verás más.
En la fórmula del enésimo miembro de una progresión aritmética:
| un n = un 1 + (n-1)d |
un 1- el primer miembro de la progresión aritmética;
norte- número de miembro.
La fórmula vincula los parámetros clave de cualquier progresión: un ; un 1; d Y norte. Alrededor de estos parámetros, todos los rompecabezas giran en progresión.
La fórmula del término n también se puede usar para escribir una progresión específica. Por ejemplo, en el problema se puede decir que la progresión viene dada por la condición:
un n = 5 + (n-1) 2.
Tal problema puede incluso confundir ... No hay serie, no hay diferencia ... Pero, comparando la condición con la fórmula, es fácil darse cuenta de que en esta progresión a 1 \u003d 5, y d \u003d 2.
¡Y puede ser aún más enojado!) Si tomamos la misma condición: un n = 5 + (n-1) 2, sí, abre los paréntesis y da otros similares? Obtenemos una nueva fórmula:
an = 3 + 2n.
Este Solo que no es general, sino para una progresión específica. Aquí es donde está la trampa. Algunas personas piensan que el primer término es un tres. Aunque en realidad el primer miembro es un cinco... Un poco más abajo trabajaremos con esa fórmula modificada.
En tareas para la progresión, hay otra notación: un n+1. Este es, lo adivinaste, el término "n más el primero" de la progresión. Su significado es simple e inofensivo.) Este es un miembro de la progresión, cuyo número es mayor que el número n por uno. Por ejemplo, si en algún problema tomamos por un quinto término, entonces un n+1 será el sexto integrante. Etc.
Muy a menudo la designación un n+1 ocurre en fórmulas recursivas. ¡No tengas miedo de esta terrible palabra!) Esta es solo una forma de expresar un término de una progresión aritmética a través de la anterior. Supongamos que se nos da una progresión aritmética de esta forma, usando la fórmula recurrente:
un norte+1 = un norte +3
un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Del cuarto al tercero, del quinto al cuarto, y así sucesivamente. Y cómo contar inmediatamente, digamos el vigésimo término, un 20? ¡Pero de ninguna manera!) Si bien el término 19 no se conoce, el 20 no se puede contar. Esta es la diferencia fundamental entre la fórmula recursiva y la fórmula del n-ésimo término. El recurso recursivo solo funciona a través de anterior término, y la fórmula del término n - a través de primero y permite inmediatamente encontrar cualquier miembro por su número. No contar toda la serie de números en orden.
En una progresión aritmética, una fórmula recursiva se puede convertir fácilmente en una regular. Cuenta un par de términos consecutivos, calcula la diferencia d, Encuentre, si es necesario, el primer término. un 1, escriba la fórmula en la forma habitual y trabaje con ella. En el GIA, tales tareas se encuentran a menudo.
Aplicación de la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.
Primero, veamos la aplicación directa de la fórmula. Al final de la lección anterior había un problema:
Dada una progresión aritmética (a n). Encuentre un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.
Este problema se puede resolver sin fórmulas, simplemente basándose en el significado de la progresión aritmética. Agregue, sí agregue ... Una hora o dos.)
Y según la fórmula, la solución tardará menos de un minuto. Puedes cronometrarlo). Nosotros decidimos.
Las condiciones proporcionan todos los datos para usar la fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Queda por ver qué norte.¡Ningún problema! Necesitamos encontrar un 121. Aquí escribimos:
¡Por favor pon atención! En lugar de un índice norte apareció un número específico: 121. Lo cual es bastante lógico.) Estamos interesados en el miembro de la progresión aritmética número ciento veintiuno. Este será nuestro norte. es este significado norte= 121 lo sustituiremos más adelante en la fórmula, entre paréntesis. Sustituye todos los números en la fórmula y calcula:
121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Eso es todo al respecto. Con la misma rapidez uno podría encontrar el miembro quinientos décimo, y el mil tercero, cualquiera. ponemos en su lugar norte número deseado en el índice de la letra " a" y entre paréntesis, y consideramos.
Déjame recordarte la esencia: esta fórmula te permite encontrar cualquier término de una progresión aritmética POR SU NÚMERO" norte" .
Resolvamos el problema de manera más inteligente. Digamos que tenemos el siguiente problema:
Encuentre el primer término de la progresión aritmética (a n) si a 17 =-2; d=-0,5.
Si tienes alguna dificultad, te sugiero el primer paso. ¡Escriba la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética! Sí Sí. Escriba a mano, directamente en su cuaderno:
| un n = un 1 + (n-1)d |
Y ahora, mirando las letras de la fórmula, entendemos qué datos tenemos y qué falta. Disponible d=-0.5, hay un decimoséptimo miembro... ¿Todo? Si crees que eso es todo, entonces no puedes resolver el problema, sí...
También tenemos un número norte! en la condición un 17 =-2 oculto dos opciones. Este es tanto el valor del decimoséptimo miembro (-2) como su número (17). Aquellos. n=17. Esta "pequeña cosa" a menudo se desliza más allá de la cabeza, y sin ella (¡sin la "pequeña cosa", no la cabeza!) El problema no se puede resolver. Aunque... y sin cabeza también.)
Ahora podemos simplemente sustituir estúpidamente nuestros datos en la fórmula:
un 17 \u003d un 1 + (17-1) (-0.5)
Oh sí, un 17 sabemos que es -2. Bien, vamos a ponerlo en:
-2 \u003d un 1 + (17-1) (-0.5)
Eso, en esencia, es todo. Queda por expresar el primer término de la progresión aritmética a partir de la fórmula, y calcular. Obtienes la respuesta: un 1 = 6.
Tal técnica, escribir una fórmula y simplemente sustituir datos conocidos, ayuda mucho en tareas simples. Bueno, por supuesto, debe poder expresar una variable a partir de una fórmula, pero ¿qué hacer? Sin esta habilidad, las matemáticas no se pueden estudiar en absoluto ...
Otro problema popular:
Encuentra la diferencia de la progresión aritmética (a n) si a 1 =2; un 15 = 12.
¿Que estamos haciendo? ¡Te sorprenderás, escribimos la fórmula!)
| un n = un 1 + (n-1)d |
Considere lo que sabemos: un 1 = 2; un 15 = 12; y (¡punto culminante especial!) n=15. Siéntase libre de sustituir en la fórmula:
12=2 + (15-1)d
Hagamos la aritmética.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Esta es la respuesta correcta.
Entonces, tareas un n, un 1 Y d decidido. Queda por aprender cómo encontrar el número:
El número 99 es miembro de una progresión aritmética (a n), donde a 1 = 12; d=3. Encuentre el número de este miembro.
Sustituimos las cantidades conocidas en la fórmula del término n:
un norte = 12 + (n-1) 3
A primera vista, hay dos cantidades desconocidas aquí: una n y una n Pero un es algún miembro de la progresión con el número norte... Y este miembro de la progresión que conocemos! Es el 99. No sabemos su número. norte, así que este número también necesita ser encontrado. Sustituya el término de progresión 99 en la fórmula:
99 = 12 + (n-1) 3
Expresamos a partir de la fórmula norte, Nosotros pensamos. Obtenemos la respuesta: n=30.
Y ahora un problema sobre el mismo tema, pero más creativo):
Determine si el número 117 será miembro de una progresión aritmética (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Escribamos la fórmula de nuevo. ¿Qué, no hay parámetros? Hm... ¿Por qué necesitamos ojos?) ¿Vemos al primer miembro de la progresión? Vemos. Esto es -3.6. Puedes escribir con seguridad: un 1 \u003d -3.6. Diferencia d se puede determinar a partir de la serie? Es fácil si sabes cuál es la diferencia de una progresión aritmética:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Sí, hicimos lo más simple. Queda por hacer frente a un número desconocido norte y un incomprensible número 117. En el problema anterior al menos se sabía que era el término de la progresión que se daba. Pero aquí ni eso sabemos... ¿¡Cómo ser!? Pues como ser, como ser... prende Habilidades creativas!)
Nosotros suponer que 117 es, después de todo, un miembro de nuestra progresión. Con un número desconocido norte. Y, al igual que en el problema anterior, intentemos encontrar este número. Aquellos. escribimos la fórmula (¡sí-sí!)) y sustituimos nuestros números:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
De nuevo expresamos a partir de la fórmulanorte, contamos y obtenemos:
¡Ups! El número resultó ¡fraccionario! Ciento uno y medio. Y números fraccionarios en progresiones. no puede ser.¿Qué conclusión sacamos? ¡Sí! número 117 no es miembro de nuestra progresión. Está en algún lugar entre los miembros 101 y 102. Si el número resultó ser natural, es decir. entero positivo, entonces el número sería un miembro de la progresión con el número encontrado. Y en nuestro caso, la respuesta al problema será: No.
Tarea basada en una versión real del GIA:
La progresión aritmética viene dada por la condición:
un n \u003d -4 + 6.8n
Encuentre los términos primero y décimo de la progresión.
Aquí la progresión se establece de una manera inusual. Algún tipo de fórmula ... Sucede.) Sin embargo, esta fórmula (como escribí anteriormente) - ¡también la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética! Ella también permite encontrar cualquier miembro de la progresión por su número.
Estamos buscando al primer miembro. El que piensa. que el primer término es menos cuatro, ¡es un error fatal!) Porque la fórmula del problema está modificada. El primer término de una progresión aritmética en ella oculto. Nada, lo encontraremos ahora.)
Al igual que en las tareas anteriores, sustituimos n=1 en esta fórmula:
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
¡Aquí! ¡El primer término es 2.8, no -4!
Del mismo modo, buscamos el décimo término:
un 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Eso es todo al respecto.
Y ahora, para los que hayan leído hasta estas líneas, el bono prometido.)
Supongamos que, en una situación de combate difícil del GIA o el Examen estatal unificado, olvidaste la útil fórmula del miembro n-ésimo de una progresión aritmética. Algo me viene a la mente, pero de alguna manera incierto ... Si norte allí, o n+1, o n-1...¿¡Cómo ser!?
¡Calma! Esta fórmula es fácil de obtener. No muy estricto, ¡pero definitivamente suficiente para la confianza y la decisión correcta!) Para la conclusión, es suficiente recordar el significado elemental de la progresión aritmética y tener un par de minutos de tiempo. Solo necesitas hacer un dibujo. Para mayor claridad.
Dibujamos un eje numérico y marcamos el primero en él. segundo, tercero, etc miembros Y nota la diferencia d entre miembros Como esto:
Miramos la imagen y pensamos: ¿a qué es igual el segundo término? Segundo uno d:
a 2 = un 1 + 1 d
¿Cuál es el tercer término? Tercero el término es igual al primer término más dos d.
a 3 = un 1 + 2 d
¿Lo entiendes? No pongo algunas palabras en negrita por nada. Bien, un paso más.)
¿Cuál es el cuarto término? Cuatro el término es igual al primer término más tres d.
a 4 = un 1 + 3 d
Es hora de darse cuenta de que el número de lagunas, es decir, d, Siempre uno menos que el número del miembro que está buscando norte. Es decir, hasta el número n, número de huecos voluntad n-1. Entonces, la fórmula será (¡sin opciones!):
| un n = un 1 + (n-1)d |
En general, las imágenes visuales son muy útiles para resolver muchos problemas matemáticos. No descuides las imágenes. Pero si es difícil hacer un dibujo, entonces ... ¡solo una fórmula!) Además, la fórmula del enésimo término le permite conectar todo el poderoso arsenal de las matemáticas a la solución: ecuaciones, desigualdades, sistemas, etc. No puedes poner una imagen en una ecuación...
Tareas para decisión independiente.
Para entrar en calor:
1. En progresión aritmética (a n) a 2 =3; un 5 \u003d 5.1. Encuentra un 3.
Pista: según la imagen, el problema se resuelve en 20 segundos... Según la fórmula, resulta más difícil. Pero para dominar la fórmula, es más útil). En la Sección 555, este problema se resuelve tanto con la imagen como con la fórmula. ¡Siente la diferencia!)
Y esto ya no es un calentamiento.)
2. En progresión aritmética (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Halla a 3 .
¿Qué, renuencia a hacer un dibujo?) ¡Aún así! Mejor fórmula, sí...
3. La progresión aritmética viene dada por la condición:un 1 \u003d -5.5; un n+1 = un n +0.5. Encuentre el término ciento veinticinco de esta progresión.
En esta tarea, la progresión se da de forma recurrente. Pero contando hasta el término ciento veinticinco... No todos pueden hacer tal hazaña.) ¡Pero la fórmula del enésimo término está al alcance de todos!
4. Dada una progresión aritmética (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Encuentra el número del término positivo más pequeño de la progresión.
5. De acuerdo con la condición de la tarea 4, encuentre la suma de los términos positivos más pequeños y negativos más grandes de la progresión.
6. El producto de los términos quinto y duodécimo de una progresión aritmética creciente es -2,5, y la suma de los términos tercero y undécimo es cero. Encuentra un 14 .
No es la tarea más fácil, sí ...) Aquí el método "en los dedos" no funcionará. Tienes que escribir fórmulas y resolver ecuaciones.
Respuestas (en desorden):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
¿Sucedió? ¡Es agradable!)
¿No todo sale bien? Sucede. Por cierto, en la última tarea hay un punto sutil. Se requerirá atención al leer el problema. y logica
La solución a todos estos problemas se analiza en detalle en la Sección 555. Y el elemento de fantasía para el cuarto, y el momento sutil para el sexto, y los enfoques generales para resolver cualquier problema para la fórmula del enésimo término: todo está pintado. Recomiendo.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Así que sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número, y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, ellos). Por muchos números que escribamos, siempre podemos decir cuál de ellos es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:
Secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra sucesión:
El número asignado es específico de un solo número de secuencia. En otras palabras, no hay números de tres segundos en la secuencia. El segundo número (como el -ésimo número) es siempre el mismo.
El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.
Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .
En nuestro caso: 
Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo: 
etc.
Tal secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio ya en el siglo VI y se entendió de una manera más sentido amplio, como una secuencia de números infinitos. El nombre "aritmética" se transfirió de la teoría de las proporciones continuas, en la que se involucraron los antiguos griegos.
Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior, sumado con el mismo número. Este número se llama la diferencia de una progresión aritmética y se denota.
Intenta determinar qué secuencias de números son una progresión aritmética y cuáles no:
a)
b)
C)
d)
¿Entiendo? Compara nuestras respuestas:
Es progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.
Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su miembro. existe dos manera de encontrarlo.
1. Método
Podemos sumar al valor anterior del número de progresión hasta llegar al enésimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir, solo tres valores:
Entonces, el -ésimo miembro de la progresión aritmética descrita es igual a.
2. Método
¿Y si necesitáramos encontrar el valor del término th de la progresión? La sumatoria nos hubiera llevado más de una hora, y no es un hecho que no nos hubiésemos equivocado al sumar los números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Mire de cerca la imagen dibujada ... Seguramente ya ha notado cierto patrón, a saber:
Por ejemplo, veamos qué constituye el valor del -ésimo miembro de esta progresión aritmética: 
En otras palabras:
Intente encontrar de forma independiente el valor de un miembro de esta progresión aritmética.
¿Calculado? Compare sus entradas con la respuesta:
Fíjate que obtuviste exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos sucesivamente los miembros de una progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula: la llevamos a una forma general y obtenemos:
|
Ecuación de progresión aritmética. |
Las progresiones aritméticas son crecientes o decrecientes.
Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:
Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:
La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto en términos crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Vamos a comprobarlo en la práctica.
Nos dan una progresión aritmética que consta de los siguientes números:
Desde entonces:
Por lo tanto, estábamos convencidos de que la fórmula funciona tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar los miembros -ésimo y -ésimo de esta progresión aritmética por tu cuenta.
Comparemos los resultados:
Propiedad de progresión aritmética
Compliquemos la tarea: derivamos la propiedad de una progresión aritmética.
Supongamos que se nos da la siguiente condición:
- Progresión aritmética, encontrar el valor.
Es fácil, dices, y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:
Sea, a, entonces:
Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo agregamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿y si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer errores en los cálculos.
Ahora piensa, ¿es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula? Por supuesto que sí, e intentaremos sacarlo ahora.
Denotemos el término deseado de la progresión aritmética ya que conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, Entonces:
- el miembro anterior de la progresión es:
- el siguiente término de la progresión es:
Vamos a sumar los miembros anteriores y siguientes de la progresión:
Resulta que la suma de los miembros anteriores y posteriores de la progresión es el doble del valor del miembro de la progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un miembro de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos.
Así es, tenemos el mismo número. Arreglemos el material. Calcule usted mismo el valor de la progresión, porque no es nada difícil.
¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Queda por descubrir solo una fórmula que, según la leyenda, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el "rey de los matemáticos", Karl Gauss, dedujo fácilmente por sí mismo ...
Cuando Carl Gauss tenía 9 años, el maestro, ocupado revisando el trabajo de los estudiantes de otras clases, pidió la siguiente tarea en la lección: "Calcula la suma de todos los números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive. " Cuál fue la sorpresa del maestro cuando uno de sus alumnos (era Karl Gauss) después de un minuto dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros de clase del temerario después de largos cálculos recibieron un resultado erróneo...
El joven Carl Gauss notó un patrón que puedes notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de miembros -ti: Necesitamos encontrar la suma de los miembros dados de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si necesitamos encontrar la suma de sus términos en la tarea, como estaba buscando Gauss?
Vamos a representar la progresión que se nos ha dado. Mire de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos. 
¿Intentó? ¿Qué notaste? ¡Bien! sus sumas son iguales
Ahora responde, ¿cuántos pares de estos habrá en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, eso es.
Partiendo de que la suma de dos términos de una progresión aritmética es igual, y pares iguales semejantes, obtenemos que la suma total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:
En algunos problemas, no conocemos el término th, pero conocemos la diferencia de progresión. Trate de sustituir en la fórmula de la suma, la fórmula del miembro th.
¿Qué obtuviste?
¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que se le planteó a Carl Gauss: calcule usted mismo cuál es la suma de los números a partir del -ésimo y la suma de los números a partir del -ésimo.
¿Cuanto conseguiste?
Gauss resultó que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Así lo decidiste?
De hecho, la fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III y, a lo largo de este tiempo, las personas ingeniosas utilizaron las propiedades de una progresión aritmética con poder y fuerza.
Por ejemplo, imagina Antiguo Egipto y el sitio de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide ... La figura muestra un lado. 
¿Dónde está la progresión aquí que dices? Mire cuidadosamente y encuentre un patrón en el número de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide. 
¿Por qué no una progresión aritmética? Cuente cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes moviendo el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?
En este caso, la progresión se ve así:
Diferencia de progresión aritmética.
El número de miembros de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (contamos el número de bloques de 2 maneras).
Método 1.
Método 2.
Y ahora también puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Estuvo de acuerdo? Bien hecho, has dominado la suma de los términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no puedes construir una pirámide con los bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir una pared con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:
Capacitación
Tareas:
- Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces se pondrá en cuclillas Masha en semanas si hizo sentadillas en el primer entrenamiento?
- ¿Cuál es la suma de todos los números impares contenidos en
- Al almacenar troncos, los leñadores los apilan de tal manera que cada capa superior contiene un tronco menos que la anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?
Respuestas:
- Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
(semanas = días).Respuesta: En dos semanas, Masha debería ponerse en cuclillas una vez al día.
- Primer número impar, último número.
Diferencia de progresión aritmética.
El número de números impares por la mitad, sin embargo, verifique este hecho usando la fórmula para encontrar el -ésimo miembro de una progresión aritmética:Los números contienen números impares.
Sustituimos los datos disponibles en la fórmula:Respuesta: La suma de todos los números impares contenidos en es igual a.
- Recuerda el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, solo hay un montón de capas, es decir.
Sustituye los datos en la fórmula:Respuesta: Hay troncos en la mampostería.
Resumiendo
- - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Es creciente y decreciente.
- Encontrar fórmula El miembro de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
- Propiedad de los miembros de una progresión aritmética- - donde - el número de números en la progresión.
- La suma de los miembros de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
, donde es el número de valores.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL PROMEDIO
Secuencia numérica
Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre se puede saber cuál de ellos es el primero, cuál es el segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.
Secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.
En otras palabras, cada número puede estar asociado con un cierto número natural, y solo con uno. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.
El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.
Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .
Es muy conveniente si el -ésimo miembro de la secuencia se puede dar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula
establece la secuencia:
Y la fórmula es la siguiente secuencia:
Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia). O (, diferencia).
fórmula del término n
Llamamos recurrente a una fórmula en la que, para encontrar el -ésimo término, se necesita conocer el anterior o varios anteriores:
Para encontrar, por ejemplo, el enésimo término de la progresión usando tal fórmula, tenemos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, deja. Entonces:
Bueno, ahora está claro cuál es la fórmula.
En cada línea, sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Para qué? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:
Mucho más cómodo ahora, ¿verdad? Verificamos:
Decide por ti mismo:
En una progresión aritmética, encuentre la fórmula para el término n y encuentre el término centésimo.
Solución:
El primer miembro es igual. ¿Y cual es la diferencia? Y esto es lo que:
(después de todo, se llama la diferencia porque es igual a la diferencia de los miembros sucesivos de la progresión).
Así que la fórmula es:
Entonces el centésimo término es:
¿Cuál es la suma de todos los números naturales de a?
Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, siendo un niño de 9 años, calculó esta cantidad en pocos minutos. Se dio cuenta de que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y así sucesivamente. ¿Cuántos pares de estos hay? Así es, exactamente la mitad del número de todos los números, eso es. Entonces,
La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:
Ejemplo:
Encuentra la suma de todos los múltiplos de dos dígitos.
Solución:
El primero de esos números es este. Cada siguiente se obtiene sumando un número al anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.
La fórmula para el enésimo término de esta progresión es:
¿Cuántos términos hay en la progresión si todos deben tener dos dígitos?
Muy fácil: .
El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:
Respuesta: .
Ahora decide por ti mismo:
- Cada día el atleta corre 1m más que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros correrá en semanas si corrió km m el primer día?
- Un ciclista recorre más kilómetros cada día que el anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días tiene que conducir para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá el último día del viaje?
- El precio de un refrigerador en la tienda se reduce en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.
Respuestas:
- Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Necesitas determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
.
Respuesta: - Aquí es dado:, es necesario encontrar.
Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
.
Sustituye los valores:La raíz obviamente no encaja, así que la respuesta.
Calculemos la distancia recorrida durante el último día usando la fórmula del -ésimo término:
(km).
Respuesta: - Dado: . Encontrar: .
No se vuelve más fácil:
(frotar).
Respuesta:
PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES
Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
La progresión aritmética es creciente () y decreciente ().
Por ejemplo:
La fórmula para encontrar el n-ésimo miembro de una progresión aritmética
se escribe como una fórmula, donde es el número de números en la progresión.
Propiedad de los miembros de una progresión aritmética
Hace que sea fácil encontrar un miembro de la progresión si se conocen los miembros vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?
La suma de los miembros de una progresión aritmética.
Hay dos formas de encontrar la suma:
Donde está el número de valores.
Donde está el número de valores.
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Las matemáticas tienen su propia belleza, al igual que la pintura y la poesía.
Científico ruso, mecánico N.E. Zhukovsky
Tareas muy comunes Examen de admisión en matemáticas son tareas relacionadas con el concepto de progresión aritmética. Para resolver con éxito tales problemas, es necesario conocer bien las propiedades de una progresión aritmética y tener ciertas habilidades en su aplicación.
Primero recordemos las principales propiedades de una progresión aritmética y presentemos las fórmulas más importantes., asociado a este concepto.
Definición. Secuencia numérica, en el que cada término subsiguiente difiere del anterior en el mismo número, llama progresión aritmética. Al mismo tiempo, el númerose llama la diferencia de progresión.
Para una progresión aritmética, las fórmulas son válidas
, (1)
Dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término común de una progresión aritmética, y la fórmula (2) es la propiedad principal de una progresión aritmética: cada miembro de la progresión coincide con la media aritmética de sus miembros vecinos y .
Nótese que es precisamente por esta propiedad que la progresión bajo consideración se llama "aritmética".
Las fórmulas (1) y (2) anteriores se resumen como sigue:
(3)
Para calcular la suma primero miembros de una progresión aritméticase suele usar la formula
(5) donde y .
Si tenemos en cuenta la fórmula (1), entonces la fórmula (5) implica
Si designamos
Dónde . Como , las fórmulas (7) y (8) son una generalización de las fórmulas correspondientes (5) y (6).
En particular , de la fórmula (5) se sigue, Qué
Entre las poco conocidas por la mayoría de los estudiantes se encuentra la propiedad de una progresión aritmética, formulada mediante el siguiente teorema.
Teorema. si, entonces
Prueba. si, entonces
El teorema ha sido probado.
Por ejemplo , usando el teorema, se puede demostrar que
Pasemos a la consideración de ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión aritmética".
Ejemplo 1 Sea y . Encontrar .
Solución. Aplicando la fórmula (6), obtenemos . Desde y , entonces o .
Ejemplo 2 Sea tres veces más, y al dividir por en el cociente, resulta 2 y el resto es 8. Determinar y.
Solución. El sistema de ecuaciones se sigue de la condición del ejemplo.
Como , , y , entonces del sistema de ecuaciones (10) obtenemos
La solución de este sistema de ecuaciones son y .
Ejemplo 3 Encuentre si y .
Solución. Según la fórmula (5), tenemos o . Sin embargo, usando la propiedad (9), obtenemos .
Dado que y , entonces de la igualdad la ecuacion sigue o .
Ejemplo 4 Encuentra si .
Solución.Por la fórmula (5) tenemos
Sin embargo, usando el teorema, se puede escribir
De aquí y de la fórmula (11) obtenemos .
Ejemplo 5. Dado: . Encontrar .
Solución. Desde entonces . Sin embargo, por lo tanto.
Ejemplo 6 Sea , y . Encontrar .
Solución. Usando la fórmula (9), obtenemos . Por lo tanto, si , entonces o .
Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones
Resolviendo cuál, obtenemos y .
Raíz natural de la ecuación es .
Ejemplo 7 Encuentre si y .
Solución. Como de acuerdo con la fórmula (3) tenemos que , entonces el sistema de ecuaciones se sigue de la condición del problema
Si sustituimos la expresiónen la segunda ecuación del sistema, entonces obtenemos o .
Las raíces de la ecuación cuadrática son Y .
Consideremos dos casos.
1. Sea , entonces . Desde y , entonces .
En este caso, según la fórmula (6), tenemos
2. Si , entonces , y
Respuesta: y.
Ejemplo 8 Se sabe que y Encontrar .
Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5) y la condición del ejemplo, escribimos y .
Esto implica el sistema de ecuaciones
Si multiplicamos la primera ecuación del sistema por 2 y luego la sumamos a la segunda ecuación, obtenemos
De acuerdo con la fórmula (9), tenemos. En este sentido, de (12) se sigue o .
Desde y , entonces .
Respuesta: .
Ejemplo 9 Encuentre si y .
Solución. Dado que , y por condición , entonces o .
De la fórmula (5) se sabe, Qué . Desde entonces .
Por eso , aquí tenemos un sistema de ecuaciones lineales
De aquí obtenemos y . Teniendo en cuenta la fórmula (8), escribimos .
Ejemplo 10 Resuelve la ecuación.
Solución. De la ecuación dada se sigue que . Supongamos que , y . En este caso .
Según la fórmula (1), podemos escribir o .
Como , la ecuación (13) tiene una única raíz adecuada .
Ejemplo 11. Encuentre el valor máximo siempre que y .
Solución. Como , entonces la progresión aritmética considerada es decreciente. En este sentido, la expresión toma un valor máximo cuando es el número del miembro positivo mínimo de la progresión.
Usamos la fórmula (1) y el hecho, cual y . Entonces obtenemos eso o .
Porque entonces o . Sin embargo, en esta desigualdadnúmero natural más grande, Es por eso .
Si los valores y se sustituyen en la fórmula (6), entonces obtenemos .
Respuesta: .
Ejemplo 12. Encuentra la suma de todos los números naturales de dos dígitos que, al dividirlos por 6, tienen un resto de 5.
Solución. Denote por el conjunto de todos los números naturales de dos valores, es decir, . A continuación, construimos un subconjunto que consta de aquellos elementos (números) del conjunto que, cuando se dividen por el número 6, dan un resto de 5.
Fácil de instalar, Qué . Obviamente , que los elementos del conjuntoformar una progresión aritmética, en el que y .
Para determinar la cardinalidad (número de elementos) del conjunto, asumimos que . Como y , entonces la fórmula (1) implica o . Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos .
Los ejemplos anteriores de resolución de problemas no pueden pretender ser exhaustivos. Este artículo se basa en el análisis métodos modernos resolver problemas típicos sobre un tema dado. Para un estudio más profundo de los métodos para resolver problemas relacionados con la progresión aritmética, es recomendable consultar la lista de literatura recomendada.
1. Colección de tareas en matemáticas para aspirantes a universidades técnicas / Ed. MI. Escanavi. - M.: Mundo y Educación, 2013. - 608 págs.
2. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales currículum escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 págs.
3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en tareas y ejercicios. Libro 2: Secuencias y Progresiones Numéricas. – M.: Editus, 2015. - 208 págs.
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sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
Tipo de lección: aprendiendo material nuevo.
Objetivos de la lección:
- expansión y profundización de las ideas de los estudiantes sobre tareas resueltas usando progresión aritmética; organización de la actividad de búsqueda de los estudiantes al derivar la fórmula para la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética;
- desarrollo de habilidades para adquirir nuevos conocimientos de forma independiente, utilizar los conocimientos ya adquiridos para lograr la tarea;
- desarrollo del deseo y necesidad de generalizar los hechos obtenidos, desarrollo de la independencia.
Tareas:
- generalizar y sistematizar los conocimientos existentes sobre el tema “Progresión aritmética”;
- derivar fórmulas para calcular la suma de los primeros n miembros de una progresión aritmética;
- enseñar cómo aplicar las fórmulas obtenidas para resolver varios problemas;
- llamar la atención de los estudiantes sobre el procedimiento para encontrar el valor de una expresión numérica.
Equipo:
- tarjetas con tareas para trabajar en grupos y parejas;
- papel de evaluación;
- presentación"Progresión aritmética".
I. Actualización de conocimientos básicos.
1. Trabajo independiente en parejas.
1ra opción:
Defina una progresión aritmética. Escribe una fórmula recursiva que defina una progresión aritmética. Da un ejemplo de una progresión aritmética e indica su diferencia.
2da opción:
Escribe la fórmula del término n de una progresión aritmética. Encuentre el término 100 de una progresión aritmética ( un}: 2, 5, 8 …
En este momento, dos estudiantes en la parte posterior de la pizarra están preparando respuestas para las mismas preguntas.
Los estudiantes evalúan el trabajo del compañero comparándolo con la pizarra. (Se entregan folletos con las respuestas).
2. Momento del juego.
Ejercicio 1.
Maestro. Concebí una progresión aritmética. Hazme solo dos preguntas para que después de las respuestas puedas nombrar rápidamente al 7º miembro de esta progresión. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Preguntas de los estudiantes.
- ¿Cuál es el sexto término de la progresión y cuál es la diferencia?
- ¿Cuál es el octavo término de la progresión y cuál es la diferencia?
Si no hay más preguntas, entonces el maestro puede estimularlas: una "prohibición" de d (diferencia), es decir, no está permitido preguntar cuál es la diferencia. Puede hacer preguntas: ¿cuál es el sexto término de la progresión y cuál es el octavo término de la progresión?
Tarea 2.
Hay 20 números escritos en la pizarra: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
El profesor está de espaldas a la pizarra. Los estudiantes dicen el número del número y el maestro llama inmediatamente al número. Explique como puedo hacerlo?
El profesor recuerda la fórmula del término n un n \u003d 3n - 2 y, sustituyendo los valores dados de n, encuentra los valores correspondientes un .
II. Enunciado de la tarea educativa.
Propongo resolver un viejo problema que data del segundo milenio antes de Cristo, encontrado en papiros egipcios.
Tarea:“Que os sea dicho: repartid 10 medidas de cebada entre 10 personas, la diferencia entre cada persona y su vecino es 1/8 de la medida”.
- ¿Cómo se relaciona este problema con el tema de la progresión aritmética? (Cada siguiente persona obtiene 1/8 de la medida más, por lo que la diferencia es d=1/8, 10 personas, por lo que n=10).
- ¿Qué crees que significa el número 10? (La suma de todos los miembros de la progresión.)
- ¿Qué más necesita saber para que sea fácil y simple dividir la cebada según la condición del problema? (El primer término de la progresión.)
Objetivo de la lección- obtener la dependencia de la suma de los términos de la progresión con su número, el primer término y la diferencia, y comprobar si el problema se resolvía correctamente en la antigüedad.
Antes de derivar la fórmula, veamos cómo los antiguos egipcios resolvieron el problema.
Y lo resolvieron así:
1) 10 medidas: 10 = 1 medida - cuota media;
2) 1 medida ∙ = 2 medidas - doblado promedio compartir.
duplicado promedio la cuota es la suma de las cuotas de la 5ª y 6ª persona.
3) 2 medidas - 1/8 medida = 1 7/8 medidas - el doble de la parte de la quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - la parte del quinto; y así sucesivamente, puede encontrar la participación de cada persona anterior y posterior.
Obtenemos la secuencia:
tercero La solución de la tarea.
1. Trabajar en grupo
1er grupo: Encuentra la suma de 20 números naturales consecutivos: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
En general 
II grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 100 (La leyenda de Little Gauss).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
Conclusión:
III grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 21.
Solución: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Conclusión:
IV grupo: Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 101.
Conclusión:
Este método para resolver los problemas considerados se denomina "método de Gauss".
2. Cada grupo presenta la solución al problema en la pizarra.
3. Generalización de las soluciones propuestas para una progresión aritmética arbitraria:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Encontramos esta suma argumentando de manera similar:
4. ¿Hemos resuelto la tarea?(Sí.)
IV. Comprensión primaria y aplicación de las fórmulas obtenidas en la resolución de problemas.
1. Comprobación de la solución de un viejo problema por la fórmula.
2. Aplicación de la fórmula en la resolución de diversos problemas.
3. Ejercicios para la formación de la capacidad de aplicar la fórmula en la resolución de problemas.
A) Nº 613
Dado :( y N) - progresión aritmética;
(una n): 1, 2, 3, ..., 1500
Encontrar: $ 1500
Solución: , y 1 = 1, y 1500 = 1500,
B) Dado: ( y N) - progresión aritmética;
(y n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Encontrar: norte
Solución:
V. Trabajo independiente con verificación mutua.
Denis se puso a trabajar como mensajero. En el primer mes, su salario fue de 200 rublos, en cada mes subsiguiente aumentó en 30 rublos. ¿Cuánto ganó en un año?
Dado :( y N) - progresión aritmética;
1 = 200, d=30, n=12
Encontrar: S 12
Solución:
Respuesta: Denis recibió 4380 rublos por año.
VI. Instrucción de tarea.
- Pág. 4.3 - aprender la derivación de la fórmula.
- №№ 585, 623 .
- Componga un problema que se resolvería usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.
VIII. Resumiendo la lección.
1. Hoja de puntuación
2. Continuar las oraciones
- Hoy en clase aprendí...
- Fórmulas aprendidas...
- Creo que …
3. ¿Puedes encontrar la suma de los números del 1 al 500? ¿Qué método usarás para resolver este problema?
Bibliografía.
1. Álgebra, 9º grado. Tutoría para Instituciones educacionales. ed. GV Dorofeeva. Moscú: Ilustración, 2009.
