İkinci dərəcəli konusvari səthin tənliyi. Kosmosun əsas səthləri və onların qurulması. Təyyarələrin ümumi tənlikləri

Məqalənin məzmunu

KONİK BÖLÜMƏLƏR, düz dairəvi konusun onun təpəsindən keçməyən müstəvi ilə kəsişməsindən alınan düz əyrilər (şək. 1). Analitik həndəsə nöqteyi-nəzərindən konik kəsik ikinci dərəcəli tənliyi təmin edən nöqtələrin yeridir. Son bölmədə müzakirə olunan degenerasiya halları istisna olmaqla, konus kəsikləri ellips, hiperbola və ya parabolalardır.

Konik kəsiklərə təbiətdə və texnologiyada tez-tez rast gəlinir. Məsələn, Günəş ətrafında fırlanan planetlərin orbitləri ellips şəklindədir. Dairə, böyük oxun kiçik oxuna bərabər olduğu bir ellipsin xüsusi halıdır. Parabolik güzgü, oxuna paralel olan bütün şüaların bir nöqtədə (fokus) birləşməsi xüsusiyyətinə malikdir. Bu, parabolik güzgülərdən istifadə edən əksər əks etdirən teleskoplarda, həmçinin radar antenalarında və parabolik reflektorlu xüsusi mikrofonlarda istifadə olunur. Parabolik reflektorun fokusunda yerləşdirilmiş işıq mənbəyindən paralel şüalar şüası çıxır. Buna görə də parabolik güzgülər yüksək güclü projektorlarda və avtomobil faralarında istifadə olunur. Hiperbola Boyl qanunu (ideal qazın təzyiqi və həcmi ilə bağlı) və Ohm qanunu kimi bir çox mühüm fiziki əlaqələrin qrafikidir. elektrik sabit gərginlikdə müqavimət funksiyası kimi.

İLK TARİX

Konik kəsikləri kəşf edənin Platonun tələbəsi və Makedoniyalı İskəndərin müəllimi Menexmus (e.ə. IV əsr) olduğu güman edilir. Meneechmus bir kubun ikiqat artırılması məsələsini həll etmək üçün parabola və bərabərtərəfli hiperboladan istifadə etdi.

4-cü əsrin sonunda Aristey və Evklid tərəfindən yazılmış konus kəsikləri haqqında traktatlar. M.Ö., itirildi, lakin onlardan alınan materiallar məşhurlara daxil edildi Konik hissələr Perqalı Apollonius (e.ə. 260-170-ci illər) bu günə qədər gəlib çatmışdır. Apollonius konusun generatrisinin kəsici müstəvisinin perpendikulyar olması tələbindən imtina etdi və onun meyl bucağını dəyişdirərək düz və ya meylli bir dairəvi konusdan bütün konus kəsiklərini əldə etdi. Əyrilərin müasir adlarını da Apolloniusa borcluyuq - ellips, parabola və hiperbola.

Apollonius öz konstruksiyalarında iki vərəqli dairəvi konusdan istifadə etmişdir (şəkil 1-də olduğu kimi), ona görə də ilk dəfə hiperbolanın iki budaqlı əyri olduğu aydın oldu. Apollonius dövründən bəri konus kəsikləri kəsici müstəvinin konusun generatriksinə meylindən asılı olaraq üç növə bölünür. Ellips (Şəkil 1, A) kəsici müstəvi konusun bütün generatrislərini onun boşluğundan birinin nöqtələrində kəsdikdə əmələ gəlir; parabola (şək. 1, b) – kəsici müstəvi konusun toxunan müstəvilərindən birinə paralel olduqda; hiperbola (şək. 1, V) – kəsici müstəvi konusun hər iki boşluğunu kəsdikdə.

KONİK BÖLÜMLƏRİN İNŞAATI

Konus kəsiklərini müstəvilərin və konusların kəsişmələri kimi öyrənən qədim yunan riyaziyyatçıları onları həm də müstəvidə nöqtələrin trayektoriyası hesab edirdilər. Müəyyən edilmişdir ki, ellipsi nöqtələrin yeri kimi təyin etmək olar, verilmiş iki nöqtəyə qədər olan məsafələrin cəmi sabitdir; parabola - verilmiş nöqtədən və verilmiş düz xəttdən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeri kimi; hiperbola - nöqtələrin lokusu kimi, verilmiş iki nöqtəyə olan məsafələr fərqi sabitdir.

Müstəvi əyrilər kimi konus kəsiklərinin bu tərifləri də onların uzanmış simdən istifadə etməklə qurulması üsulunu təklif edir.

Ellips.

Verilmiş uzunluqdakı ipin ucları nöqtələrdə sabitlənirsə F 1 və F 2 (şəkil 2), sonra sıx şəkildə uzanan iplik boyunca sürüşən bir qələm nöqtəsi ilə təsvir edilən əyri bir ellips formasına malikdir. Xallar F 1 və F 2-yə ellipsin fokusları və seqmentlər deyilir V 1 V 2 və v 1 v 2 koordinat oxları ilə ellipsin kəsişmə nöqtələri arasında - böyük və kiçik oxlar. xal varsa F 1 və F 2 üst-üstə düşür, sonra ellips bir dairəyə çevrilir.

Hiperbola.

Hiperbolanı qurarkən, nöqtə P, qələmin ucu nöqtələrdə quraşdırılmış dirəklər boyunca sərbəst sürüşən bir ipə sabitlənmişdir F 1 və FŞəkildə göstərildiyi kimi 2. 3, A. Məsafələr seqmentə uyğun olaraq seçilir PF 2 seqmentdən daha uzundur PF 1 məsafədən sabit məbləğdən azdır F 1 F 2. Bu vəziyyətdə ipin bir ucu dirəyin altından keçir F 1 və ipin hər iki ucu mıxın üstündən keçir F 2. (Qələmin ucu sap boyunca sürüşməməlidir, ona görə də ipdə kiçik bir ilgək düzəldərək, nöqtəni onun içindən keçirərək sabitlənməlidir.) Hiperbolanın bir budağı ( PV 1 Q) biz ipin hər zaman dartılmış qalmasına əmin olaraq çəkirik və ipin hər iki ucunu nöqtədən aşağı çəkirik F 2 və nə vaxt nöqtə P seqmentin altında olacaq F 1 F 2, ipi hər iki ucundan tutun və diqqətlə aşındırın (yəni buraxın). Hiperbolanın ikinci qolu ( Pў V 2 Qў ) əvvəllər dirəklərin rollarını dəyişdirərək çəkirik F 1 və F 2 .

Hiperbolanın budaqları budaqlar arasında kəsişən iki düz xəttə yaxınlaşır. Hiperbolanın asimptotları adlanan bu xətlər şəkildə göstərildiyi kimi qurulmuşdur. 3, b. Bu xətlərin bucaq əmsalları ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), harada v 1 v 2 – seqmentə perpendikulyar olan asimptotlar arasındakı bucağın bisektorunun seqmenti F 1 F 2 ; xətt seqmenti v 1 v 2 hiperbolanın konjugat oxu və seqment adlanır V 1 V 2 - onun eninə oxu. Beləliklə, asimptotlar dörd nöqtədən keçən tərəfləri olan düzbucaqlının diaqonallarıdır v 1 , v 2 , V 1 , V 2 oxlara paralel. Bu düzbucaqlı qurmaq üçün nöqtələrin yerini təyin etməlisiniz v 1 və v 2. Eyni məsafədədirlər, bərabərdirlər

oxların kəsişmə nöqtəsindən O. Bu düstur tikintini nəzərdə tutur düz üçbucaq ayaqları ilə Ov 1 və V 2 O və hipotenuza F 2 O.

Hiperbolanın asimptotları qarşılıqlı perpendikulyardırsa, hiperbola bərabərtərəfli adlanır. Ümumi asimptotlara malik olan, lakin eninə və konyuqa oxları yenidən təşkil edilmiş iki hiperbola qarşılıqlı konyuqa adlanır.

Parabola.

Ellips və hiperbolanın fokusları Apolloniusa məlum idi, lakin parabolanın fokusunu ilk dəfə Pappus (3-cü əsrin 2-ci yarısı) müəyyən etmişdir, o, bu əyrini verilmiş nöqtədən (fokus) bərabər məsafədə olan nöqtələrin yeri kimi təyin etmişdir. və rejissor adlanan verilmiş düz xətt. Pappusun tərifinə əsaslanaraq, uzanan sapdan istifadə edərək parabolanın qurulması Miletli İsidor (VI əsr) tərəfindən təklif edilmişdir. Hökmdarı elə yerləşdirin ki, onun kənarı direktivlə üst-üstə düşsün LLў (şəkil 4) və ayağı bu kənara çəkin A.C. rəsm üçbucağı ABC. İpin bir ucunu uzunluqla bağlayırıq AB yuxarıda Büçbucaq, digəri isə parabolanın fokusunda F. İpi uzatmaq üçün qələmin ucundan istifadə edərək ucunu dəyişən bir nöqtəyə basın P sərbəst ayağa AB rəsm üçbucağı. Üçbucaq hökmdar boyunca hərəkət etdikcə nöqtə P fokusla parabolanın qövsünü təsvir edəcək F və direktor LLў , çünki ipin ümumi uzunluğu AB, bir ip parçası üçbucağın sərbəst ayağına bitişikdir və buna görə də qalan ip parçası PF ayağın qalan hissəsinə bərabər olmalıdır AB, yəni. PA. Kəsişmə nöqtəsi V oxlu parabolaya parabolanın təpəsi, keçən xətt deyilir F Və V, – parabolanın oxu. Fokusdan oxa perpendikulyar düz xətt çəkilərsə, bu düz xəttin parabola ilə kəsilmiş seqmentinə fokus parametri deyilir. Ellips və hiperbola üçün fokus parametri eyni şəkildə müəyyən edilir.

KONİK BÖLÜMLƏRİN XÜSUSİYYƏTLƏRİ

Pappusun tərifləri.

Parabolanın fokusunun qurulması Pappusa ümumiyyətlə konik kəsiklərin alternativ tərifini vermək fikrini verdi. Qoy F verilmiş nöqtədir (fokus) və L– keçməyən verilmiş düz xətt (direktrix). F, Və D F Və D L- hərəkət nöqtəsindən məsafə P diqqət etmək F və direktorlar L müvafiq olaraq. Sonra, Pappusun göstərdiyi kimi, konik kəsiklər nöqtələrin yeri kimi müəyyən edilir P, bunun üçün əlaqə D F/D L mənfi olmayan sabitdir. Bu nisbət ekssentriklik adlanır e konusvari hissə. At e e > 1 – hiperbola; saat e= 1 – parabola. Əgər F yatır L, onda həndəsi lokuslar degenerativ konik kəsiklər olan düz xətlər (real və ya xəyali) formasına malikdir.

Ellips və hiperbolanın heyrətamiz simmetriyası bu əyrilərin hər birinin iki direktrix və iki fokus olduğunu göstərir və bu vəziyyət 1604-cü ildə Kepleri parabolanın da ikinci fokus və ikinci direktrisa - sonsuzluq və düz nöqtəyə malik olması fikrinə gətirib çıxardı. . Eyni şəkildə, çevrəni ellips kimi qəbul etmək olar, onun ocaqları mərkəzlə üst-üstə düşür və direktivləri sonsuzdur. Eksantriklik e bu halda sıfıra bərabərdir.

Dandelen dizaynı.

Konus kəsiyinin fokusları və istiqamətləri konusda yazılmış və aşağıdakı konstruksiyanı təklif edən Belçika riyaziyyatçısı və mühəndisi J. Dandelinin (1794–1847) şərəfinə Dandelin kürələri (toplar) adlanan kürələrdən istifadə etməklə aydın şəkildə nümayiş etdirilə bilər. Müəyyən bir müstəvi ilə kəsişən konik kəsik yaransın səh bir nöqtədə zirvəsi olan iki boşluqlu düz dairəvi konus ilə O. Bu konus içərisinə iki kürə yazaq S 1 və S 2 təyyarəyə toxunan səh nöqtələrdə F 1 və F müvafiq olaraq 2. Konik kəsik ellipsdirsə (şək. 5, A), onda hər iki kürə eyni boşluğun içərisindədir: bir kürə müstəvidən yuxarıda yerləşir səh, digəri isə onun altındadır. Konusun hər generatrisi hər iki sferaya toxunur və təmas nöqtələrinin yeri iki dairəyə bənzəyir. C 1 və C 2 paralel müstəvilərdə yerləşir səh 1 və səh 2. Qoy P– konus kəsiyində ixtiyari nöqtə. Gəlin düz xətlər çəkək PF 1 , PF 2 və düz xətti uzatın P.O.. Bu xətlər nöqtələrdə kürələrə toxunur F 1 , F 2 və R 1 , R 2. Bir nöqtədən kürəyə çəkilmiş bütün tangenslər bərabər olduğundan PF 1 = PR 1 və PF 2 = PR 2. Beləliklə, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Təyyarədən bəri səh 1 və səh 2 paralel, xətt seqmenti R 1 R 2 sabit uzunluğa malikdir. Beləliklə, dəyər PR 1 + PR 2 bütün nöqtə mövqeləri üçün eynidir P, və nöqtə P məsafələrinin cəmi olduğu nöqtələrin həndəsi lokusuna aiddir Pəvvəl F 1 və F 2 sabitdir. Buna görə də nöqtələr F 1 və F 2 – elliptik kəsimin ocaqları. Bundan əlavə, təyyarənin boyunca düz xətlərin olduğunu göstərmək olar səh təyyarələri kəsir səh 1 və səh 2 , qurulmuş ellipsin direktrixləridir. Əgər səh konusun hər iki boşluğunu kəsir (şək. 5, b), onda iki Dandelin kürəsi təyyarənin eyni tərəfində yatır səh, konusun hər boşluğunda bir kürə. Bu vəziyyətdə aralarındakı fərq PF 1 və PF 2 sabitdir və nöqtələrin yeri P fokuslu hiperbolanın formasına malikdir F 1 və F 2 və düz xətlər - kəsişmə xətləri səh ilə səh 1 və səh 2 - direktor kimi. Konik kəsik Şəkildə göstərildiyi kimi paraboladırsa. 5, V, onda konusda yalnız bir Dandelin kürəsi yazıla bilər.

Digər xüsusiyyətlər.

Konus kəsiklərinin xassələri həqiqətən tükənməzdir və onlardan hər hansı birini müəyyənedici kimi qəbul etmək olar. Əhəmiyyətli yer Riyazi görüş Pappa (təxminən 300), Həndəsə Dekart (1637) və Başlanğıclar Nyuton (1687) dörd düz xəttə nisbətən nöqtələrin həndəsi yeri problemi ilə məşğul idi. Bir müstəvidə dörd sətir verilirsə L 1 , L 2 , L 3 və L 4 (ikisi eyni ola bilər) və nöqtə P olan məsafələrin məhsulu belədir Pəvvəl L 1 və L 2 məsafələrin hasilinə mütənasibdir Pəvvəl L 3 və L 4, sonra nöqtələrin yeri P konusvari hissədir. Səhv olaraq Apollonius və Pappusun dörd düz xəttə nisbətən nöqtələrin yerləşməsi məsələsini həll edə bilmədiklərinə inanaraq, Dekart həllini əldə etmək və ümumiləşdirmək üçün analitik həndəsə yaratdı.

ANALİTİK YANAŞMA

Cəbri təsnifat.

Cəbr baxımından konik kəsiklər, Dekart koordinat sistemindəki koordinatları ikinci dərəcəli tənliyi təmin edən müstəvi əyrilər kimi müəyyən edilə bilər. Başqa sözlə desək, bütün konus kəsiklərinin tənliyi kimi ümumi formada yazıla bilər

burada bütün əmsallar deyil A, B Və C sıfıra bərabərdir. Paralel tərcümə və oxların fırlanmasından istifadə edərək (1) tənliyi formaya endirilə bilər

balta 2 + tərəfindən 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Birinci tənlik (1) ilə tənlikdən alınır B 2 № A.C., ikinci - at B 2 = A.C.. Tənlikləri birinci formaya endirilən konik kəsiklər mərkəzi adlanır. İkinci tip tənliklərlə verilən konus kəsikləri q No 0 qeyri-mərkəz adlanır. Bu iki kateqoriyada doqquz var müxtəlif növlərəmsalların işarələrindən asılı olaraq konik kəsiklər.

2831) ehtimallar varsa a, b Və c eyni işarəyə malikdirlər, onda koordinatları tənliyi təmin edəcək real nöqtələr yoxdur. Belə bir konik kəsik xəyali ellips adlanır (və ya xəyali dairə, əgər a = b).

2) Əgər a Və b eyni işarəyə malikdir və c– əksinə, onda konik kəsik ellipsdir (şək. 1, A); saat a = b– dairə (şək. 6, b).

3) Əgər a Və b var müxtəlif əlamətlər, onda konik kəsik hiperboladır (şək. 1, V).

4) Əgər a Və b müxtəlif əlamətlərə malikdir və c= 0, onda konusvari hissə kəsişən iki xəttdən ibarətdir (şək. 6, A).

5) Əgər a Və b eyni işarəyə malikdir və c= 0, onda tənliyi təmin edən əyridə yalnız bir real nöqtə var və konik kəsik iki xəyali kəsişən xəttdir. Bu halda biz bir nöqtəyə büzülmüş ellipsdən də danışırıq a = b, dairənin bir nöqtəsinə qədər büzülür (Şəkil 6, b).

6) Əgər varsa a, və ya b sıfıra bərabərdir və qalan əmsallar müxtəlif işarələrə malikdir, onda konus kəsikli iki paralel xəttdən ibarətdir.

7) Əgər varsa a, və ya b sıfıra bərabərdir və qalan əmsallar eyni işarəyə malikdir, onda tənliyi təmin edən bircə dənə də real nöqtə yoxdur. Bu halda onlar konik kəsimin iki xəyali paralel xəttdən ibarət olduğunu söyləyirlər.

8) Əgər c= 0 və ya a, və ya b də sıfıra bərabərdir, onda konik kəsik iki real üst-üstə düşən xəttdən ibarətdir. (Tənlik heç bir konik kəsiyi təyin etmir a = b= 0, çünki bu halda ilkin tənlik (1) ikinci dərəcəli deyil.)

9) İkinci tip tənliklər əgər parabolaları təyin edir səh Və q sıfırdan fərqlidir. Əgər səh№ 0, a q= 0, biz 8-ci addımdan əyrini alırıq. Əgər səh= 0, onda tənlik heç bir konus kəsiyini təyin etmir, çünki ilkin tənlik (1) ikinci dərəcəli deyil.

Konus kəsiklərinin tənliklərinin çıxarılması.

Hər hansı bir konus kəsiyi, bir müstəvi kvadratik səthlə kəsişdiyi bir əyri kimi də müəyyən edilə bilər, yəni. ikinci dərəcəli tənliklə verilən səthlə f (x, y, z) = 0. Göründüyü kimi, konusvari kəsiklər ilk dəfə bu formada tanınıb və onların adları ( aşağıya baxın) müstəvini konusla kəsərək alınmaları ilə əlaqədardır z 2 = x 2 + y 2. Qoy A B C D– təpəsində düz bucaqlı düz dairəvi konusun əsası (şək. 7). V. Təyyarə buraxın FDC generatrix ilə kəsişir VB nöqtədə F, əsas – düz xətt üzrə CD və konusun səthi - əyri boyunca DFPC, Harada P– əyrinin istənilən nöqtəsi. Seqmentin ortasından keçirək CD- nöqtə E- düz E.F. və diametri AB. Nöqtə vasitəsilə P konusun əsasına paralel bir müstəvi çəkin, konus ilə bir dairədə kəsişin R.P.S. və birbaşa E.F. nöqtədə Q. Sonra QF Və QP müvafiq olaraq absis kimi götürülə bilər x və təyin etmək y xal P. Nəticədə əyri parabola olacaq.

Şəkildə göstərilən tikinti. 7, çıxış üçün istifadə edilə bilər ümumi tənliklər konik hissələr. Diametrin istənilən nöqtəsindən dairə ilə kəsişməsinə qədər bərpa edilmiş perpendikulyar seqmentin uzunluğunun kvadratı həmişə diametrli seqmentlərin uzunluqlarının hasilinə bərabərdir. Buna görə də

y 2 = RQ H QS.

Parabola, seqment üçün RQ sabit uzunluğa malikdir (çünki nöqtənin istənilən mövqeyində P seqmentinə bərabərdir A.E.) və seqmentin uzunluğu QS mütənasib x(nisbətindən QS/E.B. = QF/F.E.). Bundan belə çıxır

Harada a- sabit əmsal. Nömrə a parabolanın fokus parametrinin uzunluğunu ifadə edir.

Konusun təpəsindəki bucaq kəskin olarsa, o zaman seqment RQ seqmentinə bərabər deyil A.E.; amma nisbət y 2 = RQ H QS formanın tənliyinə bərabərdir

Harada a Və b– sabitlər və ya oxları dəyişdikdən sonra tənliyə

hansı ellipsin tənliyidir. Ellipsin oxla kəsişmə nöqtələri x (x = a Və x = –a) və ellipsin ox ilə kəsişmə nöqtələri y (y = b Və y = –b) müvafiq olaraq böyük və kiçik oxları təyin edin. Konusun təpəsindəki bucaq kütdürsə, konus ilə təyyarənin kəsişmə əyrisi hiperbola formasına malikdir və tənlik aşağıdakı formanı alır:

və ya baltaları köçürdükdən sonra,

Bu halda, ox ilə kəsişmə nöqtələri x, əlaqə ilə verilir x 2 = a 2, eninə oxu və ox ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edin y, əlaqə ilə verilir y 2 = –b 2, birləşmə oxunu təyin edin. Daimi olarsa a Və b(4a) tənliyində bərabərdirlər, onda hiperbola bərabərtərəfli adlanır. Baltaların fırlanması ilə onun tənliyi formaya salınır

xy = k.

İndi (3), (2) və (4) tənliklərindən Apolloniusun üç əsas konus kəsiyinə verdiyi adların mənasını başa düşə bilərik. "Elips", "parabola" və "hiperbola" terminləri "əskik", "bərabər" və "üstün" mənasını verən yunan sözlərindəndir. (3), (2) və (4) tənliklərindən aydın olur ki, ellips üçün y 2 b 2 / a) x, parabola üçün y 2 = (a) x və hiperbola üçün y 2 > (2b 2 /a) x. Hər bir halda, mötərizə içərisində olan dəyər əyrinin fokus parametrinə bərabərdir.

Apollonius özü konik kəsiklərin yalnız üç ümumi növünü (yuxarıda sadalanan 2, 3 və 9 tipləri) nəzərdən keçirdi, lakin onun yanaşması bütün real ikinci dərəcəli əyriləri nəzərə almaq üçün ümumiləşdirilə bilər. Kəsmə müstəvisi konusun dairəvi əsasına paralel seçilərsə, onda kəsik bir dairə ilə nəticələnəcəkdir. Kəsmə müstəvisinin konus ilə yalnız bir ümumi nöqtəsi varsa, onun təpəsi, onda 5 tipli bir kəsik alınacaq; əgər onun təpəsi və konusuna toxunan olarsa, onda biz 8 tipli bir kəsik alırıq (şək. 6, b); kəsici müstəvidə konusun iki generatrisi varsa, bölmə 4-cü tipli əyri yaradır (Şəkil 6, A); təpə sonsuzluğa köçürüldükdə konus silindrə çevrilir və müstəvidə iki generatris varsa, onda 6-cı tipli bir kəsik alınır.

Bir dairəyə əyri bucaqdan baxsanız, o, ellipsə bənzəyir. Arximedə məlum olan çevrə ilə ellips arasındakı əlaqə, dairə olsa aydın olur X 2 + Y 2 = a 2 əvəzetmədən istifadə etməklə X = x, Y = (a/b) y(3a) tənliyi ilə verilmiş ellipsə çevrilir. Dönüşüm X = x, Y = (ai/b) y, Harada i 2 = –1, çevrənin tənliyini (4a) şəklində yazmağa imkan verir. Bu onu göstərir ki, hiperbolaya xəyali kiçik oxu olan ellips kimi baxmaq olar və ya əksinə, ellipsə xəyali birləşmə oxu olan hiperbola kimi baxmaq olar.

Dairənin ordinatları arasında əlaqə x 2 + y 2 = a 2 və ellips ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 birbaşa Arximed düsturuna gətirib çıxarır A = p ab ellipsin sahəsi üçün. Kepler təxmini düsturu bilirdi səh(a + b) dairəyə yaxın ellipsin perimetri üçün, lakin dəqiq ifadə yalnız 18-ci əsrdə əldə edilmişdir. elliptik inteqralların tətbiqindən sonra. Arximedin göstərdiyi kimi, parabolik seqmentin sahəsi yazılı üçbucağın sahəsinin üçdə dördünü təşkil edir, lakin parabolanın qövsünün uzunluğu yalnız 17-ci əsrdən sonra hesablana bildi. Diferensial hesab icad edilmişdir.

PROYEKTİV YANAŞMA

Proyektiv həndəsə perspektivin qurulması ilə sıx bağlıdır. Şəffaf bir vərəqdə bir dairə çəksəniz və onu işıq mənbəyinin altına qoysanız, bu dairə aşağıdakı müstəviyə proyeksiya ediləcəkdir. Üstəlik, işıq mənbəyi birbaşa dairənin mərkəzindən yuxarıda yerləşirsə və təyyarə və şəffaf təbəqə paraleldirsə, proyeksiya da bir dairə olacaqdır (şəkil 8). İşıq mənbəyinin mövqeyi itmə nöqtəsi adlanır. Məktubla göstərilir V. Əgər V dairənin mərkəzindən yuxarıda yerləşmirsə və ya müstəvi kağız vərəqinə paralel deyilsə, dairənin proyeksiyası ellips şəklini alır. Təyyarənin daha da böyük meyli ilə ellipsin əsas oxu (dairənin proyeksiyası) uzanır və ellips tədricən parabolaya çevrilir; düz xəttə paralel bir müstəvidə V.P., proyeksiya parabola formasına malikdir; daha da böyük meyllə proyeksiya hiperbolanın qollarından birinin formasını alır.

Orijinal dairənin hər bir nöqtəsi proyeksiyada müəyyən bir nöqtəyə uyğundur. Əgər proyeksiya parabola və ya hiperbola formasına malikdirsə, o zaman nöqtəyə uyğun gələn nöqtəni deyirlər. P, sonsuz və ya sonsuz uzaqlıqdadır.

Gördüyümüz kimi, itmə nöqtələrinin uyğun seçimi ilə bir dairə müxtəlif ölçülü və müxtəlif ekssentrikliklərə malik ellipslərə proyeksiya edilə bilər və əsas oxların uzunluqları proqnozlaşdırılan dairənin diametri ilə birbaşa əlaqəli deyil. Buna görə də, proyektiv həndəsə məsafələr və ya uzunluqlarla məşğul olmur, onun vəzifəsi proyeksiya zamanı saxlanılan uzunluqların nisbətini öyrənməkdir. Bu əlaqəni aşağıdakı konstruksiyadan istifadə etməklə tapmaq olar. İstənilən nöqtə vasitəsilə P təyyarə, hər hansı bir dairəyə iki tangens çəkin və toxunan nöqtələri düz xətt ilə birləşdirin səh. Nöqtədən başqa bir xətt keçsin P, dairəni nöqtələrdə kəsir C 1 və C 2 və düz səh- nöqtədə Q(şək. 9). Planimetriyada sübut edilmişdir ki PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Mənfi işarəsi seqmentin istiqamətinə görə yaranır QC 1 digər seqmentlərin istiqamətlərinin əksidir.) Başqa sözlə, nöqtələr P Və Q seqmenti bölün C 1 C 2 xaricdən və daxildən eyni mənada; həmçinin dörd seqmentin harmonik nisbətinin - 1-ə bərabər olduğunu deyirlər. Əgər dairə konus kəsiyinə proyeksiya edilibsə və müvafiq nöqtələr üçün eyni qeyd saxlanılıbsa, onda harmonik nisbət ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) bərabər qalacaq - 1. Nöqtə P xətt dirəyi adlanır səh konik hissəyə və düz xəttə nisbətən səh- qütb nöqtəsi P konik hissəyə nisbətən.

Nöqtə nə vaxt P konik hissəyə yaxınlaşır, qütb tangens mövqeyini tutmağa meyllidir; nöqtə olsa P konus kəsiyində yatır, onda onun qütbü nöqtədə konus kəsiyinə toxunan ilə üst-üstə düşür P. Əgər nöqtə P konik kəsik daxilində yerləşir, onda onun qütbünü aşağıdakı kimi qurmaq olar. Nöqtədən keçirək P konusvari kəsiyi iki nöqtədə kəsən istənilən düz xətt; kəsişmə nöqtələrində konik hissəyə toxunanları çəkin; tutaq ki, bu tangenslər bir nöqtədə kəsişir P 1 . Nöqtədən keçirək P konik hissəni digər iki nöqtədə kəsən başqa bir düz xətt; tutaq ki, bu yeni nöqtələrdə konus kəsiyinə toxunan nöqtələr nöqtədə kəsişir P 2 (Şəkil 10). Nöqtələrdən keçən xətt P 1 və P 2 və istədiyiniz qütb var səh. Əgər nöqtə P mərkəzə yaxınlaşır O mərkəzi konik bölmə, sonra qütb səh-dən uzaqlaşmaq O. Nöqtə nə vaxt P ilə üst-üstə düşür O, onda onun qütbü müstəvidə sonsuz məsafədə və ya ideal olur.

XÜSUSİ BİNALAR

Astronomlar üçün xüsusi maraq kompas və hökmdardan istifadə edərək aşağıdakı sadə ellips nöqtələrinin qurulmasıdır. Bir nöqtədən ixtiyari düz xətt keçsin O(Şəkil 11, A), nöqtələrdə kəsişir Q Və R bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş iki konsentrik dairə O və radiuslar b Və a, Harada b a. Nöqtədən keçirək Qüfüqi xətt və vasitəsilə R– şaquli xətt və onların kəsişmə nöqtəsini işarələyin P P düz xətt fırlanan zaman OQR nöqtə ətrafında O ellips olacaq. Künc f düz xətt arasında OQR və əsas ox ekssentrik bucaq adlanır və qurulmuş ellips parametrik tənliklərlə rahat şəkildə müəyyən edilir. x = a cos f, y = b günah f. Parametr istisna olmaqla f, (3a) tənliyini əldə edirik.

Hiperbola üçün quruluş əsasən oxşardır. Bir nöqtədən keçən ixtiyari düz xətt O, bir nöqtədə iki dairədən birini kəsir R(Şəkil 11, b). Nöqtəsinə R bir dairə və son nöqtəyə S başqa bir dairənin üfüqi diametri, kəsişən tangents çəkin ƏS nöqtədə T Və YA- nöqtədə Q. Bir nöqtədən şaquli xətt keçsin T, və nöqtədən keçən üfüqi xətt Q, bir nöqtədə kəsişir P. Sonra nöqtələrin yeri P seqmenti döndərərkən YAətrafında O parametrik tənliklərlə verilmiş hiperbola olacaqdır x = a san f, y = b tg f, Harada f- ekssentrik bucaq. Bu tənlikləri fransız riyaziyyatçısı A. Legendre (1752–1833) əldə etmişdir. Parametr istisna olmaqla f, (4a) tənliyini alırıq.

N. Kopernik (1473-1543) qeyd etdiyi kimi, ellips episiklik hərəkətdən istifadə etməklə tikilə bilər. Bir dairə sürüşmədən yuvarlanırsa içəri diametri iki dəfə böyük olan başqa bir dairə, sonra hər bir nöqtə P kiçik dairənin üzərində uzanmayan, lakin ona nisbətən hərəkətsiz olan , ellipsi təsvir edəcək. Əgər nöqtə P daha kiçik bir dairədədir, onda bu nöqtənin traektoriyası ellipsin degenerativ halıdır - daha böyük dairənin diametri. Ellipsin daha sadə qurulması 5-ci əsrdə Prokl tərəfindən təklif edilmişdir. Əgər bitərsə A Və B xətt seqmenti AB verilmiş uzunluqda iki sabit kəsişən düz xətt (məsələn, koordinat oxları boyunca) boyunca sürüşdürün, sonra hər bir daxili nöqtə P seqment ellipsi təsvir edəcək; holland riyaziyyatçısı F. van Schooten (1615-1660) göstərdi ki, kəsişən xətlər müstəvisində sürüşən seqmentə nisbətən sabitlənmiş istənilən nöqtə də ellipsi təsvir edəcək.

B. Paskal (1623-1662) 16 yaşında ikən indi məşhur olan Paskal teoremini tərtib etdi, burada deyilir: hər hansı bir konik kəsikdə yazılmış altıbucaqlının əks tərəflərinin üç kəsişmə nöqtəsi eyni düz xətt üzərində yerləşir. Paskal bu teoremdən 400-dən çox nəticə çıxardı.

Konusvari səth düz xətlərin - konusun generatorlarının - müəyyən bir nöqtədən - konusun təpəsindən - keçən və verilmiş xəttin kəsişməsindən - konusun bələdçisindən əmələ gələn bir səthdir. Konus bələdçisində tənliklər olsun

və konus təpəsinin koordinatları var.. ) nöqtəsindən keçən düz xətlər kimi konusun generatorlarının kanonik tənlikləri bələdçinin nöqtəsi olacaq;

Dörd (3) və (4) tənliyindən x, y və z-ni çıxararaq, konusvari səthin istənilən tənliyini əldə edirik. Bu tənliyin çox sadə bir xüsusiyyəti var: fərqlərə görə bircinslidir (yəni onun bütün şərtləri eyni ölçüdədir). Əslində, əvvəlcə konusun təpəsinin başlanğıcda olduğunu düşünək. Konusun istənilən nöqtəsinin koordinatları X, Y və Z olsun; onlar konus tənliyini təmin edirlər. Konus tənliyində X, Y və Z-ni müvafiq olaraq XX, XY, XZ vasitəsilə əvəz etdikdən sonra, burada X ixtiyari amildir, tənlik təmin edilməlidir, çünki XX, XY və XZ nöqtənin koordinatlarıdır. koordinatların başlanğıcından nöqtəyə keçən xətt, yəni konus əmələ gətirir. Nəticə etibarilə, bütün cari koordinatları eyni X ədədinə vursaq, konusun tənliyi dəyişməyəcək. Buradan belə çıxır ki, bu tənlik cari koordinatlara nisbətən yekcins olmalıdır.

Konusun təpəsi bir nöqtədə yerləşirsə, koordinatların mənşəyini təpəyə köçürəcəyik və sübut edilənə görə, konusun çevrilmiş tənliyi yeni koordinatlara görə homojen olacaqdır, yəni. üçün

Misal. Başında təpəsi və istiqaməti olan konus üçün tənlik yazın

Konusun təpəsindən (0, 0, C) və bələdçinin nöqtəsindən keçən generatorların kanonik tənlikləri belə olacaq:

Verilmiş dörd tənlikdən x, y və xaric edək. c vasitəsilə əvəz edərək, son iki tənlikdən və y-ni təyin edirik.

İkinci dərəcəli səthlər- bunlar düzbucaqlı koordinat sistemində ikinci dərəcəli cəbri tənliklərlə təyin olunan səthlərdir.

1. Ellipsoid.

Ellipsoid müəyyən bir düzbucaqlı koordinat sistemində tənliklə təyin olunan bir səthdir.:

Tənlik (1) adlanır ellipsoidin kanonik tənliyi.

Ellipsoidin həndəsi formasını təyin edək. Bunun üçün bu ellipsoidin müstəviyə paralel olan müstəvilərlə kəsişmələrini nəzərdən keçirək Oksi. Bu müstəvilərin hər biri formanın tənliyi ilə müəyyən edilir z=h, Harada h– istənilən ədəddir və bölmədə alınan xətt iki tənliklə müəyyən edilir

(2)

Müxtəlif qiymətlər üçün (2) tənliklərini öyrənək h .

> c(c>0), onda (2) tənlikləri xəyali ellipsi, yəni müstəvinin kəsişmə nöqtələrini təyin edir. z=h bu ellipsoidlə mövcud deyil. , Bu və (2) xətti (0; 0; +) nöqtələrə çevrilir c) və (0; 0; - c) (təyyarələr ellipsoidə toxunur). , onda (2) tənlikləri kimi təqdim etmək olar

buradan belə çıxır ki, təyyarə z=h ellipsoidi yarımoxlu ellips boyunca kəsir

Və . Dəyərlər azaldıqca, artdıqca və onlara çatır ən yüksək dəyərlər-də, yəni koordinat müstəvisi ilə ellipsoidin kəsişməsində Oksi yarımoxlu ən böyük ellips və alınır.

Verilmiş səth koordinat müstəvilərinə paralel müstəvilərlə kəsildikdə oxşar şəkil alınır Oxz Və Oyz.

Beləliklə, nəzərdən keçirilən kəsiklər ellipsoidi qapalı oval səth kimi təsvir etməyə imkan verir (şək. 156). Kəmiyyətlər a, b, c adlandırılır ox valları ellipsoid. Nə vaxt a=b=c ellipsoiddir kürəci.

2. Tək zolaqlı hiperboloid.

Tək zolaqlı hiperboloid bəzi düzbucaqlı koordinat sistemlərində tənliklə müəyyən edilən səthdir. (3)

(3) tənliyinə tək zolaqlı hiperboloidin kanonik tənliyi deyilir.

Səthin növünü təyin edək (3). Bunu etmək üçün onun koordinat müstəvilərinin bir hissəsini nəzərdən keçirin Oksi (y=0)VəOyx (x=0). Buna uyğun olaraq tənlikləri əldə edirik

Və

İndi bu hiperboloidin koordinat müstəvisinə paralel z=h müstəviləri ilə kəsişmələrini nəzərdən keçirək Oksi. Bölmədə yaranan xətt tənliklərlə müəyyən edilir

və ya (4)

buradan belə nəticə çıxır ki, z=h müstəvisi hiperboloidi yarımoxlu ellips boyunca kəsir.

Və ,

h=0-da ən aşağı dəyərlərə çatmaq, yəni. bu hiperboloidin bölməsində Oxy koordinat oxu a*=a və b*=b yarımoxlu ən kiçik ellipsi əmələ gətirir. Sonsuz artımla

a* və b* kəmiyyətləri sonsuz olaraq artır.

Beləliklə, nəzərdən keçirilən bölmələr Oksi müstəvisindən uzaqlaşdıqca (hər iki tərəfdən) sonsuz genişlənən bir zolaqlı hiperboloidi sonsuz boru şəklində təsvir etməyə imkan verir.

a, b, c kəmiyyətləri tək zolaqlı hiperboloidin yarımoxları adlanır.

3. İki vərəqli hiperboloid.

İki vərəqli hiperboloid bəzi düzbucaqlı koordinat sistemlərində tənliklə müəyyən edilən səthdir.

(5) tənliyi iki vərəqli hiperboloidin kanonik tənliyi adlanır.

Səthin həndəsi görünüşünü təyin edək (5). Bunun üçün onun kəsiklərini Oxy və Oyz koordinat müstəviləri ilə nəzərdən keçirin. Buna uyğun olaraq tənlikləri əldə edirik

Və

buradan belə nəticə çıxır ki, hiperbolalar bölmələr üzrə alınır.

İndi bu hiperboloidin Oxy koordinat müstəvisinə paralel z=h müstəviləri ilə kəsişmələrini nəzərdən keçirək. Bölmədə alınan xətt tənliklərlə müəyyən edilir

və ya (6)

buradan belə çıxır ki, nə vaxt

>c (c>0) z=h müstəvisi hiperboloidi yarımoxları olan ellips boyunca kəsir və . a* və b* dəyərləri artdıqca onlar da artır. (6) tənlikləri yalnız iki nöqtənin koordinatları ilə ödənilir: (0;0;+с) və (0;0;-с) (müstəvilər verilmiş səthə toxunur). tənliklər (6) xəyali ellipsi təyin edir, yəni. Bu hiperboloidlə z=h müstəvisinin kəsişmə nöqtələri yoxdur.

a, b və c kəmiyyətləri iki vərəqli hiperboloidin yarımoxları adlanır.

4. Elliptik paraboloid.

Elliptik paraboloid bəzi düzbucaqlı koordinat sistemlərində tənliklə müəyyən edilən səthdir.

(7)

burada p>0 və q>0.

(7) tənliyinə elliptik paraboloidin kanonik tənliyi deyilir.

Bu səthin kəsiklərini Oxy və Oyz koordinat müstəviləri ilə nəzərdən keçirək. Buna uyğun olaraq tənlikləri əldə edirik

Və

buradan belə nəticə çıxır ki, kəsiklər Oz oxuna görə simmetrik olan, təpələri başlanğıcda olan parabolalar verir. (8)

buradan belə çıxır ki, . h artdıqca a və b dəyərləri də artır; h=0-da ellips bir nöqtəyə çevrilir (z=0 müstəvisi verilmiş hiperboloidə toxunur). Saat h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Beləliklə, nəzərdən keçirilən bölmələr elliptik paraboloidi sonsuz qabarıq qab şəklində təsvir etməyə imkan verir.

(0;0;0) nöqtəsi paraboloidin təpəsi adlanır; p və q ədədləri onun parametrləridir.

p=q vəziyyətində (8) tənliyi mərkəzi Oz oxunda olan dairəni təyin edir, yəni. elliptik paraboloid, parabolanın öz oxu ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn səth kimi qəbul edilə bilər (inqilab paraboloid).

5. Hiperbolik paraboloid.

Hiperbolik paraboloid bəzi düzbucaqlı koordinat sistemlərində tənliklə müəyyən edilən səthdir.

(9)

Tələbələr ən çox birinci ildə 2-ci dərəcəli səthlərlə qarşılaşırlar. Əvvəlcə bu mövzuda problemlər sadə görünə bilər, lakin ali riyaziyyatı öyrəndikcə və elmi tərəfə daha dərindən getdikcə, nəhayət, baş verənlərin izini itirə bilərsiniz. Bunun baş verməməsi üçün sadəcə yadda saxlamaq deyil, həm də bu və ya digər səthin necə alındığını, əmsallardakı dəyişikliklərin ona necə təsir etdiyini və orijinal koordinat sisteminə nisbətən yerləşdiyini və yeni sistemin necə tapılacağını başa düşməlisiniz (bir burada onun mərkəzi başlanğıc koordinatları ilə üst-üstə düşür, lakin koordinat oxlarından birinə paraleldir). Ən başdan başlayaq.

Tərif

İkinci dərəcəli səthə GMT deyilir, koordinatları aşağıdakı formanın ümumi tənliyini təmin edir:

Aydındır ki, səthə aid olan hər bir nöqtə müəyyən edilmiş əsasda üç koordinata malik olmalıdır. Baxmayaraq ki, bəzi hallarda nöqtələrin yeri, məsələn, bir müstəviyə çevrilə bilər. Bu yalnız o deməkdir ki, koordinatlardan biri sabitdir və icazə verilən dəyərlərin bütün diapazonunda sıfıra bərabərdir.

Yuxarıdakı bərabərliyin tam yazılı forması belə görünür:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm bəzi sabitlər, x, y, z nöqtənin afin koordinatlarına uyğun dəyişənlərdir. Bu halda sabit amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olmamalıdır, yəni heç bir nöqtə tənliyə uyğun gəlməyəcək.

Nümunələrin böyük əksəriyyətində bir çox ədədi amillər hələ də eyni şəkildə sıfıra bərabərdir və tənlik əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirilmişdir. Təcrübədə nöqtənin səthə aid olub-olmadığını müəyyən etmək çətin deyil (onun koordinatlarını tənlikdə əvəz etmək və eyniliyin uyğun olub-olmadığını yoxlamaq kifayətdir). Belə işdə əsas məqam sonuncunun kanonik formaya gətirilməsidir.

Yuxarıda yazılmış tənlik istənilən (aşağıda sadalanan) 2-ci dərəcəli səthləri müəyyən edir. Aşağıdakı nümunələrə baxaq.

2-ci dərəcəli səthlərin növləri

2-ci dərəcəli səthlərin tənlikləri yalnız A nm əmsallarının qiymətlərində fərqlənir. Ümumi formadan, sabitlərin müəyyən dəyərlərində aşağıdakı kimi təsnif edilən müxtəlif səthlər əldə edilə bilər:

Silindrlər.
Elliptik tip.
Hiperbolik tip.
Konik tip.
Parabolik tip.
Təyyarələr.

Sadalanan növlərin hər birinin təbii və xəyali forması var: xəyali formada real nöqtələrin yeri ya daha sadə bir fiqura çevrilir, ya da ümumiyyətlə yoxdur.

Silindrlər

Bu, ən sadə növdür, çünki nisbətən mürəkkəb əyri yalnız əsasda yerləşir və bələdçi rolunu oynayır. Generatorlar bazanın yerləşdiyi müstəviyə perpendikulyar düz xətlərdir.

Qrafikdə dairəvi silindr, elliptik silindrin xüsusi halı göstərilir. Generatorlar Z oxuna paralel olduğundan XY müstəvisində onun proyeksiyası ellips (bizim halda dairə) - istiqamətləndirici, XZ-də isə düzbucaqlı olacaq.Onu ümumi tənlikdən əldə etmək üçün əmsallara aşağıdakı dəyərləri vermək lazımdır:

Adi qeydlərin əvəzinə x, y, z, seriya nömrəsi olan x-lər istifadə olunur - bunun heç bir mənası yoxdur.

Əslində, 1/a 2 və burada göstərilən digər sabitlər ümumi tənlikdə göstərilən eyni əmsallardır, lakin onları tam olaraq bu formada yazmaq adətdir - bu, kanonik təsvirdir. Bundan sonra bu giriş yalnız istifadə olunacaq.

Bu, hiperbolik silindri müəyyənləşdirir. Sxem eynidir - hiperbola bələdçi olacaq.

Parabolik silindr bir qədər fərqli şəkildə müəyyən edilir: onun kanonik formasına parametr adlanan p əmsalı daxildir. Əslində əmsal q=2p-dir, lakin onu təqdim olunan iki amilə bölmək adətdir.

Başqa bir silindr növü var: xəyali. Belə bir silindrə heç bir real nöqtə aid deyil. Elliptik silindrin tənliyi ilə təsvir edilir, lakin birinin əvəzinə -1 var.

Elliptik tip

Ellipsoid oxlardan biri boyunca uzana bilər (bu, yuxarıda göstərilən a, b, c sabitlərinin dəyərlərindən asılıdır; açıq-aydın, daha böyük ox daha böyük əmsala uyğun olacaq).

Xəyali bir ellipsoid də var - bir şərtlə ki, əmsallara vurulan koordinatların cəmi -1-ə bərabər olsun:

Hiperboloidlər

Sabitlərdən birində mənfi görünəndə ellipsoidin tənliyi bir vərəqli hiperboloidin tənliyinə çevrilir. Siz başa düşməlisiniz ki, bu mənfi x3 koordinatının qarşısında yerləşməməlidir! O, yalnız oxlardan hansının hiperboloidin fırlanma oxu olacağını müəyyən edir (və ya ona paralel, çünki kvadratda əlavə terminlər görünəndə (məsələn, (x-2) 2), fiqurun mərkəzi dəyişdiyi kimi dəyişir. nəticədə səth koordinat oxlarına paralel hərəkət edir). Bu, bütün 2-ci dərəcəli səthlərə aiddir.

Bundan əlavə, başa düşməlisiniz ki, tənliklər kanonik formada təqdim olunur və onlar sabitləri dəyişdirməklə (işarəni saxlayaraq!) dəyişdirilə bilər; eyni zamanda onların görünüşü (hiperboloid, konus və s.) eyni qalacaq.

Belə bir tənlik iki vərəqli hiperboloid ilə verilir.

Konik səth

Konus tənliyində birlik yoxdur - sıfıra bərabərdir.

Yalnız məhdud konusvari səthə konus deyilir. Aşağıdakı şəkil göstərir ki, əslində diaqramda iki sözdə konus olacaq.

Vacib qeyd: bütün nəzərdən keçirilən kanonik tənliklərdə sabitlərin standart olaraq müsbət olduğu qəbul edilir. Əks halda, işarə son qrafikə təsir göstərə bilər.

Koordinat müstəviləri konusun simmetriya müstəvilərinə çevrilir, simmetriya mərkəzi başlanğıcda yerləşir.

Xəyali konus tənliyində yalnız müsbət cəhətlər var; bir real nöqtəyə sahibdir.

Paraboloidlər

Kosmosda 2-ci dərəcəli səthlər oxşar tənliklərlə belə müxtəlif formalar ala bilər. Məsələn, paraboloidlər iki növdə olur.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Z oxu rəsmə perpendikulyar olduqda elliptik paraboloid ellipsə proyeksiya ediləcək.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Hiperbolik paraboloid: müstəviləri ZY-yə paralel olan kəsiklərdə parabolalar, XY-yə paralel müstəviləri olan kəsiklərdə isə hiperbolalar alınacaq.

Kəsişən təyyarələr

Təyyarədə 2-ci dərəcəli səthlərin degenerasiyası halları var. Bu təyyarələr müxtəlif yollarla təşkil edilə bilər.

Əvvəlcə kəsişən müstəvilərə baxaq:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

Kanonik tənliyin bu modifikasiyası ilə biz sadəcə olaraq iki kəsişən təyyarə alırıq (xəyali!); bütün real nöqtələr tənlikdə olmayan koordinat oxundadır (kanonikdə - Z oxu).

Paralel təyyarələr

Yalnız bir koordinat varsa, 2-ci dərəcəli səthlər bir cüt paralel müstəviyə çevrilir. Unutmayın, hər hansı digər dəyişən oyunçunun yerini tuta bilər; onda digər oxlara paralel müstəvilər alınacaq.

Bu halda onlar xəyali olurlar.

Təsadüfən təyyarələr

Belə sadə bir tənliklə bir cüt təyyarə birinə degenerasiya olunur - üst-üstə düşürlər.

Unutmayın ki, üçölçülü bazis vəziyyətində yuxarıdakı tənlik y=0 düz xəttini göstərmir! Digər iki dəyişən yoxdur, lakin bu sadəcə onların dəyərinin sabit və sıfıra bərabər olması deməkdir.

Tikinti

Tələbə üçün ən çətin işlərdən biri məhz 2-ci dərəcəli səthlərin qurulmasıdır. Əyrinin oxlara nisbətən meyl bucaqlarını və mərkəzin ofsetini nəzərə alaraq bir koordinat sistemindən digərinə keçmək daha çətindir. Analitik şəkildə bir rəsmin gələcək görünüşünü ardıcıl olaraq necə təyin edəcəyimizi təkrarlayaq.

2-ci dərəcəli bir səth qurmaq üçün sizə lazımdır:

tənliyi kanonik formaya gətirin;
tədqiq olunan səthin növünü müəyyən etmək;
əmsalların qiymətləri əsasında qurun.

Aşağıda bütün növlər nəzərdən keçirilir:

Bunu gücləndirmək üçün bu tip tapşırıqların bir nümunəsini ətraflı təsvir edəcəyik.

Nümunələr

Tutaq ki, bizdə tənlik var:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Gəlin onu kanonik formaya gətirək. Tam kvadratları seçək, yəni mövcud şərtləri elə təşkil edəcəyik ki, onlar cəmin və ya fərqin kvadratının parçalanması olsun. Məsələn: (a+1) 2 =a 2 +2a+1, onda a 2 +2a+1=(a+1) 2. İkinci əməliyyat edəcəyik. Bu halda, mötərizələri açmaq lazım deyil, çünki bu, yalnız hesablamaları çətinləşdirəcək, lakin ümumi amil 6-nı çıxarmaq lazımdır (oyunun tam kvadratı ilə mötərizədə):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Dəyişən zet bu halda yalnız bir dəfə görünür - hələlik onu tək buraxa bilərsiniz.

Bu mərhələdə tənliyi təhlil edək: bütün naməlumların qarşısında artı işarəsi var; Altıya bölmək bir qalır. Nəticə etibarı ilə qarşımızda ellipsoidi təyin edən bir tənlik var.

Diqqət yetirin ki, 144 150-6-ya bölündü və sonra -6 sağa köçürüldü. Niyə bunu belə etmək lazım idi? Aydındır ki, bu misaldakı ən böyük bölən -6-dır, ona görə də vahidin ona bölündükdən sonra sağda qalması üçün 144-dən tam olaraq 6-nı “kənara qoymaq” lazımdır (vahidin açıq olması faktı). hüququ sərbəst terminin olması ilə göstərilir - bilinməyənə vurulmayan sabit).

Gəlin hər şeyi altıya bölək və ellipsoidin kanonik tənliyini əldə edək:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Əvvəllər istifadə olunan 2-ci dərəcəli səthlərin təsnifatında, fiqurun mərkəzi koordinatların başlanğıcında olduqda xüsusi bir vəziyyət nəzərə alınır. Bu misalda o, ofsetdir.

Naməlum olan hər bir mötərizənin yeni dəyişən olduğunu fərz edirik. Yəni: a=x-1, b=y+5, c=z. Yeni koordinatlarda ellipsoidin mərkəzi (0,0,0) nöqtəsi ilə üst-üstə düşür, buna görə də a=b=c=0, buradan: x=1, y=-5, z=0. İlkin koordinatlarda fiqurun mərkəzi (1,-5,0) nöqtəsində yerləşir.

Ellipsoid iki ellipsdən alınacaq: birincisi XY müstəvisində, ikincisi isə XZ müstəvisində (və ya YZ - fərqi yoxdur). Dəyişənlərin bölündüyü əmsallar kanonik tənlikdə kvadrat şəklində verilir. Ona görə də yuxarıdakı misalda iki, bir və üç kökü ilə bölmək daha düzgün olardı.

Y oxuna paralel olan birinci ellipsin kiçik oxu ikiyə bərabərdir. Əsas ox X oxuna paraleldir - ikinin iki kökü. Y oxuna paralel olan ikinci ellipsin kiçik oxu eyni qalır - ikiyə bərabərdir. Z oxuna paralel olan böyük ox isə üçünün iki kökünə bərabərdir.

İlkin tənlikdən onu kanonik formaya çevirərək alınan məlumatlardan istifadə edərək ellipsoid çəkə bilərik.

Xülasə

Bu məqalədə əhatə olunan mövzu kifayət qədər genişdir, lakin əslində, indi gördüyünüz kimi, çox mürəkkəb deyil. Onun inkişafı, əslində, səthlərin adlarını və tənliklərini (və əlbəttə ki, onların necə göründüyünü) yadda saxladığınız anda başa çatır. Yuxarıdakı misalda biz hər bir addımı ətraflı araşdırdıq, lakin tənliyi kanonik formaya gətirmək ali riyaziyyat üzrə minimal bilik tələb edir və tələbə üçün heç bir çətinlik yaratmamalıdır.

Gələcək cədvəli mövcud bərabərliyə əsaslanaraq təhlil etmək daha çətin məsələdir. Ancaq onu uğurla həll etmək üçün müvafiq ikinci dərəcəli əyrilərin necə qurulduğunu başa düşmək kifayətdir - ellipslər, parabolalar və başqaları.

Degenerasiya halları daha sadə bir bölmədir. Bəzi dəyişənlərin olmaması səbəbindən əvvəllər qeyd edildiyi kimi yalnız hesablamalar deyil, həm də tikinti özü sadələşdirilir.

Bütün növ səthləri inamla adlandıra, sabitləri dəyişə, qrafiki bu və ya digər şəklə çevirə bildikcə, mövzu mənimsəniləcəkdir.

Təhsilinizdə uğurlar!