Danas ćemo razmotriti geometrijsku figuru - četverokut. Već iz naziva ove figure postaje jasno da ova figura ima četiri ugla. Ali u nastavku ćemo razmotriti preostale karakteristike i svojstva ove figure.
Što je četverokut
Četverokut je mnogokut koji se sastoji od četiri točke (vrhovi) i četiri segmenta (stranice) koji spajaju te točke u parovima. Površina četverokuta jednaka je polovici umnoška njegovih dijagonala i kuta između njih.
Četverokut je mnogokut s četiri vrha od kojih tri ne leže na ravnoj liniji.
Vrste četverokuta
- Četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne naziva se paralelogram.
- Četverokut kojemu su dvije nasuprotne stranice paralelne, a druge dvije nisu, zove se trapez.
- Četverokut sa svim pravim kutovima je pravokutnik.
- Četverokut kojemu su sve stranice jednake je romb.
- Četverokut kojemu su sve stranice jednake i svi kutovi pravi zove se kvadrat.
Četverokut može biti:
Samopresijecanje
Nekonveksan
Konveksan
Samopresječni četverokut je četverokut kojemu bilo koja stranica ima sjecišnu točku (plavo na slici).
Nekonveksni četverokut je četverokut u kojem je jedan od unutarnjih kutova veći od 180 stupnjeva (označeno narančastom bojom na slici).
Zbroj kutova svaki četverokut koji se ne siječe sam od sebe uvijek je jednak 360 stupnjeva.
Posebne vrste četverokuta
Četverokuti mogu imati dodatna svojstva, tvoreći posebne vrste geometrijskih oblika:
- Paralelogram
- Pravokutnik
- Kvadrat
- Trapez
- Deltoid
- Protuparalelogram
Četverokut i krug
Četverokut opisan oko kruga (kružnica upisana u četverokut).
Glavno svojstvo opisanog četverokuta:
Četverokut se može opisati oko kružnice ako i samo ako su zbrojevi duljina suprotnih stranica jednaki.
Četverokut upisan u krug (kružnica opisana oko četverokuta)
Glavno svojstvo upisanog četverokuta:
Četverokut se može upisati u krug ako i samo ako je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180 stupnjeva.
Svojstva duljina stranica četverokuta
Modul razlike bilo koje dvije stranice četverokuta ne prelazi zbroj svoje druge dvije strane.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|b - c| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
Važno. Nejednakost vrijedi za bilo koju kombinaciju stranica četverokuta. Crtež je dat isključivo radi lakše percepcije.
U bilo kojem četverokutu zbroj duljina njegovih triju stranica nije manji od duljine četvrte stranice.
Važno. Prilikom rješavanja problema unutar školski plan i program možete koristiti strogu nejednakost (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
Da biste izvršili izračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
Jedna od najzanimljivijih tema iz geometrije iz školskog tečaja je “Četverokuti” (8. razred). Koje vrste takvih figura postoje, koja posebna svojstva imaju? Što je jedinstveno kod četverokuta s kutovima od devedeset stupnjeva? Hajdemo sve shvatiti.
Koji se geometrijski lik naziva četverokut?
Poligoni koji se sastoje od četiri stranice i prema tome četiri vrha (kuta) u euklidskoj geometriji nazivaju se četverokuti.
Zanimljiva je povijest naziva ove vrste figure. U ruskom jeziku imenica "četverokut" nastala je od izraza "četiri ugla" (kao i "trokut" - tri ugla, "peterokut" - pet uglova itd.).
Međutim, na latinskom (preko kojeg su mnogi geometrijski pojmovi došli u većinu jezika svijeta) naziva se četverokut. Ova riječ nastala je od broja quadri (četiri) i imenice latus (strana). Dakle, možemo zaključiti da su drevni ljudi ovaj mnogokut nazivali ništa više nego "četverokut".
Usput, ovaj naziv (s naglaskom na prisutnost četiriju strana, a ne uglova, u figurama ove vrste) sačuvan je u nekim modernim jezicima. Na primjer, na engleskom - quadrilateral i na francuskom - quadrilatère.
Štoviše, u većini slavenskih jezika vrsta lika o kojoj je riječ još uvijek se identificira po broju kutova, a ne po stranicama. Na primjer, u slovačkom (stvoruholník), u bugarskom ("chetirigalnik"), u bjeloruskom ("chatyrokhkutnik"), u ukrajinskom ("chotirikutnik"), u češkom (čtyřúhelník), ali u poljskom se četverokut naziva brojem strane - czworoboczny.
Koje se vrste četverokuta proučavaju u školskom kurikulumu?
U modernoj geometriji postoje 4 vrste poligona s četiri strane.
Međutim, zbog previše složenih svojstava nekih od njih, školarci se na nastavi geometrije upoznaju samo s dvije vrste.
- Paralelogram. Suprotne stranice takvog četverokuta su međusobno paralelne u parovima i, prema tome, također su jednake u parovima.
- Trapez (trapez ili trapez). Ovaj četverokut sastoji se od dvije nasuprotne strane paralelne jedna s drugom. Međutim, drugi par strana nema ovu značajku.
Vrste četverokuta koji se ne proučavaju u školskom tečaju geometrije
Osim navedenih, postoje još dvije vrste četverokuta s kojima se školarci ne upoznaju na nastavi geometrije zbog njihove posebne složenosti.
- Deltoid (zmaj)- figura u kojoj je svaki od dva para susjednih stranica jednake duljine. Ovaj je četverokut dobio ime zbog činjenice da izgledom vrlo podsjeća na slovo grčke abecede - "delta".
- Antiparalelogram- ova figura je složena kao i njeno ime. U njemu su dvije suprotne strane jednake, ali u isto vrijeme nisu paralelne jedna s drugom. Osim toga, duge suprotne stranice ovog četverokuta međusobno se sijeku, kao i produžeci druge dvije, kraće stranice.
Vrste paralelograma
Nakon što smo se pozabavili glavnim vrstama četverokuta, vrijedi obratiti pozornost na njegove podvrste. Dakle, svi paralelogrami su također podijeljeni u četiri skupine.
- Klasični paralelogram.
- Romb- četverokutni lik s jednakim stranicama. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim kutom, dijeleći romb na četiri jednaka pravokutna trokuta.
- Pravokutnik. Ime govori samo za sebe. Budući da je to četverokut s pravim kutovima (svaki od njih je jednak devedeset stupnjeva). Njegove suprotne strane nisu samo paralelne jedna s drugom, već su i jednake.
- Kvadrat. Kao i pravokutnik, on je četverokut s pravim kutovima, ali su mu sve stranice jednake. Na taj način, ova figura je blizu romba. Dakle, možemo reći da je kvadrat križanac između romba i pravokutnika.
Posebna svojstva pravokutnika
Razmatrajući figure u kojima je svaki od kutova između strana jednak devedeset stupnjeva, vrijedi bolje pogledati pravokutnik. Dakle, koje posebne značajke ima koje ga razlikuju od ostalih paralelograma?
Da bismo tvrdili da je dotični paralelogram pravokutnik, njegove dijagonale moraju biti međusobno jednake, a svaki od kutova mora biti pravi. Osim toga, kvadrat njegovih dijagonala mora odgovarati zbroju kvadrata dviju susjednih strana ove figure. Drugim riječima, klasični pravokutnik sastoji se od dva pravokutna trokuta, au njima, kao što je poznato, dijagonala dotičnog četverokuta ima ulogu hipotenuze.
Posljednja od navedenih značajki ove figure je i njezino posebno svojstvo. Osim ovoga, postoje i drugi. Na primjer, činjenica da su sve strane četverokuta koji se proučava s pravim kutovima također njegove visine.
Osim toga, ako se oko bilo kojeg pravokutnika nacrta krug, njegov promjer bit će jednak dijagonali upisane figure.
Među ostalim svojstvima ovog četverokuta je da je ravan i ne postoji u neeuklidskoj geometriji. To je zbog činjenice da u takvom sustavu nema četverokutnih figura, čiji je zbroj kutova jednak tristo šezdeset stupnjeva.
Kvadrat i njegove karakteristike
Nakon što smo razumjeli znakove i svojstva pravokutnika, vrijedi obratiti pozornost na drugi četverokut poznat znanosti s pravim kutovima (ovo je kvadrat).
Budući da je zapravo isti pravokutnik, ali s jednakim stranicama, ova figura ima sva njegova svojstva. Ali za razliku od njega, kvadrat je prisutan u neeuklidskoj geometriji.
Osim toga, ova figura ima i druge svoje osobine. Na primjer, činjenica da su dijagonale kvadrata ne samo međusobno jednake, već se i sijeku pod pravim kutom. Dakle, kao i romb, kvadrat se sastoji od četiri pravokutna trokuta na koje ga dijagonale dijele.
Osim toga, ova je figura najsimetričnija među svim četverokutima.
Koliki je zbroj kutova četverokuta?
Razmatrajući značajke četverokuta euklidske geometrije, vrijedi obratiti pozornost na njihove kutove.
Dakle, u svakoj od navedenih figura, bez obzira na to ima li prave kutove ili ne, njihov ukupni zbroj uvijek je isti - tristo šezdeset stupnjeva. Ovo je jedinstvena karakteristika ove vrste figure.
Opseg četverokuta
Nakon što smo shvatili koliko je jednak zbroj kutova četverokuta i druga posebna svojstva figura ove vrste, vrijedi saznati koje se formule najbolje koriste za izračunavanje njihovog opsega i površine.
Da biste odredili opseg bilo kojeg četverokuta, samo trebate zbrojiti duljine svih njegovih stranica.
Na primjer, na slici KLMN, njegov opseg može se izračunati pomoću formule: P = KL + LM + MN + KN. Ako ovdje zamijenite brojeve, dobit ćete: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).
U slučaju kada je predmetna figura romb ili kvadrat, da biste pronašli opseg, možete pojednostaviti formulu jednostavnim množenjem duljine jedne od njegovih stranica s četiri: P = KL x 4. Na primjer: 6 x 4 = 24 (cm).
Formule za četverokute s površinom
Nakon što smo shvatili kako pronaći opseg bilo koje figure s četiri kuta i strane, vrijedi razmotriti najpopularnije i najjednostavnije načine pronalaženja njezine površine.
Ostala svojstva četverokuta: upisane i opisane kružnice
Razmotrivši značajke i svojstva četverokuta kao figure euklidske geometrije, vrijedi obratiti pozornost na sposobnost opisivanja krugova oko ili upisivanja krugova unutar njega:
- Ako su iznosi nasuprotnih kutova lika sto osamdeset stupnjeva i ako su u parovima jednaki, onda se oko takvog četverokuta može slobodno opisati kružnica.
- Prema Ptolomejevom teoremu, ako je krug opisan izvan mnogokuta s četiri stranice, tada je umnožak njegovih dijagonala jednak zbroju umnožaka suprotnih stranica danog lika. Dakle, formula će izgledati ovako: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
- Ako sastavite četverokut u kojem su zbrojevi suprotnih stranica međusobno jednaki, tada možete u njega upisati kružnicu.
Nakon što smo shvatili što je četverokut, koje vrste postoje, koji od njih imaju samo prave kutove između strana i koja svojstva imaju, vrijedno je zapamtiti sav ovaj materijal. Konkretno, formule za pronalaženje perimetra i područja razmatranih poligona. Uostalom, figure ovog oblika su među najčešćim, a ovo znanje može biti korisno za izračune u stvarnom životu.
Konveksni četverokut je lik koji se sastoji od četiri stranice međusobno spojene vrhovima, koje zajedno sa stranicama tvore četiri kuta, dok je sam četverokut uvijek u istoj ravnini u odnosu na ravnu liniju na kojoj leži jedna od njegovih stranica. Drugim riječima, cijela figura nalazi se na istoj strani bilo koje od svojih strana.
U kontaktu s
Kao što vidite, definiciju je vrlo lako zapamtiti.
Osnovna svojstva i vrste
Gotovo sve poznate figure koje se sastoje od četiri ugla i strane mogu se klasificirati kao konveksni četverokuti. Mogu se razlikovati sljedeće:
- paralelogram;
- kvadrat;
- pravokutnik;
- trapez;
- romb.
Sve ove figure ujedinjuje ne samo činjenica da su četverokutni, već i činjenica da su i konveksni. Pogledajte samo dijagram:
Na slici je prikazan konveksni trapez. Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravnini ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapezoid konveksan.
Je li paralelogram konveksan četverokut?
Gore je slika paralelograma. Kao što se može vidjeti sa slike, paralelogram je također konveksan. Ako pogledate sliku u odnosu na linije na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je uvijek u istoj ravnini od ovih linija. Glavna karakteristika paralelograma je da su njegove stranice po parovima paralelne i jednake, kao što su i suprotni kutovi međusobno jednaki.
Sada zamislite kvadrat ili pravokutnik. Po svojim osnovnim svojstvima oni su također paralelogrami, odnosno sve im se stranice nalaze u paralelnim parovima. Samo kod pravokutnika duljine stranica mogu biti različite, a kutovi pravi (jednaki 90 stupnjeva), kvadrat je pravokutnik u kojem su sve stranice jednake i kutovi također pravi, a kod paralelograma, duljine stranica i kutova mogu biti različite.
Kao rezultat, zbroj sva četiri kuta četverokuta treba biti jednak 360 stupnjeva. To ćete najlakše utvrditi gledajući pravokutnik: sva četiri kuta pravokutnika su prava, odnosno jednaka 90 stupnjeva. Zbroj ovih kutova od 90 stupnjeva daje 360 stupnjeva, drugim riječima, ako dodate 90 stupnjeva 4 puta, dobit ćete željeni rezultat.
Svojstvo dijagonala konveksnog četverokuta
Dijagonale konveksnog četverokuta se sijeku. Doista, ovaj se fenomen može promatrati vizualno, samo pogledajte sliku:
Slika lijevo prikazuje nekonveksni četverokut ili četverokut. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. Desno je konveksni četverokut. Ovdje je već uočeno svojstvo dijagonala da se sijeku. Isto se svojstvo može smatrati znakom konveksnosti četverokuta.
Ostala svojstva i znakovi konveksnosti četverokuta
Vrlo je teško ovim pojmom imenovati neka specifična svojstva i karakteristike. Lakše je razlikovati različite vrste četverokuta ove vrste. Možete početi s paralelogramom. Već znamo da se radi o četverokutnoj figuri čije su stranice u paru paralelne i jednake. Ujedno, to uključuje i svojstvo dijagonala paralelograma da se međusobno sijeku, kao i sam znak konveksnosti lika: paralelogram je uvijek u istoj ravnini i na istoj strani u odnosu na bilo koju od njegove strane.
Tako, poznata su glavna svojstva i svojstva:
- zbroj kutova četverokuta je 360 stupnjeva;
- Dijagonale figura sijeku se u jednoj točki.
Pravokutnik. Ova figura ima sva ista svojstva i karakteristike kao i paralelogram, ali u isto vrijeme svi njegovi kutovi su jednaki 90 stupnjeva. Otuda i naziv - pravokutnik.
Kvadrat, isti paralelogram, ali njegovi kutovi su pravi kao pravokutnik. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnik. Ali glavna karakteristika kvadrata, pored već navedenih, je da su sve četiri njegove strane jednake.
Trapezoid je vrlo zanimljiva figura. Ovo je također četverokut i također konveksan. U ovom članku već smo raspravljali o trapezu na primjeru crteža. Jasno je da je i konveksan. Glavna razlika, a samim time i znak trapeza, je da njegove strane mogu biti apsolutno različite po duljini, kao i po vrijednosti kutova. U ovom slučaju, lik uvijek ostaje na istoj ravnini u odnosu na bilo koju liniju koja povezuje bilo koja dva njegova vrha duž segmenata koji tvore lik.
Romb je jednako zanimljiv lik. Dijelom se romb može smatrati kvadratom. Znak romba je činjenica da se njegove dijagonale ne samo sijeku, već i dijele kutove romba na pola, a same dijagonale se sijeku pod pravim kutom, odnosno okomite su. Ako su duljine stranica romba jednake, tada se i dijagonale dijele popola kada se sijeku.
Deltoidi ili konveksni romboidi (rombovi) mogu imati različite duljine stranica. Ali u isto vrijeme, i dalje su sačuvana osnovna svojstva i karakteristike samog romba, kao i karakteristike i svojstva konveksnosti. To jest, možemo uočiti da dijagonale dijele kutove na pola i sijeku se pod pravim kutom.
Današnji zadatak bio je razmotriti i razumjeti što su konveksni četverokuti, kakvi su te njihova glavna obilježja i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbroj kutova konveksnog četverokuta 360 stupnjeva. Opseg figura, na primjer, jednak je zbroju duljina svih segmenata koji čine figuru. Formule za izračunavanje opsega i površine četverokuta bit će raspravljene u sljedećim člancima.
Vrste konveksnih četverokuta
Definicija. Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne.
Vlasništvo. U paralelogramu su suprotne stranice jednake i suprotni kutovi su jednaki.
Vlasništvo. Dijagonale paralelograma dijele se popola točkom presjeka.
1 znak paralelograma. Ako su dvije stranice četverokuta jednake i paralelne, tada je četverokut paralelogram.
2 znak paralelograma. Ako su u četverokutu nasuprotne stranice u parovima jednake, tada je taj četverokut paralelogram.
3 znak paralelograma. Ako se dijagonale četverokuta sijeku i prepolovljuju točkom presjeka, tada je četverokut paralelogram.
Definicija. Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice nazivaju se razloga.
Trapez se zove jednakokračan (jednakostraničan), ako su mu stranice jednake. U jednakokračnom trapezu kutovi na osnovicama su jednaki.
Trapez, čiji je jedan kut pravi, naziva se pravokutan.
Segment koji povezuje središta strana naziva se središnja linija trapeza. Srednji pravac je paralelan s bazama i jednak je njihovom poluzbroju.
Definicija. Pravokutnik je paralelogram čiji su svi kutovi pravi.
Vlasništvo. Dijagonale pravokutnika su jednake.
Znak pravokutnika. Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je taj paralelogram pravokutnik.
Definicija. Romb je paralelogram u kojem su sve stranice jednake.
Vlasništvo. Dijagonale romba su međusobno okomite i raspolavljaju njegove kutove.
Definicija. Kvadrat je pravokutnik čije su sve stranice jednake.
Kvadrat je posebna vrsta pravokutnika, kao i posebna vrsta romba. Stoga ima sva njihova svojstva.
Svojstva:
1. Svi su kutovi kvadrata pravi
2. Dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, sjecište raspolavlja i raspolovljuje kutove kvadrata.
