সহজতম ত্রিকোণমিতিক। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন? ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের আরও উদাহরণ

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ .

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ .

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ। একটি সমীকরণ যার অধীনে একটি অজানা রয়েছে৷ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্ন বলা হয় ত্রিকোণমিতিক.

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।

সমাধান পদ্ধতি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান দুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত: সমীকরণ রূপান্তরএটা সহজ পেতেটাইপ করুন (উপরে দেখুন) এবং সমাধানসহজতম প্রাপ্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।ওখানে আছে সাতটা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক পদ্ধতি।

1. বীজগণিত পদ্ধতি। এই পদ্ধতি বীজগণিত থেকে আমাদের কাছে সুপরিচিত

(পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন এবং প্রতিস্থাপন পদ্ধতি)।

2. ফ্যাক্টরাইজেশন। আসুন উদাহরণ সহ এই পদ্ধতিটি দেখি।

উদাহরণ 1. সমীকরণটি সমাধান করুন:পাপ এক্স+ কারণ এক্স = 1 .

সমাধান। সমীকরণের সমস্ত পদ বাম দিকে সরান:

পাপ এক্স+ কারণ এক্স – 1 = 0 ,

আসুন আমরা অভিব্যক্তিটিকে রূপান্তরিত এবং ফ্যাক্টরাইজ করি

সমীকরণের বাম দিক:

উদাহরণ 2. সমীকরণটি সমাধান করুন:কারণ 2 এক্স+ পাপ এক্সকারণ এক্স = 1.

সমাধান কারণ 2 এক্স+ পাপ এক্সকারণ এক্স– পাপ 2 এক্স- কারণ 2 এক্স = 0 ,

পাপ এক্সকারণ এক্স– পাপ 2 এক্স = 0 ,

পাপ এক্স(কারণ এক্স– পাপ এক্স ) = 0 ,

উদাহরণ 3. সমীকরণটি সমাধান করুন:কারণ 2 এক্স- কারণ 8 এক্স+ cos 6 এক্স = 1.

সমাধান কারণ 2 এক্স+ cos 6 এক্স= 1 + cos8 এক্স,

2 কারণ 4 এক্সকারণ 2 এক্স= 2 cos² 4 এক্স ,

কারণ 4 এক্স · (কারণ 2 এক্স- কারণ 4 এক্স) = 0 ,

কারণ 4 এক্স 2 পাপ 3 এক্সপাপ এক্স = 0 ,

1)। কারণ 4 এক্স= 0, 2)। পাপ 3 এক্স= 0, 3)। পাপ এক্স = 0 ,

3.

কাস্ট করা হচ্ছে অভিন্ন সমীকরণ। সমীকরণটি ডাকা থেকে সমজাতীয় তুলনামূলকভাবে পাপএবং কারণ , যদি এটার সবগুলো সাপেক্ষে একই ডিগ্রির শর্তাবলী পাপএবং কারণএকই কোণ. একটি সমজাতীয় সমীকরণ সমাধান করতে, আপনার প্রয়োজন: ক) এর সমস্ত সদস্যকে বাম দিকে সরান; খ) বন্ধনীর বাইরে সমস্ত সাধারণ কারণ রাখুন; ভি) সমস্ত ফ্যাক্টর এবং বন্ধনীকে শূন্যে সমান করুন; জি) বন্ধনী শূন্য দিতে সেট করে কম ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ, যা দ্বারা ভাগ করা উচিত কারণ(বা পাপ) সিনিয়র ডিগ্রিতে; d) সাপেক্ষে ফলাফল বীজগণিত সমীকরণ সমাধান করুনট্যান . উদাহরণ সমীকরণ সমাধান করুন: 3পাপ 2 এক্স+ 4 পাপ এক্সকারণ এক্স+ 5 cos 2 এক্স = 2. সমাধান: 3sin 2 এক্স+ 4 পাপ এক্সকারণ এক্স+ 5 কারণ 2 এক্স= 2 পাপ 2 এক্স+ 2 কারণ 2 এক্স , পাপ 2 এক্স+ 4 পাপ এক্সকারণ এক্স+ 3 কারণ 2 এক্স = 0 , ট্যান 2 এক্স+ 4tan এক্স + 3 = 0 , এখান থেকে y 2 + 4y +3 = 0 , এই সমীকরণের মূলগুলি হল:y 1 = - 1, y 2 = - 3, তাই 1) কষা এক্স= –1, 2) ট্যান এক্স = –3,

4. অর্ধেক কোণে স্থানান্তর। আসুন একটি উদাহরণ সহ এই পদ্ধতিটি দেখুন:

উদাহরণ সমীকরণ সমাধান করুন: 3পাপ এক্স- 5 টাকা এক্স = 7.

সমাধান: 6টি পাপ ( এক্স/ 2) cos ( এক্স/ 2) – 5 cos² ( এক্স/ 2) + 5 sin² ( এক্স/ 2) =

7 sin² ( এক্স/ 2) + 7 cos² ( এক্স/ 2) ,

2 sin² ( এক্স/ 2) – 6 পাপ ( এক্স/ 2) cos( এক্স/ 2) + 12 cos² ( এক্স/ 2) = 0 ,

tan²( এক্স/ 2) - 3 কষা ( এক্স/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. একটি অক্জিলিয়ারী কোণের ভূমিকা। ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন:

কপাপ এক্স + খকারণ এক্স = গ ,

কোথায় ক, খ, গ- সহগ;এক্স- অজানা

এখন সমীকরণের সহগগুলিতে সাইন এবং কোসাইনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যথা: প্রত্যেকটির মডিউল (পরম মান)

কার্যক্রম 1

যুক্তিটি সহজ: ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির এখন আরও জটিল যুক্তি থাকা সত্ত্বেও আমরা আগের মতোই করব!

যদি আমরা ফর্মের একটি সমীকরণ সমাধান করতে চাই:

তারপর আমরা নিম্নলিখিত উত্তর লিখব:

অথবা (কারণ)

কিন্তু এখন আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি খেলছি:

তারপর আপনি লিখতে পারেন:

আপনার সাথে আমাদের লক্ষ্য হল এটি তৈরি করা যাতে আপনি কোনও "অমেধ্য" ছাড়াই বাম দিকে দাঁড়াতে পারেন!

আসুন তাদের পরিত্রাণ পেতে!

প্রথমে, এখানে হর সরিয়ে দিন: এটি করতে, আমাদের সমতাকে এর দ্বারা গুণ করুন:

এখন আমরা এটি দ্বারা উভয় অংশকে ভাগ করে পরিত্রাণ পাই:

এখন আটটি থেকে মুক্তি দেওয়া যাক:

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটি সমাধানের 2 সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে (একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, যেখানে আমরা বৈষম্যকে যোগ বা বিয়োগ করি)

আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল খুঁজে বের করতে হবে! এটা পরিষ্কার যে এটা বাছাই করা প্রয়োজন.

আসুন প্রথমে প্রথম সিরিজটি দেখি:

এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি নিই, তাহলে ফলস্বরূপ আমরা ইতিবাচক সংখ্যা পাব, কিন্তু আমরা সেগুলিতে আগ্রহী নই।

তাই এটা নেতিবাচক নিতে হবে। হতে দিন.

যখন মূল ইতিমধ্যে হবে:

এবং আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক খুঁজে বের করতে হবে!! তাই এখানে নেতিবাচক দিকে যাওয়া আর কোন মানে হয় না। এবং এই সিরিজের জন্য সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল সমান হবে।

এখন দ্বিতীয় সিরিজ বিবেচনা করুন:

এবং আবার আমরা প্রতিস্থাপন করি: , তারপর:

আগ্রহী নই!

তাহলে এটা আর বাড়ানোর কোনো মানে হয় না! কমানো যাক! তাহলে যাক:

ফিট!

হতে দিন. তারপর

তারপর - সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল!

উত্তর:

টাস্ক #2

আবার, জটিল কোসাইন যুক্তি নির্বিশেষে আমরা সমাধান করি:

এখন আমরা আবার বাম দিকে প্রকাশ করি:

উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন

দুই দিকে ভাগ করুন

যা বাকি আছে তা হল ডানদিকে সরানো, এর চিহ্নকে বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তন করা।

আমরা আবার শিকড়ের 2টি সিরিজ পাই, একটি সহ এবং অন্যটি সহ।

আমাদের সবচেয়ে বড় নেতিবাচক মূল খুঁজে বের করতে হবে। প্রথম সিরিজ বিবেচনা করুন:

এটা স্পষ্ট যে আমরা প্রথম ঋণাত্মক মূল এ পাব, এটি সমান হবে এবং সিরিজ 1-এ সবচেয়ে বড় ঋণাত্মক মূল হবে।

দ্বিতীয় সিরিজের জন্য

প্রথম ঋণাত্মক মূলটিও প্রাপ্ত হবে এবং এর সমান হবে। যেহেতু, তখন সমীকরণের বৃহত্তম ঋণাত্মক মূল।

উত্তর: .

টাস্ক #3

স্পর্শকটির জটিল যুক্তি যাই হোক না কেন আমরা সিদ্ধান্ত নিই।

এটা জটিল কিছু বলে মনে হচ্ছে, তাই না?

আগের মতো, আমরা বাম দিকে প্রকাশ করি:

ওয়েল, এটা মহান, সাধারণত শিকড় একটি মাত্র সিরিজ আছে! আবার, বৃহত্তম নেতিবাচক খুঁজুন.

এটা পরিষ্কার যে এটা সক্রিয় আউট যদি আমরা করা. এবং এই মূল সমান।

উত্তর:

এবার নিচের সমস্যাগুলো নিজে থেকে সমাধান করার চেষ্টা করুন।

হোমওয়ার্ক বা স্বাধীন সমাধানের জন্য 3টি কাজ।

1. রি-শি-তে সমীকরণ।
   
2. রি-শি-তে সমীকরণ।
   ফ্রম-ভে-তে অন-পি-শি-তে সবচেয়ে ছোট ইন-লো-ঝি-টেল-নি মূল।
3. রি-শি-তে সমীকরণ।
   ফ্রম-ভে-তে অন-পি-শি-তে সবচেয়ে ছোট ইন-লো-ঝি-টেল-নি মূল।

প্রস্তুত? আমরা চেক করি। আমি সম্পূর্ণ সমাধান অ্যালগরিদম বিশদভাবে বর্ণনা করব না, এটা আমার কাছে মনে হচ্ছে যে উপরে ইতিমধ্যেই যথেষ্ট মনোযোগ দেওয়া হয়েছে।

আচ্ছা, সব ঠিক আছে তো? ওহ, সেই দুষ্ট সাইনাস, তাদের সাথে সবসময় কিছু ঝামেলা থাকে!

আচ্ছা, এখন আপনি সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন!

সমাধান এবং উত্তর দেখুন:

কার্যক্রম 1

প্রকাশ করা

ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূল পাওয়া যায় যদি আমরা, তারপর থেকে, রাখি

উত্তর:

টাস্ক #2

ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূলটি প্রাপ্ত হবে।

সে সমান হবে।

উত্তর: .

টাস্ক #3

যখন আমরা পাই, যখন আমাদের আছে।

উত্তর: .

এই জ্ঞান আপনাকে পরীক্ষায় যে সমস্যার সম্মুখীন হবে তার অনেকগুলি সমাধান করতে সাহায্য করবে।

আপনি যদি "5" রেটিং এর জন্য আবেদন করেন, তাহলে আপনাকে শুধু নিবন্ধটি পড়ার জন্য এগিয়ে যেতে হবে মধ্যম স্তর, যা আরো জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (টাস্ক C1) সমাধানের জন্য নিবেদিত হবে।

গড় স্তর

এই নিবন্ধে আমি বর্ণনা করব ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান জটিল প্রকার এবং কিভাবে তাদের শিকড় নির্বাচন করতে হয়। এখানে আমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলিতে ফোকাস করব:

1. এন্ট্রি লেভেলের জন্য ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (উপরে দেখুন)।

আরও জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি বর্ধিত জটিলতার সমস্যার ভিত্তি। তাদের জন্য সাধারণ আকারে সমীকরণটি নিজেই সমাধান করা এবং কিছু নির্দিষ্ট ব্যবধানের অন্তর্গত এই সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করা উভয়ই প্রয়োজন।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান দুটি সাবটাস্কে হ্রাস করা হয়েছে:

1. সমীকরণ সমাধান
2. রুট নির্বাচন

এটি লক্ষ করা উচিত যে দ্বিতীয়টি সর্বদা প্রয়োজন হয় না, তবে এখনও বেশিরভাগ উদাহরণে এটি একটি নির্বাচন করা প্রয়োজন। এবং যদি এটির প্রয়োজন না হয় তবে আপনি বরং সহানুভূতি জানাতে পারেন - এর অর্থ হ'ল সমীকরণটি নিজেই বেশ জটিল।

C1 কার্যগুলির বিশ্লেষণের সাথে আমার অভিজ্ঞতা দেখায় যে সেগুলি সাধারণত নিম্নলিখিত বিভাগে বিভক্ত।

বর্ধিত জটিলতার কাজের চারটি বিভাগ (পূর্বে C1)

1. সমীকরণ যা ফ্যাক্টরাইজেশনে হ্রাস পায়।
2. যে সমীকরণগুলি ফর্মকে কমিয়ে দেয়।
3. চলকের পরিবর্তনের মাধ্যমে সমাধান করা সমীকরণ।
4. অযৌক্তিকতা বা হর এর কারণে মূলের অতিরিক্ত নির্বাচনের প্রয়োজন সমীকরণ।

সহজভাবে বলতে গেলে: যদি আপনি পান প্রথম তিন ধরনের সমীকরণের একটিতারপর নিজেকে ভাগ্যবান মনে করুন। তাদের জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানের অন্তর্গত শিকড়গুলি নির্বাচন করা অতিরিক্ত প্রয়োজন।

আপনি যদি টাইপ 4 এর সমীকরণটি দেখতে পান তবে আপনি কম ভাগ্যবান: আপনাকে এটির সাথে আরও দীর্ঘ এবং আরও যত্ন সহকারে টিঙ্কার করতে হবে, তবে প্রায়শই এর জন্য শিকড়ের অতিরিক্ত নির্বাচনের প্রয়োজন হয় না। তবুও, আমি পরের প্রবন্ধে এই ধরনের সমীকরণ বিশ্লেষণ করব, এবং প্রথম তিন ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য এটিকে উৎসর্গ করব।

ফ্যাক্টরিং থেকে কমানো সমীকরণ

এই ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য আপনাকে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিসটি মনে রাখতে হবে

অনুশীলন দেখায়, একটি নিয়ম হিসাবে, এই জ্ঞান যথেষ্ট। আসুন কিছু উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ 1. একটি সমীকরণ যা হ্রাসের সূত্র এবং দ্বিকোণের সাইন ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজেশনে হ্রাস পায়

• রি-শি-তে সমীকরণ
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড় খুঁজে বের করুন

এখানে, যেমন আমি প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলাম, কাস্টিং সূত্রগুলি কাজ করে:

তারপর আমার সমীকরণ এই মত দেখাবে:

তারপর আমার সমীকরণ নিম্নলিখিত ফর্ম নিতে হবে:

একজন অদূরদর্শী ছাত্র বলতে পারে: এবং এখন আমি উভয় অংশ কমিয়ে দেব, সহজতম সমীকরণ পাব এবং জীবন উপভোগ করব! এবং তিনি তিক্তভাবে ভুল হবে!

মনে রাখবেন: অজানা থাকা একটি ফাংশনের জন্য ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের উভয় অংশকে কখনই হ্রাস করবেন না! এই ভাবে, আপনি মূল হারান!

তো এখন কি করা? হ্যাঁ, সবকিছুই সহজ, সবকিছুকে এক দিকে স্থানান্তর করুন এবং সাধারণ ফ্যাক্টর বের করুন:

ওয়েল, আমরা এটা বের করেছি, হুররে! এখন আমরা সিদ্ধান্ত নিই:

প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:

এবং দ্বিতীয়:

এটি সমস্যার প্রথম অংশটি সম্পূর্ণ করে। এখন আমাদের শিকড় নির্বাচন করতে হবে:

ফাঁক এই মত:

অথবা এটি এভাবেও লেখা যেতে পারে:

আচ্ছা, আসুন শিকড় নেওয়া যাক:

প্রথমে, আসুন প্রথম সিরিজের সাথে কাজ করি (এবং এটি আরও সহজ, অন্তত বলতে গেলে!)

যেহেতু আমাদের ব্যবধান সম্পূর্ণরূপে নেতিবাচক, অ-নেতিবাচকগুলি নেওয়ার দরকার নেই, তারা এখনও অ-নেতিবাচক শিকড় দেবে।

চলুন, তাহলে - একটু বেশি, এটা মানায় না।

যাক, তারপর- আবার মারলো না।

আরও একটি চেষ্টা - তারপর - সেখানে, আঘাত! প্রথম মূল পাওয়া গেছে!

আমি আবার গুলি: তারপর - আবার আঘাত!

ঠিক আছে, আরও একবার: - এটি ইতিমধ্যে একটি ফ্লাইট।

সুতরাং প্রথম সিরিজ থেকে, 2টি মূল ব্যবধানের অন্তর্গত: .

আমরা দ্বিতীয় সিরিজ নিয়ে কাজ করছি (আমরা নির্মাণ করছি নিয়ম অনুযায়ী ক্ষমতার কাছে):

আন্ডারশুট !

আবার নিখোঁজ!

আবারও ঘাটতি!

বুঝেছি!

ফ্লাইট !

এইভাবে, নিম্নলিখিত শিকড়গুলি আমার স্প্যানের অন্তর্গত:

আমরা অন্যান্য সমস্ত উদাহরণ সমাধান করতে এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করব। আসুন একসাথে আরও একটি উদাহরণ অনুশীলন করি।

উদাহরণ 2. একটি সমীকরণ যা হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে ফ্যাক্টরাইজেশনে হ্রাস করে

• সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান:

আবার কুখ্যাত কাস্ট সূত্র:

আবার, কাটার চেষ্টা করবেন না!

প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:

এবং দ্বিতীয়:

এখন আবার শেকড়ের সন্ধান।

আমি দ্বিতীয় সিরিজ দিয়ে শুরু করব, আমি ইতিমধ্যে আগের উদাহরণ থেকে এটি সম্পর্কে সবকিছু জানি! দেখুন এবং নিশ্চিত করুন যে ফাঁকের শিকড়গুলি নিম্নরূপ:

এখন প্রথম সিরিজ এবং এটি সহজ:

যদি - উপযুক্ত

যদি - এছাড়াও ভাল

যদি - ইতিমধ্যে ফ্লাইট।

তারপর শিকড় হবে:

স্বাধীন কাজ. 3টি সমীকরণ।

আচ্ছা, আপনি কি কৌশল বুঝতে পারেন? ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান এখন আর এত কঠিন মনে হয় না? তারপরে দ্রুত নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি নিজেই সমাধান করুন এবং তারপরে আপনি এবং আমি অন্যান্য উদাহরণগুলি সমাধান করব:

1. সমীকরণটি সমাধান করুন
   এই সমীকরণের সমস্ত শিকড়গুলি সন্ধান করুন যা ফাঁকের সাথে সংযুক্ত।
2. রি-শি-তে সমীকরণ
   সমীকরণের শিকড়গুলি নির্দেশ করুন, যা কাটার সাথে সংযুক্ত
3. রি-শি-তে সমীকরণ
   এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজুন, এট-উপরে-লে-ঝা-শচি প্রো-ইন্টার-ঝুত-কু।

সমীকরণ 1

এবং আবার ঢালাই সূত্র:

শিকড়ের প্রথম সিরিজ:

শিকড়ের দ্বিতীয় সিরিজ:

আমরা ব্যবধানের জন্য নির্বাচন শুরু করি

উত্তর: , .

সমীকরণ 2 স্বাধীন কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে।

ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে বেশ জটিল গ্রুপিং (আমি একটি ডবল কোণের সাইনের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করব):

তারপর বা

এটি একটি সাধারণ সমাধান। এখন আমাদের শিকড় নিতে হবে। সমস্যা হল আমরা একটি কোণের সঠিক মান বলতে পারি না যার কোসাইন এক চতুর্থাংশের সমান। অতএব, আমি শুধু আরকোসাইন থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি না - যেমন একটি উপদ্রব!

আমি কি করতে পারি তা হল, তারপর থেকে।

একটি টেবিল তৈরি করা যাক: interval:

ঠিক আছে, বেদনাদায়ক অনুসন্ধানের মাধ্যমে, আমরা হতাশাজনক উপসংহারে এসেছি যে আমাদের সমীকরণটি নির্দেশিত ব্যবধানে একটি মূল রয়েছে: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

সমীকরণ 3. স্বাধীন কাজের যাচাইকরণ।

একটি ভীতিকর সমীকরণ। যাইহোক, এটি একটি দ্বৈত কোণের সাইনের সূত্র প্রয়োগ করে বেশ সহজভাবে সমাধান করা হয়:

আসুন এটিকে 2 দ্বারা কাটা যাক:

আমরা প্রথম পদটিকে দ্বিতীয়টি এবং তৃতীয়টি চতুর্থটির সাথে গোষ্ঠীবদ্ধ করি এবং সাধারণ কারণগুলি বের করি:

এটা স্পষ্ট যে প্রথম সমীকরণের কোন শিকড় নেই, এবং এখন দ্বিতীয়টি বিবেচনা করুন:

সাধারণভাবে, আমি একটু পরে এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার বিষয়ে চিন্তা করতে যাচ্ছিলাম, কিন্তু যেহেতু এটি পরিণত হয়েছে, কিছুই করার ছিল না, আমাদের সিদ্ধান্ত নিতে হয়েছিল ...

ফর্মের সমীকরণ:

এই সমীকরণটি উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করে সমাধান করা হয়:

সুতরাং, আমাদের সমীকরণের শিকড়গুলির একটি একক সিরিজ রয়েছে:

আপনাকে তাদের খুঁজে বের করতে হবে যারা ব্যবধানের অন্তর্গত: .

আসুন আবার টেবিলটি তৈরি করি, যেমন আমি আগে করেছি:

উত্তর: .

যে সমীকরণগুলি ফর্মে হ্রাস পায়:

ঠিক আছে, এখন সমীকরণের দ্বিতীয় অংশে যাওয়ার সময় এসেছে, বিশেষ করে যেহেতু আমি ইতিমধ্যেই পরিষ্কার করে দিয়েছি যে নতুন ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান কী নিয়ে গঠিত। কিন্তু ফর্মের সমীকরণের পুনরাবৃত্তি করা অতিরিক্ত হবে না

কোসাইন দ্বারা উভয় অংশকে ভাগ করে এটি সমাধান করা হয়:

1. রি-শি-তে সমীকরণ
   কাট-অফের সাথে সংযুক্ত সমীকরণের শিকড়গুলি নির্দেশ করুন।
2. রি-শি-তে সমীকরণ
   সমীকরণের মূল নির্দেশ করুন, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku।

উদাহরণ 1

প্রথমটি বেশ সহজ। ডানদিকে যান এবং ডবল অ্যাঙ্গেল কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করুন:

আহা! টাইপ সমীকরণ: . আমি উভয় অংশ বিভক্ত

আমরা রুট নির্মূল করি:

ফাঁক:

উত্তর:

উদাহরণ 2

সবকিছুই বেশ তুচ্ছ: আসুন ডানদিকে বন্ধনী খুলি:

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়:

দ্বৈত কোণের সাইন:

অবশেষে আমরা পাই:

শিকড়ের স্ক্রীনিং: ফাঁক।

উত্তর: .

আচ্ছা, আপনি কীভাবে কৌশলটি পছন্দ করেন, এটি কি খুব জটিল নয়? আমি আশা করি না. আমরা অবিলম্বে একটি সংরক্ষণ করতে পারি: এর বিশুদ্ধ আকারে, যে সমীকরণগুলি অবিলম্বে স্পর্শকের জন্য একটি সমীকরণে হ্রাস পায় তা বেশ বিরল। একটি নিয়ম হিসাবে, এই রূপান্তর (কোসাইন দ্বারা বিভাজন) একটি আরও জটিল সমস্যার অংশ মাত্র। অনুশীলন করার জন্য এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে:

• রি-শি-তে সমীকরণ
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজে বের করুন, উপরে-লে-ঝা-স্কি থেকে কাটা।

আসুন পরীক্ষা করা যাক:

সমীকরণটি অবিলম্বে সমাধান করা হয়েছে, উভয় অংশকে এই দ্বারা ভাগ করা যথেষ্ট:

রুট সিফটিং:

উত্তর: .

একভাবে বা অন্যভাবে, আমরা যে ধরণের সমীকরণের মুখোমুখি হয়েছি তা আমরা এইমাত্র আলোচনা করেছি। যাইহোক, এটি গুটিয়ে নেওয়া আমাদের পক্ষে এখনও খুব তাড়াতাড়ি: সমীকরণের আরও একটি "স্তর" রয়েছে যা আমরা বিশ্লেষণ করিনি। তাই:

চলকের পরিবর্তনের মাধ্যমে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান

এখানে সবকিছু স্বচ্ছ: আমরা সমীকরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, আমরা এটিকে যতটা সম্ভব সহজ করি, আমরা একটি প্রতিস্থাপন করি, আমরা সমাধান করি, আমরা একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন করি! কথায় বলে, সবকিছু খুব সহজ। আসুন এটি কর্মে দেখি:

উদাহরণ।

• সমীকরণটি সমাধান করুন:।
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজে বের করুন, উপরে-লে-ঝা-স্কি থেকে কাটা।

ওয়েল, এখানে প্রতিস্থাপন নিজেই আমাদের হাতে নিজেকে প্রস্তাব!

তাহলে আমাদের সমীকরণটি হয়ে যায়:

প্রথম সমীকরণের মূল রয়েছে:

এবং দ্বিতীয়টি এইরকম:

এখন ইন্টারভ্যালের অন্তর্গত শিকড়গুলি খুঁজে বের করা যাক

উত্তর: .

আসুন একসাথে একটু জটিল উদাহরণ দেখি:

• রি-শি-তে সমীকরণ
• প্রদত্ত সমীকরণের মূল নির্দেশ করুন, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku।

এখানে প্রতিস্থাপন অবিলম্বে দৃশ্যমান নয়, তদ্ব্যতীত, এটি খুব স্পষ্ট নয়। আসুন প্রথমে চিন্তা করি: আমরা কি করতে পারি?

উদাহরণস্বরূপ, আমরা কল্পনা করতে পারি

এবং একই সময়ে

তারপর আমার সমীকরণ হয়ে যায়:

এবং এখন মনোযোগ, ফোকাস:

সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করা যাক:

হঠাৎ, আপনি এবং আমি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছিলাম! আসুন একটি প্রতিস্থাপন করি, তারপর আমরা পাই:

সমীকরণের নিম্নলিখিত শিকড় রয়েছে:

শিকড়ের একটি অপ্রীতিকর দ্বিতীয় সিরিজ, কিন্তু কিছু করার নেই! আমরা ব্যবধানে শিকড়গুলির একটি নির্বাচন করি।

সেটাও আমাদের বিবেচনায় নিতে হবে

তারপর থেকে

উত্তর:

একত্রীকরণ করতে, আপনি নিজেই সমস্যাগুলি সমাধান করার আগে, এখানে আপনার জন্য আরেকটি অনুশীলন রয়েছে:

• রি-শি-তে সমীকরণ
• এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজুন, এট-উপরে-লে-ঝা-শচি প্রো-ইন্টার-ঝুত-কু।

এখানে আপনাকে আপনার চোখ খোলা রাখতে হবে: আমাদের কাছে হর রয়েছে যা শূন্য হতে পারে! অতএব, আপনাকে শিকড়ের প্রতি বিশেষভাবে মনোযোগী হতে হবে!

প্রথমত, আমাকে সমীকরণটি পরিবর্তন করতে হবে যাতে আমি একটি উপযুক্ত প্রতিস্থাপন করতে পারি। সাইন এবং কোসাইনের পরিপ্রেক্ষিতে স্পর্শকটি পুনরায় লেখার চেয়ে আমি এখনই ভাল কিছু ভাবতে পারি না:

এখন আমি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় অনুসারে কোসাইন থেকে সাইনে যাব:

এবং পরিশেষে, আমি একটি সাধারণ হরকে সবকিছু নিয়ে আসব:

এখন আমি সমীকরণে যেতে পারি:

কিন্তু এ (অর্থাৎ এ)।

এখন সবকিছু প্রতিস্থাপনের জন্য প্রস্তুত:

তারপর হয়

যাইহোক, মনে রাখবেন যে, তারপর একই সময়ে!

কে এই ভোগে? সমস্যাটি স্পর্শক নিয়ে, এটি সংজ্ঞায়িত করা হয় না যখন কোসাইন শূন্য হয় (শূন্য দ্বারা বিভাজন ঘটে)।

সুতরাং সমীকরণের মূলগুলি হল:

এখন আমরা ব্যবধানে শিকড়গুলি স্ক্রীন করি:

	- মানানসই
	- অনুসন্ধান

সুতরাং, আমাদের সমীকরণের ব্যবধানে একটি একক মূল রয়েছে এবং এটি সমান।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন: হরটির চেহারা (পাশাপাশি স্পর্শক, শিকড়ের সাথে কিছু অসুবিধার দিকে নিয়ে যায়! আপনাকে এখানে আরও সতর্ক হতে হবে!)।

ঠিক আছে, আপনি এবং আমি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিশ্লেষণ প্রায় শেষ করে ফেলেছি, খুব কম বাকি আছে - দুটি সমস্যা নিজেরাই সমাধান করতে। এখানে তারা.

1. সমীকরণটি সমাধান করুন
   এই সমীকরণের সেই সমস্ত শিকড়গুলি খুঁজে বের করুন, উপরে-লে-ঝা-স্কি থেকে কাটা।
2. রি-শি-তে সমীকরণ
   এই সমীকরণের শিকড়গুলি নির্দেশ করুন, যা কাটার সাথে সংযুক্ত।

সিদ্ধান্ত নিয়েছে? খুব কঠিন না? আসুন পরীক্ষা করা যাক:

1. আমরা হ্রাস সূত্র অনুযায়ী কাজ করি:

   আমরা সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

   আসুন কোসাইনগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সবকিছু পুনরায় লিখি, যাতে প্রতিস্থাপন করা আরও সুবিধাজনক হয়:

   এখন প্রতিস্থাপন করা সহজ:

   এটা স্পষ্ট যে এটি একটি বহিরাগত মূল, যেহেতু সমীকরণটির কোন সমাধান নেই। তারপর:

   আমরা ব্যবধানে আমাদের প্রয়োজন শিকড় খুঁজছি

   উত্তর: .

2. 
   এখানে প্রতিস্থাপন অবিলম্বে দৃশ্যমান:

   তারপর হয়

   	- মানানসই!	- মানানসই!
   	- মানানসই!	- মানানসই!
   	- অনেক!	- এছাড়াও অনেক!

   উত্তর:

আচ্ছা, এখন সবকিছু! কিন্তু ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান সেখানেই শেষ হয় না, আমরা সবচেয়ে কঠিন কেসগুলোকে পেছনে ফেলে এসেছি: যখন সমীকরণে অযৌক্তিকতা বা বিভিন্ন ধরনের "জটিল হর" থাকে। এই ধরনের কাজগুলি কীভাবে সমাধান করা যায়, আমরা একটি উন্নত স্তরের জন্য একটি নিবন্ধে বিবেচনা করব।

উন্নত স্তর

পূর্ববর্তী দুটি নিবন্ধে বিবেচনা করা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি ছাড়াও, আমরা আরও একটি শ্রেণী সমীকরণ বিবেচনা করি যার জন্য আরও যত্নশীল বিশ্লেষণের প্রয়োজন। এই ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলিতে একটি অযৌক্তিকতা বা একটি হর রয়েছে, যা তাদের বিশ্লেষণকে আরও কঠিন করে তোলে।. যাইহোক, আপনি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রের অংশ সি তে এই সমীকরণগুলির মুখোমুখি হতে পারেন। যাইহোক, একটি রূপালী আস্তরণ রয়েছে: এই জাতীয় সমীকরণগুলির জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, এর কোন শিকড়গুলি একটি প্রদত্ত ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত তা নিয়ে প্রশ্ন আর উত্থাপিত হয় না। আসুন ঝোপের চারপাশে বীট না, কিন্তু শুধু ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ.

উদাহরণ 1

সমীকরণটি সমাধান করুন এবং সেগমেন্টের অন্তর্গত সেই মূলগুলি খুঁজুন।

সমাধান:

আমাদের একটি হর আছে যা শূন্যের সমান হওয়া উচিত নয়! তারপর এই সমীকরণটি সমাধান করা সিস্টেমটি সমাধান করার মতোই

আসুন প্রতিটি সমীকরণ সমাধান করি:

এবং এখন দ্বিতীয়:

এবার সিরিজটি দেখে নেওয়া যাক:

এটা স্পষ্ট যে বিকল্পটি আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়, যেহেতু এই ক্ষেত্রে হরটি শূন্যে সেট করা হয়েছে (দ্বিতীয় সমীকরণের শিকড়ের সূত্রটি দেখুন)

যদি - তাহলে সবকিছু ঠিক আছে, এবং হর শূন্যের সমান নয়! তারপর সমীকরণের মূলগুলি হল: , .

এখন আমরা ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত শিকড় নির্বাচন করি।

	- উপযুক্ত নয়	- মানানসই
	- মানানসই	- মানানসই
	গণনা	গণনা

তারপর শিকড় হল:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এমনকি একটি হর আকারে একটি ছোট হস্তক্ষেপের উপস্থিতিও সমীকরণের সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করেছে: আমরা শিকড়ের একটি সিরিজ বাতিল করে দিয়েছি যা হরকে বাতিল করে দেয়। আপনি যদি অযৌক্তিক ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলি দেখতে পান তবে জিনিসগুলি আরও জটিল হতে পারে।

উদাহরণ 2

সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান:

ঠিক আছে, অন্তত আপনাকে শিকড় নির্বাচন করতে হবে না, এবং এটি ভাল! অযৌক্তিকতা নির্বিশেষে প্রথমে সমীকরণটি সমাধান করা যাক:

এবং কি, যে সব? না, হায়, এটা খুব সহজ হবে! এটা মনে রাখতে হবে যে শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক সংখ্যাই মূলের নীচে দাঁড়াতে পারে। তারপর:

এই অসমতার সমাধান:

এখন এটি খুঁজে বের করা বাকি আছে যে প্রথম সমীকরণের শিকড়ের একটি অংশ অসাবধানতাবশত এমন জায়গায় পড়েনি যেখানে অসমতা ধরে না।

এটি করার জন্য, আপনি আবার টেবিলটি ব্যবহার করতে পারেন:

	:, কিন্তু	না!
		হ্যাঁ!
		হ্যাঁ!

এইভাবে, একটি শিকড় আমার জন্য "পড়ে গেছে"! লাগালেই দেখা যাচ্ছে। তারপর উত্তরটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

উত্তর:

আপনি দেখুন, মূলের আরও ঘনিষ্ঠ মনোযোগ প্রয়োজন! চলুন জটিল করা যাক: এখন আমার রুটের নিচে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন আছে।

উদাহরণ 3

আগের মতো: প্রথমে আমরা প্রতিটি আলাদাভাবে সমাধান করব এবং তারপরে আমরা কী করেছি তা নিয়ে ভাবব।

এখন দ্বিতীয় সমীকরণ:

এখন সবচেয়ে কঠিন বিষয় হল পাটিগণিত মূলের অধীনে নেতিবাচক মানগুলি পাওয়া যায় কিনা তা খুঁজে বের করা যদি আমরা সেখানে প্রথম সমীকরণ থেকে মূলগুলি প্রতিস্থাপন করি:

সংখ্যাটি অবশ্যই রেডিয়ান হিসাবে বোঝা উচিত। যেহেতু একটি রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী, রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী। এটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারের কোণ। দ্বিতীয় ত্রৈমাসিকের কোসাইনের চিহ্ন কী? মাইনাস। সাইন সম্পর্কে কি? প্লাস। তাই অভিব্যক্তি সম্পর্কে কি:

এটা শূন্যেরও কম!

তাই - সমীকরণের মূল নয়।

এবার পালা।

আসুন এই সংখ্যাটি শূন্যের সাথে তুলনা করি।

Cotangent হল একটি ফাংশন যা 1 কোয়ার্টারে কমছে (তর্ক যত ছোট হবে, কোট্যাঞ্জেন্ট তত বেশি)। রেডিয়ান প্রায় ডিগ্রী। একই সময়

যেহেতু, তারপর, এবং তাই
,

উত্তর: .

এটা আরও কঠিন হতে পারে? অনুগ্রহ! এটি আরও কঠিন হবে যদি মূলটি এখনও একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হয় এবং সমীকরণের দ্বিতীয় অংশটি আবার একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হয়।

আরও ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ তত ভাল, আরও দেখুন:

উদাহরণ 4

সীমিত কোসাইনের কারণে মূলটি উপযুক্ত নয়

এখন দ্বিতীয়টি:

একই সময়ে, মূলের সংজ্ঞা দ্বারা:

আমাদের অবশ্যই একক বৃত্তটি মনে রাখতে হবে: যথা, সাইনটি শূন্যের চেয়ে কম। এই কোয়ার্টার কি? তৃতীয় এবং চতুর্থ। তারপরে আমরা তৃতীয় বা চতুর্থ চতুর্ভুজে থাকা প্রথম সমীকরণের সেই সমাধানগুলিতে আগ্রহী হব।

প্রথম সিরিজ তৃতীয় এবং চতুর্থ ত্রৈমাসিকের সংযোগস্থলে শেকড় দেয়। দ্বিতীয় সিরিজটি এটির বিরোধী এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় চতুর্থাংশের সীমানায় থাকা শিকড়ের জন্ম দেয়। অতএব, এই সিরিজটি আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়।

উত্তর: ,

এবং আবার "কঠিন অযৌক্তিকতা" সহ ত্রিকোণমিতিক উদাহরণ. আমাদের আবার মূলের নীচে একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নেই, তবে এখন এটি হরেও রয়েছে!

উদাহরণ 5

ঠিক আছে, কিছু করার নেই - আমরা আগের মতো কাজ করি।

এখন আমরা হর নিয়ে কাজ করি:

আমি ত্রিকোণমিতিক অসমতার সমাধান করতে চাই না, এবং সেইজন্য আমি এটি কঠিন করব: আমি আমার সিরিজের শিকড়গুলিকে অসমতার মধ্যে নেব এবং প্রতিস্থাপন করব:

যদি সমান হয়, তাহলে আমাদের আছে:

যেহেতু, তাহলে দৃশ্যের সমস্ত কোণ চতুর্থ ত্রৈমাসিকে অবস্থিত। এবং আবার পবিত্র প্রশ্ন: চতুর্থ চতুর্থাংশে সাইনের চিহ্ন কী? নেতিবাচক. তারপর বৈষম্য

যদি বিজোড় হয়, তাহলে:

কোণটি কোন ত্রৈমাসিক? এটি দ্বিতীয় কোয়ার্টারের কোণ। তারপর সব কোণ আবার দ্বিতীয় চতুর্থাংশের কোণ। সাইনটি ইতিবাচক। শুধু আপনার কি প্রয়োজন! তাই সিরিজটি হল:

ফিট!

আমরা একইভাবে শিকড়ের দ্বিতীয় সিরিজের সাথে মোকাবিলা করি:

আমাদের অসমতার প্রতিস্থাপন করুন:

যদি সমান হয়, তাহলে

প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণগুলি। সাইন সেখানে ইতিবাচক, তাই সিরিজটি উপযুক্ত। এখন যদি বিজোড় হয়, তাহলে:

খুব ফিট!

আচ্ছা, এখন আমরা উত্তর লিখি!

উত্তর:

ঠিক আছে, এটি সম্ভবত সবচেয়ে শ্রমসাধ্য কেস ছিল। এখন আমি আপনাকে স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজগুলি অফার করি।

প্রশিক্ষণ

1. সেগমেন্টের অন্তর্গত সমীকরণের সমস্ত মূল সমাধান করুন এবং খুঁজুন।

সমাধান:

1. 
   প্রথম সমীকরণ:
   বা
   রুট ODZ:

   দ্বিতীয় সমীকরণ:

   ব্যবধানের অন্তর্গত শিকড় নির্বাচন

   উত্তর:

বা
বা
কিন্তু

বিবেচনা: . যদি সমান হয়, তাহলে
- ঠিক মেলে না!
যদি - বিজোড়, : - ফিট!
সুতরাং আমাদের সমীকরণের শিকড়গুলির নিম্নলিখিত সিরিজ রয়েছে:
বা
ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন:

	- উপযুক্ত নয়	- মানানসই
	- মানানসই	- অনেক
	- মানানসই	অনেক

উত্তর: , .

বা
যেহেতু, তারপর যখন স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয় না। অবিলম্বে শিকড় এই সিরিজ বাতিল!

দ্বিতীয় অংশ:

একই সময়ে, ODZ এর প্রয়োজন

আমরা প্রথম সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি পরীক্ষা করি:

যদি চিহ্ন:

প্রথম ত্রৈমাসিকের কোণ, যেখানে স্পর্শক ধনাত্মক। উপযুক্ত নয়!
যদি চিহ্ন:

চতুর্থ কোয়ার্টার কর্নার। সেখানে স্পর্শক নেতিবাচক। মানানসই। উত্তরটি লিখুন:

উত্তর: , .

আমরা এই নিবন্ধে জটিল ত্রিকোণমিতিক উদাহরণগুলিকে একসাথে ভেঙে দিয়েছি, কিন্তু আপনি নিজেই সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হবেন।

সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যেখানে অজানা কঠোরভাবে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্নের অধীনে থাকে।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার দুটি উপায় রয়েছে:

প্রথম উপায় সূত্র ব্যবহার করা হয়.

দ্বিতীয় উপায় হল একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের মাধ্যমে।

আপনাকে কোণ পরিমাপ করতে, তাদের সাইন, কোসাইন এবং আরও অনেক কিছু খুঁজে বের করতে দেয়।

আপনি আপনার সমস্যার বিস্তারিত সমাধান অর্ডার করতে পারেন!!!

একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের (`sin x, cos x, tg x` বা `ctg x`) চিহ্নের অধীনে একটি অজানা সমতাকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয় এবং আমরা তাদের সূত্রগুলি আরও বিবেচনা করব।

সবচেয়ে সহজ সমীকরণ হল `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, যেখানে `x` কোণটি পাওয়া যাবে, `a` হল যেকোনো সংখ্যা। আসুন তাদের প্রতিটির মূল সূত্র লিখি।

1. সমীকরণ `sin x=a`।

`|a|>1` এর জন্য এর কোনো সমাধান নেই।

সঙ্গে `|a| \leq 1` এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. সমীকরণ `cos x=a`

`|a|>1`-এর জন্য - সাইনের ক্ষেত্রে, বাস্তব সংখ্যার মধ্যে কোনো সমাধান নেই।

সঙ্গে `|a| \leq 1` এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

গ্রাফে সাইন এবং কোসাইন এর জন্য বিশেষ কেস।

3. সমীকরণ `tg x=a`

`a` এর যেকোনো মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।

মূল সূত্র: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. সমীকরণ `ctg x=a`

এটিতে `a` এর যেকোনো মানের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

মূল সূত্র: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

সারণীতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের মূলের সূত্র

সাইনাসের জন্য:
কোসাইনের জন্য:
স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য:
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমন্বিত সমীকরণ সমাধানের সূত্র:

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

যেকোনো ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান দুটি পর্যায় নিয়ে গঠিত:

• এটিকে সহজে রূপান্তর করতে ব্যবহার করে;
• শিকড় এবং সারণিগুলির জন্য উপরের সূত্রগুলি ব্যবহার করে ফলস্বরূপ সরল সমীকরণটি সমাধান করুন।

আসুন উদাহরণ ব্যবহার করে সমাধানের প্রধান পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করি।

বীজগণিত পদ্ধতি।

এই পদ্ধতিতে, একটি ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপন এবং তার প্রতিস্থাপিত সমতা সম্পন্ন করা হয়।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

একটি প্রতিস্থাপন করুন: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, তারপর `2y^2-3y+1=0`,

আমরা শিকড় খুঁজে পাই: `y_1=1, y_2=1/2`, যেখান থেকে দুটি কেস অনুসরণ করে:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`।

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`।

উত্তর: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

ফ্যাক্টরাইজেশন।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `sin x+cos x=1`।

সমাধান। বাম দিকে সরান সমতার সব শর্ত: `sin x+cos x-1=0`। ব্যবহার করে, আমরা বাম দিকে রূপান্তর এবং ফ্যাক্টরাইজ করি:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

উত্তর: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`।

একটি সমজাতীয় সমীকরণে হ্রাস

প্রথমে, আপনাকে এই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটিকে দুটি ফর্মের একটিতে আনতে হবে:

`a sin x+b cos x=0` (প্রথম ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ) অথবা `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ)।

তারপর উভয় অংশকে প্রথম ক্ষেত্রে `cos x \ne 0` দ্বারা এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে `cos^2 x \ne 0` দ্বারা বিভক্ত করুন। আমরা `tg x` এর জন্য সমীকরণ পাই: `a tg x+b=0` এবং `a tg^2 x + b tg x +c =0`, যেগুলো অবশ্যই পরিচিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`।

সমাধান। আসুন ডান দিকে লিখি `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`।

এটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমজাতীয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, এর বাম এবং ডান দিকগুলিকে `cos^2 x \ne 0` দ্বারা ভাগ করে, আমরা পাই:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`। চলুন প্রতিস্থাপন করা যাক `tg x=t`, ফলস্বরূপ `t^2 + t - 2=0`। এই সমীকরণের মূল হল `t_1=-2` এবং `t_2=1`। তারপর:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

উত্তর. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`।

হাফ কর্নারে যান

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

সমাধান। দ্বৈত কোণ সূত্র প্রয়োগ করলে ফলাফল হল: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

উপরে বর্ণিত বীজগণিত পদ্ধতি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

উত্তর. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

একটি অক্জিলিয়ারী কোণ ভূমিকা

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে `a sin x + b cos x =c`, যেখানে a,b,c সহগ এবং x একটি চলক, আমরা উভয় অংশকে `sqrt (a^2+b^2)` দ্বারা ভাগ করি:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`।

বাম দিকের সহগগুলির সাইন এবং কোসাইনের বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যথা, তাদের বর্গক্ষেত্রের যোগফল 1 এর সমান এবং তাদের মডুলাস 1 এর বেশি নয়৷ তাদের নিম্নরূপ নির্দেশ করুন: `\frac a(sqrt (a^2+) b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, তারপর:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`।

আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন:

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন: `3 sin x+4 cos x=2`।

সমাধান। সমীকরণের উভয় দিককে `sqrt (3^2+4^2)` ​​দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`।

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` নির্দেশ করুন। যেহেতু `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, আমরা একটি সহায়ক কোণ হিসেবে `\varphi=arcsin 4/5` নিই। তারপর আমরা ফর্মে আমাদের সমতা লিখি:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

সাইনের জন্য কোণের যোগফলের সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা আমাদের সমতা নিম্নলিখিত আকারে লিখি:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n আর্কসিন 2/5-` `আর্কসিন 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

উত্তর. `x=(-1)^n আর্কসিন 2/5-` `আর্কসিন 4/5+ \pi n`, `n \in Z`।

ভগ্নাংশ-মূলদ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

এগুলি ভগ্নাংশের সাথে সমতা, লব এবং হরগুলির মধ্যে যার মধ্যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`।

সমাধান। সমীকরণের ডান দিকটিকে `(1+cos x)` দ্বারা গুণ ও ভাগ করুন। ফলস্বরূপ, আমরা পাই:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

প্রদত্ত যে হর শূন্য হতে পারে না, আমরা পাই `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`।

ভগ্নাংশের লবকে শূন্যে সমান করুন: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`। তারপর `sin x=0` বা `1-sin x=0`।

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

প্রদত্ত ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, সমাধানগুলি হল `x=2\pi n, n \in Z` এবং `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

উত্তর. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

ত্রিকোণমিতি, এবং বিশেষ করে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি জ্যামিতি, পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশলের প্রায় সব ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়। অধ্যয়নটি 10 ​​তম গ্রেডে শুরু হয়, পরীক্ষার জন্য সবসময় কাজ থাকে, তাই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমস্ত সূত্র মনে রাখার চেষ্টা করুন - সেগুলি অবশ্যই আপনার কাজে আসবে!

যাইহোক, আপনার এগুলি মুখস্থ করারও দরকার নেই, মূল জিনিসটি সারাংশ বোঝা এবং অনুমান করতে সক্ষম হওয়া। এটা যতটা কঠিন মনে হয় ততটা কঠিন নয়। ভিডিওটি দেখে নিজেই দেখুন।

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল সমীকরণ

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

সমীকরণ cos(x) = a

ব্যাখ্যা এবং যুক্তি

1. সমীকরণের মূল cosx = a. কখন | একটি | > 1 সমীকরণের কোন মূল নেই কারণ | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 বা ক< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

যাক | একটি |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. ব্যবধানে, ফাংশন y = cos x 1 থেকে কমে -1 হয়। কিন্তু একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন তার প্রতিটি মানকে শুধুমাত্র তার সংজ্ঞার ডোমেনের একটি বিন্দুতে নেয়, তাই এই ব্যবধানে cos x \u003d a সমীকরণের একটি মাত্র মূল রয়েছে, যা আর্ক কোসাইনের সংজ্ঞা অনুসারে: x 1 \u003d arccos a (এবং এই রুটের জন্য cos x \u003d A)।

কোসাইন একটি জোড় ফাংশন, তাই ব্যবধানে [-n; 0] সমীকরণ cos x = এবং এর একটি মাত্র মূল আছে - x 1 এর বিপরীত সংখ্যা, অর্থাৎ

x 2 = -আরকোস ক.

এইভাবে, ব্যবধানে [-n; n] (দৈর্ঘ্য 2n) সমীকরণ cos x = a for | একটি |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

ফাংশন y = cos x 2n এর সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক, তাই অন্যান্য সমস্ত মূল 2np (n € Z) দ্বারা প্রাপ্ত থেকে পৃথক। আমরা cos x = a when সমীকরণের মূলের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই

x = ± arccos a + 2n, n £ Z।

1. cosx = a সমীকরণটি সমাধানের বিশেষ ক্ষেত্রে।

cos x = a when সমীকরণের মূলের জন্য বিশেষ স্বরলিপি মনে রাখা দরকারী

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, যা একটি গাইড হিসাবে ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে সহজেই প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

যেহেতু কোসাইন একক বৃত্তের সংশ্লিষ্ট বিন্দুর অবসিসার সমান, তাই আমরা সেই cos x = 0 পাব যদি এবং শুধুমাত্র যদি ইউনিট বৃত্তের সংশ্লিষ্ট বিন্দুটি A বা বিন্দু B হয়।

একইভাবে, cos x = 1 যদি এবং শুধুমাত্র যদি ইউনিট বৃত্তের সংশ্লিষ্ট বিন্দু C বিন্দু হয়, তাই,

x = 2πp, k € Z।

এছাড়াও cos x \u003d -1 যদি এবং শুধুমাত্র যদি ইউনিট বৃত্তের সংশ্লিষ্ট বিন্দু D বিন্দু হয়, এইভাবে x \u003d n + 2n,

সমীকরণ sin(x) = a

ব্যাখ্যা এবং যুক্তি

1. sinx সমীকরণের মূল = a. কখন | একটি | > 1 সমীকরণের কোন মূল নেই কারণ | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 বা ক< -1 не пересекает график функции y = sinx).

এই পাঠে, আমরা দেখব মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফ, এবং এছাড়াও তালিকা প্রধান ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং সিস্টেম. উপরন্তু, আমরা ইঙ্গিত সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান এবং তাদের বিশেষ ক্ষেত্রে.

এই পাঠটি আপনাকে যেকোনো একটি অ্যাসাইনমেন্টের জন্য প্রস্তুত করতে সাহায্য করবে। B5 এবং C1.

গণিতে পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি

পরীক্ষা

পাঠ 10 ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেম।

তত্ত্ব

পাঠের সারাংশ

আমরা ইতিমধ্যে "ত্রিকোণমিতিক ফাংশন" শব্দটি বারবার ব্যবহার করেছি। এই বিষয়ের প্রথম পাঠে, আমরা তাদের সংজ্ঞায়িত করেছি সঠিক ত্রিভুজএবং একক ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নির্দিষ্ট করার এই ধরনের পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা ইতিমধ্যেই উপসংহারে আসতে পারি যে তাদের জন্য আর্গুমেন্টের একটি মান (বা কোণ) ফাংশনের ঠিক একটি মানের সাথে মিলে যায়, যেমন সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্টকে ঠিক ফাংশন বলার অধিকার আমাদের আছে।

এই পাঠে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মান গণনার জন্য পূর্বে আলোচিত পদ্ধতিগুলি থেকে বিমূর্ত করার চেষ্টা করার সময় এসেছে। আজ আমরা ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার জন্য সাধারণ বীজগাণিতিক পদ্ধতির দিকে এগিয়ে যাব, আমরা তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করব এবং গ্রাফ আঁকব।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য, বিশেষ মনোযোগ দেওয়া উচিত:

সংজ্ঞা এবং মান পরিসীমা ডোমেন, থেকে সাইন এবং কোসাইনের জন্য মানগুলির পরিসরে সীমাবদ্ধতা রয়েছে এবং স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য সংজ্ঞার পরিসরে সীমাবদ্ধতা রয়েছে;

সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রম, যেহেতু আমরা ইতিমধ্যেই ক্ষুদ্রতম নন-জিরো আর্গুমেন্টের উপস্থিতি লক্ষ্য করেছি, যেটির সংযোজন ফাংশনের মান পরিবর্তন করে না। এই ধরনের যুক্তিকে ফাংশনের সময়কাল বলা হয় এবং অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সাইন/কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট/কোট্যাঞ্জেন্টের জন্য, এই সময়কালগুলি আলাদা।

একটি ফাংশন বিবেচনা করুন:

1) সংজ্ঞা ডোমেন;

2) মান পরিসীমা ;

3) ফাংশনটি বিজোড় ;

এর ফাংশন প্লট করা যাক. এই ক্ষেত্রে, এলাকার চিত্র থেকে নির্মাণ শুরু করা সুবিধাজনক, যা উপরের থেকে গ্রাফটিকে 1 নম্বর দ্বারা এবং নীচে থেকে সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ করে, যা ফাংশনের পরিসরের সাথে সম্পর্কিত। এছাড়াও, প্লট করার জন্য, বেশ কয়েকটি প্রধান টেবিল কোণের সাইনের মানগুলি মনে রাখা দরকারী, উদাহরণস্বরূপ, এটি আপনাকে গ্রাফের প্রথম সম্পূর্ণ "তরঙ্গ" তৈরি করতে এবং তারপরে এটিকে ডানদিকে পুনরায় আঁকতে অনুমতি দেবে। এবং বাম, এই সত্যের সুবিধা নিয়ে যে ছবিটি একটি অফসেট দ্বারা একটি পিরিয়ড দ্বারা পুনরাবৃত্তি করা হবে, যেমন চালু .

এখন ফাংশনটি দেখি:

এই ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1) সংজ্ঞা ডোমেন;

2) মান পরিসীমা ;

3) ফাংশন সমান এটি y-অক্ষের সাপেক্ষে ফাংশনের গ্রাফের প্রতিসাম্য বোঝায়;

4) ফাংশনটি তার সংজ্ঞার ডোমেন জুড়ে একঘেয়ে নয়;

এর ফাংশন প্লট করা যাক. পাশাপাশি সাইন তৈরি করার সময়, ক্ষেত্রটির চিত্র দিয়ে শুরু করা সুবিধাজনক যা উপরের থেকে গ্রাফটিকে 1 নম্বর দ্বারা এবং নীচে থেকে সংখ্যা দ্বারা সীমাবদ্ধ করে, যা ফাংশনের পরিসরের সাথে সম্পর্কিত। আমরা গ্রাফে বেশ কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিও প্লট করব, যার জন্য কয়েকটি প্রধান টেবিল কোণের কোসাইন মানগুলি মনে রাখা প্রয়োজন, উদাহরণস্বরূপ, এই বিন্দুগুলি ব্যবহার করে, আমরা প্রথম সম্পূর্ণ "তরঙ্গ" তৈরি করতে পারি গ্রাফটি এবং তারপরে এটিকে ডান এবং বামে পুনরায় আঁকুন, এই সত্যটির সুবিধা নিয়ে যে ছবিটি একটি পিরিয়ড শিফটের সাথে পুনরাবৃত্তি হবে, যেমন চালু .

চলুন ফাংশনে এগিয়ে যাই:

এই ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1) সংজ্ঞার ডোমেন ছাড়া, যেখানে। আমরা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী পাঠে ইঙ্গিত করেছি যা বিদ্যমান নেই। এই বিবৃতিটি স্পর্শকের সময়কাল বিবেচনা করে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে;

2) মানের পরিসীমা, যেমন স্পর্শক মান সীমাবদ্ধ নয়;

3) ফাংশনটি বিজোড় ;

4) ফাংশনটি তার তথাকথিত স্পর্শক শাখার মধ্যে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়, যা আমরা এখন চিত্রটিতে দেখব;

5) ফাংশনটি একটি পর্যায়ক্রমিক

এর ফাংশন প্লট করা যাক. এই ক্ষেত্রে, সংজ্ঞার ডোমেনে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন পয়েন্টগুলিতে গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গের চিত্র থেকে নির্মাণ শুরু করা সুবিধাজনক, যেমন। ইত্যাদি এর পরে, আমরা অ্যাসিম্পটোট দ্বারা গঠিত প্রতিটি স্ট্রিপের ভিতরে স্পর্শকের শাখাগুলিকে চিত্রিত করি, তাদের বাম অ্যাসিম্পটোটে এবং ডানদিকে টিপে। একই সময়ে, ভুলে যাবেন না যে প্রতিটি শাখা একঘেয়ে বাড়ছে। আমরা একই ভাবে সব শাখা চিত্রিত, কারণ ফাংশনের সমান একটি সময়কাল আছে। এটি থেকে দেখা যায় যে প্রতিটি শাখা প্রতিবেশীকে x-অক্ষ বরাবর স্থানান্তরিত করে প্রাপ্ত হয়।

এবং আমরা ফাংশনটি দেখে শেষ করি:

এই ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য:

1) সংজ্ঞার ডোমেন ছাড়া, যেখানে। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানের সারণী অনুসারে, আমরা ইতিমধ্যে জানি যে এটির অস্তিত্ব নেই। কোট্যাঞ্জেন্টের সময়কাল বিবেচনা করে এই বিবৃতিটি সাধারণীকরণ করা যেতে পারে;

2) মানের পরিসীমা, যেমন কোট্যাঞ্জেন্ট মান সীমাবদ্ধ নয়;

3) ফাংশনটি বিজোড় ;

4) ফাংশনটি একঘেয়েভাবে তার শাখাগুলির মধ্যে হ্রাস পায়, যা স্পর্শক শাখাগুলির অনুরূপ;

5) ফাংশনটি একটি পর্যায়ক্রমিক

এর ফাংশন প্লট করা যাক. এই ক্ষেত্রে, স্পর্শক হিসাবে, সংজ্ঞা এলাকায় অন্তর্ভুক্ত নয় এমন পয়েন্টগুলিতে গ্রাফের উল্লম্ব উপসর্গের চিত্র থেকে নির্মাণ শুরু করা সুবিধাজনক, যেমন। ইত্যাদি এর পরে, আমরা অ্যাসিম্পটোট দ্বারা গঠিত প্রতিটি স্ট্রিপের ভিতরে কোট্যাঞ্জেন্টের শাখাগুলিকে চিত্রিত করি, তাদের বাম অ্যাসিম্পটোটে এবং ডানদিকে টিপে। এই ক্ষেত্রে, আমরা বিবেচনা করি যে প্রতিটি শাখা একঘেয়েভাবে হ্রাস পাচ্ছে। সমস্ত শাখা, স্পর্শক অনুরূপ, একই ভাবে চিত্রিত করা হয়, কারণ ফাংশনের সমান একটি সময়কাল আছে।

আলাদাভাবে, এটি লক্ষ করা উচিত যে একটি জটিল যুক্তি সহ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির একটি অ-মানক সময় থাকতে পারে। এই ফর্মের ফাংশন:

তাদের একই সময়কাল আছে। এবং ফাংশন সম্পর্কে:

তাদের একই সময়কাল আছে।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি নতুন পিরিয়ড গণনা করার জন্য, স্ট্যান্ডার্ড পিরিয়ডকে কেবল যুক্তিতে ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করা হয়। এটি ফাংশনের অন্যান্য পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে না।

ফাংশন গ্রাফ গঠন এবং রূপান্তর সম্পর্কে পাঠে এই সূত্রগুলি কোথা থেকে এসেছে তা আপনি আরও বিশদে বুঝতে এবং বুঝতে পারবেন।

আমরা "ত্রিকোণমিতি" বিষয়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অংশগুলির একটিতে এসেছি, যা আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে উত্সর্গ করব। এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার ক্ষমতা গুরুত্বপূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ, যখন পদার্থবিজ্ঞানে দোলক প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করা হয়। আসুন কল্পনা করুন যে আপনি একটি স্পোর্টস কারে একটি কার্টে কয়েকটি ল্যাপ চালিয়েছেন, একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা ট্র্যাকে গাড়ির অবস্থানের উপর নির্ভর করে আপনি ইতিমধ্যে কতক্ষণ রেসে অংশগ্রহণ করছেন তা নির্ধারণ করতে সহায়তা করবে।

চলুন সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ লিখি:

এই ধরনের সমীকরণের সমাধান হল আর্গুমেন্ট, যার সাইন সমান। কিন্তু আমরা ইতিমধ্যে জানি যে সাইনের পর্যায়ক্রমিকতার কারণে, এই জাতীয় যুক্তিগুলির একটি অসীম সংখ্যক রয়েছে। সুতরাং, এই সমীকরণের সমাধান হবে, ইত্যাদি। অন্য যেকোনো সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, তাদের একটি অসীম সংখ্যা থাকবে।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কয়েকটি মৌলিক প্রকারে বিভক্ত। পৃথকভাবে, এক সহজে বাস করা উচিত, কারণ. বাকি সব তাদের কমানো হয়. এরকম চারটি সমীকরণ রয়েছে (মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংখ্যা অনুযায়ী)। তাদের জন্য, সাধারণ সমাধানগুলি পরিচিত, সেগুলি অবশ্যই মনে রাখতে হবে।

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং তাদের সাধারণ সমাধানএই মত চেহারা:

দয়া করে মনে রাখবেন যে সাইন এবং কোসাইন মান অবশ্যই আমাদের পরিচিত সীমাবদ্ধতাগুলিকে বিবেচনায় নিতে হবে। যদি, উদাহরণস্বরূপ, , তাহলে সমীকরণটির কোন সমাধান নেই এবং এই সূত্রটি প্রয়োগ করা উচিত নয়।

উপরন্তু, এই মূল সূত্রগুলি একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা আকারে একটি প্যারামিটার ধারণ করে। ভিতরে স্কুলের পাঠ্যক্রমএটি একমাত্র ক্ষেত্রে যখন একটি প্যারামিটার ছাড়া একটি সমীকরণের সমাধানে একটি প্যারামিটার থাকে। এই নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা দেখায় যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যাগুলিকে পালাক্রমে প্রতিস্থাপন করে নির্দেশিত সমীকরণগুলির যে কোনও একটি অসীম সংখ্যক শিকড় লেখা সম্ভব।

আপনি 10ম শ্রেণীর বীজগণিত প্রোগ্রামে "ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ" অধ্যায়টি পুনরাবৃত্তি করে এই সূত্রগুলির বিশদ প্রাপ্তির সাথে পরিচিত হতে পারেন।

আলাদাভাবে, সাইন এবং কোসাইন সহ সহজ সমীকরণের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের সমাধানের দিকে মনোযোগ দেওয়া প্রয়োজন। এই সমীকরণগুলি দেখতে এইরকম:

সাধারণ সমাধান খোঁজার সূত্র তাদের উপর প্রয়োগ করা উচিত নয়। এই ধরনের সমীকরণগুলি সবচেয়ে সুবিধাজনকভাবে একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, যা সাধারণ সমাধান সূত্রের চেয়ে সহজ ফলাফল দেয়।

যেমন সমীকরণের সমাধান . এই উত্তর নিজেই পেতে চেষ্টা করুন এবং নির্দেশিত সমীকরণের বাকি সমাধান করুন।

নির্দেশিত সবচেয়ে সাধারণ ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ ছাড়াও, আরও বেশ কিছু মানক সমীকরণ রয়েছে। আমরা তাদের তালিকাভুক্ত করেছি, সেগুলি বিবেচনায় নিয়ে যা আমরা ইতিমধ্যে ইঙ্গিত করেছি:

1) প্রোটোজোয়া, উদাহরণ স্বরূপ, ;

2) সহজতম সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

3) জটিল যুক্তি সমীকরণ, উদাহরণ স্বরূপ, ;

4) একটি সাধারণ গুণনীয়ক বের করে সমীকরণগুলি তাদের সহজতম আকারে হ্রাস করা হয়েছে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

5) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে রূপান্তরিত করে সমীকরণগুলি তাদের সহজতম আকারে হ্রাস পেয়েছে, উদাহরণ স্বরূপ, ;

6) প্রতিস্থাপন দ্বারা সরল থেকে হ্রাসযোগ্য সমীকরণ, উদাহরণ স্বরূপ, ;

7) সমজাতীয় সমীকরণ, উদাহরণ স্বরূপ, ;

8) ফাংশনের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সমাধান করা সমীকরণ, উদাহরণ স্বরূপ, . এই সমীকরণ দুটি ভেরিয়েবল আছে যে দ্বারা ভয় পাবেন না, এটি একই সময়ে সমাধান করা হয়;

পাশাপাশি বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা সমীকরণ।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার পাশাপাশি, তাদের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়া প্রয়োজন।

সিস্টেমের সবচেয়ে সাধারণ ধরনের হল:

1) যার মধ্যে একটি সমীকরণ একটি ক্ষমতা আইন, উদাহরণ স্বরূপ, ;

2) সরল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সিস্টেম, উদাহরণ স্বরূপ, .

আজকের পাঠে, আমরা মৌলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের বৈশিষ্ট্য এবং গ্রাফগুলি দেখেছি। জানতেও পেরেছে সাধারণ সূত্রসহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান, এই ধরনের সমীকরণের প্রধান ধরন এবং তাদের সিস্টেমগুলি নির্দেশ করে।

পাঠের ব্যবহারিক অংশে, আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং তাদের সিস্টেমগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি বিশ্লেষণ করব।

বক্স 1।সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধান.

যেমনটি আমরা পাঠের মূল অংশে বলেছি, ফর্মের সাইন এবং কোসাইন সহ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে:

সাধারণ সমাধান সূত্রের তুলনায় সহজ সমাধান আছে।

এই জন্য, একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করা হয়। আসুন উদাহরণ হিসাবে সমীকরণ ব্যবহার করে তাদের সমাধান করার পদ্ধতি বিশ্লেষণ করি।

একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তে একটি বিন্দু আঁকুন যেখানে কোসাইন মান শূন্য, যা x-অক্ষ বরাবর স্থানাঙ্কও। আপনি দেখতে পারেন, এই ধরনের দুটি পয়েন্ট আছে। আমাদের কাজ হল বৃত্তের এই বিন্দুগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কোণটি কী তা নির্দেশ করা।

আমরা অ্যাবসিসা অক্ষের (কোসাইন অক্ষ) ইতিবাচক দিক থেকে গণনা শুরু করি এবং, কোণটি স্থগিত করার সময়, আমরা প্রদর্শিত প্রথম বিন্দুতে পৌঁছাই, যেমন একটি সমাধান এই কোণ মান হবে. কিন্তু আমরা এখনও দ্বিতীয় বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কোণ নিয়ে সন্তুষ্ট। এটা কিভাবে পেতে?