Ktoré číslo nie je prvočíslo alebo zložené? Základné čísla. Zložené čísla. Je toto číslo prvočíslo alebo zložené?

Veta.

Existuje nekonečné množstvo prvočísel.

Dôkaz.

Predpokladajme, že to tak nie je. To znamená, že predpokladajme, že existuje iba n prvočísel a tieto prvočísla sú p 1, p 2, ..., p n. Ukážme, že vždy môžeme nájsť iné prvočíslo, ako je uvedené.

Uvažujme číslo p rovné p 1 ·p 2 ·...·p n +1. Je jasné, že toto číslo sa líši od každého z prvočísel p 1, p 2, ..., p n. Ak je číslo p prvočíslo, potom je veta dokázaná. Ak je toto číslo zložené, potom na základe predchádzajúcej vety existuje prvočíselník tohto čísla (označíme ho p n+1). Ukážme, že tento deliteľ sa nezhoduje so žiadnym z čísel p 1, p 2, ..., p n.

Ak by to tak nebolo, potom by sa podľa vlastností deliteľnosti súčin p 1 ·p 2 ·…·p n delil p n+1. Ale číslo p je tiež deliteľné p n+1, ktoré sa rovná súčtu p 1 ·p 2 ·...·p n +1. Z toho vyplýva, že p n+1 musí deliť druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná jednej, ale to nie je možné.

Je teda dokázané, že vždy sa dá nájsť nové prvočíslo, ktoré nie je zahrnuté v žiadnom počte vopred určených prvočísel. Preto je prvočísel nekonečne veľa.

Takže vzhľadom na to, že prvočísel je nekonečne veľa, pri zostavovaní tabuliek prvočísel sa vždy zhora obmedzíte na nejaké číslo, väčšinou 100, 1000, 10000 atď.

Eratosthenove sito

Teraz budeme diskutovať o spôsoboch vytvárania tabuliek prvočísel. Predpokladajme, že potrebujeme vytvoriť tabuľku prvočísel do 100.

Najzrejmejšou metódou riešenia tohto problému je postupná kontrola kladných celých čísel, počínajúc 2 a končiacimi 100, na prítomnosť kladného deliteľa, ktorý je väčší ako 1 a menší ako testované číslo (z vlastností deliteľnosti vieme že absolútna hodnota deliteľa nepresahuje absolútnu hodnotu dividendy, nenulovú). Ak sa takýto deliteľ nenájde, potom je testované číslo prvočíslo a zapíše sa do tabuľky prvočísel. Ak sa takýto deliteľ nájde, potom je testované číslo zložené, NIE JE zapísané v tabuľke prvočísel. Potom nasleduje prechod na ďalšie číslo, ktoré sa podobne kontroluje na prítomnosť deliteľa.

Poďme si popísať prvých pár krokov.

Začíname číslom 2. Číslo 2 nemá žiadneho kladného deliteľa okrem 1 a 2. Preto je to jednoduché, preto to zapíšeme do tabuľky prvočísel. Tu treba povedať, že 2 je najmenšie prvočíslo. Prejdime k číslu 3. Jeho možný kladný deliteľ iný ako 1 a 3 je číslo 2. Ale 3 nie je deliteľné 2, preto je 3 prvočíslo a je potrebné ho zahrnúť aj do tabuľky prvočísel. Prejdime k číslu 4. Jeho kladnými deliteľmi okrem 1 a 4 môžu byť čísla 2 a 3, skontrolujme ich. Číslo 4 je deliteľné 2, preto je 4 zložené číslo a nie je potrebné ho uvádzať v tabuľke prvočísel. Upozorňujeme, že 4 je najmenšie zložené číslo. Prejdime k číslu 5. Skontrolujeme, či aspoň jedno z čísel 2, 3, 4 je jeho deliteľ. Keďže 5 nie je deliteľné 2, 3 alebo 4, potom je prvočíslo a treba ho zapísať do tabuľky prvočísel. Potom nasleduje prechod na čísla 6, 7 a tak ďalej až do 100.

Tento prístup k zostaveniu tabuľky prvočísel má ďaleko od ideálu. Tak či onak má právo na existenciu. Všimnite si, že pri tejto metóde konštrukcie tabuľky celých čísel môžete použiť kritériá deliteľnosti, ktoré mierne urýchlia proces hľadania deliteľov.

Existuje pohodlnejší spôsob vytvorenia tabuľky prvočísel, tzv. Slovo „sito“ prítomné v názve nie je náhodné, pretože akcie tejto metódy pomáhajú takpovediac „preosiať“ celé čísla a veľké jednotky cez Eratosthenovo sito, aby sa oddelili jednoduché od zložených.

Ukážme si Eratosthenovo sito v akcii pri zostavovaní tabuľky prvočísel do 50.

Najprv si zapíšte čísla 2, 3, 4, ..., 50 v poradí.

Prvé napísané číslo, 2, je prvočíslo. Teraz sa od čísla 2 posúvame postupne o dve čísla doprava a tieto čísla škrtáme, kým sa nedostaneme na koniec zostavovanej tabuľky čísel. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom dvoch.

Prvé číslo po 2, ktoré nie je prečiarknuté, je 3. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 3 postupne posunieme doprava o tri čísla (berúc do úvahy už prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkom troch.

Prvé číslo po 3, ktoré nie je prečiarknuté, je 5. Toto číslo je prvočíslo. Teraz sa od čísla 5 dôsledne posunieme doprava o 5 čísel (berieme do úvahy aj skôr prečiarknuté čísla) a prečiarkneme ich. Tým sa prečiarknu všetky čísla, ktoré sú násobkami piatich.

Ďalej prečiarkneme čísla, ktoré sú násobkami 7, potom násobkami 11 atď. Proces končí, keď už nie sú žiadne čísla na odčiarknutie. Nižšie je vyplnená tabuľka prvočísel do 50 získaných pomocou Eratosthenovho sita. Všetky neprečiarknuté čísla sú prvočísla a všetky prečiarknuté čísla sú zložené.

Sformulujme a dokážme aj vetu, ktorá urýchli proces zostavovania tabuľky prvočísel pomocou Eratosthenovho sita.

Veta.

Najmenší kladný deliteľ zloženého čísla a, ktorý sa líši od jednotky, nepresahuje , kde je od a .

Dôkaz.

Označme písmenom b najmenšieho deliteľa zloženého čísla a, ktoré je odlišné od jednotky (číslo b je prvočíslo, ako vyplýva z vety dokázanej na samom začiatku predchádzajúceho odseku). Potom existuje celé číslo q také, že a=b·q (tu q je kladné celé číslo, čo vyplýva z pravidiel násobenia celých čísel) a (pre b>q je porušená podmienka, že b je najmenším deliteľom a , keďže q je tiež deliteľ čísla a kvôli rovnosti a=q·b ). Vynásobením oboch strán nerovnosti kladným a celým číslom väčším ako jedna (toto je nám dovolené) dostaneme , z ktorého a .

Čo nám dáva osvedčená veta o Eratosthenovom sitku?

Po prvé, prečiarknutie zložených čísel, ktoré sú násobkami prvočísla b, by malo začínať číslom rovným (to vyplýva z nerovnosti). Napríklad prečiarknutie čísel, ktoré sú násobkom dvoch, by malo začínať číslom 4, násobky troch číslom 9, násobky piatich číslom 25 atď.

Po druhé, zostavenie tabuľky prvočísel až po číslo n pomocou Eratosthenovho sita možno považovať za úplné, ak všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel, nepresahujú . V našom príklade n=50 (keďže robíme tabuľku prvočísel do 50), a preto by Eratosthenovo sito malo eliminovať všetky zložené čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 2, 3, 5 a 7, ktoré nepresiahne aritmetickú druhú odmocninu 50. To znamená, že už nemusíme hľadať a preškrtávať čísla, ktoré sú násobkami prvočísel 11, 13, 17, 19, 23 a tak ďalej až do 47, keďže už budú prečiarknuté ako násobky menších prvočísel 2. 3, 5 a 7.

Je toto číslo prvočíslo alebo zložené?

Niektoré úlohy vyžadujú zistenie, či je dané číslo prvočíslo alebo zložené. Vo všeobecnosti táto úloha nie je ani zďaleka jednoduchá, najmä pri číslach, ktorých písanie pozostáva z veľkého počtu znakov. Vo väčšine prípadov musíte hľadať nejaký konkrétny spôsob, ako to vyriešiť. My sa však pokúsime nasmerovať myšlienkový pochod pre jednoduché prípady.

Samozrejme, môžete skúsiť použiť testy deliteľnosti, aby ste dokázali, že dané číslo je zložené. Ak napríklad nejaký test deliteľnosti ukáže, že dané číslo je deliteľné nejakým kladným celým číslom väčším ako jedna, potom je pôvodné číslo zložené.

Príklad.

Dokážte, že 898,989,898,989,898,989 je zložené číslo.

Riešenie.

Súčet číslic tohto čísla je 9·8+9·9=9·17. Keďže číslo rovnajúce sa 9·17 je deliteľné 9, potom pomocou deliteľnosti 9 môžeme povedať, že pôvodné číslo je deliteľné aj 9. Preto je zložený.

Významnou nevýhodou tohto prístupu je, že kritériá deliteľnosti neumožňujú dokázať prvoradosť čísla. Preto pri testovaní čísla, aby ste zistili, či je prvočíslo alebo zložené, musíte postupovať inak.

Najlogickejší prístup je vyskúšať všetky možné delitele daného čísla. Ak žiadny z možných deliteľov nie je skutočným deliteľom daného čísla, potom toto číslo bude prvočíslo, inak bude zložené. Z teorém dokázaných v predchádzajúcom odseku vyplýva, že deliče daného čísla a treba hľadať medzi prvočíslami nepresahujúcimi . Dané číslo a možno teda postupne deliť prvočíslami (ktoré sa dajú pohodlne prevziať z tabuľky prvočísel), pričom sa snažíme nájsť deliteľa čísla a. Ak sa nájde deliteľ, potom číslo a je zložené. Ak medzi prvočíslami nepresahujúcimi , nie je deliteľ čísla a, potom číslo a je prvočíslo.

Príklad.

číslo 11 723 jednoduché alebo zložené?

Riešenie.

Poďme zistiť, do akého prvočísla môžu byť deliče čísla 11 723. Aby sme to urobili, poďme hodnotiť.

To je celkom zrejmé , od roku 200 2 = 40 000 a 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью porovnanie čísel). Možné hlavné faktory 11 723 sú teda menšie ako 200. Už to nám značne uľahčuje úlohu. Ak by sme to nevedeli, museli by sme prejsť všetkými prvočíslami nie do 200, ale do čísla 11 723.

V prípade potreby môžete presnejšie vyhodnotiť. Pretože 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881, potom 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Akékoľvek z prvočísel menších ako 109 je teda potenciálne prvočíslo daného čísla 11 723.

Teraz postupne rozdelíme číslo 11 723 na prvočísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Ak je číslo 11 723 delené jedným zo zapísaných prvočísel, bude zložené. Ak nie je deliteľné žiadnym zo zapísaných prvočísel, tak pôvodné číslo je prvočíslo.

Nebudeme popisovať celý tento monotónny a monotónny proces delenia. Povedzme hneď, že 11 723

Je jedna prvočíslo? Nie, jedna nie je prvočíslo.

Je 0 prvočíslo? Nie, nula nie je prvočíslo.

Je 2 prvočíslo? Áno, 2 je prvočíslo. 2 je jediné párne prvočíslo.

Je 3 prvočíslo? Áno, 3 je prvočíslo.

Je 5 prvočíslo? Áno, 5 je prvočíslo.

Je 7 prvočíslo? Áno, 7 je prvočíslo.

Je 9 prvočíslo? Nie, 9 nie je prvočíslo. Veď 9 je deliteľné samo sebou, jednotkou a tromi.

Je 11 prvočíslo? Áno, 11 je prvočíslo.

Je 13 prvočíslo? Áno, 13 je prvočíslo.

Je 15 prvočíslo? Nie, 15 nie je prvočíslo. Veď 15 je deliteľné samo sebou, jedným, tromi, piatimi.

Je 17 prvočíslo? Áno, 17 je prvočíslo.

Je 19 prvočíslo? Áno, 19 je prvočíslo.

Je 20 prvočíslo? Nie, 20 nie je prvočíslo. Veď 20 je deliteľné samo sebou, jednou, dvomi, štyrmi, piatimi, desiatimi.

Je 777 prvočíslo? Nie, 777 nie je prvočíslo. Veď 777 je deliteľné samo sebou, jednou, 3, 7, 37.

Je 997 prvočíslo? Áno, 997 je prvočíslo.

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné iba samým sebou a jednotkou.

V súčasnosti nie sú známe žiadne polynomické algoritmy na faktorizáciu čísel, aj keď nebolo dokázané, že takéto algoritmy neexistujú. Kryptosystém RSA a niektoré ďalšie sú založené na predpokladanej vysokej výpočtovej zložitosti problému faktorizácie. Faktorizácia s polynomiálnou zložitosťou je teoreticky možná na kvantovom počítači pomocou Shorovho algoritmu.

Algoritmy na vyhľadávanie a rozpoznávanie prvočísel

Jednoduché metódy na nájdenie počiatočného zoznamu prvočísel až do určitej hodnoty sú dané Eratosthenovským sitom, Sundaramským sitom a Atkinovým sitom.

V praxi však namiesto získania zoznamu prvočísel často chcete skontrolovať, či je dané číslo prvočíslo. Algoritmy, ktoré riešia tento problém, sa nazývajú testy primality. Existuje mnoho testov polynomickej primality, ale väčšina z nich je pravdepodobnostných (napríklad Miller-Rabinov test) a používajú sa pre potreby kryptografie. V roku 2002 sa dokázalo, že problém testu primality je vo svojej všeobecnej forme polynomiálne riešiteľný, no navrhovaný deterministický Agrawal-Kajal-Saxena test má pomerne veľkú výpočtovú náročnosť, čo sťažuje jeho praktickú aplikáciu.

Pre niektoré triedy čísel existujú špecializované účinné testy prvočíselnosti (pozri nižšie).

Nekonečno množiny prvočísel

Existuje nekonečné množstvo prvočísel. Najstarší známy dôkaz tejto skutočnosti podal Euklides v Živloch (kniha IX, výrok 20). Jeho dôkaz možno stručne zopakovať takto:

Matematici ponúkli iné dôkazy. Jeden z nich (uvedený Eulerom) ukazuje, že súčet prevrátených hodnôt prvého n prvočísla, rastie neobmedzene s rastom n.

Mersennove čísla sa od ostatných priaznivo líšia prítomnosťou účinného testu primálnosti: Luc-Lemaireovho testu. Mersennove prvočísla vďaka nemu dlho držali rekord ako najväčšie známe prvočísla.

Za nájdenie prvočísel väčších ako 100 000 000 a 1 000 000 000 desatinných číslic udelil EFF peňažné odmeny vo výške 150 000 USD a 250 000 USD. EFF už v minulosti udeľovala ceny za nájdenie prvočísel s 1 000 000 a 10 000 000 desatinnými číslicami.

Prvočísla špeciálneho typu

Existuje množstvo čísel, ktorých prvotriednosť možno efektívne určiť pomocou špecializovaných algoritmov.

Na vyhľadávanie prvočísel určených typov sa v súčasnosti používajú distribuované výpočtové projekty GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen alebo Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Niektoré vlastnosti

• Ak p je prvočíslo a p delí ab, potom p delí a alebo b. Dôkaz tejto skutočnosti podal Euklides a je známy ako Euklidova lemma. Používa sa pri dôkaze základnej vety aritmetiky.
• Krúžok zrážok $\backslash mathbb(Z)\_n$ je pole vtedy a len vtedy $n$- jednoduchý.
• Charakteristikou každého poľa je nula alebo prvočíslo.
• Ak $p$- jednoduché, ale $a$- teda prirodzené $a^p-a$ deleno $p$(Malá Fermatova veta).
• Ak $G$ je konečná skupina, ktorej poradie $|G|$ deleno $p$, To $G$ obsahuje prvok poriadku $p$(Cauchyho veta).
• Ak $G$ je konečná skupina a $p^n$- maximálny stupeň $p$, ktorý rozdeľuje $|G|$, To $G$ má podskupinu objednávky $p^n$, nazývaná Sylowova podskupina, navyše počet Sylowových podskupín je rovný $pk+1$ za nejaký celok $k$(Silowova veta).
• Prirodzené $p\; >\; 1$ je jednoduchý vtedy a len vtedy $(p-1)!\; +\; 1$ deleno $p$(Wilsonova veta).
• Ak $n\; >\; 1$- prirodzené, potom je tu jednoduché $p$, také že (Bertrandov postulát).
• Séria prevrátených hodnôt prvočísel sa rozchádza. Navyše, kedy $x\backslash to\backslash infty$
• Akýkoľvek aritmetický postup formulára $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Kde $a,\; q\; >\; 1$- celé čísla prvočísla, obsahuje nekonečne veľa prvočísel (Dirichletova veta o prvočíslach v aritmetickej postupnosti).
• Každé prvočíslo väčšie ako 3 môže byť reprezentované ako $6\; tisíc\; +\; 1$ alebo $6k-1$, Kde $k$- nejaké prirodzené číslo. Ak je teda rozdiel medzi niekoľkými po sebe idúcimi prvočíslami (pre k>1) rovnaký, potom je nevyhnutne násobkom 6 – napríklad: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Ak $p\; >\; 3$- tak jednoduché $p^2-1$ je násobkom 24 (platí aj pre všetky nepárne čísla, ktoré nie sú deliteľné 3).
• Green-Tao veta. Existujú ľubovoľne dlhé konečné aritmetické postupnosti pozostávajúce z prvočísel.
• $n^k-1$, Kde n>2, k>1. Inými slovami, číslo za prvočíslom nemôže byť druhá mocnina alebo vyššia mocnina so základom väčším ako 2. Z toho tiež vyplýva, že ak má prvočíslo tvar $2^k-1$, To k- prvočíslo (pozri Mersennove čísla).
• Žiadne prvočíslo nemôže mať tvar $n^(2k+1)+1$, Kde n>1, k>0. Inými slovami, číslo pred prvočíslom nemôže byť kocka alebo vyššia nepárna mocnina so základom väčším ako 1.

Vzorce na hľadanie prvočísel

V rôznych časoch sa robili pokusy naznačiť výraz, ktorého hodnoty by vzhľadom na rôzne hodnoty premenných v ňom obsiahnutých boli prvočísla. L. Euler upozornil na polynóm $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ preberanie jednoduchých hodnôt pri n = 0, 1, 2, ..., 40. Avšak, kedy n = 41 hodnota polynómu je zložené číslo. Dá sa dokázať, že v jednej premennej n nie je polynóm, ktorý by mal prvočíslo pre všetky celé čísla n. P. Fermat navrhol, aby všetky čísla tvaru 2 2 k + 1 jednoduchý; Euler však túto hypotézu vyvrátil dôkazom, že číslo 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - zložený.

Existujú však polynómy, ktorých množina kladných hodnôt s nezápornými hodnotami premenných sa zhoduje s množinou prvočísel. Jedným z príkladov je polynóm

• $\backslash začať(zarovnať)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(align) obsahuje 26 premenných a má stupeň 25. Najmenší stupeň pre známe polynómy tohto typu je 5 so 42 premennými; najmenší počet premenných je 10 so stupňom približne 1,6·10 45. Tento výsledok je špeciálnym prípadom diofantínskej vlastnosti akejkoľvek nespočetnej množiny, ktorú dokázal Jurij Matiyasevič.

Otvorené otázky

Stále existuje veľa otvorených otázok týkajúcich sa prvočísel, z ktorých najznámejšie uviedol Edmund Landau na Piatom medzinárodnom matematickom kongrese:

Otvoreným problémom je aj existencia nekonečného počtu prvočísel v mnohých celočíselných postupnostiach vrátane Mersennových čísel, Fibonacciho čísel, Fermatových čísel atď.

Aplikácie

Veľké prvočísla (rádovo 10 300) sa používajú v kryptografii s verejným kľúčom. Prvočísla sa tiež používajú v hašovacích tabuľkách a na generovanie pseudonáhodných čísel (najmä v Mersenne Twister PRNG).

Variácie a zovšeobecnenia

• V teórii prstencov, odvetví všeobecnej algebry, je definovaný pojem prvočíselného prvku a prvočísla.
• V teórii uzlov je koncept jednoduchého uzla definovaný ako netriviálny uzol, ktorý nemožno reprezentovať ako spojený súčet netriviálnych uzlov.

pozri tiež

Napíšte recenziu na článok "Prvočíslo"

Poznámky

Úryvok charakterizujúci prvočíslo

Natasha bola pokojnejšia, no nie veselšia. Vyhýbala sa nielen všetkým vonkajším podmienkam radosti: plesom, korčuľovaniu, koncertom, divadlu; ale nikdy sa nesmiala tak, aby z jej smiechu nebolo počuť slzy. Nevedela spievať. Len čo sa začala smiať alebo sa pokúšala spievať sama sebe, slzy ju udusili: slzy pokánia, slzy spomienok na ten neodvolateľný, čistý čas; slzy frustrácie, že si zničila svoj mladý život, ktorý mohol byť taký šťastný, pre nič za nič. Zvlášť smiech a spev sa jej zdali rúhaním sa jej smútku. Nikdy neuvažovala o koketérii; ani nemusela abstinovať. Povedala a cítila, že v tom čase boli pre ňu všetci muži presne takí istí ako šašo Nastasya Ivanovna. Vnútorná stráž jej rázne zakazovala akúkoľvek radosť. A nemala všetky staré životné záujmy z toho dievčenského, bezstarostného a nádejného spôsobu života. Najčastejšie a najbolestivejšie spomínala na jesenné mesiace, poľovačku, strýka a Vianoce strávené s Mikulášom v Otradnom. Čo by dala za to, aby priniesla len jeden deň z tej doby! S tým bol ale navždy koniec. Vtedy ju neklamala predtucha, že ten stav slobody a otvorenosti všetkým radostiam sa už nikdy nevráti. Ale musel som žiť.
Potešilo ju, že nie je lepšia, ako si predtým myslela, ale horšia a oveľa horšia ako všetci, všetci na svete. Ale toto nestačilo. Vedela to a pýtala sa sama seba: „Čo ďalej?“ A potom nebolo nič. V živote nebola žiadna radosť a život prešiel. Natasha sa očividne len snažila, aby nikomu nebola na ťarchu a nikoho nerušila, ale pre seba nič nepotrebovala. Doma sa od všetkých odsťahovala a len s bratom Peťom sa cítila dobre. Milovala byť s ním viac ako s inými; a niekedy, keď s ním bola tvárou v tvár, smiala sa. Takmer nevychádzala z domu a z tých, ktorí k nim prišli, bola šťastná len s Pierrom. Nedalo sa s ňou zaobchádzať nežnejšie, starostlivejšie a zároveň vážnejšie, ako sa k nej správal gróf Bezukhov. Natasha Oss vedome pociťovala túto nehu zaobchádzania, a preto našla v jeho spoločnosti veľké potešenie. Ale ani mu nebola vďačná za jeho nežnosť; nič dobré z Pierrovej strany sa jej nezdalo ako námaha. Pierreovi sa zdalo také prirodzené byť ku každému láskavý, že jeho láskavosť nemala žiadnu zásluhu. Niekedy si Natasha všimla Pierrove rozpaky a trápnosť v jej prítomnosti, najmä keď pre ňu chcel urobiť niečo príjemné alebo keď sa bál, že niečo v rozhovore vyvolá pre Natashu ťažké spomienky. Všimla si to a pripisovala to jeho všeobecnej láskavosti a hanblivosti, ktorá podľa jej predstáv, rovnako ako u nej, mala byť u každého. Po tých nečakaných slovách, že keby bol na slobode, bol by na kolenách a žiadal ju o ruku a lásku, vyslovené v momente takého silného vzrušenia pre ňu, Pierre nikdy nepovedal nič o svojich citoch k Natashe; a bolo jej jasné, že tie slová, ktoré ju vtedy tak utešovali, boli vyslovené tak, ako sa hovorí všelijakými nezmyselnými slovami, aby utešili plačúce dieťa. Nie preto, že by bol Pierre ženatý muž, ale preto, že Natasha medzi sebou a ním do najvyššej miery cítila tú silu morálnych bariér - ktorých absenciu cítila s Kyraginom - nikdy ju nenapadlo, že by sa mohla dostať zo vzťahu s Pierrom. nielen láska z jej strany, alebo ešte menej z jeho strany, ale aj také nežné, sebauznávané, poetické priateľstvo medzi mužom a ženou, o ktorých poznala niekoľko príkladov.
Na konci Petrovho pôstu sa Agrafena Ivanovna Belova, suseda Rostovcov z Otradnenského, prišla do Moskvy pokloniť moskovským svätcom. Pozvala Natašu, aby sa postila, a Nataša sa tohto nápadu s radosťou chopila. Napriek tomu, že lekár zakázal vychádzať skoro ráno, Nataša trvala na pôste, a to nie tak, ako sa zvyčajne postili v dome Rostovcov, teda zúčastniť sa troch bohoslužieb doma, ale postiť sa tak, ako sa postila Agrafena Ivanovna, tj. , na celý týždeň bez toho, aby chýbala jediná vešpera, omša či matutín.
Grófke sa tento zápal Nataši páčil; V duši po neúspešnom liečení dúfala, že modlitba jej pomôže s ďalšími liekmi, a hoci so strachom a skrývajúc to pred lekárom, súhlasila s Natašiným želaním a zverila ju Belovej. Agrafena Ivanovna prišla zobudiť Natashu o tretej hodine ráno a väčšinou ju zistila, že už nespí. Natasha sa bála počas matiniek zaspať. Narýchlo si umyla tvár a pokorne sa obliekla do svojich najhorších šiat a starej mantily, chvejúc sa sviežosťou, vyšla Nataša do opustených ulíc, priehľadne osvetlených ranným úsvitom. Na radu Agrafeny Ivanovny sa Nataša nepostila vo svojej farnosti, ale v kostole, v ktorom bol podľa zbožnej Belovej veľmi prísny a vysoko žijúci kňaz. V kostole bolo vždy málo ľudí; Nataša a Belova zaujali svoje obvyklé miesto pred ikonou Matky Božej, vloženou do zadnej časti ľavého chóru, a nový cit pre Natašu pred veľkým, nepochopiteľným, ju zahalil, keď v túto nezvyčajnú rannú hodinu, Pri pohľade na čiernu tvár Matky Božej, osvetlenú sviečkami, horiacimi pred ním a ranným svetlom dopadajúcim z okna, počúvala zvuky bohoslužby, ktoré sa snažila sledovať a chápať ich. Keď ich pochopila, k modlitbe sa pripojil aj jej osobný pocit so svojimi nuansami; keď nerozumela, bolo pre ňu ešte sladšie pomyslieť si, že túžba všetkému rozumieť je pýcha, že všetkému sa rozumieť nedá, že treba len veriť a odovzdať sa Bohu, ktorý v tých chvíľach — cítila — vládol jej duši. Prekrížila sa, poklonila sa, a keď nerozumela, len zdesená nad svojou ohavnosťou prosila Boha, aby jej všetko, za všetko odpustil a zmiloval sa. Modlitby, ktorým sa najviac venovala, boli modlitby pokánia. Po návrate domov v skorých ranných hodinách, keď do práce chodili len murári, domovníci zametali ulicu a všetci v domoch ešte spali, Nataša pre ňu zakúsila nový pocit z možnosti napraviť sa zo svojich nerestí. možnosť nového, čistého života a šťastia.
Počas celého týždňa, počas ktorého viedla tento život, tento pocit rástol každým dňom. A šťastie z toho, že sa pripojila alebo komunikovala, ako jej povedala Agrafena Ivanovna, radostne sa pohrávajúc s týmto slovom, sa jej zdalo také veľké, že sa jej zdalo, že sa tejto blaženej nedele nedožije.
Ale prišiel šťastný deň, a keď sa Nataša v túto pamätnú nedeľu vrátila zo svätého prijímania v bielych mušelínových šatách, po dlhých mesiacoch sa prvýkrát cítila pokojne a nezaťažovala ju život, ktorý ju čakal.
Lekár, ktorý v ten deň prišiel, Natashu vyšetril a nariadil jej, aby pokračovala v posledných práškoch, ktoré predpísal pred dvoma týždňami.
"Musíme pokračovať, ráno a večer," povedal, zjavne svedomito spokojný so svojím úspechom. - Prosím, buďte opatrnejší. „Buďte pokojná, grófka,“ povedal doktor žartom a šikovne zdvihol zlato do miazgy, „čoskoro začne opäť spievať a šantiť. Posledný liek je pre ňu veľmi, veľmi dobrý. Je veľmi osviežená.
Grófka sa pozrela na svoje nechty a odpľula si, vrátila sa do obývačky s veselou tvárou.

Začiatkom júla sa v Moskve šírili čoraz viac znepokojujúce klebety o postupe vojny: hovorili o apele panovníka na ľudí, o príchode samotného panovníka z armády do Moskvy. A keďže manifest a výzva nedostali pred 11. júlom, kolovali o nich a o situácii v Rusku prehnané reči. Hovorili, že panovník odchádza, pretože armáda je v nebezpečenstve, hovorili, že Smolensk bol odovzdaný, Napoleon má milión vojakov a že Rusko môže zachrániť len zázrak.
V sobotu 11. júla bol manifest prijatý, ale ešte nebol vytlačený; a Pierre, ktorý bol na návšteve u Rostovcov, sľúbil, že na druhý deň, v nedeľu, príde na večeru a prinesie manifest a výzvu, ktorú dostane od grófa Rastopchina.
Túto nedeľu išli Rostovci ako zvyčajne na omšu do domáceho kostola Razumovských. Bol horúci júlový deň. Už o desiatej, keď Rostovci vystúpili z koča pred kostolom, v horúcom vzduchu, v kriku kramárov, v žiarivých a ľahkých letných šatách davu, v zaprášenom lístí hl. stromy bulváru, vo zvukoch hudby a bielych nohaviciach práporu pochodujúceho na pochode, v hromoch na chodníku a v jasnom lesku horúceho slnka bola tá letná malátnosť, spokojnosť a nespokojnosť so súčasnosťou, čo je obzvlášť ostro cítiť za jasného horúceho dňa v meste. V Razumovskom kostole bola celá moskovská šľachta, všetci známi Rostovovcov (tento rok, ako keby niečo očakávali, zostalo v meste veľa bohatých rodín, ktoré zvyčajne cestovali do dedín). Natasha, ktorá prešla za lokajom v livreji, ktorý rozdeľoval dav pri jej matke, počula hlas mladého muža, ktorý o nej hovoril príliš hlasným šepotom:
- Toto je Rostova, tá istá...
- Toľko schudla, ale stále je dobrá!
Počula, alebo sa jej zdalo, že sa spomínajú mená Kuragina a Bolkonského. Vždy sa jej to však tak zdalo. Vždy sa jej zdalo, že všetci pri pohľade na ňu mysleli len na to, čo sa jej stalo. Utrpená a blednúca v duši, ako vždy v dave, kráčala Natasha vo svojich fialových hodvábnych šatách s čiernou čipkou tak, ako môžu chodiť ženy – čím pokojnejšie a majestátnejšie, tým bola v duši bolestivejšia a zahanbenejšia. Vedela a nemýlila sa, že je dobrá, ale to ju teraz nepotešilo ako predtým. Práve naopak, práve toto ju najnovšie potrápilo a najmä v tento jasný, horúci letný deň v meste. „Ďalšia nedeľa, ďalší týždeň,“ povedala si, keď si spomenula, ako tu bola v tú nedeľu, „a stále ten istý život bez života a rovnaké podmienky, v ktorých sa predtým žilo tak ľahko. Je dobrá, je mladá a ja viem, že teraz som dobrý, predtým som bol zlý, ale teraz som dobrý, viem,“ pomyslela si, „a tak tie najlepšie roky pre nikoho plynú nadarmo. Stála vedľa mamy a vymieňala si slová s blízkymi známymi. Natasha si zo zvyku prezrela dámske šaty, odsúdila tenue [správanie] a neslušný spôsob prekríženia sa rukou v malom priestore jednej dámy stojacej neďaleko, opäť si s mrzutosťou myslela, že ju súdia, že tiež súdila, a zrazu, keď počula zvuky služby, bola zdesená svojou ohavnosťou, zdesená, že jej bývalá čistota sa opäť stratila.
Pekný, tichý starec slúžil s tou jemnou vážnosťou, ktorá má taký majestátny, upokojujúci účinok na duše modliacich sa. Kráľovské dvere sa zavreli, opona sa pomaly zatvorila; niečo odtiaľ povedal tajomný tichý hlas. V Natašinej hrudi stáli slzy, pre ňu nepochopiteľné, a znepokojoval ju radostný a bolestivý pocit.
„Naučte ma, čo by som mala robiť, ako sa môžem zlepšovať navždy, navždy, čo by som mala robiť so svojím životom...“ pomyslela si.
Diakon vyšiel na kazateľnicu, narovnal si svoje dlhé vlasy spod nánožníka, zoširoka držal palec, položil si kríž na hruď a nahlas a slávnostne začal čítať slová modlitby:
- Modlime sa k Pánovi v pokoji.
„Modlime sa v pokoji – všetci spolu, bez rozdielu tried, bez nepriateľstva a spojení bratskou láskou,“ pomyslela si Nataša.
- O nebeskom svete a spáse našich duší!
„Za pokoj anjelov a duší všetkých netelesných stvorení, ktoré žijú nad nami,“ modlila sa Nataša.
Keď sa modlili za armádu, spomenula si na svojho brata a Denisova. Keď sa modlili za tých, ktorí sa plavia a cestujú, spomenula si na princa Andreja a modlila sa za neho a modlila sa, aby jej Boh odpustil zlo, ktoré mu spôsobila. Keď sa modlili za tých, ktorí nás milovali, modlila sa za svoju rodinu, za svojho otca, matku, Sonyu, teraz po prvý raz pochopila všetku svoju vinu pred nimi a pocítila všetku silu svojej lásky k nim. Keď sa modlili za tých, ktorí nás nenávideli, vymyslela si nepriateľov a neprajníkov, aby sa za nich modlila. Medzi svojich nepriateľov počítala veriteľov a všetkých, ktorí mali čo do činenia s jej otcom, a zakaždým, keď myslela na nepriateľov a neprajníkov, spomenula si na Anatola, ktorý jej toľko ublížil, a hoci nebol nenávistný, s radosťou sa modlila pre neho ako pre nepriateľa. Iba počas modlitby sa cítila schopná jasne a pokojne si spomenúť na princa Andreja a Anatola ako na ľudí, ku ktorým boli jej city zničené v porovnaní s pocitom strachu a úcty k Bohu. Keď sa modlili za kráľovskú rodinu a za synodu, obzvlášť nízko sa uklonila a prekrížila sa, hovoriac si, že ak tomu nerozumie, nemôže pochybovať a stále miluje vládnucu synodu a modlí sa za ňu.
Po skončení litánie si diakon prekrížil orarion okolo hrude a povedal:
- "Odovzdávame seba a svoj život Kristovi Bohu."
"Odovzdáme sa Bohu," opakovala Natasha v duši. "Môj Bože, odovzdávam sa tvojej vôli," pomyslela si. - nič nechcem, po ničom netúžim; nauč ma, čo mám robiť, kde použiť svoju vôľu! Vezmi si ma, vezmi ma! - povedala Natasha s nežnou netrpezlivosťou v duši, bez toho, aby sa prekrížila, spustila tenké ruky a akoby očakávala, že ju vezme neviditeľná sila a oslobodí ju od nej samej, od jej výčitiek, túžob, výčitiek, nádejí a nerestí.
Počas bohoslužby sa grófka niekoľkokrát pozrela na nežnú tvár svojej dcéry s iskrivými očami a modlila sa k Bohu, aby jej pomohol.

Definícia 1. prvočíslo− je prirodzené číslo väčšie ako jedna, ktoré je deliteľné iba sebou samým a 1.

Inými slovami, číslo je prvočíslo, ak má iba dvoch odlišných prirodzených deliteľov.

Definícia 2. Volá sa akékoľvek prirodzené číslo, ktoré má okrem seba a jedného aj iných deliteľov zložené číslo.

Inými slovami, prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami, sa nazývajú zložené čísla. Z definície 1 vyplýva, že zložené číslo má viac ako dva prirodzené faktory. Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené, pretože má iba jedného deliteľa 1 a navyše mnohé vety o prvočíslach pre jednotu neplatia.

Z definícií 1 a 2 vyplýva, že každé kladné celé číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo alebo zložené číslo.

Nižšie je uvedený program na zobrazenie prvočísel do 5000. Vyplňte bunky, kliknite na tlačidlo „Vytvoriť“ a počkajte niekoľko sekúnd.

Tabuľka prvočísel

Vyhlásenie 1. Ak p- prvočíslo a a akékoľvek celé číslo, potom buď a deleno p, alebo p A a coprime čísla.

Naozaj. Ak p Prvočíslo je deliteľné iba samo sebou a 1, ak a nedeliteľné p, potom najväčší spoločný deliteľ a A p sa rovná 1. Potom p A a coprime čísla.

Vyhlásenie 2. Ak je súčin niekoľkých čísel a 1 , a 2 , a 3, ... je deliteľné prvočíslom p, potom aspoň jedno z čísel a 1 , a 2 , a 3, ...deliteľné p.

Naozaj. Ak žiadne z čísel nebolo deliteľné p, potom čísla a 1 , a 2 , a 3, ... by boli vedľajšie čísla vzhľadom na p. Ale z Dôsledku 3 () vyplýva, že ich produkt a 1 , a 2 , a 3, ... je tiež relatívne prvotriedny vzhľadom na p, čo odporuje podmienke vyjadrenia. Preto je aspoň jedno z čísel deliteľné p.

Veta 1. Akékoľvek zložené číslo môže byť vždy reprezentované jedinečným spôsobom ako súčin konečného počtu prvočísel.

Dôkaz. Nechaj k zložené číslo, a nech a 1 je jeden z jeho deliteľov odlišný od 1 a samého seba. Ak a 1 je zložený, potom má navyše k 1 a a 1 a ďalším deliteľom a 2. Ak a 2 je zložené číslo, potom má okrem 1 aj a 2 a ďalším deliteľom a 3. Uvažovať týmto spôsobom a brať do úvahy, že čísla a 1 , a 2 , a 3 , ... pokles a tento rad obsahuje konečný počet členov, dostaneme sa k nejakému prvočíslu p 1. Potom k môžu byť zastúpené vo forme

Predpokladajme, že existujú dva rozklady čísla k:

Pretože k=p 1 p 2 p 3...deliteľné prvočíslom q 1, potom aspoň jeden z faktorov, napr p 1 je deliteľné q 1. ale p 1 je prvočíslo a je deliteľné iba 1 a sebou samým. Preto p 1 =q 1 (pretože q 1 ≠1)

Potom z (2) môžeme vylúčiť p 1 a q 1:

Sme teda presvedčení, že každé prvočíslo, ktoré sa raz alebo viackrát objaví ako činiteľ v prvom rozvoji, sa aspoň toľkokrát objaví aj v druhom rozvoji a naopak každé prvočíslo, ktoré sa objaví ako činiteľ v druhom rozvoji. jeden alebo viackrát sa tiež objaví v prvej expanzii aspoň toľkokrát. Preto sa každé prvočíslo javí ako faktor v oboch rozšíreniach rovnako veľakrát, a preto sú tieto dva rozšírenia rovnaké.■

Rozšírenie zloženého čísla k možno napísať v nasledujúcej forme

Kde p 1 , p 2, ... rôzne prvočísla, α, β, γ ... kladné celé čísla.

Rozšírenie (3) sa nazýva kanonické rozšíreniečísla.

Prvočísla sa v rade prirodzených čísel vyskytujú nerovnomerne. V niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Čím ďalej sa pohybujeme po číselnom rade, tým menej časté sú prvočísla. Vynára sa otázka, či existuje najväčšie prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa. Tento dôkaz uvádzame nižšie.

Veta 2. Počet prvočísel je nekonečný.

Dôkaz. Predpokladajme, že existuje konečný počet prvočísel a nech je najväčšie prvočíslo p. Uvažujme všetky čísla väčšie p. Podľa predpokladu tvrdenia musia byť tieto čísla zložené a musia byť deliteľné aspoň jedným z prvočísel. Vyberme si číslo, ktoré je súčinom všetkých týchto prvočísel plus 1:

číslo z viac p pretože 2p už viac p. p nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri delení každým z nich dáva zvyšok 1. Tak sa dostávame k rozporu. Preto existuje nekonečný počet prvočísel.

Táto veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej vety:

Veta 3. Nech je uvedený aritmetický postup

Potom zahrnuté akékoľvek prvočíslo n, by mali byť zahrnuté v m, teda v n iné hlavné faktory, ktoré nie sú zahrnuté m a navyše tieto hlavné faktory v n sú zahrnuté nie viackrát ako v m.

Platí to aj naopak. Ak je každý prvočiniteľ čísla n zahrnutá aspoň toľkokrát do počtu m, To m deleno n.

Vyhlásenie 3. Nechaj a 1 ,a 2 ,a 3,... rôzne prvočísla zahrnuté v m Takže

Kde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Všimni si α i prijíma α +1 hodnoty, β j prijíma β +1 hodnoty, γ k prijíma γ +1 hodnoty, ... .