Koji broj nije prost ili složen? Primarni brojevi. Složeni brojevi. Je li ovaj broj prost ili složen?

Teorema.

Postoji beskonačan broj prostih brojeva.

Dokaz.

Pretpostavimo da to nije slučaj. To jest, pretpostavimo da postoji samo n prostih brojeva, a ti prosti brojevi su p 1, p 2, ..., p n. Pokažimo da uvijek možemo pronaći prosti broj različit od navedenih.

Promatrajmo da je broj p jednak p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Jasno je da se taj broj razlikuje od svakog od prostih brojeva p 1, p 2, ..., p n. Ako je broj p prost, tada je teorem dokazan. Ako je taj broj složen, tada prema prethodnom teoremu postoji prosti djelitelj ovog broja (označavamo ga p n+1). Pokažimo da se taj djelitelj ne podudara ni s jednim od brojeva p 1, p 2, ..., p n.

Da nije tako, onda bi se, prema svojstvima djeljivosti, umnožak p 1 ·p 2 ·…·p n podijelio s p n+1. Ali broj p također je djeljiv s p n+1, što je jednako zbroju p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Slijedi da p n+1 mora podijeliti drugi član ovog zbroja, koji je jednak jedan, ali to je nemoguće.

Dakle, dokazano je da se uvijek može pronaći novi prosti broj koji nije uključen ni u jedan broj unaprijed određenih prostih brojeva. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Dakle, zbog činjenice da postoji beskonačan broj prostih brojeva, pri sastavljanju tablica prostih brojeva uvijek se ograničite odozgo na neki broj, obično 100, 1.000, 10.000 itd.

Eratostenovo sito

Sada ćemo razgovarati o načinima stvaranja tablica prostih brojeva. Pretpostavimo da trebamo napraviti tablicu prostih brojeva do 100.

Najočitija metoda za rješavanje ovog problema je sekvencijalna provjera pozitivnih cijelih brojeva, počevši od 2 i završavajući sa 100, na prisutnost pozitivnog djelitelja koji je veći od 1 i manji od broja koji se testira (iz svojstava djeljivosti znamo da apsolutna vrijednost djelitelja ne prelazi apsolutnu vrijednost dividende, različita od nule). Ako se takav djelitelj ne pronađe, tada je broj koji se testira prost i upisuje se u tablicu prostih brojeva. Ako se pronađe takav djelitelj, tada je broj koji se ispituje složen; NIJE upisan u tablicu prostih brojeva. Nakon toga slijedi prijelaz na sljedeći broj, koji se na sličan način provjerava na prisutnost djelitelja.

Opišimo prvih nekoliko koraka.

Počinjemo s brojem 2. Broj 2 nema pozitivnih djelitelja osim 1 i 2. Dakle, jednostavan je, stoga ga unosimo u tablicu prostih brojeva. Ovdje treba reći da je 2 najmanji prosti broj. Prijeđimo na broj 3. Njegov mogući pozitivni djelitelj osim 1 i 3 je broj 2. Ali 3 nije djeljivo s 2, dakle, 3 je prost broj, i on također treba biti uključen u tablicu prostih brojeva. Prijeđimo na broj 4. Njegovi pozitivni djelitelji osim 1 i 4 mogu biti brojevi 2 i 3, provjerimo ih. Broj 4 je djeljiv s 2, dakle, 4 je složeni broj i ne mora biti uključen u tablicu prostih brojeva. Imajte na umu da je 4 najmanji složeni broj. Prijeđimo na broj 5. Provjeravamo je li barem jedan od brojeva 2, 3, 4 njegov djelitelj. Kako 5 nije djeljiv s 2, 3 ili 4, onda je prost i mora se zapisati u tablicu prostih brojeva. Zatim slijedi prijelaz na brojeve 6, 7 i tako dalje do 100.

Ovaj pristup sastavljanju tablice prostih brojeva daleko je od idealnog. Na ovaj ili onaj način, on ima pravo postojati. Imajte na umu da s ovom metodom konstruiranja tablice cijelih brojeva možete koristiti kriterije djeljivosti, što će malo ubrzati proces pronalaženja djelitelja.

Postoji prikladniji način za izradu tablice prostih brojeva, tzv. Riječ "sito" prisutna u nazivu nije slučajna, budući da radnje ove metode pomažu, takoreći, "prosijati" cijele brojeve i velike jedinice kroz Eratostenovo sito kako bi se odvojili jednostavni od složenih.

Pokažimo Eratostenovo sito na djelu pri sastavljanju tablice prostih brojeva do 50.

Prvo redom zapišite brojeve 2, 3, 4, ..., 50.

Prvi napisani broj, 2, je prost broj. Sada, od broja 2, redom se pomičemo udesno za dva broja i križamo te brojeve dok ne dođemo do kraja tablice brojeva koja se sastavlja. Ovo će prekrižiti sve brojeve koji su višekratnici dva.

Prvi broj nakon 2 koji nije prekrižen je 3. Ovaj broj je prost. Sada se od broja 3 redom pomičemo udesno za tri broja (uzimajući u obzir već prekrižene brojeve) i precrtavamo ih. Ovo će prekrižiti sve brojeve koji su višekratnici tri.

Prvi broj nakon 3 koji nije prekrižen je 5. Ovaj broj je prost. Sada se od broja 5 dosljedno pomičemo udesno za 5 brojeva (također uzimamo u obzir ranije prekrižene brojeve) i precrtavamo ih. Ovo će prekrižiti sve brojeve koji su višekratnici pet.

Zatim precrtavamo brojeve koji su višekratnici broja 7, zatim višekratnici broja 11 i tako dalje. Proces završava kada više nema brojeva za prekrižavanje. Ispod je dovršena tablica prostih brojeva do 50, dobivena korištenjem Eratostenovog sita. Svi neprecrtani brojevi su prosti, a svi prekriženi brojevi su složeni.

Formulirajmo i dokažimo teorem koji će ubrzati proces sastavljanja tablice prostih brojeva pomoću Eratostenova sita.

Teorema.

Najmanji pozitivni djelitelj složenog broja a koji je različit od jedan ne prelazi , gdje je iz a .

Dokaz.

Označimo slovom b najmanji djelitelj složenog broja a koji je različit od jedan (broj b je prost, kao što slijedi iz teorema dokazanog na samom početku prethodnog odlomka). Tada postoji cijeli broj q takav da je a=b·q (ovdje je q pozitivan cijeli broj, što slijedi iz pravila množenja cijelih brojeva), i (za b>q uvjet da je b najmanji djelitelj od a je prekršen , budući da je q također djelitelj broja a zbog jednakosti a=q·b ). Množenjem obje strane nejednadžbe s pozitivnim i cijelim brojem većim od jedan (to nam je dopušteno), dobivamo , iz čega i .

Što nam dokazani teorem daje o Eratostenovom situ?

Prvo, križanje složenih brojeva koji su višekratnici prostog broja b treba započeti brojem jednakim (ovo proizlazi iz nejednakosti). Na primjer, prekrižavanje brojeva koji su višekratnici dva treba početi s brojem 4, višekratnici tri s brojem 9, višekratnici s pet s brojem 25 i tako dalje.

Drugo, sastavljanje tablice prostih brojeva do broja n pomoću Eratostenova sita može se smatrati dovršenim kada svi složeni brojevi koji su višekratnici prostih brojeva ne prelaze . U našem primjeru, n=50 (budući da izrađujemo tablicu prostih brojeva do 50) i, stoga, Eratostenovo sito treba eliminirati sve složene brojeve koji su višekratnici prostih brojeva 2, 3, 5 i 7 koji čine ne prelazi aritmetički kvadratni korijen iz 50. Odnosno, više ne moramo tražiti i precrtavati brojeve koji su umnošci prostih brojeva 11, 13, 17, 19, 23 i tako dalje do 47, jer će već biti precrtani kao umnošci manjih prostih brojeva 2 , 3, 5 i 7 .

Je li ovaj broj prost ili složen?

Neki zadaci zahtijevaju otkrivanje je li dati broj prost ili složen. Općenito, ovaj zadatak je daleko od jednostavnog, posebno za brojeve čiji se zapis sastoji od značajnog broja znakova. U većini slučajeva, morate tražiti neki specifičan način da to riješite. Međutim, pokušat ćemo usmjeriti tok misli za jednostavne slučajeve.

Naravno, možete pokušati koristiti testove djeljivosti da biste dokazali da je određeni broj složen. Ako, na primjer, neki test djeljivosti pokaže da je dati broj djeljiv s nekim pozitivnim cijelim brojem većim od jedan, tada je izvorni broj složen.

Primjer.

Dokažite da je 898,989,898,989,898,989 složeni broj.

Riješenje.

Zbroj znamenki ovog broja je 9·8+9·9=9·17. Kako je broj jednak 9·17 djeljiv s 9, onda po djeljivosti s 9 možemo reći da je i izvorni broj djeljiv s 9. Stoga je kompozitno.

Značajan nedostatak ovog pristupa je taj što kriteriji djeljivosti ne dopuštaju dokazivanje primarnosti broja. Stoga, kada testirate broj da biste vidjeli je li prost ili složen, trebate učiniti stvari drugačije.

Najlogičniji pristup je isprobati sve moguće djelitelje određenog broja. Ako niti jedan od mogućih djelitelja nije pravi djelitelj zadanog broja, tada će taj broj biti prost, inače će biti složen. Iz teorema dokazanih u prethodnom paragrafu, slijedi da se djelitelji zadanog broja a moraju tražiti među prostim brojevima koji ne prelaze . Dakle, zadani broj a može se nizom podijeliti prostim brojevima (koji su zgodno uzeti iz tablice prostih brojeva), pokušavajući pronaći djelitelj broja a. Ako je pronađen djelitelj, tada je broj a složen. Ako među prostim brojevima koji ne prelaze , nema djelitelja broja a, tada je broj a prost.

Primjer.

Broj 11 723 prosti ili složeni?

Riješenje.

Otkrijmo do kojeg prostog broja mogu biti djelitelji broja 11 723. Da bismo to učinili, procijenimo.

Prilično je očito da , od 200 2 =40 000, a 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью usporedba brojeva). Stoga su mogući prosti faktori od 11 723 manji od 200. Već to uvelike olakšava naš zadatak. Da to ne znamo, onda bismo morali proći kroz sve proste brojeve ne do 200, već do broja 11.723.

Ako želite, možete točnije procijeniti. Kako je 108 2 =11,664, a 109 2 =11,881, tada je 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Dakle, bilo koji od prostih brojeva manji od 109 potencijalno je prosti faktor zadanog broja 11 723.

Sada ćemo broj 11 723 sekvencijalno podijeliti na proste brojeve 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ako se broj 11.723 podijeli s jednim od napisanih prostih brojeva, tada će biti složen. Ako nije djeljiv ni s jednim od napisanih prostih brojeva, tada je izvorni broj prost.

Nećemo opisivati ​​cijeli taj monoton i monoton proces podjele. Recimo odmah da je 11.723

Je li jedan prost broj? Ne, jedan nije prost broj.

Je li 0 prost broj? Ne, nula nije prost broj.

Je li 2 prost broj? Da, 2 je prost broj. 2 je jedini paran prost broj.

Je li 3 prost broj? Da, 3 je prost broj.

Je li 5 prost broj? Da, 5 je prost broj.

Je li 7 prost broj? Da, 7 je prost broj.

Je li 9 prost broj? Ne, 9 nije prost broj. Uostalom, 9 je djeljiv sam sa sobom, s jedan i s tri.

Je li 11 prost broj? Da, 11 je prost broj.

Je li 13 prost broj? Da, 13 je prost broj.

Je li 15 prost broj? Ne, 15 nije prost broj. Uostalom, 15 je djeljivo samo sa sobom, s jedan, s tri, s pet.

Je li 17 prost broj? Da, 17 je prost broj.

Je li 19 prost broj? Da, 19 je prost broj.

Je li 20 prost broj? Ne, 20 nije prost broj. Uostalom, 20 je djeljivo samo sa sobom, s jedan, s dva, s četiri, s pet, s deset.

Je li 777 prost broj? Ne, 777 nije prost broj. Uostalom, 777 je djeljiv sam sa sobom, sa jedan, sa 3, sa 7, sa 37.

Je li 997 prost broj? Da, 997 je prost broj.

Prost broj je prirodan broj koji je djeljiv samo sa sobom i jedinicom.

Trenutno su nepoznati polinomski algoritmi za faktoring brojeva, iako nije dokazano da takvi algoritmi ne postoje. RSA kriptosustav i neki drugi temelje se na pretpostavljenoj visokoj računskoj složenosti problema faktorizacije. Faktorizacija s polinomskom složenošću teoretski je moguća na kvantnom računalu koristeći Shorov algoritam.

Algoritmi za traženje i prepoznavanje prostih brojeva

Jednostavne metode za pronalaženje početnog popisa prostih brojeva do neke vrijednosti dane su Eratostenovim sitom, Sundaramovim sitom i Atkinovim sitom.

Međutim, u praksi, umjesto da dobijete popis prostih brojeva, često želite provjeriti je li dati broj prost. Algoritmi koji rješavaju ovaj problem nazivaju se testovima primarnosti. Postoji mnogo testova polinomske primarnosti, no većina je probabilističkih (kao što je Miller–Rabin test) i koriste se za potrebe kriptografije. Godine 2002. dokazano je da je problem testa primarnosti polinomski rješiv u svom općem obliku, ali predloženi deterministički Agrawal–Kajal–Saxena test ima prilično veliku računsku složenost, što otežava njegovu praktičnu primjenu.

Za neke klase brojeva postoje specijalizirani učinkoviti testovi primarnosti (vidi dolje).

Beskonačnost skupa prostih brojeva

Postoji beskonačan broj prostih brojeva. Najstariji poznati dokaz ove činjenice dao je Euklid u Elementima (knjiga IX, izjava 20). Njegov se dokaz može ukratko reproducirati na sljedeći način:

Matematičari su ponudili druge dokaze. Jedan od njih (dao ga je Euler) pokazuje da je zbroj recipročnih vrijednosti prvog n prostih brojeva, raste neograničeno s rastom n.

Mersenneovi brojevi se razlikuju od ostalih po prisutnosti učinkovitog testa primarnosti: Luc-Lemaireovog testa. Zahvaljujući njemu, Mersenneovi prosti brojevi dugo su držali rekord kao najveći poznati prosti brojevi.

Za pronalaženje prostih brojeva s više od 100.000.000 i 1.000.000.000 decimalnih znamenki, EFF je dodijelio novčane nagrade od 150.000 USD, odnosno 250.000 USD. EFF je ranije dodjeljivao nagrade za pronalaženje prostih brojeva od 1.000.000 i 10.000.000 decimalnih znamenki.

Prosti brojevi posebne vrste

Postoji niz brojeva čija se jednostavnost može učinkovito utvrditi pomoću specijaliziranih algoritama.

Za traženje prostih brojeva naznačenih tipova trenutno se koriste projekti distribuiranog računalstva GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen ili Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Neka svojstva

• Ako je p prost i p dijeli ab, tada p dijeli a ili b. Dokaz ove činjenice dao je Euklid i poznat je kao Euklidova lema. Koristi se u dokazu temeljnog teoreme aritmetike.
• Prsten odbitaka $\backslash mathbb(Z)\_n$ je polje ako i samo ako $n$- jednostavno.
• Karakteristika svakog polja je nula ili prosti broj.
• Ako $str$- jednostavno, ali $a$- prirodno, dakle $a^p-a$ podjeljeno sa $str$(Fermatov mali teorem).
• Ako $G$ je konačna grupa čiji red $|G|$ podjeljeno sa $str$, To $G$ sadrži element reda $str$(Cauchyjev teorem).
• Ako $G$ je konačna grupa, i $p^n$- maksimalni stupanj $str$, koji dijeli $|G|$, To $G$ ima podskupinu reda $p^n$, koja se naziva Sylow podgrupa, štoviše, broj Sylow podgrupa je jednak $pk+1$ za neku cjelinu $k$(Silowljev teorem).
• Prirodno $p\; >\; 1$ je jednostavan ako i samo ako $(p-1)!\; +\; 1$ podjeljeno sa $str$(Wilsonov teorem).
• Ako $n\; >\; 1$- prirodno, onda postoji jednostavno $str$, tako da (Bertrandov postulat).
• Niz inverza prostih brojeva se razilazi. Štoviše, kada $x\backslash do\backslash infty$
• Bilo koja aritmetička progresija obrasca $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Gdje $a,\; q\; >\; 1$- cijeli brojevi međusobno prosti brojevi, sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva (Dirichletov teorem o prostim brojevima u aritmetičkoj progresiji).
• Svaki prosti broj veći od 3 može se predstaviti kao $6k+1$ ili $6k-1$, Gdje $k$- neki prirodni broj. Dakle, ako je razlika između nekoliko uzastopnih prostih brojeva (za k>1) ista, onda je nužno višekratnik broja 6 - na primjer: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Ako $p\; >\; 3$- jednostavno, dakle $p^2-1$ je višekratnik broja 24 (također vrijedi za sve neparne brojeve koji nisu djeljivi s 3).
• Green-Tao teorem. Postoje proizvoljno duge konačne aritmetičke progresije koje se sastoje od prostih brojeva.
• $n^k-1$, Gdje n>2, k>1. Drugim riječima, broj koji slijedi nakon prostog broja ne može biti kvadrat ili viša potencija s bazom većom od 2. Također slijedi da ako prosti broj ima oblik $2^k-1$, To k- prosti (vidi Mersenneove brojeve).
• Nijedan prosti broj ne može imati oblik $n^(2k+1)+1$, Gdje n>1, k>0. Drugim riječima, broj ispred prostog broja ne može biti kub ili veća neparna potencija s bazom većom od 1.

Formule za pronalaženje prostih brojeva

U različitim vremenima pokušavalo se naznačiti izraz čije bi vrijednosti, s obzirom na različite vrijednosti varijabli uključenih u njega, bile prosti brojevi. L. Euler je istaknuo polinom $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ uzimanje jednostavnih vrijednosti na n = 0, 1, 2, …, 40. Međutim, kada n = 41 vrijednost polinoma je složeni broj. Može se dokazati da ne postoji polinom u jednoj varijabli n koji ima proste vrijednosti za sve cijele brojeve n. P. Fermat je predložio da svi brojevi oblika 2 2 k + 1 jednostavan; međutim, Euler je opovrgao ovu hipotezu dokazujući da je broj 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - spoj.

Međutim, postoje polinomi čiji skup pozitivnih vrijednosti, s nenegativnim vrijednostima varijabli, koincidira sa skupom prostih brojeva. Jedan primjer je polinom

• $\backslash početak(poravnaj)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(align) sadrži 26 varijabli i ima stupanj 25. Najmanji stupanj za poznate polinome ovog tipa je 5 s 42 varijable; najmanji broj varijabli je 10 sa stupnjem od oko 1,6·10 45. Ovaj rezultat je poseban slučaj Diofantskog svojstva bilo kojeg prebrojivog skupa koji je dokazao Jurij Matijasević.

Otvorena pitanja

Još uvijek postoje mnoga otvorena pitanja u vezi s prostim brojevima, od kojih je najpoznatija naveo Edmund Landau na Petom međunarodnom matematičkom kongresu:

Otvoren problem je i postojanje beskonačnog broja prostih brojeva u mnogim cjelobrojnim nizovima, uključujući Mersenneove brojeve, Fibonaccijeve brojeve, Fermatove brojeve itd.

Prijave

Veliki prosti brojevi (reda 10 300) koriste se u kriptografiji s javnim ključem. Prosti brojevi također se koriste u hash tablicama i za generiranje pseudo-nasumičnih brojeva (osobito u Mersenne Twister PRNG).

Varijacije i generalizacije

• U teoriji prstena, grani opće algebre, definiran je koncept prim elementa i prim ideala.
• U teoriji čvorova, koncept jednostavnog čvora definiran je kao netrivijalni čvor koji se ne može prikazati kao povezani zbroj netrivijalnih čvorova.

vidi također

Napišite recenziju o članku "Prosti broj"

Bilješke

Odlomak koji karakterizira prost broj

Nataša je bila smirenija, ali ne i vedrija. Ne samo da je izbjegavala sve vanjske uvjete veselja: balove, klizanje, koncerte, kazalište; ali nikad se nije toliko smijala da se od njezina smijeha ne bi čule suze. Nije znala pjevati. Čim bi se počela smijati ili htjeti zapjevati sama u sebi, suze su je gušile: suze pokajanja, suze sjećanja na ono neopozivo, čisto vrijeme; suze frustracije što je svoj mladi život, koji je mogao biti tako sretan, uništila ni za što. Osobito joj se smijeh i pjevanje činilo bogohuljenjem njezine tuge. Nikada nije razmišljala o koketeriji; nije ni morala apstinirati. Rekla je i osjećala da su u to vrijeme svi muškarci za nju bili isto što i šaljivdžija Nastasja Ivanovna. Unutarnji stražar čvrsto joj je zabranio bilo kakvo veselje. I nije imala sve stare interese života od onog djevojačkog, bezbrižnog, nade punog načina života. Najčešće i najbolnije prisjećala se jesenskih mjeseci, lova, ujaka i božićnih blagdana provedenih s Nikolom u Otradnom. Što bi dala da vrati samo jedan dan iz tog vremena! Ali bilo je gotovo zauvijek. Tada je nije prevario predosjećaj da se ono stanje slobode i otvorenosti svim radostima više nikada neće vratiti. Ali morao sam živjeti.
Bilo joj je drago pomisliti da nije bolja, kao što je prije mislila, nego gora i mnogo gora od svih, svih na svijetu. Ali ovo nije bilo dovoljno. Znala je to i pitala se: “Što dalje?” A onda nije bilo ništa. Nije bilo radosti u životu, a život je prošao. Natasha je, očito, samo pokušavala ne biti nikome na teretu i nikome ne smetati, ali nije trebala ništa za sebe. Udaljila se od svih kod kuće, a samo s bratom Petjom osjećala se opušteno. Voljela je biti s njim više nego s drugima; a ponekad, kad je bila s njim oči u oči, smijala se. Gotovo da nije izlazila iz kuće, a od onih koji su im dolazili jedino je bila sretna s Pierreom. Bilo je nemoguće postupati s njom nježnije, pažljivije i istodobno ozbiljnije nego što se prema njoj odnosio grof Bezukhov. Natasha Oss je svjesno osjećala tu nježnost i stoga je u njegovom društvu nalazila veliko zadovoljstvo. Ali nije mu bila ni zahvalna na njegovoj nježnosti; ništa dobro s Pierreove strane nije joj izgledalo kao napor. Pierreu se činilo tako prirodnim da bude ljubazan prema svima da u njegovoj ljubaznosti nije bilo nikakve zasluge. Ponekad je Natasha primijetila Pierreovu nelagodu i nelagodu u njezinoj prisutnosti, osobito kad je želio učiniti nešto ugodno za nju ili kad se bojao da će nešto u razgovoru Natashi probuditi teška sjećanja. Ona je to primijetila i pripisala njegovoj općoj dobroti i sramežljivosti, što je, prema njezinim zamislima, kao kod nje, trebalo biti kod svih. Nakon onih neočekivanih riječi da bi, da je slobodan, na koljenima tražio njezinu ruku i ljubav, izgovorenih u trenutku tako silnog uzbuđenja za nju, Pierre više nije rekao ništa o svojim osjećajima prema Natashi; i bilo joj je očito da su te riječi, koje su je tada tako tješile, izgovorene kao što se govore svakakve besmislene riječi da se utješi uplakano dijete. Ne zato što je Pierre bio oženjen muškarac, nego zato što je Natasha između sebe i njega u najvećoj mjeri osjećala silu moralnih barijera - čiji je nedostatak osjećala s Kyraginom - nije joj palo na pamet da bi mogla izaći iz svoje veze s Pierreom ne samo ljubav s njezine ili, još manje, s njegove strane, nego čak i onu vrstu nježnog, samoprepoznajućeg, poetskog prijateljstva između muškarca i žene, za koje je znala nekoliko primjera.
Na kraju Petrovskog posta Agrafena Ivanovna Belova, susjeda Rostovih iz Otradnenskog, došla je u Moskvu pokloniti se moskovskim svecima. Pozvala je Natashu da posti, a Natasha je rado prihvatila tu ideju. Unatoč zabrani liječnika da izlazi rano ujutro, Nataša je inzistirala na postu, i to ne onako kako su postili u kući Rostovih, to jest na tri bogosluženja kod kuće, nego na postu kako je postila Agrafena Ivanovna, tj. , cijeli tjedan bez propuštanja ijedne večernje, mise ili jutrenja.
Grofici se svidjela ova Natašina revnost; U duši se, nakon neuspješnog liječenja, nadala da će joj molitva pomoći za više lijekova, i iako sa strahom i skrivajući to od liječnika, pristala je na Natašinu želju i povjerila je Belovu. Agrafena Ivanovna dolazila je probuditi Natašu u tri sata ujutro i uglavnom je nalazila da više ne spava. Natasha se bojala zaspati tijekom jutra. Žurno umivši lice i ponizno obukavši svoju najgoru haljinu i staru mantilu, drhteći od svježine, Nataša je izašla na puste ulice, prozirno obasjane jutarnjom zorom. Po savjetu Agrafene Ivanovne, Nataša nije postila u svojoj župi, već u crkvi, u kojoj je, prema riječima pobožne Belove, bio vrlo strog i ugledan svećenik. U crkvi je uvijek bilo malo ljudi; Natasha i Belova zauzele su svoje uobičajeno mjesto ispred ikone Majke Božje, ugrađene u stražnji dio lijevog kora, i novi osjećaj za Natashu pred velikim, neshvatljivim, prekrio ju je kad je u ovo neobično jutro, gledajući crno lice Majke Božje, obasjano svijećama, koje su gorjele ispred njega, i jutarnju svjetlost koja je padala s prozora, slušala je zvukove službe, koje je pokušavala pratiti, razumijevajući ih. Kad ih je razumjela, njezin osobni osjećaj sa svojim nijansama pridružio se njezinoj molitvi; kad nije shvaćala, još joj je slađe bilo misliti da je želja da se sve razumije ponos, da je nemoguće sve razumjeti, da treba samo vjerovati i predati se Bogu, koji je u tim trenucima - osjećala je - vladao njezinom dušom. Prekrižila se, naklonila, a kad nije razumjela, samo je, užasnuta svojom odvratnošću, molila Boga da joj sve oprosti, za sve i da se smiluje. Molitve kojima se najviše posvetila bile su molitve pokajanja. Vraćajući se kući u ranim jutarnjim satima, kada su samo zidari odlazili na posao, domari čistili ulice, a svi u kućama još spavali, Natasha je iskusila za nju novi osjećaj mogućnosti da se ispravi od svojih poroka i mogućnost novog, čistog života i sreće.
Tijekom cijelog tjedna tijekom kojeg je vodila ovakav život, taj je osjećaj rastao svakim danom. A sreća pridruživanja ili priopćavanja, kako joj je rekla Agrafena Ivanovna, radosno se igrajući ovom riječju, učinila joj se tako velikom da joj se činilo da neće doživjeti ovu blaženu nedjelju.
Ali došao je sretan dan, i kada se Natasha ove nezaboravne nedjelje vratila s pričesti, u bijeloj muslinskoj haljini, prvi put nakon mnogo mjeseci osjećala se smireno i neopterećeno životom koji je bio pred njom.
Liječnik koji je stigao tog dana pregledao je Natashu i naredio joj da nastavi s posljednjim puderima koje joj je propisao prije dva tjedna.
"Moramo nastaviti, ujutro i navečer", rekao je, očito savjesno zadovoljan svojim uspjehom. - Samo molim te budi oprezniji. “Budite mirni, grofice”, rekao je doktor u šali, vješto skupljajući zlato u pulpi svoje ruke, “uskoro će opet početi pjevati i brčkati se.” Zadnji lijek joj je jako, jako dobar. Vrlo je osvježena.
Grofica je pogledala svoje nokte i pljunula vrativši se u dnevnu sobu vesela lica.

Početkom srpnja u Moskvi su se širile sve alarmantnije glasine o napredovanju rata: govorilo se o apelu vladara narodu, o dolasku samog suverena iz vojske u Moskvu. A budući da su manifest i apel primljeni tek 11. srpnja, o njima i o situaciji u Rusiji kružile su pretjerane glasine. Govorili su da suveren odlazi jer je vojska u opasnosti, govorili su da je Smolensk predan, da Napoleon ima milijunsku vojsku i da samo čudo može spasiti Rusiju.
Dana 11. srpnja, u subotu, manifest je primljen, ali još nije tiskan; a Pierre, koji je bio u posjetu Rostovima, obećao je doći na večeru sutradan, u nedjelju, i donijeti manifest i žalbu, koje će dobiti od grofa Rastopchina.
Ove su nedjelje Rostovi, kao i obično, otišli na misu u kućnu crkvu Razumovskih. Bio je vruć srpanjski dan. Već u deset sati, kad su Rostovi izašli iz kočije pred crkvom, u vrućem zraku, u vici trgovaca, u svijetlim i laganim ljetnim haljinama svjetine, u prašnjavom lišću drveće bulevara, u zvucima glazbe i bijelim hlačama bataljona koji maršira u maršu, u grmljavini pločnika i u jarkom sjaju žarkog sunca bilo je one ljetne klonulosti, zadovoljstva i nezadovoljstva sadašnjošću, što se posebno oštro osjeća za vedrog vrućeg dana u gradu. U crkvi Razumovskog bilo je sve moskovsko plemstvo, svi poznanici Rostovih (ove godine, kao da su nešto očekivali, mnoge bogate obitelji, koje su obično putovale na sela, ostale su u gradu). Prolazeći iza lakeja u livreji, koji je razdvajao gomilu kraj njezine majke, Natasha je čula glas mladića koji je govorio o njoj preglasnim šapatom:
- Ovo je Rostova, ona ista...
- Toliko je smršavila, ali je i dalje dobra!
Čula je, ili joj se činilo, da se spominju imena Kuragina i Bolkonskog. Međutim, njoj se uvijek tako činilo. Uvijek joj se činilo da su svi, gledajući je, samo razmišljali o tome što joj se dogodilo. Pateći i bledeći u duši, kao i uvijek u gomili, Nataša je hodala u svojoj ljubičastoj svilenoj haljini s crnom čipkom onako kako žene mogu hodati - što mirnije i veličanstvenije to joj je u duši bilo bolnije i posramljenije. Znala je i nije se varala da je dobra, ali to joj sada nije bilo drago kao prije. Naprotiv, to ju je nedavno najviše mučilo, a osobito ovog vedrog, vrućeg ljetnog dana u gradu. “Još jedna nedjelja, još jedan tjedan,” rekla je sama sebi, prisjećajući se kako je bila ovdje te nedjelje, “i dalje isti život bez života, i sve isti uvjeti u kojima je prije bilo tako lako živjeti. Dobra je ona, mlada je i znam da sam sada dobra, prije sam bila loša, ali sada sam dobra, znam, pomislila je, pa tako najbolje godine prođu uzalud, ni za koga. Stajala je pored svoje majke i izmjenjivala riječi s obližnjim poznanicima. Nataša je, po navici, razgledavala ženske haljine, osuđivala tenue [ponašanje] i nepristojan način križanja rukom u malom prostoru jedne dame koja je stajala u blizini, opet s iritacijom pomislila da je osuđuju, da je također je osuđivala, i odjednom, čuvši zvukove službe, bila je užasnuta svojom odvratnošću, užasnuta što je njezina prijašnja čistoća ponovno izgubljena.
Lijepi, tihi starac služio je s onom nježnom svečanošću koja tako veličanstveno, smirujuće djeluje na duše molitelja. Kraljevske se dveri zatvoriše, zavjesa polagano spusti; tajanstveni tihi glas rekao je nešto odande. Njoj neshvatljive suze stajale su u Natashinim grudima, a radostan i bolan osjećaj zabrinuo ju je.
“Nauči me što da radim, kako da se usavršavam zauvijek, zauvijek, što da radim sa svojim životom...” mislila je.
Đakon iziđe na propovjedaonicu, popravi svoju dugu kosu ispod supramije, držeći rašireni palac, i stavivši križ na prsa, glasno i svečano poče čitati riječi molitve:
- “U miru se Gospodu pomolimo.”
"U miru - svi zajedno, bez razlike na klase, bez neprijateljstva, a ujedinjeni bratskom ljubavlju - pomolimo se", pomisli Nataša.
- O džennetskom svijetu i spasenju duša naših!
"Za mir anđela i duša svih bestjelesnih stvorenja koja žive iznad nas", molila se Nataša.
Kad su molili za vojsku, sjetila se brata i Denisova. Kad su se molili za one koji su plovili i putovali, ona se sjetila princa Andreja i pomolila se za njega, i molila se da joj Bog oprosti zlo koje mu je učinila. Kada su molili za one koji su nas voljeli, ona je molila za svoju obitelj, za svog oca, majku, Sonyu, po prvi put sada shvaćajući svu svoju krivnju pred njima i osjećajući svu snagu svoje ljubavi prema njima. Kad su molili za one koji nas mrze, ona je sebi izmišljala neprijatelje i mrzitelje da bi molila za njih. U svoje neprijatelje ubrajala je vjerovnike i sve one koji su imali posla s njezinim ocem, a svaki put kad je razmišljala o neprijateljima i mrziteljima, sjetila se Anatola koji joj je toliko zla učinio, i iako nije bio mrzitelj, radosno se molila za njega kao za neprijatelja. Samo tijekom molitve osjetila je da se može jasno i smireno sjetiti princa Andreja i Anatola, kao ljudi prema kojima su njezini osjećaji bili uništeni u usporedbi s njezinim osjećajem straha i poštovanja prema Bogu. Kad su molili za kraljevsku obitelj i za Sinod, ona se posebno nisko poklonila i prekrižila, govoreći samoj sebi da ako ne razumije, ne može sumnjati i još uvijek voli vladajući Sinod i moli za njega.
Završivši litaniju, đakon prekriži orar oko svojih prsa i reče:
- “Kristu Bogu predajemo sebe i svoj život.”
"Predat ćemo se Bogu", ponavljala je Natasha u svojoj duši. “Bože moj, predajem se tvojoj volji”, pomislila je. - Ne želim ništa, ništa ne želim; nauči me što da radim, gdje da upotrijebim svoju volju! Uzmi me, uzmi me! - reče Nataša s nježnim nestrpljenjem u duši, ne prekrstivši se, spustivši mršave ruke i kao da očekuje da će je neka nevidljiva sila uzeti i izbaviti od nje same, od njenih žaljenja, želja, prijekora, nada i poroka.
Grofica se nekoliko puta tijekom bogoslužja osvrnula na nježno lice svoje kćeri iskričavih očiju i molila se Bogu da joj pomogne.

Definicija 1. glavni broj− je prirodni broj veći od onog koji je djeljiv samo sa sobom i 1.

Drugim riječima, broj je prost ako ima samo dva različita prirodna djelitelja.

Definicija 2. Svaki prirodni broj koji osim sebe i jedinice ima još djelitelja naziva se složeni broj.

Drugim riječima, prirodni brojevi koji nisu prosti brojevi nazivaju se složeni brojevi. Iz definicije 1 proizlazi da složeni broj ima više od dva prirodna faktora. Broj 1 nije ni prost ni složen jer ima samo jedan djelitelj 1 i, osim toga, mnogi teoremi koji se tiču ​​prostih brojeva ne vrijede za jedinicu.

Iz definicija 1 i 2 slijedi da je svaki prirodni broj veći od 1 ili prost broj ili složeni broj.

Ispod je program za prikaz prostih brojeva do 5000. Ispunite ćelije, kliknite na gumb "Kreiraj" i pričekajte nekoliko sekundi.

Tablica prostih brojeva

Izjava 1. Ako str- prosti broj i a bilo koji cijeli broj, onda bilo koji a podjeljeno sa str, ili str I a međusobno prosti brojevi.

Stvarno. Ako str Prost broj je djeljiv samo sa sobom i 1 ako a nije djeljiv sa str, tada najveći zajednički djelitelj a I str jednak je 1. Zatim str I a međusobno prosti brojevi.

Izjava 2. Ako je umnožak više brojeva brojeva a 1 , a 2 , a 3, ... djeljiv je prostim brojem str, zatim barem jedan od brojeva a 1 , a 2 , a 3, ...djeljivo sa str.

Stvarno. Ako nijedan od brojeva nije bio djeljiv sa str, zatim brojke a 1 , a 2 , a 3, ... bi bili međusobno prosti brojevi u odnosu na str. Ali iz korolara 3 () slijedi da je njihov produkt a 1 , a 2 , a 3, ... također je relativno prost u odnosu na str, što je u suprotnosti s uvjetom izjave. Stoga je barem jedan od brojeva djeljiv sa str.

Teorema 1. Bilo koji složeni broj uvijek se može prikazati, i to na jedinstven način, kao umnožak konačnog broja prostih brojeva.

Dokaz. Neka k kompozitni broj, i neka a 1 je jedan od njegovih djelitelja različit od 1 i samog sebe. Ako a 1 je složen, tada ima pored 1 i a 1 i još jedan djelitelj a 2. Ako a 2 je složeni broj, tada ima, osim 1 i a 2 i još jedan djelitelj a 3. Rasuđujući na ovaj način i uzimajući u obzir da brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ... smanjiti i ovaj niz sadrži konačan broj članova, doći ćemo do nekog prostog broja str 1 . Zatim k može se prikazati u obliku

Pretpostavimo da postoje dvije dekompozicije broja k:

Jer k=p 1 str 2 str 3...djeljiv prostim brojem q 1, zatim barem jedan od faktora, npr str 1 je djeljiv sa q 1 . Ali str 1 je prost broj i djeljiv je samo s 1 i samim sobom. Stoga str 1 =q 1 (jer q 1 ≠1)

Tada iz (2) možemo isključiti str 1 i q 1:

Dakle, uvjereni smo da se svaki prosti broj koji se pojavljuje kao faktor u prvom proširenju jednom ili više puta također pojavljuje u drugom proširenju najmanje toliko puta, i obrnuto, svaki prosti broj koji se pojavljuje kao faktor u drugom proširenju jedan ili više puta također se pojavljuje u prvoj ekspanziji barem isti broj puta. Stoga se svaki prosti broj pojavljuje kao faktor u oba proširenja isti broj puta i, prema tome, ova dva proširenja su ista.■

Proširenje složenog broja k može se napisati u sljedećem obliku

Gdje str 1 , str 2, ... razni prosti brojevi, α, β, γ ... pozitivni cijeli brojevi.

Ekspanzija (3) se zove kanonsko proširenje brojevima.

Prosti brojevi neravnomjerno se nalaze u nizu prirodnih brojeva. U nekim dijelovima reda ima ih više, u drugima - manje. Što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi rjeđi. Postavlja se pitanje postoji li najveći prost broj? Starogrčki matematičar Euklid dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Ovaj dokaz donosimo u nastavku.

Teorema 2. Broj prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz. Pretpostavimo da postoji konačan broj prostih brojeva i neka je najveći prosti broj str. Uzmimo sve brojeve većim str. Prema pretpostavci izjave, ti brojevi moraju biti složeni i moraju biti djeljivi s barem jednim od prostih brojeva. Izaberimo broj koji je umnožak svih ovih prostih brojeva plus 1:

Broj z više str jer 2p već više str. str nije djeljiv ni s jednim od ovih prostih brojeva, jer kada se podijeli sa svakim od njih daje ostatak 1. Tako dolazimo do kontradikcije. Stoga postoji beskonačan broj prostih brojeva.

Ovaj teorem je poseban slučaj općenitijeg teorema:

Teorema 3. Neka je dana aritmetička progresija

Zatim bilo koji prosti broj uključen u n, treba uključiti u m, dakle u n drugi primarni faktori koji nisu uključeni u m i, štoviše, ovi glavni faktori u n uključeni su najviše puta nego u m.

Vrijedi i suprotno. Ako svaki prosti faktor broja n uključeno najmanje isto toliko puta u broj m, To m podjeljeno sa n.

Izjava 3. Neka a 1 ,a 2 ,a 3,... različiti prosti brojevi uključeni u m Tako

Gdje ja=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . primijeti da α i prihvaća α +1 vrijednosti, β j prihvaća β +1 vrijednosti, γ k prihvaća γ +1 vrijednosti, ... .