প্রথমটির ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। y = sin x ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ

উদাহরণ:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন:

যেকোন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ নিম্নোক্ত প্রকারের একটিতে কমিয়ে আনা উচিত:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

যেখানে \(t\) একটি x সহ একটি রাশি, \(a\) একটি সংখ্যা। যেমন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণডাকল সহজতম. এগুলি সহজেই () বা বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে:

এখানে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের ইনফোগ্রাফিক্স দেখুন:, এবং।

উদাহরণ . ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান করুন \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\)।
সমাধান:

উত্তর: \(\left[ \begin(athered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(সংগৃহীত)\right।\) \(k,n∈Z\)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের মূলের সূত্রে প্রতিটি প্রতীকের অর্থ কী, দেখুন।

মনোযোগ!\(\sin⁡x=a\) এবং \(\cos⁡x=a\) সমীকরণের কোন সমাধান নেই যদি \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\)। কারণ যেকোনো x এর সাইন এবং কোসাইন \(-1\) এর থেকে বড় বা সমান এবং \(1\) এর থেকে কম বা সমান:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

উদাহরণ . সমীকরণটি সমাধান করুন \(\cos⁡x=-1,1\)।
সমাধান: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
উত্তর : কোন সমাধান নেই।

উদাহরণ . tg\(⁡x=1\) ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান করুন।
সমাধান:

সংখ্যা বৃত্ত ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করা যাক। এই জন্য: 1) একটি বৃত্ত তৈরি করুন) 2) অক্ষগুলি \(x\) এবং \(y\) এবং স্পর্শক অক্ষ (এটি \(0;1)\) অক্ষের সমান্তরাল বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। 3) স্পর্শক অক্ষের উপর, বিন্দু \(1\) চিহ্নিত করুন। 4) এই বিন্দু এবং স্থানাঙ্কের উৎপত্তি সংযোগ করুন - একটি সরল রেখা। 5) এই লাইনের ছেদ বিন্দু এবং সংখ্যা বৃত্ত চিহ্নিত করুন। 6) আসুন এই বিন্দুগুলির মানগুলি স্বাক্ষর করি: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) আসুন এই পয়েন্টগুলির সমস্ত মান লিখি। যেহেতু তারা একে অপরের থেকে ঠিক \(π\) দূরত্বে অবস্থিত, সমস্ত মান একটি সূত্রে লেখা যেতে পারে:

উত্তর: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\)।

উদাহরণ . ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\)।
সমাধান:

আবার সংখ্যা বৃত্ত ব্যবহার করা যাক. 1) একটি বৃত্ত, অক্ষ \(x\) এবং \(y\) তৈরি করুন। 2) কোসাইন অক্ষে (\(x\) অক্ষে, \(0\) চিহ্নিত করুন। 3) এই বিন্দু দিয়ে কোসাইন অক্ষের একটি লম্ব আঁকুন। 4) লম্ব এবং বৃত্তের ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করুন। 5) আসুন এই পয়েন্টগুলির মানগুলি স্বাক্ষর করি: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) আমরা এই বিন্দুগুলির সম্পূর্ণ মান লিখি এবং তাদের কোসাইনের সাথে সমান করি (কোসাইনের ভিতরে যা আছে)। \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) যথারীতি, আমরা সমীকরণে \(x\) প্রকাশ করব। সংখ্যাগুলিকে \(π\), পাশাপাশি \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), ইত্যাদি দিয়ে ব্যবহার করতে ভুলবেন না। এগুলি অন্য সকলের মতো একই সংখ্যা। সংখ্যাগত বৈষম্য নেই! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

উত্তর: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\), \(k∈Z\)।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলিকে সহজে হ্রাস করা একটি সৃজনশীল কাজ; এখানে আপনাকে সমীকরণ সমাধানের জন্য উভয় এবং বিশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে:
- পদ্ধতি (ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় সবচেয়ে জনপ্রিয়)।
- পদ্ধতি।
- অক্জিলিয়ারী আর্গুমেন্টের পদ্ধতি।

চতুর্ভুজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক

উদাহরণ . ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান করুন \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
সমাধান:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	প্রতিস্থাপন করা যাক \(t=\cos⁡x\)।
	আমাদের সমীকরণটি সাধারণ হয়ে উঠেছে। আপনি এটি ব্যবহার করে সমাধান করতে পারেন।
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\); \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	আমরা একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন করা.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	আমরা সংখ্যা বৃত্ত ব্যবহার করে প্রথম সমীকরণটি সমাধান করি। দ্বিতীয় সমীকরণের কোনো সমাধান নেই কারণ \(\cos⁡x∈[-1;1]\) এবং কোন x এর জন্য দুইটির সমান হতে পারে না।
	আসুন এই পয়েন্টগুলিতে থাকা সমস্ত সংখ্যা লিখি।

উত্তর: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)।

ODZ অধ্যয়নের সাথে একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ:

উদাহরণ (ইউএসই) . ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধান করুন \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	একটি ভগ্নাংশ আছে এবং একটি কোট্যাঞ্জেন্ট আছে - এর মানে আমাদের এটি লিখতে হবে। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে একটি কোট্যাঞ্জেন্ট আসলে একটি ভগ্নাংশ: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) অতএব, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) এর জন্য ODZ।
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	সংখ্যা বৃত্তে "অ-সমাধান" চিহ্নিত করা যাক।
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	ctg\(x\) দ্বারা গুন করে সমীকরণের হর থেকে পরিত্রাণ করা যাক। আমরা এটি করতে পারি, যেহেতু আমরা উপরে ctg\(x ≠0\) লিখেছি।
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	সাইনের জন্য ডবল অ্যাঙ্গেল সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\)।
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	যদি আপনার হাত কোসাইন দ্বারা বিভক্ত করার জন্য পৌঁছায়, তাদের পিছনে টানুন! আপনি একটি ভেরিয়েবল সহ একটি এক্সপ্রেশন দ্বারা ভাগ করতে পারেন যদি এটি অবশ্যই শূন্যের সমান না হয় (উদাহরণস্বরূপ, এইগুলি: \(x^2+1.5^x\))। পরিবর্তে, আসুন বন্ধনীর বাইরে \(\cos⁡x\) রাখি।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	আসুন সমীকরণটিকে দুটি ভাগে "বিভক্ত" করি।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	সংখ্যা বৃত্ত ব্যবহার করে প্রথম সমীকরণটি সমাধান করা যাক। দ্বিতীয় সমীকরণটিকে \(2\) দ্বারা ভাগ করি এবং \(\sin⁡x\) ডানদিকে সরান।
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)। \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ফলে শিকড় ODZ অন্তর্ভুক্ত করা হয় না। অতএব, আমরা তাদের প্রতিক্রিয়া লিখব না. দ্বিতীয় সমীকরণটি সাধারণ। আসুন এটিকে \(\sin⁡x\) দিয়ে ভাগ করি (\(\sin⁡x=0\) সমীকরণের সমাধান হতে পারে না কারণ এই ক্ষেত্রে \(\cos⁡x=1\) বা \(\cos⁡ x=-1\))।
	আমরা আবার একটি বৃত্ত ব্যবহার করি।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	এই শিকড়গুলি ODZ দ্বারা বাদ দেওয়া হয় না, তাই আপনি তাদের উত্তরে লিখতে পারেন।

উত্তর: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)।

বিষয়ের উপর পাঠ এবং উপস্থাপনা: "সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা"

অতিরিক্ত উপকরণ
প্রিয় ব্যবহারকারী, আপনার মন্তব্য, পর্যালোচনা, শুভেচ্ছা ছেড়ে ভুলবেন না! সমস্ত উপকরণ একটি অ্যান্টিভাইরাস প্রোগ্রাম দ্বারা চেক করা হয়েছে.

1C থেকে গ্রেড 10 এর জন্য ইন্টিগ্রাল অনলাইন স্টোরে ম্যানুয়াল এবং সিমুলেটর
আমরা জ্যামিতিতে সমস্যার সমাধান করি। মহাকাশে নির্মাণের জন্য ইন্টারেক্টিভ কাজ
সফ্টওয়্যার পরিবেশ "1C: গাণিতিক কনস্ট্রাক্টর 6.1"

আমরা যা অধ্যয়ন করব:
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কি?

3. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জন্য দুটি প্রধান পদ্ধতি।
4. সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
5. উদাহরণ।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কি?

বন্ধুরা, আমরা ইতিমধ্যেই আর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট অধ্যয়ন করেছি। এখন সাধারণভাবে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দেখি।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল এমন সমীকরণ যেখানে একটি ভেরিয়েবল একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্নের অধীনে থাকে।

আসুন সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার ফর্মটি পুনরাবৃত্তি করি:

1)যদি |a|≤ 1 হয়, তাহলে সমীকরণ cos(x) = a এর একটি সমাধান আছে:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) যদি |a|≤ 1, তাহলে sin(x) = a-এর একটি সমাধান আছে:

3) যদি |a| > 1, তারপর সমীকরণ sin(x) = a এবং cos(x) = a এর কোন সমাধান নেই 4) tg(x)=a সমীকরণটির একটি সমাধান আছে: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a সমীকরণটির একটি সমাধান আছে: x=arcctg(a)+ πk

সকল সূত্রের জন্য k হল একটি পূর্ণসংখ্যা

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের ফর্ম আছে: T(kx+m)=a, T হল কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

উদাহরণ।

সমীকরণগুলি সমাধান করুন: a) sin(3x)= √3/2

সমাধান:

ক) আসুন 3x=t বোঝাই, তারপর আমরা আমাদের সমীকরণটি আকারে আবার লিখব:

এই সমীকরণের সমাধান হবে: t=((-1)^n)আর্কসিন(√3 /2)+ πn।

মানের সারণী থেকে আমরা পাই: t=((-1)^n)×π/3+ πn।

চলুন আমাদের ভেরিয়েবলে ফিরে আসি: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

তারপর x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

উত্তর: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। (-1)^n – বিয়োগ এক থেকে n এর শক্তি।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের আরও উদাহরণ।

সমীকরণগুলি সমাধান করুন: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

সমাধান:

ক) এবার চলুন সরাসরি সমীকরণের মূল গণনার দিকে এগিয়ে যাই:

X/5= ± arccos(1) + 2πk। তারপর x/5= πk => x=5πk

উত্তর: x=5πk, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

খ) আমরা এটি আকারে লিখি: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। আমরা জানি যে: আর্কটান(√3)=π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

উত্তর: x=2π/9 + πk/3, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা।

সমীকরণগুলি সমাধান করুন: cos(4x)= √2/2। এবং সেগমেন্টের সমস্ত শিকড় সন্ধান করুন।

সমাধান:

আমাদের সমীকরণটি সাধারণ আকারে সমাধান করা যাক: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

এখন দেখা যাক আমাদের সেগমেন্টে কোন শিকড় পড়ে। k এ k=0, x= π/16, আমরা প্রদত্ত সেগমেন্টে আছি।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 দিয়ে, আমরা আবার আঘাত করি।
k=2 এর জন্য, x= π/16+ π=17π/16, কিন্তু এখানে আমরা হিট করিনি, যার মানে হল বড় k-এর জন্যও আমরা স্পষ্টতই আঘাত করব না।

উত্তর: x= π/16, x= 9π/16

দুটি প্রধান সমাধান পদ্ধতি।

আমরা সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি দেখেছি, তবে আরও জটিল সমীকরণও রয়েছে। তাদের সমাধান করার জন্য, একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের পদ্ধতি এবং ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এর উদাহরণ তাকান.

আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:

সমাধান:
আমাদের সমীকরণ সমাধান করার জন্য, আমরা একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের পদ্ধতি ব্যবহার করব, যা বোঝায়: t=tg(x)।

প্রতিস্থাপনের ফলস্বরূপ আমরা পাই: t 2 + 2t -1 = 0

চলো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করা যাক: t=-1 এবং t=1/3

তারপর tg(x)=-1 এবং tg(x)=1/3, আমরা সবচেয়ে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ পাই, আসুন এর মূল খুঁজে বের করি।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk।

উত্তর: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk।

একটি সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ

সমীকরণ সমাধান করুন: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

সমাধান:

আসুন পরিচয়টি ব্যবহার করি: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

আমাদের সমীকরণটি রূপ নেবে: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

আসুন প্রতিস্থাপনটি চালু করি t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হল মূল: t=2 এবং t=-1/2

তারপর cos(x)=2 এবং cos(x)=-1/2।

কারণ কোসাইন একের বেশি মান নিতে পারে না, তাহলে cos(x)=2 এর কোনো শিকড় নেই।

cos(x)=-1/2 এর জন্য: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

উত্তর: x= ±2π/3 + 2πk

সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

সংজ্ঞা: a sin(x)+b cos(x) ফর্মের সমীকরণগুলিকে প্রথম ডিগ্রির সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলে।

ফর্মের সমীকরণ

দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

প্রথম ডিগ্রির একটি সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করতে, এটিকে cos(x) দ্বারা ভাগ করুন: আপনি কোসাইন দ্বারা ভাগ করতে পারবেন না যদি এটি শূন্যের সমান হয়, আসুন নিশ্চিত করি যে এটি এমন নয়:
ধরা যাক cos(x)=0, তারপর asin(x)+0=0 => sin(x)=0, কিন্তু সাইন এবং কোসাইন একই সময়ে শূন্যের সমান নয়, আমরা একটি দ্বন্দ্ব পাই, তাই আমরা নিরাপদে ভাগ করতে পারি শূন্য দ্বারা

সমীকরণটি সমাধান করুন:
উদাহরণ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

সমাধান:

সাধারণ ফ্যাক্টর বের করা যাক: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

তারপরে আমাদের দুটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে:

Cos(x)=0 এবং cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 এ x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 সমীকরণটি বিবেচনা করুন cos(x) দ্বারা আমাদের সমীকরণটি ভাগ করুন:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

উত্তর: x= π/2 + πk এবং x= -π/4+πk

দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন?
বন্ধুরা, সর্বদা এই নিয়মগুলি অনুসরণ করুন!

1. দেখুন a সহগ কিসের সমান, যদি a=0 হয় তাহলে আমাদের সমীকরণটি cos(x)(bsin(x)+ccos(x) রূপ নেবে, যার সমাধান পূর্ববর্তী স্লাইডে রয়েছে

2. যদি a≠0, তাহলে আপনাকে সমীকরণের উভয় দিককে কোসাইন বর্গ দ্বারা ভাগ করতে হবে, আমরা পাই:

আমরা পরিবর্তনশীল t=tg(x) পরিবর্তন করি এবং সমীকরণ পাই:

উদাহরণ নং:3 সমাধান করুন

সমীকরণটি সমাধান করুন:
সমাধান:

সমীকরণের উভয় দিককে কোসাইন বর্গ দ্বারা ভাগ করা যাক:

আমরা পরিবর্তনশীল t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0 পরিবর্তন করি

চলো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করা যাক: t=-3 এবং t=1

তারপর: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

উত্তর: x=-arctg(3) + πk এবং x= π/4+ πk

উদাহরণ নং:4 সমাধান করুন

সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:
আসুন আমাদের অভিব্যক্তি পরিবর্তন করি:

আমরা এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারি: x= - π/4 + 2πk এবং x=5π/4 + 2πk

উত্তর: x= - π/4 + 2πk এবং x=5π/4 + 2πk

উদাহরণ নং:5 সমাধান করুন

সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:
আসুন আমাদের অভিব্যক্তি পরিবর্তন করি:

আসুন প্রতিস্থাপনটি চালু করি tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হবে মূল: t=-2 এবং t=1/2

তারপর আমরা পাই: tg(2x)=-2 এবং tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

উত্তর: x=-arctg(2)/2 + πk/2 এবং x=arctg(1/2)/2+ πk/2

স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা।

1) সমীকরণটি সমাধান করুন

ক) sin(7x)= 1/2 খ) cos(3x)= √3/2 গ) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) সমীকরণগুলি সমাধান করুন: sin(3x)= √3/2। এবং সেগমেন্টের সমস্ত শিকড় খুঁজুন [π/2; π]।

3) সমীকরণটি সমাধান করুন: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) সমীকরণটি সমাধান করুন: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) সমীকরণটি সমাধান করুন: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) সমীকরণটি সমাধান করুন: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের ধারণা।

• একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করতে, এটিকে এক বা একাধিক মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে রূপান্তর করুন। একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান শেষ পর্যন্ত চারটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানে নেমে আসে।

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা।

• 4 ধরনের মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রয়েছে:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একক বৃত্তের বিভিন্ন x অবস্থানের দিকে তাকানোর পাশাপাশি একটি রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করা জড়িত।
• উদাহরণ 1. sin x = 0.866। একটি রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করে আপনি উত্তর পাবেন: x = π/3। একক বৃত্ত আরেকটি উত্তর দেয়: 2π/3। মনে রাখবেন: সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক, যার অর্থ তাদের মান পুনরাবৃত্তি হয়। উদাহরণস্বরূপ, sin x এবং cos x এর পর্যায়ক্রম হল 2πn, এবং tg x এবং ctg x এর পর্যায়ক্রম হল πn। তাই উত্তরটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn।
• উদাহরণ 2. cos x = -1/2। একটি রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করে আপনি উত্তর পাবেন: x = 2π/3। একক বৃত্ত আরেকটি উত্তর দেয়: -2π/3।
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π।
• উদাহরণ 3. tg (x - π/4) = 0।
• উত্তরঃ x = π/4 + πn.
• উদাহরণ 4. ctg 2x = 1.732।
• উত্তর: x = π/12 + πn।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত রূপান্তর।

• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রূপান্তর করতে, ব্যবহার করুন বীজগণিত রূপান্তর(ফ্যাক্টরাইজেশন, হ্রাস সমজাতীয় সদস্যইত্যাদি) এবং ত্রিকোণমিতিক পরিচয়।
• উদাহরণ 5: ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, sin x + sin 2x + sin 3x = 0 সমীকরণটি 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 সমীকরণে রূপান্তরিত হয়। সুতরাং, নিম্নলিখিত মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে হবে: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0।

• দ্বারা কোণ খোঁজা পরিচিত মানফাংশন

  • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শেখার আগে, আপনাকে পরিচিত ফাংশন মান ব্যবহার করে কোণগুলি কীভাবে সন্ধান করতে হয় তা শিখতে হবে। এটি একটি রূপান্তর টেবিল বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে করা যেতে পারে।
  • উদাহরণ: cos x = 0.732। ক্যালকুলেটর উত্তর দেবে x = 42.95 ডিগ্রি। একক বৃত্ত অতিরিক্ত কোণ দেবে, যার কোসাইনও 0.732।

• একক বৃত্তের উপর সমাধান সরাইয়া রাখুন।

  • আপনি একক বৃত্তে একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান করতে পারেন। একক বৃত্তের একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান হল একটি নিয়মিত বহুভুজের শীর্ষবিন্দু।
  • উদাহরণ: একক বৃত্তের x = π/3 + πn/2 সমাধানগুলি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুগুলিকে উপস্থাপন করে।
  • উদাহরণ: একক বৃত্তে x = π/4 + πn/3 সমাধানগুলি একটি নিয়মিত ষড়ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে উপস্থাপন করে।

• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি।

  • যদি একটি প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থাকে, তাহলে সেই সমীকরণটিকে একটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হিসাবে সমাধান করুন। যদি একটি প্রদত্ত সমীকরণে দুটি বা ততোধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন অন্তর্ভুক্ত থাকে, তবে এই জাতীয় সমীকরণ সমাধানের জন্য 2টি পদ্ধতি রয়েছে (এর রূপান্তরের সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে)।
    • পদ্ধতি 1।
  • এই সমীকরণটিকে ফর্মের একটি সমীকরণে রূপান্তর করুন: f(x)*g(x)*h(x) = 0, যেখানে f(x), g(x), h(x) হল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
  • উদাহরণ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • সমাধান। ডাবল অ্যাঙ্গেল সূত্র sin 2x = 2*sin x*cos x ব্যবহার করে, sin 2x প্রতিস্থাপন করুন।
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. এখন দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন: cos x = 0 এবং (sin x + 1) = 0।
  • উদাহরণ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • সমাধান: ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, এই সমীকরণটিকে ফর্মের একটি সমীকরণে রূপান্তর করুন: cos 2x(2cos x + 1) = 0। এখন দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন: cos 2x = 0 এবং (2cos x + 1) = 0।
  • উদাহরণ 8. sin x - sin 3x = cos 2x। (0< x < 2π)
  • সমাধান: ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, এই সমীকরণটিকে ফর্মের একটি সমীকরণে রূপান্তর করুন: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0। এখন দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন: cos 2x = 0 এবং (2sin x + 1) = 0 .
    • পদ্ধতি 2।
  • প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটিকে একটি সমীকরণে রূপান্তর করুন যেখানে শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে। তারপরে এই ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটিকে কিছু অজানা দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন, উদাহরণস্বরূপ, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, ইত্যাদি)।
  • উদাহরণ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • সমাধান। এই সমীকরণে, (cos^2 x) প্রতিস্থাপন করুন (1 - sin^2 x) (পরিচয় অনুযায়ী)। রূপান্তরিত সমীকরণ হল:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0। t দিয়ে sin x প্রতিস্থাপন করুন। এখন সমীকরণটি এরকম দেখাচ্ছে: 5t^2 - 4t - 9 = 0। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার দুটি মূল রয়েছে: t1 = -1 এবং t2 = 9/5। দ্বিতীয় রুট t2 ফাংশন পরিসীমা (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • উদাহরণ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • সমাধান। t দিয়ে tg x প্রতিস্থাপন করুন। মূল সমীকরণটি নিম্নরূপ পুনরায় লিখুন: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0। এখন t খুঁজুন এবং তারপর t = tan x এর জন্য x খুঁজুন।

• বিশেষ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

  • বেশ কিছু বিশেষ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রয়েছে যার জন্য নির্দিষ্ট রূপান্তরের প্রয়োজন হয়। উদাহরণ:
  • a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
  • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

• ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রম।

  • পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক, যার অর্থ তাদের মানগুলি একটি নির্দিষ্ট সময়ের পরে পুনরাবৃত্তি হয়। উদাহরণ:
    • ফাংশনের সময়কাল f(x) = sin x 2π।
    • ফাংশনের সময়কাল f(x) = tan x π এর সমান।
    • ফাংশনের সময়কাল f(x) = sin 2x π এর সমান।
    • ফাংশনের সময়কাল f(x) = cos (x/2) হল 4π।
  • যদি সমস্যাটিতে একটি সময়কাল নির্দিষ্ট করা হয়, তাহলে সেই সময়ের মধ্যে "x" এর মান গণনা করুন।
  • দ্রষ্টব্য: ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা সহজ কাজ নয় এবং প্রায়শই ত্রুটির দিকে নিয়ে যায়। অতএব, সাবধানে আপনার উত্তর পরীক্ষা করুন. এটি করার জন্য, আপনি প্রদত্ত সমীকরণ R(x) = 0 গ্রাফ করার জন্য একটি গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সমাধানগুলি উপস্থাপন করা হবে দশমিক(অর্থাৎ, π 3.14 দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়)।

ক্লাস: 10

"সমীকরণ চিরকাল স্থায়ী হবে।"

উঃ আইনস্টাইন

পাঠের উদ্দেশ্য:

• শিক্ষামূলক:
  • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি সম্পর্কে গভীরতর বোঝাপড়া;
  • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জন্য পদ্ধতিগুলিকে আলাদা করতে এবং সঠিকভাবে নির্বাচন করার দক্ষতা বিকাশ করুন।
• শিক্ষামূলক:
  • শিক্ষাগত প্রক্রিয়ায় জ্ঞানীয় আগ্রহ লালন করা;
  • একটি প্রদত্ত কাজ বিশ্লেষণ করার ক্ষমতা বিকাশ;
  • শ্রেণীকক্ষে মনস্তাত্ত্বিক আবহাওয়ার উন্নতিতে অবদান রাখুন।
• উন্নয়নমূলক:
  • জ্ঞানের স্বাধীন অধিগ্রহণের দক্ষতার বিকাশকে উন্নীত করা;
  • ছাত্রদের তাদের দৃষ্টিভঙ্গি তর্ক করার ক্ষমতা প্রচার করা;

সরঞ্জাম:মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র, কম্পিউটার, প্রজেক্টর, স্ক্রিন সহ পোস্টার।

1টি পাঠ

I. রেফারেন্স জ্ঞান আপডেট করা

মৌখিকভাবে সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; জেড থেকে

২. নতুন উপাদান শেখা

– আজ আমরা আরও জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ দেখব। আসুন তাদের সমাধান করার 10 টি উপায় দেখি। পরবর্তীতে একত্রীকরণের জন্য দুটি পাঠ থাকবে এবং পরবর্তী পাঠের জন্য একটি পরীক্ষা হবে। "পাঠের জন্য" স্ট্যান্ডে এমন কিছু কাজ পোস্ট করা হয়েছে যা পরীক্ষার আগে আপনাকে সমাধান করতে হবে। (পরীক্ষার আগের দিন, স্ট্যান্ডে এই কাজের সমাধানগুলি পোস্ট করুন)।

সুতরাং, আসুন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার উপায়গুলি বিবেচনা করা যাক। এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে কিছু সম্ভবত আপনার কাছে কঠিন বলে মনে হবে, অন্যগুলি সহজ বলে মনে হবে, কারণ ... আপনি ইতিমধ্যে সমীকরণ সমাধানের জন্য কিছু কৌশল জানেন।

ক্লাসের চারজন শিক্ষার্থী একটি স্বতন্ত্র কাজ পেয়েছে: ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের 4টি উপায় বোঝার এবং দেখানোর জন্য।

(বক্তা শিক্ষার্থীরা আগে থেকেই স্লাইড তৈরি করে রেখেছে। ক্লাসের বাকিরা একটি নোটবুকে সমীকরণ সমাধানের প্রধান ধাপগুলো লিখে রাখে।)

1 জন ছাত্র: 1 উপায়। ফ্যাক্টরিং দ্বারা সমীকরণ সমাধান করা

sin 4x = 3 cos 2x

সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা ডাবল অ্যাঙ্গেল সাইন সূত্র sin 2 = 2 sin cos ব্যবহার করি
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. এই গুণনীয়কগুলির গুণফল শূন্যের সমান যদি অন্তত একটি গুণনীয়ক শূন্যের সমান হয়।

2x = + k, k Z বা sin 2x = 1.5 – কোন সমাধান নেই, কারণ | পাপ| 1
x = + k; জেড থেকে
উত্তরঃ x = + k, k Z.

2 ছাত্র। পদ্ধতি 2। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফল বা পার্থক্যকে একটি গুণে রূপান্তর করে সমীকরণ সমাধান করা

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0।

সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা sin– sin = 2 sin сos সূত্রটি ব্যবহার করি

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. ফলস্বরূপ সমীকরণ দুটি সমীকরণের একটি সেটের সমতুল্য:

দ্বিতীয় সমীকরণের সমাধানের সেট সম্পূর্ণরূপে প্রথম সমীকরণের সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত। মানে

উত্তর:

3 জন ছাত্র। 3 উপায়। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গুণফলকে সমষ্টিতে রূপান্তর করে সমীকরণ সমাধান করা

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x।

সমীকরণটি সমাধান করতে, আমরা সূত্রটি ব্যবহার করি

উত্তর:

4 জন ছাত্র। 4 উপায়। সমীকরণগুলি সমাধান করা যা দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস পায়

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

sin x = t, যেখানে | t |। আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ 2t 2 + 3t – 2 = 0 পাই,

D = 9 + 16 = 25।

এইভাবে. শর্ত পূরণ করে না | t |।

তাই sin x = . এই জন্য .

উত্তর:

III. A. N. Kolmogorov এর পাঠ্যপুস্তক থেকে যা শিখেছে তার একীকরণ

1. নং 164 (a), 167 (a) (চতুর্ভুজ সমীকরণ)
2. নং 168 (ক) (ফ্যাক্টরাইজেশন)
3. নং 174 (ক) (একটি যোগফলকে একটি পণ্যে রূপান্তর করা)
4. (পণ্যকে সমষ্টিতে রূপান্তর করুন)

(পাঠের শেষে, যাচাইয়ের জন্য স্ক্রীনে এই সমীকরণগুলোর সমাধান দেখান)

№ 164 (ক)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0।
sin x = t, | t | 1. তারপর
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t=। কোথায়

উত্তর: - .

№ 167 (ক)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0।

ধরা যাক tg x = 1, তাহলে আমরা 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 সমীকরণ পাব।

উত্তর:

№ 168 (ক)

উত্তর:

№ 174 (ক)

সমীকরণটি সমাধান করুন:

উত্তর:

পাঠ 2 (পাঠ-বক্তৃতা)

IV নতুন উপাদান শেখা(চলবে)

- সুতরাং, আসুন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার উপায়গুলি অধ্যয়ন করা চালিয়ে যাই।

5 উপায়। সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা

ফর্মের সমীকরণ a sin x + b cos x = 0, যেখানে a এবং b কিছু সংখ্যা, তাকে বলা হয় sin x বা cos x এর ক্ষেত্রে প্রথম ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ।

সমীকরণ বিবেচনা করুন

sin x – cos x = 0. সমীকরণের উভয় দিক cos x দ্বারা ভাগ করা যাক। এটা করা যাবে না, কারণ , যদি cos x = 0,যে sin x = 0. কিন্তু এটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের বিরোধিতা করে পাপ 2 x+cos 2 x = 1।

আমরা পেতে tan x – 1 = 0।

ট্যান x = 1,

ফর্মের সমীকরণ একটি পাপ 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,কোথায় a, b, c -কিছু সংখ্যাকে sin x বা cos x এর ক্ষেত্রে দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ বলা হয়।

সমীকরণ বিবেচনা করুন

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0। আসুন সমীকরণের উভয় দিককে cos x দ্বারা ভাগ করি, এবং মূলটি হারিয়ে যাবে না, কারণ cos x = 0 এই সমীকরণের মূল নয়।

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0।

ধরুন tg x = t। D = 9 – 8 = 1।

তাহলে tg x = 2 বা tg x = 1।

ফলস্বরূপ, x = আর্কটান 2 + , x =

উত্তর: arctg 2 + ,

আরেকটি সমীকরণ বিবেচনা করুন: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2।
2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) আকারে সমীকরণের ডান দিকটি রূপান্তর করা যাক। তারপর আমরা পাই:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0। (আমরা ২য় সমীকরণ পেয়েছি, যা আমরা ইতিমধ্যে বিশ্লেষণ করেছি)।

উত্তর: আর্কটান 2 + k,

6 পথ। রৈখিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা

একটি রৈখিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ a sin x + b cos x = c, যেখানে a, b, c কিছু সংখ্যা।

সমীকরণ বিবেচনা করুন sin x + cos x= – 1.
আসুন সমীকরণটি এভাবে আবার লিখি:

এটি বিবেচনা করে এবং, আমরা পাই:

উত্তর:

7 পথ। একটি অতিরিক্ত যুক্তি উপস্থাপন

অভিব্যক্তি a cos x + b sin xরূপান্তর করা যেতে পারে:

(ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ করার সময় আমরা ইতিমধ্যে এই রূপান্তর ব্যবহার করেছি)

একটি অতিরিক্ত যুক্তি উপস্থাপন করা যাক - কোণটি এমন

তারপর

সমীকরণটি বিবেচনা করুন: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

বাড়ির কাজ:নং 164 -170 (c, d)।

এই পাঠে আমরা দেখব মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ, এবং এছাড়াও তালিকা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং সিস্টেমের প্রাথমিক প্রকার. উপরন্তু, আমরা ইঙ্গিত সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং তাদের বিশেষ ক্ষেত্রে.

এই পাঠটি আপনাকে যেকোনো একটি কাজের জন্য প্রস্তুত করতে সাহায্য করবে B5 এবং C1.

গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি

পরীক্ষা

পাঠ 10. ত্রিকোণমিতিক ফাংশন। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেম।

তত্ত্ব

পাঠের সারাংশ

আমরা ইতিমধ্যে "ত্রিকোণমিতিক ফাংশন" শব্দটি বহুবার ব্যবহার করেছি। এই বিষয়ের প্রথম পাঠে, আমরা তাদের ব্যবহার করে চিহ্নিত করেছি সঠিক ত্রিভুজএবং একক ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নির্দিষ্ট করার এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে, আমরা ইতিমধ্যেই উপসংহারে আসতে পারি যে তাদের জন্য যুক্তির একটি মান (বা কোণ) ফাংশনের ঠিক একটি মানের সাথে মিলে যায়, যেমন সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন কল করার অধিকার আমাদের আছে।

এই পাঠে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মান গণনার পূর্বে আলোচিত পদ্ধতিগুলি থেকে বিমূর্ত করার চেষ্টা করার সময় এসেছে। আজ আমরা ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার জন্য সাধারণ বীজগণিত পদ্ধতিতে এগিয়ে যাব, আমরা তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি দেখব এবং গ্রাফগুলি চিত্রিত করব।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে, বিশেষ মনোযোগ দেওয়া উচিত:

সংজ্ঞার ডোমেইন এবং মান পরিসীমা, কারণ সাইন এবং কোসাইনের জন্য মানগুলির পরিসরে সীমাবদ্ধতা রয়েছে এবং স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য সংজ্ঞার পরিসরে সীমাবদ্ধতা রয়েছে;

সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতা, কারণ আমরা ইতিমধ্যেই ক্ষুদ্রতম নন-জিরো আর্গুমেন্টের উপস্থিতি লক্ষ করেছি, যেটির সংযোজন ফাংশনের মান পরিবর্তন করে না। এই যুক্তিটিকে ফাংশনের সময়কাল বলা হয় এবং অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সাইন/কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট/কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য এই সময়কালগুলি আলাদা।

ফাংশন বিবেচনা করুন:

1) সংজ্ঞার সুযোগ;

2) মান পরিসীমা ;

3) ফাংশনটি বিজোড় ;

ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করা যাক। এই ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রটির একটি চিত্র দিয়ে নির্মাণ শুরু করা সুবিধাজনক যা উপরের থেকে গ্রাফটিকে 1 নম্বর দ্বারা এবং নীচে থেকে সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ করে, যা ফাংশনের মানগুলির পরিসরের সাথে যুক্ত। এছাড়াও, নির্মাণের জন্য এটি বেশ কয়েকটি প্রধান টেবিল কোণের সাইনের মানগুলি মনে রাখা দরকারী, উদাহরণস্বরূপ, এটি আপনাকে গ্রাফের প্রথম পূর্ণ "তরঙ্গ" তৈরি করতে এবং তারপরে ডানদিকে পুনরায় আঁকতে দেয় এবং বাম, এই সত্যের সুবিধা গ্রহণ করে যে ছবিটি একটি সময়কাল দ্বারা একটি শিফটের সাথে পুনরাবৃত্তি করা হবে, যেমন চালু .

এখন ফাংশনটি দেখি:

এই ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1) সংজ্ঞার সুযোগ;

2) মান পরিসীমা ;

3) এমনকি ফাংশন এটি বোঝায় যে ফাংশনের গ্রাফটি অর্ডিনেট সম্পর্কে প্রতিসম;

4) ফাংশনটি তার সম্পূর্ণ সংজ্ঞা জুড়ে একঘেয়ে নয়;

ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করা যাক। সাইন তৈরি করার সময়, এলাকার একটি চিত্র দিয়ে শুরু করা সুবিধাজনক যেটি শীর্ষে গ্রাফটিকে 1 নম্বর দিয়ে এবং নীচে সংখ্যা দিয়ে সীমাবদ্ধ করে, যা ফাংশনের মানগুলির পরিসরের সাথে যুক্ত। আমরা গ্রাফে বেশ কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিও প্লট করব, যার জন্য আমাদের বেশ কয়েকটি প্রধান টেবিল কোণের কোসাইনগুলির মানগুলি মনে রাখতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, এই বিন্দুগুলির সাহায্যে আমরা প্রথম পূর্ণ "তরঙ্গ" তৈরি করতে পারি গ্রাফের ” এবং তারপরে এটিকে ডান এবং বামে পুনরায় আঁকুন, এই সত্যটির সুবিধা নিয়ে যে ছবিটি একটি পিরিয়ড শিফটের সাথে পুনরাবৃত্তি হবে, যেমন চালু .

চলুন ফাংশনে এগিয়ে যাই:

এই ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1) ডোমেইন ছাড়া, কোথায়। আমরা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী পাঠে ইঙ্গিত করেছি যে এটি বিদ্যমান নেই। স্পর্শক সময়কাল বিবেচনা করে এই বিবৃতিটি সাধারণীকরণ করা যেতে পারে;

2) মানের পরিসীমা, যেমন স্পর্শক মান সীমাবদ্ধ নয়;

3) ফাংশনটি বিজোড় ;

4) ফাংশনটি তার তথাকথিত স্পর্শক শাখার মধ্যে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়, যা আমরা এখন চিত্রটিতে দেখব;

5) ফাংশনটি একটি পর্যায়ক্রমিক

ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করা যাক। এই ক্ষেত্রে, সংজ্ঞা ডোমেনে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন পয়েন্টগুলিতে গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গগুলি চিত্রিত করে নির্মাণ শুরু করা সুবিধাজনক, যেমন। ইত্যাদি এর পরে, আমরা অ্যাসিম্পটোট দ্বারা গঠিত প্রতিটি স্ট্রিপের ভিতরে স্পর্শকের শাখাগুলিকে চিত্রিত করি, তাদের বাম অ্যাসিম্পটোটে এবং ডানদিকে টিপে। একই সময়ে, ভুলে যাবেন না যে প্রতিটি শাখা একঘেয়ে বৃদ্ধি পায়। আমরা সব শাখা একই ভাবে চিত্রিত, কারণ ফাংশনের সমান একটি সময়কাল আছে। এটি থেকে দেখা যায় যে প্রতিটি শাখা প্রতিবেশীটিকে আবসিসা অক্ষ বরাবর স্থানান্তরিত করে প্রাপ্ত হয়।

এবং আমরা ফাংশনটি দেখে শেষ করি:

এই ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1) ডোমেইন ছাড়া, কোথায়। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানের সারণী থেকে, আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে এটির অস্তিত্ব নেই। এই বিবৃতিটি cotangent সময়কাল বিবেচনা করে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে;

2) মানের পরিসীমা, যেমন কোট্যাঞ্জেন্ট মান সীমাবদ্ধ নয়;

3) ফাংশনটি বিজোড় ;

4) ফাংশনটি তার শাখাগুলির মধ্যে একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়, যা স্পর্শক শাখাগুলির অনুরূপ;

5) ফাংশনটি একটি পর্যায়ক্রমিক

ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করা যাক। এই ক্ষেত্রে, স্পর্শক হিসাবে, সংজ্ঞা এলাকায় অন্তর্ভুক্ত নয় এমন পয়েন্টগুলিতে গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গগুলি চিত্রিত করে নির্মাণ শুরু করা সুবিধাজনক, যেমন। ইত্যাদি এর পরে, আমরা অ্যাসিম্পটোট দ্বারা গঠিত প্রতিটি স্ট্রাইপের ভিতরে কোটানজেন্টের শাখাগুলিকে চিত্রিত করি, সেগুলিকে বাম অ্যাসিম্পটোটে এবং ডানদিকে টিপে। এই ক্ষেত্রে, আমরা বিবেচনা করি যে প্রতিটি শাখা একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়। আমরা একইভাবে স্পর্শক অনুরূপ সব শাখা চিত্রিত, কারণ ফাংশনের সমান একটি সময়কাল আছে।

আলাদাভাবে, এটি লক্ষ করা উচিত যে জটিল আর্গুমেন্ট সহ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির একটি অ-মানক সময় থাকতে পারে। আমরা ফর্মের ফাংশন সম্পর্কে কথা বলছি:

তাদের সময়কাল সমান। এবং ফাংশন সম্পর্কে:

তাদের সময়কাল সমান।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি নতুন পিরিয়ড গণনা করার জন্য, স্ট্যান্ডার্ড পিরিয়ডকে কেবল যুক্তিতে ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করা হয়। এটি ফাংশনের অন্যান্য পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে না।

আপনি আরও বিস্তারিতভাবে বুঝতে পারবেন এবং ফাংশনের গ্রাফ গঠন এবং রূপান্তর সম্পর্কে পাঠে এই সূত্রগুলি কোথা থেকে এসেছে তা বুঝতে পারবেন।

আমরা "ত্রিকোণমিতি" বিষয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশগুলির মধ্যে একটিতে এসেছি, যা আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে উত্সর্গ করব। এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার ক্ষমতা গুরুত্বপূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ, যখন পদার্থবিজ্ঞানে দোলক প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করা হয়। আসুন কল্পনা করুন যে আপনি একটি স্পোর্টস কারে একটি গো-কার্টে কয়েকটি ল্যাপ চালিয়েছেন; একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা আপনাকে ট্র্যাকের উপর গাড়ির অবস্থানের উপর নির্ভর করে কতক্ষণ ধরে দৌড়াচ্ছেন তা নির্ধারণ করতে সহায়তা করবে।

আসুন সবচেয়ে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি লিখি:

এই ধরনের সমীকরণের সমাধান হল সেই আর্গুমেন্ট যার সাইন সমান। কিন্তু আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে সাইনের পর্যায়ক্রমিকতার কারণে, এই ধরনের যুক্তির অসীম সংখ্যা রয়েছে। সুতরাং, এই সমীকরণের সমাধান হবে, ইত্যাদি। অন্য যেকোনো সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য;

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কয়েকটি প্রধান প্রকারে বিভক্ত। আলাদাভাবে, আমরা সহজ বেশী উপর বাস করা উচিত, কারণ বাকি সবকিছু তাদের নিচে আসে। এরকম চারটি সমীকরণ রয়েছে (মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংখ্যা অনুযায়ী)। সাধারণ সমাধান তাদের জন্য পরিচিত;

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং তাদের সাধারণ সমাধানএই মত চেহারা:

দয়া করে মনে রাখবেন যে সাইন এবং কোসাইনের মানগুলি অবশ্যই আমাদের পরিচিত সীমাবদ্ধতাগুলিকে বিবেচনায় নিতে হবে। যদি, উদাহরণস্বরূপ, তাহলে সমীকরণের কোন সমাধান নেই এবং নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করা উচিত নয়।

উপরন্তু, নির্দিষ্ট রুট সূত্র একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা আকারে একটি প্যারামিটার ধারণ করে। ভিতরে স্কুলের পাঠ্যক্রমএটি একমাত্র ক্ষেত্রে যখন একটি প্যারামিটার ছাড়া একটি সমীকরণের সমাধানে একটি প্যারামিটার থাকে। এই নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যাটি দেখায় যে উপরের যেকোন সমীকরণের একটি অসীম সংখ্যক শিকড়গুলিকে কেবল পালাক্রমে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে লেখা সম্ভব।

আপনি 10 তম গ্রেডের বীজগণিত প্রোগ্রামে "ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ" অধ্যায়টি পুনরাবৃত্তি করে এই সূত্রগুলির বিশদ উদ্ভবের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

আলাদাভাবে, সাইন এবং কোসাইন সহ সহজ সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধানের দিকে মনোযোগ দেওয়া প্রয়োজন। এই সমীকরণগুলি দেখতে এইরকম:

সাধারণ সমাধান খোঁজার সূত্র তাদের উপর প্রয়োগ করা উচিত নয়। এই ধরনের সমীকরণগুলি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে সবচেয়ে সুবিধাজনকভাবে সমাধান করা হয়, যা সাধারণ সমাধান সূত্রের তুলনায় একটি সহজ ফলাফল দেয়।

যেমন সমীকরণের সমাধান . এই উত্তরটি নিজে পেতে চেষ্টা করুন এবং নির্দেশিত অবশিষ্ট সমীকরণগুলি সমাধান করুন।

নির্দেশিত সবচেয়ে সাধারণ ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ ছাড়াও, আরও বেশ কিছু মানক সমীকরণ রয়েছে। আমরা ইতিমধ্যে যেগুলি নির্দেশ করেছি সেগুলি বিবেচনায় রেখে আমরা তাদের তালিকাভুক্ত করি:

1) প্রোটোজোয়া, উদাহরণ স্বরূপ, ;

2) সহজতম সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

3) জটিল যুক্তি সহ সমীকরণ, উদাহরণ স্বরূপ, ;

4) একটি সাধারণ ফ্যাক্টর বের করে সমীকরণগুলি তাদের সহজে কমিয়ে দেওয়া হয়েছে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

5) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে রূপান্তরিত করে সমীকরণগুলি তাদের সহজে হ্রাস করা হয়েছে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

6) প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সমীকরণগুলি তাদের সহজে কমিয়ে দেওয়া হয়েছে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

7) সমজাতীয় সমীকরণ, উদাহরণ স্বরূপ, ;

8) যে সমীকরণগুলি ফাংশনের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, উদাহরণ স্বরূপ, . এই সমীকরণে দুটি ভেরিয়েবল রয়েছে তা দেখে আতঙ্কিত হবেন না;

পাশাপাশি বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা সমীকরণ।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার পাশাপাশি, আপনাকে অবশ্যই তাদের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে সক্ষম হতে হবে।

সিস্টেমের সবচেয়ে সাধারণ ধরনের হল:

1) যার মধ্যে একটি সমীকরণ হল ক্ষমতা, উদাহরণ স্বরূপ, ;

2) সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সিস্টেম, উদাহরণ স্বরূপ, .

আজকের পাঠে আমরা মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফগুলি দেখেছি। আমরাও দেখা করেছি সাধারণ সূত্রসহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানগুলি, এই জাতীয় সমীকরণের প্রধান ধরন এবং তাদের সিস্টেমগুলি নির্দেশ করে।

পাঠের ব্যবহারিক অংশে, আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেমগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি পরীক্ষা করব।

বক্স 1।সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধান করা.

আমরা ইতিমধ্যে পাঠের মূল অংশে বলেছি, ফর্মের সাইন এবং কোসাইন সহ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে:

সাধারণ সমাধান সূত্র দ্বারা প্রদত্ত সমাধানগুলির চেয়ে সহজ সমাধান রয়েছে৷

এর জন্য একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করা হয়। আসুন সমীকরণের উদাহরণ ব্যবহার করে তাদের সমাধানের পদ্ধতি বিশ্লেষণ করি।

আসুন আমরা ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের বিন্দুতে চিত্রিত করি যেখানে কোসাইন মান শূন্য, যা অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর স্থানাঙ্কও। আপনি দেখতে পারেন, এই ধরনের দুটি পয়েন্ট আছে। আমাদের কাজ হল বৃত্তের এই বিন্দুগুলির সাথে যে কোণটি সমান তা নির্দেশ করা।

আমরা অ্যাবসিসা অক্ষের (কোসাইন অক্ষ) ইতিবাচক দিক থেকে গণনা শুরু করি এবং কোণ সেট করার সময় আমরা প্রথম চিত্রিত বিন্দুতে পৌঁছাই, যেমন একটি সমাধান এই কোণ মান হবে. কিন্তু আমরা এখনও দ্বিতীয় বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কোণ নিয়ে সন্তুষ্ট। এটা কিভাবে পেতে?