नियतात्मक प्रभावों के तहत अरेखीय प्रणालियों का विश्लेषण करने की विधियाँ। अरेखीय प्रणालियों की पहचान के लिए सांख्यिकीय तरीके। किसी वस्तु की गैर-रैखिकता की डिग्री का फैलाव अनुमान। एक अरेखीय प्रणाली के चरण चित्र का निर्माण

लगभग सभी नियंत्रण प्रणालियाँ, सख्ती से कहें तो, अरेखीय हैं, अर्थात्। अरेखीय समीकरणों द्वारा वर्णित हैं। रैखिक नियंत्रण प्रणालियाँ उनके रैखिक मॉडल हैं, जो पारंपरिक रैखिककरण द्वारा प्राप्त की जाती हैं - रैखिककरण जिसमें गैर-रेखीय कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करना और गैर-रेखीय शब्दों को त्यागना शामिल है। हालाँकि, ऐसा रैखिककरण हमेशा संभव नहीं होता है। यदि गैर-रैखिकता सामान्य रैखिककरण को स्वीकार करती है, तो ऐसी गैर-रैखिकता को अनिवार्यता कहा जाता है। अन्यथा, गैर-रैखिकता को महत्वपूर्ण कहा जाता है। सभी प्रकार के रिले तत्वों में महत्वपूर्ण गैर-रैखिकताएँ होती हैं। यहां तक ​​कि ऐसे मामलों में जहां पारंपरिक रैखिककरण संभव है, अध्ययन के अंतिम चरण में मूल गैर-रेखीय मॉडल पर विचार करना अक्सर आवश्यक हो सकता है।

एक नॉनलाइनियर स्वचालित नियंत्रण प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जिसमें नॉनलाइनियर समीकरण द्वारा वर्णित कम से कम एक लिंक होता है।

अरेखीय लिंक के प्रकार:

रिले प्रकार का लिंक;

टुकड़े-टुकड़े रैखिक विशेषता के साथ लिंक;

किसी भी आकार की वक्ररेखीय विशेषता वाली एक कड़ी;

एक लिंक जिसके समीकरण में चर या उनके डेरिवेटिव और उनके अन्य संयोजनों का उत्पाद शामिल है;

विलंब के साथ अरेखीय लिंक;

अरेखीय आवेग लिंक;

तार्किक लिंक;

चर संरचना वाले सहित, टुकड़े-टुकड़े रैखिक नियंत्रण प्रणालियों द्वारा वर्णित लिंक।

चित्र में. 2.1 विभिन्न प्रकार की रिले विशेषताएँ प्रस्तुत करता है:

एक आदर्श रिले की विशेषताएं (ए);

मृत क्षेत्र (बी) के साथ रिले की विशेषताएं;

हिस्टैरिसीस (सी) के साथ रिले की विशेषताएं;

मृत क्षेत्र और हिस्टैरिसीस (जी) के साथ रिले की विशेषताएं;

स्तर (डी) द्वारा परिमाणीकरण विशेषता।

चित्र में. 2.2 टुकड़ों में रैखिक विशेषताएं प्रस्तुत करता है:

संतृप्ति (ए) के साथ टुकड़े-टुकड़े रैखिक विशेषता;

मृत क्षेत्र और संतृप्ति के साथ टुकड़े-टुकड़े रैखिक विशेषता (बी)

मृत क्षेत्र (सी) के साथ टुकड़े-टुकड़े रैखिक विशेषता;

बैकलैश (बैकलैश के साथ लिंक की विशेषता) (जी);

डायोड विशेषता (डी);

हिस्टैरिसीस और संतृप्ति (ई) के साथ टुकड़े-टुकड़े रैखिक विशेषता।

स्थैतिक और गतिशील गैर-रैखिकताएँ हैं। पूर्व को गैर-रेखीय स्थैतिक विशेषताओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, बाद वाले को गैर-रेखीय अंतर समीकरणों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

नियामक निकाय की ड्राइव, चाहे वह कुछ भी हो (इलेक्ट्रिक, हाइड्रोलिक या वायवीय), हमेशा, सबसे पहले, मूल में एक मृत क्षेत्र होता है; दूसरे, किनारों पर संतृप्ति क्षेत्र. इसके अलावा, हिस्टैरिसीस भी हो सकता है। रिले प्रकार के लिंक से संबंधित निरंतर गति ड्राइव भी हैं।

डेड जोन को इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि इंजन में एक निश्चित न्यूनतम प्रारंभिक धारा होती है, जिस तक पहुंचने तक इंजन स्थिर रहेगा।

हिस्टैरिसीस (ग्रीक हिस्टैरिसीस से - अंतराल, देरी), एक घटना जिसमें यह तथ्य शामिल है कि शारीरिक। किसी पिंड की स्थिति को दर्शाने वाली मात्रा (उदाहरण के लिए, चुंबकत्व) अस्पष्ट रूप से भौतिक गुणों पर निर्भर करती है। बाहरी स्थितियों को दर्शाने वाली मात्रा (उदाहरण के लिए, चुंबकीय क्षेत्र)। जी. उन मामलों में देखा जाता है जहां किसी निश्चित समय पर शरीर की स्थिति न केवल उसी समय, बल्कि पिछले समय बिंदुओं पर भी बाहरी स्थितियों से निर्धारित होती है। किसी भी प्रक्रिया में मात्राओं की अस्पष्ट निर्भरता देखी जाती है, क्योंकि शरीर की स्थिति को बदलने के लिए हमेशा एक निश्चित समय (विश्राम समय) की आवश्यकता होती है और शरीर की प्रतिक्रिया उन कारणों से पीछे रह जाती है जो इसका कारण बनते हैं।

गैर-रेखीय प्रणालियों में रैखिक प्रणालियों की तुलना में कई मूलभूत विशेषताएं होती हैं। विशेष रूप से, ये विशेषताएं निम्नलिखित हैं:

सुपरपोज़िशन का सिद्धांत मान्य नहीं है, और कई प्रभावों के तहत एक गैर-रेखीय प्रणाली के अध्ययन को एक प्रभाव के तहत अध्ययन तक सीमित नहीं किया जा सकता है;

संक्रमण प्रक्रिया की स्थिरता और प्रकृति संतुलन स्थिति से प्रारंभिक विचलन के परिमाण पर निर्भर करती है;

निश्चित बाह्य प्रभावों के तहत, कई (और कभी-कभी अनंत संख्या में) संतुलन स्थितियाँ संभव होती हैं;

मुक्त स्थिर-अवस्था प्रक्रियाएं उत्पन्न होती हैं जो रैखिक प्रणालियों में असंभव होती हैं (उदाहरण के लिए, स्व-दोलन)।

अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए कोई सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक (गणितीय) तरीके नहीं हैं। स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत को विकसित करने की प्रक्रिया में, गैर-रेखीय प्रणालियों के विश्लेषण और संश्लेषण के लिए विभिन्न गणितीय तरीके विकसित किए गए, जिनमें से प्रत्येक सिस्टम और समस्याओं के एक निश्चित वर्ग पर लागू होता है। अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं:

चरण समतल विधि;

ल्यपुनोव फ़ंक्शन विधि;

हार्मोनिक रैखिककरण विधि (हार्मोनिक संतुलन विधि);

पूर्ण स्थिरता का अध्ययन करने की विधियाँ।

अधिक या कम जटिल अरेखीय प्रणालियों का कोई भी अध्ययन, एक नियम के रूप में, गणितीय मॉडलिंग के साथ समाप्त होता है। और इस संबंध में, गणितीय मॉडलिंग सार्वभौमिक (गैर-विश्लेषणात्मक) अनुसंधान विधियों में से एक है।

चरण तल

यदि नियंत्रण प्रणाली के समीकरणों को सामान्य रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो प्रणाली का राज्य वेक्टर विशिष्ट रूप से इसकी स्थिति निर्धारित करता है। राज्य स्थान में सिस्टम की प्रत्येक स्थिति एक बिंदु से मेल खाती है। सिस्टम की वर्तमान स्थिति के अनुरूप बिंदु को प्रतिनिधित्व बिंदु कहा जाता है। जब स्थिति बदलती है, तो प्रतिनिधित्व बिंदु एक प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है। इस प्रक्षेप पथ को चरण प्रक्षेप पथ कहा जाता है। सभी संभावित प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप चरण प्रक्षेपवक्र के सेट को चरण चित्र कहा जाता है।

चरण प्रक्षेप पथ और चरण चित्र को द्वि-आयामी चरण स्थान के मामले में दृश्य रूप से दर्शाया जा सकता है। द्वि-आयामी चरण स्थान को चरण तल कहा जाता है।

चरण तल एक समन्वय तल है जिसमें दो चर (चरण निर्देशांक) समन्वय अक्षों के साथ प्लॉट किए जाते हैं, जो विशिष्ट रूप से दूसरे क्रम प्रणाली की स्थिति निर्धारित करते हैं।

चरण चित्र के निर्माण के आधार पर नियंत्रण प्रणाली के विश्लेषण और संश्लेषण की विधि को चरण समतल विधि कहा जाता है।

चरण चित्र से क्षणिक प्रक्रियाओं की प्रकृति का अंदाजा लगाया जा सकता है। विशेष रूप से, चरण प्रक्षेपवक्र का उपयोग करके, आप गणना के बिना गुणात्मक रूप से समय विशेषता का निर्माण कर सकते हैं - x बनाम समय का एक वक्र, और, इसके विपरीत, समय विशेषता का उपयोग करके, आप गुणात्मक रूप से एक चरण प्रक्षेपवक्र का निर्माण कर सकते हैं।

उदाहरण के तौर पर, हम पहले चरण प्रक्षेपवक्र का उपयोग करके एक समय विशेषता का निर्माण करेंगे, और फिर समय विशेषता का उपयोग करके एक चरण प्रक्षेपवक्र का निर्माण करेंगे। मान लीजिए कि चरण प्रक्षेपवक्र दिया गया है (चित्र 2.4, ए)।

उस पर विशिष्ट बिंदुओं (प्रारंभिक बिंदु, समन्वय अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु) को चिह्नित करने के बाद, हम अस्थायी विमान पर संबंधित बिंदुओं को रेखांकित करते हैं और उन्हें एक चिकने वक्र (छवि 2.4, बी) के साथ जोड़ते हैं।

आइए अब समय की विशेषता दी जाए (चित्र 2.5, ए)। इस पर विशिष्ट बिंदु (प्रारंभिक बिंदु, चरम बिंदु और समय अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु) चिह्नित करके, हम चरण तल पर संबंधित बिंदुओं को प्लॉट करते हैं और उन्हें एक चिकने वक्र से जोड़ते हैं।

(चित्र 2.5,6)।

नॉनलाइनियर सिस्टम के चरण चित्रों में एक प्रकार का विशेष वक्र - पृथक बंद प्रक्षेप पथ हो सकते हैं। ये वक्र कहलाते हैं चक्र सीमित करें. यदि, अंदर और बाहर से, चरण प्रक्षेप पथ सीमा चक्र में परिवर्तित हो जाते हैं (चित्र 2.8, ए),

तो ऐसे सीमा चक्र को स्थिर सीमा चक्र कहा जाता है। एक स्थिर सीमा चक्र स्पर्शोन्मुख रूप से कक्षीय रूप से स्थिर आवधिक गति (स्व-दोलन) से मेल खाता है।

यदि सीमा चक्र के अंदर और बाहर के चरण प्रक्षेपवक्र इससे दूर चले जाते हैं (चित्र 2.8,6), तो ऐसे सीमा चक्र को अस्थिर सीमा चक्र कहा जाता है। एक अस्थिर सीमा चक्र के अनुरूप एक आवधिक प्रक्रिया का अवलोकन नहीं किया जा सकता है।

यदि गति ऐसे सीमा चक्र के अंदर शुरू होती है, तो प्रक्रिया एक संतुलन स्थिति में परिवर्तित हो जाती है। यदि गति ऐसे सीमा चक्र के बाहर शुरू होती है, तो प्रक्रिया भिन्न हो जाती है। एक अस्थिर सीमा चक्र आकर्षण क्षेत्र की सीमा, या संतुलन स्थिति (मूल) की स्थिरता की सीमा के रूप में कार्य करता है।

दो सीमा चक्र संभव हैं (चित्र 2.8, सी, डी)। आंतरिक पूर्व-

चित्र में सीमा चक्र। 2.8, स्थिर है, और आत्म-दोलन इसके अनुरूप हैं, और बाहरी सीमा चक्र अस्थिर है और आत्म-दोलन के क्षेत्र की सीमा है: किसी भी प्रारंभिक विचलन के लिए आत्म-दोलन होते हैं जो बाहरी सीमा चक्र से आगे नहीं जाते हैं .

चित्र में बाहरी सीमा चक्र। 2.8, डी स्थिर है और स्व-दोलन से मेल खाता है, और आंतरिक सीमा चक्र अस्थिर है और संतुलन स्थिति के आकर्षण क्षेत्र की सीमा है। ऐसे चरण चित्र वाले सिस्टम में, स्व-दोलन तब उत्पन्न होते हैं जब सिस्टम संतुलन स्थिति से पर्याप्त रूप से विचलित हो जाता है - एक विचलन जो आंतरिक सीमा चक्र से परे चला जाता है। यदि सिस्टम एक अस्थिर सीमा चक्र के भीतर चलता है, तो यह एक संतुलन स्थिति तक पहुंचता है।

हार्मोनिक रैखिककरण विधि

हार्मोनिक रैखिककरण विधि, या हार्मोनिक संतुलन विधि, मूल रूप से आवधिक स्थितियों का अध्ययन करने के लिए विकसित की गई थी। हालाँकि, बाद में इसका उपयोग स्थिरता विश्लेषण और गैर-रेखीय प्रणालियों के संश्लेषण के लिए भी किया जाने लगा।

विधि का मुख्य विचार इस प्रकार है. नियंत्रित प्रणालियों (ऑब्जेक्ट्स) में, एक नियम के रूप में, कम-पास फ़िल्टर की संपत्ति होती है: जब आवधिक मोड होते हैं, तो वे संचारित नहीं होते हैं, या अधिक क्षीणन, दूसरे और उच्च हार्मोनिक्स के साथ संचारित होते हैं। और हार्मोनिक रैखिककरण विधि का सार एक रैखिक समीकरण द्वारा एक गैर-रेखीय लिंक का वर्णन करना है, जो फूरियर श्रृंखला में गैर-रेखीय फ़ंक्शन के विस्तार में संकेतित हार्मोनिक्स की उपेक्षा (त्याग) द्वारा प्राप्त किया जाता है।

हार्मोनिक रैखिककरण विधि एक अनुमानित विधि है। हालाँकि, इसका लाभ यह है कि यह चरण समतल विधि के विपरीत, किसी भी क्रम की प्रणालियों पर लागू होता है, जिसे केवल दूसरे क्रम की प्रणालियों पर ही प्रभावी ढंग से लागू किया जा सकता है।

गोल्डफ़ार्ब विधि (सममित स्व-दोलनों का अध्ययन करने की विधि)

ल्यपुनोव फ़ंक्शन विधि

ल्यपुनोव फ़ंक्शन के निर्माण पर आधारित अनुसंधान पद्धति, जिसमें प्रत्यक्ष ल्यपुनोव विधि भी शामिल है, को ल्यपुनोव फ़ंक्शन की विधि कहा जाने लगा।

पूर्ण स्थिरता का अध्ययन करने की विधि

पूर्ण स्थिरता की समस्या पर सबसे पहले ए.आई. लूरी ने विचार किया था और इसे कभी-कभी लूरी समस्या भी कहा जाता है। उन्होंने ल्यपुनोव फ़ंक्शन के निर्माण के आधार पर इस समस्या को हल करने के लिए एक विधि विकसित की। 1961 में रोमानियाई वैज्ञानिक वी.एम. पोपोव ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने इस समस्या को हल करने के लिए एक आवृत्ति विधि की रूपरेखा तैयार की। इसके परिणामस्वरूप इस दिशा में बड़े पैमाने पर काम शुरू हुआ।

कार्यों के लिए:

क्षणिक प्रक्रिया और चरण चित्र के बीच संबंध:

(बेसेकर्स्की-पोपोव पृष्ठ 595 बहुत सी बातें)

नियंत्रण प्रणालियों में गैर-रैखिकताओं की उपस्थिति से ऐसी प्रणाली का वर्णन गैर-रेखीय अंतर समीकरणों द्वारा किया जाता है, जो अक्सर काफी उच्च क्रम के होते हैं। जैसा कि ज्ञात है, गैर-रेखीय समीकरणों के अधिकांश समूहों को सामान्य रूप में हल नहीं किया जा सकता है, और कोई केवल समाधान के विशेष मामलों के बारे में बात कर सकता है, इसलिए, गैर-रेखीय प्रणालियों के अध्ययन में, विभिन्न अनुमानित विधियां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।

गैर-रेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग करते हुए, सिस्टम के सभी गतिशील गुणों की पर्याप्त रूप से पूर्ण समझ प्राप्त करना आमतौर पर असंभव है। हालाँकि, उनकी मदद से कई व्यक्तिगत आवश्यक प्रश्नों का उत्तर देना संभव है, जैसे स्थिरता का प्रश्न, आत्म-दोलन की उपस्थिति, किसी विशेष मोड की प्रकृति आदि।

वर्तमान में, गैर-रेखीय प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए बड़ी संख्या में विभिन्न विश्लेषणात्मक और ग्राफ-विश्लेषणात्मक तरीके हैं, जिनमें से हम चरण विमान, फिटिंग, बिंदु परिवर्तन, हार्मोनिक रैखिककरण, ल्यपुनोव की प्रत्यक्ष विधि, निरपेक्ष अध्ययन के लिए आवृत्ति विधियों पर प्रकाश डाल सकते हैं। पोपोव की स्थिरता, इलेक्ट्रॉनिक मॉडल और कंप्यूटर पर नॉनलाइनियर सिस्टम का अध्ययन करने के तरीके।

सूचीबद्ध कुछ विधियों का संक्षिप्त विवरण।

चरण समतल विधि सटीक है, लेकिन इसका अनुप्रयोग सीमित है, क्योंकि यह नियंत्रण प्रणालियों के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, जिसका विवरण दूसरे क्रम के नियंत्रणों तक कम नहीं किया जा सकता है।

हार्मोनिक रैखिककरण विधि एक अनुमानित विधि है; इसमें अंतर समीकरणों के क्रम पर कोई प्रतिबंध नहीं है। इस विधि को लागू करते समय, यह माना जाता है कि सिस्टम के आउटपुट पर हार्मोनिक दोलन होते हैं, और नियंत्रण प्रणाली का रैखिक भाग एक उच्च-पास फ़िल्टर होता है। सिस्टम के रैखिक भाग द्वारा संकेतों के कमजोर फ़िल्टरिंग के मामले में, हार्मोनिक रैखिककरण विधि का उपयोग करते समय, उच्च हार्मोनिक्स को ध्यान में रखना आवश्यक है। साथ ही, नॉनलाइनियर सिस्टम की नियंत्रण प्रक्रियाओं की स्थिरता और गुणवत्ता का विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है।

दूसरी ल्यपुनोव विधि किसी को स्थिरता के लिए केवल पर्याप्त स्थितियाँ प्राप्त करने की अनुमति देती है। और यदि इसके आधार पर नियंत्रण प्रणाली की अस्थिरता निर्धारित की जाती है, तो कई मामलों में, प्राप्त परिणाम की शुद्धता की जांच करने के लिए, ल्यपुनोव फ़ंक्शन को दूसरे के साथ बदलना और स्थिरता विश्लेषण फिर से करना आवश्यक है। इसके अलावा, ल्यपुनोव फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं, जो इस पद्धति के व्यावहारिक अनुप्रयोग को कठिन बनाता है।

पूर्ण स्थिरता मानदंड आपको आवृत्ति विशेषताओं का उपयोग करके गैर-रेखीय प्रणालियों की स्थिरता का विश्लेषण करने की अनुमति देता है, जो इस पद्धति का एक बड़ा लाभ है, क्योंकि यह रैखिक और गैर-रेखीय प्रणालियों के गणितीय तंत्र को एक पूरे में जोड़ता है। इस पद्धति के नुकसान में अस्थिर रैखिक भाग वाले सिस्टम की स्थिरता का विश्लेषण करते समय गणना की जटिलता शामिल है। इसलिए, नॉनलाइनियर सिस्टम की स्थिरता पर सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, विभिन्न तरीकों का उपयोग करना आवश्यक है। और केवल विभिन्न परिणामों का संयोग ही हमें डिज़ाइन किए गए स्वचालित नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता या अस्थिरता के बारे में गलत निर्णय से बचने की अनुमति देगा।

स्थिरता मानदंड पोपोवा वी.एम.

(रोमानियाई वैज्ञानिक)

यह एक स्पष्ट गैर-रैखिकता के साथ एनएल एसीएस की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए एक आवृत्ति विधि है जो स्थिति को संतुष्ट करती है

संतुलन स्थिति की स्थिरता पर विचार किया जाता है

पर्याप्त स्थितियाँ पूर्ण स्थिरताऐसी प्रणालियाँ वी.एम. पोपोव द्वारा तैयार की गई थीं।

1. स्थानांतरण फ़ंक्शन पेश किया गया है

यह मान लिया है कि
एक स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर प्रणाली से मेल खाता है (किसी भी स्थिरता मानदंड द्वारा जांचा गया)।

2.आवृत्ति प्रतिक्रिया पाई जाती है
.

3. एक संशोधित आवृत्ति प्रतिक्रिया का निर्माण किया जाता है
,

जो संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दोबारा
=रे
,

मैं हूँ
= .

4. जटिल तल पर निर्मित
.

पोपोव मानदंड:

यदि एक बिंदु के माध्यम से
वास्तविक अक्ष पर एक सीधी रेखा खींची जा सकती है ताकि संशोधित ए.एफ.सी
इस सीधी रेखा के एक तरफ रखें, फिर एक बंद एनएल स्व-चालित बंदूक बिल्कुल स्थिर रहेगा.

उदाहरण।चित्र 1 के ब्लॉक आरेख के साथ एनएल स्व-चालित बंदूकों की पूर्ण स्थिरता की जांच करें, यदि

चूंकि सब कुछ दूसरे क्रम के अभिलक्षणिक समीकरण में शून्य से अधिक है
- स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है और इसलिए, पोपोव की स्थिरता मानदंड की स्थिति (1) संतुष्ट है।

दोबारा
=रे
=

मैं हूँ
=मैं हूँ
=

हम एक एएफएफसी का निर्माण कर रहे हैं
.

एक विशेष रूप के लिए स्पर्शोन्मुख स्थिरता

अरैखिक विशेषताएँ

1. अस्पष्ट अरेखीय विशेषता

आराम की स्थिति बिल्कुल स्थिर होगी यदि

1.
एक स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर प्रणाली से मेल खाता है।

2.

2. रिले विशेषता वाला सिस्टम

आर=0 . यह ऊपर चर्चा की गई विशेषता का एक विशेष मामला है।

पूर्ण स्थिरता के लिए पर्याप्त स्थिति - स्थिति के बजाय (2)

3. रिले प्रकार की गैर-रैखिकता

1.
- स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर।

2.मैं हूँ

पूर्ण प्रक्रिया स्थिरता

आइए अब स्थिरीकरण प्रणालियों (नाममात्र मोड - आराम की स्थिति) की स्थिरता पर विचार न करें, लेकिन उस मामले पर जब नाममात्र मोड को इनपुट सिग्नल द्वारा विशेषता दी जाती है
और आउटपुट सिग्नल
, वे हैं सीमित निरंतरसमय के कार्य.

हम मान लेंगे कि अरैखिक तत्व का रूप है
, कहाँ
एक सतत एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो शर्त को संतुष्ट करता है

वे। अरेखीय विशेषता के परिवर्तन की दर सीमित है। यह काफी सख्त शर्त है.

इस मामले में, सीमित प्रक्रिया की पूर्ण स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए
,
यह शर्तों को पूरा करने के लिए पर्याप्त है6

1.
- स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर था।

2.
.

विशेष मामले में जब आर=0

या

पोपोव के विचारों के विकास से जुड़ा सिद्धांत अभी पूरा नहीं हुआ है, यहां नए, मजबूत परिणाम संभव हैं। आज तक के ऐसे परिणामों का सारांश नौमोव की पुस्तक "नॉनलाइनियर ऑटोमैटिक कंट्रोल सिस्टम्स" में उपलब्ध है।

अरेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों के अध्ययन के लिए अनुमानित तरीके

हार्मोनिक संतुलन विधि

एनएल एसीएस का अध्ययन करते समय, कभी-कभी आउटपुट मूल्य में आवधिक परिवर्तनों की उपस्थिति का निरीक्षण करना संभव होता है य(टी) ऐसे मामलों में भी जहां
यदि, स्व-चालित बंदूकों का अध्ययन करते समय, हम स्वयं को यहीं तक सीमित रखते हैं रेखीयस्थिर गुणांक वाला मॉडल, तो संकेतित घटना (प्राकृतिक दोलन) केवल तभी घटित हो सकती है जब विशेषता समीकरण में विशुद्ध रूप से काल्पनिक जड़ें हों
.

हालाँकि, इस स्पष्टीकरण के साथ, सिस्टम के मापदंडों में एक छोटा सा बदलाव जड़ को काल्पनिक अक्ष से बाईं या दाईं ओर "स्थानांतरित" कर देगा और प्राकृतिक दोलन या तो कम हो जाएंगे या हिल जाएंगे। व्यवहार में, नॉनलाइनियर सिस्टम में, आउटपुट सिग्नल के आवधिक दोलन सिस्टम मापदंडों में छोटे बदलावों के साथ बने रहते हैं।

इस प्रकार के अवमंदित दोलनों को सिस्टम की अरैखिक प्रकृति द्वारा समझाया गया है। इन्हें स्व-दोलन कहा जाता है।

विधि पर विचार करें हार्मोनिक संतुलन,जो रैखिक भाग की चरण-आवृत्ति प्रतिक्रिया के पारस्परिक प्रवाह और गैर-रेखीय तत्व की विशेषताओं के आधार पर स्व-दोलनों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को निर्धारित करना संभव बनाता है।

आइए एक एकल-लूप प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक अरैखिक तत्व की पहचान की जाती है

(1)

और स्थानांतरण फ़ंक्शन के साथ रैखिक भाग
.

कल्पित:

1.
एक स्थिर प्रणाली से मेल खाता है,

2. अरैखिक विशेषता
- विषम सममिति, यानी

,

3.इनपुट सिग्नल
, अर्थात। यह एक स्थिरीकरण प्रणाली है.

हम आउटपुट सिग्नल की तलाश करेंगे य(टी) जैसा

, (2)

कहाँ - आत्म-दोलन का आयाम,

- स्व-दोलन की आवृत्ति.

और निर्धारित करने की आवश्यकता है.

साइनसोइडल परिकल्पना य(टी) मनमाना लगता है. हालाँकि, आगे की शर्तें दी जाएंगी जिनके तहत यह परिकल्पना स्वाभाविक हो जाती है।

क्योंकि
,(3)

चलिए सिग्नल मिस करते हैं
क्रमिक रूप से अरेखीय तत्व और रैखिक भाग के माध्यम से और समीकरण खोजें जिससे आयाम निर्धारित करना संभव होगा और आवृत्ति एनएल स्व-चालित बंदूकों में स्व-दोलन।

पूर्वाभ्यास
रैखिक तत्व के माध्यम से

क्योंकि
- आवधिक कार्य, फिर संकेत
नॉनलाइनियर के आउटपुट पर तत्व यह भी एक आवधिक कार्य होगा, लेकिन साइन तरंग से भिन्न होगा।

श्रेणी
श्रेणी

जैसा कि ज्ञात है, किसी भी आवधिक कार्य को फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

(4)

हम मानते हैं कि सूत्र (4) में मुक्त पद शून्य के बराबर है। यह तब होगा, उदाहरण के लिए, जब एक अरैखिक तत्व की विशेषता स्थिति को संतुष्ट करती है

, यानी यह एक अजीब कार्य है।

यहाँ फूरियर गुणांक है और निर्धारित किए गए है:

,

(5)

आइए दाहिनी ओर के प्रत्येक पद को गुणा और भाग करके (4) रूपांतरित करें
(6)

.

आइए हम आपको वह याद दिला दें

(8)

इस प्रकार, सिग्नल पास करते समय
एक अरेखीय तत्व के माध्यम से, अरेखीय तत्व के आउटपुट पर एक संकेत होता है
इसमें कई हार्मोनिक्स शामिल हैं जो कई गुना हैं . (ऊपर चित्र देखें)।

सिग्नल प्रवाह
रैखिक भाग के माध्यम से

रैखिक प्रणालियों के सिद्धांत से हम जानते हैं कि यदि स्थानांतरण फ़ंक्शन के साथ एक रैखिक लिंक का इनपुट
, एक स्थिर प्रणाली के अनुरूप, एक हार्मोनिक सिग्नल दें; स्थिर स्थिति में, इस लिंक के आउटपुट पर एक सिग्नल होगा।

यहाँ
- आवृत्ति प्रतिक्रिया मॉड्यूल
बिंदु पर ,

तर्क
.

इन संबंधों का उपयोग करके, हम अभिव्यक्ति लिख सकते हैं
, श्रृंखला (8) के सभी घटकों को रैखिक भाग से अलग-अलग गुजारना और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों का योग करना

सिस्टम की रैखिकता के कारण ऐसी प्रक्रिया कानूनी है।

हम मानते हुए प्राप्त करते हैं
:

परिणामी अभिव्यक्ति (9) के लिए
इसकी एक जटिल संरचना है। इसका उपयोग करके इसे काफी सरल बनाया जा सकता है फ़िल्टर परिकल्पना.

विशिष्ट प्रारंभिक इकाइयों की आवृत्ति विशेषताओं का अध्ययन करते हुए, हमने देखा कि उनकी आवृत्ति प्रतिक्रिया शून्य हो जाती है

फ़िल्टर परिकल्पना यह है कि (9) के दाईं ओर आवृत्ति प्रतिक्रिया बढ़ती आवृत्ति के साथ इतनी तेज़ी से घट जाती है कि (9) में केवल पहले पद को ही ध्यान में रखा जा सकता है, संगत क=1, और शेष शर्तों को नगण्य मानें। दूसरे शब्दों में, फ़िल्टर परिकल्पना वह परिकल्पना है कि ACS का रैखिक भाग व्यावहारिक रूप से उच्च-आवृत्ति दोलनों को गुजरने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, सूत्र (9) (और यह विधि का सन्निकटन है) को निम्नानुसार सरल बनाया गया है:

इस प्रकार, फ़िल्टर परिकल्पना की धारणा के तहत सिस्टम को बंद करते समय, हम एक हार्मोनिक संतुलन प्राप्त करेंगे (इसलिए विधि का नाम - हार्मोनिक संतुलन विधि)

आइए देखें कि कैसे उपयोग करें तरीका हार्मोनिक संतुलनआयाम निर्धारित करें एऔर आवृत्ति आत्म-दोलन.

आइए अवधारणा का परिचय दें एक अरैखिक तत्व का समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन:

(11)

अगर
(और यह स्पष्ट सममित अरैखिक विशेषताओं के साथ होता है), तो

(12)

एक बंद एसीएस (छवि 1) के विशेषता समीकरण का रूप है:

या आवृत्ति प्रतिक्रिया

(13)

(14)

आइए कल्पना करें

तब समीकरण (14) फिर से लिखा जाएगा:

=
(17)

समानता (14) या (17) स्व-दोलन के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए ग्राफ-विश्लेषणात्मक विधि का आधार है एऔर .

रैखिक भाग की चरण-आवृत्ति प्रतिक्रिया जटिल तल पर निर्मित होती है

और अरेखीय तत्व की विशेषताएं

यदि वक्र प्रतिच्छेद करते हैं, तो एसीएस में स्व-दोलन मौजूद होते हैं।

वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्व-दोलन की आवृत्ति
, और आयाम के अनुसार है
.

आइए चयनित क्षेत्र पर करीब से नज़र डालें

हम वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु के निकटतम बिंदुओं के आयाम और आवृत्ति को जानते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु पर आयाम और आवृत्ति निर्धारित की जा सकती है, उदाहरण के लिए, खंड को आधे में विभाजित करके।

हार्मोनिक रैखिककरण विधि

एनएल एसीएस में आवधिक दोलन निर्धारित करने के लिए यह एक बहुत ही प्रभावी अनुमानित विधि है।

गैर-रैखिकता के हार्मोनिक रैखिककरण की विधि को लागू करने के लिए, आवश्यकता को पूरा करना आवश्यक है: रैखिक भाग में फ़िल्टर गुण होने चाहिए, अर्थात इसे उच्च आवृत्तियों को गुजरने की अनुमति नहीं देनी चाहिए।

व्यवहार में, यह आवश्यकता आमतौर पर पूरी की जाती है।

मान लीजिए कि कोई अरैखिक तत्व है

(1)

होने देना
(2)

तब
(3)

आइए हम (1) को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करें:

याद रखें कि अरेखीय फ़ंक्शन एफ(एक्स) फूरियर श्रृंखला में विस्तारित, इसका रूप है:

,

,
,

तब हमारी गैर-रैखिकता के लिए फूरियर श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

++उच्च हार्मोनिक्स (4)

चलिए एक स्थिर घटक डालते हैं

समीकरण (2) से:

समीकरण (3) से:

तब समीकरण (4) को फिर से लिखा जा सकता है:

,

समीकरण (5) में हम उच्च आवृत्तियों की उपेक्षा करते हैं और यह विधि का सन्निकटन है।

इस प्रकार, अरैखिक तत्व पर
इसे रेखीयकृत अभिव्यक्ति (5) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो, जब रैखिक भाग फ़िल्टर परिकल्पना संतुष्ट होती है, तो रूप लेती है:

(6)

इस प्रक्रिया को हार्मोनिक लीनियराइजेशन कहा जाता है।

कठिनाइयाँ
और
पर निरंतर एऔर . गतिशील मोड में, जब वे बदलते हैं एऔर , गुणांक
और
बदल जाएगा। यह हार्मोनिक रैखिककरण और पारंपरिक रैखिककरण के बीच का अंतर है। (पारंपरिक रैखिककरण के साथ, रैखिक समीकरण का गुणांक कोरैखिककरण बिंदु पर निर्भर करता है)। रैखिकरण गुणांक की निर्भरता एऔर आपको एनएल एसीएस (6) में रैखिक प्रणालियों का अध्ययन करने के तरीकों को लागू करने और एनएल एसीएस के गुणों का विश्लेषण करने की अनुमति देता है जिन्हें पारंपरिक रैखिककरण के साथ पता नहीं लगाया जा सकता है।

हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक

कुछ विशिष्ट गैर-रैखिकताएँ

रिले विशेषता

2. मृत क्षेत्र के साथ रिले विशेषता

,
दोलन आयाम

3. हिस्टैरिसीस लूप के साथ रिले विशेषता

,
,

4. मृत क्षेत्र और हिस्टैरिसीस लूप के साथ रिले विशेषता

,

अब एक बंद प्रणाली पर विचार करें.

,

हम एक अरैखिक तत्व के स्थानांतरण फलन की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं

,

.

फिर एक बंद ACS का अभिलक्षणिक समीकरण:

,

या

जब एक बंद प्रणाली में निरंतर आयाम और आवृत्ति के प्राकृतिक अविभाजित दोलन उत्पन्न होते हैं, तो हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक स्थिर हो जाते हैं और स्वचालित नियंत्रण प्रणाली रैखिक हो जाती है। और एक रैखिक प्रणाली में, आवधिक अवमंदित दोलनों की उपस्थिति विशुद्ध रूप से काल्पनिक जड़ों की उपस्थिति को इंगित करती है।

इस प्रकार, निर्धारित करने के लिए आवधिकसमाधानों को विशेषता समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए
. यहाँ - वर्तमान आवृत्ति, और - स्व-दोलन की आवृत्ति.

इस समीकरण में अज्ञात हैं और .

आइए हम इस समीकरण में वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करें।

आइए हम वांछित आवधिक समाधान की आवृत्ति और आयाम के लिए संकेतन का परिचय दें:
,
.

हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरण मिलते हैं।

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं और - एनएल एसीएस में आवधिक समाधानों का आयाम और आवृत्ति।

इन समीकरणों का उपयोग करके, आप न केवल यह निर्धारित कर सकते हैं और , लेकिन एक निर्भरता भी बनाएँ और , उदाहरण के लिए, एसीएस के लाभ से को.

फिर, विचार करते हुए कोचर, हम लिखते हैं:

ताज्जुब को, हम देखतें है और , अर्थात।
और

चुन सकता कोताकि

1. यह पर्याप्त नहीं होगा

2. यह स्व-चालित बंदूकों के लिए हानिरहित होगा,

3. कोई स्व-दोलन नहीं होगा.

समान समीकरणों का उपयोग करते हुए, यह दो मापदंडों के तल पर संभव है (उदाहरण के लिए, टीऔर को) स्व-दोलन के आयाम और आवृत्ति के समान मानों की रेखाएँ बनाएँ। इस समीकरण के लिए हम फिर से लिखते हैं:

संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करना , हम पाते हैं
और

इन ग्राफ़ में से आप चुन सकते हैं टीऔर को।

नॉनलाइनियर स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में समाधानों की स्थिरता का निर्धारण

एनएल एसीएस में स्व-दोलन स्थिर आवधिक समाधानों के अनुरूप होना चाहिए। इसलिए, आयाम ज्ञात करने के बाद और आवृत्तियाँ आवधिक समाधानों की स्थिरता के लिए उनकी जांच करना आवश्यक है।

आइए मिखाइलोव होडोग्राफ का उपयोग करके एनएल एसीएस में आवधिक समाधानों की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए एक अनुमानित विधि पर विचार करें।

चलो एनएल स्व-चालित बंदूकें

,
.
- हार्मोनिक रैखिककरण विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया।

एक बंद प्रणाली की विशेषता समीकरण

आइए हम विशेषता वक्र (मिखाइलोव का होडोग्राफ) का समीकरण लिखें, जिसके लिए हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं
.

- मिखाइलोव होडोग्राफ़ के साथ वर्तमान आवृत्ति मान,

- हार्मोनिक रैखिकरण (स्व-दोलन) की आवृत्ति।

फिर किसी दिए गए के लिए स्थायी और मिखाइलोव वक्र का आकार सामान्य रैखिक प्रणालियों के समान ही होगा।

संगत आवधिक समाधान के लिए और , मिखाइलोव का होडोग्राफ निर्देशांक की उत्पत्ति से होकर गुजरेगा (क्योंकि सिस्टम स्थिरता सीमा पर है)।

हम आवधिक समाधानों की स्थिरता निर्धारित करने के लिए देते हैं वेतन वृद्धि

मैं मोटा
मिखाइलोव वक्र स्थिति 1 लेगा, और कब

- स्थिति 2, तो आवधिक समाधान स्थिर है।

मैं मोटा
वक्र स्थिति 2 लेगा, और कब
- स्थिति 1, तो आवधिक समाधान अस्थिर है।

"स्वचालित नियंत्रण का सिद्धांत"

"नॉनलाइनर सिस्टम का अध्ययन करने के तरीके"

1. विभेदक समीकरणों की विधि

nवें क्रम की एक बंद अरेखीय प्रणाली (चित्र 1) के अंतर समीकरण को पहले क्रम के n-अंतर समीकरणों की एक प्रणाली में रूपांतरित किया जा सकता है:

कहा पे: - सिस्टम के व्यवहार को दर्शाने वाले चर (उनमें से एक नियंत्रित चर हो सकता है); - अरेखीय कार्य; यू - सेटिंग प्रभाव.

आमतौर पर, ये समीकरण सीमित अंतरों में लिखे जाते हैं:

शुरुआती स्थितियां कहां हैं.

यदि विचलन बड़े नहीं हैं, तो इस प्रणाली को बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में हल किया जा सकता है। समाधान को रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है।

2. चरण अंतरिक्ष विधि

आइए उस स्थिति पर विचार करें जब बाहरी प्रभाव शून्य (यू = 0) हो।

सिस्टम की गति उसके निर्देशांक में परिवर्तन से निर्धारित होती है - समय के एक कार्य के रूप में। किसी भी समय मान सिस्टम की स्थिति (चरण) को चिह्नित करते हैं और एन-अक्ष वाले सिस्टम के निर्देशांक निर्धारित करते हैं और इसे कुछ (प्रतिनिधि) बिंदु एम (चित्र 2) के निर्देशांक के रूप में दर्शाया जा सकता है।

चरण स्थान प्रणाली का समन्वय स्थान है।

जैसे ही समय t बदलता है, बिंदु M एक प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है जिसे चरण प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। यदि हम प्रारंभिक स्थितियों को बदलते हैं, तो हमें चरण प्रक्षेपवक्र का एक परिवार मिलता है जिसे चरण पोर्ट्रेट कहा जाता है। चरण चित्र एक अरेखीय प्रणाली में संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति को निर्धारित करता है। चरण चित्र में विशेष बिंदु होते हैं जिनकी ओर सिस्टम के चरण प्रक्षेप पथ प्रवृत्त होते हैं या दूर चले जाते हैं (उनमें से कई हो सकते हैं)।

चरण चित्र में बंद चरण प्रक्षेप पथ हो सकते हैं, जिन्हें सीमा चक्र कहा जाता है। सीमा चक्र प्रणाली में स्व-दोलन की विशेषता दर्शाते हैं। सिस्टम के संतुलन की स्थिति को दर्शाने वाले विशेष बिंदुओं को छोड़कर, चरण प्रक्षेपवक्र कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। सीमा चक्र और संतुलन अवस्थाएँ स्थिर या अस्थिर हो सकती हैं।

चरण चित्र पूरी तरह से अरेखीय प्रणाली की विशेषता बताता है। अरेखीय प्रणालियों की एक विशिष्ट विशेषता विभिन्न प्रकार की गतियों, कई संतुलन अवस्थाओं और सीमा चक्रों की उपस्थिति है।

चरण अंतरिक्ष विधि अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए एक मौलिक विधि है। समय क्षेत्र में क्षणिक प्रक्रियाओं की साजिश रचने की तुलना में चरण तल पर गैर-रेखीय प्रणालियों का अध्ययन करना बहुत आसान और अधिक सुविधाजनक है।

अंतरिक्ष में ज्यामितीय निर्माण समतल पर निर्माण की तुलना में कम दृश्यमान होते हैं, जब प्रणाली दूसरे क्रम की होती है, और चरण समतल विधि का उपयोग किया जाता है।

रैखिक प्रणालियों के लिए चरण समतल विधि का अनुप्रयोग

आइए हम संक्रमण प्रक्रिया की प्रकृति और चरण प्रक्षेप पथ के वक्रों के बीच संबंध का विश्लेषण करें। चरण प्रक्षेपवक्र या तो चरण प्रक्षेपवक्र समीकरण को एकीकृत करके या मूल द्वितीय क्रम अंतर समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए कि सिस्टम दिया गया है (चित्र 3)।

आइए सिस्टम के मुक्त संचलन पर विचार करें। इस मामले में: U(t)=0, e(t)=– x(t)

सामान्य तौर पर, अंतर समीकरण का रूप होता है

कहाँ (1)

यह दूसरे क्रम का सजातीय अवकल समीकरण है; इसका अभिलक्षणिक समीकरण बराबर है

. (2)

विशेषता समीकरण की जड़ें संबंधों से निर्धारित होती हैं

(3)

आइए हम एक प्रणाली के रूप में दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का प्रतिनिधित्व करें

प्रथम क्रम के समीकरण:

(4)

नियंत्रित चर के परिवर्तन की दर कहाँ है?

विचाराधीन रैखिक प्रणाली में, चर x और y चरण निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करते हैं। हम निर्देशांक x और y के स्थान में चरण चित्र का निर्माण करते हैं, अर्थात। चरण तल पर.

यदि हम समीकरण (1) से समय को हटा दें, तो हमें अभिन्न वक्रों या चरण प्रक्षेपवक्रों का समीकरण प्राप्त होता है।

. (5)

यह एक पृथक्करणीय समीकरण है

आइए कई मामलों पर विचार करें

फ़ाइलें GB_prog.m और GB_mod.mdl, और रैखिक भाग के आउटपुट पर आवधिक मोड की वर्णक्रमीय संरचना का विश्लेषण - GB_prog.m और R_Fourie.mdl फ़ाइलों का उपयोग करके। GB_prog.m फ़ाइल की सामग्री: % हार्मोनिक संतुलन विधि द्वारा नॉनलाइनियर सिस्टम का अध्ययन % प्रयुक्त फ़ाइलें: GB_prog.m, GB_mod.mdl और R_Fourie.mdl। % प्रयुक्त पदनाम: एनई - अरैखिक तत्व, एलपी - रैखिक भाग। %सब साफ़ हो रहा है...

अनुमेय (ऊपर से सीमित) आवृत्ति सीमा में जड़ता-मुक्त, जिसके परे यह जड़त्वीय हो जाता है। विशेषताओं के प्रकार के आधार पर, सममित और असममित विशेषताओं वाले गैर-रेखीय तत्वों को प्रतिष्ठित किया जाता है। एक विशेषता जो इसे निर्धारित करने वाली मात्राओं की दिशा पर निर्भर नहीं करती है, सममित कहलाती है, अर्थात। सिस्टम की उत्पत्ति के सापेक्ष समरूपता होना...

आइए एक रासायनिक-तकनीकी वस्तु पर विचार करें, जिसके इनपुट पर एक यादृच्छिक संकेत प्राप्त होता है और(/), और आउटपुट पर एक यादृच्छिक प्रक्रिया देखी जाती है पर(/). स्थिर मापदंडों के साथ रैखिक वस्तुओं की पहचान करने के लिए सहसंबंध विधियों का उपयोग करते समय, आमतौर पर यह माना जाता है (या परीक्षण संकेत विशेष रूप से इस तरह से चुना जाता है) कि यादृच्छिक कार्य और टी)और पर (टी) व्यापक अर्थों में स्थिर और स्थिर-जोड़ी से संबंधित हैं, यानी उनकी गणितीय अपेक्षाएं स्थिर हैं, और ऑटो- और क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन दो नहीं, बल्कि उनके अंतर के बराबर एक तर्क के कार्य हैं।

गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों की पहचान करते समय, कार्यों की संभाव्यता घनत्व की सामान्यता के लिए शर्तें और टी)और वाई(टी)और उनकी संयुक्त संभाव्यता घनत्व, एक नियम के रूप में, संतुष्ट नहीं हैं, यानी, किसी वस्तु की विशेषताएं उन स्थितियों में निर्धारित की जाती हैं जहां कार्यों की संयुक्त संभाव्यता घनत्व होती है और टी)और पर(/) गॉसियन नहीं हैं।

इसलिए, सशर्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन वाई(टी)अपेक्षाकृत और टी)गैर-गॉसियन भी होगा। तर्कों के दिए गए मानों के लिए इनपुट यादृच्छिक फ़ंक्शन के सापेक्ष आउटपुट यादृच्छिक चर का प्रतिगमन सामान्य मामले में गैर-रेखीय है, और कार्यों का सहसंबंध और(0 और पर (टी)विषमलैंगिक.

इस प्रकार, गैर-रेखीय वस्तुओं की पहचान करने के लिए, गणितीय अपेक्षाओं और यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सहसंबंध कार्यों के साथ काम करने वाली सहसंबंध विधियां अब पर्याप्त नहीं हैं। रैखिक प्रणालियों के लिए उपयोग की जाने वाली सहसंबंध विधियों का उपयोग करके एक गैर-रेखीय वस्तु की पहचान करने की समस्या को हल करने में त्रुटि जितनी अधिक होगी, कार्यों का प्रतिगमन उतना ही मजबूत होगा वाई(टी)अपेक्षाकृत और टी)रैखिक से भिन्न होता है और सशर्त भिन्नताओं की गणितीय अपेक्षा की असमानता जितनी अधिक होती है।

यादृच्छिक गड़बड़ी की स्थिति में काम करने वाली गैर-रेखीय वस्तुओं की पहचान करने की समस्या एक बहुत ही जटिल गणितीय समस्या है, जो वर्तमान में विकास के अधीन है और अभी भी पूरी होने से बहुत दूर है। फिर भी, कई तरीकों का नाम देना पहले से ही संभव है, जिन्हें हालांकि संपूर्ण नहीं माना जा सकता है, लेकिन सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करके गैर-रेखीय वस्तुओं की पहचान करने की समस्या का काफी अच्छा अनुमानित समाधान प्रदान किया जाता है। इन विधियों में शामिल हैं: 1) यादृच्छिक प्रक्रियाओं के फैलाव और अंतःविस्तारित कार्यों के उपयोग पर आधारित विधियाँ; 2) फ़ंक्शन के सशर्त विचरण की गणितीय अपेक्षा की समरूपता के क्षेत्रों में गैर-रेखीय प्रतिगमन के रैखिककरण की विधि वाई(टी)अपेक्षाकृत और टी) 3) नॉनलाइनियर सिस्टम की पहचान के लिए वीनर दृष्टिकोण; 4) सशर्त मार्कोव प्रक्रियाओं के उपकरण के उपयोग के आधार पर गैर-रेखीय प्रणालियों की पहचान करने की एक विधि।

आइए प्रत्येक सूचीबद्ध तरीकों पर संक्षेप में नज़र डालें।

1. यदि यादृच्छिक कार्यों के मूल्यों के बीच निर्भरता और(0 और पर (टी)अरेखीय, तो एक यादृच्छिक फ़ंक्शन के मूल्यों के बीच सहसंबंध गुणांक अब उनके बीच कनेक्शन की निकटता को मापने के लिए एक अच्छे पर्याप्त मानदंड के रूप में काम नहीं कर सकता है। इसलिए, के बीच संबंध को चिह्नित करने के लिए औरऔर परउपयोग किया जाता है

फैलाव संबंध, जिसके माध्यम से निर्धारित किया जाता है फैलाव कार्य (2, 3].

पारस्परिक फैलाव कार्यवास्तविक यादृच्छिक कार्यों के लिए 0 yU (*, t)। वाई(टी)और और टी)और ऑटो-फैलाव (फैलाव) फ़ंक्शनयादृच्छिक प्रक्रिया के लिए G„ K (*, m)। और(टी) संबंधों द्वारा निर्धारित होते हैं

कहाँ एम( ) - गणितीय अपेक्षा का प्रतीक; एम।

ऊपर परिभाषित मूल्यों के आधार पर पी यूआई,टी| ब्रिटेन और आरआप संकेतों के बीच संबंधों की रैखिकता के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए एक विशेष टीवी मानदंड बना सकते हैं आप और और:

कहाँ पी- प्रयोगों की संख्या; को- सहसंबंध तालिका में अंतराल की संख्या. आइए बीच संबंधों की रैखिकता के बारे में परिकल्पना की जाँच करें आप टीऔर वगैरह§6.4 में चर्चा की गई वस्तु के लिए। समारोह

एन(टी), सिस्टम के इनपुट और आउटपुट कार्यान्वयन से निर्मित, चित्र में दिखाया गया है। 8.2. इस मामले में, पहचान की समस्या वस्तु के अज्ञात मापदंडों की खोज तक सीमित हो जाती है, जो हिल्बर्ट स्पेस में ऑपरेटर के गुणांक हैं। सिस्टम इनपुट पर सिग्नल को लैगुएरे सबफंक्शन की एक श्रृंखला में विस्तारित किया गया है:

बाधाओं के साथ

चावल। 8.3.

चावल। 8.4.

यहाँ पी-वें लैगुएरे फ़ंक्शन जी एन(टी)लैगुएरे बहुपद के उत्पाद के रूप में निर्मित किया गया है एलएन(टी)प्रतिपादक के लिए:

ध्यान दें कि (8.19) के आधार पर लैगुएरे बहुपद की लाप्लास छवि का रूप है

इससे पता चलता है कि सिग्नल पास करके आवश्यक लैगुएरे गुणांक प्राप्त किया जा सकता है और टी)रैखिक गतिशील लिंक की एक श्रृंखला के माध्यम से (चित्र 8.3 देखें)।

एक अरैखिक प्रणाली के संचालक को एर्मन्ट बहुपदों में विस्तार के रूप में दर्शाया गया है:

जो वास्तविक अक्ष पर ओर्थोगोनल हैं - ऊ टी। हर्माइट फ़ंक्शन का निर्माण हर्माइट बहुपद से किया गया है:

जिसकी सहायता से इनपुट सिग्नल के लैगुएरे गुणांक से आउटपुट सिग्नल तक संक्रमण ऑपरेटर को फॉर्म में लिखा जाता है

संबंध (8.20) किसी भी अरैखिक वस्तु के लिए मान्य है और इसकी पहचान के लिए आधार के रूप में उपयोग किया जा सकता है। यदि गॉसियन सफेद शोर के रूप में एक विशेष संकेत इनपुट पर लागू किया जाता है तो पहचान विधि बहुत सरल हो जाती है। इस मामले में, लैगुएरे फ़ंक्शन समान भिन्नताओं के साथ असंबंधित गाऊसी यादृच्छिक प्रक्रियाएं हैं। इस मामले में, गुणांक का निर्धारण... कोसिस्टम आउटपुट और हर्माइट बहुपद के क्रॉस-सहसंबंध फ़ंक्शन को ढूंढना कम हो जाता है:

बाधाओं का निर्धारण बी(जे... कोपहचान समस्या का समाधान पूरा करता है। सामान्य गणना योजना चित्र में दिखाई गई है। 8.4.

रासायनिक तकनीकी वस्तुओं की पहचान करने की समस्याओं को हल करते समय, विचाराधीन विधि का कई कारणों से सीमित अनुप्रयोग होता है। उत्तरार्द्ध में, उदाहरण के लिए, गुणांक से आगे बढ़ने पर उत्पन्न होने वाली कठिनाइयाँ शामिल हैं बी टीजे केवस्तु के तकनीकी मापदंडों के लिए। यह विधि गैर-स्थिर प्रणालियों के लिए उपयुक्त नहीं है। सुविधा के सामान्य संचालन के दौरान इस प्रक्रिया को लागू करने में कठिनाइयाँ भी विधि की प्रभावशीलता को कम करती हैं। अंत में, परिच्छेदों से जुड़े सभी परिचालनों को सीमा तक छोटा करने की आवश्यकता और श्रृंखला को सीमित योगों से बदलने की आवश्यकता अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल त्रुटियों के स्रोत हैं।

4. नॉनलाइनियर सिस्टम के लिए इष्टतम फिल्टर के निर्माण का एक अन्य संभावित तरीका सशर्त मार्कोव प्रक्रियाओं के उपकरण के उपयोग पर आधारित है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके इस दृष्टिकोण के सार पर विचार करें।

उदाहरण माना कि उपयोगी सिग्नल एक आयताकार पल्स है

खंड 0 x T पर t की उपस्थिति का क्षण निर्धारित करने की आवश्यकता है। नाड़ी की ऊंचाई ए 0और इसकी अवधि h ज्ञात मानी जाती है। वस्तु पर पहुंचने वाला संकेत है और (t)=s(*)+m> (*) उपयोगी घटक का योग है एस(0 और सफेद शोर डब्ल्यू(*), जो संभाव्यता अभिन्न द्वारा वर्णित है)