Szinte minden vezérlőrendszer szigorúan véve nemlineáris, azaz. nemlineáris egyenletekkel írjuk le. A lineáris vezérlőrendszerek azok lineáris modelljei, amelyeket hagyományos linearizálással kapnak - linearizálással, amely a nemlineáris függvények Taylor sorozattá történő kiterjesztésével és a nemlineáris kifejezések elvetésével áll. Az ilyen linearizálás azonban nem mindig lehetséges. Ha a nemlinearitás megengedi a szokásos linearizációt, akkor az ilyen nemlinearitást lényegtelennek nevezzük. Ellenkező esetben a nemlinearitást szignifikánsnak mondják. Mindenféle reléelemnek jelentős nemlinearitása van. Még azokban az esetekben is, amikor lehetséges a hagyományos linearizálás, gyakran szükséges lehet az eredeti nemlineáris modell figyelembevétele a vizsgálat utolsó szakaszában.
A nemlineáris automatikus vezérlőrendszer olyan rendszer, amely legalább egy nemlineáris egyenlettel leírt kapcsolatot tartalmaz.
A nemlineáris linkek típusai:
relé típusú kapcsolat;
link darabonként lineáris karakterisztikával;
tetszőleges alakzat görbe vonalú karakterisztikájú kapcsolata;
link, amelynek egyenlete változók vagy származékaik és egyéb kombinációik szorzatát tartalmazza;
nemlineáris kapcsolat késleltetéssel;
nemlineáris impulzuskapcsolat;
logikai kapcsolat;
szakaszonként lineáris vezérlőrendszerek által leírt kapcsolatok, beleértve a változó szerkezetűeket is.
ábrán. A 2.1 különböző típusú relék jellemzőit mutatja be:
ideális relé jellemzői (a);
holtzónával rendelkező relé jellemzői (b);
hiszterézises relé jellemzői (c);
holtzónával és hiszterézissel rendelkező relé jellemzői (g);
kvantálási karakterisztikája szint szerint (d).
ábrán. A 2.2 darabonkénti lineáris jellemzőket mutat be:
darabonként lineáris karakterisztika telítéssel (a);
darabonként lineáris karakterisztika holt zónával és telítéssel (b)
darabonként lineáris karakterisztika holtzónával (c);
holtjáték (hátrányos kapcsolat jellemzője) (g);
dióda karakterisztika (d);
darabonként lineáris karakterisztika hiszterézissel és telítéssel (e).
Vannak statikus és dinamikus nemlinearitások. Az előbbieket nemlineáris statikus jellemzők, az utóbbiakat nemlineáris differenciálegyenletek formájában mutatjuk be.
A szabályozó szerv meghajtásának, legyen az bármilyen (elektromos, hidraulikus vagy pneumatikus), először mindig van egy holtzónája az origónál; másodszor a telítettségi zóna a széleken. Ezenkívül hiszterézis is előfordulhat. Vannak állandó sebességű hajtások is a relé típusú kapcsolatokhoz.
A holt zónát az fejezi ki, hogy a motornak van egy bizonyos minimális indítóárama, aminek eléréséig a motor áll.
HISZTERÉZIS (a görög hiszterézisből - késés, késés), egy jelenség, amely abban áll, hogy a fizikai. egy test állapotát jellemző mennyiség (például mágnesezettség) kétértelműen függ a fizikai tulajdonságoktól. külső körülményeket (például mágneses mezőt) jellemző mennyiség. G. olyan esetekben figyelhető meg, amikor a test állapotát egy adott pillanatban külső körülmények határozzák meg nemcsak egy időben, hanem az előző időpontokban is. A mennyiségek kétértelmű függése minden folyamatban megfigyelhető, hiszen a test állapotának megváltoztatásához mindig kell egy bizonyos idő (relaxációs idő), és a szervezet reakciója elmarad az azt kiváltó okoktól.
A nemlineáris rendszereknek számos alapvető jellemzője van a lineárisokhoz képest. Ezek a jellemzők különösen a következők:
A szuperpozíció elve nem állja meg a helyét, és egy nemlineáris rendszer több hatás alatti vizsgálata nem redukálható egy hatás alatti vizsgálatra;
Az átmeneti folyamat stabilitása és jellege az egyensúlyi helyzettől való kezdeti eltérés nagyságától függ;
Rögzített külső hatások hatására több (és néha végtelen számú) egyensúlyi helyzet lehetséges;
Olyan szabad stacionárius folyamatok keletkeznek, amelyek lineáris rendszerekben lehetetlenek (például önrezgések).
Nincsenek univerzális analitikai (matematikai) módszerek a nemlineáris rendszerek tanulmányozására. Az automatikus vezérlés elméletének fejlesztése során különféle matematikai módszereket fejlesztettek ki a nemlineáris rendszerek elemzésére és szintézisére, amelyek mindegyike a rendszerek és problémák egy bizonyos osztályára alkalmazható. A nemlineáris rendszerek tanulmányozására a legszélesebb körben használt módszerek a következők:
Fázissík módszer;
Ljapunov-függvény módszer;
Harmonikus linearizációs módszer (harmonikus egyensúly módszer);
Az abszolút stabilitás vizsgálatának módszerei.
A többé-kevésbé bonyolult nemlineáris rendszerek bármely vizsgálata általában matematikai modellezéssel végződik. És ebből a szempontból a matematikai modellezés az egyik univerzális (nem analitikus) kutatási módszer.
Fázissík
Ha a vezérlőrendszer egyenleteit normál formában adjuk meg, akkor a rendszer állapotvektora egyértelműen meghatározza annak állapotát. A rendszer minden állapota az állapottérben egy pontnak felel meg. A rendszer aktuális állapotának megfelelő pontot reprezentációs pontnak nevezzük. Amikor az állapot megváltozik, a reprezentáló pont egy pályát ír le. Ezt a pályát fázispályának nevezzük. Az összes lehetséges kezdeti feltételnek megfelelő fázispályák halmazát fázisportrénak nevezzük.
Kétdimenziós fázistér esetén a fázispálya és a fázisportré vizuálisan ábrázolható. A kétdimenziós fázisteret fázissíknak nevezzük.
A fázissík egy olyan koordinátasík, amelyen a koordinátatengelyek mentén két változó (fáziskoordináta) van ábrázolva, amelyek egyértelműen meghatározzák a másodrendű rendszer állapotát.
A fázisportré felépítésén alapuló vezérlőrendszer elemzési és szintézis módszerét fázissík módszernek nevezzük.
A fázisportréból meg lehet ítélni a tranziens folyamatok természetét. Különösen a fázispálya használatával minőségi időkarakterisztikát készíthet számítások nélkül - x-idő görbét, és fordítva, az időkarakterisztikával minőségileg megszerkeszthet egy fázispályát.
Példaként először egy időkarakterisztikát készítünk a fázispálya segítségével, majd az időkarakterisztika felhasználásával készítünk fázispályát. Legyen adott a fázispálya (2.4. ábra, a).
Miután megjelöltük rajta a karakterisztikus pontokat (a kezdőpontot, a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat), a megfelelő pontokat az ideiglenes síkon ábrázoljuk és egy sima görbével összekötjük (2.4. ábra, b).
Adjuk meg most az időkarakterisztikát (2.5. ábra, a). Jellemző pontok (a kezdőpont, szélsőpontok és az időtengellyel való metszéspontok) megjelölése után a megfelelő pontokat a fázissíkon ábrázoljuk és sima görbével összekötjük.
(2.5.,6. ábra).
A nemlineáris rendszerek fázisportréi tartalmazhatnak egyfajta speciális görbét - elszigetelt zárt pályákat. Ezeket a görbéket ún limit ciklusok. Ha belülről és kívülről a fázispályák a határciklushoz konvergálnak (2.8. ábra, a),
akkor az ilyen határciklust stabil határciklusnak nevezzük. A stabil határciklus aszimptotikusan orbitálisan stabil periodikus mozgásnak (önoszcillációnak) felel meg.
Ha a határcikluson belüli és kívüli fázispályák eltávolodnak tőle (2.8,6. ábra), akkor az ilyen határciklust instabil határciklusnak nevezzük. Egy instabil határciklusnak megfelelő periodikus folyamat nem figyelhető meg.
Ha a mozgás egy ilyen határcikluson belül kezdődik, akkor a folyamat egyensúlyi helyzetbe konvergál. Ha a mozgás egy ilyen határcikluson kívül kezdődik, akkor a folyamat eltér. Egy instabil határciklus szolgál a vonzási tartomány határaként, vagy az egyensúlyi helyzet (eredet) stabilitásának határaként.
Két határciklus lehetséges (2.8. ábra, c, d). belső elő-
ábra határciklusa. 2.8, in stabil, és ennek megfelelnek az önrezgések, a külső határciklus pedig instabil, és az önrezgések tartományának határa: önrezgés minden olyan kezdeti eltérésnél jelentkezik, amely nem haladja meg a külső határciklust .
A külső határciklus az ábrán. 2.8, d stabil és önrezgéseknek felel meg, a belső határciklus pedig instabil, és az egyensúlyi helyzet vonzáskörzetének határa. Egy ilyen fázisportréval rendelkező rendszerben önrezgések keletkeznek, ha a rendszer kellően eltér az egyensúlyi helyzettől - ez az eltérés meghaladja a belső határciklust. Ha a rendszer instabil határcikluson belül mozog, akkor megközelíti az egyensúlyi helyzetet.
Harmonikus linearizációs módszer
A harmonikus linearizációs módszert vagy a harmonikus egyensúly módszerét eredetileg a periodikus feltételek tanulmányozására fejlesztették ki. Később azonban nemlineáris rendszerek stabilitáselemzésére és szintézisére is elkezdték használni.
A módszer fő gondolata a következő. A vezérelt rendszerek (objektumok) általában egy aluláteresztő szűrő tulajdonsággal rendelkeznek: periodikus üzemmódok esetén nem, vagy nagyobb csillapítással továbbítják a második és magasabb harmonikusokat. A harmonikus linearizációs módszer lényege pedig egy nemlineáris kapcsolat leírása egy lineáris egyenlettel, amelyet a nemlineáris függvény kiterjesztésében a jelzett harmonikusok figyelmen kívül hagyásával (elvetésével) kapunk egy Fourier-sorban.
A harmonikus linearizációs módszer közelítő módszer. Előnye azonban, hogy bármilyen rendű rendszerre alkalmazható, ellentétben a fázissík módszerrel, amely csak másodrendű rendszereknél alkalmazható hatékonyan.
Goldfarb-módszer (módszer a szimmetrikus önrezgések tanulmányozására)
Ljapunov-függvény módszer
A Ljapunov-függvény konstrukcióján alapuló kutatási módszert, ezen belül a közvetlen Ljapunov-módszert, a Ljapunov-függvények módszerének kezdték nevezni.
Az abszolút stabilitás vizsgálatának módszere
Az abszolút stabilitás problémájával először A. I. Lurie foglalkozott, és néha Lurie-problémának is nevezik. Kidolgozott egy módszert a probléma megoldására, amely a Ljapunov-függvény konstrukcióján alapul. 1961-ben román tudós V.M. Popov publikált egy tanulmányt, amelyben felvázolta a probléma megoldásának gyakorisági módszerét. Ez nagy mennyiségű munkát eredményezett ebben az irányban.
A feladatokhoz:
Az átmeneti folyamat és a fázisportré kapcsolata:
(Besekersky-Popov 595. o. sok minden)
A nemlinearitások jelenléte a vezérlőrendszerekben ahhoz vezet, hogy egy ilyen rendszert nemlineáris differenciálegyenletekkel írnak le, gyakran meglehetősen magas rendűek. Mint ismeretes, a nemlineáris egyenletcsoportok többsége nem oldható meg általános formában, és csak speciális megoldási esetekről lehet beszélni, ezért a nemlineáris rendszerek vizsgálatában fontos szerepet kapnak a különféle közelítő módszerek.
A nemlineáris rendszerek tanulmányozásának közelítő módszereit használva általában lehetetlen a rendszer összes dinamikus tulajdonságának kellően teljes megértése. Segítségükkel azonban számos egyedi lényeges kérdés megválaszolása lehetséges, mint például a stabilitás kérdése, az önrezgések jelenléte, az egyes módok természete stb.
Jelenleg nagyon sok különböző analitikai és gráf-analitikai módszer létezik a nemlineáris rendszerek tanulmányozására, amelyek közül kiemelhetjük a fázissík, illesztés, ponttranszformációk, harmonikus linearizálás módszereit, Ljapunov direkt módszerét, frekvenciamódszereit az abszolútum vizsgálatára. Popov stabilitása, nemlineáris rendszerek tanulmányozásának módszerei elektronikus modelleken és számítógépeken.
Néhány felsorolt módszer rövid leírása.
A fázissík módszer pontos, de korlátozottan alkalmazható, mivel gyakorlatilag nem alkalmazható olyan vezérlőrendszereknél, amelyek leírása nem szűkíthető le másodrendű vezérlésekre.
A harmonikus linearizációs módszer egy közelítő módszer, amely nem korlátozza a differenciálegyenletek sorrendjét. A módszer alkalmazásakor feltételezzük, hogy a rendszer kimenetén harmonikus rezgések vannak, és a vezérlőrendszer lineáris része egy felüláteresztő szűrő. A jelek rendszer lineáris része általi gyenge szűrése esetén a harmonikus linearizációs módszer alkalmazásakor figyelembe kell venni a magasabb harmonikusokat. Ugyanakkor a nemlineáris rendszerek szabályozási folyamatai stabilitásának és minőségének elemzése bonyolultabbá válik.
A második Ljapunov-módszer lehetővé teszi, hogy csak elegendő feltételeket kapjunk a stabilitáshoz. És ha ennek alapján megállapítják a vezérlőrendszer instabilitását, akkor számos esetben a kapott eredmény helyességének ellenőrzéséhez ki kell cserélni a Lyapunov-függvényt egy másikra, és újra el kell végezni a stabilitáselemzést. Ezenkívül nincsenek általános módszerek a Ljapunov-függvény meghatározására, ami megnehezíti a módszer gyakorlati alkalmazását.
Az abszolút stabilitási kritérium lehetővé teszi a nemlineáris rendszerek stabilitásának elemzését frekvenciakarakterisztikák segítségével, ami ennek a módszernek a nagy előnye, mivel a lineáris és nemlineáris rendszerek matematikai berendezését egyetlen egésszé egyesíti. Ennek a módszernek a hátrányai közé tartozik a számítások bonyolultsága az instabil lineáris résszel rendelkező rendszerek stabilitásának elemzésekor. Ezért a nemlineáris rendszerek stabilitására vonatkozó helyes eredmény eléréséhez különféle módszereket kell alkalmazni. És csak a különböző eredmények egybeesése teszi lehetővé, hogy elkerüljük a téves ítéleteket a tervezett automatikus vezérlőrendszer stabilitásával vagy instabilitásával kapcsolatban.
Stabilitási kritérium Popova V.M.
(román tudós)
Ez egy frekvencia módszer egy NL ACS stabilitásának tanulmányozására, egyértelmű nemlinearitással, amely kielégíti a feltételt
Figyelembe kell venni az egyensúlyi helyzet stabilitását
Elegendő feltételek abszolút stabilitás Az ilyen rendszereket V. M. Popov.
1. Bemutatjuk az átviteli függvényt
Feltételezhető, hogy 
aszimptotikusan stabil rendszernek felel meg (bármelyik stabilitási kritériummal ellenőrizve).
2. Frekvenciaválasz található 
.
3. Megszerkesztjük a módosított frekvenciamenetet 
,
amelyet a reláció határoz meg
Újra
=Re 
,
Im
=
.
4.A komplex síkon felépítve 
.
Popov kritérium:
Ha egy ponton keresztül 
a valós tengelyen egyenes vonal húzható úgy, hogy a módosított AFC 
ennek az egyenesnek az egyik oldalán feküdt, majd egy zárt NL önjáró löveg teljesen stabil lesz.
Példa. Vizsgálja meg az NL önjáró lövegek abszolút stabilitását az 1. ábra blokkvázlatával, ha
Mivel minden 
a 2. rendű karakterisztikus egyenletben nagyobb nullánál, akkor 
- aszimptotikusan stabil, ezért a Popov-féle stabilitási kritérium (1) feltétele teljesül.
Újra
=Re 
=
Im
=
Im
=
Egy AFFC-t építünk 
.
Aszimptotikus stabilitás egy speciális formához
nemlineáris jellemzők
1. Kétértelmű nemlineáris karakterisztika
A nyugalmi állapot teljesen stabil lesz, ha
1.
aszimptotikusan stabil rendszernek felel meg.
2.
2. Relé karakterisztikával rendelkező rendszer
r=0 . Ez a fentebb tárgyalt jellemző speciális esete.
Elegendő feltétel az abszolút stabilitáshoz – a feltétel helyett (2)
3. A relé típusának nemlinearitása
1.
- tünetmentesen stabil.
2.Im 
Abszolút folyamatstabilitás
Tekintsük most nem a stabilizáló rendszerek stabilitását (névleges üzemmód - nyugalmi állapot), hanem azt az esetet, amikor a névleges üzemmódot a bemeneti jel jellemzi 
és kimeneti jel 
, amelyek korlátozott folyamatos az idő függvényei.
Feltételezzük, hogy a nemlineáris elem alakja van 
, Ahol 
egy folyamatos egyértékű függvény, amely kielégíti a feltételt
azok. a nemlineáris karakterisztika változási sebessége korlátozott. Ez egy meglehetősen szigorú feltétel.
Ebben az esetben a korlátozott folyamat abszolút stabilitásának biztosítása érdekében 
,
elég a feltételek teljesüléséhez6
1.
- tünetmentesen stabil volt.
2.
.
Abban a speciális esetben, amikor r=0
vagy 
A Popov-féle elképzelések kifejlődésével kapcsolatos elmélet még nem teljes, itt újabb, erősebb eredmények születnek. Az ilyen eddigi eredmények összefoglalása Naumov „Nonlinear Automatic Control Systems” című könyvében érhető el.
Hozzávetőleges módszerek a nemlineáris automata vezérlőrendszerek tanulmányozásához
Harmonikus egyensúly módszer
Az NL ACS tanulmányozása során néha megfigyelhető a kimeneti érték periodikus változása y(t)
még olyan esetekben is, amikor 
Ha az önjáró fegyverek tanulmányozása során arra korlátozzuk magunkat lineáris konstans együtthatós modellt, akkor a jelzett jelenség (természetes oszcillációk) csak akkor fordulhat elő, ha a karakterisztikus egyenletben tisztán képzeletbeli gyökerek vannak. 
.
Ezzel a magyarázattal azonban a rendszer paramétereinek kismértékű megváltoztatása a gyökeret a képzeletbeli tengelyről balra vagy jobbra „eltolja”, és a természetes oszcillációk vagy csillapodnak, vagy kilengenek. A gyakorlatban a nemlineáris rendszerekben a kimeneti jel periodikus rezgései a rendszerparaméterek kis változásai mellett megmaradnak.
Az ilyen csillapítatlan rezgéseket a rendszer nemlineáris jellege magyarázza. Ezeket önoszcillációnak nevezik.
Fontolja meg a módszert harmonikus egyensúly, amely lehetővé teszi az önrezgések meglétének vagy hiányának meghatározását a lineáris rész fázis-frekvencia válaszának kölcsönös áramlása és a nemlineáris elem jellemzői alapján.
Tekintsünk egy egyhurkos rendszert, amelyben egy nemlineáris elemet azonosítunk
(1)
és lineáris rész átviteli funkcióval 
.
Feltételezett:
1.
stabil rendszernek felel meg,
2. nemlineáris karakterisztika 
- páratlan szimmetrikus, azaz.
,
3.bemeneti jel 
, azaz Ez egy stabilizáló rendszer.
Megkeressük a kimeneti jelet y(t) mint
,
(2)
Ahol 
- az önrezgések amplitúdója,
- az önrezgések gyakorisága.
És 
meg kell határozni.
Szinuszos hipotézis y(t) önkényesnek tűnik. Azonban további feltételeket fognak adni, amelyek mellett ez a hipotézis természetessé válik.
Mert a 
,(3)
Hagyjuk a jelet 
szekvenciálisan a nemlineáris elemen és a lineáris részen keresztül, és keressen egyenleteket, amelyekből meg lehet határozni az amplitúdót 
és gyakorisága 
önrezgések NL önjáró lövegekben.
Végigjátszás 
lineáris elemen keresztül
Mert
-
periodikus függvény, majd a jel
a nemlineáris kimenetén
elem
szintén periodikus függvény lesz, de különbözik a szinuszhullámtól.
Hatótávolság 
Hatótávolság 
Mint ismeretes, bármely periodikus függvény ábrázolható Fourier-sorral:
(4)
Feltételezzük, hogy a (4) képletben a szabad tag nulla. Erre például akkor kerül sor, ha egy nemlineáris elem jellemzője kielégíti a feltételt
, azaz ez egy páratlan függvény.
Itt a Fourier-együtthatók 
És 
meghatározzák:
,
(5)
Alakítsuk át a (4)-et úgy, hogy a jobb oldalon lévő tagokat megszorozzuk és elosztjuk 
(6)
.
Hadd emlékeztessük erre
(8)
Így a jel áthaladásakor 
egy nemlineáris elemen keresztül a nemlineáris elem kimenetén van egy jel 
sok harmonikust tartalmaz, amelyek többszörösei 
. (lásd a fenti képet).
Signal Flow 
a lineáris részen keresztül
A lineáris rendszerek elméletéből tudjuk, hogy ha egy lineáris kapcsolat bemenete átviteli függvénnyel 
stabil rendszernek megfelelő harmonikus jelet adnak, ennek a kapcsolatnak a kimenetén lesz egy jel.
Itt 
- frekvencia válasz modul 
azon a ponton 
,
érv 
.
Ezeket a relációkat felhasználva felírhatjuk a kifejezéseket 
, külön-külön áthaladva a lineáris részen a (8) sorozat összes összetevőjét, majd összegezve a kapott kifejezéseket 
A rendszer linearitása miatt az ilyen eljárás legális.
Megkapjuk, feltételezve 
:
Az eredményül kapott kifejezés (9) for 
meglehetősen összetett szerkezetű. Használata jelentősen leegyszerűsíthető szűrő hipotézis.
A tipikus elemi egységek frekvenciakarakterisztikáját vizsgálva azt láttuk, hogy frekvenciaválaszuk nullára hajlik 
A szűrő hipotézise az, hogy a (9) jobb oldalán lévő frekvenciaválasz a frekvencia növekedésével olyan gyorsan csökken, hogy a (9)-ben csak az első tagot lehet figyelembe venni, k=1, és a többi kifejezést elhanyagolhatónak tekinti. Más szóval, a szűrő hipotézis az a hipotézis, hogy az ACS lineáris része gyakorlatilag nem engedi át a nagyfrekvenciás oszcillációkat. Ezért a (9) képlet (és ez a módszer közelítése) a következőképpen egyszerűsödik:
Így a rendszer lezárásakor a szűrő hipotézis feltételezése mellett harmonikus egyensúlyt kapunk (innen ered a módszer neve - harmonikus egyensúly módszer)
Nézzük meg, hogyan kell használni módszer harmonikus egyensúly határozza meg az amplitúdót Aés gyakorisága 
önrezgések.
Mutassuk be a fogalmat egy nemlineáris elem ekvivalens átviteli függvénye:
(11)
Ha 
(és ez egyértelmű szimmetrikus nemlineáris karakterisztikával történik), akkor
(12)
A zárt ACS karakterisztikus egyenlete (1. ábra) a következő:
vagy frekvenciaválasz
(13)
(14)
Képzeljük el
Ekkor a (14) egyenlet átíródik:
=
(17)
A (14) vagy (17) egyenlőség az önrezgések paramétereinek meghatározására szolgáló gráf-analitikai módszer alapja. AÉs 
.
A lineáris rész fázis-frekvencia válaszát a komplex síkon konstruáljuk meg
és a nemlineáris elem jellemzői
Ha a görbék metszik egymást, akkor az ACS-ben önrezgések léteznek.
Az önrezgések gyakorisága a görbék metszéspontjában 
, és az amplitúdó a szerint 
.
Nézzük meg közelebbről a kiválasztott területet
Ismerjük a görbék metszéspontjához legközelebb eső pontok amplitúdóját és frekvenciáját. Az amplitúdó és a frekvencia a metszéspontban meghatározható például úgy, hogy a szakaszt kettéosztjuk.
Harmonikus linearizációs módszer
Ez egy nagyon hatékony közelítő módszer az NL ACS periodikus oszcillációinak meghatározására.
A nemlinearitás harmonikus linearizálásának módszerének alkalmazásához teljesíteni kell a következő követelményt: a lineáris résznek szűrőtulajdonságokkal kell rendelkeznie, pl. nem engedheti át a magas frekvenciákat.
A gyakorlatban ez a követelmény általában teljesül.
Legyen egy nemlineáris elem
(1)
Hadd 
(2)
Akkor 
(3)
Bővítsük ki (1) egy Fourier-sort:
Emlékezzünk vissza, hogy a nemlineáris függvény F(x) , Fourier-sorozattá bővítve, a következőképpen alakul:
,
,
,
Ekkor a nemlinearitásunk Fourier-sora így fog kinézni:
++magasabb harmonikusok (4)
Tegyünk egy állandó komponenst 
A (2) egyenletből: 
A (3) egyenletből: 
Ekkor a (4) egyenlet átírható:
,
Az (5) egyenletben figyelmen kívül hagyjuk a magas frekvenciákat, és ez a módszer közelítése.
Így a nemlineáris elem at 
helyébe linearizált kifejezés (5), amely a lineáris részszűrő hipotézis teljesülésekor a következő alakot ölti:
(6)
Ezt az eljárást harmonikus linearizálásnak nevezzük.
Esély 
És 
nál nél állandó aÉs 
. Dinamikus módban, amikor változnak AÉs 
, együtthatók 
És 
meg fog változni. Ez a különbség a harmonikus linearizálás és a hagyományos linearizálás között. (Hagyományos linearizálással a linearizált egyenlet együtthatója NAK NEK a linearizációs ponttól függ). A linearizációs együtthatók függése a AÉs 
lehetővé teszi a lineáris rendszerek tanulmányozására szolgáló módszerek alkalmazását az NL ACS-re (6) és az NL ACS azon tulajdonságainak elemzését, amelyek a hagyományos linearizálással nem mutathatók ki.
Harmonikus linearizációs együtthatók
néhány tipikus nemlinearitás
Relé karakterisztikája
2. Relé karakterisztika holt zónával
,
Oszcillációs amplitúdó 
3. Relé karakterisztika hiszterézis hurokkal
,
,
4. Relé karakterisztika holt zónával és hiszterézis hurokkal
,
Most vegyünk egy zárt rendszert.
,
Bevezethetjük a nemlineáris elem átviteli függvényének fogalmát
,
.
Ekkor a zárt ACS karakterisztikus egyenlete:
,
vagy
Ha egy zárt rendszerben állandó amplitúdójú és frekvenciájú természetes csillapítatlan rezgések lépnek fel, a harmonikus linearizációs együtthatók állandóvá, az automatikus vezérlőrendszer pedig lineárissá válik. Egy lineáris rendszerben pedig a periodikus csillapítatlan rezgések jelenléte tisztán képzeletbeli gyökerek jelenlétét jelzi.
Így meghatározni időszakos megoldásokat kell behelyettesíteni a karakterisztikus egyenletbe 
. Itt 
- áramfrekvencia, és 
- az önrezgések gyakorisága.
Az ismeretlenek ebben az egyenletben 
És 
.
Ebben az egyenletben különítsük el a valós és a képzeletbeli részeket.
Vezessük be a kívánt periodikus megoldás frekvenciájának és amplitúdójának jelölését: 
,
.
Két egyenletet kapunk két ismeretlennel.
Ezeket az egyenleteket megoldva azt találjuk 
És 
- periodikus megoldások amplitúdója és frekvenciája az NL ACS-ben.
Ezen egyenletek segítségével meghatározhatja nemcsak 
És 
, hanem függőséget is épít 
És 
például az ACS nyereségéből NAK NEK.
Aztán figyelembe véve NAK NEK változókat írunk:
Csodálkozó NAK NEK, találunk 
És 
, azaz 
És 
Lehet választani NAK NEK szóval azt
1.
nem lenne elég
2.
ártalmatlan lenne az önjáró fegyverekre,
3. nem lennének önrezgések.
Ugyanazokat az egyenleteket használva két paraméter síkján lehetséges (pl. TÉs NAK NEK) az önrezgések amplitúdójának és frekvenciájának egyenlő értékű vonalait szerkeszteni. Erre az egyenletre átírjuk:
Számértékek megadása 
, kapunk 
És 
Ezekből a grafikonokból választhat TÉs NAK NEK.
Megoldások stabilitásának meghatározása nemlineáris automata vezérlőrendszerekben
Az NL ACS önoszcillációinak meg kell felelniük a stabil periodikus megoldásoknak. Ezért az amplitúdó megtalálása után 
és a frekvenciák 
időszakos megoldásokat, meg kell vizsgálni a stabilitást.
Tekintsünk egy közelítő módszert a periodikus oldatok stabilitásának tanulmányozására NL ACS-ben Mikhailov hodográf segítségével.
Legyenek NL önjáró fegyverek
,
.
- harmonikus linearizációs módszerrel kapott.
Zárt rendszer jellemző egyenlete
Írjuk fel a jelleggörbe egyenletét (Mihajlov-hodográf), amit behelyettesítünk 
.
- aktuális frekvencia értéke a Mihajlov-hodográf mentén,
- harmonikus linearizáció (önrezgések) frekvenciája.
Akkor minden adott állandó
És 
a Mihajlov-görbe ugyanolyan alakú lesz, mint a közönséges lineáris rendszerek esetében.
Az időszakos megoldásokhoz megfelelő 
És 
, Mihajlov hodográfja átmegy a koordináták origóján (mivel a rendszer a stabilitási határon van).
A periodikus megoldások stabilitásának meghatározására megadjuk 
növekedés 
Én Kövér 
a Mihajlov-görbe az 1-es pozícióba kerül, és mikor
- 2. pozíció, akkor a periodikus megoldás stabil.
Én Kövér 
a görbe 2-es pozícióba kerül, és mikor 
- 1. pozíció, akkor a periodikus megoldás instabil.
"Az automatikus vezérlés elmélete"
"Nemlineáris rendszerek tanulmányozásának módszerei"
1. Differenciálegyenletek módszere
Egy zárt, n-edrendű nemlineáris rendszer differenciálegyenlete (1. ábra) átalakítható egy elsőrendű n-differenciálegyenlet-rendszerre a következő formában:
ahol: – a rendszer viselkedését jellemző változók (egyikük lehet szabályozott változó); – nemlineáris függvények; u – befolyás beállítása.
Ezeket az egyenleteket általában véges különbségekkel írják fel:
hol vannak a kezdeti feltételek.
Ha az eltérések nem nagyok, akkor ez a rendszer algebrai egyenletrendszerként is megoldható. A megoldás grafikusan ábrázolható.
2. Fázistér módszer
Tekintsük azt az esetet, amikor a külső hatás nulla (U = 0).
A rendszer mozgását koordinátáinak változása határozza meg - az idő függvényében. Az értékek bármikor jellemzik a rendszer állapotát (fázisát), és meghatározzák az n-tengelyű rendszer koordinátáit, és valamilyen (megjelenítő) M pont koordinátáiként ábrázolhatók (2. ábra).
A fázistér a rendszer koordináta tere.
A t idő változásával az M pont egy fázispályának nevezett pályán mozog. Ha megváltoztatjuk a kezdeti feltételeket, akkor fázisportrénak nevezett fázispályák családját kapjuk. A fázisportré határozza meg az átmeneti folyamat természetét egy nemlineáris rendszerben. A fázisportrénak vannak speciális pontjai, ahová a rendszer fázispályái hajlanak vagy távolodnak (több is lehet).
A fázisportré zárt fázispályákat tartalmazhat, amelyeket határciklusoknak nevezünk. A határciklusok jellemzik a rendszer önrezgését. A fázispályák sehol nem metszik egymást, kivéve a rendszer egyensúlyi állapotait jellemző speciális pontokat. A határciklusok és az egyensúlyi állapotok lehetnek stabilak vagy instabilok.
A fázisportré teljes mértékben jellemzi a nemlineáris rendszert. A nemlineáris rendszerekre jellemző a különféle mozgástípusok, többféle egyensúlyi állapot és határciklusok jelenléte.
A fázistér módszer a nemlineáris rendszerek tanulmányozásának alapvető módszere. Sokkal egyszerűbb és kényelmesebb nemlineáris rendszereket fázissíkon vizsgálni, mint tranziens folyamatokat az időtartományban ábrázolni.
A térbeli geometriai konstrukciók kevésbé látványosak, mint a síkbeli konstrukciók, ha a rendszer másodrendű, és a fázissík módszert alkalmazzuk.
A fázissík módszer alkalmazása lineáris rendszerekre
Vizsgáljuk meg az átalakulási folyamat természete és a fázispályák görbéi közötti kapcsolatot. A fázispályák vagy a fázispálya-egyenlet integrálásával, vagy az eredeti 2. rendű differenciálegyenlet megoldásával nyerhetők.
Legyen adott a rendszer (3. ábra).
Tekintsük a rendszer szabad mozgását. Ebben az esetben: U(t)=0, e(t)=– x(t)
Általában a differenciálegyenletnek van alakja
Ahol 
(1)
Ez egy 2. rendű homogén differenciálegyenlet, amelynek karakterisztikus egyenlete egyenlő
. (2)
Az összefüggésekből határozzuk meg a karakterisztikus egyenlet gyökereit
(3)
Ábrázoljunk egy másodrendű differenciálegyenletet rendszer formájában
Elsőrendű egyenletek:
(4)
ahol a szabályozott változó változási sebessége.
A vizsgált lineáris rendszerben az x és y változók jelentik a fáziskoordinátákat. A fázisportrét az x és y koordináták terében készítjük el, azaz. fázissíkon.
Ha az időt kizárjuk az (1) egyenletből, akkor az integrálgörbék vagy fázispályák egyenletét kapjuk.
. (5)
Ez egy elválasztható egyenlet
Nézzünk meg több esetet
A GB_prog.m és GB_mod.mdl fájlok, valamint a periodikus mód spektrális összetételének elemzése a lineáris rész kimenetén - GB_prog.m és R_Fourie.mdl fájlok felhasználásával. A GB_prog.m fájl tartalma: % Nemlineáris rendszerek vizsgálata harmonikus egyensúly módszerrel % Felhasznált fájlok: GB_prog.m, GB_mod.mdl és R_Fourie.mdl. % Használt megnevezések: NE - nemlineáris elem, LP - lineáris rész. %Összes törlése...
Tehetetlenségmentes a megengedett (felülről korlátozott) frekvenciatartományban, amelyen túl tehetetlenné válik. A jellemzők típusától függően szimmetrikus és aszimmetrikus jellemzőkkel rendelkező nemlineáris elemeket különböztetünk meg. Az azt meghatározó mennyiségek irányától nem függő karakterisztikát szimmetrikusnak nevezzük, azaz. szimmetrikus a rendszer origójához képest...
Tekintsünk egy kémiai-technológiai objektumot, amelynek bemenete véletlenszerű jelet kap És(/), és véletlenszerű folyamat figyelhető meg a kimeneten nál nél(/). Amikor korrelációs módszereket használunk állandó paraméterű lineáris objektumok azonosítására, általában feltételezzük (vagy a tesztjelet speciálisan ilyen módon választják ki), hogy a véletlen függvények és (t)És nál nél (t) tágabb értelemben stacionárius és stacionárius páros kapcsolatban állnak egymással, azaz matematikai elvárásaik állandóak, az auto- és keresztkorrelációs függvények pedig nem két, hanem egy argumentum függvényei, amelyek a különbségükkel egyenlők.
A nemlineáris dinamikus rendszerek azonosításakor a függvények valószínűségi sűrűségeinek normalitási feltételei és (t)És y(t)és ezek együttes valószínűségi sűrűsége általában nem teljesül, azaz egy objektum jellemzői olyan körülmények között vannak meghatározva, ahol a függvények együttes valószínűségi sűrűségei és (t)És nál nél(/) nem Gauss-féle.
Ezért a feltételes valószínűségi sűrűségfüggvény y(t) viszonylag és (t) szintén nem Gauss-féle lesz. A kimeneti valószínűségi változó regressziója a bemeneti véletlen függvényhez viszonyítva az argumentumok adott értékei esetén általában nemlineáris, és a függvények korrelációja És(0 és nál nél (t) heteroszkedasztikus.
Így a nemlineáris objektumok azonosításához már nem elegendőek a matematikai elvárásokkal és véletlenszerű folyamatok korrelációs függvényeivel működő korrelációs módszerek. Minél erősebb a függvények regressziója, annál nagyobb a hiba a nemlineáris objektumok lineáris rendszerekben használt korrelációs módszerekkel történő azonosításánál. y(t) viszonylag és (t) eltér a lineáristól és minél nagyobb a feltételes eltérések matematikai elvárásának egyenetlensége.
A véletlenszerű zavarok körülményei között működő nemlineáris objektumok azonosításának problémája egy nagyon összetett matematikai probléma, amely jelenleg fejlesztés alatt áll, és még messze van a befejezéstől. Ennek ellenére már most is meg lehet nevezni számos olyan módszert, amelyek bár nem tekinthetők kimerítőnek, de meglehetősen jó közelítő megoldást adnak a nemlineáris objektumok statisztikai módszerekkel történő azonosításának problémájára. Ezek a módszerek a következők: 1) véletlenszerű folyamatok diszperziós és interdiszperzív függvényeinek használatán alapuló módszerek; 2) a nemlineáris regresszió linearizálásának módszere a függvény feltételes varianciájának matematikai elvárásának homoszkedaszticitási területein y(t) viszonylag és (t) 3) Wiener-féle megközelítés a nemlineáris rendszerek azonosítására; 4) egy módszer nemlineáris rendszerek azonosítására a feltételes Markov-folyamatok apparátusán alapuló módszerrel.
Nézzük meg röviden a felsorolt módszerek mindegyikét.
1. Ha a véletlen függvények értékei közötti függés És(0 és nál nél (t) nemlineáris, akkor a véletlen függvény értékei közötti korrelációs együttható már nem szolgálhat elég jó kritériumként a köztük lévő kapcsolat szorosságának mérésére. Ezért a kapcsolat jellemzésére ÉsÉs nál nél használt
diszperziós viszonyok, amelyeket keresztül határoznak meg diszperziós függvények (2, 3].
Kölcsönös diszperziós funkció 0 yU (*, t) valós véletlen függvényekhez y(t)És és (t)És auto-diszperziós (diszperziós) funkció G„ K (*, m) véletlenszerű folyamatra És(t) az összefüggések határozzák meg
Ahol M( ) - a matematikai elvárás szimbóluma; M.
A fent meghatározott értékek alapján p ui, t| Egyesült Királyság és R felállíthat egy speciális TV-kritériumot a jelek közötti kapcsolat linearitásáról szóló hipotézis tesztelésére y és és:
Ahol P- kísérletek száma; Nak nek- intervallumok száma a korrelációs táblázatban. Ellenőrizzük az közötti kapcsolat linearitásáról szóló hipotézist y tÉs stb a 6.4.§-ban tárgyalt tárgyra. Funkció
Nábrán látható (t), amely a rendszer bemeneti és kimeneti implementációiból épül fel. 8.2. Ebben az esetben az azonosítási probléma az objektum ismeretlen paramétereinek keresésére redukálódik, amelyek az operátor együtthatói a Hilbert-térben. A rendszer bemenetén lévő jel Laguerre alfunkciók sorozatára bővül:
esélyekkel 
Rizs. 8.3.
Rizs. 8.4.
Itt P-th Laguerre függvény g n(t) a Laguerre-polinom szorzataként épül fel ln(t) kitevőhöz:
Vegyük észre, hogy a Laguerre-polinomok Laplace-képe (8.19) alapján a következő alakkal rendelkezik
Ez azt mutatja, hogy a szükséges Laguerre-együtthatókat a jel átadásával kaphatjuk meg és (t) lineáris dinamikus kapcsolatok láncán keresztül (lásd 8.3. ábra).
A nemlineáris rendszer operátorát az Ermnt-polinomok kiterjesztéseként ábrázolják:
amelyek a valós tengelyre merőlegesek - oo t. A Hermite függvények Hermite polinomokból épülnek fel:
amelynek segítségével a bemeneti jel Laguerre-együtthatóiból a kimeneti jelre átmenet operátort a következő alakba írjuk
A reláció (8.20) bármely nemlineáris objektumra érvényes, és felhasználható az azonosítás alapjául. Az azonosítási módszer nagymértékben leegyszerűsödik, ha a bemenetre Gauss-féle fehér zaj formájában speciális jel kerül. Ebben az esetben a Laguerre-függvények nem korrelált Gauss-féle véletlenszerű folyamatok, egyenlő eltérésekkel. Ebben az esetben az együtthatók meghatározása... Nak nek redukálódik a rendszer kimenetének és a Hermite-polinomok keresztkorrelációs függvényének megtalálására:
Az esélyek meghatározása b(j... Nak nek befejezi az azonosítási probléma megoldását. Az általános számítási séma az ábrán látható. 8.4.
A kémiai technológiai objektumok azonosításának problémáinak megoldása során a vizsgált módszer számos okból korlátozottan alkalmazható. Ez utóbbiak közé tartoznak például az együtthatókból való átállás során felmerülő nehézségek b tj k az objektum technológiai paramétereihez. A módszer nem alkalmas nem helyhez kötött rendszerekre. Az eljárás végrehajtásának nehézségei a létesítmény normál működése során szintén csökkentik a módszer hatékonyságát. Végül, az átlépésekhez kapcsolódó összes művelet határértékre történő csonkolása és a sorozatok véges összegekkel való helyettesítése további számítási hibák forrása.
4. A nemlineáris rendszerek optimális szűrőinek egy másik lehetséges megközelítése a feltételes Markov-folyamatok apparátusán alapul. Nézzük meg ennek a megközelítésnek a lényegét egy konkrét példán keresztül.
PÉLDA Legyen a hasznos jel egy téglalap alakú impulzus
amelynek t megjelenési pillanatát a 0 x T szakaszon kell meghatározni. Impulzus magasság A 0és h időtartamát ismertnek feltételezzük. Az objektumhoz érkező jel az és (t)=s(*)+m> (*) a hasznos komponens összege s(0 és fehér zaj w(*), amelyet a valószínűségi integrál ír le)
