เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมตั้งฉากกัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสอีกครั้ง :))) หากมีการกำหนดเส้นทแยงมุมขนาดใหญ่จากฐานใหญ่ถึงจุดตัดกัน x ดังนั้นจากความคล้ายคลึงกันอย่างเห็นได้ชัดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมเท่ากัน มันจะตามมา x/64 = 36/x ดังนั้น x = 48;48/64 = 3/ 4 ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่เกิดจากฐาน เส้นทแยงมุม และด้านที่ตั้งฉากกับฐานจะคล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3,4,5 ข้อยกเว้นประการเดียวคือสามเหลี่ยมที่เกิดจากชิ้นส่วนของเส้นทแยงมุมและด้านเฉียง แต่เราไม่สนใจมัน :) (เพื่อให้ชัดเจน ความคล้ายคลึงกันที่เป็นปัญหาเป็นเพียงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ตั้งชื่อต่างกัน :) เรารู้ค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นทแยงมุมหลักกับฐานหลักแล้ว ซึ่งเท่ากับ 3/4 ซึ่งหมายความว่าไซน์คือ เท่ากับ 3/5 และโคไซน์คือ 4 /5 :)) เขียนได้ทันที

คำตอบ ฐานล่างคือ 80 ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 60 และฐานบนคือ 45 (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

งานที่คล้ายกัน:

1. ฐานของปริซึมเป็นรูปสามเหลี่ยม ด้านหนึ่งยาว 2 ซม. และอีก 2 ซม. ด้านละ 3 ซม. ขอบข้างยาว 4 ซม. และทำมุม 45 กับระนาบฐาน หาขอบ ของลูกบาศก์ที่เท่ากัน

2. ฐานของปริซึมเอียงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน a ด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐานและเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งด้านทแยงมุมเล็กกว่าจะเท่ากับ c จงหาปริมาตรของปริซึม

3. ในปริซึมเอียง ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ c มุมแหลมหนึ่งมุมคือ 30 ขอบด้านข้างเท่ากับ k และทำมุมเป็น 60 กับระนาบของฐาน หา ปริมาตรของปริซึม

1. หาด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถ้าเส้นทแยงมุมคือ 10 ซม

2. ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มุมป้านคือ 135 องศา ฐานคือ 4 ซม. และสูง 2 ซม. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู?

3. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นมากกว่าฐานใดฐานหนึ่ง 3 เท่า แต่มากกว่าอีกฐานหนึ่งถึงครึ่งหนึ่ง จงหาฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและความสูงหากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ 168 ซม. เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส?

4. ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม A = ที่มุม = 75 องศา ค้นหา BC ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 36 ซม. สี่เหลี่ยม

1. ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD โดยมีด้าน AB และ CD เส้นทแยงมุมจะตัดกันที่จุด O

ก) เปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD และ ACD

b) เปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABO และ CDO

c) พิสูจน์ว่า OA*OB=OC*OD

2. ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสัมพันธ์กับด้านเป็น 4:3 และความสูงที่วัดจากฐานคือ 30 ซม. จงหาส่วนที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ฐานใช้แบ่งความสูงนี้

3. เส้น AM สัมผัสกับวงกลม, AB คือคอร์ดของวงกลมนี้ พิสูจน์ว่ามุม MAB วัดได้จากครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง AB ที่อยู่ภายในมุม MAB

ถ้าเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉาก เนื้อหาทางทฤษฎีต่อไปนี้จะเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหา

1. ถ้าเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากกัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน

ให้เราวาดเส้น CF ขนานกับ BD ผ่านจุด C แล้วขยายเส้น AD จนกระทั่งมันตัดกับ CF

BCFD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (BC∥ DF เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, BD∥ CF ตามโครงสร้าง) ดังนั้น CF=BD, DF=BC และ AF=AD+BC

สามเหลี่ยม ACF เป็นมุมฉาก (หากเส้นตั้งฉากกับเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้น เส้นนั้นจะตั้งฉากกับเส้นอีกเส้นด้วย) เนื่องจากในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เส้นทแยงมุมจะเท่ากันและ CF=BD แล้ว CF=AC นั่นคือสามเหลี่ยม ACF จึงเป็นหน้าจั่วที่มี AF พื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าความสูงของมัน CN ก็เป็นค่ามัธยฐานเช่นกัน และตั้งแต่ค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมมุมฉากลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากก็เท่ากับครึ่งหนึ่งของมันแล้ว

ซึ่งโดยทั่วไปจะเขียนได้เป็น

โดยที่ h คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู a และ b เป็นฐาน

2. หากเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉาก ความสูงของมันจะเท่ากับเส้นกึ่งกลาง

เนื่องจากเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู m เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน

3. หากเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับกำลังสองของความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู (หรือกำลังสองของผลรวมครึ่งฐานของฐาน หรือกำลังสองของเส้นกึ่งกลาง ).

เนื่องจากสูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูได้

และความสูงครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานและเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากจะเท่ากัน

4. ถ้าเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากกัน ดังนั้น กำลังสองของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานกำลังสอง และสองเท่าของความสูงกำลังสองและสองเท่าของกำลังสองของเส้นกึ่งกลาง

เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถหาได้จากเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างรูปสี่เหลี่ยมเหล่านั้นโดยใช้สูตร

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างฐาน
2. สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและส่วนของเส้นทแยงมุมจนถึงจุดตัดจะคล้ายกัน
3. สามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านข้างซึ่งอยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีขนาดเท่ากัน (มีพื้นที่เท่ากัน)
4. หากคุณขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางฐานเล็ก มันจะตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางของฐาน
5. ส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะถูกหารด้วยจุดนี้ในสัดส่วนเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
6. ส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและลากผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนี้ และความยาวของมันจะเท่ากับ 2ab/(a + b) โดยที่ a และ b เป็นฐานของ สี่เหลี่ยมคางหมู

คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

มาเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้ส่วน LM
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู อยู่บนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ส่วนนี้ ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของฐาน

LM = (ค.ศ. - พ.ศ.)/2
หรือ
LM = (ก-ข)/2

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีความคล้ายคลึงกัน.
สามเหลี่ยม BOC และ AOD มีความคล้ายคลึงกัน เนื่องจากมุม BOC และ AOD เป็นแนวตั้ง จึงมีค่าเท่ากัน
มุม OCB และ OAD เป็นมุมภายในที่วางขวางโดยมีเส้นขนาน AD และ BC (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกัน) และเส้นซีแคนต์ AC ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากัน
มุม OBC และ ODA เท่ากันด้วยเหตุผลเดียวกัน (ขวางภายใน)

เนื่องจากมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับมุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงคล้ายกัน

ต่อจากนี้จะมีอะไรบ้าง?

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจะใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้ หากเราทราบความยาวขององค์ประกอบสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน (เราหารทีละองค์ประกอบ) โดยที่ความยาวขององค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดสัมพันธ์กันด้วยค่าที่เท่ากันทุกประการ

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านข้างและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่วางอยู่บนด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD นี่คือสามเหลี่ยม AOB และ COD แม้ว่าขนาดของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้อาจแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงก็ตาม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากด้านข้างและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันนั่นคือสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน

หากเราขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปยังฐานที่เล็กกว่า จุดตัดของด้านข้างก็จะเท่ากับ ตรงกับเส้นตรงที่ลากผ่านกลางฐาน.

ดังนั้นสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ ก็สามารถขยายเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ โดยที่:

• สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอดร่วมที่จุดตัดของด้านที่ขยายจะคล้ายกัน
• เส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ในเวลาเดียวกันคือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้น

คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากคุณวาดส่วนที่ปลายอยู่บนฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (KN) ดังนั้นอัตราส่วนของส่วนที่เป็นส่วนประกอบจากด้านข้างของฐานถึงจุดตัดกัน ของเส้นทแยงมุม (KO/ON) จะเท่ากับอัตราส่วนของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู(พ.ศ./ค.ศ.)

KO/ON = BC/AD

คุณสมบัตินี้ตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (ดูด้านบน)

คุณสมบัติของส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากเราวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ระยะทางที่กำหนด (กม.) แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู
• ความยาวส่วนผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูและขนานกับฐานเท่ากับ กม. = 2ab/(ก + ข)

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

ก, ข- ฐานสี่เหลี่ยมคางหมู

ซีดี- ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ด1 ดี2- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

α β - มุมที่มีฐานใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน ด้านข้าง และมุมที่ฐาน

สูตรกลุ่มแรก (1-3) สะท้อนถึงคุณสมบัติหลักประการหนึ่งของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู:

1. ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกสองเท่าของผลคูณของฐาน คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่แยกจากกัน

2 - สูตรนี้ได้มาจากการแปลงสูตรก่อนหน้า กำลังสองของเส้นทแยงมุมที่สองจะถูกส่งผ่านเครื่องหมายเท่ากับ หลังจากนั้นรากที่สองจะถูกแยกออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์

3 - สูตรการหาความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้า โดยมีความแตกต่างคือเหลือเส้นทแยงมุมอีกเส้นทางด้านซ้ายของนิพจน์

กลุ่มสูตรถัดไป (4-5) มีความหมายคล้ายกันและแสดงความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน

กลุ่มของสูตร (6-7) ช่วยให้คุณหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากทราบฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านหนึ่งและมุมที่ฐาน

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านความสูง

งาน.
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (AD | | BC) ตัดกันที่จุด O จงหาความยาวของฐาน BC ของสี่เหลี่ยมคางหมู ถ้าฐาน AD = 24 ซม. ความยาว AO = 9 ซม. ความยาว OS = 6 ซม.

สารละลาย.
การแก้ปัญหานี้มีอุดมการณ์เหมือนกับปัญหาก่อนหน้านี้อย่างแน่นอน

สามเหลี่ยม AOD และ BOC มีความคล้ายคลึงกันในสามมุม - AOD และ BOC เป็นแนวตั้ง และมุมที่เหลือจะเท่ากันในทิศทางคู่ เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นจากจุดตัดของเส้นหนึ่งเส้นและเส้นคู่ขนานสองเส้น

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกัน มิติทางเรขาคณิตทั้งหมดจึงสัมพันธ์กัน เช่นเดียวกับมิติทางเรขาคณิตของส่วน AO และ OC ที่เรารู้จักตามเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / ก่อนคริสต์ศักราช
พ.ศ. = 24 * 6/9 = 16

คำตอบ: 16 ซม

งาน .
ในสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ทราบว่า AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

สารละลาย .
ในการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจากจุดยอดของฐาน B และ C ที่เล็กกว่า เราจะลดความสูงลง 2 อันจากฐานที่ใหญ่กว่า เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูไม่เท่ากัน เราจึงแสดงความยาว AM = a ความยาว KD = b ( เพื่อไม่ให้สับสนกับสัญกรณ์ในสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู) เนื่องจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกัน และเราทิ้งความสูงสองอันตั้งฉากกับฐานที่ใหญ่กว่า ดังนั้น MBCK จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธี
AD = AM+BC+KD
ก + 8 + ข = 24
ก = 16 - ข

สามเหลี่ยม DBM และ ACK เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นมุมขวาของพวกมันจึงถูกสร้างขึ้นตามความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้เราแสดงความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย h จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชม 2 + (24 - ก) 2 = (5√17) 2
และ
ชั่วโมง 2 + (24 - ข) 2 = 13 2

ลองคำนึงว่า a = 16 - b จากนั้นในสมการแรก
ชั่วโมง 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + b) 2

ลองแทนค่าของกำลังสองของความสูงเป็นสมการที่สองที่ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้รับ:
425 - (8 + ข) 2 + (24 - ข) 2 = 169
-(64 + 16b + ข) 2 + (24 - ข) 2 = -256
-64 - 16b - ข 2 + 576 - 48b + ข 2 = -256
-64b = -768
ข = 12

ดังนั้น KD = 12
ที่ไหน
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + ข) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
ชั่วโมง = 5

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านความสูงและผลรวมครึ่งหนึ่งของฐาน
โดยที่ a b - ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, h - ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 ซม. 2

คำตอบ: พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 80 ตารางวา