कौन सी संख्या अभाज्य या भाज्य नहीं है? प्रमुख संख्या। समग्र संख्या। क्या यह संख्या अभाज्य है या संयुक्त?

प्रमेय.

अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है।

सबूत।

चलिए मान लेते हैं कि ऐसा नहीं है. अर्थात्, मान लीजिए कि केवल n अभाज्य संख्याएँ हैं, और ये अभाज्य संख्याएँ p 1, p 2, ..., p n हैं। आइए हम दिखाएं कि हम हमेशा संकेतित संख्याओं से भिन्न एक अभाज्य संख्या पा सकते हैं।

संख्या p को p 1 ·p 2 ·…·p n +1 के बराबर मानें। स्पष्ट है कि यह संख्या प्रत्येक अभाज्य संख्या p 1, p 2, ..., p n से भिन्न है। यदि संख्या p अभाज्य है, तो प्रमेय सिद्ध होता है। यदि यह संख्या भाज्य है, तो पिछले प्रमेय के आधार पर इस संख्या का एक अभाज्य भाजक होता है (हम इसे p n+1 दर्शाते हैं)। आइए हम दिखाएं कि यह भाजक किसी भी संख्या p 1, p 2, ..., p n से मेल नहीं खाता है।

यदि ऐसा नहीं होता, तो, विभाज्यता के गुणों के अनुसार, गुणनफल p 1 ·p 2 ·…·p n को p n+1 से विभाजित किया जाता। लेकिन संख्या p, p n+1 से भी विभाज्य है, जो योग p 1 ·p 2 ·…·p n +1 के बराबर है। इसका तात्पर्य यह है कि p n+1 को इस योग के दूसरे पद को विभाजित करना होगा, जो एक के बराबर है, लेकिन यह असंभव है।

इस प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि एक नई अभाज्य संख्या हमेशा पाई जा सकती है जो पूर्व निर्धारित अभाज्य संख्याओं में से किसी भी संख्या में शामिल नहीं है। इसलिए, अभाज्य संख्याएँ अपरिमित रूप से अनेक हैं।

इसलिए, इस तथ्य के कारण कि अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है, अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ संकलित करते समय, आप हमेशा अपने आप को ऊपर से किसी संख्या तक सीमित रखते हैं, आमतौर पर 100, 1,000, 10,000, आदि।

एराटोस्थनीज़ की छलनी

अब हम अभाज्य संख्याओं की सारणी बनाने के तरीकों पर चर्चा करेंगे। मान लीजिए हमें 100 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका बनानी है।

इस समस्या को हल करने के लिए सबसे स्पष्ट तरीका क्रमिक रूप से सकारात्मक पूर्णांकों की जांच करना है, जो 2 से शुरू होकर 100 पर समाप्त होता है, एक सकारात्मक विभाजक की उपस्थिति के लिए जो 1 से अधिक है और परीक्षण की जा रही संख्या से कम है (विभाज्यता के गुणों से हम जानते हैं) भाजक का पूर्ण मूल्य लाभांश के पूर्ण मूल्य से अधिक नहीं है, गैर-शून्य)। यदि ऐसा कोई भाजक नहीं मिलता है, तो परीक्षण की जा रही संख्या अभाज्य है, और इसे अभाज्य संख्या तालिका में दर्ज किया जाता है। यदि ऐसा कोई भाजक पाया जाता है, तो परीक्षण की जा रही संख्या समग्र है; इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज नहीं किया गया है। इसके बाद, अगले नंबर पर संक्रमण होता है, जिसे भाजक की उपस्थिति के लिए इसी तरह जांचा जाता है।

आइए पहले कुछ चरणों का वर्णन करें।

हम नंबर 2 से शुरू करते हैं. संख्या 2 में 1 और 2 के अलावा कोई भी धनात्मक भाजक नहीं है। अतः यह सरल है इसलिए हम इसे अभाज्य संख्याओं की सारणी में दर्ज करते हैं। यहां बता दें कि 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है. चलिए नंबर 3 पर चलते हैं. 1 और 3 के अलावा इसका संभावित धनात्मक भाजक संख्या 2 है। लेकिन 3, 2 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, 3 एक अभाज्य संख्या है, और इसे भी अभाज्य संख्याओं की तालिका में शामिल करने की आवश्यकता है। चलिए नंबर 4 पर चलते हैं. 1 और 4 के अलावा इसके धनात्मक भाजक संख्या 2 और 3 भी हो सकते हैं, आइए उनकी जाँच करें। संख्या 4, 2 से विभाज्य है, इसलिए, 4 एक भाज्य संख्या है और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें कि 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है। चलिए नंबर 5 पर चलते हैं. हम जांचते हैं कि संख्या 2, 3, 4 में से कम से कम एक इसका विभाजक है या नहीं। चूँकि 5, 2, 3 या 4 से विभाज्य नहीं है, तो यह अभाज्य है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में लिखा जाना चाहिए। फिर संख्या 6, 7 और इसी प्रकार 100 तक संक्रमण होता है।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करने का यह दृष्टिकोण आदर्श से बहुत दूर है। किसी भी तरह, उसे अस्तित्व का अधिकार है। ध्यान दें कि पूर्णांकों की तालिका बनाने की इस विधि से, आप विभाज्यता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं, जिससे भाजक खोजने की प्रक्रिया थोड़ी तेज हो जाएगी।

अभाज्य संख्याओं की तालिका बनाने का एक अधिक सुविधाजनक तरीका है, जिसे कहा जाता है। नाम में मौजूद शब्द "छलनी" आकस्मिक नहीं है, क्योंकि इस विधि की क्रियाएं, जैसे कि, समग्र संख्याओं से सरल संख्याओं को अलग करने के लिए एराटोस्थनीज की छलनी के माध्यम से पूर्ण संख्याओं और बड़ी इकाइयों को "छानना" करने में मदद करती हैं।

आइए 50 तक की अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करते समय एराटोस्थनीज़ की छलनी को क्रियाशील दिखाते हैं।

सबसे पहले संख्याओं 2, 3, 4, ..., 50 को क्रम से लिख लें।

लिखी गई पहली संख्या, 2, अभाज्य है। अब, संख्या 2 से, हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं से दाईं ओर बढ़ते हैं और इन संख्याओं को तब तक काटते हैं जब तक कि हम संकलित संख्याओं की तालिका के अंत तक नहीं पहुँच जाते। यह उन सभी संख्याओं को काट देगा जो दो के गुणज हैं।

2 के बाद की पहली संख्या जिसे काटा नहीं गया है वह 3 है। यह संख्या अभाज्य है. अब, संख्या 3 से, हम क्रमिक रूप से तीन संख्याओं (पहले से ही काट दी गई संख्याओं को ध्यान में रखते हुए) से दाईं ओर जाते हैं और उन्हें काट देते हैं। यह उन सभी संख्याओं को काट देगा जो तीन के गुणज हैं।

3 के बाद की पहली संख्या जिसे काटा नहीं गया है वह 5 है। यह संख्या अभाज्य है. अब संख्या 5 से हम लगातार 5 संख्याओं से दाईं ओर बढ़ते हैं (हम पहले काटी गई संख्याओं को भी ध्यान में रखते हैं) और उन्हें काट देते हैं। यह उन सभी संख्याओं को काट देगा जो पाँच के गुणज हैं।

इसके बाद, हम उन संख्याओं को काट देते हैं जो 7 के गुणज हैं, फिर 11 के गुणज हैं, इत्यादि। प्रक्रिया तब समाप्त हो जाती है जब काटने के लिए कोई संख्या नहीं रह जाती है। एराटोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग करके प्राप्त 50 तक की अभाज्य संख्याओं की पूरी तालिका नीचे दी गई है। सभी बिना काटी गई संख्याएँ अभाज्य हैं, और सभी काटी गई संख्याएँ भाज्य हैं।

आइए एक प्रमेय भी बनाएं और सिद्ध करें जो एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करने की प्रक्रिया को गति देगा।

प्रमेय.

किसी भाज्य संख्या a का सबसे छोटा धनात्मक भाजक जो एक से भिन्न है, से अधिक नहीं है, जहाँ a से है।

सबूत।

आइए हम अक्षर b द्वारा भाज्य संख्या a के सबसे छोटे भाजक को निरूपित करें जो एक से भिन्न हो (संख्या b अभाज्य है, जैसा कि पिछले पैराग्राफ की शुरुआत में सिद्ध प्रमेय से होता है)। फिर एक पूर्णांक q है जैसे कि a=b·q (यहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है, जो पूर्णांकों के गुणन के नियमों का पालन करता है), और (b>q के लिए शर्त यह है कि b, a का सबसे छोटा भाजक है) का उल्लंघन किया गया है , क्योंकि समानता a=q·b के कारण q भी संख्या a का भाजक है)। असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक और एक से बड़े पूर्णांक से गुणा करके (हमें ऐसा करने की अनुमति है), हम प्राप्त करते हैं, जिससे और।

एराटोस्थनीज की छलनी के संबंध में सिद्ध प्रमेय हमें क्या देता है?

सबसे पहले, भाज्य संख्याओं को, जो एक अभाज्य संख्या b के गुणज हैं, काट देना इसके बराबर संख्या से शुरू करना चाहिए (यह असमानता से आता है)। उदाहरण के लिए, दो के गुणज वाली संख्याओं को काटने की शुरुआत संख्या 4 से होनी चाहिए, तीन के गुणजों को संख्या 9 से, पाँच के गुणजों को संख्या 25 से, इत्यादि।

दूसरे, एराटोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग करके संख्या n तक अभाज्य संख्याओं की एक तालिका संकलित करना तब पूर्ण माना जा सकता है जब सभी मिश्रित संख्याएँ जो अभाज्य संख्याओं के गुणज हों, से अधिक न हों। हमारे उदाहरण में, n=50 (चूंकि हम 50 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका बना रहे हैं) और, इसलिए, एराटोस्थनीज की छलनी को उन सभी भाज्य संख्याओं को हटा देना चाहिए जो अभाज्य संख्याओं 2, 3, 5 और 7 के गुणज हैं जो ऐसा करते हैं 50 के अंकगणितीय वर्गमूल से अधिक नहीं। अर्थात्, अब हमें उन संख्याओं को खोजने और काटने की आवश्यकता नहीं है जो अभाज्य संख्याओं 11, 13, 17, 19, 23 और इसी प्रकार 47 तक के गुणज हैं, क्योंकि वे पहले ही छोटी अभाज्य संख्याओं 2 के गुणजों के रूप में काट दी जाएंगी। , 3, 5 और 7 .

क्या यह संख्या अभाज्य है या संयुक्त?

कुछ कार्यों में यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि दी गई संख्या अभाज्य है या भाज्य है। सामान्य तौर पर, यह कार्य सरल नहीं है, विशेषकर उन संख्याओं के लिए जिनके लेखन में महत्वपूर्ण संख्या में वर्ण होते हैं। अधिकांश मामलों में, आपको इसे हल करने के लिए कोई विशिष्ट तरीका खोजना होगा। हालाँकि, हम साधारण मामलों के लिए विचार धारा को दिशा देने का प्रयास करेंगे।

बेशक, आप यह साबित करने के लिए विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं कि कोई दी गई संख्या समग्र है। यदि, उदाहरण के लिए, विभाज्यता के कुछ परीक्षण से पता चलता है कि दी गई संख्या एक से अधिक किसी सकारात्मक पूर्णांक से विभाज्य है, तो मूल संख्या मिश्रित है।

उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि 898,989,898,989,898,989 एक भाज्य संख्या है।

समाधान।

इस संख्या के अंकों का योग 9·8+9·9=9·17 है। चूँकि 9·17 के बराबर संख्या 9 से विभाज्य है, तो 9 से विभाज्यता से हम कह सकते हैं कि मूल संख्या भी 9 से विभाज्य है। अत: यह समग्र है।

इस दृष्टिकोण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि विभाज्यता मानदंड किसी संख्या की प्रधानता साबित करने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, जब किसी संख्या का परीक्षण यह देखने के लिए किया जाता है कि वह अभाज्य है या समग्र, तो आपको अलग तरीके से आगे बढ़ने की आवश्यकता है।

सबसे तार्किक दृष्टिकोण किसी दी गई संख्या के सभी संभावित विभाजकों को आज़माना है। यदि संभावित भाजक में से कोई भी किसी दी गई संख्या का सच्चा भाजक नहीं है, तो यह संख्या अभाज्य होगी, अन्यथा यह भाज्य होगी। पिछले पैराग्राफ में सिद्ध किए गए प्रमेयों से, यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी दी गई संख्या के विभाजक को अभाज्य संख्याओं के बीच खोजा जाना चाहिए जो इससे अधिक न हों। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या a को क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं (जो आसानी से अभाज्य संख्याओं की तालिका से ली गई हैं) से विभाजित किया जा सकता है, संख्या a के विभाजक को खोजने का प्रयास किया जा सकता है। यदि एक भाजक पाया जाता है, तो संख्या a भाज्य है। यदि अभाज्य संख्याओं में से संख्या a से अधिक नहीं है, तो संख्या a का कोई विभाजक नहीं है, तो संख्या a अभाज्य है।

उदाहरण।

संख्या 11 723 सरल या यौगिक?

समाधान।

आइए जानें कि संख्या 11,723 के भाजक किस अभाज्य संख्या तक हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए मूल्यांकन करें।

यह बिल्कुल स्पष्ट है , चूँकि 200 2 =40,000, और 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью संख्याओं की तुलना). इस प्रकार, 11,723 के संभावित अभाज्य गुणनखंड 200 से कम हैं। इससे हमारा काम पहले से ही बहुत आसान हो गया है। यदि हमें यह नहीं पता होता, तो हमें 200 तक नहीं, बल्कि 11,723 तक की सभी अभाज्य संख्याओं से गुजरना पड़ता।

यदि वांछित है, तो आप अधिक सटीक मूल्यांकन कर सकते हैं। चूँकि 108 2 =11,664, और 109 2 =11,881, तो 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . इस प्रकार, 109 से कम कोई भी अभाज्य संख्या संभावित रूप से दी गई संख्या 11,723 का अभाज्य गुणनखंड है।

अब हम संख्या 11,723 को क्रमानुसार अभाज्य संख्याओं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 में विभाजित करेंगे। , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . यदि संख्या 11,723 को लिखित अभाज्य संख्याओं में से किसी एक से विभाजित किया जाए, तो यह संयुक्त होगी। यदि यह किसी भी लिखित अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, तो मूल संख्या अभाज्य है।

हम विभाजन की इस पूरी नीरस और नीरस प्रक्रिया का वर्णन नहीं करेंगे। आइए तुरंत कहें कि 11,723

क्या एक अभाज्य संख्या है? नहीं, एक अभाज्य संख्या नहीं है.

क्या 0 एक अभाज्य संख्या है? नहीं, शून्य एक अभाज्य संख्या नहीं है.

क्या 2 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 2 एक अभाज्य संख्या है। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

क्या 3 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 3 एक अभाज्य संख्या है।

क्या 5 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 5 एक अभाज्य संख्या है.

क्या 7 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 7 एक अभाज्य संख्या है.

क्या 9 एक अभाज्य संख्या है? नहीं, 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है. आख़िरकार, 9 स्वयं से, एक से और तीन से विभाज्य है।

क्या 11 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 11 एक अभाज्य संख्या है।

क्या 13 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 13 एक अभाज्य संख्या है।

क्या 15 एक अभाज्य संख्या है? नहीं, 15 एक अभाज्य संख्या नहीं है. आख़िरकार, 15 स्वयं से विभाज्य है, एक से, तीन से, पांच से।

क्या 17 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 17 एक अभाज्य संख्या है।

क्या 19 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 19 एक अभाज्य संख्या है।

क्या 20 एक अभाज्य संख्या है? नहीं, 20 एक अभाज्य संख्या नहीं है. आख़िरकार, 20 अपने आप में विभाज्य है, एक से, दो से, चार से, पाँच से, दस से।

क्या 777 एक अभाज्य संख्या है? नहीं, 777 एक अभाज्य संख्या नहीं है। आख़िरकार, 777 स्वयं से विभाज्य है, एक से, 3 से, 7 से, 37 से।

क्या 997 एक अभाज्य संख्या है? हाँ, 997 एक अभाज्य संख्या है।

अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जो केवल स्वयं और एक से विभाज्य होती है।

फिलहाल, संख्याओं के गुणनखंडन के लिए बहुपद एल्गोरिदम अज्ञात हैं, हालांकि यह साबित नहीं हुआ है कि ऐसे एल्गोरिदम मौजूद नहीं हैं। आरएसए क्रिप्टोसिस्टम और कुछ अन्य कारककरण समस्या की अनुमानित उच्च कम्प्यूटेशनल जटिलता पर आधारित हैं। शोर के एल्गोरिदम का उपयोग करके क्वांटम कंप्यूटर पर बहुपद जटिलता के साथ गुणनखंडन सैद्धांतिक रूप से संभव है।

अभाज्य संख्याओं को खोजने और पहचानने के लिए एल्गोरिदम

कुछ मान तक की अभाज्य संख्याओं की प्रारंभिक सूची खोजने की सरल विधियाँ एराटोस्थनीज की छलनी, सुंदरम की छलनी और एटकिन की छलनी द्वारा दी गई हैं।

हालाँकि, व्यवहार में, अभाज्य संख्याओं की सूची प्राप्त करने के बजाय, आप अक्सर यह जाँचना चाहते हैं कि कोई दी गई संख्या अभाज्य है या नहीं। इस समस्या को हल करने वाले एल्गोरिदम को प्रारंभिक परीक्षण कहा जाता है। कई बहुपद प्रारंभिक परीक्षण हैं, लेकिन अधिकांश संभाव्य हैं (जैसे कि मिलर-राबिन परीक्षण) और क्रिप्टोग्राफी की जरूरतों के लिए उपयोग किए जाते हैं। 2002 में, यह सिद्ध हो गया था कि प्रारंभिक परीक्षण समस्या अपने सामान्य रूप में बहुपद रूप से हल करने योग्य है, लेकिन प्रस्तावित नियतात्मक अग्रवाल-काजल-सक्सेना परीक्षण में बड़ी कम्प्यूटेशनल जटिलता है, जो इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग को कठिन बनाती है।

संख्याओं के कुछ वर्गों के लिए विशेष कुशल प्रारंभिक परीक्षण हैं (नीचे देखें)।

अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की अनंतता

अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। इस तथ्य का सबसे पुराना ज्ञात प्रमाण यूक्लिड द्वारा एलिमेंट्स (पुस्तक IX, कथन 20) में दिया गया था। उनके प्रमाण को संक्षेप में इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

गणितज्ञों ने अन्य प्रमाण प्रस्तुत किये। उनमें से एक (यूलर द्वारा दिया गया) दर्शाता है कि पहले के व्युत्क्रमों का योग एनअभाज्य संख्याएँ, वृद्धि के साथ असीमित रूप से बढ़ती हैं एन.

एक प्रभावी प्रारंभिक परीक्षण: ल्यूक-लेमेयर परीक्षण की उपस्थिति से मेर्सन संख्याएं दूसरों से अनुकूल रूप से भिन्न होती हैं। उनके लिए धन्यवाद, मेर्सन प्राइम्स ने लंबे समय तक सबसे बड़े ज्ञात प्राइम्स के रूप में रिकॉर्ड कायम रखा है।

100,000,000 और 1,000,000,000 दशमलव अंकों से अधिक की अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए, EFF ने क्रमशः US$150,000 और US$250,000 के नकद पुरस्कार से सम्मानित किया। EFF ने पहले 1,000,000 और 10,000,000 दशमलव अंकों की अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए पुरस्कार प्रदान किए हैं।

एक विशेष प्रकार की अभाज्य संख्याएँ

ऐसी कई संख्याएँ हैं जिनकी प्रधानता विशेष एल्गोरिदम का उपयोग करके कुशलतापूर्वक स्थापित की जा सकती है।

निर्दिष्ट प्रकारों की अभाज्य संख्याओं की खोज के लिए, वर्तमान में वितरित कंप्यूटिंग प्रोजेक्ट GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, सेवेंटीन या बस्ट, रिज़ल सीव, Wieferich@Home का उपयोग किया जाता है।

कुछ गुण

• यदि p अभाज्य है और p, ab को विभाजित करता है, तो p, a या b को विभाजित करता है। इस तथ्य का प्रमाण यूक्लिड ने दिया था और इसे यूक्लिड लेम्मा के नाम से जाना जाता है। इसका उपयोग अंकगणित के मौलिक प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।
• कटौतियों की अंगूठी $\backslash mathbb(Z)\_n$एक फ़ील्ड है यदि और केवल यदि $एन$- सरल।
• प्रत्येक फ़ील्ड की विशेषता शून्य या अभाज्य संख्या है।
• अगर $पी$- सरल, लेकिन $ए$- तो स्वाभाविक $ए^पी-ए$द्वारा विभाजित $पी$(फर्मेट का छोटा प्रमेय)।
• अगर $जी$एक परिमित समूह है जिसका क्रम $|जी|$द्वारा विभाजित $पी$, वह $जी$आदेश का एक तत्व शामिल है $पी$(कॉची का प्रमेय)।
• अगर $जी$एक सीमित समूह है, और $पी^एन$- अधिकतम डिग्री $पी$, जो विभाजित करता है $|जी|$, वह $जी$आदेश का एक उपसमूह है $पी^एन$, जिसे साइलो उपसमूह कहा जाता है, इसके अलावा, साइलो उपसमूहों की संख्या बराबर होती है $पीके+1$कुछ संपूर्ण के लिए $क$(सिलो का प्रमेय)।
• प्राकृतिक $पी\; >\; 1$सरल है यदि और केवल यदि $(पृ-1)!\; +1$द्वारा विभाजित $पी$(विल्सन का प्रमेय)।
• अगर $एन\; >\; 1$- स्वाभाविक, फिर सरल है $पी$, ऐसा है कि (बर्ट्रेंड का अभिधारणा)।
• अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों की श्रृंखला अलग हो जाती है। इसके अलावा, जब $x\backslash से\backslash infty$
• प्रपत्र की कोई अंकगणितीय प्रगति $ए,\; ए\; +\; क्यू,\; ए\; +\; 2\; क्यू,\; ए\; +\; 3\; क्यू,\; ...$, कहाँ $ए,\; क्यू\; >\; 1$- पूर्णांक सहअभाज्य संख्याएँ, इसमें अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं (अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याओं पर डिरिचलेट का प्रमेय)।
• 3 से बड़ी प्रत्येक अभाज्य संख्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है $6k+1$या $6k-1$, कहाँ $क$- कुछ प्राकृतिक संख्या. इसलिए, यदि कई लगातार अभाज्य संख्याओं (k>1 के लिए) के बीच का अंतर समान है, तो यह आवश्यक रूप से 6 का गुणज है - उदाहरण के लिए: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219।
• अगर $पी\; >3$- तो फिर सरल $पी^2-1$ 24 का गुणज है (3 से विभाज्य न होने वाली सभी विषम संख्याओं के लिए भी सत्य)।
• ग्रीन-ताओ प्रमेय. अभाज्य संख्याओं से युक्त मनमाने ढंग से लंबी परिमित अंकगणितीय प्रगति होती है।
• $n^k-1$, कहाँ एन>2, क>1. दूसरे शब्दों में, अभाज्य संख्या के बाद आने वाली संख्या एक वर्ग या 2 से अधिक आधार वाली उच्च घात वाली संख्या नहीं हो सकती है। इससे यह भी पता चलता है कि यदि अभाज्य संख्या का रूप है $2^के-1$, वह क- अभाज्य (मेरसेन संख्याएँ देखें)।
• किसी भी अभाज्य संख्या का रूप नहीं हो सकता $n^(2k+1)+1$, कहाँ एन>1, क>0. दूसरे शब्दों में, अभाज्य संख्या से पहले की कोई संख्या एक घन या उच्चतर विषम घात नहीं हो सकती जिसका आधार 1 से अधिक हो।

अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के सूत्र

विभिन्न समयों पर, एक अभिव्यक्ति को इंगित करने का प्रयास किया गया जिसके मान, इसमें शामिल चर के विभिन्न मानों को देखते हुए, अभाज्य संख्याएँ होंगी। एल. यूलर ने बहुपद की ओर संकेत किया $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$पर सरल मान लेना एन = 0, 1, 2, …, 40. हालाँकि, जब एन = 41बहुपद का मान एक भाज्य संख्या है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक चर n में कोई बहुपद नहीं है जो सभी पूर्णांक n के लिए अभाज्य मान लेता है। पी. फ़र्मेट ने सुझाव दिया कि फॉर्म के सभी नंबर 2 2 के + 1सरल; हालाँकि, यूलर ने संख्या 2 साबित करके इस परिकल्पना का खंडन किया 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - मिश्रण।

हालाँकि, ऐसे बहुपद हैं जिनके सकारात्मक मानों का सेट, चर के गैर-नकारात्मक मानों के साथ, अभाज्य संख्याओं के सेट से मेल खाता है। एक उदाहरण बहुपद है

• $\backslash शुरू(संरेखित\; करें)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(ए ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(संरेखित करें) 26 चर वाले और घात 25 वाले। इस प्रकार के ज्ञात बहुपदों के लिए सबसे छोटी घात 42 चर वाले 5 है; चरों की सबसे छोटी संख्या लगभग 1.6·10 45 की डिग्री के साथ 10 है। यह परिणाम यूरी मटियासेविच द्वारा सिद्ध किए गए किसी भी असंख्य सेट की डायोफैंटाइन संपत्ति का एक विशेष मामला है।

प्रश्न खोलें

अभाज्य संख्याओं के संबंध में अभी भी कई खुले प्रश्न हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध गणित की पांचवीं अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में एडमंड लैंडौ द्वारा सूचीबद्ध किए गए थे:

एक खुली समस्या कई पूर्णांक अनुक्रमों में अनंत संख्या में अभाज्य संख्याओं का अस्तित्व भी है, जिसमें मेर्सन संख्या, फाइबोनैचि संख्या, फ़र्मेट संख्या आदि शामिल हैं।

अनुप्रयोग

सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में बड़ी अभाज्य संख्याओं (10,300 के क्रम पर) का उपयोग किया जाता है। अभाज्य संख्याओं का उपयोग हैश तालिकाओं में और छद्म-यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करने के लिए भी किया जाता है (विशेषकर मेर्सन ट्विस्टर पीआरएनजी में)।

विविधताएं और सामान्यीकरण

• रिंग सिद्धांत में, सामान्य बीजगणित की एक शाखा, एक प्रमुख तत्व और एक प्रमुख आदर्श की अवधारणा को परिभाषित किया गया है।
• गाँठ सिद्धांत में, एक साधारण गाँठ की अवधारणा को एक गैर-तुच्छ गाँठ के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे गैर-तुच्छ गांठों के जुड़े योग के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

यह सभी देखें

"अभाज्य संख्या" लेख के बारे में एक समीक्षा लिखें

टिप्पणियाँ

अभाज्य संख्या की विशेषता बताने वाला एक अंश

नताशा शांत थी, लेकिन अधिक खुश नहीं थी। उसने न केवल आनंद की सभी बाहरी स्थितियों से परहेज किया: गेंदें, स्केटिंग, संगीत कार्यक्रम, थिएटर; लेकिन वह कभी भी इतनी ज़ोर से नहीं हँसी कि उसकी हँसी से आँसू की आवाज़ सुनाई न दे। वह गा नहीं सकती थी. जैसे ही वह हँसने लगी या अकेले में गाने की कोशिश करने लगी, आँसुओं ने उसका गला घोंट दिया: पश्चाताप के आँसू, उस अपरिवर्तनीय, शुद्ध समय की यादों के आँसू; निराशा के आँसू कि उसने अपना युवा जीवन, जो इतना ख़ुशहाल हो सकता था, व्यर्थ में बर्बाद कर दिया। विशेषकर हँसना और गाना उसे अपने दुःख का अपमान लगता था। उसने सहवास के बारे में कभी नहीं सोचा; उसे परहेज भी नहीं करना पड़ा। उसने कहा और महसूस किया कि उस समय उसके लिए सभी पुरुष बिल्कुल विदूषक नास्तास्या इवानोव्ना के समान थे। आंतरिक रक्षक ने दृढ़ता से उसे किसी भी खुशी से मना किया। और उस लड़कियों जैसी, लापरवाह, आशापूर्ण जीवन शैली से उसे जीवन के सभी पुराने शौक नहीं थे। सबसे अधिक बार और सबसे दर्दनाक तरीके से, उसे शरद ऋतु के महीने, शिकार, उसके चाचा और ओट्राडनॉय में निकोलस के साथ बिताए क्रिसमसटाइड की याद आती थी। उस समय से सिर्फ एक दिन वापस लाने के लिए वह क्या देगी! लेकिन यह हमेशा के लिए ख़त्म हो गया. उस समय इस पूर्वाभास ने उसे धोखा नहीं दिया था कि सभी खुशियों के लिए स्वतंत्रता और खुलेपन की वह स्थिति फिर कभी वापस नहीं आएगी। लेकिन मुझे जीना था.
वह यह सोचकर प्रसन्न थी कि वह बेहतर नहीं थी, जैसा कि उसने पहले सोचा था, बल्कि दुनिया में हर किसी से, उससे भी बदतर और बहुत खराब थी। लेकिन ये काफी नहीं था. वह यह जानती थी और उसने खुद से पूछा: "आगे क्या?" और फिर कुछ भी नहीं था। जीवन में आनंद नहीं आया और जीवन बीत गया। जाहिर तौर पर नताशा सिर्फ यही कोशिश कर रही थी कि वह किसी पर बोझ न बने और किसी को परेशान न करे, लेकिन उसे अपने लिए किसी चीज की जरूरत नहीं थी। वह घर पर सभी से दूर चली गई और केवल अपने भाई पेट्या के साथ ही उसे सहजता महसूस हुई। वह दूसरों की तुलना में उसके साथ रहना अधिक पसंद करती थी; और कभी-कभी, जब वह उसके साथ आमने-सामने होती थी, तो हँसती थी। उसने लगभग कभी भी घर नहीं छोड़ा और जो लोग उनके पास आए, उनमें से वह केवल पियरे के साथ खुश थी। उसके साथ अधिक कोमलता से, अधिक सावधानी से और साथ ही काउंट बेजुखोव द्वारा उससे अधिक गंभीरता से व्यवहार करना असंभव था। नताशा ओस ने सचेत रूप से उपचार की इस कोमलता को महसूस किया और इसलिए उसे उसकी कंपनी में बहुत खुशी मिली। लेकिन वह उसकी कोमलता के लिए उसकी आभारी भी नहीं थी; पियरे की ओर से कुछ भी अच्छा नहीं होना उसे एक प्रयास जैसा लग रहा था। पियरे को हर किसी के प्रति दयालु होना इतना स्वाभाविक लगता था कि उसकी दयालुता में कोई योग्यता नहीं थी। कभी-कभी नताशा ने अपनी उपस्थिति में पियरे की शर्मिंदगी और अजीबता को देखा, खासकर जब वह उसके लिए कुछ सुखद करना चाहता था या जब उसे डर था कि बातचीत में कुछ नताशा के लिए कठिन यादें लाएगा। उसने इस पर ध्यान दिया और इसका श्रेय उसकी सामान्य दयालुता और शर्मीलेपन को दिया, जो उसके विचारों के अनुसार, उसके जैसा ही सभी के साथ होना चाहिए था। उन अप्रत्याशित शब्दों के बाद कि यदि वह स्वतंत्र होता, तो वह अपने घुटनों पर बैठकर उसका हाथ और प्यार मांगता, उसके लिए इतने तीव्र उत्साह के क्षण में बोले गए, पियरे ने नताशा के लिए अपनी भावनाओं के बारे में कभी कुछ नहीं कहा; और यह उसके लिए स्पष्ट था कि वे शब्द, जिन्होंने उसे तब बहुत सांत्वना दी थी, ऐसे बोले गए थे जैसे किसी रोते हुए बच्चे को सांत्वना देने के लिए सभी प्रकार के निरर्थक शब्द बोले जाते हैं। इसलिए नहीं कि पियरे एक शादीशुदा आदमी था, बल्कि इसलिए कि नताशा को अपने और उसके बीच नैतिक बाधाओं की उच्चतम डिग्री महसूस हुई - जिसकी अनुपस्थिति वह किरागिन के साथ महसूस करती थी - उसने कभी नहीं सोचा था कि वह पियरे के साथ अपने रिश्ते से बाहर निकल सकती है। न केवल उसकी ओर से प्यार, या उससे भी कम, उसकी ओर से, बल्कि एक पुरुष और एक महिला के बीच उस तरह की कोमल, आत्म-पहचान वाली, काव्यात्मक मित्रता भी, जिसके वह कई उदाहरण जानती थी।
पीटर्स लेंट के अंत में, ओट्राडनेंस्की के रोस्तोव के पड़ोसी, अग्रफेना इवानोव्ना बेलोवा, मास्को संतों को प्रणाम करने के लिए मास्को आए। उसने नताशा को उपवास करने के लिए आमंत्रित किया और नताशा ने ख़ुशी से इस विचार को स्वीकार कर लिया। डॉक्टर द्वारा सुबह जल्दी बाहर जाने की मनाही के बावजूद, नताशा ने उपवास करने पर जोर दिया, और उस तरह उपवास नहीं किया जैसा कि वे आमतौर पर रोस्तोव के घर में उपवास करते थे, यानी घर पर तीन सेवाओं में भाग लेने के लिए, बल्कि उस तरह उपवास करने के लिए जिस तरह अग्रफेना इवानोव्ना उपवास करती थीं। , पूरे सप्ताह के लिए एक भी वेस्पर्स, मास या मैटिन्स को खोए बिना।
काउंटेस को नताशा का यह उत्साह पसंद आया; उसकी आत्मा में, असफल चिकित्सा उपचार के बाद, उसे उम्मीद थी कि प्रार्थना से उसे अधिक दवा में मदद मिलेगी, और हालांकि डर के साथ और डॉक्टर से इसे छुपाते हुए, वह नताशा की इच्छाओं से सहमत हुई और उसे बेलोवा को सौंप दिया। एग्रफ़ेना इवानोव्ना सुबह तीन बजे नताशा को जगाने आई और देखा कि वह अब सो नहीं रही है। नताशा को मैटिंस के दौरान ज्यादा सोने से डर लगता था। जल्दी से अपना चेहरा धोकर और नम्रतापूर्वक अपनी सबसे खराब पोशाक और पुरानी मंटिला पहनकर, ताजगी से कांपते हुए, नताशा सुनसान सड़कों पर निकल गई, जो सुबह की पारदर्शी रोशनी से जगमगा रही थी। अग्रफेना इवानोव्ना की सलाह पर, नताशा ने अपने पल्ली में नहीं, बल्कि चर्च में उपवास किया, जिसमें, धर्मनिष्ठ बेलोवा के अनुसार, एक बहुत सख्त और उच्च जीवन जीने वाला पुजारी था। चर्च में हमेशा कम लोग होते थे; नताशा और बेलोवा ने भगवान की माँ के प्रतीक के सामने अपना सामान्य स्थान ले लिया, जो बाएं गायक मंडल के पीछे जड़ा हुआ था, और महान, समझ से बाहर होने से पहले नताशा के लिए एक नई भावना ने उसे कवर किया जब सुबह के इस असामान्य समय में, भगवान की माँ के काले चेहरे को देखते हुए, मोमबत्तियों से रोशन, उसके सामने जलती हुई, और खिड़की से गिरती सुबह की रोशनी, उसने सेवा की आवाज़ें सुनीं, जिन्हें उसने समझने की कोशिश की, उनका पालन करने की कोशिश की। जब उसने उन्हें समझा, तो उसकी व्यक्तिगत भावना अपनी बारीकियों के साथ उसकी प्रार्थना में शामिल हो गई; जब वह नहीं समझती थी, तो उसके लिए यह सोचना और भी मधुर था कि सब कुछ समझने की इच्छा गर्व है, कि सब कुछ समझना असंभव है, व्यक्ति को केवल विश्वास करना है और भगवान के प्रति समर्पण करना है, जो उन क्षणों में - उसने महसूस किया - उसकी आत्मा पर शासन किया. उसने खुद को पार किया, झुकाया, और जब उसे समझ में नहीं आया, तो उसने केवल अपनी घृणितता से भयभीत होकर, भगवान से उसे हर चीज के लिए, हर चीज के लिए माफ करने और दया करने के लिए कहा। जिन प्रार्थनाओं के प्रति उसने स्वयं को सबसे अधिक समर्पित किया, वे पश्चाताप की प्रार्थनाएँ थीं। सुबह के शुरुआती घंटों में घर लौटते हुए, जब केवल राजमिस्त्री काम पर जा रहे थे, चौकीदार सड़क पर सफाई कर रहे थे, और घरों में सभी लोग अभी भी सो रहे थे, नताशा को अपनी बुराइयों से खुद को सुधारने की संभावना के बारे में एक नई अनुभूति हुई और एक नए, स्वच्छ जीवन और खुशी की संभावना।
पूरे सप्ताह के दौरान, जिसके दौरान उसने यह जीवन व्यतीत किया, यह भावना हर दिन बढ़ती गई। और शामिल होने या संवाद करने की खुशी, जैसा कि एग्रफेना इवानोव्ना ने उसे बताया था, खुशी से इस शब्द के साथ खेल रही थी, उसे इतनी महान लग रही थी कि ऐसा लग रहा था कि वह इस आनंदमय रविवार को देखने के लिए जीवित नहीं रहेगी।
लेकिन खुशी का दिन आ गया, और जब नताशा इस यादगार रविवार को सफेद मलमल की पोशाक में भोज से लौटी, तो कई महीनों के बाद पहली बार उसे शांति महसूस हुई और वह उस जीवन से बोझिल नहीं थी जो उसके आगे आने वाला था।
उस दिन पहुंचे डॉक्टर ने नताशा की जांच की और उसे दो सप्ताह पहले दिए गए आखिरी पाउडर को जारी रखने का आदेश दिया।
“हमें सुबह और शाम जारी रखना चाहिए,” उन्होंने स्पष्ट रूप से अपनी सफलता से प्रसन्न होकर कहा। - कृपया अधिक सावधान रहें। "शांत रहें, काउंटेस," डॉक्टर ने मजाक में कहा, चतुराई से अपने हाथ की लुगदी में सोना उठाते हुए, "जल्द ही वह फिर से गाना और मस्ती करना शुरू कर देगा।" आखिरी दवा उसके लिए बहुत-बहुत अच्छी है। वह बहुत तरोताजा है.
काउंटेस ने अपने नाखूनों और थूक को देखा और प्रसन्न चेहरे के साथ लिविंग रूम में लौट आई।

जुलाई की शुरुआत में, मास्को में युद्ध की प्रगति के बारे में अधिक से अधिक खतरनाक अफवाहें फैल रही थीं: वे लोगों से संप्रभु की अपील के बारे में, सेना से स्वयं संप्रभु के मास्को में आगमन के बारे में बात कर रहे थे। और चूंकि घोषणापत्र और अपील 11 जुलाई से पहले प्राप्त नहीं हुई थी, इसलिए उनके बारे में और रूस की स्थिति के बारे में अतिरंजित अफवाहें फैल गईं। उन्होंने कहा कि संप्रभु जा रहे थे क्योंकि सेना खतरे में थी, उन्होंने कहा कि स्मोलेंस्क को आत्मसमर्पण कर दिया गया था, नेपोलियन के पास दस लाख सैनिक थे और केवल एक चमत्कार ही रूस को बचा सकता था।
11 जुलाई, शनिवार को घोषणापत्र प्राप्त हुआ, लेकिन अभी तक मुद्रित नहीं हुआ; और पियरे, जो रोस्तोव का दौरा कर रहे थे, ने अगले दिन, रविवार को रात्रिभोज के लिए आने और एक घोषणापत्र और एक अपील लाने का वादा किया, जो उन्हें काउंट रस्तोपचिन से मिलेगा।
इस रविवार, रोस्तोव, हमेशा की तरह, रज़ूमोव्स्की के होम चर्च में सामूहिक प्रार्थना के लिए गए। वह जुलाई का गर्म दिन था। पहले से ही दस बजे, जब रोस्तोव चर्च के सामने गाड़ी से बाहर निकले, गर्म हवा में, फेरीवालों की चिल्लाहट में, भीड़ की उज्ज्वल और हल्की गर्मियों की पोशाक में, धूल भरी पत्तियों में बुलेवार्ड के पेड़, संगीत की आवाज़ और मार्च पर मार्च कर रही बटालियन की सफेद पतलून में, फुटपाथ की गड़गड़ाहट में और गर्म सूरज की चमकदार चमक में गर्मियों की उदासी, संतोष और वर्तमान के प्रति असंतोष था, जो शहर में स्पष्ट गर्म दिन पर विशेष रूप से तीव्र रूप से महसूस किया जाता है। रज़ुमोव्स्की चर्च में सभी मास्को कुलीन लोग, रोस्तोव के सभी परिचित थे (इस साल, जैसे कि कुछ की उम्मीद थी, बहुत सारे अमीर परिवार, आमतौर पर गांवों की यात्रा करते हुए, शहर में ही रहे)। पोशाक वाले फुटमैन के पीछे से गुजरते हुए, जो अपनी माँ के पास भीड़ को अलग कर रहा था, नताशा ने एक युवक की आवाज़ सुनी जो उसके बारे में बहुत तेज़ फुसफुसाहट में बोल रहा था:
- यह रोस्तोवा है, वही...
- उसका वजन बहुत कम हो गया है, लेकिन वह अभी भी अच्छी है!
उसने सुना, या उसे ऐसा लगा कि कुरागिन और बोल्कॉन्स्की के नामों का उल्लेख किया गया था। हालाँकि, उसे हमेशा ऐसा ही लगता था। उसे हमेशा ऐसा लगता था कि हर कोई उसे देखकर केवल यही सोचता था कि उसके साथ क्या हुआ था। अपनी आत्मा में पीड़ा और निराशा महसूस करते हुए, हमेशा की तरह एक भीड़ में, नताशा काले फीते के साथ अपनी बैंगनी रेशम की पोशाक में चली गई जिस तरह से महिलाएं चल सकती हैं - जितनी शांत और अधिक राजसी, उतनी ही अधिक दर्दनाक और शर्मिंदा वह अपनी आत्मा में थी। वह जानती थी और ग़लत नहीं थी कि वह अच्छी थी, लेकिन अब यह उसे पहले की तरह प्रसन्न नहीं करता था। इसके विपरीत, हाल ही में, और विशेष रूप से शहर में इस उज्ज्वल, गर्म गर्मी के दिन, उसे यही पीड़ा हुई थी। "एक और रविवार, एक और सप्ताह," उसने खुद से कहा, यह याद करते हुए कि उस रविवार को वह यहाँ कैसे थी, "और अभी भी जीवन के बिना वही जीवन, और वही सभी परिस्थितियाँ जिनमें पहले जीना बहुत आसान था। वह अच्छी है, वह जवान है, और मुझे पता है कि अब मैं अच्छी हूं, पहले मैं बुरी थी, लेकिन अब मैं अच्छी हूं, मुझे पता है," उसने सोचा, "और इसलिए सबसे अच्छे साल व्यर्थ चले जाते हैं, किसी के लिए नहीं।" वह अपनी माँ के पास खड़ी हो गई और आस-पास के परिचितों से बातचीत की। नताशा ने, अपनी आदत से बाहर, महिलाओं के पहनावे की जांच की, उनके आचरण और पास खड़ी एक महिला के छोटे से स्थान में अपने हाथ से खुद को पार करने के अशोभनीय तरीके की निंदा की, फिर से झुंझलाहट के साथ सोचा कि उसे आंका जा रहा है, कि वह भी न्याय कर रही थी, और अचानक, सेवा की आवाज़ सुनकर, वह अपनी घृणितता से भयभीत हो गई, भयभीत हो गई कि उसकी पूर्व पवित्रता फिर से खो गई थी।
सुंदर, शांत बूढ़े व्यक्ति ने उस सौम्य गंभीरता के साथ सेवा की जिसका प्रार्थना करने वालों की आत्मा पर इतना राजसी, शांत प्रभाव पड़ता है। शाही दरवाजे बंद हो गए, पर्दा धीरे-धीरे बंद हो गया; वहाँ से एक रहस्यमय शांत आवाज कुछ कह रही थी। नताशा के सीने में आँसू, उसकी समझ से परे, खड़े थे, और एक खुशी और दर्दनाक भावना ने उसे चिंतित कर दिया।
"मुझे सिखाओ कि मुझे क्या करना चाहिए, मैं कैसे हमेशा-हमेशा के लिए सुधार कर सकती हूँ, मुझे अपने जीवन के साथ क्या करना चाहिए..." उसने सोचा।
डेकन बाहर पल्पिट के पास गया, अपने सरप्लिस के नीचे से अपने लंबे बालों को सीधा किया, अपना अंगूठा चौड़ा किया और, अपनी छाती पर एक क्रॉस रखकर, जोर से और गंभीरता से प्रार्थना के शब्दों को पढ़ना शुरू किया:
- "आइए हम शांति से प्रभु से प्रार्थना करें।"
नताशा ने सोचा, "शांति से - सभी एक साथ, वर्गों के भेदभाव के बिना, बिना शत्रुता के, और भाईचारे के प्यार से एकजुट होकर - आइए प्रार्थना करें।"
- स्वर्गीय दुनिया और हमारी आत्माओं की मुक्ति के बारे में!
नताशा ने प्रार्थना की, "स्वर्गदूतों और हमारे ऊपर रहने वाले सभी निराकार प्राणियों की आत्माओं की शांति के लिए।"
जब उन्होंने सेना के लिए प्रार्थना की, तो उन्हें अपने भाई और डेनिसोव की याद आई। जब उन्होंने नौकायन और यात्रा करने वालों के लिए प्रार्थना की, तो उसने राजकुमार आंद्रेई को याद किया और उसके लिए प्रार्थना की, और प्रार्थना की कि भगवान उसे उस बुराई के लिए माफ कर दे जो उसने उसके साथ की थी। जब उन्होंने उन लोगों के लिए प्रार्थना की जो हमसे प्यार करते थे, तो उसने अपने परिवार के लिए प्रार्थना की, अपने पिता, माँ, सोन्या के लिए, अब पहली बार उनके सामने अपने सारे अपराध को समझ रही थी और उनके प्रति अपने प्यार की पूरी ताकत को महसूस कर रही थी। जब उन्होंने उन लोगों के लिए प्रार्थना की जो हमसे नफरत करते थे, तो उसने उनके लिए प्रार्थना करने के लिए अपने लिए दुश्मनों और नफरत करने वालों का आविष्कार किया। उसने अपने दुश्मनों में लेनदारों और उसके पिता के साथ व्यवहार करने वाले सभी लोगों को गिना, और हर बार, जब वह दुश्मनों और नफरत करने वालों के बारे में सोचती थी, तो उसे अनातोले की याद आती थी, जिसने उसे बहुत नुकसान पहुँचाया था, और हालाँकि वह नफरत करने वाला नहीं था, फिर भी वह खुशी से प्रार्थना करती थी उसके लिए शत्रु के समान। केवल प्रार्थना के दौरान ही वह प्रिंस आंद्रेई और अनातोल दोनों को स्पष्ट रूप से और शांति से याद करने में सक्षम महसूस कर पाई, क्योंकि ऐसे लोग जिनके लिए उसकी भावनाएँ भगवान के प्रति भय और श्रद्धा की भावना की तुलना में नष्ट हो गई थीं। जब उन्होंने शाही परिवार और धर्मसभा के लिए प्रार्थना की, तो वह विशेष रूप से नीचे झुक गईं और खुद को क्रॉस कर लिया, खुद से कहा कि अगर वह नहीं समझती हैं, तो वह संदेह नहीं कर सकती हैं और फिर भी सत्तारूढ़ धर्मसभा से प्यार करती हैं और इसके लिए प्रार्थना करती हैं।
मुक़दमा ख़त्म करने के बाद, बधिर ने ओरारियन को अपनी छाती के चारों ओर घुमाया और कहा:
- "हम अपने आप को और अपने जीवन को ईसा मसीह को समर्पित करते हैं।"
नताशा ने अपनी आत्मा में दोहराया, "हम खुद को भगवान को सौंप देंगे।" "मेरे भगवान, मैं खुद को आपकी इच्छा के सामने समर्पित कर देती हूँ," उसने सोचा। - मुझे कुछ नहीं चाहिए, मुझे कुछ नहीं चाहिए; मुझे सिखाओ कि मुझे क्या करना है, कहाँ अपनी इच्छा का उपयोग करना है! मुझे ले चलो, मुझे ले चलो! - नताशा ने अपनी आत्मा में कोमल अधीरता के साथ कहा, खुद को पार किए बिना, अपने पतले हाथों को नीचे करते हुए और मानो उम्मीद कर रही हो कि कोई अदृश्य शक्ति उसे ले जाएगी और उसे खुद से, उसके पछतावे, इच्छाओं, तिरस्कारों, आशाओं और बुराइयों से मुक्ति दिलाएगी।
सेवा के दौरान कई बार, काउंटेस ने अपनी बेटी के कोमल, चमकदार आंखों वाले चेहरे को देखा और भगवान से उसकी मदद करने के लिए प्रार्थना की।

परिभाषा 1. प्रधान संख्या− एक से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या है जो केवल स्वयं और 1 से विभाज्य होती है।

दूसरे शब्दों में, कोई संख्या अभाज्य होती है यदि उसमें केवल दो अलग-अलग प्राकृतिक भाजक हों।

परिभाषा 2. कोई भी प्राकृत संख्या जिसमें स्वयं और एक के अतिरिक्त अन्य भाजक हों, कहलाती है एक भाज्य संख्या.

दूसरे शब्दों में, वे प्राकृतिक संख्याएँ जो अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। परिभाषा 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक भाज्य संख्या में दो से अधिक प्राकृतिक गुणनखंड होते हैं। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य क्योंकि इसमें केवल एक भाजक 1 है और इसके अलावा, अभाज्य संख्याओं के संबंध में कई प्रमेय एकता के लिए मान्य नहीं हैं।

परिभाषाएँ 1 और 2 से यह पता चलता है कि 1 से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या है या एक भाज्य संख्या है।

नीचे 5000 तक अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित करने का एक कार्यक्रम है। कक्ष भरें, "बनाएँ" बटन पर क्लिक करें और कुछ सेकंड प्रतीक्षा करें।

अभाज्य संख्या तालिका

कथन 1. अगर पी- अभाज्य संख्या और एकोई पूर्णांक, तो या तो एद्वारा विभाजित पी, या पीऔर एसहअभाज्य संख्याएँ।

वास्तव में। अगर पीएक अभाज्य संख्या केवल स्वयं और 1 से विभाज्य होती है एसे विभाज्य नहीं है पी, तो सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर पी 1 के बराबर है. फिर पीऔर एसहअभाज्य संख्याएँ।

कथन 2. यदि अनेक संख्याओं का गुणनफल ए 1 , ए 2 , ए 3, ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है पी, तो कम से कम एक संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3, ...से विभाज्य पी.

वास्तव में। यदि कोई भी संख्या विभाज्य नहीं थी पी, फिर संख्याएँ ए 1 , ए 2 , ए 3, ... के संबंध में सहअभाज्य संख्याएँ होंगी पी. लेकिन उपफल 3 () से यह निष्कर्ष निकलता है कि उनका उत्पाद ए 1 , ए 2 , ए 3, ... के संबंध में भी अपेक्षाकृत प्रमुख है पी, जो कथन की शर्त के विपरीत है। इसलिए कम से कम एक संख्या से विभाज्य है पी.

प्रमेय 1. किसी भी मिश्रित संख्या को हमेशा अनूठे तरीके से, अभाज्य संख्याओं की एक सीमित संख्या के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सबूत। होने देना कभाज्य संख्या, और चलो ए 1, 1 और स्वयं से भिन्न इसका एक भाजक है। अगर ए 1 समग्र है, फिर 1 के अतिरिक्त है और ए 1 और दूसरा भाजक ए 2. अगर ए 2 एक भाज्य संख्या है, तो इसमें 1 के अतिरिक्त और भी है ए 2 और दूसरा भाजक ए 3. इस तरह से तर्क करना और संख्याओं को ध्यान में रखना ए 1 , ए 2 , ए 3, ...घटें और इस श्रृंखला में पदों की एक सीमित संख्या हो, हम किसी अभाज्य संख्या तक पहुँच जायेंगे पी 1 . तब करूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

मान लीजिए कि किसी संख्या के दो अपघटन हैं क:

क्योंकि के=पी 1 पी 2 पी 3...एक अभाज्य संख्या से विभाज्य क्यू 1, तो उदाहरण के लिए, कम से कम एक कारक पी 1 से विभाज्य है क्यू 1 . लेकिन पी 1 एक अभाज्य संख्या है और यह केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। इस तरह पी 1 =क्यू 1 (क्योंकि क्यू 1 ≠1)

फिर (2) से हम बाहर कर सकते हैं पी 1 और क्यू 1:

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि प्रत्येक अभाज्य संख्या जो पहले विस्तार में एक या अधिक बार कारक के रूप में प्रकट होती है, वह दूसरे विस्तार में भी कम से कम कई बार प्रकट होती है, और इसके विपरीत, कोई भी अभाज्य संख्या जो दूसरे विस्तार में कारक के रूप में प्रकट होती है एक या अधिक बार प्रथम विस्तार में भी कम से कम इतनी ही बार प्रकट होता है। इसलिए, कोई भी अभाज्य संख्या दोनों विस्तारों में समान संख्या में एक कारक के रूप में प्रकट होती है और, इस प्रकार, ये दोनों विस्तार समान होते हैं।■

भाज्य संख्या का विस्तार कनिम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

कहाँ पी 1 , पी 2, ... विभिन्न अभाज्य संख्याएँ, α, β, γ ... सकारात्मक पूर्णांक।

विस्तार (3) कहलाता है विहित विस्तारनंबर.

प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से होती हैं। पंक्ति के कुछ हिस्सों में उनकी संख्या अधिक है, अन्य में - कम। हम संख्या श्रृंखला में जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही कम होती जाती हैं। प्रश्न उठता है कि क्या कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अभाज्य संख्याएँ अनंत रूप से अनेक होती हैं। यह प्रमाण हम नीचे प्रस्तुत कर रहे हैं।

प्रमेय 2. अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है।

सबूत। मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमित संख्या है, और सबसे बड़ी अभाज्य संख्या होने दें पी. आइए सभी संख्याओं को बड़ा मानें पी. कथन की धारणा के अनुसार, ये संख्याएँ मिश्रित होनी चाहिए और कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए। आइए एक ऐसी संख्या चुनें जो इन सभी अभाज्य संख्याओं और 1 का गुणनफल हो:

संख्या जेडअधिक पीक्योंकि 2पीपहले से ही अधिक पी. पीइनमें से किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, क्योंकि जब उनमें से प्रत्येक को विभाजित किया जाता है तो शेषफल 1 प्राप्त होता है। इस प्रकार हम एक विरोधाभास पर पहुँचते हैं। इसलिए अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है।

यह प्रमेय अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला है:

प्रमेय 3. आइए एक अंकगणितीय प्रगति दी जाए

फिर इसमें कोई भी अभाज्य संख्या सम्मिलित है एन, को शामिल किया जाना चाहिए एम, इसलिए में एनअन्य प्रमुख कारक जो इसमें शामिल नहीं हैं एमऔर, इसके अलावा, ये प्रमुख कारक हैं एनसे अधिक बार शामिल नहीं किए गए हैं एम.

उल्टा भी सही है। यदि किसी संख्या का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एनसंख्या में कम से कम इतनी बार सम्मिलित है एम, वह एमद्वारा विभाजित एन.

कथन 3. होने देना ए 1 ,ए 2 ,ए 3,... विभिन्न अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं एमइसलिए

कहाँ मैं=0,1,...α , जे=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . नोटिस जो α मैंस्वीकार α +1 मान, β जे स्वीकार करता है β +1 मान, γ k स्वीकार करता है γ +1 मान, ... .