Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ "progresija", kao vrlo složen pojam iz grana više matematike. A opet najjednostavniji aritmetička progresija- rad taksimetra (gdje i dalje ostaju). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, nakon analize nekoliko elementarnih koncepata.
Matematički niz brojeva
Numeričkim nizom obično se naziva niz brojeva od kojih svaki ima svoj broj.
a 1 je prvi član niza;
i 2 je drugi član niza;
i 7 je sedmi član niza;
i n je n-ti član niza;
Međutim, ne zanima nas proizvoljan skup brojeva i brojeva. Usredotočit ćemo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.
a je vrijednost člana numeričkog niza;
n je njegov serijski broj;
f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.
Definicija
Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:
a n - vrijednost tekućeg člana aritmetičke progresije;
a n+1 - formula sljedećeg broja;
d - razlika (određeni broj).
Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog i takva aritmetička progresija će biti rastuća.
Na donjem grafikonu lako je vidjeti zašto se niz brojeva naziva "rastući".
U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Navedena vrijednost člana
Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti sekvencijalnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntog člana. Tradicionalni izračuni će oduzeti puno vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati pomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnožen s brojem željenog člana, umanjen za jedan.
Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.
Primjer izračunavanja vrijednosti zadanog pojma
Riješimo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.
Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:
Prvi član niza je 3;
Razlika u nizu brojeva je 1,2.
Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 članova
Rješenje: za određivanje vrijednosti zadanog pojma koristimo se formulom:
a(n) = a1 + d(n-1)
Zamjenom podataka iz izjave problema u izraz, imamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.
Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne zauzima više od 2 retka.
Zbroj zadanog broja članova
Vrlo često, u određenom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nema potrebe izračunavati vrijednosti svakog izraza i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji zbroj treba pronaći mali. U drugim slučajevima prikladnije je koristiti sljedeću formulu.
Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnožen s brojem člana n i podijeljen s dva. Ako u formuli vrijednost n-tog člana zamijenimo izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:
Primjer izračuna
Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:
Prvi član niza je nula;
Razlika je 0,5.
Zadatak zahtijeva određivanje zbroja članova niza od 56 do 101.
Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje količine progresije:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Prvo odredimo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Očito, da bi se saznao zbroj članova progresije od 56. do 101. potrebno je od S 101 oduzeti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Primjer praktične primjene aritmetičke progresije
Na kraju članka vratimo se na primjer aritmetičkog niza danog u prvom odlomku - taksimetar (taksimetar). Razmotrimo ovaj primjer.
Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja/km. Dužina putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.
1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.
30 - 3 = 27 km.
2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.
Članski broj - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).
Vrijednost člana je zbroj.
Prvi izraz u ovom problemu bit će jednak a 1 = 50 rubalja.
Razlika progresije d = 22 r.
broj koji nas zanima je vrijednost (27+1)-og člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra je 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji je duljina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela od zvijezde. Osim toga, različiti nizovi brojeva uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim područjima matematike.
Druga vrsta niza brojeva je geometrijska
Geometrijsku progresiju karakteriziraju veće stope promjene u usporedbi s aritmetičkom progresijom. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija u geometrijskoj progresiji.
N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;
b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;
q je nazivnik geometrijske progresije (konstantan broj).
Ako je grafikon aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijska progresija daje nešto drugačiju sliku:
Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na potenciju n umanjenu za jedan:
Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Zbroj zadanog broja članova također se izračunava pomoću posebne formule. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom umanjenim za jedan:
Ako se b n zamijeni pomoću formule koja je gore razmotrena, vrijednost zbroja prvih n članova niza brojeva koji se razmatra poprimit će oblik:
Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen na 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Što je glavna suština formule?
Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji PO NJEGOVOM BROJU" n" .
Naravno, potrebno je znati i prvi termin a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.
Pamćenje (ili pisanje) ove formule nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. I također da se ne zaboravi u pravom trenutku, da...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako treba, svakako ću vas savjetovati. Za one koji dovrše lekciju do kraja.)
Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
Što je uopće formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što je to n-ti pojam.
Progresija se općenito može napisati kao niz brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - s a 120.
Kako ga možemo općenito definirati? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:
a n
To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n skriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.
I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...
Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkom progresijom. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti hrpu drugih problema napredovanja. Dalje ćete vidjeti sami.
U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- prvi član aritmetičke progresije;
n- broj člana.
Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d I n. Svi problemi napredovanja vrte se oko ovih parametara.
Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija određena uvjetom:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takav problem može biti slijepa ulica... Nema ni niza ni razlike... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.
A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvoriti zagrade i donijeti slične? Dobivamo novu formulu:
a n = 3 + 2n.
Ovaj Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi izraz pet... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.
U problemima progresije postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" izraz progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n peti mandat dakle a n+1 bit će šesti član. itd.
Najčešće oznaka a n+1 nalaze u formulama ponavljanja. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako možemo odmah računati, recimo, dvadeseti mandat? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, ne možemo računati 20. To je temeljna razlika između rekurentne formule i formule n-tog člana. Ponavljajuće radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana je kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Bez izračunavanja cijelog niza brojeva po redu.
U aritmetičkoj progresiji lako je rekurentnu formulu pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. Takvi se zadaci često susreću u Državnoj akademiji znanosti.
Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.
Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:
Dana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.
Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodavati i dodavati... Sat-dva.)
A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Odlučimo.
Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje otkriti što je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:
Molim obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenimo sve brojeve u formulu i izračunamo:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je to. Isto tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, i tisuću treći, bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i brojimo.
Dopustite mi da vas podsjetim na poantu: ova vam formula omogućuje pronalaženje bilo kojičlan aritmetičke progresije PO NJEGOVOM BROJU" n" .
Riješimo problem na lukaviji način. Nailazimo na sljedeći problem:
Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.
Ako imate bilo kakvih poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju bilježnicu:
| a n = a 1 + (n-1)d |
I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji i sedamnaesti član... Je li to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...
Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ta “sitnica” često promakne pokraj glave i bez nje (bez “sitnice”, a ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako... i bez glave.)
Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
O da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamijenimo:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
To je uglavnom sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.
Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - velika je pomoć u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se možda uopće ne bi proučavala...
Još jedna popularna zagonetka:
Nađite razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.
Što radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Razmotrimo ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaknuti!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:
12=2 + (15-1)d
Mi radimo aritmetiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ovo je točan odgovor.
Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučio. Sve što ostaje je naučiti kako pronaći broj:
Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.
Zamijenimo nam poznate količine u formulu n-tog člana:
a n = 12 + (n-1) 3
Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije s brojem n...A mi znamo ovog člana progresije! 99 je. Ne znamo mu broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo član progresije 99 u formulu:
99 = 12 + (n-1) 3
Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.
A sada problem na istu temu, ali kreativniji):
Utvrdite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Napišimo formulu ponovno. Što, nema parametara? Hm... Zašto su nam dane oči?) Vidimo li prvi član progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 = -3,6. Razlika d Možete li reći iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Dakle, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još pozabaviti se nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali ovdje ni sami ne znamo... Što učiniti!? Pa, kako biti, kako biti ... Uključite svoje kreativne sposobnosti!)
Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. napišemo formulu (da, da!)) i zamijenimo naše brojeve:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:
Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. To je negdje između sto prvog i sto drugog termina. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.
Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:
Aritmetička progresija dana je uvjetom:
a n = -4 + 6,8n
Pronađite prvi i deseti član progresije.
Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.
Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri fatalno je pogrešno!) Budući da je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. U redu je, sada ćemo to pronaći.)
Kao iu prethodnim problemima, zamjenjujemo n=1 u ovu formulu:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!
Deseti član tražimo na isti način:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
To je to.
A sada, za one koji su pročitali ove retke, obećani bonus.)
Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji državnog ispita ili jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?
Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Nije jako strogo, ali je definitivno dovoljno za samopouzdanje i ispravnu odluku!) Da biste donijeli zaključak, dovoljno je sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati nekoliko minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.
Nacrtaj brojevnu crtu i na njoj označi prvu. drugi, treći itd. članova. I bilježimo razliku d između članova. Kao ovo:
Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:
a 2 =a 1 + 1 d
Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.
a 3 =a 1 + 2 d
shvaćate li Nisam uzalud neke riječi podebljao. U redu, još jedan korak).
Što je četvrti pojam? Četvrta pojam je prvi pojam plus tri d.
a 4 =a 1 + 3 d
Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, Stalno jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmaka htjeti n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete ubaciti sliku u jednadžbu...
Zadaci za samostalno rješavanje.
Zagrijati se:
1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Pronađite 3.
Hint: prema slici problem se može riješiti za 20 sekundi... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule, to je korisnije.) U Odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjeti razliku!)
I ovo više nije zagrijavanje.)
2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .
Što, ne želiš nacrtati sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...
3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.
U ovom zadatku, progresija je određena na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Nije svatko sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!
4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.
5. Prema uvjetima zadatka 4, pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.
6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.
Nije najlakši zadatak, da ...) Metoda "vrhom prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete pisati formule i rješavati jednadžbe.
Odgovori (u neredu):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Dogodilo se? Lijepo je!)
Ne ide sve? Događa se. Usput, postoji jedna suptilna točka u posljednjem zadatku. Prilikom čitanja problema bit će potreban oprez. I logika.
O rješenju svih ovih problema raspravlja se detaljno u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna točka za šesti, i opći pristupi za rješavanje bilo kojih problema koji uključuju formulu n-tog člana - sve je opisano. Preporučam.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Matematika ima svoju ljepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.
Ruski znanstvenik, mehaničar N.E. Žukovski
Vrlo česti problemi na prijemnom ispitu iz matematike su problemi vezani uz pojam aritmetičke progresije. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.
Prisjetimo se najprije osnovnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, vezano za ovaj koncept.
Definicija. Niz brojeva, u kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog istim brojem, naziva aritmetička progresija. U ovom slučaju brojnaziva razlika progresije.
Za aritmetičku progresiju vrijede sljedeće formule:
, (1)
Gdje . Formula (1) naziva se formulom općeg člana aritmetičke progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije podudara se s aritmetičkom sredinom svojih susjednih članova i .
Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetika".
Gornje formule (1) i (2) generaliziraju se kako slijedi:
(3)
Za izračun iznosa prvi uvjeti aritmetičke progresijeobično se koristi formula
(5) gdje je i .
Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda iz formule (5) slijedi
Ako označimo , tada
Gdje . Kako je , formule (7) i (8) su generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).
posebno, iz formule (5) slijedi, Što
Većini učenika malo je poznato svojstvo aritmetičke progresije, formulirano kroz sljedeći teorem.
Teorema. Ako tada
Dokaz. Ako tada
Teorem je dokazan.
Na primjer , pomoću teorema, može se pokazati da
Prijeđimo na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu "Aritmetička progresija".
Primjer 1. Neka bude. Pronaći .
Riješenje. Primjenom formule (6) dobivamo . Od i , tada ili .
Primjer 2. Neka bude tri puta veći, a kada se podijeli s kvocijentom, rezultat je 2, a ostatak je 8. Odredite i .
Riješenje. Iz uvjeta primjera slijedi sustav jednadžbi
Kako je , , i , tada iz sustava jednadžbi (10) dobivamo
Rješenje ovog sustava jednadžbi je i .
Primjer 3. Pronađite ako i .
Riješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobivamo .
Od i , Zatim iz jednakosti slijedi jednadžba ili .
Primjer 4. Pronađite ako.
Riješenje.Prema formuli (5) imamo
Međutim, korištenjem teorema možemo pisati
Odavde i iz formule (11) dobivamo .
Primjer 5. Dano: . Pronaći .
Riješenje. Od tad. Međutim, dakle.
Primjer 6. Neka , i . Pronaći .
Riješenje. Koristeći formulu (9), dobivamo . Stoga, ako je , tada ili .
Od i onda ovdje imamo sustav jednadžbi
Rješavajući koji, dobivamo i .
Prirodni korijen jednadžbe je .
Primjer 7. Pronađite ako i .
Riješenje. Kako prema formuli (3) imamo da , onda sustav jednadžbi slijedi iz uvjeta problema
Ako zamijenimo izrazu drugu jednadžbu sustava, tada dobivamo ili .
Korijeni kvadratne jednadžbe su i .
Razmotrimo dva slučaja.
1. Neka , zatim . Od i , onda .
U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo
2. Ako je , tada , i
Odgovor: i.
Primjer 8. Poznato je da i. Pronaći .
Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .
To podrazumijeva sustav jednadžbi
Ako pomnožimo prvu jednadžbu sustava s 2 i zatim je dodamo drugoj jednadžbi, dobit ćemo
Prema formuli (9) imamo. U tom smislu proizlazi iz (12. ili .
Od i , onda .
Odgovor: .
Primjer 9. Pronađite ako i .
Riješenje. Od , i pod uvjetom , onda ili .
Iz formule (5) poznato je, Što . Od tad.
Stoga , ovdje imamo sustav linearnih jednadžbi
Odavde dobivamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .
Primjer 10. Riješite jednadžbu.
Riješenje. Iz dane jednadžbe slijedi da je . Pretpostavimo da je , , i . U ovom slučaju .
Prema formuli (1) možemo napisati ili .
Budući da , tada jednadžba (13) ima jedini odgovarajući korijen .
Primjer 11. Pronađite najveću vrijednost pod uvjetom da i .
Riješenje. Budući da je , tada je razmatrana aritmetička progresija opadajuća. S tim u vezi, izraz poprima najveću vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.
Iskoristimo formulu (1) i činjenicu, to i . Tada dobivamo to ili .
Od , dakle ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zato .
Ako se vrijednosti , i zamijene u formulu (6), dobivamo .
Odgovor: .
Primjer 12. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva kojima pri dijeljenju s brojem 6 ostaje ostatak 5.
Riješenje. Označimo sa skup svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva, tj. . Zatim ćemo konstruirati podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se dijele s brojem 6, daju ostatak 5.
Jednostavan za postavljanje, Što . očito, da elementi skupaoblikuju aritmetičku progresiju, u kojem i .
Da bismo utvrdili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da je i , to slijedi iz formule (1) ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo .
Gornji primjeri rješavanja problema nikako se ne mogu smatrati iscrpnima. Ovaj je članak napisan na temelju analize suvremenih metoda rješavanja tipičnih problema na zadanu temu. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema povezanih s aritmetičkom progresijom, preporučljivo je pogledati popis preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike fakultetima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
3. Medynsky M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.
Još uvijek imate pitanja?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :) Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap-dokaz govori da još ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, onako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i prijeći ću odmah na stvar.
Prvo, nekoliko primjera. Pogledajmo nekoliko skupova brojeva:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.
Prosudite sami. Prvi skup su jednostavno uzastopni brojevi, svaki sljedeći je za jedan veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva je već pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju postoje svi korijeni. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. i u ovom slučaju svaki sljedeći element se jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).
Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se aritmetičke progresije. Dajmo strogu definiciju:
Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.
Notacija: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.
I samo par važnih napomena. Prvo, samo napredovanje se uzima u obzir naredio niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Brojevi se ne mogu preuređivati ili mijenjati.
Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako nešto napišete u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačan napredak. Elipsa nakon četiri kao da nagovještava da dolazi još dosta brojeva. Beskrajno mnogo, na primjer. :)
Također bih želio napomenuti da se progresije mogu povećavati ili smanjivati. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Dobro, dobro: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:
Definicija. Aritmetička progresija se naziva:
- raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
- opadajući ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.
Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).
Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:
- Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
- Ako je $d \lt 0$, tada je progresija očito opadajuća;
- Konačno, tu je i slučaj $d=0$ - u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.
Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije navedene gore. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. Izgledat će ovako:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Kao što vidimo, u sva tri slučaja razlika je zapravo bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.
Uvjeti progresije i formula recidiva
Budući da se elementi naših nizova ne mogu zamijeniti, mogu se numerirati:
\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]
Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovi progresije. Označeni su brojem: prvi član, drugi član itd.
Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Ova se formula naziva rekurentna, jer pomoću nje možete pronaći bilo koji broj samo poznavanjem prethodnog (i zapravo svih prethodnih). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi izraz i razliku:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]
Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama priručnika i knjiga rješenja. I u svakom razumnom udžbeniku matematike je jedan od prvih.
Ipak, predlažem da malo vježbate.
Zadatak br. 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.
Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Odgovor: (8; 3; −2)
To je sve! Imajte na umu: naš napredak se smanjuje.
Naravno, $n=1$ se ne može zamijeniti - prvi član nam je već poznat. Međutim, zamjenom jedinice uvjerili smo se da čak i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.
Zadatak br. 2. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njegov sedmi član jednak −40, a sedamnaesti član jednak −50.
Riješenje. Napišimo stanje problema poznatim terminima:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]
\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]
Stavio sam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. Sada primijetimo da ako oduzmemo prvu od druge jednadžbe (imamo pravo na to jer imamo sustav), dobivamo ovo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Tako je lako pronaći razliku u progresiji! Sve što preostaje je zamijeniti pronađeni broj u bilo koju od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]
Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Spreman! Problem je riješen.
Odgovor: (−34; −35; −36)
Primijetite zanimljivo svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku progresije pomnoženu s $n-m$ brojem:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]
Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo koje svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema napredovanja. Evo jasnog primjera za to:
Zadatak br. 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.
Riješenje. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, iz čega imamo:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Odgovor: 20.4
To je sve! Nismo trebali stvarati nikakve sustave jednadžbi i izračunavati prvi član i razliku - sve je riješeno u samo nekoliko redaka.
Sada pogledajmo drugu vrstu problema - traženje negativnih i pozitivnih uvjeta progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, a njen prvi član je negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.
U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "direktno" uzastopnim prolazom kroz elemente. Često su zadaci napisani tako da bi bez poznavanja formula izračuni oduzeli nekoliko listova papira – jednostavno bismo zaspali dok bismo pronašli odgovor. Stoga, pokušajmo te probleme riješiti na brži način.
Zadatak br. 4. Koliko ima negativnih članova u aritmetičkoj progresiji −38,5; −35,8; ...?
Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odakle odmah nalazimo razliku:
Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.
Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost članova:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Posljednji redak zahtijeva neko objašnjenje. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, zadovoljavamo se samo cjelobrojnim vrijednostima broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a ni u kojem slučaju 16 .
Zadatak br. 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.
Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da lako možemo pronaći razliku progresije:
Uz to, pokušajmo izraziti peti član kroz prvi i razliku koristeći standardnu formulu:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim zadatkom. Otkrijmo na kojem će se mjestu u našem nizu pojaviti pozitivni brojevi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednakosti je broj 56.
Napomena: u prošlom zadatku sve se svelo na strogu nejednakost, tako da nam opcija $n=55$ neće odgovarati.
Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, proučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)
Aritmetička sredina i jednaka uvlačenja
Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnoj crti:
Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcuPosebno sam označio proizvoljne pojmove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne neke $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, itd. Zato što pravilo o kojem ću vam sada govoriti djeluje isto za sve "segmente".
A pravilo je vrlo jednostavno. Prisjetimo se rekurentne formule i napišimo je za sve označene članove:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Pa što onda? I činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ na istoj udaljenosti koja je jednaka $2d$. Možemo nastaviti ad infinitum, ali značenje je dobro ilustrirano slikom
Članci progresije leže na istoj udaljenosti od središta Što to znači za nas? To znači da se $((a)_(n))$ može pronaći ako su poznati susjedni brojevi:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Izveli smo izvrsnu izjavu: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini svojih susjednih članova! Štoviše: možemo se odmaknuti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka - i formula će i dalje biti točna:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Oni. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi problemi posebno skrojeni za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:
Zadatak br. 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ za koje su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u naznačenom redoslijedu).
Riješenje. Budući da su ti brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti preko susjednih elemenata:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Rezultat je klasična kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.
Odgovor: −3; 2.
Zadatak br. 7. Pronađite vrijednosti $$ za koje brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).
Riješenje. Izrazimo opet srednji član kroz aritmetičku sredinu susjednih članova:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Opet kvadratna jednadžba. I opet postoje dva korijena: $x=6$ i $x=1$.
Odgovor: 1; 6.
Ako u procesu rješavanja problema dođete do nekih brutalnih brojeva ili niste posve sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasna tehnika koja vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?
Recimo da smo u zadatku br. 6 dobili odgovore −3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Dopustite mi da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji moraju činiti aritmetičku progresiju. Zamijenimo $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Dobili smo brojeve −54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi problem, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.
Općenito, rješavajući posljednje probleme, naišli smo na još jednu zanimljivost koju također treba zapamtiti:
Ako su tri broja takva da je drugi aritmetička sredina prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.
U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu “konstrukciju”, valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz onoga o čemu je već bilo riječi.
Grupiranje i zbrajanje elemenata
Vratimo se ponovno na brojčanu os. Zabilježimo ondje nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:
Na brojevnoj crti označeno je 6 elemenataPokušajmo izraziti “lijevi rep” kroz $((a)_(n))$ i $d$, a “desni rep” kroz $((a)_(k))$ i $d$. Vrlo je jednostavno:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Imajte na umu da su sljedeći iznosi jednaki:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim počnemo koračati od tih elemenata u suprotnim smjerovima (jedni prema drugima ili obrnuto da se udaljavaju), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se može najjasnije grafički prikazati:
Jednaka udubljenja daju jednake količine Razumijevanje ove činjenice omogućit će nam rješavanje problema temeljno više razine složenosti od onih koje smo razmatrali gore. Na primjer, ove:
Zadatak br. 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.
Riješenje. Zapišimo sve što znamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo će se rješenje izgraditi oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]
Za one u spremniku: izbacio sam ukupni množitelj od 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer ako proširimo zagrade, dobivamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Kao što vidite, koeficijent najvećeg člana je 11 - to je pozitivan broj, tako da imamo posla s parabolom s granama prema gore:
graf kvadratne funkcije – parabole
Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati koristeći standardnu shemu (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije napomenuti da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, stoga je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Zato se nisam posebno žurio s otvaranjem zagrada: u izvornom obliku korijene je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Što nam daje otkriveni broj? S njim traženi proizvod poprima najmanju vrijednost (usput, nikada nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne traži). Ujedno, ovaj broj je razlika izvorne progresije, tj. našli smo odgovor. :)
Odgovor: −36
Zadatak br. 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju.
Riješenje. U suštini, moramo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i zadnji broj već poznati. Označimo brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:
\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]
Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako trenutno ne možemo dobiti $y$ iz brojeva $x$ i $z$, onda je drugačija situacija s krajevima progresije. Sjetimo se aritmetičke sredine:
Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ koje smo upravo pronašli. Zato
Koristeći slično zaključivanje, nalazimo preostali broj:
Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Napišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.
Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Zadatak br. 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako znaš da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg umetnutog broja 56.
Riješenje. Još složeniji problem, koji se, međutim, rješava prema istoj shemi kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva treba umetnuti. Stoga pretpostavimo za određenost da će nakon uvrštavanja svega biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a zadnji 42. U tom slučaju tražena aritmetička progresija može se prikazati u obliku:
\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 na rubovima jednim korakom jedan prema drugom, tj. u središte niza. A ovo znači to
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ali tada se gore napisani izraz može prepisati na sljedeći način:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]
Sve što preostaje je pronaći preostale članove:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Riječni problemi s progresijama
Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa, jednostavno: za većinu učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi problemi mogu izgledati teški. Ipak, ovo su vrste problema koji se pojavljuju u OGE i Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.
Zadatak br. 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je dijelova tim proizveo u studenom?
Riješenje. Očito će broj dijelova navedenih po mjesecima predstavljati rastuću aritmetičku progresiju. Štoviše:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Stoga će u studenom biti proizvedena 202 dijela.
Zadatak br.12. Knjigoveška radionica je u siječnju ukoričila 216 knjiga, au svakom sljedećem mjesecu uvezala je 4 knjige više nego u prethodnom mjesecu. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?
Riješenje. Sve isto:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$
Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.
Pa, ako ste dovde pročitali, žurim vam čestitati: uspješno ste završili “tečaj za mladog borca” u aritmetičkim progresijama. Možete sigurno prijeći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučiti formulu za zbroj progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.
