शक्ति घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का अंतर। घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का विभेदन - नॉलेज हाइपरमार्केट। लघुगणकीय व्युत्पन्न की संपत्ति

घातीय शक्ति कार्यों या बोझिल भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को विभेदित करते समय, लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इस लेख में हम विस्तृत समाधानों के साथ इसके अनुप्रयोग के उदाहरण देखेंगे।

आगे की प्रस्तुति में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए व्युत्पन्न तालिका, विभेदन नियमों और सूत्र के ज्ञान का उपयोग करने की क्षमता शामिल है।

लघुगणकीय व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति।

सबसे पहले, हम लघुगणक को आधार ई पर लेते हैं, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके फ़ंक्शन के रूप को सरल बनाते हैं, और फिर अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण के लिए, आइए एक घातीय घात फ़ंक्शन x का घात x से व्युत्पन्न ज्ञात करें।

लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों के अनुसार. समानता के दोनों पक्षों को अलग करने से परिणाम मिलता है:

उत्तर: .

उसी उदाहरण को लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है। आप कुछ परिवर्तन कर सकते हैं और एक घातीय शक्ति फ़ंक्शन को अलग करने से लेकर एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की ओर बढ़ सकते हैं:

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें .

समाधान।

इस उदाहरण में फ़ंक्शन एक भिन्न है और इसका अवकलज विभेदन के नियमों का उपयोग करके पाया जा सकता है। लेकिन अभिव्यक्ति की बोझिलता के कारण इसमें कई परिवर्तनों की आवश्यकता होगी। ऐसे मामलों में, लघुगणकीय व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करना अधिक उचित है . क्यों? अब आप समझ जायेंगे.

आइए पहले इसे खोजें. परिवर्तनों में हम लघुगणक के गुणों का उपयोग करेंगे (अंश का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है, और उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर होता है, और लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्ति की डिग्री हो सकती है) लघुगणक के सामने गुणांक के रूप में निकाला गया):

इन परिवर्तनों ने हमें एक काफी सरल अभिव्यक्ति की ओर अग्रसर किया, जिसका व्युत्पन्न खोजना आसान है:

हम प्राप्त परिणाम को लघुगणकीय व्युत्पन्न के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम विस्तृत स्पष्टीकरण के बिना कुछ और उदाहरण देंगे।

उदाहरण।

एक घातीय शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

पाठ विषय: “घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का विभेदन। यूएनटी असाइनमेंट में एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का एंटीडेरिवेटिव

लक्ष्य : "घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का विभेदन" विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने में छात्रों के कौशल का विकास करना। यूएनटी समस्याओं को हल करने के लिए घातीय फ़ंक्शन का एंटीडिरिवेटिव।

कार्य

शैक्षिक: छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवस्थित करें, इस विषय पर समस्या-समाधान कौशल को समेकित करें।

शैक्षिक:स्मृति, अवलोकन, तार्किक सोच, छात्रों की गणितीय भाषण, ध्यान, आत्म-सम्मान और आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करना।

शैक्षिक:योगदान देना:

छात्रों में सीखने के प्रति एक जिम्मेदार रवैया विकसित करना;

गणित में सतत रुचि का विकास;

गणित का अध्ययन करने के लिए सकारात्मक आंतरिक प्रेरणा पैदा करना।

शिक्षण विधियों: मौखिक, दृश्य, व्यावहारिक।

कार्य के रूप:व्यक्तिगत, ललाट, जोड़े में।

कक्षाओं के दौरान

एपिग्राफ: "मन न केवल ज्ञान में निहित है, बल्कि ज्ञान को व्यवहार में लागू करने की क्षमता में भी निहित है" अरस्तू (स्लाइड 2)

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. क्रॉसवर्ड पहेली को सुलझाना. (स्लाइड 3-21)

17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट ने इस रेखा को "बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में वक्र के सबसे नजदीक सीधी रेखा" के रूप में परिभाषित किया।

स्पर्शरेखा

एक फ़ंक्शन जो सूत्र y = log द्वारा दिया गया है एएक्स।

लघुगणक

एक फ़ंक्शन जो सूत्र y = द्वारा दिया गया है एएक्स।

सूचक

गणित में, इस अवधारणा का उपयोग किसी भौतिक बिंदु की गति की गति और किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक को खोजने के लिए किया जाता है।

यौगिक

फ़ंक्शन f(x) के लिए फ़ंक्शन F(x) का नाम क्या है, यदि अंतराल I से किसी भी बिंदु के लिए शर्त F"(x) =f(x) संतुष्ट है।

antiderivative

X और Y के बीच संबंध का नाम क्या है, जिसमें X का प्रत्येक तत्व Y के एक ही तत्व से जुड़ा है?

विस्थापन का व्युत्पन्न

रफ़्तार

एक फ़ंक्शन जो सूत्र y = e x द्वारा दिया गया है।

प्रदर्शक

यदि किसी फ़ंक्शन f(x) को f(x)=g(t(x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो इस फ़ंक्शन को कहा जाता है...

तृतीय. गणितीय श्रुतलेख (स्लाइड 22)

1. घातांकीय फलन के अवकलज का सूत्र लिखिए। ( एएक्स)"= एएक्स एल.एन ए

2. घातांक के अवकलज का सूत्र लिखिए। (ई एक्स)" = ई एक्स

3. प्राकृतिक लघुगणक के अवकलज का सूत्र लिखिए। (एलएन एक्स)"=

4. लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र लिखिए। (लकड़ी का लट्ठा ए x)"=

5. फलन f(x) = के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप लिखिए एएक्स। एफ(एक्स)=

6. फलन f(x) =, x≠0 के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप लिखिए। F(x)=ln|x|+C

अपना काम जांचें (स्लाइड 23 पर उत्तर)।

चतुर्थ. यूएनटी समस्याओं का समाधान (सिम्युलेटर)

ए) बोर्ड और नोटबुक में नंबर 1,2,3,6,10,36 (स्लाइड 24)

बी) जोड़े संख्या 19,28 (सिम्युलेटर) में काम करें (स्लाइड 25-26)

वी. 1. त्रुटियां ढूंढें: (स्लाइड 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=लॉग 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. छात्र प्रस्तुति.

एपिग्राफ: "ज्ञान इतनी अनमोल चीज़ है कि इसे किसी भी स्रोत से प्राप्त करने में कोई शर्म नहीं है" थॉमस एक्विनास (स्लाइड 28)

सातवीं. गृहकार्य क्रमांक 19,20 पृ.116

आठवीं. परीक्षण (आरक्षित कार्य) (स्लाइड 29-32)

नौवीं. पाठ सारांश.

“यदि आप एक बड़े जीवन में भाग लेना चाहते हैं, तो अवसर मिलने पर अपने दिमाग को गणित से भर लें। फिर वह आपको जीवन भर बहुत सहायता प्रदान करेगी" एम. कलिनिन (स्लाइड 33)

होने देना
(1)
चर x का एक अवकलनीय फलन है। सबसे पहले, हम इसे मान x के सेट पर विचार करेंगे जिसके लिए y सकारात्मक मान लेता है:। निम्नलिखित में, हम दिखाएंगे कि प्राप्त सभी परिणाम नकारात्मक मूल्यों के लिए भी लागू होते हैं।

कुछ मामलों में, फ़ंक्शन (1) का व्युत्पन्न खोजने के लिए, इसे पूर्व-लघुगणक करना सुविधाजनक होता है
,
और फिर व्युत्पन्न की गणना करें। फिर, एक जटिल फलन के विभेदन के नियम के अनुसार,
.
यहाँ से
(2) .

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक के व्युत्पन्न को लघुगणक व्युत्पन्न कहा जाता है:
.

फ़ंक्शन y = का लघुगणकीय व्युत्पन्न एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न है: (एलएन एफ(एक्स))′.

नकारात्मक y मान का मामला

अब उस मामले पर विचार करें जब एक चर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकता है। इस मामले में, मापांक का लघुगणक लें और इसका व्युत्पन्न खोजें:
.
यहाँ से
(3) .
अर्थात्, सामान्य स्थिति में, आपको फ़ंक्शन के मापांक के लघुगणक का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है।

(2) और (3) की तुलना करने पर हमें मिलता है:
.
अर्थात्, लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना का औपचारिक परिणाम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हमने मॉड्यूलो लिया है या नहीं। इसलिए, लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करते समय, हमें इस बात की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि फ़ंक्शन में कौन सा चिह्न है।

जटिल संख्याओं का उपयोग करके इस स्थिति को स्पष्ट किया जा सकता है। मान लीजिए, x के कुछ मानों के लिए, ऋणात्मक है: . यदि हम केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करें, तो फलन अपरिभाषित है। हालाँकि, यदि हम जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:
.
अर्थात्, कार्य और एक जटिल स्थिरांक से भिन्न होते हैं:
.
चूँकि किसी स्थिरांक का अवकलज शून्य है, तो
.

लघुगणकीय व्युत्पन्न की संपत्ति

इस प्रकार के विचार से यह निष्कर्ष निकलता है यदि आप फ़ंक्शन को किसी मनमाने स्थिरांक से गुणा करते हैं तो लघुगणकीय व्युत्पन्न नहीं बदलेगा :
.
वास्तव में, उपयोग कर रहे हैं लघुगणक के गुण, सूत्र व्युत्पन्न योगऔर एक स्थिरांक का व्युत्पन्न, हमारे पास है:

.

लघुगणकीय व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

ऐसे मामलों में लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जहां मूल फ़ंक्शन में शक्ति या घातीय फ़ंक्शन का उत्पाद होता है। इस मामले में, लघुगणक ऑपरेशन कार्यों के उत्पाद को उनके योग में बदल देता है। इससे व्युत्पन्न की गणना सरल हो जाती है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.

समाधान

आइए मूल फ़ंक्शन का लघुगणक करें:
.

आइए वेरिएबल x के संबंध में अंतर करें।
डेरिवेटिव की तालिका में हम पाते हैं:
.
हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
;
;
;
;
(ए1.1) .
गुणा करके:

.

तो, हमने लघुगणकीय व्युत्पन्न पाया:
.
यहां से हम मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
.

टिप्पणी

यदि हम केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करना चाहते हैं, तो हमें मूल फ़ंक्शन के मापांक का लघुगणक लेना चाहिए:
.
तब
;
.
और हमें सूत्र (A1.1) मिला। इसलिए परिणाम नहीं बदला है.

उत्तर

उदाहरण 2

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
.

समाधान

आइए लघुगणक लें:
(ए2.1) .
चर x के संबंध में अंतर करें:
;
;

;
;
;
.

गुणा करके:
.
यहाँ से हमें लघुगणकीय व्युत्पन्न मिलता है:
.

मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
.

टिप्पणी

यहां मूल कार्य गैर-नकारात्मक है:। इसे यहां परिभाषित किया गया है। यदि हम यह नहीं मानते हैं कि तर्क के नकारात्मक मानों के लिए लघुगणक को परिभाषित किया जा सकता है, तो सूत्र (A2.1) को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:
.
क्योंकि

और
,
इससे अंतिम परिणाम पर कोई असर नहीं पड़ेगा.

उत्तर

उदाहरण 3

व्युत्पन्न खोजें
.

समाधान

हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके विभेदन करते हैं। आइए इसे ध्यान में रखते हुए एक लघुगणक लें:
(ए3.1) .

विभेदन करके, हम लघुगणकीय व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं।
;
;
;
(ए3.2) .

के बाद से

.

टिप्पणी

आइए हम इस धारणा के बिना गणना करें कि तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए लघुगणक को परिभाषित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मूल फ़ंक्शन के मापांक का लघुगणक लें:
.
फिर (A3.1) के बजाय हमारे पास है:
;

.
(ए3.2) से तुलना करने पर हम देखते हैं कि परिणाम नहीं बदला है।

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