Півоподібна та її властивості
Первоподібною функцією f(x) на проміжку (a; b) називається така функція F(x), що виконується рівність для будь-якого х із заданого проміжку.
Якщо взяти до уваги той факт, що похідна від константи С дорівнює нулю, то справедлива рівність 
. Таким чином, функція f(x) має безліч первісних F(x)+C, для довільної константи, причому ці первісні відрізняються один від одного на довільну постійну величину.
Властивості первісної.
Якщо функція F(x) - первісна для функції f(x) на інтервалі X, то функція f(x) + C, де C - довільна стала, теж буде первісною для f(x) на цьому інтервалі.
Якщо функція F(x) - деяка первісна для функції f(x) на інтервалі X=(a,b), то будь-яка інша первісна F1(x) може бути представлена у вигляді F1(x) = F(x) + C, де C - постійна X функція.
2 Визначення невизначеного інтегралу.
Все безліч первісних функцій f(x) називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається 
.
Вираз називають підінтегральним виразом, а f(x) – підінтегральною функцією. Подинтегральное вираз є диференціал функції f(x).
Дія знаходження невідомої функції по заданому диференціалу називається невизначеним інтегруванням, тому що результатом інтегрування є не одна функція F(x), а безліч її первісних F(x)+C.
властивості невизначеного інтеграла (властивості первісної).
Похідна результату інтегрування дорівнює підінтегральної функції.
Невизначений інтеграл диференціала функції дорівнює сумі самої функції та довільної константи.
де k – довільна константа. p align="justify"> Коефіцієнт можна виносити за знак невизначеного інтеграла.
Невизначений інтеграл суми/різниці функцій дорівнює сумі/різниці невизначених інтегралів функцій.
Заміна змінної у невизначеному інтегралі
Заміна змінноїу невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановок двох видів:
а) де монотонна, безперервно диференційована функція нової змінної t. Формула заміни змінної у разі:
Де U – нова змінна. Формула заміни змінної за такої підстановки:
Інтегрування частинами
Знаходження інтеграла за формулою 
називається інтегруванням частинами. Тут U=U(х),υ=υ(x) безперервно диференційовані функції від х. З допомогою цієї формули знаходження інтеграла зводиться до пошуку іншого інтеграла її застосування доцільно у випадках, коли останній інтеграл або простіше вихідного, або подібний.
При цьому за υ береться така функція, яка при диференціюванні спрощується, а за dU – та частина підінтегрального виразу, інтеграл від якої відомий чи може бути знайдений.
Формула Ньютона-Лейбніца
Безперервність певного інтегралу як функції верхньої межі
Якщо функція y = f (x) інтегрується на відрізку , то, очевидно, вона інтегрована також на довільному відрізку [а, х], вкладеному в . Функція 
,
де х Î називається інтегралом зі змінною верхньою межею. Значення функції Ф(х) у точці х дорівнює площі S(x) під кривою y = f(x) на відрізку [а, х]. У цьому полягає геометричний зміст інтеграла зі змінною верхньою межею.
Теорема. Якщо функція f (x) безперервна на відрізку, то функція Ф (х) також безперервна на [а, b].
Нехай Δх таке, що х + Δ х Î . Маємо
За теоремою про середнє знайдеться таке значення з Î [ x, x + Δ x], що Оскільки з Î і функція f (x) обмежена, то переходячи до межі при Δ x → 0, отримаємо
ОДР 1-го порядку
У чому відмінність однорідних диференціальних рівнянь з інших типів ДУ? Це найпростіше відразу ж пояснити на конкретному прикладі.
Розв'язати диференціальне рівняння
Що насамперед слід проаналізувати під час вирішення будь-якого диференціального рівняння першого порядку? Насамперед необхідно перевірити, а чи не можна одразу розділити змінні за допомогою «шкільних» дій? Зазвичай такий аналіз проводять подумки чи намагаються розділити змінні на чернетці.
У цьому прикладі змінні розділити не можна (можете спробувати перекидати доданки з частини до частини, піднести множники за дужки тощо). До речі, в даному прикладі, той факт, що змінні розділити не можна, досить очевидний через наявність множника
Виникає питання – як вирішити цей диффур?
Потрібно перевірити, чи не є дане рівняння однорідним? Перевірка нескладна, і алгоритм перевірки можна сформулювати так:
У вихідне рівняння:
Замість x підставляємо замість y підставляємо похідну не чіпаємо: 
Літера лямбда - це деякий абстрактний числовий параметр, справа не в самих лямбдах, і не в їх значеннях, а ось у чому:
Якщо результаті перетворень вдасться скоротити ВСІ «лямбди» (тобто отримати вихідне рівняння), то дане диференціальне рівняння є однорідним.
Очевидно, що лямбди відразу скорочуються у показнику ступеня: 
Тепер у правій частині виносимо лямбду за дужки: 
Обидві частини рівняння можна скоротити на цю саму лямбду: У результаті всі лямбди зникли як сон, як туман, і ми отримали вихідне рівняння.
Висновок: Дане рівняння є однорідним
ЛОУ. Загальні св-ва рішень
тобто є лінійним щодо невідомої функції yта її похідних та . Коефіцієнти та права частина цього рівняння безперервні.
Якщо права частина рівняння , то рівняння називають лінійним неоднорідним. Якщо ж , то рівняння має вигляд
 | (9) |
і називається лінійним однорідним.
Нехай і будь-які приватні рішення рівняння (9), тобто не містять довільних постійних.
Теорема 1.Якщо і –два окремі рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку, то також є рішенням цього рівняння.
Так як і рішення рівняння (9), то вони звертають це рівняння в тотожність, тобто
 і  | (10) |
Підставимо до рівняння (9). Тоді маємо:
В силу (10). Значить, рішення рівняння.
Теорема 2.Якщо – рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку, а C-постійна, то також є рішенням цього рівняння.
Доведення.Підставимо до рівняння (9). Отримаємо: тобто рішення рівняння.
Слідство.Якщо і-рішення рівняння (9), то так само є його рішенням з теорем (1) і (2).
Визначення.Два рішення та рівняння (9) називаються лінійно залежними (на відрізку ), якщо можна підібрати такі числа і , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація цих рішень тотожно дорівнює нулю на , тобто якщо .
Якщо ж таких чисел підібрати не можна, то рішення називаються лінійно незалежними (на відрізку).
Очевидно, рішення і будуть лінійно залежні тоді і лише тоді, коли їхнє ставлення постійно, тобто (або навпаки).
Справді, якщо і –лінійно залежні, то , де щонайменше одна постійна чи відмінна від нуля. Нехай, наприклад, . Тоді , , позначаючи отримаємо , тобто ставлення постійно.
Назад, якщо то 
. Тут коефіцієнт при , тобто від нуля, що за визначенням означає, що є лінійно залежними.
Зауваження.З визначення лінійно незалежних рішень і міркувань вище можна дійти невтішного висновку, що й –лінійно незалежні, їх ставлення може бути постійним.
Наприклад, функції і при – лінійно незалежні, оскільки 
, так як . А ось функції 5 xі x-лінійно залежні, тому що їх відношення.
Теорема.Якщо і лінійно незалежні приватні рішення лінійного однорідного рівняння другого порядку, то їх лінійна комбінація , де і довільні постійні, є загальним рішенням цього рівняння.
Доведення.У силу теорем 1 і 2 (і наслідки до них) є рішенням рівняння (9) за будь-якого вибору постійних і .
Якщо рішення і -лінійно незалежні, то - загальне рішення, так як це рішення містить дві довільні постійні, які не можуть бути зведені до однієї.
У той же час, якби були лінійно залежними рішеннями, то вже не було б загальним рішенням. У цьому випадку , де α -Константа. Тоді де є постійною. може бути загальним рішенням диференціального рівняння другого порядку, оскільки залежить від однієї постійної.
Отже, загальне рішення рівняння (9):
19. Поняття лінійно-незалежної системи функцій. визначник Вронського. достатня умова лінійної незалежності. Концепція фундаментальної системи функції. приклади. Необхідна і достатня умова на відміну від нуля визначника Вронського на відрізку [а,в]
Поняття лінійно-незалежної системи функцій 
Функції 
називаються лінійно залежними на, якщо одна з них є лінійною комбінацією інших. Іншими словами, функції називаються лінійно залежними на , якщо існують числа , з яких хоча б одне не дорівнює нулю, такі, що
Якщо тотожність (4) виконується лише тоді, коли всі , то функції називаються лінійно незалежними на .
Система з лінійно незалежних на інтервалі рішень
однорідного диференціального рівняння -го порядку (3) з безперервними коефіцієнтами називається фундаментальної системою рішень цього рівняння.
Щоб розв'язати лінійне однорідне диференціальне рівняння порядку (3) з безперервними коефіцієнтами, треба знайти його фундаментальну систему рішень.
Відповідно до теореми 1 довільна лінійна комбінація з рішень, тобто сума
, (5)
де - довільні числа, є своє чергу рішення рівняння (3) на . Але виявляється, що й назад, будь-яке рішення диференціального рівняння (3) на інтервалі є деяка лінійна комбінація із зазначених (незалежних між собою) його окремих рішень (див. нижче теорему 4), що утворюють фундаментальну систему рішень.
Таким чином, загальне рішення однорідного диференціального рівняння (3) має вигляд (5), де довільні постійні, а - приватні рішення (3), що утворюють фундаментальну систему рішень однорідного рівняння.
Зазначимо, що загальне рішення неоднорідного рівняння (1) є сумою будь-якого його приватного рішення та загального рішення однорідного рівняння.
. (6)
Справді,
.
З іншого боку, якщо є довільне рішення рівняння (1),
і, отже, є розв'язання однорідного рівняння; але тоді існує такі числа, що
,
т. е. цих чисел виконується рівність (6).
Визначник Вронського.
Теорема 2. Якщо функції лінійно залежні і мають похідні до -го порядку, то визначник
. (7)
Я
Визначник (7) називається визначником Вронського або Вронскіаном і позначається символом 
.
Доведення. Оскільки функції лінійно залежні на , то існують такі не всі рівні нулю числа , при яких виконується тотожність (4) на . Диференціюючи його, отримаємо систему рівнянь
Ця однорідна система за умовою має нетривіальне рішення (тобто хоча б одне) при . Останнє можливе, коли визначник системи, який є визначником Вронського, тотожно дорівнює нулю. Теорему доведено.
Зауваження. З теореми 2 випливає, що якщо хоча б в одній точці , функції лінійно незалежні на .
Приклад 2. Функції лінійно незалежні будь-якому , оскільки
.
Приклад 3. Функції лінійно незалежні будь-якому , якщо - різні числа (дійсні чи комплексні).
Справді.
,
оскільки останній визначник є визначником Вандермонда, який за різних не дорівнює нулю.
Приклад 4. Функції 
лінійно незалежні на будь-якому.
Так як і
то лінійна незалежність зазначених функцій випливає з другого прикладу.
Теорема 3. Для того, щоб рішення 
лінійного диференціального однорідного рівняння з безперервними коефіцієнтами були лінійно незалежними на , необхідно і достатньо для всіх .
Доведення. 1) Якщо на , то функції лінійно незалежні незалежно від цього, є рішеннями рівняння чи ні (див. зауваження).
2) Нехай є лінійно незалежними функціями і є рішеннями рівняння .
Доведемо, що всюди на . Допустимо неприємне, що існує точка , в якій . Виберемо числа , що одночасно не рівні нулю, так, щоб вони були рішеннями системи
(8)
Це можна зробити, оскільки визначник системи (8) є . Тоді через теорему 1 функція 
буде рішенням рівняння з нульовими початковими умовами (8)
Але таким самим умовам задовольняє і тривіальне рішення. У силу теореми існування і єдиності рішення, що задовольняє цим початковим умовам, може бути тільки одне, отже, на т. Е. Функції лінійно залежні на те, що не передбачалося. Теорему доведено.
Якщо - розривні функції в інтервалі, де шукаємо рішення, то рівняння може мати одне рішення, задовольняє початковим умовам , і тоді можливо, що у .
Приклад 5. Легко перевірити, що функції
лінійно незалежні і для них на .
Це з тим, що функція 
є загальним рішенням рівняння
,
де 
розривна в точці. Для цього рівняння теорема існування та єдиності не має місця (в околиці точки). Як функція , а й функція є рішенням диференціального рівняння, що задовольняє умовам і при .
Структура загального рішення.
Яндекс.Директ Всі оголошення Рішення рівнянь онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – вирішення рівнянь одним кліком! Скачай безкоштовно! loviotvet.ru Хто такий Ісус Як дізнатися, хто такий Ісус Христос насправді?
Теорема 4. Якщо - лінійно незалежні рішення лінійного однорідного диференціального рівняння -го порядку з безперервними коефіцієнтами 
, то функція
, (9)
де - довільні постійні, є загальним рішенням рівняння , тобто сума (9) при будь-яких є рішення цього рівняння і, назад, всяке рішення цього рівняння представимо у вигляді суми (9) при відповідних значеннях .
Доведення. Ми вже знаємо, що сума (9) за будь-яких є рішення рівняння . Нехай назад є довільне рішення цього рівняння. Покладемо
Для отриманих чисел 
складемо лінійну систему рівнянь щодо невідомих чисел : , досить знайти якісь – речові постійні. Для знаходження загального рішення рівняння (8) чинимо так. Складаємо характеристичне рівняння рівняння (8): . Використовуючи початкові умови, визначимо
Розглянемо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку
y (n) + a n -1 (x)y (n- 1) + ... + a 1 (x)y" + a 0 (x)y = f(x).
з безперервними коефіцієнтами a n -1 (x), a n -2 (x), ..., a 1 (x), a 0 (x) та безперервною правою частиною f(x).
Принцип суперпозиціїзаснований на наступних властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь.
1. Якщо y 1 (x) та y 2 (x)- два рішення лінійного однорідного диференціального рівняння
y (n) + a n -1 (x)y (n- 1) + ... + a 1 (x)y" + a 0 (x)y = 0
то будь-яка їхня лінійна комбінація y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) є рішенням цього однорідного рівняння.
2. Якщо y 1 (x) та y 2 (x) - два рішення лінійного неоднорідного рівняння L(y) = f(x) , то їхня різниця y(x) = y 1 (x) − y 2 (x) є рішенням однорідного рівняння L(y) = 0 .
3. Будь-яке рішення неоднорідного лінійного рівняння L(y) = f(x) є сума будь-якого фіксованого (приватного) розв'язання неоднорідного рівняння та деякого рішення однорідного рівняння.
4. Якщо y 1 (x) та y 2 (x) - рішення лінійних неоднорідних рівнянь L(y) = f 1 (x) та L(y) = f 2 (x) відповідно, то їх сума y(x) =y 1 (x) + y 2 (x) є рішенням неоднорідного рівняння L(y) = f 1 (x) + f 2 (x).
Зазвичай саме це останнє твердження називають принципом суперпозиції.
Метод варіації постійних
Розглянемо неоднорідне рівняння-го порядку
де коефіцієнти та права частина - задані безперервні функції на інтервалі.
Припустимо, що нам відома фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння
Як ми показали в § 1.15 (формула (6)), загальне рішення рівняння (1) дорівнює сумі загального рішення рівняння (2) та будь-якого рішення рівняння (1).
Розв'язання неоднорідного рівняння (1) можна по
Заміна змінної в невизначеному інтегралі використовується при знаходженні інтегралів, в яких одна з функцій похідної іншої функції. Нехай є інтеграл $\intf(x)dx$, зробимо заміну $x=\phi(t)$. Зазначимо, що функція $ \ phi (t) $ є диференційованою, тому можна знайти $ dx = \ phi "(t) dt $.
Тепер підставляємо $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ в інтеграл і отримуємо, що:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Це і є формула заміни змінної у невизначеному інтегралі.
Алгоритм методу заміни змінної
Таким чином, якщо в задачі заданий інтеграл виду: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Доцільно виконати заміну змінної на нову: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Після цього інтеграл буде представлений у вигляді, який легко взяти основними методами інтегрування: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t)dt $$
Не треба забувати також повернути замінену змінну назад до $x$.
Приклади рішень
| Приклад 1 |
|
Знайти невизначений інтеграл шляхом заміни змінної: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Рішення |
|
Виконуємо заміну змінної в інтегралі на $t=3x, dt=3dx$: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Інтеграл експоненти все такий же за таблицею інтегрування, хоч замість $x$ написано $t$: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Інтегрування підстановкою (заміна змінної). Нехай потрібно вирахувати інтеграл, який не є табличним. Суть методу підстановки у тому, що у інтегралі змінну х замінюють змінної t за такою формулою x=ц(t), звідки dx=ц"(t)dt.
Теорема. Нехай функція x = ц (t) визначена і диференційована на деякій множині Т і нехай Х - безліч значень цієї функції, на якому визначено функцію f (x). Тоді якщо на множині Х функція f(x) має первісну, то на множині Т справедлива формула:
Формула (1) називається формулою заміни змінної у невизначеному інтегралі.
Інтегрування частинами. Метод інтегрування частинами випливає з формули диференціала добутку двох функцій. Нехай u(x) і v(x) - дві функції, що диференціюються змінної х. Тоді:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Інтегруючи обидві частини рівності (3), отримуємо:
Але так, то:
Співвідношення (4) називається формулою інтегрування частинами. За допомогою цієї формули знайти інтеграл. Застосовувати її доцільно, коли інтеграл у правій частині формули (4) більш простий для обчислення, ніж вихідний.
У формулі (4) відсутня довільна постійна, так як у правій частині цієї формули стоїть невизначений інтеграл, що містить довільну постійну.
Наведемо деякі типи інтегралів, що часто зустрічаються, обчислюваних методом інтегрування частинами.
I. Інтеграли виду, (P n (x) - багаточлен ступеня n, k - деяке число). Щоб знайти ці інтеграли, достатньо покласти u=P n (x) та застосувати формулу (4) n разів.
ІІ. Інтеграли виду, (Pn(x) - багаточлен ступеня n щодо х). Їх можна знайти за частими, приймаючи за u функцію, яка є множником при P n (x).
За допомогою заміни змінної можна обчислити прості інтеграли і, у деяких випадках, спростити обчислення складніших.
Метод заміни змінної полягає в тому, що ми від вихідної змінної інтегрування, нехай це буде x, переходимо до іншої змінної, яку позначимо як t. При цьому ми вважаємо, що змінні x та t пов'язані деяким співвідношенням x = x (t), або t = t (x). Наприклад, x = ln t, x = sin t, t = 2 x + 1, і т.п. Нашим завданням є підібрати таку залежність між x і t, щоб вихідний інтеграл або звівся до табличного, або став більш простим.
Основна формула заміни змінної
Розглянемо вираз, що стоїть під знаком інтеграла. Воно складається з твору підінтегральної функції, яку ми позначимо як f (x)та диференціала dx: . Нехай ми переходимо до нової змінної t, вибравши деяке співвідношення x = x (t). Тоді ми маємо висловити функцію f (x)і диференціал dx через змінну t.
Щоб виразити підінтегральну функцію f (x)через змінну t потрібно просто підставити замість змінної x вибране співвідношення x = x (t).
Перетворення диференціала виконується так:
.
Тобто диференціал dx дорівнює добутку похідної x по t на диференціал dt.
Тоді
.
Насправді, найчастіше зустрічається випадок, у якому виконуємо заміну, вибираючи нову змінну як функцію від старої: t = t (x). Якщо ми здогадалися, що підінтегральну функцію можна у вигляді
,
де t′ (x)- це похідна t x , то
.
Отже, основну формулу заміни змінної можна у двох видах.
(1)
,
де x - це функція від t.
(2)
,
де t - це функція від x.
Важливе зауваження
У таблицях інтегралів змінна інтегрування найчастіше позначається як x . Проте варто врахувати, що змінна інтегрування може бути позначена будь-якою літерою. І більше, як змінної інтегрування може бути якесь вираз.
Як приклад розглянемо табличний інтеграл
.
Тут x можна замінити будь-якою іншою змінною або функцією від змінної. Ось приклади можливих варіантів:
;
;
.
В останньому прикладі слід враховувати, що при переході до змінної інтегрування x , диференціал перетворюється так:
.
Тоді
.
У цьому прикладі полягає суть інтегрування підстановкою. Тобто ми маємо здогадатися, що
.
Після цього інтеграл зводиться до табличного.
.
Можна обчислити цей інтеграл за допомогою заміни змінної, застосовуючи формулу (2)
. Покладемо t = x 2+x. Тоді
;
;
.
Приклади інтегрування заміною змінної
1)
Обчислимо інтеграл
.
Помічаємо, що (sin x)′ = cos x. Тоді
.
Тут ми застосували підстановку t = sin x.
2)
Обчислимо інтеграл
.
Помічаємо, що . Тоді
.
Тут ми виконали інтегрування заміною змінної t = arctg x.
3)
Проінтегруємо
.
Помічаємо, що . Тоді
. Тут, при інтегруванні, здійснено заміну змінної t = x 2 + 1
.
Лінійні підстановки
Мабуть, найпоширенішими є лінійні підстановки. Це заміна змінного вигляду
t = ax + b,
де a та b - постійні. За такої заміни диференціали пов'язані співвідношенням
.
Приклади інтегрування лінійними підстановками
A)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
.
B)Знайти інтеграл
.
Рішення.
Скористаємося властивостями показової функції.
.
ln 2– це постійна. Обчислюємо інтеграл.
.
C)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
Наведемо квадратний багаточлен у знаменнику дробу до суми квадратів.
.
Обчислюємо інтеграл.
.
D)Знайти інтеграл
.
Рішення.
Перетворимо багаточлен під коренем.
.
Інтегруємо, застосовуючи метод заміни змінної.
.
Раніше ми отримали формулу
.
Звідси
.
Підставивши цей вислів, отримаємо остаточну відповідь.
E)Обчислити інтеграл
.
Рішення.
Застосуємо формулу добутку синуса та косинуса.
;
.
Інтегруємо та робимо підстановки.
.
Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.
На цьому уроці ми познайомимося з одним із найважливіших і найпоширеніших прийомів, який застосовується в ході вирішення невизначених інтегралів – шляхом заміни змінної. Для успішного освоєння матеріалу потрібні початкові знання та навички інтегрування. Якщо є відчуття порожнього повного чайника в інтегральному численні, спочатку слід ознайомитися з матеріалом , де я пояснив у доступній формі, що таке інтеграл і докладно розібрав базові приклади для початківців.
Технічно метод заміни змінної у невизначеному інтегралі реалізується двома способами:
- Підведення функції під знак диференціалу;
- Власне заміна змінної.
По суті, це те саме, але оформлення рішення виглядає по-різному.
Почнемо з більш простого випадку.
Підведення функції під знак диференціалу
На уроці Невизначений інтеграл. Приклади рішеньми навчилися розкривати диференціал, нагадую приклад, який я наводив:
Тобто розкрити диференціал – це формально майже те саме, що знайти похідну.
Приклад 1
Виконати перевірку.
Дивимося на таблицю інтегралів та знаходимо схожу формулу: 
. Але проблема полягає в тому, що у нас під синусом не просто буква «ікс», а складне вираження. Що робити?
Підводимо функцію під знак диференціалу:
Розкриваючи диференціал, легко перевірити, що: 
Фактично і 
- Це запис одного й того ж.
Проте, залишилося питання, а як ми дійшли думки, що на першому кроці потрібно записати наш інтеграл саме так: 
? Чому так, а чи не інакше?
Формула 
(і всі інші табличні формули) справедливі і застосовні НЕ ТІЛЬКИ для змінної, але і для будь-якого складного виразу ЛИШЕ Б АРГУМЕНТ ФУНКЦІЇ( – у нашому прикладі) І ВИРАЗ ПІД ЗНАКОМ ДИФЕРЕНЦІАЛУ БУЛИ ОДНАКОВИМИ
.
Тому уявна міркування при вирішенні має складатися приблизно так: «Мені треба вирішити інтеграл. Я подивився в таблицю і знайшов схожу формулу 
. Але в мене складний аргумент і формулою я одразу скористатися не можу. Однак якщо мені вдасться отримати і під знаком диференціала, то все буде гаразд. Якщо я запишу, тоді. Але у вихідному інтегралі множника-трійки немає, тому щоб підінтегральна функція не змінилася, мені треба її домножити на». У ході приблизно таких уявних міркувань і народжується запис:
Тепер можна користуватися табличною формулою 
:
Готово
Єдина відмінність, у нас не буква «ікс», а складний вираз.
Виконаємо перевірку. Відкриваємо таблицю похідних та диференційуємо відповідь: 
Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.
Зверніть увагу, що під час перевірки ми використовували правило диференціювання складної функції. 
. По суті підведення функції під знак диференціалу та 
– це два взаємно зворотні правила.
Приклад 2
Аналізуємо підінтегральну функцію. Тут у нас дріб, причому в знаменнику лінійна функція (з «ікс» у першому ступені). Дивимося в таблицю інтегралів та знаходимо найбільш схожу річ: 
.
Підводимо функцію під знак диференціалу: 
Ті, кому важко одночасно збагнути, яку дріб потрібно домножувати, можуть швиденько на чернетці розкрити диференціал: . Ага, виходить, значить, щоб нічого не змінилося, мені треба примножити інтеграл на .
Далі використовуємо табличну формулу 
:
Перевірка: 
Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.
Приклад 3
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Приклад 4
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.
При певному досвіді рішення інтегралів, подібні приклади здаватимуться легкими, і клацатимуться як горіхи:
Наприкінці цього параграфа хотілося б ще зупинитися на «халявному» випадку, коли в лінійній функції змінна входить із одиничним коефіцієнтом, наприклад:
Строго кажучи, рішення має виглядати так:
Як бачите, підведення функції під знак диференціала пройшло «безболісно», без будь-яких примножень. Тому на практиці таким довгим рішенням часто нехтують і одразу записують, що 
. Але будьте готові за необхідності пояснити викладачеві, як Ви вирішували! Оскільки інтеграла в таблиці взагалі немає.
Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі
Переходимо до розгляду загального випадку – методу заміни змінних у невизначеному інтегралі.
Приклад 5
Знайти невизначений інтеграл.
Як приклад я взяв інтеграл, який ми розглядали на початку уроку. Як ми вже говорили, для вирішення інтеграла нам сподобалася таблична формула 
, і вся справа хотілося б звести до неї.
Ідея методу заміни полягає в тому, щоб складний вираз (або деяку функцію) замінити однією літерою.
У цьому випадку напрошується:
Друга за популярністю літера для заміни - це літера.
В принципі, можна використовувати й інші літери, але ми все-таки дотримуватимемося традицій.
Отже: 
Але при заміні у нас залишається! Напевно, багато хто здогадався, що й здійснюється перехід до нової змінної , то новому інтегралі все має бути виражено через букву , і диференціалу там зовсім місце.
Слід логічний висновок, що потрібно перетворити на деякий вираз, який залежить тільки від.
Дія така. Після того, як ми підібрали заміну, в даному прикладі нам потрібно знайти диференціал . З диференціалами, гадаю, дружба вже у всіх налагоджена.
Оскільки , то
Після розбирання з диференціалом остаточний результат рекомендую переписати максимально коротко:
Тепер за правилами пропорції висловлюємо потрібний нам:
В підсумку: 
Таким чином: 
А це вже самий табличний інтеграл 
(Таблиця інтегралів, природно, справедлива і для змінної).
Наприкінці залишилося провести зворотну заміну. Згадуємо, що .
Готово.
Чистове оформлення розглянутого прикладу має виглядати приблизно так:
“
Проведемо заміну: 
“
Значок не несе ніякого математичного сенсу, він означає, що ми перервали рішення для проміжних пояснень.
При оформленні прикладу зошита надрядкову позначку зворотної заміни краще виконувати простим олівцем.
Увага!У таких прикладах знаходження диференціала розписуватись докладно не буде.
А тепер саме час згадати перший спосіб розв'язання: 
В чому різниця? Принципової різниці немає. Це фактично одне й те саме. Але з погляду оформлення завдання метод підведення функції під знак диференціалу набагато коротший..
Виникає питання. Якщо перший спосіб коротший, то навіщо використовувати метод заміни? Справа в тому, що для ряду інтегралів не так просто «підігнати» функцію під знак диференціалу.
Приклад 6
Знайти невизначений інтеграл. 
Проведемо заміну: (іншу заміну тут важко вигадати) 
Як бачите, в результаті заміни вихідний інтеграл значно спростився - звівся до звичайної статечної функції. Це і є мета заміни – спростити інтеграл.
Ледачі просунуті люди запросто вирішать даний інтеграл шляхом підведення функції під знак диференціала: 
Інша річ, що таке рішення явно далеко не для всіх студентів. Крім того, вже у цьому прикладі використання методу підведення функції під знак диференціалу значно підвищує ризик заплутатися у вирішенні.
Приклад 7
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Приклад 8
Знайти невизначений інтеграл. 
Заміна:
Залишилося з'ясувати, на що перетвориться 
Добре, ми висловили, але що робити з «іксом», що залишився в чисельнику?!
Іноді під час рішення інтегралів зустрічається наступний трюк: ми висловимо з тієї ж заміни ! 
Приклад 9
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.
Приклад 10
Знайти невизначений інтеграл.
Напевно, деякі звернули увагу, що в моїй довідковій таблиці немає правила заміни змінної. Зроблено це свідомо. Правило внесло б плутанину до пояснення та розуміння, оскільки у вищерозглянутих прикладах воно не фігурує у явному вигляді.
Настав час розповісти про основну передумову використання методу заміни змінної: у підінтегральному вираженні має бути певна функція та її похідна :(функції, можуть бути і не у творі)
У зв'язку з цим при знаходженні інтегралів досить часто доводиться заглядати в таблицю похідних.
У прикладі помічаємо, що ступінь чисельника на одиницю менше ступеня знаменника. У таблиці похідних знаходимо формулу , яка знижує ступінь на одиницю. Отже, якщо позначити за знаменник, то великі шанси, що чисельник перетвориться на щось хороше.
