Demək olar ki, bütün idarəetmə sistemləri, ciddi şəkildə desək, qeyri-xəttidir, yəni. qeyri-xətti tənliklərlə təsvir olunur. Xətti idarəetmə sistemləri qeyri-xətti funksiyaların Taylor seriyasına genişləndirilməsi və qeyri-xətti şərtlərin ləğv edilməsindən ibarət olan adi xəttiləşdirmə - xəttiləşdirmə yolu ilə əldə edilən onların xətti modelləridir. Lakin belə linearizasiya həmişə mümkün olmur. Qeyri-xəttilik adi linearlaşmanı qəbul edirsə, belə qeyri-xəttilik əhəmiyyətsiz adlanır. Əks halda, qeyri-xəttiliyin əhəmiyyətli olduğu deyilir. Bütün növ rele elementləri əhəmiyyətli qeyri-xəttiliyə malikdir. Ənənəvi xəttiləşdirmənin mümkün olduğu hallarda belə, tədqiqatın son mərhələsində orijinal qeyri-xətti modeli nəzərdən keçirmək lazım gələ bilər.
Qeyri-xətti avtomatik idarəetmə sistemi, qeyri-xətti tənliklə təsvir edilən ən azı bir əlaqəni ehtiva edən bir sistemdir.
Qeyri-xətti əlaqələrin növləri:
rele tipli əlaqə;
parça-xətti xarakteristikası ilə əlaqə;
hər hansı bir formanın əyri xarakteristikası olan bir əlaqə;
tənliyində dəyişənlərin və ya onların törəmələrinin hasili və onların digər birləşmələri olan əlaqə;
gecikmə ilə qeyri-xətti əlaqə;
qeyri-xətti impuls bağlantısı;
məntiqi əlaqə;
Dəyişən struktura malik olanlar da daxil olmaqla, hissə-hissə xətti idarəetmə sistemləri ilə təsvir edilən keçidlər.
Şəkildə. 2.1 müxtəlif növ rele xüsusiyyətlərini təqdim edir:
ideal relenin xüsusiyyətləri (a);
ölü zonası olan relenin xüsusiyyətləri (b);
histerezisi olan relenin xüsusiyyətləri (c);
ölü zona və histerezisi olan relenin xüsusiyyətləri (g);
(d) səviyyəsinə görə kvantlaşdırma xarakteristikası.
Şəkildə. 2.2 hissə-hissə xətti xüsusiyyətləri təqdim edir:
doyma ilə parça-xətti xarakteristikası (a);
Ölü zona və doyma ilə parça-xətti xarakteristikası (b)
ölü zona ilə parça-xətti xarakteristikası (c);
geri tepme (təpki ilə əlaqənin xarakterikdir) (d);
diod xarakteristikası (d);
histerezis və doyma ilə parça-xətti xarakteristikası (e).
Statik və dinamik qeyri-xəttilər var. Birincilər qeyri-xətti statik xüsusiyyətlər, ikincilər qeyri-xətti diferensial tənliklər şəklində təqdim olunur.
Tənzimləyici orqanın sürücüsü, nə olursa olsun (elektrik, hidravlik və ya pnevmatik) həmişə başlanğıcda ölü zonaya malikdir; ikincisi, kənarlarda doyma zonası. Bundan əlavə, histerezis də baş verə bilər. Rele tipli bağlantılarla əlaqəli sabit sürətli sürücülər də var.
Ölü zona, mühərrikin müəyyən bir minimum başlanğıc cərəyanına malik olması ilə ifadə edilir, ona çatana qədər mühərrik stasionar olacaqdır.
HİSTEREZİS (yunan dilindən hysteresis - gecikmə, gecikmə), fiziki olmasından ibarət olan bir fenomen. bir cismin vəziyyətini xarakterizə edən kəmiyyət (məsələn, maqnitləşmə) birmənalı şəkildə fiziki xüsusiyyətlərdən asılıdır. xarici şəraiti xarakterizə edən kəmiyyət (məsələn, maqnit sahəsi). G. zamanın müəyyən anında bədənin vəziyyətinin yalnız eyni zamanda deyil, həm də zamanın əvvəlki nöqtələrində xarici şərtlərlə müəyyən edildiyi hallarda müşahidə olunur. Hər hansı bir prosesdə kəmiyyətlərin qeyri-müəyyən bir asılılığı müşahidə olunur, çünki bədənin vəziyyətini dəyişdirmək həmişə müəyyən bir vaxt (istirahət vaxtı) tələb edir və bədənin reaksiyası ona səbəb olan səbəblərdən geri qalır.
Qeyri-xətti sistemlər xətti sistemlərlə müqayisədə bir sıra fundamental xüsusiyyətlərə malikdir. Xüsusilə, bu xüsusiyyətlər aşağıdakılardır:
Superpozisiya prinsipi özünü doğrultmur və bir neçə təsir altında qeyri-xətti sistemin tədqiqi bir təsir altında olan tədqiqata endirə bilməz;
Keçid prosesinin sabitliyi və xarakteri tarazlıq vəziyyətindən ilkin kənarlaşmanın böyüklüyündən asılıdır;
Sabit xarici təsirlər altında bir neçə (və bəzən sonsuz sayda) tarazlıq mövqeləri mümkündür;
Xətti sistemlərdə qeyri-mümkün olan sərbəst stabil vəziyyət prosesləri yaranır (məsələn, öz-özünə rəqslər).
Qeyri-xətti sistemləri öyrənmək üçün universal analitik (riyazi) üsullar mövcud deyil. Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsinin işlənib hazırlanması prosesində qeyri-xətti sistemlərin təhlili və sintezi üçün müxtəlif riyazi üsullar işlənib hazırlanmışdır ki, onların hər biri müəyyən sinif sistemlər və problemlər üçün tətbiq edilir. Qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsi üçün ən çox istifadə olunan üsullar bunlardır:
Faza müstəvisi üsulu;
Lyapunov funksiya üsulu;
Harmonik xəttiləşdirmə üsulu (harmonik balans üsulu);
Mütləq sabitliyin öyrənilməsi üsulları.
Az və ya çox mürəkkəb qeyri-xətti sistemlərin hər hansı tədqiqi, bir qayda olaraq, riyazi modelləşdirmə ilə başa çatır. Və bu baxımdan riyazi modelləşdirmə universal (analitik olmayan) tədqiqat metodlarından biridir.
Faza müstəvisi
İdarəetmə sisteminin tənlikləri normal formada təqdim edilirsə, sistemin vəziyyət vektoru onun vəziyyətini unikal şəkildə təyin edir. Sistemin dövlət fəzasındakı hər bir vəziyyəti bir nöqtəyə uyğun gəlir. Sistemin cari vəziyyətinə uyğun gələn nöqtə təmsil nöqtəsi adlanır. Vəziyyət dəyişdikdə, təmsil edən nöqtə trayektoriyanı təsvir edir. Bu trayektoriya faza trayektoriyası adlanır. Bütün mümkün ilkin şərtlərə uyğun gələn faza trayektoriyalarının toplusu faza portreti adlanır.
Faza trayektoriyası və faza portreti ikiölçülü faza məkanı vəziyyətində vizual olaraq göstərilə bilər. İki ölçülü faza fəzasına faza müstəvisi deyilir.
Faza müstəvisi, ikinci dərəcəli sistemin vəziyyətini unikal şəkildə təyin edən iki dəyişənin (faza koordinatlarının) koordinat oxları boyunca çəkildiyi koordinat müstəvisidir.
Faza portretinin qurulmasına əsaslanan idarəetmə sisteminin təhlili və sintezi üsulu faza müstəvisi üsulu adlanır.
Faza portretindən keçici proseslərin təbiətini mühakimə etmək olar. Xüsusilə, faza trayektoriyasından istifadə edərək, hesablamalar olmadan keyfiyyətcə zaman xarakteristikasını - zamana qarşı x əyrisini qura bilərsiniz və əksinə, zaman xarakteristikasından istifadə edərək, faza trayektoriyasını keyfiyyətcə qura bilərsiniz.
Nümunə olaraq, biz əvvəlcə faza trayektoriyasından istifadə edərək zaman xarakteristikasını quracağıq, sonra isə zaman xarakteristikasından istifadə edərək faza trayektoriyasını quracağıq. Faza trayektoriyası verilsin (şək. 2.4, a).
Üzərində xarakterik nöqtələri (başlanğıc nöqtəsi, koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri) qeyd edərək, müvəqqəti müstəvidə müvafiq nöqtələri çəkirik və onları hamar əyri ilə birləşdiririk (şəkil 2.4, b).
İndi zaman xarakteristikası verilsin (şək. 2.5, a). Üzərində xarakterik nöqtələri (başlanğıc nöqtəsi, ekstremal nöqtələr və zaman oxu ilə kəsişmə nöqtələri) qeyd edərək, müvafiq nöqtələri faza müstəvisində çəkirik və onları hamar əyri ilə birləşdiririk.
(Şəkil 2.5,6).
Qeyri-xətti sistemlərin faza portretlərində bir növ xüsusi əyri - təcrid olunmuş qapalı traektoriyalar ola bilər. Bu əyrilər deyilir dövrləri məhdudlaşdırın. Əgər içəridən və xaricdən faza trayektoriyaları həddi dövrəyə yaxınlaşarsa (şəkil 2.8, a),
onda belə bir hədd dövrü sabit limit dövrü adlanır. Sabit limit dövrü asimptotik orbital sabit dövri hərəkətə (öz-özünə salınımlar) uyğun gəlir.
Əgər həddi dövrənin daxilində və xaricində faza trayektoriyaları ondan uzaqlaşırsa (şək. 2.8,6), belə həddi dövrə qeyri-sabit limit dövrü adlanır. Qeyri-sabit limit dövrünə uyğun gələn dövri proses müşahidə edilə bilməz.
Hərəkət belə bir həddi dövr ərzində başlayırsa, o zaman proses tarazlıq vəziyyətinə yaxınlaşır. Hərəkət belə bir məhdudiyyət dövründən kənarda başlayırsa, o zaman proses ayrılır. Qeyri-sabit limit dövrü cazibə bölgəsinin sərhədi və ya tarazlıq mövqeyinin (mənşəyinin) sabitlik sərhədi kimi xidmət edir.
İki limit dövrü mümkündür (Şəkil 2.8, c, d). Daxili ön-
Şəkildəki məhdudiyyət dövrü. 2.8, in sabitdir və öz-özünə salınmalar ona uyğundur və xarici həddi dövran qeyri-sabitdir və öz-özünə salınımlar bölgəsinin sərhədidir: xarici hədd dövründən kənara çıxmayan hər hansı ilkin sapmalar üçün öz-özünə salınmalar baş verir. .
Şəkildəki xarici limit dövrü. 2.8, d sabitdir və öz-özünə salınmalara uyğundur, daxili hədd dövrü isə qeyri-sabitdir və tarazlıq vəziyyətinin cazibə bölgəsinin sərhədidir. Belə bir faza portreti olan bir sistemdə, sistem tarazlıq mövqeyindən kifayət qədər kənara çıxdıqda, öz-özünə salınmalar yaranır - daxili hədd dövründən kənara çıxan bir sapma. Sistem qeyri-sabit həddi dövr ərzində hərəkət edərsə, o zaman tarazlıq vəziyyətinə yaxınlaşır.
Harmonik xəttiləşdirmə üsulu
Harmonik xəttiləşdirmə metodu və ya harmonik balans metodu əvvəlcə dövri şərtləri öyrənmək üçün hazırlanmışdır. Lakin sonradan qeyri-xətti sistemlərin sabitlik təhlili və sintezi üçün də istifadə olunmağa başlandı.
Metodun əsas ideyası aşağıdakı kimidir. Nəzarət olunan sistemlər (obyektlər), bir qayda olaraq, aşağı keçid filtrinin xüsusiyyətinə malikdirlər: dövri rejimlər meydana gəldikdə, onlar ötürmürlər və ya daha çox zəifləmə, ikinci və daha yüksək harmoniklərlə ötürmürlər. Harmonik xəttiləşdirmə metodunun mahiyyəti isə Furye silsiləsində qeyri-xətti funksiyanın genişləndirilməsində göstərilən harmoniklərə məhəl qoymadan (atmaq) əldə edilən qeyri-xətti əlaqəni xətti tənliklə təsvir etməkdir.
Harmonik xəttiləşdirmə üsulu təxmini bir üsuldur. Bununla belə, onun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, o, yalnız 2-ci dərəcəli sistemlərə effektiv şəkildə tətbiq oluna bilən faza müstəvisi metodundan fərqli olaraq istənilən nizamlı sistemlərə tətbiq oluna bilər.
Qoldfarb metodu (simmetrik öz-özünə salınımların öyrənilməsi üsulu)
Lyapunov funksiyası metodu
Lyapunov funksiyasının qurulmasına əsaslanan tədqiqat metodu, o cümlədən birbaşa Lyapunov metodu Lyapunov funksiyaları metodu adlandırılmağa başladı.
Mütləq sabitliyin öyrənilməsi üsulu
Mütləq sabitlik problemi ilk dəfə A. İ. Luri tərəfindən nəzərdən keçirilmişdir və onu bəzən Luri problemi də adlandırırlar. O, bu problemin həlli üçün Lyapunov funksiyasının qurulmasına əsaslanan bir üsul hazırladı. 1961-ci ildə Rumıniyalı alim V.M. Popov bu problemi həll etmək üçün tezlik metodunu təsvir etdiyi bir məqalə dərc etdi. Bu, bu istiqamətdə böyük iş axını ilə nəticələndi.
Tapşırıqlar üçün:
Keçici proses və faza portreti arasındakı əlaqə:
(Besekersky-Popov s. 595 çox şey)
İdarəetmə sistemlərində qeyri-xəttiliklərin olması belə bir sistemin qeyri-xətti diferensial tənliklərlə, çox vaxt kifayət qədər yüksək sıralarla təsvirinə gətirib çıxarır. Məlum olduğu kimi, qeyri-xətti tənliklərin əksər qrupları ümumi formada həll edilə bilməz və yalnız xüsusi həll hallarından danışmaq olar, buna görə də qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsində müxtəlif təqribi üsullar mühüm rol oynayır.
Qeyri-xətti sistemlərin tədqiqi üçün təxmini metodlardan istifadə edərək, sistemin bütün dinamik xüsusiyyətlərini kifayət qədər tam başa düşmək adətən mümkün deyil. Bununla belə, onların köməyi ilə bir sıra fərdi vacib suallara cavab vermək olar, məsələn, sabitlik, öz-özünə salınmaların olması, hər hansı bir xüsusi rejimin təbiəti və s.
Hal-hazırda, qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsi üçün çoxlu sayda müxtəlif analitik və qrafik-analitik üsullar mövcuddur ki, bunlar arasında faza müstəvisi, uyğunlaşma, nöqtə çevrilmələri, harmonik xəttiləşdirmə, Lyapunov birbaşa metodu, mütləqliyin öyrənilməsi üçün tezlik üsullarını qeyd edə bilərik. Popovun sabitliyi, elektron modellərdə və kompüterlərdə qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsi üsulları.
Sadalanan üsullardan bəzilərinin qısa təsviri.
Faza müstəvisi üsulu dəqiqdir, lakin məhdud tətbiqi var, çünki təsviri ikinci dərəcəli idarəetmələrə endirilə bilməyən idarəetmə sistemləri üçün praktiki olaraq tətbiq olunmur.
Harmonik xəttiləşdirmə metodu təxmini metoddur, diferensial tənliklərin sırasına məhdudiyyət qoyulmur; Bu metodu tətbiq edərkən sistemin çıxışında harmonik rəqslərin olduğu və idarəetmə sisteminin xətti hissəsinin yüksək ötürücülü filtr olduğu qəbul edilir. Sistemin xətti hissəsi tərəfindən siqnalların zəif süzülməsi halında, harmonik xəttiləşdirmə metodundan istifadə edərkən, daha yüksək harmonikləri nəzərə almaq lazımdır. Eyni zamanda qeyri-xətti sistemlərin idarəetmə proseslərinin dayanıqlığının və keyfiyyətinin təhlili daha da mürəkkəbləşir.
İkinci Lyapunov üsulu sabitlik üçün yalnız kifayət qədər şərait əldə etməyə imkan verir. Və onun əsasında idarəetmə sisteminin qeyri-sabitliyi müəyyən edilirsə, bir sıra hallarda əldə edilmiş nəticənin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün Lyapunov funksiyasını başqası ilə əvəz etmək və yenidən sabitlik təhlili aparmaq lazımdır. Bundan əlavə, Lyapunov funksiyasını təyin etmək üçün ümumi üsullar yoxdur ki, bu da bu metodun praktiki tətbiqini çətinləşdirir.
Mütləq sabitlik meyarı tezlik xüsusiyyətlərindən istifadə edərək qeyri-xətti sistemlərin dayanıqlığını təhlil etməyə imkan verir ki, bu da xətti və qeyri-xətti sistemlərin riyazi aparatlarını vahid bütövlükdə birləşdirdiyi üçün bu metodun böyük üstünlüyüdür. Bu metodun çatışmazlıqlarına qeyri-sabit xətti hissəsi olan sistemlərin dayanıqlığını təhlil edərkən hesablamaların mürəkkəbliyi daxildir. Buna görə də qeyri-xətti sistemlərin dayanıqlığı haqqında düzgün nəticə əldə etmək üçün müxtəlif üsullardan istifadə etmək lazımdır. Və yalnız müxtəlif nəticələrin üst-üstə düşməsi dizayn edilmiş avtomatik idarəetmə sisteminin sabitliyi və ya qeyri-sabitliyi ilə bağlı səhv mülahizələrdən qaçmağa imkan verəcəkdir.
Sabitlik meyarı Popova V.M.
(Rumıniya alimi)
Bu şərti ödəyən birmənalı qeyri-xətti ilə NL ACS-nin sabitliyini öyrənmək üçün tezlik metodudur.
Tarazlıq vəziyyətinin sabitliyi nəzərə alınır
Kifayət qədər şərait mütləq sabitlik Belə sistemlər V.M.Popov tərəfindən tərtib edilmişdir.
1. Köçürmə funksiyası təqdim olunur
Ehtimal olunur ki 
asimptotik sabit sistemə uyğun gəlir (sabitlik meyarlarından hər hansı biri ilə yoxlanılır).
2. Tezliyə cavab tapılır 
.
3. Dəyişdirilmiş tezlik reaksiyası qurulur 
,
münasibəti ilə müəyyən edilir
Re
=Re 
,
Im
=
.
4. Kompleks müstəvidə qurulmuşdur 
.
Popov meyarı:
Bir nöqtədən keçərsə 
real ox üzərində düz xətt çəkilə bilər ki, dəyişdirilmiş AFC 
bu düz xəttin bir tərəfində yatdı, sonra qapalı NL özüyeriyən silah tamamilə sabit olacaq.
Misal. NL özüyeriyən silahların mütləq dayanıqlığını Şəkil 1-dəki blok diaqramı ilə araşdırın, əgər
Hər şeydən bəri 
2-ci dərəcəli xarakteristik tənlikdə sıfırdan böyükdür, onda 
- asimptotik sabitdir və buna görə də Popovun sabitlik meyarının (1) şərti təmin edilir.
Re
=Re 
=
Im
=
Im
=
Biz AFFC qururuq 
.
Xüsusi bir forma üçün asimptotik sabitlik
qeyri-xətti xüsusiyyətlər
1. Birmənalı olmayan qeyri-xətti xarakteristikası
İstirahət vəziyyəti, əgər tamamilə sabit olacaq
1.
asimptotik sabit sistemə uyğundur.
2.
2. Rele xarakteristikası olan sistem
r=0 . Bu, yuxarıda müzakirə olunan xüsusiyyətin xüsusi halıdır.
Mütləq sabitlik üçün kifayət qədər şərt - şərt (2) əvəzinə
3.Rele tipinin qeyri-xəttiliyi
1.
- asimptotik sabitdir.
2.Im 
Mütləq proses sabitliyi
İndi sabitləşdirmə sistemlərinin sabitliyini (nominal rejim - istirahət vəziyyəti) deyil, nominal rejimin giriş siqnalı ilə xarakterizə edildiyi halı nəzərdən keçirək. 
və çıxış siqnalı 
, yəni məhdud davamlı zamanın funksiyaları.
Fərz edək ki, qeyri-xətti element formaya malikdir 
, Harada 
şərti ödəyən davamlı təkqiymətli funksiyadır
olanlar. qeyri-xətti xarakteristikanın dəyişmə sürəti məhduddur. Bu kifayət qədər sərt şərtdir.
Bu halda məhdud prosesin mütləq sabitliyini təmin etmək 
,
şərtlərin yerinə yetirilməsi üçün kifayətdir6
1.
- asimptotik stabil idi.
2.
.
Xüsusi halda nə vaxt r=0
və ya 
Popovun ideyalarının inkişafı ilə bağlı nəzəriyyə hələ tam deyil, burada daha güclü nəticələr mümkündür. Bu günə qədər belə nəticələrin xülasəsi Naumovun "Qeyri-xətti avtomatik idarəetmə sistemləri" kitabında mövcuddur.
Qeyri-xətti avtomatik idarəetmə sistemlərinin tədqiqi üçün təxmini üsullar
Harmonik balans üsulu
NL ACS-ni öyrənərkən, bəzən çıxış dəyərində dövri dəyişikliklərin görünüşünü müşahidə edə bilərsiniz y(t)
hətta olduğu hallarda 
Özüyeriyən silahları öyrənərkən, özümüzü məhdudlaşdırırıq xətti sabit əmsallı model, onda göstərilən hadisə (təbii rəqslər) yalnız xarakterik tənlikdə sırf xəyali köklər olduqda baş verə bilər. 
.
Lakin bu izahatla sistemin parametrlərindəki kiçik dəyişiklik kökü xəyali oxdan sola və ya sağa “köçürəcək” və təbii salınımlar ya zəifləyəcək, ya da yellənəcək. Təcrübədə qeyri-xətti sistemlərdə çıxış siqnalının dövri rəqsləri sistem parametrlərində kiçik dəyişikliklərlə davam edir.
Bu cür sönümlənməmiş rəqslər sistemin qeyri-xətti təbiəti ilə izah olunur. Onlara öz-özünə salınımlar deyilir.
Metodunu nəzərdən keçirin harmonik tarazlıq, xətti hissənin faza-tezlik reaksiyasının qarşılıqlı axınına və qeyri-xətti elementin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq, öz-özünə rəqslərin olub-olmamasını müəyyən etməyə imkan verir.
Qeyri-xətti elementin müəyyən edildiyi bir dövrəli sistemi nəzərdən keçirək
(1)
və transfer funksiyası olan xətti hissə 
.
Güman edilir:
1.
sabit sistemə uyğundur,
2. qeyri-xətti xarakteristikası 
- tək simmetrik, yəni.
,
3.giriş siqnalı 
, yəni. Bu sabitləşdirmə sistemidir.
Çıxış siqnalını axtaracağıq y(t) kimi
,
(2)
Harada 
- özünü salınımların amplitudası,
- öz-özünə salınma tezliyi.
Və 
müəyyən etmək lazımdır.
Sinusoidal hipotez y(t) ixtiyari görünür. Bununla belə, bu fərziyyənin təbii olması üçün əlavə şərtlər veriləcək.
Çünki 
,(3)
Siqnalı əldən verək 
qeyri-xətti element və xətti hissə vasitəsilə ardıcıl olaraq və amplitudu müəyyən etmək mümkün olacaq tənlikləri tapın 
və tezlik 
NL özüyeriyən silahlarda özünü salınımlar.
Proqnoz 
xətti element vasitəsilə
Çünki
-
dövri funksiya, sonra siqnal
qeyri-xətti çıxışında
element
həm də dövri funksiya olacaq, lakin sinus dalğasından fərqlidir.
Aralığı 
Aralığı 
Məlum olduğu kimi, istənilən dövri funksiya Furye seriyası ilə təmsil oluna bilər:
(4)
Fərz edirik ki, (4) düsturunda sərbəst termin sıfıra bərabərdir. Bu, məsələn, qeyri-xətti elementin xarakteristikası şərti ödədikdə baş verəcəkdir
, yəni qəribə funksiyadır.
Burada Furye əmsalları 
Və 
müəyyən edilir:
,
(5)
Sağ tərəfdəki hər bir termini vurub bölmək yolu ilə (4) çevirək 
(6)
.
Bunu xatırlayaq
(8)
Beləliklə, siqnal keçərkən 
qeyri-xətti element vasitəsilə, qeyri-xətti elementin çıxışında bir siqnal var 
qatları olan çoxlu harmonikləri ehtiva edir 
. (yuxarıdakı şəkilə baxın).
Siqnal keçidi 
xətti hissə vasitəsilə
Xətti sistemlər nəzəriyyəsindən bilirik ki, əgər ötürücü funksiyası olan xətti keçid daxil edilirsə 
, sabit bir sistemə uyğundur, sabit vəziyyətdə harmonik bir siqnal tətbiq edin, bu əlaqənin çıxışında bir siqnal olacaq;
Budur 
- tezlik cavab modulu 
nöqtədə 
,
arqument 
.
Bu əlaqələrdən istifadə edərək, üçün ifadələr yaza bilərik 
, xətti hissədən ayrı-ayrılıqda (8) seriyasının bütün komponentlərini keçirərək və sonra ortaya çıxan ifadələri cəmləyirik. 
Sistemin xətti olduğuna görə belə bir prosedur qanunidir.
alırıq, güman edirik 
:
Nəticə ifadəsi (9) üçün 
kifayət qədər mürəkkəb quruluşa malikdir. İstifadə edərək çox sadələşdirilə bilər filtr hipotezi.
Tipik elementar vahidlərin tezlik xüsusiyyətlərini öyrənərək, onların tezlik reaksiyasının sıfıra meyl etdiyini gördük 
Filtr fərziyyəsi ondan ibarətdir ki, (9)-un sağ tərəfindəki tezlik reaksiyası artan tezliklə o qədər tez azalır ki, (9)-da yalnız birinci termin nəzərə alına bilər. k=1, və qalan şərtləri əhəmiyyətsiz hesab edin. Başqa sözlə, filtr fərziyyəsi ACS-nin xətti hissəsinin yüksək tezlikli salınımların keçməsinə praktiki olaraq imkan vermədiyi fərziyyəsidir. Buna görə də, düstur (9) (və bu metodun təqribidir) aşağıdakı kimi sadələşdirilir:
Beləliklə, filtr fərziyyəsinin fərziyyəsi altında sistemi bağlayarkən harmonik tarazlıq əldə edəcəyik (buna görə metodun adı - harmonik balans üsulu)
Necə istifadə edəcəyinə baxaq üsul harmonik tarazlıq amplitudu təyin edin A və tezlik 
öz-özünə salınımlar.
Konsepsiyanı təqdim edək qeyri-xətti elementin ekvivalent ötürmə funksiyası:
(11)
Əgər 
(və bu, birmənalı simmetrik qeyri-xətti xüsusiyyətlərlə baş verir), onda
(12)
Qapalı ACS-nin xarakterik tənliyi (Şəkil 1) formaya malikdir:
və ya tezlik reaksiyası
(13)
(14)
Təsəvvür edək
Sonra (14) tənliyi yenidən yazılacaq:
=
(17)
Bərabərlik (14) və ya (17) öz-özünə salınmaların parametrlərini təyin etmək üçün qrafik-analitik metodun əsasını təşkil edir. A Və 
.
Xətti hissənin faza cavab xarakteristikası kompleks müstəvidə qurulur
və qeyri-xətti elementin xüsusiyyətləri
Əgər əyrilər kəsişirsə, o zaman ACS-də öz-özünə salınmalar mövcuddur.
Boyu əyrilərin kəsişmə nöqtəsində öz-özünə salınma tezliyi 
, və amplituda uyğundur 
.
Seçilmiş sahəyə daha yaxından nəzər salaq
Biz əyrilərin kəsişmə nöqtəsinə ən yaxın nöqtələrin amplitudasını və tezliyini bilirik. Kesişmə nöqtəsində amplituda və tezlik, məsələn, seqmentin yarıya bölünməsi ilə müəyyən edilə bilər.
Harmonik xəttiləşdirmə üsulu
Bu, NL ACS-də dövri salınımları təyin etmək üçün çox təsirli bir təxmini üsuldur.
Qeyri-xəttiliyin harmonik xəttiləşdirmə metodunu tətbiq etmək üçün tələbi yerinə yetirmək lazımdır: xətti hissə filtr xüsusiyyətlərinə malik olmalıdır, yəni. yüksək tezliklərin keçməsinə imkan verməməlidir.
Praktikada bu tələb adətən yerinə yetirilir.
Qeyri-xətti element olsun
(1)
Qoy 
(2)
Sonra 
(3)
Gəlin (1)-i Furye seriyasına genişləndirək:
Xatırladaq ki, qeyri-xətti funksiya F(x) , Furye seriyasına genişləndirilmiş, formaya malikdir:
,
,
,
Onda qeyri-xəttiliyimiz üçün Furye seriyası belə görünəcək:
++daha yüksək harmoniklər (4)
Gəlin sabit komponent qoyaq 
Tənlikdən (2): 
Tənlikdən (3): 
Sonra (4) tənliyi yenidən yazıla bilər:
,
(5) tənliyində biz yüksək tezliklərə əhəmiyyət vermirik və bu, metodun yaxınlaşmasıdır.
Beləliklə, qeyri-xətti element 
xətti hissə filtri hipotezi təmin edildikdə, aşağıdakı formanı alan xəttiləşdirilmiş ifadə (5) ilə əvəz olunur:
(6)
Bu prosedur harmonik linearizasiya adlanır.
Oranlar 
Və 
saat daimi a Və 
. Dinamik rejimdə, onlar dəyişdikdə A Və 
, əmsallar 
Və 
dəyişəcək. Bu harmonik xəttiləşdirmə ilə şərti xəttiləşdirmə arasındakı fərqdir. (Şərti xəttiləşdirmə ilə xəttiləşdirilmiş tənliyin əmsalı TO xəttiləşmə nöqtəsindən asılıdır). Xəttiləşmə əmsallarının asılılığı A Və 
xətti sistemlərin öyrənilməsi üçün metodları NL ACS-yə tətbiq etməyə imkan verir (6) və NL ACS-nin ənənəvi xəttiləşdirmə ilə aşkar edilə bilməyən xüsusiyyətlərini təhlil edir.
Harmonik xəttiləşmə əmsalları
bəzi tipik qeyri-xəttiliklər
Rele xarakteristikası
2. Ölü zona ilə relay xarakteristikası
,
Salınma amplitudası 
3. Histerezis döngəsi ilə relay xarakteristikası
,
,
4. Ölü zona və histerezis döngəsi ilə relay xarakteristikası
,
İndi qapalı sistemi nəzərdən keçirin.
,
Qeyri-xətti elementin ötürmə funksiyası anlayışını təqdim edə bilərik
,
.
Sonra qapalı ACS-nin xarakterik tənliyi:
,
və ya
Qapalı sistemdə sabit amplituda və tezlikdə təbii sönümsüz rəqslər yarandıqda harmonik xəttiləşmə əmsalları sabit olur və avtomatik idarəetmə sistemi xətti olur. Xətti sistemdə isə dövri sönümsüz salınımların olması sırf xəyali köklərin mövcudluğundan xəbər verir.
Beləliklə, müəyyən etmək dövri həllər xarakterik tənliyə əvəz edilməlidir 
. Budur 
- cari tezlik və 
- öz-özünə salınma tezliyi.
Bu tənlikdəki naməlumlar 
Və 
.
Bu tənlikdə həqiqi və xəyali hissələri təcrid edək.
İstədiyiniz dövri həllin tezliyi və amplitudası üçün qeydi təqdim edək: 
,
.
İki naməlumlu iki tənlik alırıq.
Bu tənlikləri həll edərək tapırıq 
Və 
- NL ACS-də dövri məhlulların amplitudası və tezliyi.
Bu tənliklərdən istifadə edərək nəinki müəyyən edə bilərsiniz 
Və 
, həm də asılılıq yaradır 
Və 
məsələn, ACS-nin qazancından TO.
Sonra nəzərə alaraq TO dəyişənlər yazırıq:
Maraqlıdır TO, Biz tapdıq 
Və 
, yəni. 
Və 
Seçə bilər TO belə ki
1.
yetərli olmazdı
2.
özüyeriyən silahlar üçün zərərsiz olardı,
3. heç bir öz-özünə salınma olmazdı.
Eyni tənliklərdən istifadə edərək, iki parametr müstəvisində mümkündür (məsələn, T Və TO) öz-özünə salınmaların amplitudası və tezliyinin bərabər dəyərlərinin xətlərini qurun. Bu tənlik üçün yenidən yazırıq:
Rəqəmsal dəyərlərin təyin edilməsi 
, alırıq 
Və 
Bu qrafiklərdən siz seçə bilərsiniz T Və TO.
Qeyri-xətti avtomatik idarəetmə sistemlərində həllərin dayanıqlığının müəyyən edilməsi
NL ACS-də öz-özünə salınımlar sabit dövri məhlullara uyğun olmalıdır. Buna görə də amplitudu tapdıqdan sonra 
və tezliklər 
dövri həllər, onları sabitlik üçün yoxlamaq lazımdır.
Mixaylov hodoqrafından istifadə etməklə NL ACS-də dövri məhlulların dayanıqlığının tədqiqi üçün təxmini metodu nəzərdən keçirək.
NL özüyeriyən silahlara icazə verin
,
.
- harmonik xəttiləşdirmə üsulundan istifadə etməklə əldə edilmişdir.
Qapalı sistemin xarakterik tənliyi
Burada əvəz etdiyimiz xarakterik əyrinin tənliyini (Mixaylov hodoqrafı) yazaq. 
.
- Mixaylov hodoqrafı üzrə cari tezlik dəyəri,
- harmonik linearlaşmanın tezliyi (öz-özünə salınımlar).
Sonra hər hansı bir verilmiş üçün daimi
Və 
Mixaylov əyrisi adi xətti sistemlərlə eyni formaya malik olacaq.
Müvafiq dövri həllər üçün 
Və 
, Mixaylovun hodoqrafı koordinatların mənşəyindən keçəcək (çünki sistem sabitlik sərhədindədir).
Dövri həllərin sabitliyini təyin etmək üçün veririk 
artım 
Əgər at 
Mixaylov əyrisi 1-ci mövqeyi tutacaq və nə vaxt
- mövqe 2, onda dövri həll sabitdir.
Əgər at 
əyri 2-ci mövqeyi tutacaq və nə vaxt 
- mövqe 1, onda dövri həll qeyri-sabitdir.
"Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsi"
"Qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsi üsulları"
1. Diferensial tənliklər üsulu
n-ci dərəcəli qapalı qeyri-xətti sistemin diferensial tənliyini (şəkil 1) birinci dərəcəli n-diferensial tənliklər sisteminə aşağıdakı formada çevirmək olar:
burada: – sistemin davranışını xarakterizə edən dəyişənlər (onlardan biri idarə olunan dəyişən ola bilər); – qeyri-xətti funksiyalar; u – təyinedici təsir.
Tipik olaraq, bu tənliklər sonlu fərqlərlə yazılır:
ilkin şərtlər haradadır.
Əgər kənarlaşmalar böyük deyilsə, onda bu sistemi cəbri tənliklər sistemi kimi həll etmək olar. Həll qrafik olaraq təqdim edilə bilər.
2. Faza məkanı üsulu
Xarici təsirin sıfır olduğu halı nəzərdən keçirək (U = 0).
Sistemin hərəkəti onun koordinatlarının dəyişməsi ilə müəyyən edilir - zaman funksiyası kimi. İstənilən vaxt dəyərlər sistemin vəziyyətini (fazasını) xarakterizə edir və n-oxları olan sistemin koordinatlarını müəyyənləşdirir və bəzi (təmsil edən) M nöqtəsinin koordinatları kimi təqdim edilə bilər (Şəkil 2).
Faza məkanı sistemin koordinat sahəsidir.
t vaxtı dəyişdikcə M nöqtəsi faza trayektoriyası adlanan trayektoriya boyunca hərəkət edir. İlkin şərtləri dəyişdirsək, faza portreti adlanan faza trayektoriyaları ailəsi alırıq. Faza portreti qeyri-xətti sistemdə keçid prosesinin xarakterini müəyyən edir. Faza portretində sistemin faza trayektoriyalarının meyl etdiyi və ya uzaqlaşdığı xüsusi nöqtələr var (onlardan bir neçəsi ola bilər).
Faza portretində məhdudiyyət dövrləri adlanan qapalı faza trayektoriyaları ola bilər. Limit dövrləri sistemdə öz-özünə salınmaları xarakterizə edir. Faza trayektoriyaları sistemin tarazlıq vəziyyətlərini xarakterizə edən xüsusi nöqtələr istisna olmaqla, heç bir yerdə kəsişmir. Limit dövrləri və tarazlıq vəziyyətləri sabit və ya qeyri-sabit ola bilər.
Faza portreti qeyri-xətti sistemi tamamilə xarakterizə edir. Qeyri-xətti sistemlərin xarakterik xüsusiyyəti müxtəlif növ hərəkətlərin, bir neçə tarazlıq hallarının və həddi dövrlərin olmasıdır.
Faza məkanı metodu qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsi üçün əsas metoddur. Qeyri-xətti sistemləri faza müstəvisində öyrənmək, zaman sahəsində keçici proseslərin qrafikini çəkməkdən daha asan və daha rahatdır.
Kosmosdakı həndəsi konstruksiyalar, sistem ikinci dərəcəli olduqda və faza müstəvisi üsulundan istifadə edildikdə, müstəvidəki konstruksiyalara nisbətən daha az vizual olur.
Xətti sistemlər üçün faza müstəvisi metodunun tətbiqi
Keçid prosesinin təbiəti ilə faza trayektoriyalarının əyriləri arasındakı əlaqəni təhlil edək. Faza trayektoriyaları ya faza trayektoriyası tənliyini inteqrasiya etməklə, ya da orijinal 2-ci dərəcəli diferensial tənliyi həll etməklə əldə edilə bilər.
Sistem verilsin (şək. 3).
Sistemin sərbəst hərəkətini nəzərdən keçirək. Bu halda: U(t)=0, e(t)=– x(t)
Ümumiyyətlə, diferensial tənliyin forması var
Harada 
(1)
Bu, 2-ci dərəcəli homogen diferensial tənlikdir, onun xarakterik tənliyi bərabərdir;
. (2)
Xarakterik tənliyin kökləri əlaqələrdən müəyyən edilir
(3)
2-ci tərtibli diferensial tənliyi sistem şəklində təqdim edək
1-ci dərəcəli tənliklər:
(4)
burada idarə olunan dəyişənin dəyişmə sürəti.
Baxılan xətti sistemdə x və y dəyişənləri faza koordinatlarını təmsil edir. Faza portretini x və y koordinatları məkanında qururuq, yəni. faza müstəvisində.
Əgər (1) tənliyindən vaxtı xaric etsək, inteqral əyrilərin və ya faza trayektoriyalarının tənliyini əldə edirik.
. (5)
Bu ayrıla bilən tənlikdir
Bir neçə halı nəzərdən keçirək
GB_prog.m və GB_mod.mdl faylları və xətti hissənin çıxışında dövri rejimin spektral tərkibinin təhlili - GB_prog.m və R_Fourie.mdl fayllarından istifadə etməklə. GB_prog.m faylının məzmunu: % Harmonik balans metodu ilə qeyri-xətti sistemlərin öyrənilməsi % İstifadə olunan fayllar: GB_prog.m, GB_mod.mdl və R_Fourie.mdl. % İstifadə olunan təyinatlar: NE - qeyri-xətti element, LP - xətti hissə. Hamısı silinir...
İcazə verilən (yuxarıdan məhdud) tezlik diapazonunda ətalətsizdir, ondan kənarda inertial olur. Xüsusiyyətlərin növündən asılı olaraq, simmetrik və asimmetrik xüsusiyyətlərə malik qeyri-xətti elementlər fərqləndirilir. Onu müəyyən edən kəmiyyətlərin istiqamətindən asılı olmayan bir xarakteristikaya simmetrik deyilir, yəni. sistemin mənşəyinə nisbətən simmetriyaya malik olmaq...
Girişi təsadüfi siqnal qəbul edən kimyəvi-texnoloji obyekti nəzərdən keçirək Və(/) və çıxışda təsadüfi proses müşahidə olunur saat(/). Sabit parametrləri olan xətti obyektləri müəyyən etmək üçün korrelyasiya üsullarından istifadə edərkən, adətən güman edilir (yaxud test siqnalı bu şəkildə xüsusi olaraq seçilir) təsadüfi funksiyaların və (t) Və saat (t) geniş mənada stasionar və stasionar cütdür, yəni onların riyazi gözləntiləri sabitdir, avto və çarpaz korrelyasiya funksiyaları isə onların fərqinə bərabər iki deyil, bir arqumentin funksiyalarıdır.
Qeyri-xətti dinamik sistemləri müəyyən edərkən funksiyaların ehtimal sıxlıqlarının normal olması şərtləri və (t) Və y(t) və onların birgə ehtimal sıxlıqları, bir qayda olaraq, təmin edilmir, yəni obyektin xüsusiyyətləri funksiyaların birgə ehtimal sıxlıqlarının olduğu şəraitdə müəyyən edilir. və (t) Və saat(/) Qauss deyil.
Buna görə də şərti ehtimal sıxlığı funksiyası y(t) nisbətən və (t) həm də qeyri-qauss olacaq. Arqumentlərin verilmiş qiymətləri üçün giriş təsadüfi funksiyasına nisbətən çıxış təsadüfi dəyişənin reqressiyası ümumi halda qeyri-xəttidir və funksiyaların korrelyasiyası Və(0 və saat (t) heteroskedastik.
Beləliklə, qeyri-xətti obyektləri müəyyən etmək üçün riyazi gözləntilərlə işləyən korrelyasiya üsulları və təsadüfi proseslərin korrelyasiya funksiyaları artıq kifayət etmir. Xətti sistemlər üçün istifadə olunan korrelyasiya metodlarından istifadə edərək qeyri-xətti obyektin müəyyən edilməsi probleminin həllində xəta nə qədər çox olarsa, funksiyaların reqressiyası da bir o qədər güclü olar. y(t) nisbətən və (t) xətti və şərti dispersiyaların riyazi gözləntisinin qeyri-bərabərliyi nə qədər böyükdürsə, fərqlənir.
Təsadüfi pozulmalar şəraitində işləyən qeyri-xətti obyektlərin müəyyən edilməsi problemi çox mürəkkəb riyazi problemdir, hazırda işlənmə mərhələsindədir və hələ də tamamlanmaqdan uzaqdır. Buna baxmayaraq, statistik metodlardan istifadə etməklə qeyri-xətti obyektlərin müəyyən edilməsi probleminin kifayət qədər yaxşı təxmini həllini təmin edən bir sıra metodların adlarını çəkmək artıq mümkündür. Bu üsullara aşağıdakılar daxildir: 1) təsadüfi proseslərin dispersiya və dispersiyadaxili funksiyalarından istifadəyə əsaslanan üsullar; 2) funksiyanın şərti dispersiyasının riyazi gözləntisinin homoskedastiklik sahələrində qeyri-xətti reqressiyanın xəttiləşdirilməsi üsulu. y(t) nisbətən və (t) 3) Qeyri-xətti sistemlərin müəyyən edilməsinə Wiener yanaşması; 4) şərti Markov proseslərinin aparatının istifadəsinə əsaslanan qeyri-xətti sistemlərin müəyyən edilməsi üsulu.
Sadalanan üsulların hər birinə qısaca nəzər salaq.
1. Təsadüfi funksiyaların qiymətləri arasında asılılıq olarsa Və(0 və saat (t) qeyri-xətti, onda təsadüfi bir funksiyanın dəyərləri arasındakı korrelyasiya əmsalı artıq aralarındakı əlaqənin yaxınlığını ölçmək üçün kifayət qədər yaxşı bir meyar kimi xidmət edə bilməz. Buna görə də, arasında əlaqəni xarakterizə etmək Və Və saat istifadə olunur
dispersiya əlaqələri vasitəsilə müəyyən edilir dispersiya funksiyaları (2, 3].
Qarşılıqlı dispersiya funksiyası Həqiqi təsadüfi funksiyalar üçün 0 yU (*, t). y(t) Və və (t) Və avtomatik dispersiya (dispersiya) funksiyası G„ K (*, m) təsadüfi proses üçün Və(t) münasibətlərlə müəyyən edilir
Harada M( ) - riyazi gözləmənin simvolu; M.
Yuxarıda göstərilən dəyərlərə əsaslanaraq p ui, t| Böyük Britaniya və R siqnallar arasında əlaqənin xətti olması haqqında fərziyyəni yoxlamaq üçün xüsusi televiziya meyarı qura bilərsiniz y və və:
Harada P- təcrübələrin sayı; Kimə- korrelyasiya cədvəlindəki intervalların sayı. arasında əlaqənin xətti olması haqqında fərziyyəni yoxlayaq y t Və və s§6.4-də müzakirə olunan obyekt üçün. Funksiya
N Sistemin giriş və çıxış tətbiqlərindən qurulmuş (t) Şəkil 1-də göstərilmişdir. 8.2. Bu halda identifikasiya tapşırığı obyektin Hilbert fəzasında operatorun əmsalları olan naməlum parametrlərinin axtarışına qədər azaldılır. Sistem girişindəki siqnal bir sıra Laguerre alt funksiyalarına genişləndirilir:
ehtimallarla 
düyü. 8.3.
düyü. 8.4.
Budur P-th Laguerre funksiyası g n (t) Lager polinomunun hasili kimi qurulur ln(t) eksponent etmək:
Qeyd edək ki, (8.19) əsasında Lager çoxhədlilərinin Laplas təsviri formaya malikdir
Bu onu göstərir ki, siqnalı ötürməklə lazımi Lager əmsallarını əldə etmək olar və (t) xətti dinamik bağlantılar zənciri vasitəsilə (bax. Şəkil 8.3).
Qeyri-xətti sistemin operatoru Ermnt polinomlarında genişlənmə kimi təqdim olunur:
real oxda ortoqonal olanlar - oo t. Hermit funksiyaları Hermit polinomlarından qurulur:
onun köməyi ilə giriş siqnalının Lager əmsallarından çıxış siqnalına keçid operatoru formada yazılır.
Münasibət (8.20) istənilən qeyri-xətti obyekt üçün etibarlıdır və onun eyniləşdirilməsi üçün əsas kimi istifadə edilə bilər. Girişə Gauss ağ səs-küyü şəklində xüsusi bir siqnal tətbiq edilərsə, identifikasiya üsulu çox sadələşdirilmişdir. Bu halda, Lager funksiyaları bərabər dispersiyaya malik korrelyasiyasız Qauss təsadüfi prosesləridir. Bu zaman əmsalların təyini... Kimə sistem çıxışının və Hermit polinomlarının çarpaz korrelyasiya funksiyasını tapmaq üçün azaldır:
Ehtimalların müəyyən edilməsi b(j... Kimə identifikasiya probleminin həllini tamamlayır. Ümumi hesablama sxemi Şəkildə göstərilmişdir. 8.4.
Kimyəvi texnoloji obyektlərin identifikasiyası problemlərini həll edərkən, nəzərdən keçirilən metod bir sıra səbəblərə görə məhdud tətbiq olunur. Sonunculara, məsələn, əmsallardan hərəkət edərkən yaranan çətinliklər daxildir b tj k obyektin texnoloji parametrlərinə. Metod qeyri-stasionar sistemlər üçün uyğun deyil. Obyektin normal istismarı zamanı bu prosedurun həyata keçirilməsində yaranan çətinliklər də metodun effektivliyini azaldır. Nəhayət, keçidlərlə bağlı bütün əməliyyatların limitə qədər kəsilməsi və seriyaların sonlu məbləğlərlə əvəz edilməsi zərurəti əlavə hesablama xətalarının mənbəyidir.
4. Qeyri-xətti sistemlər üçün optimal filtrlərin qurulmasına başqa mümkün yanaşma şərti Markov prosesləri aparatının istifadəsinə əsaslanır. Konkret bir nümunədən istifadə edərək bu yanaşmanın mahiyyətini nəzərdən keçirək.
NÜMUNƏ Faydalı siqnal düzbucaqlı impuls olsun
0 x T seqmentində t-nin görünmə anını müəyyən etmək lazımdır. Pulse hündürlüyü A 0 və onun h müddətinin məlum olduğu güman edilir. Obyektə gələn siqnaldır və (t)=s(*)+m> (*) faydalı komponentin cəmidir s(0 və ağ səs w(*), ehtimal inteqralı ilə təsvir olunur)
