Ang mga dayagonal ng isang hugis-parihaba na trapezoid ay magkaparehong patayo. Diagonals ng isang trapezoid. Mga katangian ng mga tatsulok na nabuo ng mga diagonal ng isang trapezoid

Muli ang Pythagorean triangle :))) Kung ang isang piraso ng malaking dayagonal mula sa malaking base hanggang sa intersection point ay itinalagang x, pagkatapos ay mula sa halatang pagkakapareho ng mga tamang tatsulok na may pantay na mga anggulo ito ay sumusunod.x/64 = 36/x, kaya naman x = 48;48/64 = 3/ 4, kaya LAHAT ng tamang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga base, dayagonal at isang gilid na patayo sa base ay katulad ng isang tatsulok na may mga gilid na 3,4,5. Ang tanging pagbubukod ay isang tatsulok na nabuo ng mga piraso ng diagonal at isang pahilig na gilid, ngunit hindi kami interesado dito :). (Para malinawan, ang pinag-uusapang pagkakapareho ay trigonometric functions lang ng mga anggulo NA MAY PANGALAN NA MAGKAIBA:) alam na natin ang tangent ng anggulo sa pagitan ng major diagonal at major base, ito ay katumbas ng 3/4, ibig sabihin ang sine ay katumbas ng 3/5, at ang cosine ay 4/5:)) Maaari kang sumulat kaagad

Mga sagot. Ang ibabang base ay 80, ang taas ng trapezoid ay magiging 60, at ang itaas ay magiging 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Mga katulad na gawain:

1. Ang base ng prisma ay isang tatsulok, ang isang gilid nito ay 2 cm, at ang iba pang dalawa ay 3 cm ang bawat isa ng isang pantay na kubo.

2. Ang base ng inclined prism ay isang equilateral triangle na may gilid a; ang isa sa mga gilid na mukha ay patayo sa eroplano ng base at isang rhombus, ang mas maliit na dayagonal na katumbas ng c. Hanapin ang volume ng prisma.

3. Sa isang hilig na prisma, ang base ay isang tamang tatsulok, ang hypotenuse na kung saan ay katumbas ng c, isang matinding anggulo ay 30, ang gilid ng gilid ay katumbas ng k at gumagawa ng isang anggulo ng 60 sa eroplano ng base ang dami ng prisma.

1. Hanapin ang gilid ng parisukat kung ang dayagonal nito ay 10 cm

2. Sa isang isosceles trapezoid, ang obtuse angle ay 135 degrees, ang base ay 4 cm, at ang taas ay 2 cm, hanapin ang lugar ng trapezoid?

3. Ang taas ng trapezoid ay 3 beses na mas malaki kaysa sa isa sa mga base, ngunit kalahati kaysa sa isa. Hanapin ang mga base ng trapezoid at ang taas kung ang lugar ng trapezoid ay 168 cm square?

4. Sa tatsulok na ABC, anggulo A = Sa anggulo = 75 degrees. Hanapin ang BC kung ang lugar ng tatsulok ay 36 cm square.

1. Sa isang trapezoid ABCD na may mga gilid AB at CD, ang mga diagonal ay nagsalubong sa punto O

a) Paghambingin ang mga lugar ng mga tatsulok na ABD at ACD

b) Paghambingin ang mga lugar ng tatsulok na ABO at CDO

c) Patunayan na OA*OB=OC*OD

2. Ang base ng isang isosceles triangle ay nauugnay sa gilid bilang 4:3, at ang taas na iginuhit sa base ay 30 cm Hanapin ang mga segment kung saan hinahati ng bisector ng anggulo sa base ang taas na ito.

3. Ang linyang AM ay padaplis sa isang bilog, ang AB ay isang chord ng bilog na ito. Patunayan na ang anggulo MAB ay sinusukat ng kalahati ng arko AB na matatagpuan sa loob ng anggulo MAB.

Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, ang sumusunod na teoretikal na materyal ay magiging kapaki-pakinabang sa paglutas ng problema.

1. Kung ang mga dayagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, ang taas ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base.

Gumuhit tayo ng linyang CF na kahanay ng BD hanggang sa punto C at palawigin ang linya AD hanggang sa mag-intersect ito sa CF.

Ang Quadrilateral BCFD ay isang parallelogram (BC∥ DF bilang base ng isang trapezoid, BD∥ CF sa pamamagitan ng pagbuo). Kaya CF=BD, DF=BC at AF=AD+BC.

Ang Triangle ACF ay right-angled (kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa kabilang linya). Dahil sa isang isosceles trapezoid ang mga diagonal ay pantay, at CF = BD, pagkatapos ay CF = AC, iyon ay, triangle ACF ay isosceles na may base AF. Ibig sabihin, ang taas nitong CN ay ang median din. At mula noong median kanang tatsulok iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati nito, kung gayon

na sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang

kung saan ang h ay ang taas ng trapezoid, a at b ang mga base nito.

2. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon ang taas nito ay katumbas ng midline.

Dahil ang midline ng trapezoid m ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base, kung gayon

3. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon ang lugar ng trapezoid ay katumbas ng parisukat ng taas ng trapezoid (o ang parisukat ng kalahating kabuuan ng mga base, o ang parisukat ng midline ).

Dahil ang lugar ng isang trapezoid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

at ang taas, kalahati ng kabuuan ng mga base at ang gitnang linya ng isang isosceles trapezoid na may patayong diagonal ay katumbas ng bawat isa:

4. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon ang parisukat ng dayagonal nito ay katumbas ng kalahati ng parisukat ng kabuuan ng mga base, pati na rin ang dalawang beses ang parisukat ng taas at dalawang beses ang parisukat ng midline.

Dahil ang lugar ng isang convex quadrilateral ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga diagonal nito at ang anggulo sa pagitan ng mga ito gamit ang formula

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base
2. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng isang trapezoid at ang mga segment ng mga diagonal hanggang sa kanilang punto ng intersection ay magkatulad
3. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga segment ng mga diagonal ng isang trapezoid, ang mga gilid nito ay namamalagi sa mga lateral na gilid ng trapezoid - ay pantay sa laki (may parehong lugar)
4. Kung pinahaba mo ang mga gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, pagkatapos ay magsa-intersect sila sa isang punto na may tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base.
5. Ang isang segment na nagkokonekta sa mga base ng isang trapezoid at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay hinati sa puntong ito sa isang proporsyon na katumbas ng ratio ng mga haba ng mga base ng trapezoid
6. Ang isang segment na parallel sa mga base ng trapezoid at iginuhit sa punto ng intersection ng mga diagonal ay nahahati sa kalahati sa puntong ito, at ang haba nito ay katumbas ng 2ab/(a + b), kung saan ang a at b ay ang mga base ng trapezoid

Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Ikonekta natin ang mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ABCD, bilang isang resulta kung saan magkakaroon tayo ng isang segment na LM.
Isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid namamalagi sa midline ng trapezoid.

Ang segment na ito parallel sa mga base ng trapezoid.

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base nito.

LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2

Mga katangian ng mga tatsulok na nabuo ng mga diagonal ng isang trapezoid

Mga tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga base ng isang trapezoid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid - ay parehas.
Ang mga tatsulok na BOC at AOD ay magkatulad. Dahil patayo ang mga anggulo ng BOC at AOD, pantay ang mga ito.
Ang mga anggulo ng OCB at OAD ay mga panloob na anggulo na nakahiga crosswise na may parallel na linya AD at BC (ang mga base ng trapezoid ay parallel sa isa't isa) at isang secant line AC, samakatuwid sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OBC at ODA ay pantay para sa parehong dahilan (panloob na crosswise).

Dahil ang lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng katumbas na mga anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.

Ano ang kasunod nito?

Upang malutas ang mga problema sa geometry, ang pagkakatulad ng mga tatsulok ay ginagamit bilang mga sumusunod. Kung alam natin ang haba ng dalawang katumbas na elemento ng magkatulad na tatsulok, makikita natin ang koepisyent ng pagkakatulad (hinahati natin ang isa sa isa). Mula sa kung saan ang mga haba ng lahat ng iba pang mga elemento ay nauugnay sa bawat isa sa eksaktong parehong halaga.

Mga katangian ng mga tatsulok na nakahiga sa gilid ng gilid at mga dayagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na nakahiga sa mga lateral na gilid ng trapezoid AB at CD. Ito ay mga tatsulok na AOB at COD. Sa kabila ng katotohanan na ang mga sukat ng mga indibidwal na panig ng mga tatsulok na ito ay maaaring ganap na naiiba, ngunit ang mga lugar ng mga tatsulok na nabuo ng mga lateral na gilid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay pantay, iyon ay, ang mga tatsulok ay pantay sa laki.

Kung palawakin natin ang mga gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, kung gayon ang punto ng intersection ng mga panig ay magiging tumutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng mga base.

Kaya, ang anumang trapezoid ay maaaring mapalawak sa isang tatsulok. kung saan:

• Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng isang trapezoid na may isang karaniwang vertex sa punto ng intersection ng mga pinahabang panig ay magkatulad
• Ang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid ay, sa parehong oras, ang median ng constructed triangle

Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit ka ng isang segment na ang mga dulo ay namamalagi sa mga base ng isang trapezoid, na namamalagi sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid (KN), kung gayon ang ratio ng mga bahagi ng bumubuo nito mula sa gilid ng base hanggang sa punto ng intersection ng mga dayagonal (KO/ON) ay magiging katumbas ng ratio ng mga base ng trapezoid(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga katumbas na tatsulok (tingnan sa itaas).

Mga katangian ng isang segment na kahanay sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, magkakaroon ito ng mga sumusunod na katangian:

• Tinukoy na distansya (KM) hinahati ng intersection point ng mga diagonal ng trapezoid
• Haba ng segment Ang pagpasa sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at kahanay sa mga base ay katumbas ng KM = 2ab/(a + b)

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid

a, b- mga base ng trapezoid

c, d- mga gilid ng trapezoid

d1 d2- mga diagonal ng isang trapezoid

α β - mga anggulo na may mas malaking base ng trapezoid

Mga formula para sa paghahanap ng mga dayagonal ng isang trapezoid sa pamamagitan ng mga base, gilid at anggulo sa base

Ang unang pangkat ng mga formula (1-3) ay sumasalamin sa isa sa mga pangunahing katangian ng trapezoid diagonal:

1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid at dalawang beses ang produkto ng mga base nito. Ang pag-aari na ito ng mga trapezoid diagonal ay maaaring mapatunayan bilang isang hiwalay na teorama

2 . Ang formula na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabago ng nakaraang formula. Ang parisukat ng pangalawang dayagonal ay itinapon sa pamamagitan ng pantay na tanda, pagkatapos kung saan ang square root ay nakuha mula sa kaliwa at kanang bahagi ng expression.

3 . Ang formula na ito para sa paghahanap ng haba ng dayagonal ng isang trapezoid ay katulad ng nauna, na may pagkakaiba na ang isa pang dayagonal ay naiwan sa kaliwang bahagi ng expression.

Ang susunod na pangkat ng mga formula (4-5) ay magkatulad sa kahulugan at nagpapahayag ng magkatulad na relasyon.

Ang pangkat ng mga formula (6-7) ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang dayagonal ng isang trapezoid kung ang mas malaking base ng trapezoid, isang gilid na gilid at ang anggulo sa base ay kilala.

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid sa pamamagitan ng taas

Gawain.
Ang mga dayagonal ng trapezoid ABCD (AD | | BC) ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng base BC ng trapezoid kung ang base AD = 24 cm, haba AO = 9 cm, haba OS = 6 cm.

Solusyon.
Ang solusyon sa problemang ito ay ideolohikal na ganap na magkapareho sa mga nakaraang problema.

Ang mga tatsulok AOD at BOC ay magkatulad sa tatlong anggulo - AOD at BOC ay patayo, at ang natitirang mga anggulo ay magkapares na magkapareho, dahil ang mga ito ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng isang linya at dalawang parallel na linya.

Dahil ang mga tatsulok ay magkatulad, ang lahat ng kanilang mga geometric na sukat ay nauugnay sa isa't isa, tulad ng mga geometriko na sukat ng mga segment na AO at OC na kilala sa amin ayon sa mga kondisyon ng problema. Yan ay

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Sagot: 16 cm

Gawain .
Sa trapezoid ABCD alam na AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Hanapin ang lugar ng trapezoid.

Solusyon .
Upang mahanap ang taas ng isang trapezoid mula sa mga vertices ng mas maliit na base B at C, ibababa namin ang dalawang taas sa mas malaking base. Dahil ang trapezoid ay hindi pantay, tinutukoy namin ang haba AM = a, haba KD = b ( hindi malito sa notasyon sa formula paghahanap ng lugar ng isang trapezoid). Dahil ang mga base ng trapezoid ay magkatulad, at bumaba kami ng dalawang taas na patayo sa mas malaking base, kung gayon ang MBCK ay isang rektanggulo.

ibig sabihin
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Ang mga tatsulok na DBM at ACK ay hugis-parihaba, kaya ang kanilang mga tamang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng mga altitude ng trapezoid. Tukuyin natin ang taas ng trapezoid sa pamamagitan ng h. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
At
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Isaalang-alang natin na ang a = 16 - b, pagkatapos ay sa unang equation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Palitan natin ang halaga ng parisukat ng taas sa pangalawang equation na nakuha gamit ang Pythagorean Theorem. Nakukuha namin ang:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Kaya KD = 12
saan
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Hanapin ang lugar ng isang trapezoid sa pamamagitan ng taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base nito
, kung saan a b - ang base ng trapezoid, h - ang taas ng trapezoid
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Sagot: ang lugar ng trapezoid ay 80 cm2.