Mida tähendab kolmnurga ümbermõõdu leidmine. Kuidas leida kolmnurga ümbermõõt, kui kõik küljed pole teada. Suvaline kolmnurk, mille üks külg on teadmata

Eelinfo

Iga tasapinnalise tasapinnalise geomeetrilise kujundi ümbermõõt on määratletud selle kõigi külgede pikkuste summana. Kolmnurk pole selles osas erand. Esiteks anname kolmnurga mõiste, samuti kolmnurkade tüübid sõltuvalt külgedest.

Definitsioon 1

Kolmnurka nimetatakse geomeetriliseks kujundiks, mis koosneb kolmest punktist, mis on omavahel ühendatud segmentidega (joonis 1).

2. definitsioon

Definitsioonis 1 olevaid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks.

3. määratlus

Definitsiooni 1 raames olevaid segmente nimetatakse kolmnurga külgedeks.

Ilmselgelt on igal kolmnurgal 3 tippu ja 3 külge.

Kolmnurgad jagunevad olenevalt külgede omavahelisest suhtest skaalaks, võrdhaarseteks ja võrdkülgseteks.

4. määratlus

Kolmnurka nimetatakse mastaapseks, kui ükski selle külgedest ei ole võrdne ühegi teisega.

Definitsioon 5

Kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks, kui selle kaks külge on üksteisega võrdsed, kuid mitte võrdsed kolmanda küljega.

Definitsioon 6

Kolmnurka nimetatakse võrdkülgseks, kui selle kõik küljed on üksteisega võrdsed.

Kõiki nende kolmnurkade tüüpe näete joonisel 2.

Kuidas leida skaala kolmnurga ümbermõõt?

Olgu meile antud skaalakolmnurk, mille külgede pikkus on võrdne $α$, $β$ ja $γ$.

Järeldus: Skaalakolmnurga ümbermõõdu leidmiseks lisage kõik selle külgede pikkused kokku.

Näide 1

Leidke skaala kolmnurga ümbermõõt, mis võrdub $34$ cm, $12$ cm ja $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Vastus: $57 vt.

Näide 2

Leidke täisnurkse kolmnurga ümbermõõt, mille jalad on $6$ ja $8$ cm.

Esiteks leiame Pythagorase teoreemi abil selle kolmnurga hüpotenuuside pikkuse. Tähistage seda siis $α$-ga

$α=10$ Skaalakolmnurga perimeetri arvutamise reegli järgi saame

$P=10+8+6=24$ cm

Vastus: $24 vt.

Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt?

Olgu meile antud võrdhaarne kolmnurk, mille külgede pikkus võrdub $α$ ja aluse pikkus on võrdne $β$.

Lameda geomeetrilise kujundi perimeetri määratluse järgi saame selle

$P=α+α+β=2α+β$

Järeldus: Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõdu leidmiseks lisage selle külgede pikkus selle aluse pikkusele kaks korda.

Näide 3

Leidke võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt, kui selle küljed on $12$ cm ja alus on $11$ cm.

Ülaltoodud näitest näeme seda

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Vastus: $35 vt.

Näide 4

Leidke võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt, kui selle kõrgus aluse külge on $8$ cm ja alus on $12$ cm.

Mõelge joonisele vastavalt probleemi olukorrale:

Kuna kolmnurk on võrdhaarne, on $BD$ ka mediaan, seega $AD=6$ cm.

Pythagorase teoreemi järgi leiame kolmnurgast $ADB$ külje. Tähistage seda siis $α$-ga

Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõdu arvutamise reegli kohaselt saame

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Vastus: $32 vt.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt?

Olgu meile antud võrdkülgne kolmnurk, mille kõigi külgede pikkus võrdub $α$.

Lameda geomeetrilise kujundi perimeetri määratluse järgi saame selle

$P=α+α+α=3α$

Järeldus: Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõdu leidmiseks korrutage kolmnurga külje pikkus 3 dollariga.

Näide 5

Leidke võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt, kui selle külg on $12 $ cm.

Ülaltoodud näitest näeme seda

$P=3\cdot 12=36$ cm

Sisu:

Ümbermõõt on kahemõõtmelise kujundi piiride kogupikkus. Kui soovite leida kolmnurga ümbermõõtu, peate lisama selle kõigi külgede pikkused; kui te ei tea kolmnurga vähemalt ühe külje pikkust, peate selle leidma. See artikkel räägib teile (a) kuidas leida kolmnurga ümbermõõt, arvestades kolme teadaolevat külge; (b) kuidas leida täisnurkse kolmnurga ümbermõõt, kui on teada ainult kaks külge; (c) kuidas leida iga kolmnurga ümbermõõt, kui on antud kaks külge ja nendevaheline nurk (kasutades koosinuste seadust).

Sammud

1 Kolmel antud küljel

1. 1 Perimeetri leidmiseks kasutage valemit: P \u003d a + b + c, kus a, b, c on kolme külje pikkused, P on ümbermõõt.
2. 2 Leia kõigi kolme külje pikkused. Meie näites: a = 5, b = 5, c = 5.
   • See on võrdkülgne kolmnurk, kuna kõik kolm külge on ühepikkused. Kuid ülaltoodud valem kehtib iga kolmnurga kohta.
3. 3 Perimeetri leidmiseks lisage kõigi kolme külje pikkused. Meie näites: 5 + 5 + 5 = 15, see tähendab, P = 15.
   • Teine näide: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 Ärge unustage oma vastusesse lisada mõõtühikut. Meie näites on küljed mõõdetud sentimeetrites, seega peab teie lõplik vastus sisaldama ka sentimeetreid (või ülesande kirjelduses määratud ühikuid).
   • Meie näites on kumbki külg 5 cm, seega on lõplik vastus P = 15 cm.

2 Arvestades täisnurkse kolmnurga kaks külge

1. 1 Pidage meeles Pythagorase teoreemi. See teoreem kirjeldab täisnurkse kolmnurga külgede vahelist seost ning on matemaatikas üks kuulsamaid ja rakendatavamaid teoreeme. Teoreem ütleb, et mis tahes täisnurkne kolmnurk küljed on ühendatud järgmise suhtega: a 2 + b 2 \u003d c 2, kus a, b on jalad, c on hüpotenuus.
2. 2 Joonistage kolmnurk ja märgistage küljed a, b, c. Täisnurkse kolmnurga pikim külg on hüpotenuus. See asub õige nurga vastas. Märgistage hüpotenuus tähega "c". Jalad (täisnurgaga külgnevad küljed) on tähistatud kui "a" ja "b".
3. 3 Asendage teadaolevate külgede väärtused Pythagorase teoreemiga (a 2 + b 2 = c 2). Tähtede asemel asenda ülesande tingimuses antud numbrid.
   • Näiteks a = 3 ja b = 4. Asendage need väärtused Pythagorase teoreemiga: 3 2 + 4 2 = c 2 .
   • Teine näide: a = 6 ja c = 10. Siis: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Lahendage saadud võrrand, et leida tundmatu pool. Selleks pane esmalt teadaolevad külgede pikkused ruutu (lihtsalt korruta sulle antud arv iseendaga). Kui otsite hüpotenuusi, lisage kahe külje ruudud ja võtke saadud summa ruutjuur. Kui otsite jalga, lahutage hüpotenuusi ruudust teadaoleva jala ruut ja võtke saadud jagatise ruutjuur.
   • Esimeses näites: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 \u003d c 2; 25 = c2; √25 = s. Seega c = 25.
   • Teises näites: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 \u003d 100. Viige 36 võrrandi paremale poole ja saate: b 2 \u003d 64; b = √64. Seega b = 8.
5. 5
   • Meie esimeses näites: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • Meie teises näites: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 Vastavalt kahele antud küljele ja nendevahelisele nurgale

1. 1 Kolmnurga mis tahes külje võib leida koosinuste seadusega, kui teile on antud kaks külge ja nendevaheline nurk. See teoreem kehtib mis tahes kolmnurga kohta ja on väga kasulik valem. Koosinusteoreem: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), kus a, b, c on kolmnurga küljed, A, B, C on kolmnurga vastavate külgede vastas olevad nurgad.
2. 2 Joonista kolmnurk ja märgi küljed a, b, c; märgistage vastavate külgede vastas olevad nurgad kui A, B, C (st külje "a" vastas olev nurk, märgistage see kui "A" ja nii edasi).
   • Näiteks antud kolmnurk külgedega 10 ja 12 ning nende vahelise nurgaga 97°, see tähendab a = 10, b = 12, C = 97°.
3. 3 Asendage teile antud väärtused valemis ja leidke tundmatu pool "c". Kõigepealt tehke teadaolevate külgede pikkused ruudukujuliseks ja lisage saadud väärtused. Seejärel leidke nurga C koosinus (kasutades kalkulaatorit või veebikalkulaatorit). Korrutage teadaolevate külgede pikkused antud nurga koosinusega ja 2-ga (2abcos(C)). Lahutage saadud väärtus kahe külje ruutude summast (a 2 + b 2) ja saate c 2 . Tundmatu külje "c" pikkuse leidmiseks võtke selle väärtuse ruutjuur. Meie näites:
   • c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
   • c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
   • c 2 \u003d 244 - (-29,25)
   • c2 = 244 + 29,25
   • c2 = 273,25
   • c = 16,53
4. 4 Perimeetri leidmiseks lisage kolme külje pikkused. Tuletame meelde, et ümbermõõt arvutatakse valemiga: P = a + b + c.
   • Meie näites: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Kolmnurga ümbermõõtu saab leida mitte ainult selle külgede pikkusi liites. Mida teha näiteks, kui on antud kolmnurga üks külg ja nurgad või näiteks kaks külge ja nende vahele jääv nurk?

1. Kui kõik kolm poolt on teada.

Suvalise kolmnurga ümbermõõt on a+b+c .

Kui on antud võrdkülgne (regulaarne) kolmnurk, siis P \u003d 3a, see tähendab külje pikkus, korrutatuna kolmega.

Kui on antud võrdhaarne kolmnurk, siis P \u003d 2a + c, kus a on külg ja c on alus.

2. Antud kaks külge ja nendevahelise nurga väärtus.

Alustuseks saate koosinusteoreemist välja selgitada kolmanda külje, mis asub nurga "beeta;" vastas. See külg (nimetagem seda küljeks c) võrdub avaldise a 2 +b 2 -2∙a∙b∙cosbeta; ruutjuurega.

Seetõttu on ümbermõõt võrdne "a+b+radic;(a 2 +b 2 -2∙a∙b∙kosbeeta;).

3. Kui on teada külg ja kaks külgnevat nurka.

Sel juhul tuleb kolmnurga ümbermõõdu leidmiseks arvestada siinusteoreemiga.

Siis on perimeetri arvutamise valem kujul " a+sinalfa;∙a/(sin(180°;-alfa;-beeta;)) + sinbeta;∙a/(sin(180°;-alfa;-beeta;)).

4. Kui teate kolmnurga pindala ja kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiust.

Seejärel leiate kolmnurga ümbermõõdu kahekordse pindala ja sisse kirjutatud ringi raadiuse suhte kaudu:» P=2S/r.

Erijuhtumid

(ümbermõõt, mida väljendatakse sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiuses).

1. Korrapärase kolmnurga puhul P=3Rradic;3=6rradic;3 .

2. Võrdhaarse kolmnurga puhul P=2R(2sinalfa;+sinbeta;) .

Iga kolmnurga ümbermõõt on joonist piirava joone pikkus. Selle arvutamiseks peate teadma selle hulknurga kõigi külgede summat.

Arvutamine küljepikkuste etteantud väärtustest

Kui nende väärtused on teada, pole seda raske teha. Tähistades neid parameetreid tähtedega m, n, k ja perimeetrit tähega P, saame arvutamise valemi: P = m + n + k. Ülesanne: Teadaolevalt on kolmnurga küljed 13,5 detsimeetrit, 12,1 detsimeetrit ja 4,2 detsimeetrit pikad. Uurige perimeetrit. Lahendame: Kui selle hulknurga küljed on a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, siis P = 29,8 dm. Vastus: P = 29,8 dm.

Kolmnurga ümbermõõt, millel on kaks võrdset külge

Sellist kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks kolmnurgaks. Kui need võrdsed küljed on sentimeetrit pikad ja kolmas külg on b sentimeetrit pikk, on perimeetrit lihtne teada saada: P \u003d b + 2a. Ülesanne: kolmnurga kaks külge on 10 detsimeetrit, alus on 12 detsimeetrit. Leidke P. Lahendus: Olgu külje külg a = c = 10 dm, alus b = 12 dm. Külgede summa P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm. Vastus: P = 32 detsimeetrit.

Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt

Kui kolmnurga kõigil kolmel küljel on sama arv ühikuid, nimetatakse seda võrdkülgseks kolmnurgaks. Teine nimi on õige. Tavalise kolmnurga ümbermõõt leitakse järgmise valemi abil: P \u003d a + a + a \u003d 3 a. Ülesanne: Meil ​​on võrdkülgne kolmnurkne maatükk. Üks külg on 6 meetrit. Leidke aia pikkus, mis võib seda ala ümbritseda. Lahendus: Kui selle hulknurga külg on a= 6m, siis aia pikkus on P = 3 6 = 18 (m). Vastus: P = 18 m.

Kolmnurk, mille nurk on 90°

Seda nimetatakse ristkülikukujuliseks. Täisnurga olemasolu võimaldab trigonomeetriliste funktsioonide definitsiooni ja Pythagorase teoreemi abil leida tundmatuid külgi. Pikimat külge nimetatakse hüpotenuusiks ja tähistatakse c. On veel kaks külge, a ja b. Pythagorase teoreemi järgides saame c 2 = a 2 + b 2 . Jalad a \u003d √ (c 2 - b 2) ja b \u003d √ (c 2 - a 2). Teades kahe jala a ja b pikkust, arvutame hüpotenuusi. Seejärel leiame need väärtused liites joonise külgede summa. Ülesanne: täisnurkse kolmnurga jalgade pikkus on 8,3 sentimeetrit ja 6,2 sentimeetrit. Kolmnurga ümbermõõt tuleb välja arvutada. Otsustame: Tähistame jalad a = 8,3 cm, b = 6,2 cm Pythagorase teoreemi järgi hüpotenuus c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107,33 (=1 cm). P = 24,9 (cm). Või P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) \u003d 24,9 (cm). Vastus: P = 24,9 cm. Juurte väärtused võeti kümnendiku täpsusega. Kui teame hüpotenuusi ja jala väärtusi, saame P väärtuse, arvutades P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c. Ülesanne 2: Maatükk 90-kraadise nurga all, 12 km, üks jalg - 8 km. Kui kaua kulub kogu ala ümbersõitmiseks, kui liigute kiirusega 4 kilomeetrit tunnis? Lahendus: kui suurim lõik on 12 km, väiksem b = 8 km, siis on kogu tee pikkus P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Leidke aeg, jagades vahemaa kiirusega. 28,9:4 = 7,225 (h). Vastus: ringi saad 7,3 tunniga.Võtame ruutjuure väärtuse ja vastuse kümnendiku täpsusega. On võimalik leida täisnurkse kolmnurga külgede summa, mis on antud ühe külje ja ühe teravnurga väärtusest. Teades jala b pikkust ja vastasnurga β väärtust, leiame tundmatu külje a = b/ tg β. Leidke hüpotenuus c = a: sinα. Sellise kujundi ümbermõõt leitakse saadud väärtuste liitmisel. P = a + a/ sinα + a/ tg α või P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Ülesanne: Ristkülikukujulises Δ ABC täisnurgaga C on jala BC pikkus 10 m, nurk A on 29 kraadi. Peame leidma külgede summa Δ ABC. Lahendus: Tähistame teadaolevat jalga BC = a = 10 m, selle vastas asuvat nurka ∟А = α = 30°, siis jalga AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), hüpotenuus AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 \u003d 47,2 (m). Või P \u003d 10 (1 + 1,72 + 2) \u003d 47,2 m. Meil ​​on: P \u003d 47,2 m. Võtame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse sajandikute täpsusega, ümardame külgede pikkuse ja perimeetri väärtuse kümnendikku. Võttes jala α väärtuse ja kaasatud nurga β, saame teada, millega võrdub teine ​​jalg: b = a tg β. Hüpotenuus on sel juhul võrdne jalaga, mis on jagatud nurga β koosinusega. Ümbermõõt leiame valemiga P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) a. Ülesanne: 90-kraadise nurgaga kolmnurga jalg on 18 cm, kaasatud nurk on 40 kraadi. Leidke P. Lahendus: Tähistage tuntud jalga BC = 18 cm, ∟β = 40°. Siis tundmatu jalg AC = b = 18 0,83 = 14,9 (cm), hüpotenuus AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Joonise külgede summa on P = 56,3 (cm). Või P \u003d (1 + 1,3 + 0,83) * 18 \u003d 56,3 cm. Vastus: P \u003d 56,3 cm. Kui hüpotenuusi c pikkus ja mingi nurk α on teada, on jalad võrdsed hüpotenuusi korrutisega selle esimese nurga ja koosiini teise nurga võrra. Selle joonise ümbermõõt on P = (sin α + 1+ cos α)*c. Ülesanne: täisnurkse kolmnurga AB hüpotenuus = 9,1 sentimeetrit ja nurk on 50 kraadi. Leia antud joonise külgede summa. Lahendus: Tähista hüpotenuus: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, siis ühe jala BC pikkus on a = 9,1 0,77 = 7 (cm), jala AC = b = 9,1 0,64 = 5,8 (cm). Seega on selle hulknurga ümbermõõt P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Või P = 9,1 (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Vastus: P = 21,9 sentimeetrit.

Suvaline kolmnurk, mille üks külg on teadmata

Kui meil on kahe külje a ja c väärtused ning nende külgede vaheline nurk γ, leiame koosinusteoreemiga kolmanda: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β, kus β on külgede a ja c vaheline nurk. Siis leiame perimeetri. Ülesanne: Δ ABC-l on lõik AB pikkusega 15 dm, lõik AC, mille pikkus on 30,5 dm. Nende külgede vahelise nurga väärtus on 35 kraadi. Arvutage külgede summa Δ ABC. Lahendus: Koosinusteoreemi abil arvutame välja kolmanda külje pikkuse. eKr 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 \u003d 404,95. eKr = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm). Meil ​​on: P = 65,6 dm.

Suvalise kolmnurga külgede summa, mille kahe külje pikkus on teadmata

Kui teame ainult ühe segmendi pikkust ja kahe nurga väärtust, saame siinuse teoreemi abil teada kahe tundmatu külje pikkuse: "kolmnurgas on küljed alati võrdelised vastasnurkade siinuste väärtustega." Kus b = (a * sin β) / sin a. Samamoodi c = (a sin γ): sin a. Ümbermõõt on sel juhul P \u003d a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a. Ülesanne: Meil ​​on Δ ABC. Selles on külje BC pikkus 8,5 mm, nurga C väärtus 47 ° ja nurk B 35 kraadi. Leia antud joonise külgede summa. Lahendus: Tähistage küljepikkused BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α = 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35°) = 180° - 82° = 180° - 82° =. Siinusteoreemist saadud suhtarvudest leiame jalad AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Seega on selle hulknurga külgede summa P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Vastus: P = 23,5 mm. Juhul, kui on ainult ühe segmendi pikkus ja kahe külgneva nurga väärtused, arvutame esmalt teadaoleva külje vastasnurga. Kõik selle joonise nurgad on kokku 180 kraadi. Seetõttu ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Siis leiame siinusteoreemi abil tundmatud lõigud. Ülesanne: Meil ​​on Δ ABC. Selle segment BC on 10 cm. Nurk B on 48 kraadi, nurk C on 56 kraadi. Leidke külgede summa Δ ABC. Lahendus: Esmalt leidke nurga A väärtus vastasküljel BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Nüüd arvutame siinuse teoreemiga külje pikkuse AC \u003d 10 0,74: 0,97 \u003d 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Kolmnurga ümbermõõt P \u003d 10 + 8,6 + 7,6 \u003d 26,2 (cm). Tulemus: P = 26,2 cm.

Kolmnurga ümbermõõdu arvutamine sellesse kantud ringi raadiuse abil

Mõnikord pole probleemi seisundist teada kumbki pool. Kuid seal on kolmnurga pindala ja sellesse kirjutatud ringi raadius. Need suurused on omavahel seotud: S = r p. Teades kolmnurga pindala, raadiuse r väärtust, leiame poolperimeetri p. Leiame p = S: r. Ülesanne: Krundi pindala on 24 m 2, raadius r on 3 m. Leidke puude arv, mis tuleb istutada ühtlaselt piki seda krunti ümbritsevat joont, kui kahe naaberpuu vahel peaks olema 2 meetrit. Lahendus: leiame selle joonise külgede summa järgmiselt: P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (m). Siis jagame kahega. 16:2= 8. Kokku: 8 puud.

Kolmnurga külgede summa ristkoordinaatides

Tipudel Δ ABC on koordinaadid: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3). Leidke mõlema külje ruudud AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Perimeetri leidmiseks liitke lihtsalt kõik segmendid. Ülesanne: Tippude Δ ABC koordinaadid: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Leidke selle joonise külgede summa. Lahendus: pannes perimeetri valemisse vastavate koordinaatide väärtused, saame P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16. Meil on: P = 16,6. Kui kujund ei asu tasapinnal, vaid ruumis, siis on igal tipul kolm koordinaati. Seetõttu on külgede summa valemis veel üks liige.

vektormeetod

Kui kujund on antud tipukoordinaatidega, saab ümbermõõtu arvutada vektormeetodil. Vektor on sirglõik, millel on suund. Selle moodulit (pikkust) tähistatakse sümboliga ǀᾱǀ. Punktide vaheline kaugus on vastava vektori pikkus ehk vektori moodul. Mõelge tasapinnal asuvale kolmnurgale. Kui tippudel on koordinaadid A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3), siis leiame iga külje pikkuse valemitega: 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2). Kolmnurga ümbermõõt saame vektorite pikkused liites. Samamoodi leidke kolmnurga külgede summa ruumis.

Kolmnurga ümbermõõt, nagu ka muude asjade ja iga kujundi puhul, nimetatakse kõigi külgede pikkuste summaks. Üsna sageli aitab see väärtus pindala leida või kasutatakse joonise muude parameetrite arvutamiseks.
Kolmnurga perimeetri valem näeb välja selline:

Näide kolmnurga ümbermõõdu arvutamisest. Olgu antud kolmnurk külgedega a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm Asendage andmed valemis: cm

Perimeetri arvutamise valem võrdhaarne kolmnurk näeb välja selline:

Perimeetri arvutamise valem Võrdkülgne kolmnurk:

Näide võrdkülgse kolmnurga ümbermõõdu arvutamisest. Kui joonise kõik küljed on võrdsed, saab need lihtsalt kolmega korrutada. Oletame, et sel juhul on antud tavaline kolmnurk, mille külg on 5 cm: cm

Üldiselt, kui kõik küljed on antud, on perimeetri leidmine üsna lihtne. Muudes olukordades on vaja leida puuduva külje suurus. Täisnurksest kolmnurgast leiate kolmanda külje Pythagorase teoreem. Näiteks kui jalgade pikkused on teada, saate hüpotenuusi leida järgmise valemi abil:

Vaatleme näidet võrdhaarse kolmnurga ümbermõõdu arvutamisest, eeldusel, et teame täisnurkse võrdhaarse kolmnurga jalgade pikkust.
Antud kolmnurk jalgadega a \u003d b \u003d 5 cm. Leidke ümbermõõt. Esmalt leiame puuduva poole . cm
Nüüd arvutame ümbermõõdu: cm
Täisnurkse võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt on 17 cm.

Kui ühe jala hüpotenuus ja pikkus on teada, saab puuduva jala leida valemiga:
Kui täisnurksel kolmnurgal on teada hüpotenuus ja üks teravnurkadest, siis puuduv külg leitakse valemiga.