Peelback y sus propiedades.
Una primitiva de una función f(x) en el intervalo (a; b) es una función F(x) tal que la igualdad se cumple para cualquier x del intervalo dado.
Si tenemos en cuenta el hecho de que la derivada de la constante C es igual a cero, entonces la igualdad es verdadera. 
. Así, la función f(x) tiene un conjunto de antiderivadas F(x)+C, para una constante arbitraria C, y estas antiderivadas difieren entre sí en un valor constante arbitrario.
Propiedades de la antiderivada.
Si la función F(x) es una primitiva de la función f(x) en el intervalo X, entonces la función f(x) + C, donde C es una constante arbitraria, también será una primitiva de f(x) en este intervalo.
Si la función F(x) es alguna primitiva de la función f(x) en el intervalo X=(a,b), entonces cualquier otra primitiva F1(x) se puede representar como F1(x) = F(x) + C, donde C es una función constante en X.
2 Definición de integral indefinida.
El conjunto completo de primitivas de la función f(x) se llama integral indefinida de esta función y se denota 
.
La expresión se llama integrando y f(x) se llama integrando. El integrando representa el diferencial de la función f(x).
La acción de encontrar una función desconocida dada su diferencial se llama integración indefinida, porque el resultado de la integración no es una función F(x), sino un conjunto de sus primitivas F(x)+C.
propiedades de la integral indefinida (propiedades de la antiderivada).
La derivada del resultado de la integración es igual al integrando.
La integral indefinida del diferencial de una función es igual a la suma de la función misma y una constante arbitraria.
donde k es una constante arbitraria. El coeficiente se puede sacar como signo de la integral indefinida.
La integral indefinida de la suma/diferencia de funciones es igual a la suma/diferencia de las integrales indefinidas de funciones.
Cambiar una variable en una integral indefinida
Reemplazo de variables en la integral indefinida se realiza mediante dos tipos de sustituciones:
a) donde es una función monótona y continuamente diferenciable de la nueva variable t. La fórmula de sustitución de variables en este caso es:
Donde U es una nueva variable. La fórmula para reemplazar una variable con esta sustitución es:
Integración por partes
Encontrar la integral usando la fórmula. 
se llama integración por partes. Aquí U=U(x),υ=υ(x) son funciones continuamente diferenciables de x. Usando esta fórmula, encontrar una integral se reduce a encontrar otra integral, su uso es aconsejable en los casos en que la última integral sea más simple que la original o similar a ella.
En este caso, υ se considera una función que simplifica al derivar, y dU se considera la parte del integrando cuya integral se conoce o se puede encontrar.
Fórmula de Newton-Leibniz
Continuidad de la integral definida en función del límite superior
Si la función y = f (x) es integrable en el intervalo , entonces, obviamente, también es integrable en un intervalo arbitrario [a, x] incrustado en . Función 
,
donde x О se llama integral con un límite superior variable. El valor de la función Ф (x) en el punto x es igual al área S(x) bajo la curva y = f (x) en el segmento [a, x]. Este es el significado geométrico de una integral con un límite superior variable.
Teorema. Si la función f (x) es continua en un intervalo, entonces la función Ф (x) también es continua en [a, b].
Sea Δx tal que x + Δ x О . Tenemos
Por el teorema del valor medio, existe un valor con О [ x, x + Δ x] tal que Dado que con О , y la función f (x) está acotada, entonces pasando al límite como Δ x → 0, obtenemos
ODR 1er pedido
¿Cuál es la diferencia entre ecuaciones diferenciales homogéneas y otros tipos de ecuaciones diferenciales? La forma más sencilla de explicar esto de inmediato es con un ejemplo específico.
Resolver ecuación diferencial
¿Qué deberías analizar primero al resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden? En primer lugar, es necesario comprobar si es posible separar inmediatamente las variables mediante acciones "escolares". Normalmente este análisis se hace mentalmente o intentando separar las variables en un borrador.
En este ejemplo, las variables no se pueden dividir (puede intentar tirar términos de una parte a otra, sacar factores entre paréntesis, etc.). Por cierto, en este ejemplo, el hecho de que las variables no se puedan dividir es bastante obvio debido a la presencia del multiplicador.
Surge la pregunta: ¿cómo solucionar este problema difuso?
¿Es necesario comprobar si esta ecuación es homogénea? La verificación es simple y el algoritmo de verificación en sí se puede formular de la siguiente manera:
A la ecuación original:
En lugar de x sustituimos en lugar de y sustituimos la derivada sin tocar: 
La letra lambda es un parámetro numérico abstracto, el punto no está en las lambdas en sí ni en sus valores, pero el punto es este:
Si, como resultado de las transformaciones, es posible reducir TODAS las “lambdas” (es decir, obtener la ecuación original), entonces esta ecuación diferencial es homogénea.
Es obvio que las lambdas se reducen inmediatamente por el exponente: 
Ahora en el lado derecho sacamos la lambda de paréntesis: 
Ambos lados de la ecuación se pueden reducir a esta misma lambda: como resultado, todas las lambdas desaparecieron como un sueño, como la niebla matutina, y obtuvimos la ecuación original.
Conclusión: esta ecuación es homogénea.
LOU.Propiedades generales de las soluciones.
es decir, es lineal con respecto a la función desconocida y y sus derivados y . Los coeficientes y y del lado derecho de esta ecuación son continuos.
Si el lado derecho de la ecuación es , entonces la ecuación se llama lineal no homogénea. Si , entonces la ecuación tiene la forma
 | (9) |
y se llama lineal homogéneo.
Sean y sean algunas soluciones particulares de la ecuación (9), es decir, que no contengan constantes arbitrarias.
Teorema 1. Si y son dos soluciones parciales de una ecuación lineal homogénea de segundo orden, entonces también son una solución de esta ecuación.
Dado que y son soluciones de la ecuación (9), convierten esta ecuación en una identidad, es decir
 Y  | (10) |
Sustituyamos en la ecuación (9). Entonces nosotros tenemos:
En virtud de (10). Esto significa que esta es una solución de la ecuación.
Teorema 2. Si es una solución a una ecuación lineal homogénea de segundo orden, y C–constante, entonces también es una solución a esta ecuación.
Prueba. Sustituyamos en la ecuación (9). Obtenemos: es decir, una solución a la ecuación.
Consecuencia. Si y son soluciones de la ecuación (9), entonces también son sus soluciones en virtud de los teoremas (1) y (2).
Definición. Dos soluciones y ecuaciones (9) se llaman linealmente dependientes (en el intervalo) si es posible seleccionar números y que no sean simultáneamente iguales a cero de modo que la combinación lineal de estas soluciones sea idénticamente igual a cero en , es decir, si .
Si tales números no se pueden seleccionar, entonces las soluciones se llaman linealmente independientes (en el segmento ).
Obviamente, las soluciones y serán linealmente dependientes si y sólo si su relación es constante, es decir (o viceversa).
De hecho, si y son linealmente dependientes, entonces donde hay al menos una constante o distinta de cero. Dejemos, por ejemplo, . Entonces , , Denotando obtenemos , es decir, la relación es constante.
volver si entonces 
. Aquí el coeficiente en , es decir, es diferente de cero, lo que por definición significa que y son linealmente dependientes.
Comentario. De la definición de soluciones linealmente independientes y del razonamiento anterior, podemos concluir que si y son linealmente independientes, entonces su relación no puede ser constante.
Por ejemplo, las funciones y en son linealmente independientes, ya que 
, porque . Aquí están las 5 funciones. X Y X– son linealmente dependientes, ya que su relación es .
Teorema. Si y son soluciones parciales linealmente independientes de una ecuación lineal homogénea de segundo orden, entonces su combinación lineal , donde y son constantes arbitrarias, es una solución general de esta ecuación.
Prueba. En virtud de los teoremas 1 y 2 (y sus corolarios), es una solución a la ecuación (9) para cualquier elección de constantes y.
Si las soluciones y son linealmente independientes, entonces – es una solución general, ya que esta solución contiene dos constantes arbitrarias que no se pueden reducir a una.
Al mismo tiempo, incluso si fueran soluciones linealmente dependientes, ya no sería una solución general. En este caso, donde α -constante. Entonces, donde es una constante. no puede ser una solución general a una ecuación diferencial de segundo orden, ya que depende de una sola constante.
Entonces, la solución general de la ecuación (9):
19. El concepto de sistema de funciones linealmente independiente. El determinante de Vronsky. condición suficiente para la independencia lineal. concepto de sistema fundamental de funciones. Ejemplos. Condición necesaria y suficiente para que el determinante de Wronski difiera de cero en el intervalo [a,c]
El concepto de un sistema de funciones linealmente independiente. 
Funciones 
se llaman linealmente dependientes de si uno de ellos es una combinación lineal de los demás. En otras palabras, las funciones se llaman linealmente dependientes de si hay números de los cuales al menos uno no es igual a cero tales que
Si la identidad (4) se satisface solo en el caso en que todos , entonces las funciones se llaman linealmente independientes en .
Sistema de soluciones linealmente independientes en un intervalo.
Una ecuación diferencial homogénea de orden (3) con coeficientes continuos se denomina sistema fundamental de soluciones de esta ecuación.
Para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de orden (3) con coeficientes continuos, es necesario encontrar su sistema fundamental de soluciones.
Según el teorema 1, una combinación lineal arbitraria de soluciones, es decir, la suma
, (5)
donde están los números arbitrarios, es, a su vez, una solución a la ecuación (3) en . Pero resulta que, a la inversa, cada solución de la ecuación diferencial (3) en el intervalo es alguna combinación lineal de las soluciones parciales (independientes) indicadas (ver Teorema 4 a continuación), formando un sistema fundamental de soluciones.
Así, la solución general de la ecuación diferencial homogénea (3) tiene la forma (5), donde son constantes arbitrarias y son soluciones parciales (3), formando un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea.
Tenga en cuenta que la solución general de la ecuación no homogénea (1) es la suma de cualquier solución particular de la misma y la solución general de la ecuación homogénea
. (6)
En efecto,
.
Por otro lado, si existe una solución arbitraria a la ecuación (1), entonces
y, por tanto, es una solución de una ecuación homogénea; pero luego hay números tales que
,
es decir, la igualdad (6) se cumple para estos números.
El determinante de Vronsky.
Teorema 2. Si las funciones son linealmente dependientes y tienen derivadas hasta el orden ésimo, entonces el determinante
. (7)
I
El determinante (7) se llama determinante de Wronski o Wronskiano y se denota con el símbolo 
.
Prueba. Dado que las funciones son linealmente dependientes de , entonces existen números que no son todos iguales a cero para los cuales se mantiene la identidad (4). Diferenciándolo una vez obtenemos un sistema de ecuaciones.
Por condición, este sistema homogéneo tiene una solución no trivial (es decir, al menos una) para. Esto último es posible cuando el determinante del sistema, que es el determinante de Wronski, es idénticamente igual a cero. El teorema ha sido demostrado.
Comentario. Del teorema 2 se deduce que si hay al menos un punto , entonces las funciones son linealmente independientes en .
Ejemplo 2. Las funciones son linealmente independientes de any , ya que
.
Ejemplo 3. Las funciones son linealmente independientes de cualquier número si - diferente (real o complejo).
En efecto.
,
ya que el último determinante es el determinante de Vandermonde, el cual no es igual a cero para distintos.
Ejemplo 4: Funciones 
son linealmente independientes en cualquier .
Desde
entonces la independencia lineal de estas funciones se desprende del segundo ejemplo.
Teorema 3. Para encontrar soluciones. 
La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes continuos es linealmente independiente de , es necesario y suficiente que para todos .
Prueba. 1) Si está activado, entonces las funciones son linealmente independientes independientemente de si son soluciones de la ecuación o no (ver comentario).
2) Sean funciones linealmente independientes y sean soluciones de la ecuación.
Demostremos eso en todas partes. Supongamos lo contrario, que hay un punto en el que . Elijamos números que no sean iguales a cero al mismo tiempo, para que sean soluciones del sistema.
(8)
Esto se puede hacer ya que el determinante del sistema (8) es . Entonces, por el Teorema 1, la función 
será una solución a la ecuación con condiciones iniciales cero (según (8))
Pero la solución trivial también satisface las mismas condiciones. En virtud del teorema de existencia y unicidad, sólo puede haber una solución que satisfaga estas condiciones iniciales, por lo tanto, en es decir, las funciones dependen linealmente de , lo cual no se asumió. El teorema ha sido demostrado.
Si hay funciones discontinuas en el intervalo donde buscamos solución, entonces la ecuación puede tener más de una solución que satisfaga las condiciones iniciales, y entonces es posible que en .
Ejemplo 5. Es fácil comprobar que las funciones
son linealmente independientes de y para ellos en .
Esto se debe a que la función 
es una solución general de la ecuación
,
Dónde 
discontinuo en el punto. Para esta ecuación, el teorema de existencia y unicidad no se cumple (en la vecindad del punto). No solo la función, sino también la función es una solución de una ecuación diferencial que satisface las condiciones y para .
Estructura de la solución general.
I ndex.Direct Todos los anuncios ¡Resolver ecuaciones online! Calculadora LoviOtvet: ¡resuelve ecuaciones con un solo clic! ¡Descárgalo gratis!loviotvet.ru ¿Quién es Jesús? ¿Cómo saber quién es realmente Jesucristo?godlovesrussia.com
Teorema 4. Si son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden ésimo con coeficientes continuos 
, entonces la función
, (9)
donde son constantes arbitrarias, es una solución general de la ecuación, es decir, la suma (9) para cualquiera, es una solución de esta ecuación y, a la inversa, cualquier solución de esta ecuación se puede representar como una suma (9) para la correspondiente valores de .
Prueba. Ya sabemos que la suma (9) de cualquiera es una solución de la ecuación. Por el contrario, supongamos que esta ecuación tenga una solución arbitraria. Pongamos
Por los números recibidos 
compongamos un sistema lineal de ecuaciones para números desconocidos: , basta con encontrar algunas constantes reales. Para encontrar una solución general a la ecuación (8), hacemos esto. Componemos la ecuación característica para la ecuación (8): . Usando las condiciones iniciales, determinamos
Considere la ecuación diferencial lineal. norte-ésimo orden
y (norte) + un -1 (X)y (norte- 1) + ... + a 1 (X)y" + a 0 (X)y = F(X).
con coeficientes continuos un -1 (X), un -2 (X), ..., a 1 (X), a 0 (X) y lado derecho continuo F(X).
Principio de superposición basado en lo siguiente Propiedades de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales.
1. Si y 1 (X) Y y 2 (X) - dos soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea
y (norte) + un -1 (X)y (norte- 1) + ... + a 1 (X)y" + a 0 (X)y = 0
entonces cualquier combinación lineal de ellos y(X) = C 1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) es una solución a esta ecuación homogénea.
2. Si y 1 (X) Y y 2 (X) - dos soluciones a una ecuación lineal no homogénea l(y) = F(X) entonces su diferencia y(X) = y 1 (X) − y 2 (X) es una solución de la ecuación homogénea l(y) = 0 .
3. Cualquier solución a una ecuación lineal no homogénea. l(y) = F(X) es la suma de cualquier solución fija (particular) de una ecuación no homogénea y alguna solución de una ecuación homogénea.
4. Si y 1 (X) Y y 2 (X) - soluciones de ecuaciones lineales no homogéneas l(y) = F 1 (X) Y l(y) = F 2 (X) en consecuencia, entonces su suma y(X) =y 1 (X) + y 2 (X) es una solución de la ecuación no homogénea l(y) = F 1 (X) + F 2 (X).
Generalmente esta última afirmación se llama principio de superposición.
Método de variación de constantes.
Considere la ecuación no homogénea de orden th.
donde los coeficientes y el lado derecho reciben funciones continuas en el intervalo.
Supongamos que conocemos el sistema fundamental de soluciones. ecuación homogénea correspondiente
Como mostramos en el § 1.15 (fórmula (6)), la solución general de la ecuación (1) es igual a la suma de la solución general de la ecuación (2) y cualquier solución de la ecuación (1).
La solución a la ecuación no homogénea (1) puede ser
El cambio de variable en una integral indefinida se utiliza para encontrar integrales en las que una de las funciones es derivada de otra función. Sea una integral $ \int f(x) dx $, hagamos el reemplazo $ x=\phi(t) $. Tenga en cuenta que la función $ \phi(t) $ es diferenciable, por lo que podemos encontrar $ dx = \phi"(t) dt $.
Ahora sustituimos $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ en la integral y obtenemos que:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Este es fórmula para cambiar una variable en una integral indefinida.
Algoritmo del método de reemplazo de variables.
Así, si al problema se le da una integral de la forma: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Es recomendable reemplazar la variable por una nueva: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Después de esto, la integral se presentará en una forma que pueda tomarse fácilmente mediante los métodos básicos de integración: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt$$
No olvide devolver también la variable reemplazada a $x$.
Ejemplos de soluciones
| Ejemplo 1 |
|
Encuentre la integral indefinida usando el método de cambio de variable: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Solución |
|
Reemplazamos la variable en la integral con $t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ La integral de la exponencial sigue siendo la misma según la tabla de integración, aunque en lugar de $ x $ se escribe $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna! |
| Respuesta |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Integración por sustitución (reemplazo de variables). Suponga que necesita calcular una integral que no es tabular. La esencia del método de sustitución es que en la integral la variable x se reemplaza por la variable t según la fórmula x = q(t), de donde dx = q"(t)dt.
Teorema. Sea la función x=t(t) definida y diferenciable en un determinado conjunto T y sea X el conjunto de valores de esta función sobre el cual se define la función f(x). Entonces, si en el conjunto X la función f(x) tiene una primitiva, entonces en el conjunto T la fórmula es válida:
La fórmula (1) se denomina fórmula de cambio de variable en la integral indefinida.
Integración por partes. El método de integración por partes se deriva de la fórmula para el diferencial del producto de dos funciones. Sean u(x) y v(x) dos funciones diferenciables de la variable x. Entonces:
d(uv)=udv+vdu. - (3)
Integrando ambos lados de la igualdad (3), obtenemos:
Pero desde entonces:
La relación (4) se llama fórmula de integración por partes. Usando esta fórmula, encuentre la integral. Es recomendable utilizarlo cuando la integral del lado derecho de la fórmula (4) es más sencilla de calcular que la original.
En la fórmula (4) no existe una constante arbitraria C, ya que en el lado derecho de esta fórmula hay una integral indefinida que contiene una constante arbitraria.
Presentamos algunos tipos de integrales que se encuentran con frecuencia y se calculan mediante el método de integración por partes.
I. Integrales de la forma, (P n (x) es un polinomio de grado n, k es un número determinado). Para encontrar estas integrales, basta con establecer u=P n (x) y aplicar la fórmula (4) n veces.
II. Integrales de la forma (Pn(x) es un polinomio de grado n con respecto a x). Se pueden encontrar usando frecuencias, tomando para u una función que es multiplicadora de P n (x).
Los cambios de variables se pueden utilizar para evaluar integrales simples y, en algunos casos, para simplificar el cálculo de otras más complejas.
El método de reemplazo de variables consiste en pasar de la variable de integración original, sea x, a otra variable, que denotamos como t. En este caso, creemos que las variables x y t están relacionadas por alguna relación x = x (t), o t = t (X). Por ejemplo, x = en t, x = pecado t,t = 2x+1, etcétera. Nuestra tarea es seleccionar una relación entre x y t tal que la integral original se reduzca a una tabular o se vuelva más simple.
Fórmula básica de reemplazo de variables
Consideremos la expresión que se encuentra bajo el signo integral. Consiste en el producto del integrando, que denotamos como f (X) y diferencial dx: . Pasemos a una nueva variable t eligiendo alguna relación x = x (t). Entonces debemos expresar la función f (X) y el diferencial dx a través de la variable t.
Para expresar la función integrando f (X) a través de la variable t, solo necesitas sustituir la relación seleccionada x = x en lugar de la variable x (t).
La conversión diferencial se hace así:
.
Es decir, el diferencial dx es igual al producto de la derivada de x con respecto a t y el diferencial dt.
Entonces
.
En la práctica, el caso más común es en el que realizamos una sustitución eligiendo una nueva variable en función de la anterior: t = t (X). Si supusiéramos que la función integrando se puede representar como
,
donde T' (X) es la derivada de t con respecto a x, entonces
.
Entonces, la fórmula básica de reemplazo de variables se puede presentar de dos formas.
(1)
,
donde x es una función de t.
(2)
,
donde t es una función de x.
Nota IMPORTANTE
En las tablas de integrales, la variable de integración suele denotarse como x. Sin embargo, vale la pena considerar que la variable de integración puede denotarse con cualquier letra. Además, cualquier expresión puede utilizarse como variable de integración.
Como ejemplo, considere la integral de tabla.
.
Aquí x puede ser reemplazado por cualquier otra variable o función de una variable. A continuación se muestran ejemplos de posibles opciones:
;
;
.
En el último ejemplo, hay que tener en cuenta que al pasar a la variable de integración x, el diferencial se transforma de la siguiente manera:
.
Entonces
.
Este ejemplo capta la esencia de la integración por sustitución. Es decir, debemos suponer que
.
Después de lo cual la integral se reduce a una tabular.
.
Puedes evaluar esta integral usando un cambio de variable usando la fórmula (2)
. Pongamos t = x 2+x. Entonces
;
;
.
Ejemplos de integración por cambio de variable
1)
Calculemos la integral
.
Nos damos cuenta que (sen x)′ = cos x. Entonces
.
Aquí hemos utilizado la sustitución t = pecado x.
2)
Calculemos la integral
.
Nos damos cuenta que . Entonces
.
Aquí realizamos la integración cambiando la variable t = arctán x.
3)
integremos
.
Nos damos cuenta que . Entonces
. Aquí, durante la integración, se reemplaza la variable t = x 2 + 1
.
Sustituciones lineales
Quizás las más comunes sean las sustituciones lineales. Este es un reemplazo de una variable de la forma
t = hacha + b,
donde a y b son constantes. Con tal reemplazo, los diferenciales están relacionados por la relación
.
Ejemplos de integración por sustituciones lineales
A) calcular integrales
.
Solución.
.
B) Encuentra la integral
.
Solución.
Usemos las propiedades de la función exponencial.
.
en 2- esto es una constante. Calculamos la integral.
.
C) calcular integrales
.
Solución.
Reduzcamos el polinomio cuadrático en el denominador de la fracción a la suma de cuadrados.
.
Calculamos la integral.
.
D) Encuentra la integral
.
Solución.
Transformemos el polinomio bajo la raíz.
.
Integramos utilizando el método de reemplazo de variables.
.
Anteriormente recibimos la fórmula.
.
De aquí
.
Sustituyendo esta expresión, obtenemos la respuesta final.
MI) calcular integrales
.
Solución.
Apliquemos la fórmula del producto del seno y el coseno.
;
.
Integramos y hacemos sustituciones.
.
Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunter, R.O. Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, “Lan”, 2003.
En esta lección nos familiarizaremos con una de las técnicas más importantes y más comunes que se utiliza para resolver integrales indefinidas: el método de cambio de variable. El dominio exitoso del material requiere conocimientos iniciales y habilidades de integración. Si tiene la sensación de tener una tetera llena y vacía en el cálculo integral, primero debe familiarizarse con el material, donde le expliqué de forma accesible qué es una integral y analicé en detalle ejemplos básicos para principiantes.
Técnicamente, el método de cambiar una variable en una integral indefinida se implementa de dos maneras:
– Subsumir la función bajo el signo diferencial;
– Realmente reemplazando la variable..
Esencialmente, son lo mismo, pero el diseño de la solución parece diferente.
Comencemos con un caso más simple.
Subsumir una función bajo el signo diferencial
En la lección Integral indefinida. Ejemplos de soluciones Aprendimos a abrir el diferencial, les recuerdo el ejemplo que puse:
Es decir, revelar una diferencial es formalmente casi lo mismo que encontrar una derivada.
Ejemplo 1
Realizar verificación.
Miramos la tabla de integrales y encontramos una fórmula similar: 
. Pero el problema es que bajo el seno no sólo tenemos la letra “X”, sino una expresión compleja. ¿Qué hacer?
Llevamos la función bajo el signo diferencial:
Abriendo el diferencial es fácil comprobar que: 
De hecho y 
es una grabación de lo mismo.
Pero, aún así, la pregunta permaneció, ¿cómo llegamos a la idea de que en el primer paso necesitamos escribir nuestra integral exactamente así: 
? ¿Por qué es esto y no de otra manera?
Fórmula 
(y todas las demás fórmulas de tabla) son válidas y aplicables NO SÓLO para la variable, sino también para cualquier expresión compleja SÓLO COMO ARGUMENTO DE FUNCIÓN( – en nuestro ejemplo) Y LA EXPRESIÓN BAJO EL SIGNO DIFERENCIAL FUERON LO MISMO
.
Por tanto, el razonamiento mental a la hora de resolver debería ser algo como esto: “Necesito resolver la integral. Miré en la tabla y encontré una fórmula similar. 
. Pero tengo un argumento complejo y no puedo utilizar la fórmula de inmediato. Sin embargo, si consigo ponerlo bajo el signo diferencial, todo irá bien. Si lo escribo, entonces. Pero en la integral original no hay factor tres, por lo tanto, para que la función integrando no cambie, necesito multiplicarla por ". En el curso de aproximadamente tal razonamiento mental, nace la siguiente entrada:
Ahora puedes usar la fórmula tabular. 
:
Listo
La única diferencia es que no tenemos la letra “X”, sino una expresión compleja.
Vamos a revisar. Abre la tabla de derivadas y diferencia la respuesta: 
Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.
Tenga en cuenta que durante la verificación utilizamos la regla para diferenciar una función compleja. 
. En esencia, subsumir la función bajo el signo diferencial y 
- estas son dos reglas mutuamente inversas.
Ejemplo 2
Analicemos la función integrando. Aquí tenemos una fracción y el denominador es una función lineal (con “x” elevada a la primera). Miramos la tabla de integrales y encontramos lo más parecido: 
.
Llevamos la función bajo el signo diferencial: 
Aquellos a quienes les resulta difícil determinar inmediatamente por qué fracción multiplicar pueden revelar rápidamente el diferencial en un borrador: . Sí, resulta que esto significa que para que nada cambie, necesito multiplicar la integral por.
A continuación usamos la fórmula tabular. 
:
Examen: 
Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha encontrado correctamente.
Ejemplo 3
Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.
Ejemplo 4
Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.
Con algo de experiencia en la resolución de integrales, estos ejemplos le parecerán fáciles y funcionarán como locos:
Al final de esta sección, también me gustaría detenerme en el caso “libre”, cuando en una función lineal una variable ingresa con un coeficiente unitario, por ejemplo:
Estrictamente hablando, la solución debería verse así:
Como puede ver, subsumir la función bajo el signo diferencial fue "indoloro", sin multiplicaciones. Por lo tanto, en la práctica, una solución tan larga a menudo se descuida y se anota inmediatamente que 
. ¡Pero prepárate, si es necesario, para explicarle al profesor cómo lo resolviste! Porque en realidad no hay ninguna integral en la tabla.
Método de cambio de variable en integral indefinida.
Pasemos a considerar el caso general: el método de cambiar variables en una integral indefinida.
Ejemplo 5
Encuentra la integral indefinida.
Como ejemplo, tomé la integral que vimos al comienzo de la lección. Como ya hemos dicho, para resolver la integral nos gustó la fórmula tabular 
, y me gustaría reducirle todo el asunto a ella.
La idea detrás del método de reemplazo es reemplazar una expresión compleja (o alguna función) con una sola letra.
En este caso se ruega:
La segunda carta de reemplazo más popular es la carta.
En principio, puedes utilizar otras letras, pero seguiremos adheridos a las tradiciones.
Entonces: 
Pero cuando lo reemplazamos, ¡nos queda! Probablemente, muchos adivinaron que si se hace una transición a una nueva variable, entonces en la nueva integral todo debería expresarse mediante la letra , y no hay lugar para un diferencial allí.
La conclusión lógica es que es necesario convertirse en alguna expresión que depende sólo de.
La acción es la siguiente. Después de haber seleccionado un reemplazo, en este ejemplo, necesitamos encontrar el diferencial. Con diferencias, creo que todos ya han establecido una amistad.
Desde entonces
Después de desmontar el diferencial, recomiendo reescribir el resultado final lo más brevemente posible:
Ahora, según las reglas de proporción, expresamos lo que necesitamos:
Eventualmente: 
De este modo: 
Y esta ya es la integral más tabular. 
(la tabla de integrales, por supuesto, también es válida para la variable).
Finalmente solo queda realizar la sustitución inversa. Recordemos eso.
Listo.
El diseño final del ejemplo considerado debería verse así:
“
Reemplacemos: 
“
El icono no tiene ningún significado matemático, significa que hemos interrumpido la solución para explicaciones intermedias.
Al preparar un ejemplo en un cuaderno, es mejor marcar la sustitución inversa con un simple lápiz.
¡Atención! En los siguientes ejemplos, la búsqueda del diferencial no se describirá en detalle.
Y ahora toca recordar la primera solución: 
¿Cuál es la diferencia? No hay ninguna diferencia fundamental. En realidad es lo mismo. Pero desde el punto de vista del diseño de la tarea, el método de subsumir una función bajo el signo diferencial es mucho más corto..
Surge la pregunta. Si el primer método es más corto, ¿por qué utilizar el método de reemplazo? El hecho es que para varias integrales no es tan fácil "ajustar" la función al signo del diferencial.
Ejemplo 6
Encuentra la integral indefinida. 
Hagamos un reemplazo: (es difícil pensar en otro reemplazo aquí) 
Como puede ver, como resultado del reemplazo, la integral original se simplificó significativamente: se redujo a una función de potencia ordinaria. Este es el propósito del reemplazo: simplificar la integral..
Las personas avanzadas y perezosas pueden resolver fácilmente esta integral subsumiendo la función bajo el signo diferencial: 
Otra cosa es que esta solución, obviamente, no es para todos los estudiantes. Además, ya en este ejemplo, el uso del método de subsumir una función bajo el signo diferencial aumenta significativamente el riesgo de confundirse en una decisión.
Ejemplo 7
Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.
Ejemplo 8
Encuentra la integral indefinida. 
Reemplazo:
Queda por ver en qué se convertirá. 
Vale, lo hemos expresado, pero ¿qué hacer con la “X” que queda en el numerador?
De vez en cuando, al resolver integrales, nos encontramos con el siguiente truco: ¡expresaremos a partir de la misma sustitución! 
Ejemplo 9
Encuentra la integral indefinida.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.
Ejemplo 10
Encuentra la integral indefinida.
Seguramente algunas personas notaron que en mi tabla de búsqueda no existe una regla de reemplazo de variables. Esto se hizo deliberadamente. La regla crearía confusión en la explicación y comprensión, ya que no aparece explícitamente en los ejemplos anteriores.
Ahora es el momento de hablar sobre la premisa básica del uso del método de sustitución de variables: el integrando debe contener alguna función y su derivada:(Es posible que las funciones no estén en el producto)
En este sentido, al encontrar integrales, a menudo hay que consultar la tabla de derivadas.
En el ejemplo considerado, notamos que el grado del numerador es uno menos que el grado del denominador. En la tabla de derivadas encontramos la fórmula, que simplemente reduce el grado en uno. Y eso significa que si lo designas como denominador, entonces hay muchas posibilidades de que el numerador se convierta en algo bueno.
