Методи аналізу нелінійних систем під час детермінованих впливів. Статистичні методи ідентифікації нелінійних систем. Дисперсійні оцінки ступеня нелінійності об'єкта. Побудова фазового портрета нелінійної системи

Майже всі системи управління, строго кажучи, є нелінійними, тобто. описуються нелінійними рівняннями. Лінійні системи управління є їх лінійними моделями, які виходять шляхом звичайної лінеаризації - лінеаризації, що полягає у розкладанні нелінійних функцій у ряд Тейлора та відкиданні нелінійних доданків. Однак така лінеаризація не завжди можлива. Якщо нелінійність припускає звичайну лінеаризацію, то така нелінійність називається несуттєвою. В іншому випадку нелінійність називається суттєвою. Істотними нелінійностями мають різного роду релейні елементи. Навіть у тих випадках, коли звичайна лінеаризація можлива, часто на кінцевому етапі дослідження може знадобитися розгляд вихідної нелінійної моделі.

Нелінійною системою автоматичного регулювання називають таку систему, яка містить хоча б одну ланку, що описується нелінійним рівнянням.

Види нелінійних ланок:

ланка релейного типу;

ланка зі шматково-лінійною характеристикою;

ланка з криволінійною характеристикою будь-якого контуру;

ланка, рівняння якої містить добуток змінних або їх похідних та інші комбінації;

нелінійна ланка із запізненням;

нелінійна імпульсна ланка;

логічна ланка;

ланки, що описуються кусочно-лінійними ДК, у тому числі зі змінною структурою.

На рис. 2.1 представлені релейні характеристики різних видів:

характеристика ідеального реле(а);

характеристика реле із зоною нечутливості (б);

характеристика реле із гістерезисом (в);

характеристика реле із зоною нечутливості та гістерезисом (г);

характеристика квантування за рівнем (д).

На рис. 2.2 представлені шматково-лінійні характеристики:

шматково-лінійна характеристика з насиченням (а);

шматково-лінійна характеристика із зоною нечутливості та насиченням (б)

шматково-лінійна характеристика із зоною нечутливості (в);

люфт (характеристика ланки з люфтом) (г);

діодна характеристика (д);

кусково-лінійна характеристика з гістерезисом та насиченням (е).

Розрізняються статичні та динамічні нелінійності. Перші у вигляді нелінійних статичних характеристик, другі – як нелінійних диференціальних рівнянь.

Привід регулюючого органу, хоч би яким він був (електричним, гідравлічним або пневматичним) завжди має, по-перше, зону нечутливості на початку координат; по-друге, зону насичення з обох боків. Крім того, може мати місце ще гістерезис. Також є приводи з постійною швидкістю, що відносяться до ланок релейного типу.

Зона нечутливості виражається тим, що двигун має певний мінімальний струм торкання, до досягнення якого двигун буде нерухомий.

ГІСТЕРЕЗА (від грец. hysteresis - відставання, запізнення), явище, яке полягає в тому, що фіз. величина, що характеризує стан тіла (напр., намагніченість), неоднозначно залежить від фіз. величини, що характеризує зовнішні умови (наприклад, магнітного поля). Г. спостерігається в тих випадках, коли стан тіла в даний час визначається зовнішніми умовами не тільки в той же, але і в попередні моменти часу. Неоднозначна залежність величин спостерігається в будь-яких процесах, тому що для зміни стану тіла завжди потрібен певний час (час релаксації) і реакція тіла відстає від причин, що її викликають.

Нелінійні системи в порівнянні з лінійними мають низку принципових особливостей. Зокрема, такими особливостями є таке:

Не виконується принцип суперпозиції, і дослідження нелінійної системи за кількох впливах не можна зводити до дослідження за одного впливу;

Стійкість та характер перехідного процесу залежать від величини початкового відхилення від положення рівноваги;

При фіксованих зовнішніх впливах можливі кілька (а іноді і безліч) положень рівноваги;

Виникають вільні процеси, що встановилися, які в лінійних системах неможливі (наприклад, автоколивання).

Універсальних аналітичних (математичних) методів дослідження нелінійних систем немає. У процесі розвитку теорії автоматичного управління розробили різні математичні методи аналізу та синтезу нелінійних систем, кожен із яких застосовний для певного класу систем і завдань. Найбільш широко використовуваними методами дослідження нелінійних систем є:

Метод фазової площини;

Метод функцій Ляпунова;

Метод гармонійної лінеаризації (метод гармонійного балансу);

Методи дослідження абсолютної стійкості.

Будь-яке дослідження більш-менш складних нелінійних систем, як правило, закінчується математичним моделюванням. І в цьому відношенні математичне моделювання є одним із універсальних (неаналітичних) методів дослідження.

Фазова площина

Якщо рівняння системи управління представлені нормальної формі, то вектор стану системи однозначно визначає її стан. Кожному стану системи у просторі станів відповідає точка. Крапка, що відповідає поточному стану системи, називається зображувальною точкою. При зміні стану зображуюча точка описує траєкторію. Ця траєкторія називається фазовою траєкторією. Сукупність фазових траєкторій, що відповідає всіляким початковим умовам, називається фазовим портретом.

Наочно фазову траєкторію і фазовий портрет можна у разі двомірного фазового простору. Двовимірний фазовий простір називається фазовою площиною.

Фазова площина - це координатна площина, у якій по осях координат відкладаються дві змінні (фазові координати), які однозначно визначають стан системи другого порядку.

Метод аналізу та синтезу системи управління, заснований на побудові фазового портрета, називають методом фазової площини.

По фазовому портрету можна будувати висновки про характер перехідних процесів. Зокрема, за фазовою траєкторією можна побудувати без розрахунків якісно тимчасову характеристику - криву залежності від часу, і, навпаки, за тимчасовою характеристикою можна якісно побудувати фазову траєкторію.

Як приклад спочатку по фазовій траєкторії побудуємо тимчасову характеристику, а потім тимчасову характеристику - фазову траєкторію. Нехай задана фазова траєкторія (рис. 2.4 а).

Відзначивши на ній характерні точки (початкову точку, точки перетину з осями координат), нанесемо відповідні їм точки на часовій площині та з'єднаємо їх плавною кривою (рис. 2.4, б).

Нехай тепер задано тимчасову характеристику (рис. 2.5, а). Відзначивши на ній характерні точки (початкову точку, точки екстремуму і точки перетину з тимчасовою віссю), нанесемо відповідні крапки на фазову площину і з'єднаємо їх плавною кривою

(Рис. 2.5,6).

Фазові портрети нелінійних систем можуть містити тип особливої ​​кривої – ізольовані замкнуті траєкторії. Ці криві називаються граничними циклами. Якщо зсередини та зовні фазові траєкторії сходяться до граничного циклу (рис. 2.8, а),

то такий граничний цикл називається стійким граничним циклом. Стійкому граничному циклу відповідає асимптотично орбітально-стійкий періодичний рух (автоколивання).

Якщо фазові траєкторії зсередини та зовні граничного циклу віддаляються від нього (рис. 2.8,6), такий граничний цикл називається нестійким граничним циклом. Періодичний процес, який відповідає нестійкому граничному циклу, не можна спостерігати.

Якщо рух починається всередині такого граничного циклу, процес сходиться до положення рівноваги. Якщо рух починається поза таким граничним циклом, то процес розходиться. Нестійкий граничний цикл є межею області тяжіння, або межею стійкості положення рівноваги (початку координат).

Можливі два граничні цикли (рис. 2.8, в, г). Внутрішній пре-

граничний цикл на рис. 2.8, стійкий, і йому відповідають автоколивання, а зовнішній граничний цикл нестійкий і є межею області автоколивань: автоколивання виникають при будь-яких початкових відхиленнях, що не виходять за зовнішній граничний цикл.

Зовнішній граничний цикл на рис. 2.8 г є стійким і відповідає автоколиванням, а внутрішній граничний цикл є нестійким і є межею області тяжіння положення рівноваги. У системі з таким фазовим портретом автоколивання виникають за досить великому відхиленні системи від положення рівноваги - відхиленні, що виходить за межі внутрішнього граничного циклу. Якщо рух системи починається всередині нестійкого граничного циклу, вона наближається до положення рівноваги.

Метод гармонійної лінеаризації

Метод гармонійної лінеаризації, або метод гармонійного балансу спочатку був розроблений для дослідження періодичного режиму. Однак надалі він став використовуватись також для аналізу стійкості та синтезу нелінійних систем.

Основна ідея методу полягає у наступному. Керовані системи (об'єкти), як правило, мають властивість фільтра низьких частот: при виникненні періодичних режимів вони не пропускають або пропускають з більшим ослабленням другі і більш високі гармоніки. І суть методу гармонійної лінеаризації полягає в описі нелінійної ланки лінійним рівнянням, яке виходить при зневажанні (відкиданні) зазначеними гармоніками у розкладанні нелінійної функції до ряду Фур'є.

Метод гармонійної лінеаризації є наближеним методом. Однак його перевагою є те, що він застосовується для систем будь-якого порядку, на відміну від методу фазової площини, який може бути ефективно застосований тільки до систем 2-го порядку.

Метод Гольдфарба (метод дослідження симетричних автоколивань)

Метод функцій Ляпунова

p align="justify"> Метод досліджень, заснований на побудові функції Ляпунова, включаючи прямий метод Ляпунова, стали називати методом функцій Ляпунова.

Метод дослідження абсолютної стійкості

Вперше завдання про абсолютну стійкість було розглянуто А. І. Лур'є, і його іноді називають завданням Лур'є. Ним було розроблено метод вирішення цього завдання, заснований на побудові функції Ляпунова. У 1961р. румунський вчений В.М. Попов опублікував роботу, де виклав частотний метод вирішення цієї проблеми. Це спричинило появу великого потоку робіт у цьому напрямі.

Для завдань:

Зв'язок перехідного процесу та фазового портрета:

(Бесекерський-Попов стор 595 багато всього)

Наявність нелінійностей у системах управління призводить до опису такої системи нелінійними диференціальними рівняннями, часто досить високими порядками. Як відомо, більшість груп нелінійних рівнянь не вирішується в загальному вигляді, і можна лише говорити про окремі випадки рішення, тому при дослідженні нелінійних систем велику роль набувають різні наближені методи.

Через наближені методи дослідження нелінійних систем не можна, як правило, отримати досить повне уявлення про всі динамічні властивості системи. Проте з їхньою допомогою можна відповісти на низку окремих суттєвих питань, таких як питання стійкості, наявності автоколивань, характеру будь-яких приватних режимів тощо.

В даний час існує велика кількість різних аналітичних та графо-аналітичних методів дослідження нелінійних систем, серед яких можна виділити методи фазової площини, припасовування, точкових перетворень, гармонійної лінеаризації, прямий метод Ляпунова, частотні методи дослідження абсолютної стійкості Попова, методи дослідження нелінійних систем на електронних моделях та ЕОМ.

Коротка характеристика деяких із перерахованих методів.

Метод фазової площини є точним, але має обмежене застосування, оскільки практично не застосовується для систем регулювання, опис яких не можна звести до керуванням другого порядку.

Метод гармонійної лінеаризації належить до наближених методів, не має обмежень по порядку диференціальних рівнянь. При застосуванні цього методу передбачається, що у виході системи є гармонійні коливання, а лінійна частина системи регулювання є фільтром високих частот. У разі слабкого фільтрування сигналів лінійною частиною системи при використанні методу гармонійної лінеаризації необхідно враховувати вищі гармоніки. При цьому ускладнюється аналіз стійкості та якості процесів регулювання нелінійних систем.

Другий метод Ляпунова дозволяє одержати лише достатні умови стійкості. І якщо на його основі визначено нестійкість системи регулювання, то у ряді випадків для перевірки правильності отриманого результату слід замінити функцію Ляпунова іншою і ще раз виконати аналіз стійкості. Крім того, немає загальних методів визначення функції Ляпунова, що ускладнює практичне застосування цього методу.

Критерій абсолютної стійкості дозволяє аналізувати стійкість нелінійних систем за допомогою частотних характеристик, що є великою перевагою даного методу, оскільки поєднує математичний апарат лінійних та нелінійних систем у єдине ціле. До недоліків цього слід віднести ускладнення розрахунків під час аналізу стійкості систем з нестійкою лінійної частиною. Тому для отримання правильного результату стійкості нелінійних систем доводиться користуватися різними методами. І тільки збіг різних результатів дозволить уникнути помилкових суджень про стійкість чи нестійкість проектованої системи автоматичного регулювання.

Критерій сталості Попова В.М.

(румунський вчений)

Це частотний метод дослідження стійкості НЛ САУ з однозначною нелінійністю, що задовольняє умову

Розглядається стійкість положення рівноваги

Достатні умови абсолютної стійкостітаких систем сформульовано Поповим В.М.

1.Вводиться передатна функція

Передбачається, що
відповідає асимптотично стійкій системі (перевіряється за будь-яким із критеріїв стійкості).

2.Знаходиться частотна характеристика
.

3. Будується видозмінена частотна характеристика
,

яка визначається співвідношенням

Re
=Re
,

Im
= .

4.На комплексній площині будується
.

Критерій Попова:

Якщо через точку
на дійсній осі можна провести пряму лінію так, щоб видозмінена АФЧХ
лежала по один бік від цієї прямої, то замкнута НЛ САУ буде абсолютно стійка.

приклад.Дослідити абсолютну стійкість НЛ САУ зі структурною схемою рис.1, якщо

Бо всі у характеристичному рівнянні 2-го порядку більше за нуль, то
- асимптотично стійка і, отже, умова (1) критерію стійкості Попова виконується.

Re
=Re
=

Im
=Im
=

Будуємо АФЧХ
.

Асимптотична стійкість для спеціального виду

нелінійних характеристик

1. Неоднозначна нелінійна характеристика

Стан спокою буде абсолютно стійким, якщо

1.
відповідає асимптотично стійкій системі.

2.

2.Система з релейною характеристикою

r=0 . Це окремий випадок розглянутої вище характеристики.

Достатня умова абсолютної стійкості – замість умови (2)

3. Нелінійність типу реле

1.
- асимптотично стійка.

2.Im

Абсолютна стійкість процесів

Розглянемо тепер стійкість систем стабілізації (номінальний режим – стан спокою), а випадок, коли номінальний режим характеризується вхідним сигналом
та вихідним сигналом
, які є обмеженими безперервнимифункціями часу.

Припускатимемо, що нелінійний елемент має вигляд
, де
- безперервна однозначна функція, що задовольняє умову

тобто. обмежена швидкість зміни нелінійної характеристики. Це досить жорстка умова.

В цьому випадку для забезпечення абсолютної стійкості обмеженого процесу
,
достатньо, щоб виконувалися умови6

1.
- Була асимптотично стійка.

2.
.

В окремому випадку, коли r=0

або

Теорія, пов'язана з розвитком ідей Попова ще не закінчена, тут можливі нові сильніші результати. Зведення таких результатів на сьогоднішній день є у книзі Наумова «Нелінійні системи автоматичного управління».

Наближені методи дослідження нелінійних сау

Метод гармонійного балансу

При дослідженні НЛ САУ іноді можна спостерігати появу періодичних змін вихідної величини у(t) навіть у тих випадках, коли
Якщо щодо САУ обмежитися лінійноїмоделлю з постійними коефіцієнтами, то зазначене явище (власні коливання) може мати місце лише за наявності у характеристичному рівнянні чисто уявного коріння
.

Однак при такому поясненні мала зміна параметрів системи «зрушить» корінь з уявної осі ліворуч або праворуч і власні коливання або загасають або розгойдуються. Насправді ж у нелінійних системах періодичні коливання вихідного сигналу зберігаються за малих змін параметрів системи.

Такі незагасні коливання пояснюються нелінійним характером системи. Вони називаються автоколиваннями.

Розглянемо метод гармонійного балансу,який дозволяє по взаємному перебігу АФЧХ лінійної частини та характеристики нелінійного елемента визначити наявність або відсутності автоколивань.

Розглянемо одноконтурну систему, у якій виділяється нелінійний елемент

(1)

та лінійна частина з передавальною функцією
.

Передбачається:

1.
відповідає стійкій системі,

2. нелінійна характеристика
- непарна симетрична, тобто.

,

3.вхідний сигнал
, тобто. це система стабілізації.

Шукатимемо вихідний сигнал у(t) у вигляді

, (2)

де - амплітуда автоколивань,

- Частота автоколивань.

і треба визначити.

Гіпотеза про синусоїдальний характер у(t) виглядає довільною. Однак далі будуть наведені умови, у виконанні яких ця гіпотеза стає природною.

Оскільки
,(3)

Пропустимо сигнал
послідовно через нелінійний елемент та лінійну частину та знайдемо рівняння, з яких можна буде визначити амплітуду та частоту автоколивань в НЛ САУ.

Проходження
через лінійний елемент

Так як
- періодична функція, сигнал
на виході нелінійного елемента також буде періодичною функцією, але відмінною від синусоїди.

Спектр
Спектр

Як відомо, будь-яка періодична функція може бути представлена ​​поруч Фур'є:

(4)

Ми припускаємо, що вільний член у формулі (4) дорівнює нулю. Це буде місце, наприклад, коли характеристика нелінійного елемента задовольняє умові

, тобто це непарна функція.

Тут коефіцієнти Фур'є і визначаються:

,

(5)

Перетворимо (4) , помноживши і поділивши кожен член у правій частині на
(6)

.

Нагадаємо, що

(8)

Таким чином при проходженні сигала
через нелінійний елемент, на виході нелінійного елемента сигал
містить безліч гармонік, кратних . (Див. малюнок вище).

Проходження сигналу
через лінійну частину

З теорії лінійних систем ми знаємо, що якщо на вхід лінійної ланки з передавальною функцією
, Що відповідає стійкій системі, подати гармонійний сигналто в встановленому режимі на виході цієї ланки буде сигнал.

Тут
- модуль частотної характеристики
у точці ,

аргумент
.

Використовуючи ці співвідношення, ми можемо виписати вирази
, пропускаючи окремо через лінійну частину всі складові ряду (8) і підсумовуючи потім отримані вирази для

З огляду на лінійності системи така процедура законна.

Отримаємо, вважаючи
:

Отриманий вираз (9) для
має досить складну структуру. Його можна суттєво спростити, використовуючи гіпотезу фільтра.

Вивчаючи частотні характеристики типових елементарних ланок, ми бачили, що їх АЧХ прагнуть нуля при

Гіпотеза фільтра полягає в тому, що АЧХ у правій частині (9) зменшується зі зростанням частоти настільки швидко, що в (9) можна враховувати лише перший член, відповідний к=1, і вважати інші члени зневажливо малими. Інакше кажучи – гіпотеза фільтра – це гіпотеза у тому, що лінійна частина САУ мало пропускає високочастотні коливання. Тому формула (9) (і в цьому полягає наближеність методу) спрощується так:

Таким чином, при замиканні системи припущення гіпотези фільтра ми отримаємо баланс гармонік (звідси і назва методу - метод гармонійного балансу)

Розглянемо як за допомогою методу гармонійного балансувизначити амплітуду ата частоту автоколивань.

Введемо поняття еквівалентної передавальної функції нелінійного елемента:

(11)

Якщо
(а це має місце при однозначних симетричних нелінійних характеристиках), то

(12)

Характеристичне рівняння замкнутої САУ (рис.1) має вигляд:

або частотна характеристика

(13)

(14)

Уявимо

Тоді рівняння (14) перепишеться:

=
(17)

Рівність (14) або (17) є основою графо-аналітичного методу визначення параметрів автоколивань аі .

На комплексній площині будується АФЧХ лінійної частини

та характеристика нелінійного елемента

Якщо криві перетинаються, то САУ існують автоколивання.

Частота автоколивань у точці перетину кривих по
, а амплітуда- за
.

Розглянемо докладніше виділену ділянку

Ми знаємо амплітуду та частоту точок, найближчих до точки перетину кривих. Амплітуду і частоту в точці перетину можна визначити, наприклад, методом поділу відрізка навпіл.

Метод гармонійної лінеаризації

Це дуже ефективний наближений метод визначення періодичних коливань НЛ САУ.

Для застосування методу гармонійної лінеаризації нелінійності необхідне виконання вимог – лінійна частина повинна мати властивості фільтра, тобто. вона повинна пропускати високі частоти.

Насправді ця вимога зазвичай виконується.

Нехай є нелінійний елемент

(1)

Нехай
(2)

Тоді
(3)

Розкладемо (1) у ряд Фур'є:

Нагадаємо, нелінійна функція F(x) , Розкладена в ряд Фур'є, має вигляд:

,

,
,

Тоді ряд Фур'є для нашої нелінійності матиме вигляд:

++найвищі гармоніки (4)

Покладемо постійну складову

З рівняння (2):

З рівняння (3):

Тоді рівняння (4) можна переписати:

,

У рівнянні (5) нехтуємо високими частотами й у цьому наближеність методу.

Таким чином, нелінійний елемент при
замінюється лінеаризованим виразом (5), яке при виконанні гіпотези фільтра лінійної частини набуває вигляду:

(6)

Ця процедура називається гармонійною лінеаризацією.

Коефіцієнти
і
при постійних аі . У динамічному режимі, коли змінюються аі , коефіцієнти
і
змінюватимуться. У цьому відмінність гармонійної лінеаризації від звичайної. (При звичайній лінеаризації коефіцієнт лінеаризованого рівняння Дозалежить від точки лінеаризації). Залежність коефіцієнтів лінеаризації від аі дозволяє застосувати до НЛ САУ (6) методи дослідження лінійних систем та аналізувати властивості НЛ САУ, які не можуть бути виявлені при звичайній лінеаризації.

Коефіцієнти гармонійної лінеаризації

деяких типових нелінійностей

Релейна характеристика

2.Релейна характеристика із зоною нечутливості

,
Амплітуда коливань

3.Релейна характеристика з петлею гістерезису

,
,

4.Релейна характеристика із зоною нечутливості та петлею гістерезису

,

Тепер розглянемо замкнуту систему.

,

Можна ввести поняття передавальної функції нелінійного елемента

,

.

Тоді характеристичне рівняння замкнутої САУ:

,

або

Коли в замкнутій системі виникають власні незатухаючі коливання постійної амплітуди та частоти, то коефіцієнти гармонійної лінеаризації стають постійними та САУ стає лінійною. А в лінійній системі наявність періодичних незатухаючих коливань говорить про наявність у неї чисто уявного коріння.

Таким чином для визначення періодичнихрішень треба в характеристичне рівняння підставити
. Тут - поточна частота, а - Частота автоколивань.

У цьому рівнянні невідомі і .

Виділимо в цьому рівнянні дійсну та уявну частини.

Введемо для частоти та амплітуди шуканого періодичного рішення позначення
,
.

Отримаємо два рівняння із двома невідомими.

Розв'язавши ці рівняння, знайдемо і - амплітуду та частоту періодичних рішень у НЛ САУ.

За допомогою цих рівнянь можна визначити не лише і , але й побудувати залежність і наприклад, від коефіцієнта посилення САУ До.

Тоді, вважаючи Дозмінним, запишемо:

Задаючись До, знаходимо і , тобто
і

Можна вибрати Дотак щоб

1. було б мало,

2. було б безпечно для САУ,

3.автоколивань не було б.

За допомогою цих рівнянь можна на площині двох параметрів (наприклад, Ті До) побудувати лінії рівних значень амплітуди та частоти автоколивань. Для цього рівняння переписують:

Задаючись числовими значеннями , отримаємо
і

За цими графіками можна обирати Ті До.

Визначення стійкості рішень у нелінійних САУ

Автоколиванням у НЛ САУ мають відповідати стійкі періодичні рішення. Тому після знаходження амплітуди та частоти періодичних рішень слід досліджувати їх у стійкість.

Розглянемо наближений метод дослідження стійкості періодичних рішень на НЛ САУ за допомогою годографа Михайлова.

Нехай НЛ САУ

,
.
- Отримана за допомогою методу гармонійної лінеаризації.

Характеристичне рівняння замкнутої системи

Запишемо рівняння характеристичної кривої (годографа Михайлова), для чого підставимо до нього
.

- поточне значення частоти вздовж годографа Михайлова,

- Частота гармонійної лінеаризації (автоколивань).

Тоді для будь-яких заданих постійних і крива Михайлова матиме такий самий вигляд, як і для звичайних лінійних систем.

При періодичних рішеннях, що відповідають і , Годограф Михайлова проходитиме через початок координат (т.к. система знаходиться на межі стійкості).

Для визначення стійкості періодичних рішень дамо приріст

Якщо при
крива Михайлова займе положення 1, а при

- Положення 2, то періодичне рішення стійке.

Якщо при
крива займе положення 2, а при
- Положення 1, то періодичне рішення нестійке.

"Теорія автоматичного керування"

"Методи дослідження нелінійних систем"

1. Метод диференціальних рівнянь

Диференціальне рівняння замкнутої нелінійної системи n-го порядку (рис. 1) можна перетворити на систему n-диференціальних рівнянь першого порядку як:

де: - Змінні, що характеризують поведінку системи (одна з них може бути регульована величина); - Нелінійні функції; u - вплив, що задає.

Зазвичай ці рівняння записуються в кінцевих різницях:

де – Початкові умови.

Якщо відхилення невеликі, то цю систему можна вирішувати як систему рівнянь алгебри. Рішення можна подати графічно.

2. Метод фазового простору

Розглянемо випадок, коли зовнішній вплив дорівнює нулю (U = 0).

Рух системи визначається зміною її координат – у функції часу. Значення у будь-який момент часу характеризує стан (фазу) системи та визначає координати системи, що має n – осей і можуть бути представлені як координати деякої (зображуючої) точки М (рис. 2).

Фазовий простір називається простір координат системи.

Зі зміною часу t точка М рухається по траєкторії, яка називається фазовою траєкторією. Якщо змінювати початкові умови отримаємо сімейство фазових траєкторій, які називаються фазовим портретом. Фазовий портрет визначає характер перехідного процесу у нелінійній системі. Фазовий портрет має особливі точки, яких прагнуть чи яких йдуть фазові траєкторії системи (їх може бути кілька).

Фазовий портрет може містити замкнуті фазові траєкторії, які називаються граничними циклами. Граничні цикли характеризують автоколивання у системі. Фазові траєкторії ніде не перетинаються, крім спеціальних точок, що характеризують рівноважні стани системи. Граничні цикли та стану рівноваги можуть бути стійкими або нестійкими.

Фазовий портрет повністю характеризує нелінійну систему. Характерною особливістю нелінійних систем є наявність різних типів рухів, кількох станів рівноваги, граничних циклів.

p align="justify"> Метод фазового простору є фундаментальним методом дослідження нелінійних систем. Дослідити нелінійних систем на фазовій площині набагато простіше та зручніше, ніж за допомогою побудови графіків перехідних процесів у часовій області.

Геометричні побудови у просторі менш наочні, ніж побудови на площині, коли система має другий порядок, при цьому застосовується метод фазової площини.

Застосування методу фазової площини для лінійних систем

Проаналізуємо зв'язок між характером перехідного процесу та кривими фазових траєкторій. Фазові траєкторії можуть бути отримані шляхом інтегрування рівняння фазової траєкторії, або шляхом вирішення вихідного диференціального рівняння 2-го порядку.

Нехай задано систему (рис. 3).

Розглянемо вільний рух системи. У цьому: U(t)=0, e(t)=– x(t)

У загальному вигляді диференціальне рівняння має вигляд

де (1)

Це однорідне диференціальне рівняння 2-го порядку його характеристичне рівняння одно

. (2)

Коріння характеристичного рівняння визначається із співвідношень

(3)

Представимо диференціальне рівняння 2-го порядку як системи

рівнянь 1-го порядку:

(4)

де швидкість зміни регульованої величини.

У лінійній системі, що розглядається, змінні x і y являють собою фазові координати. Фазовий портрет будуємо у просторі координат x і y, тобто. на фазовій площині.

Якщо виключимо час із рівняння (1), то отримаємо рівняння інтегральних кривих чи фазових траєкторій.

. (5)

Це рівняння з змінними, що розділяються

Розглянемо кілька випадків

Файлів GB_prog.m та GB_mod.mdl, а аналіз спектрального складу періодичного режиму на виході лінійної частини – за допомогою файлів GB_prog.m та R_Fourie.mdl. Зміст файлу GB_prog.m: %Дослідження нелінійних систем методом гармонійного балансу %Використані файли: GB_prog.m, GB_mod.mdl та R_Fourie.mdl. %Позначення, що використовуються: НЕ - нелінійний елемент, ЛЧ - лінійна частина. %Очищення всіх...

Безінерційний у допустимому (обмеженому зверху) діапазоні частот, при виході за межі якого він переходить у розряд інерційних. Залежно від виду характеристик розрізняють нелінійні елементи із симетричними та несиметричними характеристиками. Симетричною називається характеристика, яка залежить від напряму визначальних її величин, тобто. має симетрію щодо початку системи...

Розглянемо хіміко-технологічний об'єкт, на вхід якого надходить випадковий сигнал і(/), а на виході спостерігається випадковий процес у(/). При використанні кореляційних методів для ідентифікації лінійних об'єктів з постійними параметрами зазвичай вважають (або спеціально підбирають тестовий сигнал), що випадкові функції та (t)і у (t) є стаціонарними і стаціопарно пов'язаними у широкому значенні, тобто їх математичні очікування постійні, а авто-і взаємнокореляційні функції є функціями не двох, а одного аргументу, що дорівнює їх різниці.

При ідентифікації нелінійних динамічних систем умови нормальності щільності імовірності функцій та (t)і у (t)та їх спільної щільності ймовірності, як правило, не виконуються, тобто характеристики об'єкта визначаються в умовах, коли спільні щільності ймовірності функцій та (t)і у(/) не гаусові.

Отже, умовна щільність ймовірності функції у (t)щодо та (t)буде також не гаусової. Регресія вихідної випадкової величини щодо вхідної випадкової функції при заданих значеннях аргументів у загальному випадку нелінійна, а кореляція функцій і(0 і у (t)гетероскедастична.

Таким чином, для ідентифікації нелінійних об'єктів вже недостатньо кореляційних методів, що оперують математичними очікуваннями та кореляційними функціями випадкових процесів. Помилка у вирішенні задачі ідентифікації нелінійного об'єкта кореляційними методами, що використовуються для лінійних систем, тим більше, чим сильніша регресія функцій у (t)щодо та (t)відрізняється від лінійної і чим більшою є нерівномірність математичного очікування умовних дисперсій.

Завдання ідентифікації нелінійних об'єктів, що функціонують в умовах випадкових обурень, є дуже складною математичною проблемою, яка в даний час перебуває в стадії розробки і ще далека до завершення. Проте вже зараз можна назвати низку методів, які хоч і не можна вважати вичерпними, проте дають досить гарне наближене рішення задачі ідентифікації нелінійних об'єктів статистичними методами. До таких методів можна віднести: 1) методи, що ґрунтуються на використанні дисперсійної та взаємодисперсійної функцій випадкових процесів; 2) метод лінеаризації нелінійної регресії на ділянках гомоскедастичності математичного очікування умовної дисперсії функції у (t)щодо та (t) 3) вінерівський підхід до ідентифікації нелінійних систем; 4) метод ідентифікації нелінійних систем, що базується на застосуванні апарату умовних марківських процесів.

Коротко розглянемо кожен із перерахованих методів.

1. Якщо залежність між значеннями випадкових функцій і(0 і у (t)нелінійна, то коефіцієнт кореляції між значеннями випадкової функції не може бути досить хорошим критерієм виміру тісноти зв'язку з-поміж них. Тому для характеристики зв'язку між іі увикористовуються

дисперсійні відносини, які визначаються через дисперсійні функції (2, 3].

Взаємна дисперсійна функція 0 yU (*, т) для дійсних випадкових функцій у (t)і та (t)і автодисперсійна (дисперсійна) функція G„ K (*, т) для випадкового процесу і(т) визначаються співвідношеннями

де M( ) - Символ математичного очікування; M.

На основі визначених вище величин п уї,т| ук і Rможна побудувати спеціальний TV-критерій для перевірки гіпотези про лінійність залежності між сигналами у та й:

де п- Число дослідів; до- Число інтервалів у кореляційній таблиці. Перевіримо за допомогою TV-критерію гіпотезу про лінійність зв'язку між y tі і тдля об'єкта, розглянутого у §6.4. Функція

N(т), побудована за вхідною та вихідною реалізацією системи, зображена на рис. 8.2. У разі завдання ідентифікації зводиться до пошуку невідомих параметрів об'єкта, якими служать коефіцієнти оператора в гильбертовом просторі. Сигнал на вході системи розкладається в ряд підфункціям Лагерра:

з коефіцієнтами

Мал. 8.3.

Мал. 8.4.

Тут п-я функція Лагерра g n (t)будується у вигляді твору полінома Лагерра l n (t)на експоненту:

Зауважимо, що зображення за Лапласом поліномів Лагерра на підставі (8.19) має вигляд

Звідси видно, що необхідні коефіцієнти Лагерра можна отримати, пропускаючи сигнал та (t)через ланцюжок лінійних динамічних ланок (див. рис. 8.3).

Оператор нелінійної системи представляється як розкладання по поліномам Ермнта:

які ортогональні на дійсній осі - оо t. З поліномів Ерміта будуються функції Ерміта:

за допомогою яких оператор переходу від коефіцієнтів вхідного Лагерра сигналу до вихідного сигналу записується у вигляді

Співвідношення (8.20) є справедливим для будь-якого нелінійного об'єкта і може бути покладено в основу його ідентифікації. Методика ідентифікації значно спрощується, якщо вхід подавати спеціальний сигнал як гаусового білого шуму. У цьому випадку функції Лагерра є некорельованими гаусовими випадковими процесами з рівними дисперсіями. При цьому визначення коефіцієнтів... дозводиться до знаходження взаємнокореляційної функції виходу системи та поліномів Ерміта:

Визначення коефіцієнтів b (j... дозавершує розв'язання задачі ідентифікації. Загальна схема обчислень показано на рис. 8.4.

При вирішенні завдань ідентифікації хіміко-технологічних об'єктів розглянутий метод має обмежене застосування з низки причин. До останніх можна віднести, наприклад, труднощі, що виникають під час переходу від коефіцієнтів b tj додо технологічних параметрів об'єкта Метод не придатний для нестаціонарних систем. Проблеми реалізації цієї процедури як нормальної експлуатації об'єкта також знижують ефективність методу. Нарешті, необхідність усічення всіх операцій, пов'язаних із граничними переходами, заміна рядів кінцевими сумами є джерелами додаткових обчислювальних похибок.

4. Інший можливий підхід до побудови оптимальних фільтрів нелінійних систем заснований на використанні апарату умовних марківських процесів. Розглянемо суть даного підходу на конкретному прикладі.

Примірник. Нехай корисний сигпал є прямокутним імпульсом

момент появи якого t на відрізку 0 х Т потрібно визначити. Висота імпульсу А 0та його тривалість год передбачаються відомими. Сигнал, що надходить на об'єкт, та (t)=s(*)+м> (*) є сума корисної складової s(0 та білого шуму w(*), який описується інтегралом ймовірності )