¿Qué número no es primo ni compuesto? Números primos. Números compuestos. ¿Este número es primo o compuesto?

Teorema.

Hay una cantidad infinita de números primos.

Prueba.

Supongamos que este no es el caso. Es decir, supongamos que sólo hay n números primos, y estos números primos son p 1, p 2, ..., p n. Demostremos que siempre podemos encontrar un número primo diferente a los indicados.

Considere el número p igual a p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Está claro que este número es diferente de cada uno de los números primos p 1, p 2, ..., p n. Si el número p es primo, entonces el teorema está demostrado. Si este número es compuesto, entonces, en virtud del teorema anterior, existe un divisor primo de este número (lo denotamos p n+1). Demostremos que este divisor no coincide con ninguno de los números p 1, p 2, ..., p n.

Si esto no fuera así, entonces, según las propiedades de divisibilidad, el producto p 1 ·p 2 ·…·p n se dividiría por p n+1. Pero el número p también es divisible por p n+1, igual a la suma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. De ello se deduce que p n+1 debe dividir el segundo término de esta suma, que es igual a uno, pero esto es imposible.

Así, se ha demostrado que siempre se puede encontrar un nuevo número primo que no esté incluido entre ningún número de números primos predeterminados. Por tanto, hay infinitos números primos.

Entonces, debido al hecho de que hay un número infinito de números primos, al compilar tablas de números primos, siempre te limitas desde arriba a algún número, generalmente 100, 1000, 10000, etc.

Tamiz de Eratóstenes

Ahora discutiremos formas de crear tablas de números primos. Supongamos que necesitamos hacer una tabla de números primos hasta 100.

El método más obvio para resolver este problema es comprobar secuencialmente en números enteros positivos, empezando por 2 y terminando en 100, la presencia de un divisor positivo que sea mayor que 1 y menor que el número que se está probando (por las propiedades de divisibilidad sabemos que el valor absoluto del divisor no exceda el valor absoluto del dividendo, distinto de cero). Si no se encuentra dicho divisor, entonces el número que se está probando es primo y se ingresa en la tabla de números primos. Si se encuentra dicho divisor, entonces el número que se está probando es compuesto; NO se ingresa en la tabla de números primos. Después de esto, hay una transición al siguiente número, en el que se verifica de manera similar la presencia de un divisor.

Describamos los primeros pasos.

Empezamos con el número 2. El número 2 no tiene más divisores positivos que 1 y 2. Por tanto, es sencillo, por eso lo ingresamos en la tabla de números primos. Aquí cabe decir que 2 es el número primo más pequeño. Pasemos al número 3. Su posible divisor positivo distinto de 1 y 3 es el número 2. Pero 3 no es divisible por 2, por lo tanto, 3 es un número primo y también debe incluirse en la tabla de números primos. Pasemos al número 4. Sus divisores positivos distintos de 1 y 4 pueden ser los números 2 y 3, comprobémoslos. El número 4 es divisible por 2, por lo tanto, 4 es un número compuesto y no es necesario incluirlo en la tabla de números primos. Tenga en cuenta que 4 es el número compuesto más pequeño. Pasemos al número 5. Comprobamos si al menos uno de los números 2, 3, 4 es su divisor. Como 5 no es divisible por 2, 3 o 4, entonces es primo y debe anotarse en la tabla de números primos. Luego hay una transición a los números 6, 7 y así hasta 100.

Este enfoque para compilar una tabla de números primos está lejos de ser ideal. De una forma u otra, tiene derecho a existir. Tenga en cuenta que con este método de construir una tabla de números enteros, puede utilizar criterios de divisibilidad, lo que acelerará ligeramente el proceso de encontrar divisores.

Existe una forma más cómoda de crear una tabla de números primos, llamada. La palabra "tamiz" presente en el nombre no es accidental, ya que las acciones de este método ayudan, por así decirlo, a "tamizar" números enteros y unidades grandes a través del tamiz de Eratóstenes para separar los simples de los compuestos.

Mostremos el tamiz de Eratóstenes en acción al compilar una tabla de números primos hasta 50.

Primero, escribe los números 2, 3, 4, ..., 50 en orden.

El primer número escrito, 2, es primo. Ahora, desde el número 2, nos movemos secuencialmente hacia la derecha dos números y tachamos estos números hasta llegar al final de la tabla de números que se está compilando. Esto tachará todos los números que sean múltiplos de dos.

El primer número después del 2 que no está tachado es el 3. Este número es primo. Ahora, desde el número 3, nos movemos secuencialmente hacia la derecha tres números (teniendo en cuenta los números ya tachados) y los tachamos. Esto tachará todos los números que sean múltiplos de tres.

El primer número después del 3 que no está tachado es el 5. Este número es primo. Ahora desde el número 5 nos movemos secuencialmente hacia la derecha 5 números (también tenemos en cuenta los números tachados anteriormente) y los tachamos. Esto tachará todos los números que sean múltiplos de cinco.

A continuación, tachamos los números que son múltiplos de 7, luego múltiplos de 11, y así sucesivamente. El proceso finaliza cuando no quedan más números para tachar. A continuación se muestra la tabla completa de números primos hasta 50, obtenida utilizando el tamiz de Eratóstenes. Todos los números no tachados son primos y todos los números tachados son compuestos.

También formulemos y demostremos un teorema que acelerará el proceso de elaboración de una tabla de números primos utilizando el tamiz de Eratóstenes.

Teorema.

El divisor positivo más pequeño de un número compuesto a que es diferente de uno no excede de , donde es de a .

Prueba.

Denotemos con la letra b el divisor más pequeño de un número compuesto a que es diferente de uno (el número b es primo, como se desprende del teorema demostrado al principio del párrafo anterior). Entonces hay un número entero q tal que a=b·q (aquí q es un número entero positivo, que se sigue de las reglas de multiplicación de números enteros), y (para b>q se viola la condición de que b sea el mínimo divisor de a , ya que q también es divisor del número a debido a la igualdad a=q·b ). Multiplicando ambos lados de la desigualdad por un positivo y un número entero mayor que uno (se nos permite hacer esto), obtenemos , de donde y .

¿Qué nos aporta el teorema demostrado respecto a la criba de Eratóstenes?

En primer lugar, tachar números compuestos que sean múltiplos de un número primo b debe comenzar con un número igual a (esto se desprende de la desigualdad). Por ejemplo, al tachar números que son múltiplos de dos se debe comenzar con el número 4, los múltiplos de tres con el número 9, los múltiplos de cinco con el número 25, etc.

En segundo lugar, compilar una tabla de números primos hasta el número n usando el tamiz de Eratóstenes puede considerarse completa cuando todos los números compuestos que son múltiplos de números primos no exceden . En nuestro ejemplo, n=50 (ya que estamos haciendo una tabla de números primos hasta 50) y, por tanto, el tamiz de Eratóstenes debería eliminar todos los números compuestos que sean múltiplos de los números primos 2, 3, 5 y 7 que lo hagan. no exceder la raíz cuadrada aritmética de 50. Es decir, ya no necesitamos buscar y tachar números que sean múltiplos de los números primos 11, 13, 17, 19, 23 y así hasta el 47, ya que ya estarán tachados como múltiplos de los números primos más pequeños 2. , 3, 5 y 7 .

¿Este número es primo o compuesto?

Algunas tareas requieren averiguar si un número determinado es primo o compuesto. En general, esta tarea no es nada sencilla, especialmente en el caso de números cuya escritura consta de un número importante de caracteres. En la mayoría de los casos, hay que buscar alguna forma concreta de solucionarlo. Sin embargo, intentaremos orientar la línea de pensamiento para casos simples.

Por supuesto, puedes intentar utilizar pruebas de divisibilidad para demostrar que un número determinado es compuesto. Si, por ejemplo, alguna prueba de divisibilidad muestra que un número dado es divisible por algún entero positivo mayor que uno, entonces el número original es compuesto.

Ejemplo.

Demuestre que 898.989.898.989.898.989 es un número compuesto.

Solución.

La suma de los dígitos de este número es 9·8+9·9=9·17. Dado que el número igual a 9·17 es divisible por 9, entonces por divisibilidad entre 9 podemos decir que el número original también es divisible por 9. Por tanto, es compuesto.

Un inconveniente importante de este enfoque es que los criterios de divisibilidad no permiten demostrar la primacía de un número. Por lo tanto, al probar un número para ver si es primo o compuesto, debes hacer las cosas de manera diferente.

El enfoque más lógico es probar con todos los divisores posibles de un número determinado. Si ninguno de los posibles divisores es verdadero divisor de un número dado, entonces este número será primo; de lo contrario, será compuesto. De los teoremas demostrados en el párrafo anterior se deduce que los divisores de un número dado a deben buscarse entre números primos que no excedan . Por lo tanto, un número dado a se puede dividir secuencialmente entre números primos (que se toman convenientemente de la tabla de números primos), tratando de encontrar el divisor del número a. Si se encuentra un divisor, entonces el número a es compuesto. Si entre los números primos que no exceden , no hay ningún divisor del número a, entonces el número a es primo.

Ejemplo.

Número 11 723 simple o compuesto?

Solución.

Averigüemos hasta qué número primo pueden llegar los divisores del número 11.723. Para hacer esto, evalúemos.

Es bastante obvio que , desde 200 2 = 40.000 y 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью comparación de números). Por tanto, los posibles factores primos de 11,723 son menores que 200. Esto ya facilita mucho nuestra tarea. Si no supiéramos esto, entonces tendríamos que repasar todos los números primos, no hasta 200, sino hasta el número 11.723.

Si lo desea, puede evaluar con mayor precisión. Dado que 108 2 = 11,664 y 109 2 = 11,881, entonces 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Por lo tanto, cualquiera de los números primos menores que 109 es potencialmente un factor primo del número dado 11,723.

Ahora dividiremos secuencialmente el número 11,723 en números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Si el número 11.723 se divide por uno de los números primos escritos, entonces será compuesto. Si no es divisible por ninguno de los números primos escritos, entonces el número original es primo.

No describiremos todo este monótono y monótono proceso de división. Digamos de inmediato que 11,723

¿Es uno un número primo? No, uno no es un número primo.

¿Es 0 un número primo? No, el cero no es un número primo.

¿Es 2 un número primo? Sí, 2 es un número primo. 2 es el único número primo par.

¿Es 3 un número primo? Sí, 3 es un número primo.

¿Es 5 un número primo? Sí, 5 es un número primo.

¿Es el 7 un número primo? Sí, el 7 es un número primo.

¿Es el 9 un número primo? No, el 9 no es un número primo. Al fin y al cabo, 9 es divisible por sí mismo, por uno y por tres.

¿Es el 11 un número primo? Sí, el 11 es un número primo.

¿Es 13 un número primo? Sí, 13 es un número primo.

¿Es 15 un número primo? No, 15 no es un número primo. Después de todo, 15 es divisible por sí mismo, por uno, por tres, por cinco.

¿Es 17 un número primo? Sí, 17 es un número primo.

¿Es 19 un número primo? Sí, 19 es un número primo.

¿Es 20 un número primo? No, 20 no es un número primo. Después de todo, 20 es divisible por sí mismo, por uno, por dos, por cuatro, por cinco, por diez.

¿Es 777 un número primo? No, 777 no es un número primo. Después de todo, 777 es divisible por sí mismo, por uno, por 3, por 7, por 37.

¿Es 997 un número primo? Sí, 997 es un número primo.

Un número primo es un número natural que sólo es divisible por sí mismo y por uno.

Por el momento, no se conocen algoritmos polinomiales para factorizar números, aunque no se ha demostrado que dichos algoritmos no existan. El criptosistema RSA y algunos otros se basan en la supuesta alta complejidad computacional del problema de factorización. La factorización con complejidad polinómica es teóricamente posible en una computadora cuántica utilizando el algoritmo de Shor.

Algoritmos para buscar y reconocer números primos.

Los métodos simples para encontrar una lista inicial de números primos hasta cierto valor los proporcionan el Tamiz de Eratóstenes, el Tamiz de Sundaram y el Tamiz de Atkin.

Sin embargo, en la práctica, en lugar de obtener una lista de números primos, a menudo se desea comprobar si un número determinado es primo. Los algoritmos que resuelven este problema se denominan pruebas de primalidad. Existen muchas pruebas de primalidad polinómica, pero la mayoría son probabilísticas (como la prueba de Miller-Rabin) y se utilizan para las necesidades de la criptografía. En 2002, se demostró que el problema de la prueba de primalidad tiene solución polinomial en su forma general, pero la prueba determinista propuesta de Agrawal-Kajal-Saxena tiene una complejidad computacional bastante grande, lo que dificulta su aplicación práctica.

Para algunas clases de números existen pruebas de primalidad eficientes especializadas (ver más abajo).

El infinito del conjunto de los números primos.

Hay una cantidad infinita de números primos. La prueba más antigua conocida de este hecho la dio Euclides en los Elementos (Libro IX, afirmación 20). Su prueba se puede reproducir brevemente de la siguiente manera:

Los matemáticos ofrecieron otras pruebas. Uno de ellos (dado por Euler) muestra que la suma de los recíprocos del primer norte números primos, crece ilimitadamente con el crecimiento norte.

Los números de Mersenne se diferencian favorablemente de los demás por la presencia de una prueba de primalidad eficaz: la prueba de Luc-Lemaire. Gracias a él, los primos de Mersenne han mantenido durante mucho tiempo el récord de ser los primos más grandes conocidos.

Por encontrar números primos de más de 100.000.000 y 1.000.000.000 de dígitos decimales, la EFF otorgó premios en efectivo de 150.000 y 250.000 dólares estadounidenses, respectivamente. La EFF ya ha concedido premios por encontrar números primos de 1.000.000 y 10.000.000 de dígitos decimales.

Números primos de un tipo especial.

Hay una serie de números cuya primacía se puede establecer de manera eficiente utilizando algoritmos especializados.

Para buscar números primos de los tipos designados se utilizan actualmente los proyectos de computación distribuida GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Algunas propiedades

• Si p es primo y p divide a ab, entonces p divide a o b. La prueba de este hecho fue dada por Euclides y se conoce como lema de Euclides. Se utiliza en la prueba del teorema fundamental de la aritmética.
• Anillo de deducciones $\backslash mathbb(Z)\_n$ es un campo si y sólo si $norte$- simple.
• La característica de cada campo es cero o un número primo.
• Si $pag$- simple, pero $a$- natural, entonces $a^p-a$ dividido por $pag$(El pequeño teorema de Fermat).
• Si $GRAMO$ es un grupo finito cuyo orden $|G|$ dividido por $pag$, Eso $GRAMO$ contiene un elemento de orden $pag$(Teorema de Cauchy).
• Si $GRAMO$ es un grupo finito y $p^n$- grado máximo $pag$, que divide $|G|$, Eso $GRAMO$ tiene un subgrupo de orden $p^n$, llamado subgrupo de Sylow; además, el número de subgrupos de Sylow es igual a $paquete+1$ por algo entero $k$(Teorema de Silow).
• Natural $pag\; >\; 1$ es simple si y solo si $(p-1)!\; +\; 1$ dividido por $pag$(Teorema de Wilson).
• Si $norte\; >\; 1$- natural, entonces hay una simple $pag$, tal que (postulado de Bertrand).
• La serie de inversos de números primos diverge. Es más, cuando $x\backslash a\backslash infty$
• Cualquier progresión aritmética de la forma $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Dónde $a,\; q\; >\; 1$- números enteros coprimos, contiene infinitos números primos (teorema de Dirichlet sobre los números primos en una progresión aritmética).
• Todo número primo mayor que 3 se puede representar como $6k+1$ o $6k-1$, Dónde $k$- algún número natural. Por lo tanto, si la diferencia entre varios números primos consecutivos (para k>1) es la misma, entonces es necesariamente un múltiplo de 6, por ejemplo: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Si $pag\; >\; 3$- simple, entonces $pág^2-1$ es múltiplo de 24 (también es válido para todos los números impares no divisibles por 3).
• Teorema del Tao Verde. Hay progresiones aritméticas finitas arbitrariamente largas que consisten en números primos.
• $n^k-1$, Dónde norte>2, k>1. En otras palabras, el número que sigue al primo no puede ser un cuadrado o una potencia superior con una base mayor que 2. También se deduce que si un número primo tiene la forma $2^k-1$, Eso k- primo (ver números de Mersenne).
• Ningún número primo puede tener la forma $norte^(2k+1)+1$, Dónde norte>1, k>0. En otras palabras, un número que precede a un primo no puede ser un cubo o una potencia impar superior con base mayor que 1.

Fórmulas para encontrar números primos.

En diversas ocasiones se intentó indicar una expresión cuyos valores, dados diferentes valores de las variables incluidas en ella, serían números primos. L. Euler señaló el polinomio. $\backslash estilo\; de\; texto\; n^2-n+41,$ tomando valores simples en norte = 0, 1, 2,…, 40. Sin embargo cuando norte = 41 el valor de un polinomio es un número compuesto. Se puede demostrar que no existe ningún polinomio en una variable n que tome valores primos para todos los números enteros n. P. Fermat sugirió que todos los números de la forma 2 2k + 1 simple; sin embargo, Euler refutó esta hipótesis demostrando que el número 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - compuesto.

Sin embargo, existen polinomios cuyo conjunto de valores positivos, con valores no negativos de las variables, coincide con el conjunto de los números primos. Un ejemplo es el polinomio

• $\backslash begin(alinear)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(alinear) que contiene 26 variables y tiene grado 25. El grado más pequeño para polinomios conocidos de este tipo es 5 con 42 variables; el número más pequeño de variables es 10 con un grado de aproximadamente 1,6·10 45. Este resultado es un caso especial de la propiedad diofántica de cualquier conjunto enumerable demostrado por Yuri Matiyasevich.

Preguntas abiertas

Todavía quedan muchas preguntas abiertas sobre los números primos, las más famosas fueron enumeradas por Edmund Landau en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticas:

Un problema abierto es también la existencia de un número infinito de números primos en muchas secuencias enteras, incluidos los números de Mersenne, los números de Fibonacci, los números de Fermat, etc.

Aplicaciones

En la criptografía de clave pública se utilizan números primos grandes (del orden de 10.300). Los números primos también se utilizan en tablas hash y para generar números pseudoaleatorios (particularmente en Mersenne Twister PRNG).

Variaciones y generalizaciones.

• En la teoría de anillos, una rama del álgebra general, se define el concepto de elemento primo y de ideal primo.
• En teoría de nudos, el concepto de nudo simple se define como un nudo no trivial que no puede representarse como una suma conectada de nudos no triviales.

ver también

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Notas

Un extracto que caracteriza un número primo.

Natasha estaba más tranquila, pero no más alegre. No sólo evitaba todas las condiciones externas de alegría: bailes, patinaje, conciertos, teatro; pero nunca se rió tanto como para que no se pudieran escuchar las lágrimas de su risa. Ella no podía cantar. En cuanto empezaba a reír o intentaba cantar para sí sola, las lágrimas la ahogaban: lágrimas de arrepentimiento, lágrimas de recuerdos de aquel tiempo irrevocable, puro; Lágrimas de frustración por haber arruinado su joven vida, que podría haber sido tan feliz, por nada. Especialmente la risa y el canto le parecían una blasfemia para su dolor. Ella nunca pensó en la coquetería; ni siquiera tuvo que abstenerse. Dijo y sintió que en ese momento todos los hombres eran para ella exactamente iguales que el bufón Nastasya Ivanovna. La guardia interior le prohibió firmemente cualquier alegría. Y ella no tenía todos los viejos intereses de la vida de esa forma de vida de niña, despreocupada y esperanzada. La mayoría de las veces y con mayor dolor recordaba los meses de otoño, la caza, su tío y las Navidades pasadas con Nicolás en Otradnoye. ¡Qué daría ella por recuperar tan solo un día de aquella época! Pero todo terminó para siempre. No la engañó entonces el presentimiento de que ese estado de libertad y de apertura a todas las alegrías no volvería nunca más. Pero tuve que vivir.
Le complacía pensar que no era mejor, como antes había pensado, sino peor y mucho peor que todos, todos en el mundo. Pero esto no fue suficiente. Ella lo sabía y se preguntó: “¿Y ahora qué?” Y entonces no hubo nada. No había alegría en la vida y la vida pasó. Al parecer, Natasha sólo intentaba no ser una carga para nadie ni molestar a nadie, pero no necesitaba nada para ella. Se alejó de todos en casa y sólo con su hermano Petya se sentía a gusto. Le encantaba estar con él más que con los demás; y a veces, cuando estaba con él cara a cara, se reía. Casi nunca salía de casa y de los que acudían a ellas, sólo estaba feliz con Pierre. Era imposible tratarla con más ternura, más cuidado y al mismo tiempo más en serio que con ella el Conde Bezukhov. Natasha Oss sintió conscientemente esta ternura en el trato y por eso encontró un gran placer en su compañía. Pero ella ni siquiera le agradecía su ternura; nada bueno por parte de Pierre le parecía un esfuerzo. A Pierre le parecía tan natural ser amable con todos que su amabilidad no tenía ningún mérito. A veces, Natasha notaba la vergüenza y la incomodidad de Pierre en su presencia, especialmente cuando quería hacer algo agradable por ella o cuando temía que algo en la conversación le evocara recuerdos difíciles. Ella se dio cuenta de esto y lo atribuyó a su bondad y timidez general, que, según ella, al igual que con ella, debería haber sido con todos. Después de aquellas inesperadas palabras de que si fuera libre estaría de rodillas pidiendo su mano y su amor, pronunciadas en un momento de tan fuerte excitación por ella, Pierre nunca dijo nada sobre sus sentimientos por Natasha; y era obvio para ella que esas palabras, que tanto la habían consolado entonces, fueron pronunciadas como se dicen toda clase de palabras sin sentido para consolar a un niño que llora. No porque Pierre fuera un hombre casado, sino porque Natasha sentía entre ella y él en el más alto grado la fuerza de las barreras morales, cuya ausencia sentía con Kyragin, nunca se le ocurrió que podría salir de su relación con Pierre. no sólo amor por parte de ella, o, menos aún, por parte de él, sino incluso ese tipo de amistad tierna, reconocible y poética entre un hombre y una mujer, de la que conocía varios ejemplos.
Al final de la Cuaresma de Pedro, Agrafena Ivanovna Belova, vecina de los Rostov de Otradnensky, vino a Moscú para inclinarse ante los santos de Moscú. Invitó a Natasha a ayunar y Natasha felizmente aprovechó la idea. A pesar de la prohibición del médico de salir temprano en la mañana, Natasha insistió en ayunar, y no ayunar como solían ayunar en casa de los Rostov, es decir, asistir a tres servicios en casa, sino ayunar como ayunaba Agrafena Ivanovna, es decir. , durante toda la semana sin perderse ni una sola víspera, misa o maitines.
A la condesa le gustó este celo de Natasha; En el fondo, después de un tratamiento médico fallido, esperaba que la oración la ayudara con más medicamentos, y aunque con miedo y ocultándoselo al médico, accedió a los deseos de Natasha y se la confió a Belova. Agrafena Ivanovna fue a despertar a Natasha a las tres de la madrugada y la encontró casi sin dormir. Natasha tenía miedo de quedarse dormida durante los maitines. Lavándose apresuradamente la cara y vistiendo humildemente su peor vestido y su vieja mantilla, estremeciéndose de frescura, Natasha salió a las calles desiertas, transparentemente iluminadas por el amanecer de la mañana. Por consejo de Agrafena Ivanovna, Natasha ayunó no en su parroquia, sino en la iglesia, en la que, según la devota Belova, había un sacerdote muy estricto y de gran vida. Siempre había poca gente en la iglesia; Natasha y Belova ocuparon su lugar habitual frente al icono de la Madre de Dios, incrustado en el fondo del coro izquierdo, y un nuevo sentimiento por Natasha ante lo grande, incomprensible, la invadió cuando a esta inusual hora de la mañana, mirando el rostro negro de la Madre de Dios, iluminado por las velas que ardían frente a él, y la luz de la mañana que entraba por la ventana, escuchó los sonidos del servicio, que trató de seguir, comprendiéndolos. Cuando los comprendió, su sentimiento personal con sus matices se unió a su oración; cuando no entendía, era aún más dulce para ella pensar que el deseo de comprenderlo todo era orgullo, que era imposible comprenderlo todo, que sólo había que creer y entregarse a Dios, quien en esos momentos —ella sentía— gobernaba su alma. Se santiguó, se inclinó, y al no entender, sólo ella, horrorizada ante su abominación, pidió a Dios que la perdonara por todo, por todo, y que tuviera piedad. Las oraciones a las que más se dedicó fueron las de arrepentimiento. Al regresar a casa temprano en la mañana, cuando solo había albañiles trabajando, conserjes barriendo la calle y todos en las casas todavía dormían, Natasha experimentó un nuevo sentimiento para ella de la posibilidad de corregirse de sus vicios y la posibilidad de una vida nueva, limpia y feliz.
Durante toda la semana que llevó esta vida, este sentimiento creció cada día. Y la felicidad de unirse o comunicarse, como le dijo Agrafena Ivanovna, jugando alegremente con esta palabra, le pareció tan grande que le pareció que no viviría para ver este feliz domingo.
Pero llegó el día feliz, y cuando Natasha regresó de la comunión ese memorable domingo, con un vestido de muselina blanca, por primera vez después de muchos meses se sintió tranquila y no agobiada por la vida que le esperaba.
El médico que llegó ese día examinó a Natasha y le ordenó continuar con los últimos polvos que le recetó hace dos semanas.
"Debemos continuar, mañana y tarde", dijo, aparentemente conscientemente satisfecho con su éxito. - Por favor, ten más cuidado. “Cálmese, condesa”, dijo en broma el médico, recogiendo hábilmente el oro en la pulpa de su mano, “pronto empezará a cantar y retozar de nuevo”. La última medicina es muy, muy buena para ella. Está muy renovada.
La Condesa se miró las uñas y escupió, regresando a la sala con el rostro alegre.

A principios de julio se difundieron en Moscú rumores cada vez más alarmantes sobre el progreso de la guerra: se hablaba del llamamiento del soberano al pueblo, de la llegada del propio soberano del ejército a Moscú. Y como el manifiesto y el llamamiento no se recibieron antes del 11 de julio, circularon rumores exagerados sobre ellos y sobre la situación en Rusia. Dijeron que el soberano se marchaba porque el ejército estaba en peligro, dijeron que Smolensk se había rendido, que Napoleón tenía un millón de tropas y que sólo un milagro podría salvar a Rusia.
El sábado 11 de julio se recibió el manifiesto, pero aún no se imprimió; y Pierre, que estaba de visita con los Rostov, prometió venir a cenar al día siguiente, domingo, y traer un manifiesto y un llamamiento que le entregaría el conde Rastopchin.
Este domingo, los Rostov, como de costumbre, fueron a misa en la iglesia natal de los Razumovsky. Era un caluroso día de julio. Ya a las diez en punto, cuando los Rostov bajaron del carruaje frente a la iglesia, en el aire caliente, en los gritos de los vendedores ambulantes, en los brillantes y ligeros vestidos de verano de la multitud, en las hojas polvorientas de la árboles del bulevar, en los sonidos de la música y los pantalones blancos del batallón que marchaba en marcha, en el trueno de la acera y en el brillo del sol ardiente estaba esa languidez de verano, alegría e insatisfacción con el presente, que se siente especialmente en un día claro y caluroso en la ciudad. En la iglesia Razumovsky estaba toda la nobleza de Moscú, todos los conocidos de los Rostov (este año, como si esperaran algo, muchas familias ricas, que generalmente viajaban a las aldeas, permanecieron en la ciudad). Al pasar detrás del lacayo que separaba la multitud cerca de su madre, Natasha oyó la voz de un joven que hablaba de ella en un susurro demasiado alto:
- Esta es Rostova, la misma...
- ¡Ha perdido mucho peso, pero todavía está bien!
Oyó, o le pareció, que se mencionaban los nombres de Kuragin y Bolkonsky. Sin embargo, a ella siempre le pareció así. Siempre le pareció que todos, mirándola, sólo pensaban en lo que le había pasado. Sufriendo y desvaneciéndose en su alma, como siempre entre la multitud, Natasha caminaba con su vestido de seda violeta con encaje negro como pueden caminar las mujeres: más tranquila y majestuosa cuanto más dolorosa y avergonzada estaba en su alma. Sabía y no se equivocaba que era buena, pero esto ya no le agradaba como antes. Al contrario, esto era lo que la atormentaba últimamente, y especialmente en este brillante y caluroso día de verano en la ciudad. “Otro domingo, otra semana”, se dijo, recordando cómo estaba allí ese domingo, “y todavía la misma vida sin vida, y todas las mismas condiciones en las que antes era tan fácil vivir. Ella es buena, es joven, y sé que ahora soy buena, antes era mala, pero ahora soy buena, lo sé”, pensó, “y así los mejores años pasan en vano, para nadie”. Se paró junto a su madre e intercambió palabras con conocidos cercanos. Natasha, por costumbre, examinó los vestidos de las damas, condenó la tenue [comportamiento] y la forma indecente de santiguarse con la mano en el pequeño espacio de una dama que estaba cerca, nuevamente pensó con molestia que la estaban juzgando, que ella También estaba juzgando, y de repente, al escuchar los sonidos del servicio, se horrorizó por su abominación, horrorizada de que su antigua pureza se hubiera perdido nuevamente.
El anciano, apuesto y tranquilo, sirvió con esa gentil solemnidad que tiene un efecto tan majestuoso y calmante en las almas de quienes rezan. Las puertas reales se cerraron, el telón se cerró lentamente; Una misteriosa voz tranquila dijo algo desde allí. Lágrimas, incomprensibles para ella, se acumulaban en el pecho de Natasha, y un sentimiento de alegría y dolor la preocupaba.
“Enséñame qué debo hacer, cómo puedo mejorar para siempre, para siempre, qué debo hacer con mi vida…” pensó.
El diácono subió al púlpito, se alisó los largos cabellos debajo de la sobrepelliz, con el pulgar bien abierto y, colocando una cruz sobre su pecho, comenzó a leer en voz alta y solemne las palabras de la oración:
- “Oremos al Señor en paz”.
“En paz, todos juntos, sin distinción de clases, sin enemistades y unidos por el amor fraternal, oremos”, pensó Natasha.
- ¡Sobre el mundo celestial y la salvación de nuestras almas!
“Por la paz de los ángeles y las almas de todas las criaturas incorpóreas que viven sobre nosotros”, oró Natasha.
Cuando oraron por el ejército, ella se acordó de su hermano y de Denisov. Cuando oraron por los que navegaban y viajaban, ella se acordó del príncipe Andrei y oró por él y oró para que Dios la perdonara por el mal que le había hecho. Cuando oraron por quienes nos amaban, ella oró por su familia, por su padre, su madre, Sonya, comprendiendo por primera vez toda su culpa ante ellos y sintiendo toda la fuerza de su amor por ellos. Cuando oraban por los que nos odiaban, ella se inventaba enemigos y enemigos para orar por ellos. Contaba entre sus enemigos a los acreedores y a todos los que trataron con su padre, y cada vez que pensaba en enemigos y enemigos, recordaba a Anatole, que tanto daño le había hecho, y aunque no era un enemigo, oraba con alegría. para él como para enemigo. Sólo durante la oración se sintió capaz de recordar clara y tranquilamente tanto al príncipe Andrei como a Anatol, como personas por quienes sus sentimientos estaban destruidos en comparación con su sentimiento de temor y reverencia hacia Dios. Cuando oraron por la familia real y por el Sínodo, ella se inclinó especialmente y se santiguó, diciéndose que si no entendía, no podía dudar y aun así amaba al Sínodo gobernante y oraba por él.
Terminada la letanía, el diácono cruzó el orario sobre su pecho y dijo:
- “Nos entregamos nosotros mismos y nuestras vidas a Cristo Dios”.
“Nos entregaremos a Dios”, repitió Natasha en su alma. “Dios mío, me entrego a tu voluntad”, pensó. - No quiero nada, no deseo nada; ¡Enséñame qué hacer, dónde usar mi voluntad! ¡Llévame, llévame! - dijo Natasha con tierna impaciencia en el alma, sin santiguarse, bajando sus delgadas manos y como esperando que una fuerza invisible la tomara y la librara de sí misma, de sus arrepentimientos, deseos, reproches, esperanzas y vicios.
Varias veces durante el servicio, la condesa miró el rostro tierno y de ojos brillantes de su hija y oró a Dios para que la ayudara.

Definición 1. número primo− es un número natural mayor que uno que es divisible sólo por sí mismo y 1.

En otras palabras, un número es primo si tiene sólo dos divisores naturales distintos.

Definición 2. Cualquier número natural que tiene otros divisores además de sí mismo y uno se llama un número compuesto.

En otras palabras, los números naturales que no son primos se llaman números compuestos. De la Definición 1 se deduce que un número compuesto tiene más de dos factores naturales. El número 1 no es primo ni compuesto porque tiene un solo divisor 1 y, además, muchos teoremas sobre números primos no se cumplen para la unidad.

De las Definiciones 1 y 2 se deduce que todo número entero positivo mayor que 1 es un número primo o un número compuesto.

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tabla de números primos

Declaración 1. Si pag- número primo y a cualquier número entero, entonces a dividido por pag, o pag Y a números coprimos.

En realidad. Si pag Un número primo es divisible sólo por sí mismo y por 1 si a no divisible por pag, entonces el máximo común divisor a Y pag es igual a 1. Entonces pag Y a números coprimos.

Declaración 2. Si el producto de varios números a 1 , a 2 , a 3,... es divisible por un número primo pag, entonces al menos uno de los números a 1 , a 2 , a 3, ...divisible por pag.

En realidad. Si ninguno de los números fuera divisible por pag, entonces los números a 1 , a 2 , a 3, ... serían números coprimos con respecto a pag. Pero del Corolario 3 () se deduce que su producto a 1 , a 2 , a 3, ... también es relativamente primo con respecto a pag, lo que contradice la condición de la declaración. Por lo tanto al menos uno de los números es divisible por pag.

Teorema 1. Cualquier número compuesto siempre puede representarse, y de forma única, como producto de un número finito de números primos.

Prueba. Dejar k número compuesto, y sea a 1 es uno de sus divisores diferente de 1 y de sí mismo. Si a 1 es compuesto, entonces tiene además de 1 y a 1 y otro divisor a 2. Si a 2 es un número compuesto, entonces tiene, además de 1 y a 2 y otro divisor a 3. Razonando de esta manera y teniendo en cuenta que los números a 1 , a 2 , a 3 , ... disminuye y esta serie contiene un número finito de términos, llegaremos a algún número primo pag 1 . Entonces k se puede representar en la forma

Supongamos que hay dos descomposiciones de un número. k:

Porque k=p 1 pag 2 pag 3...divisible por un número primo q 1, entonces al menos uno de los factores, por ejemplo pag 1 es divisible por q 1 . Pero pag 1 es un número primo y sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Por eso pag 1 =q 1 (porque q 1 ≠1)

Entonces de (2) podemos excluir pag 1 y q 1:

Así, estamos convencidos de que todo número primo que aparece como factor en el primer desarrollo una o más veces también aparece en el segundo desarrollo al menos tantas veces, y viceversa, cualquier número primo que aparece como factor en el segundo desarrollo una o más veces también aparece en la primera expansión al menos el mismo número de veces. Por lo tanto, cualquier número primo aparece como factor en ambas expansiones el mismo número de veces y, por tanto, estas dos expansiones son iguales.■

Expansión de un número compuesto k se puede escribir de la siguiente forma

Dónde pag 1 , pag 2, ... varios números primos, α, β, γ ... números enteros positivos.

La expansión (3) se llama expansión canónica números.

Los números primos aparecen de manera desigual en la serie de números naturales. En algunas partes de la fila hay más, en otras, menos. Cuanto más avanzamos en la serie numérica, menos comunes son los números primos. Surge la pregunta: ¿existe un número primo mayor? El antiguo matemático griego Euclides demostró que existen infinitos números primos. Presentamos esta prueba a continuación.

Teorema 2. El número de números primos es infinito.

Prueba. Supongamos que hay un número finito de números primos y sea el mayor número primo pag. Consideremos todos los números mayores. pag. Según el supuesto del enunciado, estos números deben ser compuestos y deben ser divisibles por al menos uno de los números primos. Elijamos un número que sea el producto de todos estos números primos más 1:

Número z más pag porque 2p ya mas pag. pag no es divisible por ninguno de estos números primos, porque al dividirlo por cada uno de ellos da como resto 1. Llegamos así a una contradicción. Luego hay un número infinito de números primos.

Este teorema es un caso especial de un teorema más general:

Teorema 3. Sea una progresión aritmética

Entonces cualquier número primo incluido en norte, debe incluirse en metro, por lo tanto en norte otros factores primos que no están incluidos en metro y, además, estos factores primos en norte no se incluyen más veces que en metro.

Lo opuesto también es cierto. Si todo factor primo de un número norte incluido al menos tantas veces en el número metro, Eso metro dividido por norte.

Declaración 3. Dejar a 1 ,a 2 ,a 3,... varios números primos incluidos en metro Entonces

Dónde i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Darse cuenta de α yo acepta α +1 valores, β j acepta β +1 valores, γ k acepta γ +1 valores, ... .