จำนวนใดไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ จำนวนเฉพาะ. ตัวเลขประกอบ จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ?

ทฤษฎีบท.

จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์

การพิสูจน์.

สมมติว่านี่ไม่ใช่กรณี นั่นคือ สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะ n ตัวเท่านั้น และจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือ p 1, p 2, ..., p n ให้เราแสดงว่าเราสามารถหาจำนวนเฉพาะที่แตกต่างจากที่ระบุได้เสมอ

พิจารณาจำนวน p เท่ากับ p 1 ·p 2 ·…·p n +1 เห็นได้ชัดว่าจำนวนนี้แตกต่างจากจำนวนเฉพาะแต่ละตัว p 1, p 2, ..., p n หากจำนวน p เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่าทฤษฎีบทนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว ถ้าจำนวนนี้เป็นจำนวนประกอบ ดังนั้นโดยอาศัยทฤษฎีบทที่แล้ว จะมีตัวหารเฉพาะของจำนวนนี้ (เราแสดงว่ามัน p n+1) ให้เราแสดงว่าตัวหารนี้ไม่ตรงกับตัวเลขใดๆ p 1, p 2, ..., p n

หากไม่เป็นเช่นนั้น ตามคุณสมบัติของการหารลงตัว ผลคูณ p 1 ·p 2 ·…·p n จะถูกหารด้วย p n+1 แต่จำนวน p ก็หารด้วย p n+1 ลงตัวเช่นกัน ซึ่งเท่ากับผลรวม p 1 ·p 2 ·…·p n +1 ตามมาว่า p n+1 ต้องหารเทอมที่สองของผลบวกนี้ ซึ่งเท่ากับ 1 แต่เป็นไปไม่ได้

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถพบจำนวนเฉพาะใหม่ได้เสมอซึ่งไม่รวมอยู่ในจำนวนเฉพาะที่กำหนดไว้ล่วงหน้า จึงมีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน

ดังนั้น เนื่องจากจำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ คุณจึงจำกัดตัวเองจากด้านบนให้เหลือเพียงจำนวนใดจำนวนหนึ่ง เช่น 100, 1,000, 10,000 เป็นต้น

ตะแกรงเอราทอสเทเนส

ตอนนี้เราจะพูดถึงวิธีสร้างตารางจำนวนเฉพาะ สมมติว่าเราต้องสร้างตารางจำนวนเฉพาะจนถึง 100

วิธีที่ชัดเจนที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการตรวจสอบจำนวนเต็มบวกตามลำดับ โดยเริ่มจาก 2 และลงท้ายด้วย 100 ว่ามีตัวหารบวกที่มากกว่า 1 และน้อยกว่าจำนวนที่ทดสอบ (จากคุณสมบัติการหารที่เราทราบ ว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารไม่เกินค่าสัมบูรณ์ของเงินปันผลไม่เป็นศูนย์) หากไม่พบตัวหารดังกล่าว จำนวนที่กำลังทดสอบจะเป็นจำนวนเฉพาะและนำไปใส่ลงในตารางจำนวนเฉพาะ หากพบตัวหารดังกล่าว จำนวนที่กำลังทดสอบจะเป็นจำนวนประกอบ แต่จะไม่มีการป้อนลงในตารางจำนวนเฉพาะ หลังจากนั้นจะมีการเปลี่ยนแปลงไปยังหมายเลขถัดไปซึ่งจะมีการตรวจสอบว่ามีตัวหารในทำนองเดียวกันหรือไม่

มาอธิบายขั้นตอนแรกกัน

เราเริ่มต้นด้วยหมายเลข 2 จำนวน 2 ไม่มีตัวหารบวกนอกจาก 1 และ 2 ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่าย เราจึงใส่มันลงในตารางจำนวนเฉพาะ ในที่นี้จะบอกว่า 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด เรามาต่อกันที่อันดับ 3 กันเลย ตัวหารบวกที่เป็นไปได้ที่ไม่ใช่ 1 และ 3 คือเลข 2 แต่ 3 หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้ ดังนั้น 3 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ และต้องรวมไว้ในตารางจำนวนเฉพาะด้วย เรามาต่อกันที่อันดับ 4 กันเลย ตัวหารบวกที่ไม่ใช่ 1 และ 4 อาจเป็นตัวเลข 2 และ 3 มาตรวจสอบกันดีกว่า จำนวน 4 หารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น 4 จึงเป็นจำนวนประกอบและไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในตารางจำนวนเฉพาะ โปรดทราบว่า 4 เป็นจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด เรามาต่อกันที่อันดับ 5 กันเลย เราตรวจสอบว่าอย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข 2, 3, 4 เป็นตัวหารหรือไม่ เนื่องจาก 5 หารด้วย 2, 3 หรือ 4 ไม่ลงตัว จึงเป็นจำนวนเฉพาะ และต้องเขียนลงในตารางจำนวนเฉพาะ จากนั้นจะมีการเปลี่ยนไปใช้ตัวเลข 6, 7 และต่อไปจนถึง 100

วิธีการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะนี้ยังห่างไกลจากอุดมคติ ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเขามีสิทธิ์ที่จะดำรงอยู่ โปรดทราบว่าเมื่อใช้วิธีสร้างตารางจำนวนเต็มนี้ คุณจะใช้เกณฑ์การหารลงตัวได้ ซึ่งจะทำให้กระบวนการหาตัวหารเร็วขึ้นเล็กน้อย

มีวิธีที่สะดวกกว่าในการสร้างตารางจำนวนเฉพาะที่เรียกว่า คำว่า "ตะแกรง" ที่อยู่ในชื่อไม่ใช่เรื่องบังเอิญ เนื่องจากการกระทำของวิธีนี้ช่วยในการ "กรอง" จำนวนเต็มและหน่วยขนาดใหญ่ผ่านตะแกรงของ Eratosthenes เพื่อแยกอันธรรมดาออกจากอันประกอบ

เรามาแสดงการทำงานของตะแกรงของ Eratosthenes เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะมากถึง 50

ขั้นแรกให้เขียนตัวเลข 2, 3, 4, ..., 50 ตามลำดับ

เลขตัวแรกที่เขียน 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ตอนนี้ จากหมายเลข 2 เราเลื่อนไปทางขวาตามลำดับด้วยตัวเลขสองตัว และขีดฆ่าตัวเลขเหล่านี้ออกจนกระทั่งถึงจุดสิ้นสุดของตารางตัวเลขที่กำลังรวบรวม วิธีนี้จะขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของสอง

เลขตัวแรกถัดจาก 2 ที่ไม่ได้ขีดฆ่าคือ 3 หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ตอนนี้จากหมายเลข 3 เราเลื่อนไปทางขวาตามลำดับด้วยตัวเลขสามตัว (โดยคำนึงถึงตัวเลขที่ขีดฆ่าแล้ว) แล้วขีดฆ่าพวกมัน วิธีนี้จะขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของสาม

เลขตัวแรกถัดจาก 3 ที่ไม่ได้ขีดฆ่าคือ 5 หมายเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ตอนนี้จากหมายเลข 5 เราเลื่อนไปทางขวาอย่างต่อเนื่องด้วยตัวเลข 5 ตัว (เรายังคำนึงถึงตัวเลขที่ขีดฆ่าก่อนหน้านี้ด้วย) และขีดฆ่าพวกมัน วิธีนี้จะขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นผลคูณของห้า

ต่อไป เราจะขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7 จากนั้นคูณด้วย 11 และอื่นๆ กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อไม่มีตัวเลขให้ขีดฆ่าอีกต่อไป ด้านล่างนี้เป็นตารางจำนวนเฉพาะจนถึง 50 ที่ได้โดยใช้ตะแกรงเอราทอสเธนีส จำนวนที่ไม่ถูกขีดฆ่าทั้งหมดนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และจำนวนที่ขีดฆ่าทั้งหมดนั้นเป็นจำนวนประกอบ

เรามากำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่จะเร่งกระบวนการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะโดยใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีสกันดีกว่า

ทฤษฎีบท.

ตัวหารบวกที่น้อยที่สุดของจำนวนประกอบ a ที่แตกต่างจากตัวหนึ่งจะต้องไม่เกิน โดยที่ มาจาก a

การพิสูจน์.

ให้เราแสดงด้วยตัวอักษร b ซึ่งเป็นตัวหารที่น้อยที่สุดของจำนวนประกอบ a ที่แตกต่างจากตัวหนึ่ง (ตัวเลข b เป็นจำนวนเฉพาะ ดังต่อจากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วในตอนต้นของย่อหน้าก่อนหน้า) จากนั้นจะมีจำนวนเต็ม q โดยที่ a=b·q (ในที่นี้ q คือจำนวนเต็มบวก ซึ่งเป็นไปตามกฎของการคูณจำนวนเต็ม) และ (สำหรับ b>q เงื่อนไขที่ b เป็นตัวหารที่น้อยที่สุดของ a จะถูกละเมิด เนื่องจาก q เป็นตัวหารของจำนวน a เนื่องจากความเท่าเทียมกัน a=q·b ) โดยการคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วยค่าบวกและจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่ง (เราได้รับอนุญาตให้ทำเช่นนี้) เราได้รับ จากการที่ และ .

ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วให้ประโยชน์อะไรแก่เราเกี่ยวกับตะแกรงของเอราทอสเทนีส

ประการแรก การขีดฆ่าจำนวนประกอบที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะ b ควรขึ้นต้นด้วยจำนวนที่เท่ากับ (ซึ่งตามมาจากอสมการ) ตัวอย่างเช่น การขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของทั้งสองควรเริ่มต้นด้วยตัวเลข 4, ทวีคูณของสามด้วยตัวเลข 9, ผลคูณของห้าด้วยตัวเลข 25 และอื่นๆ

ประการที่สอง การรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะจนถึงจำนวน n โดยใช้ตะแกรงเอราทอสเธนีสจะถือว่าสมบูรณ์เมื่อจำนวนประกอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะไม่เกิน ในตัวอย่างของเรา n=50 (เนื่องจากเรากำลังสร้างตารางจำนวนเฉพาะจนถึง 50) ดังนั้น ตะแกรงเอราทอสเทนีสจึงควรกำจัดจำนวนประกอบทั้งหมดที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ 2, 3, 5 และ 7 ที่ทำ ไม่เกินรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 50 นั่นคือ เราไม่จำเป็นต้องค้นหาและขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะ 11, 13, 17, 19, 23 และอื่นๆ จนถึง 47 อีกต่อไป เนื่องจากพวกมันจะถูกขีดฆ่าเป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดเล็กกว่า 2 อีกต่อไป , 3, 5 และ 7 .

จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ?

งานบางอย่างจำเป็นต้องค้นหาว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ โดยทั่วไปงานนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับตัวเลขที่การเขียนประกอบด้วยอักขระจำนวนมาก ในกรณีส่วนใหญ่ คุณจะต้องมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง อย่างไรก็ตาม เราจะพยายามกำหนดทิศทางให้กับขบวนความคิดในกรณีง่ายๆ

แน่นอน คุณสามารถลองใช้การทดสอบการหารลงตัวเพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนที่กำหนดนั้นเป็นจำนวนประกอบ ตัวอย่างเช่น หากการทดสอบการหารลงตัวแสดงว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ลงตัวแล้ว จำนวนดั้งเดิมจะเป็นจำนวนประกอบ

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่า 898,989,898,989,898,989 เป็นจำนวนประกอบ

สารละลาย.

ผลรวมของตัวเลขนี้คือ 9·8+9·9=9·17 เนื่องจากตัวเลขที่เท่ากับ 9·17 หารด้วย 9 ลงตัว ดังนั้นการหารด้วย 9 ลงตัว เราจึงบอกได้ว่าจำนวนเดิมก็หารด้วย 9 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นแบบประกอบ

ข้อเสียเปรียบที่สำคัญของแนวทางนี้คือเกณฑ์การหารลงตัวไม่อนุญาตให้พิสูจน์ความเป็นไพรม์ของจำนวนได้ ดังนั้นเมื่อทดสอบตัวเลขเพื่อดูว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ คุณต้องดำเนินการแตกต่างออกไป

แนวทางที่สมเหตุสมผลที่สุดคือลองตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนที่กำหนด หากไม่มีตัวหารที่เป็นไปได้ที่เป็นตัวหารจริงของจำนวนที่กำหนด จำนวนนี้จะเป็นจำนวนเฉพาะ ไม่เช่นนั้นจะถูกประกอบเข้าด้วยกัน จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วในย่อหน้าก่อน เป็นไปตามว่าจะต้องหาตัวหารของจำนวนที่กำหนด a ในจำนวนเฉพาะไม่เกิน ดังนั้น จำนวน a จึงสามารถหารตามลำดับด้วยจำนวนเฉพาะ (ซึ่งนำมาจากตารางจำนวนเฉพาะอย่างสะดวก) โดยพยายามหาตัวหารของจำนวน a หากพบตัวหาร จำนวน a จะเป็นจำนวนประกอบ ถ้าจำนวนเฉพาะในจำนวนไม่เกิน ไม่มีตัวหารของจำนวน a แสดงว่าจำนวน a นั้นเป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่าง.

ตัวเลข 11 723 ง่ายหรือประสม?

สารละลาย.

เรามาดูกันว่าตัวหารของจำนวน 11,723 สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เท่าใด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มาประเมินกัน

มันค่อนข้างชัดเจนว่า ตั้งแต่ 200 2 = 40,000 และ 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью การเปรียบเทียบตัวเลข). ดังนั้น ตัวประกอบเฉพาะที่เป็นไปได้ของ 11,723 จึงน้อยกว่า 200 สิ่งนี้ทำให้งานของเราง่ายขึ้นมาก หากเราไม่ทราบสิ่งนี้ เราจะต้องผ่านจำนวนเฉพาะทั้งหมดไม่เกิน 200 แต่ไม่เกินจำนวน 11,723

หากต้องการคุณสามารถประเมินได้แม่นยำยิ่งขึ้น เนื่องจาก 108 2 =11,664 และ 109 2 =11,881 จากนั้น 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . ดังนั้น จำนวนเฉพาะใดๆ ที่น้อยกว่า 109 อาจเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่กำหนด 11,723

ตอนนี้เราจะแบ่งจำนวน 11,723 ออกเป็นจำนวนเฉพาะตามลำดับ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . ถ้าจำนวน 11,723 หารด้วยจำนวนเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง ก็จะนำมาประกอบกัน ถ้าหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ที่เขียนไว้ไม่ลงตัว แสดงว่าจำนวนเดิมนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ

เราจะไม่อธิบายกระบวนการแบ่งแยกที่น่าเบื่อหน่ายและซ้ำซากจำเจทั้งหมดนี้ สมมุติว่า 11,723 ทันที

หนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่? ไม่ หนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

0 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ไม่ 0 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

2 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่แล้ว 2 เป็นจำนวนเฉพาะ 2 เป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น

3 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่แล้ว 3 เป็นจำนวนเฉพาะ

5 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่แล้ว 5 เป็นจำนวนเฉพาะ

7 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่? ใช่แล้ว 7 เป็นจำนวนเฉพาะ

9 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่? ไม่ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะ 9 หารด้วยตัวมันเอง 1 และ 3 ลงตัว

11 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่ 11 เป็นจำนวนเฉพาะ

13 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่ 13 เป็นจำนวนเฉพาะ

15 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ไม่ 15 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะ 15 หารด้วยตัวมันเอง 1 3 5 ลงตัว.

17 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่ 17 เป็นจำนวนเฉพาะ

19 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่แล้ว 19 เป็นจำนวนเฉพาะ

20 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ไม่ 20 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ท้ายที่สุดแล้ว 20 หารด้วยตัวมันเอง หนึ่ง สอง สี่ ห้า หรือสิบลงตัว

777 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่? ไม่ 777 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ท้ายที่สุด 777 หารด้วยตัวมันเอง 1 3 7 37 ลงตัว

997 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่? ใช่ 997 เป็นจำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติที่หารด้วยตัวมันเองและหนึ่งลงตัวเท่านั้น

ในขณะนี้ ไม่มีอัลกอริธึมพหุนามที่รู้จักสำหรับการแยกตัวประกอบตัวเลข แม้ว่าจะไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าไม่มีอัลกอริธึมดังกล่าวก็ตาม ระบบเข้ารหัส RSA และอื่นๆ บางส่วนขึ้นอยู่กับความซับซ้อนในการคำนวณที่สูงของปัญหาการแยกตัวประกอบ การแยกตัวประกอบที่มีความซับซ้อนพหุนามเป็นไปได้ในทางทฤษฎีบนคอมพิวเตอร์ควอนตัมโดยใช้อัลกอริทึมของ Shor

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาและจดจำจำนวนเฉพาะ

วิธีง่ายๆ ในการค้นหารายการเริ่มต้นของจำนวนเฉพาะจนถึงค่าบางค่าใช้ตะแกรงของเอราทอสเธนีส ตะแกรงของซุนดาราม และตะแกรงของแอตกิน

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ แทนที่จะรับรายการจำนวนเฉพาะ คุณมักจะต้องการตรวจสอบว่าจำนวนที่กำหนดนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ อัลกอริทึมที่ช่วยแก้ปัญหานี้เรียกว่าการทดสอบเบื้องต้น มีการทดสอบพหุนามเบื้องต้นจำนวนมาก แต่ส่วนใหญ่เป็นการทดสอบความน่าจะเป็น (เช่นการทดสอบ Miller–Rabin) และใช้สำหรับความต้องการของการเข้ารหัส ในปี พ.ศ. 2545 ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าปัญหาการทดสอบปฐมภูมิสามารถแก้ไขได้ด้วยพหุนามในรูปแบบทั่วไป แต่การทดสอบ Agrawal–Kajal–Saxena แบบกำหนดเชิงกำหนดที่เสนอนั้นมีความซับซ้อนในการคำนวณค่อนข้างมาก ซึ่งทำให้การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติทำได้ยาก

สำหรับตัวเลขบางประเภทจะมีการทดสอบปฐมภูมิที่มีประสิทธิภาพเฉพาะทาง (ดูด้านล่าง)

อนันต์ของเซตของจำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ หลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดที่ทราบเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนี้ให้ไว้โดย Euclid ใน Elements (เล่ม IX ข้อความที่ 20) หลักฐานของเขาสามารถทำซ้ำโดยย่อได้ดังนี้:

นักคณิตศาสตร์เสนอข้อพิสูจน์อื่นๆ หนึ่งในนั้น (ให้โดยออยเลอร์) แสดงให้เห็นว่าผลรวมของส่วนกลับของอันแรก nเลขเด่น เติบโตไม่จำกัดตามการเติบโต n.

ตัวเลขของ Mersenne แตกต่างจากตัวเลขอื่นๆ เนื่องจากมีการทดสอบความเป็นมาที่มีประสิทธิผล: การทดสอบ Luc-Lemaire ต้องขอบคุณเขาที่ทำให้จำนวนเฉพาะของ Mersenne ถือเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่ทราบมาเป็นเวลานาน

สำหรับการค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีทศนิยมมากกว่า 100,000,000 และ 1,000,000,000 หลัก EFF ได้รับรางวัลเงินสด 150,000 ดอลลาร์สหรัฐ และ 250,000 ดอลลาร์สหรัฐ ตามลำดับ ก่อนหน้านี้ EFF ได้มอบรางวัลสำหรับการค้นหาเลขเฉพาะ 1,000,000 และ 10,000,000 หลักทศนิยม

จำนวนเฉพาะชนิดพิเศษ

มีตัวเลขจำนวนหนึ่งที่สามารถกำหนดความเป็นนายกรัฐมนตรีได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้อัลกอริธึมเฉพาะทาง

ในการค้นหาจำนวนเฉพาะของประเภทที่กำหนด ปัจจุบันมีการใช้โปรเจ็กต์การคำนวณแบบกระจาย GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen หรือ Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home

คุณสมบัติบางอย่าง

• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab แล้ว p ก็หาร a หรือ b ข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ให้โดย Euclid และเป็นที่รู้จักในชื่อบทแทรกของ Euclid ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต
• แหวนของการหักเงิน $\backslash mathbb(Z)\_n$เป็นฟิลด์ก็ต่อเมื่อเท่านั้น $n$- เรียบง่าย.
• ลักษณะเฉพาะของแต่ละฟิลด์คือศูนย์หรือจำนวนเฉพาะ
• ถ้า $พี$- เรียบง่าย แต่ $ก$- เป็นธรรมชาติแล้ว $เอ^พี-เอ$หารด้วย $พี$(ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์)
• ถ้า $ช$เป็นกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัดซึ่งมีลำดับ $|ก|$หารด้วย $พี$, ที่ $ช$มีองค์ประกอบของลำดับ $พี$(ทฤษฎีบทของคอชี).
• ถ้า $ช$เป็นกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัด และ $หน้า$- ระดับสูงสุด $พี$ซึ่งแบ่ง $|ก|$, ที่ $ช$มีกลุ่มย่อยของการสั่งซื้อ $หน้า$เรียกว่ากลุ่มย่อย Sylow ยิ่งไปกว่านั้นจำนวนกลุ่มย่อย Sylow ก็เท่ากับ $พีเค+1$เพื่อบางส่วนทั้งหมด $เค$(ทฤษฎีบทของไซโลว์)
• เป็นธรรมชาติ $พี\; >\; 1$เป็นเรื่องง่ายก็ต่อเมื่อเท่านั้น $(ป-1)!\; +1$หารด้วย $พี$(ทฤษฎีบทของวิลสัน)
• ถ้า $n\; >\; 1$- เป็นธรรมชาติแล้วก็มีแบบง่ายๆ $พี$, ดังนั้น (สมมุติฐานของเบอร์ทรานด์)
• ชุดของการผกผันของจำนวนเฉพาะจะลู่ออก นอกจากนี้เมื่อ $x\backslash ถึง\backslash infty$
• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ ของแบบฟอร์ม $ก,\; ก\; +\; คิว,\; ก\; +\; 2\; คิว,\; ก\; +\; 3\; คิว,\; ...$, ที่ไหน $ก,\; คิว\; >\; 1$- จำนวนเต็มจำนวนโคไพรม์ มีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์ (ทฤษฎีบทของดิริชเลต์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์)
• จำนวนเฉพาะทุกตัวที่มากกว่า 3 สามารถแสดงเป็นได้ $6k+1$หรือ $6k-1$, ที่ไหน $เค$- จำนวนธรรมชาติบางส่วน ดังนั้น หากผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่อยู่ติดกันหลายจำนวน (สำหรับ k>1) เท่ากัน ก็จำเป็นต้องเป็นผลคูณของ 6 เช่น 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• ถ้า $พี\; >\; 3$- ง่ายๆ แล้ว $พี^2-1$เป็นผลคูณของ 24 (เป็นจริงสำหรับเลขคี่ทั้งหมดที่หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเช่นกัน)
• ทฤษฎีบทกรีน-เต๋า มีการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัดยาวตามอำเภอใจซึ่งประกอบด้วยจำนวนเฉพาะ
• $เอ็น^เค-1$, ที่ไหน n>2, เค>1. กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนที่ตามหลังจำนวนเฉพาะต้องไม่เป็นกำลังสองหรือยกกำลังสูงกว่าและมีฐานมากกว่า 2 และยังตามมาด้วยว่าหากจำนวนเฉพาะมีรูปแบบ $2^เค-1$, ที่ เค- เฉพาะ (ดูหมายเลข Mersenne)
• ไม่มีจำนวนเฉพาะที่จะอยู่ในรูปได้ $n^(2k+1)+1$, ที่ไหน n>1, เค>0. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่อยู่หน้าจำนวนเฉพาะต้องไม่เป็นลูกบาศก์หรือเลขยกกำลังคี่ที่สูงกว่าและมีฐานมากกว่า 1

สูตรการหาจำนวนเฉพาะ

ในหลาย ๆ ครั้ง มีการพยายามที่จะระบุนิพจน์ที่มีค่าต่างๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น จะเป็นจำนวนเฉพาะ L. ออยเลอร์ชี้ให้เห็นพหุนาม $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$รับค่าง่ายๆที่ n = 0, 1, 2, …, 40. อย่างไรก็ตามเมื่อ n = 41ค่าของพหุนามคือจำนวนประกอบ สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีพหุนามในตัวแปร n ตัวเดียวที่รับค่าเฉพาะสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด n พี. แฟร์มาต์เสนอว่าตัวเลขทุกตัวอยู่ในรูปแบบ 2 2 ก + 1เรียบง่าย; อย่างไรก็ตาม ออยเลอร์หักล้างสมมติฐานนี้โดยพิสูจน์ว่าเลข 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - สารประกอบ.

อย่างไรก็ตาม มีพหุนามหลายตัวซึ่งชุดของค่าบวกซึ่งมีค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรนั้นเกิดขึ้นพร้อมกันกับชุดของจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างหนึ่งคือพหุนาม

• $\backslash begin(จัดตำแหน่ง)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + ลูกบาศ์ก)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - ม^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(จัดตำแหน่ง)ประกอบด้วยตัวแปร 26 ตัวและมีดีกรี 25 ระดับที่น้อยที่สุดสำหรับพหุนามประเภทนี้คือ 5 โดยมีตัวแปร 42 ตัว จำนวนตัวแปรที่น้อยที่สุดคือ 10 โดยมีดีกรีประมาณ 1.6·10 45 ผลลัพธ์นี้เป็นกรณีพิเศษของสมบัติไดโอแฟนไทน์ของชุดนับไม่ถ้วนที่พิสูจน์โดยยูริ มาติยาเซวิช

คำถามเปิด

ยังคงมีคำถามปลายเปิดมากมายเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ซึ่งคำถามที่มีชื่อเสียงที่สุดถูกระบุโดย Edmund Landau ที่การประชุมคณิตศาสตร์นานาชาติครั้งที่ 5:

ปัญหาเปิดก็คือการมีอยู่ของจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์ในลำดับจำนวนเต็มหลายลำดับ รวมถึงเลขเมอร์เซน เลขฟีโบนัชชี เลขแฟร์มาต์ เป็นต้น

การใช้งาน

จำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ (ตามลำดับ 10,300) ถูกใช้ในการเข้ารหัสคีย์สาธารณะ จำนวนเฉพาะยังใช้ในตารางแฮชและเพื่อสร้างตัวเลขสุ่มหลอก (โดยเฉพาะใน Mersenne Twister PRNG)

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

• ในทฤษฎีวงแหวน เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตทั่วไป แนวคิดเรื่ององค์ประกอบเฉพาะและอุดมคติเฉพาะถูกกำหนดไว้
• ในทฤษฎีปม แนวคิดของปมธรรมดาถูกกำหนดให้เป็นปมที่ไม่สำคัญซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของปมที่ไม่สำคัญที่เชื่อมโยงกัน

ดูสิ่งนี้ด้วย

เขียนวิจารณ์บทความ "เลขเด่น"

หมายเหตุ

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะเฉพาะของจำนวนเฉพาะ

นาตาชาสงบขึ้น แต่ไม่ร่าเริงมากขึ้น เธอไม่เพียงแต่หลีกเลี่ยงเงื่อนไขความสุขภายนอกทั้งหมดเท่านั้น: ลูกบอล, สเก็ต, คอนเสิร์ต, โรงละคร; แต่เธอไม่เคยหัวเราะหนักจนไม่สามารถได้ยินน้ำตาจากเสียงหัวเราะของเธอได้ เธอร้องเพลงไม่ได้ ทันทีที่เธอเริ่มหัวเราะหรือพยายามร้องเพลงกับตัวเองตามลำพัง น้ำตาก็ไหลท่วมเธอ น้ำตาแห่งความสำนึกผิด น้ำตาแห่งความทรงจำในช่วงเวลาอันบริสุทธิ์ที่ไม่อาจเพิกถอนได้ น้ำตาแห่งความคับข้องใจที่เธอทำลายชีวิตวัยเยาว์ของเธอซึ่งอาจมีความสุขมากโดยเปล่าประโยชน์ เสียงหัวเราะและการร้องเพลงดูเป็นการดูหมิ่นความโศกเศร้าของเธอเป็นพิเศษสำหรับเธอ เธอไม่เคยคิดถึงการประดับประดาเลย เธอไม่จำเป็นต้องงดด้วยซ้ำ เธอพูดและรู้สึกว่าในเวลานั้นผู้ชายทุกคนเป็นเหมือนเธอเหมือนกับตัวตลก Nastasya Ivanovna ยามชั้นในห้ามไม่ให้เธอมีความสุขอย่างแน่นอน และเธอไม่ได้สนใจชีวิตแบบเก่าๆ จากวิถีชีวิตแบบเด็กผู้หญิง ไร้ความกังวล และมีความหวังแบบนั้น บ่อยที่สุดและเจ็บปวดที่สุด เธอจำช่วงฤดูใบไม้ร่วง การตามล่า ลุงของเธอ และเทศกาลคริสต์มาสร่วมกับนิโคลัสในโอตราดโนเย เธอจะให้อะไรเพื่อนำกลับมาเพียงหนึ่งวันนับจากเวลานั้น! แต่มันก็จบลงตลอดกาล ลางสังหรณ์ไม่ได้หลอกลวงเธอว่าสภาพแห่งอิสรภาพและการเปิดกว้างต่อความสุขทั้งหมดนั้นจะไม่กลับมาอีก แต่ฉันต้องมีชีวิตอยู่
เธอดีใจที่คิดว่าเธอไม่ได้ดีขึ้นอย่างที่เธอเคยคิดไว้ แต่แย่กว่าและแย่กว่าทุกคนในโลกนี้มาก แต่นี่ยังไม่เพียงพอ เธอรู้สิ่งนี้และถามตัวเองว่า:“ จะทำอย่างไรต่อไป” จากนั้นก็ไม่มีอะไรเลย ไม่มีความสุขในชีวิตและชีวิตก็ผ่านไป เห็นได้ชัดว่านาตาชาเพียงพยายามที่จะไม่เป็นภาระของใครและไม่รบกวนใคร แต่เธอก็ไม่ต้องการอะไรสำหรับตัวเธอเอง เธอย้ายออกจากบ้านทุกคน และมีเพียง Petya น้องชายของเธอเท่านั้นที่ทำให้เธอรู้สึกสบายใจ เธอชอบอยู่กับเขามากกว่าอยู่กับคนอื่น และบางครั้งเมื่อเธออยู่ต่อหน้าเขาเธอก็หัวเราะ เธอแทบไม่เคยออกจากบ้านเลยและในบรรดาคนที่มาหาพวกเขาเธอก็มีความสุขกับปิแอร์เท่านั้น เป็นไปไม่ได้เลยที่จะปฏิบัติต่อเธออย่างอ่อนโยน ระมัดระวังมากขึ้น และในเวลาเดียวกันก็จริงจังมากกว่าที่เคานต์เบซูคอฟปฏิบัติต่อเธอ Natasha Oss รู้สึกถึงความอ่อนโยนของการปฏิบัตินี้อย่างมีสติจึงรู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งที่ได้อยู่กับเขา แต่เธอไม่ได้รู้สึกขอบคุณเขาสำหรับความอ่อนโยนของเขาด้วยซ้ำ ไม่มีอะไรดีเลยในส่วนของปิแอร์ดูเหมือนจะเป็นความพยายามสำหรับเธอ ดูเหมือนเป็นเรื่องธรรมดาที่ปิแอร์จะใจดีกับทุกคนจนไม่มีบุญในความมีน้ำใจของเขา บางครั้งนาตาชาสังเกตเห็นความลำบากใจและความอึดอัดใจของปิแอร์ต่อหน้าเธอโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขาต้องการทำอะไรที่น่าพอใจสำหรับเธอหรือเมื่อเขากลัวว่าบางสิ่งในการสนทนาจะทำให้ความทรงจำที่ยากลำบากของนาตาชาเกิดขึ้น เธอสังเกตเห็นสิ่งนี้และถือว่ามันเป็นความมีน้ำใจและความเขินอายโดยทั่วไปของเขาซึ่งตามความคิดของเธอเช่นเดียวกับเธอควรจะอยู่กับทุกคน หลังจากคำพูดที่ไม่คาดคิดเหล่านั้นว่าถ้าเขาเป็นอิสระเขาจะคุกเข่าขอมือและความรักของเธอพูดในช่วงเวลาแห่งความตื่นเต้นอย่างมากสำหรับเธอปิแอร์ไม่เคยพูดอะไรเกี่ยวกับความรู้สึกของเขาที่มีต่อนาตาชา และเห็นได้ชัดสำหรับเธอว่าคำพูดเหล่านั้นซึ่งปลอบใจเธอในขณะนั้นได้ถูกพูดออกมาเหมือนกับคำพูดที่ไม่มีความหมายทุกประเภทที่พูดเพื่อปลอบใจเด็กที่ร้องไห้ ไม่ใช่เพราะปิแอร์เป็นผู้ชายที่แต่งงานแล้ว แต่เพราะนาตาชารู้สึกระหว่างตัวเธอกับเขาในระดับสูงสุดถึงพลังของอุปสรรคทางศีลธรรม - โดยที่เธอรู้สึกกับ Kyragin - มันไม่เคยเกิดขึ้นกับเธอเลยว่าเธอจะสามารถออกจากความสัมพันธ์ของเธอกับปิแอร์ได้ ไม่เพียงแต่ความรักในส่วนของเธอหรือน้อยกว่าในส่วนของเขาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงมิตรภาพบทกวีที่อ่อนโยน ตระหนักรู้ในตนเองระหว่างชายและหญิง ซึ่งเธอรู้หลายตัวอย่าง
ในตอนท้ายของการเข้าพรรษาของปีเตอร์ Agrafena Ivanovna Belova เพื่อนบ้านของ Rostovs จาก Otradnensky เดินทางมายังมอสโกเพื่อคำนับนักบุญมอสโก เธอชวนนาตาชาให้อดอาหาร และนาตาชาก็รับแนวคิดนี้ไว้อย่างมีความสุข แม้ว่าแพทย์จะห้ามไม่ให้ออกไปข้างนอกในตอนเช้า แต่นาตาชาก็ยืนกรานที่จะอดอาหารและไม่อดอาหารเหมือนปกติที่พวกเขาอดอาหารในบ้านของ Rostovs นั่นคือเพื่อเข้าร่วมพิธีสามครั้งที่บ้าน แต่ให้อดอาหารอย่างที่ Agrafena Ivanovna อดอาหารนั่นคือ ตลอดทั้งสัปดาห์โดยไม่พลาดแม้แต่สายัณห์ มวลหรือมาตินแม้แต่ตัวเดียว
คุณหญิงชอบความกระตือรือร้นของนาตาชานี้ หลังจากการรักษาพยาบาลไม่ประสบผลสำเร็จในจิตวิญญาณของเธอ เธอหวังว่าคำอธิษฐานจะช่วยให้เธอได้รับยามากขึ้น และถึงแม้จะกลัวและซ่อนมันไว้จากหมอ แต่เธอก็เห็นด้วยกับความปรารถนาของนาตาชาและฝากเธอไว้กับเบโลวา Agrafena Ivanovna มาปลุก Natasha ตอนตีสามและส่วนใหญ่พบว่าเธอนอนไม่หลับอีกต่อไป นาตาชากลัวที่จะนอนเลยเวลาที่กำหนดในช่วง Matins รีบล้างหน้าและแต่งกายอย่างถ่อมตัวด้วยชุดที่แย่ที่สุดและเสื้อคลุมเก่าของเธอที่ตัวสั่นด้วยความสดชื่นนาตาชาออกไปที่ถนนร้างซึ่งส่องสว่างอย่างโปร่งใสในยามเช้า ตามคำแนะนำของ Agrafena Ivanovna นาตาชาไม่ได้อดอาหารในตำบลของเธอ แต่ในโบสถ์ซึ่งตามคำบอกเล่าของผู้ศรัทธา Belova มีนักบวชผู้เข้มงวดและมีชีวิตสูงคนหนึ่ง มีคนไม่กี่คนในคริสตจักรเสมอ นาตาชาและเบโลวาเกิดขึ้นตามปกติต่อหน้าไอคอนของพระมารดาแห่งพระเจ้าซึ่งฝังอยู่ที่ด้านหลังของคณะนักร้องประสานเสียงด้านซ้ายและความรู้สึกใหม่สำหรับนาตาชาต่อหน้าผู้ยิ่งใหญ่ที่ไม่อาจเข้าใจได้ปกคลุมเธอเมื่อในช่วงเวลาเช้าที่ผิดปกตินี้ เมื่อมองดูพระพักตร์สีดำของพระมารดาพระเจ้า สว่างไสวด้วยเทียน ที่กำลังลุกไหม้อยู่ตรงหน้าพระองค์ และแสงยามเช้าที่ตกจากหน้าต่าง นางก็ฟังเสียงพิธีซึ่งนางพยายามจะติดตามและทำความเข้าใจ เมื่อเธอเข้าใจพวกเขา ความรู้สึกส่วนตัวของเธอกับความแตกต่างเล็กๆ น้อยๆ ร่วมกับคำอธิษฐานของเธอ เมื่อเธอไม่เข้าใจ มันก็ยิ่งหอมหวานสำหรับเธอที่คิดว่าความปรารถนาที่จะเข้าใจทุกสิ่งคือความภาคภูมิใจ เป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าใจทุกสิ่ง มีเพียงผู้เดียวที่ต้องเชื่อและยอมจำนนต่อพระเจ้า ซึ่งในขณะนั้น—เธอรู้สึก— ปกครองจิตวิญญาณของเธอ เธอเดินข้ามตัวเอง โค้งคำนับ และเมื่อเธอไม่เข้าใจ เธอเพียงแต่หวาดกลัวต่อสิ่งที่น่าสะอิดสะเอียนของเธอเท่านั้น จึงขอให้พระเจ้าให้อภัยเธอสำหรับทุกสิ่ง สำหรับทุกสิ่ง และขอให้มีความเมตตา คำอธิษฐานที่เธออุทิศตนมากที่สุดคือคำอธิษฐานกลับใจ เมื่อกลับบ้านในตอนเช้าตรู่เมื่อมีเพียงช่างก่ออิฐไปทำงาน ภารโรงกวาดถนน และทุกคนในบ้านยังคงหลับใหล นาตาชาประสบความรู้สึกใหม่ต่อเธอถึงความเป็นไปได้ในการแก้ไขตัวเองจากความชั่วร้ายของเธอและ ความเป็นไปได้ของชีวิตใหม่ที่สะอาดและมีความสุข
ตลอดทั้งสัปดาห์ที่เธอใช้ชีวิตนี้ ความรู้สึกนี้เพิ่มขึ้นทุกวัน และความสุขในการเข้าร่วมหรือการสื่อสารดังที่ Agrafena Ivanovna บอกเธอโดยเล่นกับคำนี้อย่างสนุกสนานดูเหมือนกับเธอมากจนดูเหมือนสำหรับเธอแล้วว่าเธอจะไม่มีชีวิตอยู่เพื่อดูวันอาทิตย์ที่มีความสุขนี้
แต่วันที่มีความสุขก็มาถึง และเมื่อนาตาชากลับจากการสนทนาในวันอาทิตย์ที่น่าจดจำนี้ ในชุดผ้ามัสลินสีขาว เป็นครั้งแรกหลังจากผ่านไปหลายเดือน เธอก็รู้สึกสงบและไม่หนักใจกับชีวิตที่อยู่ข้างหน้าเธอ
แพทย์ที่มาถึงวันนั้นตรวจนาตาชาและสั่งให้เธอใช้ผงสุดท้ายที่เขาสั่งเมื่อสองสัปดาห์ก่อน
“เราต้องดำเนินต่อไปทั้งเช้าและเย็น” เขากล่าว เห็นได้ชัดว่าพอใจกับความสำเร็จของเขา - เพียงโปรดระมัดระวังให้มากขึ้น “ใจเย็นๆ เคาน์เตส” หมอพูดติดตลก หยิบทองคำในมือขึ้นมาอย่างช่ำชอง “อีกไม่นานเขาจะเริ่มร้องเพลงและสนุกสนานอีกครั้ง” ยาตัวสุดท้ายดีต่อเธอมาก เธอสดชื่นมาก
เคาน์เตสมองดูเล็บและถ่มน้ำลายใส่เธอ แล้วกลับมาที่ห้องนั่งเล่นด้วยใบหน้าร่าเริง

เมื่อต้นเดือนกรกฎาคมข่าวลือที่น่าตกใจมากขึ้นเกี่ยวกับความคืบหน้าของสงครามกำลังแพร่กระจายในมอสโก: พวกเขากำลังพูดถึงการอุทธรณ์ของอธิปไตยต่อประชาชนเกี่ยวกับการมาถึงของอธิปไตยเองจากกองทัพไปยังมอสโก และเนื่องจากไม่ได้รับแถลงการณ์และการอุทธรณ์ก่อนวันที่ 11 กรกฎาคม จึงมีข่าวลือเกินจริงเกี่ยวกับพวกเขาและเกี่ยวกับสถานการณ์ในรัสเซีย พวกเขากล่าวว่าจักรพรรดิกำลังจะจากไปเพราะกองทัพตกอยู่ในอันตราย พวกเขากล่าวว่าสโมเลนสค์ยอมแพ้แล้ว นโปเลียนมีกองทหารหนึ่งล้านคน และมีเพียงปาฏิหาริย์เท่านั้นที่สามารถช่วยรัสเซียได้
วันเสาร์ที่ 11 กรกฎาคม ได้รับแถลงการณ์แต่ยังไม่ได้พิมพ์ และปิแอร์ซึ่งกำลังเยี่ยมชม Rostovs สัญญาว่าจะมารับประทานอาหารเย็นในวันรุ่งขึ้นคือวันอาทิตย์และนำแถลงการณ์และการอุทธรณ์ซึ่งเขาจะได้รับจาก Count Rastopchin
วันอาทิตย์นี้ ครอบครัว Rostov ไปร่วมพิธีมิสซาที่โบสถ์ประจำบ้านของ Razumovskys ตามปกติ มันเป็นวันที่อากาศร้อนในเดือนกรกฎาคม เมื่อเวลาสิบโมงเช้าเมื่อ Rostovs ลงจากรถม้าหน้าโบสถ์ท่ามกลางอากาศร้อนเสียงตะโกนของพ่อค้าเร่ในชุดฤดูร้อนที่สว่างไสวของฝูงชนในใบไม้ที่เต็มไปด้วยฝุ่นของ ต้นไม้แห่งถนน ด้วยเสียงดนตรีและกางเกงขาวของกองพันที่เดินทัพ ท่ามกลางเสียงฟ้าร้องของทางเท้า และท่ามกลางแสงตะวันอันร้อนแรง ความอิดโรยในฤดูร้อน ความพอใจและความไม่พอใจกับปัจจุบันนั้น ซึ่งรู้สึกได้ชัดเจนเป็นพิเศษในวันที่อากาศแจ่มใสในเมือง ในโบสถ์ Razumovsky มีขุนนางมอสโกทั้งหมดคนรู้จักทั้งหมดของ Rostovs (ในปีนี้ราวกับว่ากำลังคาดหวังอะไรบางอย่างครอบครัวที่ร่ำรวยจำนวนมากซึ่งมักจะเดินทางไปยังหมู่บ้านยังคงอยู่ในเมือง) เมื่อเดินผ่านทหารราบซึ่งแยกฝูงชนใกล้แม่ของเธอ นาตาชาได้ยินเสียงชายหนุ่มคนหนึ่งพูดเกี่ยวกับเธอด้วยเสียงกระซิบที่ดังเกินไป:
- นี่คือรอสโทวา คนเดียวกัน...
- เธอลดน้ำหนักไปมาก แต่ก็ยังดีอยู่!
เธอได้ยินหรือดูเหมือนว่าสำหรับเธอแล้วมีการกล่าวถึงชื่อของ Kuragin และ Bolkonsky อย่างไรก็ตาม มันก็ดูเหมือนเป็นอย่างนั้นสำหรับเธอเสมอ สำหรับเธอดูเหมือนว่าทุกคนเมื่อมองดูเธอคิดแต่สิ่งที่เกิดขึ้นกับเธอเท่านั้น นาตาชาต้องทนทุกข์และสิ้นหวังในจิตวิญญาณของเธอเหมือนเช่นเคยในฝูงชนเดินในชุดเดรสผ้าไหมสีม่วงพร้อมลูกไม้สีดำในแบบที่ผู้หญิงเดินได้ - ยิ่งสงบและสง่างามมากขึ้นเท่าใดเธอก็เจ็บปวดและละอายใจในจิตวิญญาณของเธอมากขึ้นเท่านั้น เธอรู้และไม่เข้าใจผิดว่าเธอเป็นคนดี แต่ตอนนี้ทำให้เธอไม่พอใจเหมือนเมื่อก่อน ในทางตรงกันข้าม นี่คือสิ่งที่ทำให้เธอทรมานเมื่อเร็ว ๆ นี้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวันฤดูร้อนที่สดใสและร้อนอบอ้าวในเมือง “วันอาทิตย์อีก สัปดาห์หนึ่ง” เธอพูดกับตัวเอง จำได้ว่าเธออยู่ที่นี่ในวันอาทิตย์นั้นได้อย่างไร “และยังคงเป็นชีวิตเดิมโดยปราศจากชีวิต และสภาพเดิมทั้งหมดที่เคยใช้ชีวิตได้ง่ายมากเมื่อก่อน เธอเป็นคนดี เธอยังเด็ก และฉันรู้ว่าตอนนี้ฉันเป็นคนดี ก่อนที่จะแย่ แต่ตอนนี้ฉันสบายดี ฉันรู้” เธอคิด “และปีที่ดีที่สุดก็ผ่านไปอย่างเปล่าประโยชน์เพื่อไม่มีใครเลย” เธอยืนอยู่ข้างแม่และพูดคุยกับคนรู้จักที่อยู่ใกล้ๆ นาตาชาตรวจดูชุดสตรีจนเป็นนิสัย ประณามความประพฤติและท่าทีอนาจารเอามือประคองตัวอยู่ในที่เล็กๆ ของสตรีผู้หนึ่งยืนอยู่ใกล้ ๆ คิดด้วยความรำคาญอีกว่านางถูกตัดสินว่านาง ก็ตัดสินเช่นกัน และทันใดนั้นเมื่อได้ยินเสียงการปรนนิบัติ เธอก็ตกใจกับความน่าสะอิดสะเอียนของเธอ และตกใจกลัวที่ความบริสุทธิ์ในอดีตของเธอได้สูญหายไปอีกครั้ง
ชายชรารูปงามและเงียบสงบรับใช้ด้วยความเคร่งขรึมอันอ่อนโยนซึ่งส่งผลต่อจิตวิญญาณของผู้สวดภาวนาอย่างสง่างามและสงบ ประตูราชวงศ์ปิดลง ม่านก็ปิดลงอย่างช้าๆ เสียงเงียบลึกลับพูดอะไรบางอย่างจากที่นั่น น้ำตาที่ไม่สามารถเข้าใจได้สำหรับเธอยืนอยู่บนหน้าอกของนาตาชาและความรู้สึกสนุกสนานและเจ็บปวดทำให้เธอกังวล
“สอนฉันว่าฉันควรทำอะไร ฉันจะปรับปรุงได้อย่างไรตลอดไป ตลอดไป ว่าฉันควรทำอย่างไรกับชีวิตของฉัน...” เธอคิด
มัคนายกออกไปที่ธรรมาสน์ยืดผมยาวของเขาออกจากใต้กระโปรงของเขาโดยจับนิ้วหัวแม่มือให้กว้างและวางไม้กางเขนบนหน้าอกของเขาเริ่มอ่านคำอธิษฐานด้วยเสียงดังและเคร่งขรึม:
- “ให้เราอธิษฐานต่อพระเจ้าด้วยสันติสุข”
“ ในความสงบสุข - รวมกันโดยไม่มีการแบ่งชนชั้นไม่มีความเป็นปฏิปักษ์และเป็นน้ำหนึ่งใจเดียวกันด้วยความรักฉันพี่น้อง - ให้เราอธิษฐานกัน” นาตาชาคิด
- เกี่ยวกับโลกแห่งสวรรค์และความรอดของจิตวิญญาณของเรา!
“เพื่อความสงบสุขของเหล่าทูตสวรรค์และจิตวิญญาณของสิ่งมีชีวิตที่ไม่มีตัวตนทั้งหมดที่อาศัยอยู่เหนือเรา” นาตาชาอธิษฐาน
เมื่อพวกเขาอธิษฐานขอให้กองทัพ เธอนึกถึงพี่ชายของเธอและเดนิซอฟ เมื่อพวกเขาสวดภาวนาเพื่อการเดินเรือและการเดินทางเหล่านั้น เธอก็นึกถึงเจ้าชายอังเดรและสวดภาวนาให้เขา และอธิษฐานว่าพระเจ้าจะทรงให้อภัยเธอสำหรับความชั่วร้ายที่เธอทำกับเขา เมื่อพวกเขาอธิษฐานเพื่อคนที่รักเรา เธออธิษฐานเพื่อครอบครัวของเธอ เพื่อพ่อ แม่ของเธอ ซอนยา เป็นครั้งแรกที่ตอนนี้เข้าใจความรู้สึกผิดทั้งหมดของเธอต่อหน้าพวกเขา และรู้สึกถึงความเข้มแข็งของความรักที่เธอมีต่อพวกเขา เมื่อพวกเขาสวดภาวนาเพื่อผู้ที่เกลียดชังเรา เธอได้สร้างศัตรูและผู้เกลียดชังเพื่อตัวเธอเองเพื่อสวดภาวนาเพื่อพวกเขา เธอนับเจ้าหนี้และทุกคนที่ติดต่อกับพ่อของเธอท่ามกลางศัตรูของเธอ และทุกครั้งที่เธอนึกถึงศัตรูและผู้เกลียดชัง เธอนึกถึงอานาโทลที่เคยทำร้ายเธอมามาก และถึงแม้เขาจะไม่ใช่ผู้เกลียดชัง แต่เธอก็อธิษฐานด้วยความยินดี สำหรับเขาเหมือนศัตรู ในระหว่างการสวดมนต์เท่านั้นที่เธอรู้สึกสามารถจดจำทั้งเจ้าชาย Andrei และ Anatol ได้อย่างชัดเจนและสงบในฐานะคนที่ความรู้สึกของเธอถูกทำลายเมื่อเปรียบเทียบกับความรู้สึกกลัวและความเคารพต่อพระเจ้า เมื่อพวกเขาสวดภาวนาเพื่อราชวงศ์และสำหรับเถร เธอก็ก้มตัวลงต่ำเป็นพิเศษและบอกกับตัวเองว่าถ้าเธอไม่เข้าใจเธอก็ไม่ต้องสงสัยเลยและยังคงรักเถรที่ปกครองอยู่และสวดภาวนาให้
เมื่อสวดมนต์จบแล้ว สังฆานุกรก็เอาโอราเรี่ยนไปรอบหน้าอกแล้วพูดว่า:
- “เรามอบตัวเราและชีวิตของเราต่อพระเยซูคริสต์พระเจ้า”
“ เราจะมอบตัวต่อพระเจ้า” นาตาชาพูดซ้ำในจิตวิญญาณของเธอ “พระเจ้า ฉันยอมจำนนต่อพระประสงค์ของพระองค์” เธอคิด - ฉันไม่ต้องการสิ่งใด ฉันไม่ปรารถนาสิ่งใด สอนฉันว่าต้องทำอะไรจะใช้เจตจำนงของฉันได้ที่ไหน! พาฉันไปพาฉันไป! - นาตาชาพูดด้วยความอดทนอย่างอ่อนโยนในจิตวิญญาณของเธอโดยไม่ต้องข้ามตัวเองลดมืออันบางลงและราวกับว่าคาดหวังว่าพลังที่มองไม่เห็นจะพาเธอไปและปลดปล่อยเธอจากตัวเธอเองจากความเสียใจความปรารถนาคำตำหนิความหวังและความชั่วร้าย
หลายครั้งในระหว่างการให้บริการ เคาน์เตสมองย้อนกลับไปที่ใบหน้าอันอ่อนโยนและเป็นประกายของลูกสาวของเธอ และอธิษฐานต่อพระเจ้าให้ช่วยเหลือเธอ

คำนิยาม 1. จำนวนเฉพาะ- คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าจำนวนที่หารด้วยตัวมันเองและ 1 ลงตัวเท่านั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนจะเป็นจำนวนเฉพาะหากมีตัวหารธรรมชาติที่แตกต่างกันเพียงสองตัว

คำนิยาม 2. จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มีตัวหารอื่นนอกเหนือจากตัวมันเองและตัวหนึ่งเรียกว่า จำนวนประกอบ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ จากคำจำกัดความที่ 1 จะตามมาว่าจำนวนประกอบมีตัวประกอบทางธรรมชาติมากกว่า 2 ตัว เลข 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบเพราะว่า มีตัวหาร 1 เพียงตัวเดียว และยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีบทหลายทฤษฎีเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะไม่ถือเป็นเอกภาพ

จากคำจำกัดความ 1 และ 2 จะตามมาว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

ด้านล่างนี้เป็นโปรแกรมแสดงจำนวนเฉพาะมากถึง 5,000 กรอกข้อมูลลงในเซลล์ คลิกที่ปุ่ม "สร้าง" และรอสักครู่

ตารางเลขเด่น

คำแถลง 1. ถ้า พี- จำนวนเฉพาะและ กจำนวนเต็มใดๆ แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง กหารด้วย พี, หรือ พีและ กหมายเลขโคไพรม์

จริงหรือ. ถ้า พีจำนวนเฉพาะหารได้เฉพาะตัวมันเองและ 1 ถ้าเท่านั้น กหารด้วยไม่ได้ พีแล้วตัวหารร่วมมาก กและ พีเท่ากับ 1 แล้ว พีและ กหมายเลขโคไพรม์

คำแถลง 2. หากผลคูณของตัวเลขหลายจำนวน ก 1 , ก 2 , ก 3, ... หารด้วยจำนวนเฉพาะ พีแล้วอย่างน้อยก็มีตัวเลขหนึ่งตัว ก 1 , ก 2 , ก 3, ...หารด้วย พี.

จริงหรือ. หากไม่มีจำนวนใดหารด้วย พีแล้วตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3, ... จะเป็นจำนวนเฉพาะเทียบกับ พี. แต่จากข้อพิสูจน์ที่ 3 () เป็นไปตามนั้นผลิตภัณฑ์ของตน ก 1 , ก 2 , ก 3, ... ก็ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะด้วย พีซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของข้อความ ดังนั้นอย่างน้อยก็มีตัวเลขหนึ่งตัวที่หารด้วย พี.

ทฤษฎีบท 1. จำนวนประกอบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะจำนวนจำกัดในรูปแบบเฉพาะได้เสมอ

การพิสูจน์. อนุญาต เคจำนวนประกอบ และให้ ก 1 คือหนึ่งในตัวหารที่แตกต่างจาก 1 และตัวมันเอง ถ้า ก 1 เป็นจำนวนประกอบ แล้วจึงบวกกับ 1 และ ก 1 และตัวหารอีกตัว ก 2. ถ้า ก 2 เป็นจำนวนประกอบ จากนั้นก็มี นอกเหนือจาก 1 และ ก 2 และตัวหารอีกตัว ก 3. การใช้เหตุผลในลักษณะนี้และคำนึงถึงตัวเลขด้วย ก 1 , ก 2 , ก 3 , ... ลดลง และอนุกรมนี้มีจำนวนเทอมจำกัด เราก็จะถึงจำนวนเฉพาะบางจำนวน พี 1. แล้ว เคสามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้

สมมติว่ามีการสลายตัวของตัวเลขสองครั้ง เค:

เพราะ เค=พี 1 พี 2 พี 3...หารด้วยจำนวนเฉพาะ ถาม 1 แล้วมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัว เป็นต้น พี 1 หารด้วย ถาม 1. แต่ พี 1 เป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น เพราะฉะนั้น พี 1 =ถาม 1 (เพราะ ถาม 1 ≠1)

จากนั้นจาก (2) เราก็แยกออกได้ พี 1 และ ถาม 1:

ดังนั้น เราจึงมั่นใจว่าจำนวนเฉพาะทุกตัวที่ปรากฏเป็นตัวประกอบในการขยายครั้งแรกหนึ่งครั้งหรือมากกว่านั้นก็ปรากฏในการขยายครั้งที่สองอย่างน้อยหลาย ๆ ครั้ง และในทางกลับกัน จำนวนเฉพาะใด ๆ ที่ปรากฏเป็นตัวประกอบในการขยายครั้งที่สอง อย่างน้อยหนึ่งครั้งก็ปรากฏในการขยายครั้งแรกด้วยจำนวนครั้งเท่ากันเป็นอย่างน้อย ดังนั้น จำนวนเฉพาะใดๆ จะปรากฏเป็นปัจจัยในการขยายทั้งสองด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน ดังนั้น การขยายทั้งสองนี้จึงเท่ากัน■

การขยายจำนวนประกอบ เคสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้

ที่ไหน พี 1 , พี 2, ... จำนวนเฉพาะต่างๆ α, β, γ ... จำนวนเต็มบวก

เรียกว่าส่วนขยาย (3) การขยายตัวตามรูปแบบบัญญัติตัวเลข

จำนวนเฉพาะเกิดขึ้นไม่เท่ากันในชุดของจำนวนธรรมชาติ ในบางส่วนของแถวมีมากกว่าส่วนอื่น ๆ - น้อยกว่า ยิ่งเราเลื่อนไปตามชุดตัวเลขมากเท่าใด จำนวนเฉพาะที่พบได้ก็จะน้อยลงเท่านั้น คำถามเกิดขึ้นว่ามีจำนวนเฉพาะมากที่สุดหรือไม่? ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน เรานำเสนอหลักฐานด้านล่างนี้

ทฤษฎีบท 2. จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์

การพิสูจน์. สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนจำกัด และปล่อยให้จำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดเป็น พี. ลองพิจารณาตัวเลขทั้งหมดให้มากขึ้น พี. ตามสมมติฐานของข้อความ จำนวนเหล่านี้จะต้องประกอบกันและต้องหารด้วยจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว ลองเลือกจำนวนที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดนี้บวก 1:

ตัวเลข zมากกว่า พีเพราะ 2pมากขึ้นแล้ว พี. พีหารด้วยจำนวนเฉพาะเหล่านี้ไม่ลงตัว เพราะ เมื่อหารด้วยตัวใดตัวหนึ่งแล้วจะได้เศษ 1 จึงมีความขัดแย้งกัน จึงมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบททั่วไป:

ทฤษฎีบท 3. ให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับ

แล้วจำนวนเฉพาะใดๆ ที่รวมอยู่ในนั้น nควรจะรวมอยู่ใน มดังนั้นใน nปัจจัยสำคัญอื่น ๆ ที่ไม่รวมอยู่ใน มและยิ่งไปกว่านั้นปัจจัยสำคัญเหล่านี้ใน nรวมไม่เกินครั้งกว่าใน ม.

ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าตัวประกอบเฉพาะทุกตัวของจำนวนนั้น nรวมอย่างน้อยหลายครั้งในจำนวน ม, ที่ มหารด้วย n.

คำแถลง 3. อนุญาต ก 1 ,ก 2 ,ก 3,... รวมจำนวนเฉพาะต่างๆ ไว้ในนั้น มดังนั้น

ที่ไหน ฉัน=0,1,...α , เจ=0,1,...,β , เค=0,1,..., γ . สังเกตว่า α ฉันยอมรับ α +1 ค่า β เจยอมรับ β +1 ค่า γ เคยอมรับ γ ค่า +1, ... .