Takmer všetky riadiace systémy, prísne vzaté, sú nelineárne, t.j. sú opísané nelineárnymi rovnicami. Lineárne riadiace systémy sú ich lineárne modely, ktoré sa získavajú konvenčnou linearizáciou - linearizáciou pozostávajúcou z rozšírenia nelineárnych funkcií do Taylorovho radu a vypustením nelineárnych členov. Takáto linearizácia však nie je vždy možná. Ak nelinearita pripúšťa obvyklú linearizáciu, potom sa takáto nelinearita nazýva nepodstatná. V opačnom prípade sa hovorí, že nelinearita je významná. Všetky druhy reléových prvkov majú významné nelinearity. Dokonca aj v prípadoch, keď je možná konvenčná linearizácia, môže byť často potrebné zvážiť pôvodný nelineárny model v záverečnej fáze štúdie.
Nelineárny automatický riadiaci systém je systém, ktorý obsahuje aspoň jedno prepojenie opísané nelineárnou rovnicou.
Typy nelineárnych odkazov:
prepojenie typu relé;
prepojenie s po častiach lineárnou charakteristikou;
spojenie s krivočiarou charakteristikou akéhokoľvek tvaru;
väzba, ktorej rovnica obsahuje súčin premenných alebo ich derivátov a ich iných kombinácií;
nelineárne spojenie s oneskorením;
nelineárne impulzné spojenie;
logické prepojenie;
prepojenia opísané po častiach lineárnymi riadiacimi systémami, vrátane tých s variabilnou štruktúrou.
Na obr. 2.1 predstavuje reléové charakteristiky rôznych typov:
charakteristiky ideálneho relé (a);
charakteristiky relé s mŕtvou zónou (b);
charakteristiky relé s hysterézou (c);
charakteristiky relé s mŕtvou zónou a hysterézou (g);
kvantizačná charakteristika podľa úrovne (d).
Na obr. 2.2 predstavuje po častiach lineárne charakteristiky:
po častiach lineárna charakteristika so sýtosťou (a);
po častiach lineárna charakteristika s mŕtvou zónou a sýtosťou (b)
po častiach lineárna charakteristika s mŕtvou zónou (c);
vôľa (charakteristická pre spojenie s vôľou) (d);
charakteristika diódy (d);
po častiach lineárna charakteristika s hysterézou a saturáciou (e).
Existujú statické a dynamické nelinearity. Prvé sú prezentované vo forme nelineárnych statických charakteristík, druhé vo forme nelineárnych diferenciálnych rovníc.
Pohon regulačného telesa, nech už je akýkoľvek (elektrický, hydraulický alebo pneumatický), má vždy po prvé mŕtvu zónu na začiatku; po druhé, saturačná zóna na okrajoch. Okrem toho sa môže vyskytnúť aj hysteréza. Existujú tiež pohony s konštantnou rýchlosťou súvisiace s prepojeniami typu relé.
Mŕtva zóna je vyjadrená tým, že motor má určitý minimálny štartovací prúd, do ktorého dosiahnutia bude motor stáť.
HYSTERÉZA (z gréckeho hysteréza – oneskorenie, oneskorenie), jav, ktorý spočíva v tom, že fyz. veličina charakterizujúca stav telesa (napríklad magnetizácia) nejednoznačne závisí od fyzikálnych vlastností. veličina charakterizujúca vonkajšie podmienky (napríklad magnetické pole). G. sa pozoruje v prípadoch, keď je stav tela v danom časovom okamihu určený vonkajšími podmienkami nielen v rovnakom čase, ale aj v predchádzajúcich bodoch času. V každom procese sa pozoruje nejednoznačná závislosť množstiev, pretože zmena stavu tela vždy vyžaduje určitý čas (čas na relaxáciu) a reakcia tela zaostáva za príčinami, ktoré ju spôsobujú.
Nelineárne systémy majú v porovnaní s lineárnymi niekoľko základných vlastností. Ide najmä o tieto vlastnosti:
Princíp superpozície neplatí a štúdium nelineárneho systému pod viacerými vplyvmi nemožno zredukovať na štúdium pod jedným vplyvom;
Stabilita a charakter procesu prechodu závisí od veľkosti počiatočnej odchýlky od rovnovážnej polohy;
Pri pevných vonkajších vplyvoch je možných niekoľko (a niekedy nekonečný počet) rovnovážnych polôh;
Vznikajú voľné procesy v ustálenom stave, ktoré sú v lineárnych systémoch nemožné (napríklad samooscilácie).
Neexistujú žiadne univerzálne analytické (matematické) metódy na štúdium nelineárnych systémov. V procese rozvoja teórie automatického riadenia boli vyvinuté rôzne matematické metódy na analýzu a syntézu nelineárnych systémov, z ktorých každá je použiteľná pre určitú triedu systémov a problémov. Najpoužívanejšie metódy na štúdium nelineárnych systémov sú:
Metóda fázovej roviny;
metóda Ljapunovovej funkcie;
Metóda harmonickej linearizácie (metóda harmonickej rovnováhy);
Metódy štúdia absolútnej stability.
Akékoľvek štúdium viac či menej zložitých nelineárnych systémov sa spravidla končí matematickým modelovaním. A v tomto smere je matematické modelovanie jednou z univerzálnych (neanalytických) metód výskumu.
Fázová rovina
Ak sú rovnice riadiaceho systému prezentované v normálnej forme, potom stavový vektor systému jednoznačne určuje jeho stav. Každý stav systému v stavovom priestore zodpovedá bodu. Bod zodpovedajúci aktuálnemu stavu systému sa nazýva reprezentujúci bod. Keď sa stav zmení, reprezentujúci bod opisuje trajektóriu. Táto dráha sa nazýva fázová dráha. Súbor fázových trajektórií zodpovedajúcich všetkým možným počiatočným podmienkam sa nazýva fázový portrét.
Fázová trajektória a fázový portrét môžu byť vizuálne znázornené v prípade dvojrozmerného fázového priestoru. Dvojrozmerný fázový priestor sa nazýva fázová rovina.
Fázová rovina je súradnicová rovina, v ktorej sú pozdĺž súradnicových osí vynesené dve premenné (fázové súradnice), ktoré jednoznačne určujú stav systému druhého rádu.
Metóda analýzy a syntézy riadiaceho systému založená na konštrukcii fázového portrétu sa nazýva metóda fázovej roviny.
Z fázového portrétu možno posúdiť povahu prechodných procesov. Najmä pomocou fázovej trajektórie môžete bez výpočtov zostrojiť kvalitatívne časovú charakteristiku - krivku x verzus čas a naopak pomocou časovej charakteristiky môžete kvalitatívne zostrojiť fázovú trajektóriu.
Ako príklad najskôr zostrojíme časovú charakteristiku pomocou fázovej trajektórie a potom zostrojíme fázovú trajektóriu pomocou časovej charakteristiky. Nech je daná fázová trajektória (obr. 2.4, a).
Po vyznačení charakteristických bodov na ňom (počiatočný bod, priesečníky so súradnicovými osami) nakreslíme zodpovedajúce body na dočasnú rovinu a spojíme ich hladkou krivkou (obr. 2.4, b).
Teraz uvedieme časovú charakteristiku (obr. 2.5, a). Po vyznačení charakteristických bodov (počiatočný bod, extrémne body a priesečníky s časovou osou) nakreslíme zodpovedajúce body na fázovú rovinu a spojíme ich hladkou krivkou.
(obr. 2.5,6).
Fázové portréty nelineárnych systémov môžu obsahovať typ špeciálnej krivky – izolované uzavreté trajektórie. Tieto krivky sú tzv limitné cykly. Ak zvnútra a zvonku sa fázové trajektórie zbiehajú k limitnému cyklu (obr. 2.8, a),
potom sa takýto limitný cyklus nazýva stabilný limitný cyklus. Stabilný limitný cyklus zodpovedá asymptoticky orbitálne stabilnému periodickému pohybu (vlastné oscilácie).
Ak sa fázové trajektórie vo vnútri a mimo limitného cyklu od neho vzďaľujú (obr. 2.8,6), takýto limitný cyklus sa nazýva nestabilný limitný cyklus. Periodický proces zodpovedajúci nestabilnému limitnému cyklu nie je možné pozorovať.
Ak pohyb začína vo vnútri takéhoto limitného cyklu, potom proces konverguje do rovnovážnej polohy. Ak pohyb začína mimo takéhoto limitného cyklu, potom sa proces rozchádza. Nestabilný limitný cyklus slúži ako hranica príťažlivej oblasti, alebo hranica stability rovnovážnej polohy (počiatku).
Možné sú dva limitné cykly (obr. 2.8, c, d). Interné pred-
limitný cyklus na obr. 2.8, in je stabilný a vlastné oscilácie mu zodpovedajú a vonkajší limitný cyklus je nestabilný a je hranicou oblasti vlastných oscilácií: vlastné oscilácie sa vyskytujú pre akékoľvek počiatočné odchýlky, ktoré nepresahujú vonkajší limitný cyklus .
Vonkajší limitný cyklus na obr. 2.8, d je stabilné a zodpovedá vlastným osciláciám a vnútorný limitný cyklus je nestabilný a je hranicou oblasti príťažlivosti rovnovážnej polohy. V systéme s takýmto fázovým portrétom vznikajú samooscilácie, keď sa systém dostatočne odchýli od rovnovážnej polohy - odchýlka, ktorá presahuje vnútorný limitný cyklus. Ak sa systém pohybuje v rámci nestabilného limitného cyklu, potom sa približuje k rovnovážnej polohe.
Metóda harmonickej linearizácie
Metóda harmonickej linearizácie alebo metóda harmonickej rovnováhy bola pôvodne vyvinutá na štúdium periodických podmienok. Neskôr sa však začal využívať aj na analýzu stability a syntézu nelineárnych systémov.
Hlavná myšlienka metódy je nasledovná. Riadené systémy (objekty) majú spravidla vlastnosť dolnopriepustného filtra: keď sa vyskytujú periodické režimy, neprenášajú alebo s väčším útlmom neprenášajú druhé a vyššie harmonické. A podstatou metódy harmonickej linearizácie je popísať nelineárnu väzbu lineárnou rovnicou, ktorá sa získa zanedbaním (vyradením) naznačených harmonických pri expanzii nelineárnej funkcie vo Fourierovom rade.
Metóda harmonickej linearizácie je približná metóda. Jeho výhodou však je, že je aplikovateľný na systémy akéhokoľvek rádu, na rozdiel od metódy fázovej roviny, ktorú možno efektívne aplikovať len na systémy 2. rádu.
Goldfarbova metóda (metóda na štúdium symetrických vlastných oscilácií)
Metóda Ljapunovovej funkcie
Metóda výskumu založená na konštrukcii Ljapunovovej funkcie vrátane priamej Ljapunovovej metódy sa začala nazývať metóda Ljapunovových funkcií.
Metóda štúdia absolútnej stability
Problémom absolútnej stability sa prvýkrát zaoberal A. I. Lurie a niekedy sa mu hovorí aj Lurieho problém. Vyvinul metódu riešenia tohto problému, založenú na konštrukcii Ljapunovovej funkcie. V roku 1961 Rumunský vedec V.M. Popov publikoval článok, v ktorom načrtol frekvenčnú metódu riešenia tohto problému. To viedlo k veľkému prúdu práce v tomto smere.
Pre úlohy:
Vzťah medzi prechodným procesom a fázovým portrétom:
(Besekersky-Popov s. 595 veľa vecí)
Prítomnosť nelinearit v riadiacich systémoch vedie k popisu takéhoto systému nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami, často pomerne vysokých rádov. Ako je známe, väčšina skupín nelineárnych rovníc sa nedá vyriešiť vo všeobecnej forme a dá sa hovoriť iba o špeciálnych prípadoch riešenia, preto pri štúdiu nelineárnych systémov zohrávajú dôležitú úlohu rôzne približné metódy.
Použitím približných metód na štúdium nelineárnych systémov je zvyčajne nemožné získať dostatočne úplné pochopenie všetkých dynamických vlastností systému. S ich pomocou je však možné odpovedať na množstvo individuálnych podstatných otázok, ako je otázka stability, prítomnosti samooscilácií, povaha jednotlivých režimov atď.
V súčasnosti existuje veľké množstvo rôznych analytických a grafovo-analytických metód na štúdium nelineárnych systémov, medzi ktorými môžeme vyzdvihnúť metódy fázovej roviny, fitovanie, bodové transformácie, harmonickú linearizáciu, priamu Ljapunovovu metódu, frekvenčné metódy na štúdium absolútnej stabilita Popova, metódy na štúdium nelineárnych systémov na elektronických modeloch a počítačoch.
Stručný popis niektorých uvedených metód.
Metóda fázovej roviny je presná, ale má obmedzené uplatnenie, pretože je prakticky nepoužiteľná pre riadiace systémy, ktorých popis nemožno zredukovať na riadenie druhého rádu.
Metóda harmonickej linearizácie je približná metóda, nemá žiadne obmedzenia na poradie diferenciálnych rovníc. Pri aplikácii tejto metódy sa predpokladá, že na výstupe systému sú harmonické oscilácie a lineárnou časťou riadiaceho systému je hornopriepustný filter. V prípade slabej filtrácie signálov lineárnou časťou systému pri použití metódy harmonickej linearizácie je potrebné počítať s vyššími harmonickými. Zároveň sa skomplikuje analýza stability a kvality procesov riadenia nelineárnych systémov.
Druhá Lyapunovova metóda umožňuje získať iba dostatočné podmienky pre stabilitu. A ak sa na jeho základe určí nestabilita riadiaceho systému, potom je v mnohých prípadoch na kontrolu správnosti získaného výsledku potrebné nahradiť funkciu Lyapunov inou a znova vykonať analýzu stability. Okrem toho neexistujú žiadne všeobecné metódy na určenie Ljapunovovej funkcie, čo sťažuje praktickú aplikáciu tejto metódy.
Kritérium absolútnej stability umožňuje analyzovať stabilitu nelineárnych systémov pomocou frekvenčných charakteristík, čo je veľkou výhodou tejto metódy, pretože spája matematický aparát lineárnych a nelineárnych systémov do jedného celku. Nevýhody tejto metódy zahŕňajú zložitosť výpočtov pri analýze stability systémov s nestabilnou lineárnou časťou. Preto na získanie správneho výsledku o stabilite nelineárnych systémov je potrebné použiť rôzne metódy. A len zhoda rôznych výsledkov nám umožní vyhnúť sa chybným úsudkom o stabilite či nestabilite navrhnutého automatického riadiaceho systému.
Kritérium stability Popova V.M.
(rumunský vedec)
Toto je frekvenčná metóda na štúdium stability NL ACS s jednoznačnou nelinearitou, ktorá spĺňa podmienku
Uvažuje sa o stabilite rovnovážnej polohy
Dostatočné podmienky absolútna stabilita Takéto systémy sformuloval V. M. Popov.
1. Zavádza sa prenosová funkcia
Predpokladá sa, že 
zodpovedá asymptoticky stabilnému systému (kontrolovanému ktorýmkoľvek z kritérií stability).
2. Frekvenčná odozva je nájdená 
.
3. Je skonštruovaná modifikovaná frekvenčná odozva 
,
ktorý je určený vzťahom
Re
= Re 
,
Im
=
.
4.Skonštruované na komplexnej rovine 
.
Popovovo kritérium:
Ak cez bod 
na skutočnej osi je možné nakresliť priamku tak, že modifikovaný AFC 
ležal na jednej strane tejto priamky, potom uzavreté NL samohybné delo bude absolútne stabilný.
Príklad. Absolútnu stabilitu samohybných zbraní NL preskúmajte pomocou blokovej schémy z obr. 1, ak
Od všetkého 
v charakteristickej rovnici 2. rádu je väčšia ako nula, teda 
- je asymptoticky stabilný, a preto je splnená podmienka (1) Popovovho kritéria stability.
Re
= Re 
=
Im
=
Im
=
Budujeme AFFC 
.
Asymptotická stabilita pre špeciálnu formu
nelineárne charakteristiky
1. Nejednoznačná nelineárna charakteristika
Stav pokoja bude absolútne stabilný, ak
1.
zodpovedá asymptoticky stabilnému systému.
2.
2. Systém s reléovou charakteristikou
r=0 . Toto je špeciálny prípad charakteristiky diskutovanej vyššie.
Dostatočná podmienka pre absolútnu stabilitu - namiesto stavu (2)
3.Nelinearita typu relé
1.
- asymptoticky stabilný.
2.Im 
Absolútna stabilita procesu
Uvažujme teraz stabilitu nie stabilizačných systémov (nominálny režim - pokojový stav), ale prípad, keď je nominálny režim charakterizovaný vstupným signálom 
a výstupný signál 
, to sú obmedzený nepretržitý funkcie času.
Budeme predpokladať, že nelineárny prvok má tvar 
, Kde 
je súvislá jednohodnotová funkcia, ktorá spĺňa podmienku
tie. rýchlosť zmeny nelineárnej charakteristiky je obmedzená. Toto je pomerne prísna podmienka.
V tomto prípade zabezpečiť absolútnu stabilitu obmedzeného procesu 
,
stačí splniť podmienky6
1.
- bol asymptoticky stabilný.
2.
.
V špeciálnom prípade, keď r=0
alebo 
Teória spojená s vývojom Popovových myšlienok ešte nie je úplná, sú tu možné nové, silnejšie výsledky. Súhrn takýchto doterajších výsledkov je dostupný v Naumovovej knihe „Nelineárne automatické riadiace systémy“.
Približné metódy na štúdium nelineárnych systémov automatického riadenia
Metóda harmonickej rovnováhy
Pri štúdiu NL ACS je niekedy možné pozorovať výskyt periodických zmien výstupnej hodnoty y(t)
aj v prípadoch, keď 
Ak sa pri štúdiu samohybných zbraní obmedzíme na lineárne model s konštantnými koeficientmi, potom k uvedenému javu (prirodzené oscilácie) môže dôjsť len vtedy, ak v charakteristickej rovnici existujú čisto imaginárne korene 
.
S týmto vysvetlením však malá zmena parametrov systému „posunie“ koreň z pomyselnej osi doľava alebo doprava a prirodzené kmity buď utlmia, alebo rozkývajú. V praxi v nelineárnych systémoch pretrvávajú periodické oscilácie výstupného signálu s malými zmenami parametrov systému.
Tento druh netlmených oscilácií sa vysvetľuje nelineárnou povahou systému. Nazývajú sa samooscilácie.
Zvážte metódu harmonická rovnováha, ktorý umožňuje určiť prítomnosť alebo neprítomnosť vlastných kmitov na základe vzájomného toku fázovo-frekvenčnej odozvy lineárnej časti a charakteristík nelineárneho prvku.
Uvažujme systém s jednou slučkou, v ktorom je identifikovaný nelineárny prvok
(1)
a lineárna časť s prenosovou funkciou 
.
Predpokladaný:
1.
zodpovedá stabilnému systému,
2. nelineárna charakteristika 
- nepárny symetrický, t.j.
,
3.vstupný signál 
, t.j. Ide o stabilizačný systém.
Budeme hľadať výstupný signál y(t) ako
,
(2)
Kde 
- amplitúda vlastných oscilácií,
- frekvencia vlastných oscilácií.
A 
je potrebné určiť.
Sínusová hypotéza y(t) vyzerá svojvoľne. Budú však dané ďalšie podmienky, za ktorých sa táto hypotéza stane prirodzenou.
Pretože 
,(3)
Nechajme signál 
postupne cez nelineárny prvok a lineárnu časť a nájsť rovnice, z ktorých bude možné určiť amplitúdu 
a frekvenciu 
samooscilácie v samohybných delách NL.
Návod 
cez lineárny prvok
Pretože
-
periodická funkcia, potom signál
na výstupe nelineárneho
element
bude tiež periodická funkcia, ale odlišná od sínusoidy.
Rozsah 
Rozsah 
Ako je známe, akákoľvek periodická funkcia môže byť reprezentovaná Fourierovým radom:
(4)
Predpokladáme, že voľný člen vo vzorci (4) sa rovná nule. To sa uskutoční napríklad vtedy, keď charakteristika nelineárneho prvku spĺňa podmienku
, teda ide o nepárnu funkciu.
Tu sú Fourierove koeficienty 
A 
sú určené:
,
(5)
Transformujme (4) vynásobením a delením každého člena na pravej strane 
(6)
.
Pripomeňme si to
(8)
Teda pri prejazde signálom 
cez nelineárny prvok je na výstupe nelineárneho prvku signál 
obsahuje veľa harmonických, ktoré sú násobkami 
. (pozri obrázok vyššie).
Tok signálu 
cez lineárnu časť
Z teórie lineárnych systémov vieme, že ak je vstup lineárnej väzby s prenosovou funkciou 
, zodpovedajúce stabilnému systému, dávajú harmonický signál, v ustálenom stave bude na výstupe tohto spoja signál.
Tu 
- modul frekvenčnej odozvy 
v bode 
,
argument 
.
Pomocou týchto vzťahov môžeme zapísať výrazy pre 
, pričom cez lineárnu časť prejdeme oddelene všetky zložky radu (8) a potom sčítame výsledné výrazy pre 
Vzhľadom na lineárnosť systému je takýto postup legálny.
Dostávame, za predpokladu 
:
Výsledný výraz (9) pre 
má pomerne zložitú štruktúru. Jeho používanie sa dá výrazne zjednodušiť filtrovať hypotézu.
Štúdiom frekvenčných charakteristík typických elementárnych jednotiek sme videli, že ich frekvenčná odozva má tendenciu k nule 
Hypotéza filtra je taká, že frekvenčná odozva na pravej strane (9) klesá so zvyšujúcou sa frekvenciou tak rýchlo, že v (9) možno brať do úvahy iba prvý člen, zodpovedajúci k=1 a zostávajúce termíny považujú za zanedbateľné. Inými slovami, hypotéza filtra je hypotéza, že lineárna časť ACS prakticky neumožňuje prechod vysokofrekvenčných oscilácií. Preto je vzorec (9) (a toto je aproximácia metódy) zjednodušený takto:
Pri uzavretí systému za predpokladu filtračnej hypotézy teda získame harmonickú rovnováhu (odtiaľ názov metódy - metóda harmonickej rovnováhy)
Pozrime sa, ako používať metóda harmonická rovnováha určiť amplitúdu A a frekvenciu 
samooscilácie.
Predstavme si koncept ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho prvku:
(11)
Ak 
(a to sa vyskytuje pri jednoznačných symetrických nelineárnych charakteristikách), potom
(12)
Charakteristická rovnica uzavretého ACS (obr. 1) má tvar:
alebo frekvenčná odozva
(13)
(14)
Predstavme si
Potom sa rovnica (14) prepíše:
=
(17)
Rovnosť (14) alebo (17) je základom grafovo-analytickej metódy na určenie parametrov vlastných oscilácií A A 
.
Fázovo-frekvenčná odozva lineárnej časti je skonštruovaná na komplexnej rovine
a charakteristiky nelineárneho prvku
Ak sa krivky pretínajú, potom v ACS existujú vlastné oscilácie.
Frekvencia vlastných oscilácií v priesečníku kriviek pozdĺž 
, a amplitúda je podľa 
.
Pozrime sa bližšie na vybranú oblasť
Poznáme amplitúdu a frekvenciu bodov, ktoré sú najbližšie k priesečníku kriviek. Amplitúdu a frekvenciu v priesečníku je možné určiť napríklad rozdelením segmentu na polovicu.
Metóda harmonickej linearizácie
Toto je veľmi efektívna približná metóda na určenie periodických kmitov v NL ACS.
Pre aplikáciu metódy harmonickej linearizácie nelinearity je potrebné splniť požiadavku: lineárna časť musí mať filtračné vlastnosti, t.j. nemal by prepúšťať vysoké frekvencie.
V praxi je táto požiadavka zvyčajne splnená.
Nech existuje nelineárny prvok
(1)
Nechaj 
(2)
Potom 
(3)
Rozviňme (1) do Fourierovho radu:
Pripomeňme si, že nelineárna funkcia F(X) , rozšírený do Fourierovho radu, má tvar:
,
,
,
Potom bude Fourierov rad pre našu nelinearitu vyzerať takto:
++vyššie harmonické (4)
Dajme konštantnú zložku 
Z rovnice (2): 
Z rovnice (3): 
Potom je možné rovnicu (4) prepísať:
,
V rovnici (5) zanedbávame vysoké frekvencie a toto je aproximácia metódy.
Teda nelineárny prvok at 
je nahradený linearizovaným výrazom (5), ktorý, keď je splnená hypotéza filtra lineárnej časti, nadobúda tvar:
(6)
Tento postup sa nazýva harmonická linearizácia.
Odds 
A 
pri konštantný a A 
. V dynamickom režime, keď sa menia A A 
, koeficienty 
A 
zmení sa. Toto je rozdiel medzi harmonickou linearizáciou a konvenčnou linearizáciou. (Pri konvenčnej linearizácii koeficient linearizovanej rovnice TO závisí od bodu linearizácie). Závislosť koeficientov linearizácie na A A 
umožňuje aplikovať metódy na štúdium lineárnych systémov na NL ACS (6) a analyzovať vlastnosti NL ACS, ktoré nie je možné zistiť konvenčnou linearizáciou.
Koeficienty harmonickej linearizácie
niektoré typické nelinearity
Charakteristika relé
2. Charakteristika relé s mŕtvou zónou
,
Amplitúda oscilácie 
3. Charakteristika relé s hysteréznou slučkou
,
,
4. Charakteristika relé s mŕtvou zónou a hysteréznou slučkou
,
Teraz zvážte uzavretý systém.
,
Môžeme zaviesť koncept prenosovej funkcie nelineárneho prvku
,
.
Potom charakteristická rovnica uzavretého ACS:
,
alebo
Keď v uzavretom systéme vzniknú prirodzené netlmené oscilácie konštantnej amplitúdy a frekvencie, koeficienty harmonickej linearizácie sa stanú konštantnými a automatický riadiaci systém sa stane lineárnym. A v lineárnom systéme prítomnosť periodických netlmených oscilácií naznačuje prítomnosť čisto imaginárnych koreňov.
Teda určiť periodické riešenia musia byť dosadené do charakteristickej rovnice 
. Tu 
- aktuálna frekvencia a 
- frekvencia vlastných oscilácií.
Neznáme v tejto rovnici sú 
A 
.
Izolujme skutočnú a imaginárnu časť tejto rovnice.
Uveďme si označenie frekvencie a amplitúdy požadovaného periodického riešenia: 
,
.
Dostaneme dve rovnice s dvoma neznámymi.
Vyriešením týchto rovníc zistíme 
A 
- amplitúda a frekvencia periodických riešení v NL ACS.
Pomocou týchto rovníc môžete určiť nielen 
A 
, ale aj vybudovať závislosť 
A 
, napríklad zo zisku ACS TO.
Potom, zvažovať TO premenné, píšeme:
Premýšľal TO, nájdeme 
A 
, t.j. 
A 
Dá sa vybrať TO takže
1.
to by nestačilo
2.
bolo by to neškodné pre samohybné zbrane,
3. nenastali by žiadne vlastné oscilácie.
Použitím rovnakých rovníc je možné v rovine dvoch parametrov (napr. T A TO) zostrojte čiary rovnakých hodnôt amplitúdy a frekvencie vlastných oscilácií. Pre túto rovnicu prepíšeme:
Určenie číselných hodnôt 
, dostaneme 
A 
Z týchto grafov si môžete vybrať T A TO.
Stanovenie stability riešení v nelineárnych systémoch automatického riadenia
Vlastné oscilácie v NL ACS musia zodpovedať stabilným periodickým riešeniam. Preto po zistení amplitúdy 
a frekvencie 
periodické riešenia, je potrebné skúmať ich stabilitu.
Uvažujme o približnej metóde štúdia stability periodických riešení v NL ACS pomocou Michajlovho hodografu.
Nechaj NL samohybné delá
,
.
- získané metódou harmonickej linearizácie.
Charakteristická rovnica uzavretého systému
Zapíšme si rovnicu charakteristickej krivky (Michajlovov hodograf), ktorú do nej dosadíme 
.
- aktuálna hodnota frekvencie pozdĺž Michajlovho hodografu,
- frekvencia harmonickej linearizácie (vlastné oscilácie).
Potom za každú danú vec trvalé
A 
Michajlovova krivka bude mať rovnaký tvar ako pre bežné lineárne systémy.
Pre periodické riešenia zodpovedajúce 
A 
, Michajlovov hodograf prejde počiatkom súradníc (keďže systém je na hranici stability).
Na určenie stability periodických riešení uvádzame 
prírastok 
Ak pri 
Michajlovova krivka zaujme polohu 1 a kedy
- poloha 2, potom je periodické riešenie stabilné.
Ak pri 
krivka zaujme polohu 2 a kedy 
- poloha 1, potom je periodické riešenie nestabilné.
"Teória automatického riadenia"
"Metódy na štúdium nelineárnych systémov"
1. Metóda diferenciálnych rovníc
Diferenciálnu rovnicu uzavretého nelineárneho systému n-tého rádu (obr. 1) možno transformovať na sústavu n-diferenciálnych rovníc prvého rádu v tvare:
kde: – premenné charakterizujúce správanie systému (jedna z nich môže byť riadená premenná); – nelineárne funkcie; u – vplyv nastavenia.
Tieto rovnice sú zvyčajne napísané v konečných rozdieloch:
kde sú počiatočné podmienky.
Ak odchýlky nie sú veľké, potom je možné túto sústavu riešiť ako sústavu algebraických rovníc. Riešenie je možné znázorniť graficky.
2. Metóda fázového priestoru
Uvažujme prípad, keď je vonkajší vplyv nulový (U = 0).
Pohyb systému je určený zmenou jeho súradníc – ako funkcia času. Hodnoty kedykoľvek charakterizujú stav (fázu) systému a určujú súradnice systému s n-osiami a môžu byť reprezentované ako súradnice niektorého (reprezentujúceho) bodu M (obr. 2).
Fázový priestor je súradnicový priestor systému.
Ako sa mení čas t, bod M sa pohybuje po trajektórii nazývanej fázová trajektória. Ak zmeníme počiatočné podmienky, dostaneme rodinu fázových trajektórií nazývanú fázový portrét. Fázový portrét určuje povahu procesu prechodu v nelineárnom systéme. Fázový portrét má špeciálne body, ku ktorým smerujú alebo sa vzďaľujú fázové trajektórie systému (môže ich byť niekoľko).
Fázový portrét môže obsahovať uzavreté fázové trajektórie, ktoré sa nazývajú limitné cykly. Limitné cykly charakterizujú samooscilácie v systéme. Fázové trajektórie sa nikde nepretínajú, okrem špeciálnych bodov charakterizujúcich rovnovážne stavy sústavy. Limitné cykly a rovnovážne stavy môžu byť stabilné alebo nestabilné.
Fázový portrét úplne charakterizuje nelineárny systém. Charakteristickým znakom nelineárnych systémov je prítomnosť rôznych druhov pohybov, niekoľko rovnovážnych stavov a prítomnosť limitných cyklov.
Metóda fázového priestoru je základnou metódou pre štúdium nelineárnych systémov. Je oveľa jednoduchšie a pohodlnejšie študovať nelineárne systémy vo fázovej rovine, ako vykresľovať prechodné procesy v časovej oblasti.
Geometrické konštrukcie v priestore sú menej vizuálne ako konštrukcie v rovine, keď je systém druhého rádu a používa sa metóda fázovej roviny.
Aplikácia metódy fázovej roviny pre lineárne systémy
Analyzujme vzťah medzi povahou prechodového procesu a krivkami fázových trajektórií. Fázové trajektórie možno získať buď integráciou rovnice fázovej trajektórie alebo riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice 2. rádu.
Nech je daný systém (obr. 3).
Zoberme si voľný pohyb systému. V tomto prípade: U(t)=0, e(t)=– x(t)
Vo všeobecnosti má diferenciálna rovnica tvar
Kde 
(1)
Ide o homogénnu diferenciálnu rovnicu 2. rádu, ktorej charakteristická rovnica sa rovná
. (2)
Korene charakteristickej rovnice sú určené zo vzťahov
(3)
Predstavme si diferenciálnu rovnicu 2. rádu vo forme systému
Rovnice 1. rádu:
(4)
kde je rýchlosť zmeny riadenej veličiny.
V uvažovanom lineárnom systéme predstavujú premenné x a y fázové súradnice. Fázový portrét zostrojíme v priestore súradníc x a y, t.j. na fázovej rovine.
Ak z rovnice (1) vylúčime čas, dostaneme rovnicu integrálnych kriviek alebo fázových trajektórií.
. (5)
Toto je oddeliteľná rovnica
Zoberme si niekoľko prípadov
Súbory GB_prog.m a GB_mod.mdl a analýza spektrálneho zloženia periodického módu na výstupe lineárnej časti - pomocou súborov GB_prog.m a R_Fourie.mdl. Obsah súboru GB_prog.m: % Štúdium nelineárnych systémov metódou harmonickej rovnováhy % Použité súbory: GB_prog.m, GB_mod.mdl a R_Fourie.mdl. % Použité označenia: NE - nelineárny prvok, LP - lineárna časť. %Vymazáva sa všetko...
Bez zotrvačnosti v prípustnom (zhora obmedzenom) frekvenčnom rozsahu, nad ktorým sa stáva zotrvačným. V závislosti od typu charakteristík sa rozlišujú nelineárne prvky so symetrickými a asymetrickými charakteristikami. Charakteristika, ktorá nezávisí od smeru veličín, ktoré ju určujú, sa nazýva symetrická, t.j. mať symetriu vzhľadom na pôvod systému...
Uvažujme chemicko-technologický objekt, ktorého vstup prijíma náhodný signál A(/) a na výstupe je pozorovaný náhodný proces pri(/). Pri použití korelačných metód na identifikáciu lineárnych objektov s konštantnými parametrami sa zvyčajne predpokladá (alebo je testovací signál špeciálne vybraný týmto spôsobom), že náhodné funkcie a (t) A pri (t) súvisia so stacionárnymi a stacionárnymi pármi v širšom zmysle, t. j. ich matematické očakávania sú konštantné a auto- a krížové korelačné funkcie sú funkciami nie dvoch, ale jedného argumentu, ktorý sa rovná ich rozdielu.
Pri identifikácii nelineárnych dynamických systémov sú podmienky normality pravdepodobnostných hustôt funkcií a (t) A y(t) a ich spoločné hustoty pravdepodobnosti spravidla nie sú splnené, t. j. charakteristiky objektu sú určené v podmienkach, kde sú spojené hustoty pravdepodobnosti funkcií a (t) A pri(/) nie sú Gaussovské.
Preto funkcia hustoty podmienenej pravdepodobnosti y(t) pomerne a (t) bude tiež negaussovský. Regresia výstupnej náhodnej premennej vo vzťahu k vstupnej náhodnej funkcii pre dané hodnoty argumentov je vo všeobecnosti nelineárna a korelácia funkcií A(0 a pri (t) heteroskedastický.
Na identifikáciu nelineárnych objektov už teda nestačia korelačné metódy operujúce s matematickými očakávaniami a korelačné funkcie náhodných procesov. Chyba pri riešení problému identifikácie nelineárneho objektu pomocou korelačných metód používaných pre lineárne systémy je tým väčšia, čím silnejšia je regresia funkcií. y(t) pomerne a (t) sa líši od lineárneho a tým väčšia je nerovnomernosť matematického očakávania podmienených rozptylov.
Problém identifikácie nelineárnych objektov pracujúcich v podmienkach náhodných porúch je veľmi zložitým matematickým problémom, ktorý je v súčasnosti vo vývoji a ešte ani zďaleka nie je ukončený. Napriek tomu je už možné vymenovať množstvo metód, ktoré aj keď ich nemožno považovať za vyčerpávajúce, poskytujú celkom dobré približné riešenie problému identifikácie nelineárnych objektov pomocou štatistických metód. Tieto metódy zahŕňajú: 1) metódy založené na použití disperzných a interdisperzných funkcií náhodných procesov; 2) metóda linearizácie nelineárnej regresie v oblastiach homoskedasticity matematického očakávania podmieneného rozptylu funkcie y(t) pomerne a (t) 3) Wienerov prístup k identifikácii nelineárnych systémov; 4) metóda identifikácie nelineárnych systémov založená na použití aparátu podmienených Markovových procesov.
Pozrime sa stručne na každú z uvedených metód.
1. Ak je závislosť medzi hodnotami náhodných funkcií A(0 a pri (t) nelineárne, potom korelačný koeficient medzi hodnotami náhodnej funkcie už nemôže slúžiť ako dostatočne dobré kritérium na meranie blízkosti spojenia medzi nimi. Preto charakterizovať spojenie medzi A A pri sa používajú
rozptylové vzťahy, ktoré sa určujú prostredníctvom disperzné funkcie (2, 3].
Funkcia vzájomného rozptylu 0 yU (*, t) pre skutočné náhodné funkcie y(t) A a (t) A funkcia autodisperzie (disperzie). G„ K (*, m) pre náhodný proces A t) sú určené vzťahmi
Kde M( ) - symbol matematického očakávania; M.
Na základe hodnôt definovaných vyššie p ui, t| uk a R môžete vytvoriť špeciálne TV kritérium na testovanie hypotézy o linearite vzťahu medzi signálmi y a:
Kde P- počet pokusov; Komu- počet intervalov v korelačnej tabuľke. Overme si hypotézu o linearite vzťahu medzi y t A atď pre objekt uvedený v § 6.4. Funkcia
N(t), skonštruovaný zo vstupných a výstupných implementácií systému, je znázornený na obr. 8.2. V tomto prípade sa problém identifikácie redukuje na hľadanie neznámych parametrov objektu, ktorými sú koeficienty operátora v Hilbertovom priestore. Signál na vstupe systému je rozšírený do série podfunkcií Laguerre:
s kurzom 
Ryža. 8.3.
Ryža. 8.4.
Tu P- Laguerrova funkcia g n (t) je skonštruovaný ako súčin Laguerrovho polynómu ln(t) exponovať:
Všimnite si, že Laplaceov obraz Laguerrových polynómov založený na (8.19) má tvar
To ukazuje, že potrebné Laguerrove koeficienty možno získať prechodom signálu a (t) cez reťaz lineárnych dynamických článkov (pozri obr. 8.3).
Operátor nelineárneho systému je reprezentovaný ako expanzia v Ermnt polynómoch:
ktoré sú ortogonálne na reálnej osi - oo t. Hermitove funkcie sú konštruované z Hermitovych polynómov:
pomocou ktorého sa zapíše operátor prechodu z Laguerreových koeficientov vstupného signálu na výstupný signál v tvare
Vzťah (8.20) je platný pre akýkoľvek nelineárny objekt a môže byť použitý ako základ pre jeho identifikáciu. Spôsob identifikácie sa značne zjednoduší, ak sa na vstup privedie špeciálny signál vo forme gaussovského bieleho šumu. V tomto prípade sú Laguerrove funkcie nekorelované gaussovské náhodné procesy s rovnakými rozptylmi. V tomto prípade stanovenie koeficientov... Komu redukuje na nájdenie vzájomnej korelačnej funkcie výstupu systému a Hermitovych polynómov:
Stanovenie kurzov b(j... Komu dokončí riešenie problému identifikácie. Všeobecná schéma výpočtu je znázornená na obr. 8.4.
Pri riešení problémov identifikácie chemicko-technologických objektov má uvažovaná metóda z viacerých dôvodov obmedzené uplatnenie. K tým druhým patria napríklad ťažkosti vznikajúce pri prechode z koeficientov b tj k na technologické parametre objektu. Metóda nie je vhodná pre nestacionárne systémy. Efektívnosť metódy znižujú aj ťažkosti pri realizácii tohto postupu počas bežnej prevádzky zariadenia. Nakoniec, potreba skrátiť všetky operácie spojené s prechodmi na limit a nahradenie radov konečnými súčtami sú zdrojom dodatočných výpočtových chýb.
4. Ďalší možný prístup ku konštrukcii optimálnych filtrov pre nelineárne systémy je založený na použití aparátu podmienených Markovových procesov. Uvažujme o podstate tohto prístupu na konkrétnom príklade.
PRÍKLAD Nech je užitočným signálom obdĺžnikový impulz
moment objavenia sa t na segmente 0 x T je potrebné určiť. Výška impulzu A 0 a predpokladá sa, že jeho trvanie h je známe. Signál prichádzajúci k objektu je a (t) = s(*)+m> (*) je súčet užitočnej zložky s(0 a biely šum w(*), ktorý je opísaný integrálom pravdepodobnosti)
