Nelinurga külgede ja diagonaalide vaheline seos. Nelinurga definitsioon. Täistunnid – Knowledge Hypermarket. Kooli geomeetria kursusel uurimata nelinurkade tüübid

Täna käsitleme geomeetrilist kujundit - nelinurka. Selle kujundi nimest selgub juba, et sellel figuuril on neli nurka. Kuid selle joonise ülejäänud omadusi ja omadusi käsitleme allpool.

Mis on nelinurk

Nelinurk on hulknurk, mis koosneb neljast punktist (tipust) ja neljast lõigust (küljest), mis ühendavad neid punkte paarikaupa. Nelinurga pindala on pool selle diagonaalide ja nendevahelise nurga korrutisest.

Nelinurk on hulknurk, millel on neli tippu, millest kolm ei asu samal sirgel.

Nelinurkade tüübid

Nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks.
Nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed ja ülejäänud kaks mitte, nimetatakse trapetsiks.
Kõikide täisnurkadega nelinurk on ristkülik.
Nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed, on romb.
Nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed ja nurgad täisnurksed, nimetatakse ruuduks.

Nelinurk võib olla:

ise ristuvad

mittekumer

kumer

Iselõikuv nelinurk on nelinurk, mille ükskõik millisel küljel on lõikepunkt (joonisel sinisega).

Mittekumer nelinurk on nelinurk, mille üks sisenurkadest on üle 180 kraadi (joonisel tähistatud oranžiga).

Nurkade summa iga nelinurk, mis ei lõiku ise, on alati 360 kraadi.

Nelinurkade eritüübid

Nelinurkadel võivad olla täiendavad omadused, mis moodustavad eritüüpi geomeetrilisi kujundeid:

Parallelogramm
Ristkülik
Ruut
Trapets
Deltalihas
Kontraparallelogramm

Nelinurk ja ring

Ringjoone ümber kirjutatud nelinurk (nelinurka sisse kirjutatud ring).

Piiratud nelinurga peamine omadus:

Nelinurka saab ringjoone ümber piirata siis ja ainult siis, kui vastaskülgede pikkuste summad on võrdsed.

Ringjoone sisse kirjutatud nelinurk (neliknurga ümber kirjutatud ring)

Sissekirjutatud nelinurga põhiomadused:

Ringi saab nelinurka kirjutada siis ja ainult siis, kui vastasnurkade summa on 180 kraadi.

Nelinurkse külje pikkuse omadused

Nelinurga mis tahes kahe külje erinevuse moodul ei ületa selle kahe teise külje summat.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Tähtis. Ebavõrdsus kehtib nelinurga külgede mis tahes kombinatsiooni kohta. Joonis on esitatud ainult mõistmise hõlbustamiseks.

Igas nelinurgas selle kolme külje pikkuste summa ei ole väiksem kui neljanda külje pikkus.

Tähtis. Sisemiste probleemide lahendamisel kooli õppekava võib kasutada ranget ebavõrdsust (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peavad ActiveX-juhtelemendid olema lubatud!

Üks huvitavamaid geomeetria teemasid koolikursusest on "Kvadrakud" (8. klass). Mis tüüpi selliseid kujusid eksisteerib, millised erilised omadused neil on? Mis on üheksakümnekraadiste nurkadega nelinurkade ainulaadset? Vaatame seda kõike.

Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse nelinurgaks

Hulknurki, mis koosnevad neljast küljest ja vastavalt neljast tipust (nurgast), nimetatakse Eukleidilises geomeetrias nelinurkadeks.

Huvitav on seda tüüpi figuuride nimede ajalugu. Vene keeles moodustatakse nimisõna "nelinurkne" fraasist "neli nurka" (samamoodi nagu "kolmnurk" - kolm nurka, "viisnurk" - viis nurka jne).

Ladina keeles (mille kaudu jõudsid paljud geomeetrilised terminid enamikusse maailma keeltesse) nimetatakse seda aga nelinurgaks. See sõna on moodustatud arvsõnast neli (neli) ja nimisõna latus (külg). Seega võime järeldada, et iidsete seas nimetati seda hulknurka ainult "neljapoolseks".

Muide, selline nimetus (rõhuga seda tüüpi kujunditel pigem nelja külje kui nurga olemasolul) on säilinud mõnes tänapäeva keeles. Näiteks inglise keeles - quadrilateral ja prantsuse keeles - quadrilatère.

Samal ajal tuvastatakse enamikus slaavi keeltes vaadeldav kujundite tüüp endiselt nurkade, mitte külgede arvu järgi. Näiteks slovaki keeles (štvoruholník), bulgaaria keeles (“chetirigalnik”), valgevene keeles (“chatyrokhkutnik”), ukraina keeles (“chotirikutnik”), tšehhi keeles (čtyřúhelník), kuid poola keeles nimetatakse nelinurka külgede arvu järgi - czworoboczny.

Mis tüüpi nelinurki õpitakse kooli õppekavas

Kaasaegses geomeetrias on 4 tüüpi nelja küljega hulknurki.

Mõne neist liiga keeruliste omaduste tõttu tutvustatakse koolilastele aga geomeetriatundides vaid kahte tüüpi.

Parallelogramm. Sellise nelinurga vastasküljed on paarikaupa üksteisega paralleelsed ja on vastavalt ka paarikaupa võrdsed.
Trapets (trapets või trapets). See nelinurk koosneb kahest vastasküljest, mis on üksteisega paralleelsed. Teisel küljepaaril seda funktsiooni aga pole.

Kooli geomeetria kursusel uurimata nelinurkade tüübid

Lisaks eelmainitule on veel kahte tüüpi nelinurki, mida kooliõpilastele geomeetriatundides nende erilise keerukuse tõttu ei tutvustata.

Deltaliha (lohe)- joonis, kus kaks paari külgnevaid külgi on üksteisega võrdse pikkusega. Selline nelinurk sai oma nime tänu sellele, et välimuselt sarnaneb see üsna tugevalt kreeka tähestiku tähega - “delta”.
Antiparallelogramm- see kujund on sama keeruline kui selle nimi. Selles on kaks vastaskülge võrdsed, kuid samal ajal ei ole nad üksteisega paralleelsed. Lisaks lõikuvad selle nelinurga pikad vastasküljed, nagu ka kahe teise, lühema külje pikendused.

Rööpküliku tüübid

Olles käsitlenud nelinurkade põhitüüpe, tasub pöörata tähelepanu selle alamliikidele. Niisiis jagunevad kõik rööpkülikud omakorda nelja rühma.

Klassikaline rööpkülik.
Romb (romb)- võrdsete külgedega nelinurkne kujund. Selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, jagades rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks.
Ristkülik. Nimi räägib enda eest. Kuna see on täisnurkadega nelinurk (igaüks neist võrdub üheksakümne kraadiga). Selle vastasküljed pole mitte ainult paralleelsed, vaid ka võrdsed.
Ruut (ruut). Nagu ristkülik, on see nelinurk täisnurksega, kuid selle kõik küljed on üksteisega võrdsed. See näitaja on rombi lähedal. Seega võib väita, et ruut on rombi ja ristküliku rist.

Ristküliku eriomadused

Arvestades jooniseid, mille külgedevaheline nurk on võrdne üheksakümne kraadiga, tasub ristkülikul lähemalt peatuda. Niisiis, millised eriomadused sellel on, mis eristavad seda teistest rööpkülikutest?

Et väita, et vaadeldav rööpkülik on ristkülik, peavad selle diagonaalid olema üksteisega võrdsed ja kõik nurgad peavad olema täisnurgad. Lisaks peab selle diagonaalide ruut vastama selle joonise kahe külgneva külje ruutude summale. Teisisõnu, klassikaline ristkülik koosneb kahest täisnurksest kolmnurgast ja neis, nagu teada, toimib vaadeldava nelinurga diagonaal hüpotenuusina.

Viimane selle figuuri loetletud märkidest on ka selle eriline omadus. Peale selle on veel teisigi. Näiteks asjaolu, et uuritava nelinurga kõik täisnurksed küljed on samal ajal selle kõrgused.

Lisaks, kui mis tahes ristküliku ümber tõmmatakse ring, on selle läbimõõt võrdne kirjutatud joonise diagonaaliga.

Selle nelinurga muude omaduste hulgas on see, et see on tasane ja seda ei eksisteeri mitteeukleidilises geomeetrias. See on tingitud asjaolust, et sellises süsteemis pole nelinurkseid kujundeid, mille nurkade summa on kolmsada kuuskümmend kraadi.

Ruut ja selle omadused

Olles käsitlenud ristküliku märke ja omadusi, tasub pöörata tähelepanu teisele teadusele teadaolevale täisnurksega nelinurgale (see on ruut).

Olles tegelikult sama ristkülik, kuid võrdsete külgedega, on sellel joonisel kõik selle omadused. Kuid erinevalt sellest esineb ruut mitteeukleidilises geomeetrias.

Lisaks on sellel figuuril muid omapäraseid tunnuseid. Näiteks asjaolu, et ruudu diagonaalid ei ole lihtsalt üksteisega võrdsed, vaid ka ristuvad täisnurga all. Seega, nagu romb, koosneb ruut neljast täisnurksest kolmnurgast, milleks see on jagatud diagonaalidega.

Lisaks on see näitaja kõigi nelinurkade seas kõige sümmeetrilisem.

Mis on nelinurga nurkade summa

Arvestades Eukleidilise geomeetriaga nelinurkade iseärasusi, tasub pöörata tähelepanu nende nurkadele.

Seega on kõigil ülaltoodud joonistel, olenemata sellest, kas sellel on täisnurgad või mitte, nende kogusumma alati sama - kolmsada kuuskümmend kraadi. See on seda tüüpi figuuri ainulaadne eripära.

Nelinurkade ümbermõõt

Olles välja mõelnud, mis on nelinurga nurkade summa ja muud seda tüüpi kujundite eriomadused, tasub teada, milliseid valemeid on nende ümbermõõdu ja pindala arvutamiseks kõige parem kasutada.

Mis tahes nelinurga ümbermõõdu määramiseks peate lihtsalt liitma selle kõigi külgede pikkused.

Näiteks KLMN-i joonisel saab selle perimeetri arvutada järgmise valemi abil: P \u003d KL + LM + MN + KN. Kui asendate siin olevad numbrid, saate: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Juhul, kui kõnealune kujund on romb või ruut, saate perimeetri leidmiseks valemit lihtsustada, korrutades lihtsalt selle ühe külje pikkuse neljaga: P \u003d KL x 4. Näiteks: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Pindala nelinurga valemid

Olles välja mõelnud, kuidas leida nelja nurga ja küljega figuuri ümbermõõt, tasub kaaluda kõige populaarsemaid ja lihtsamaid viise selle ala leidmiseks.

Nelinurkade muud omadused: sissekirjutatud ja piiritletud ringid

Võttes arvesse nelinurga kui Eukleidilise geomeetria kujundi tunnuseid ja omadusi, tasub pöörata tähelepanu võimalusele kirjeldada või kirjutada selle sisse ringe:

Kui kujundi vastasnurkade summad on igaüks sada kaheksakümmend kraadi ja on paarikaupa üksteisega võrdsed, siis saab sellise nelinurga ümber vabalt kirjeldada ringi.
Ptolemaiose teoreemi kohaselt, kui ringjoon on väljaspool nelja küljega hulknurka piiritletud, on selle diagonaalide korrutis võrdne antud joonise vastaskülgede korrutistega. Seega näeb valem välja selline: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
Kui konstrueerida nelinurk, mille vastaskülgede summad on üksteisega võrdsed, saab sellesse kirjutada ringi.

Olles välja mõelnud, mis on nelinurk, mis tüüpi see eksisteerib, millistel neist on ainult täisnurgad külgede vahel ja millised omadused neil on, tasub kogu see materjal meeles pidada. Eelkõige vaadeldavate hulknurkade perimeetri ja pindala leidmise valemid. Sellise kujuga arvud on ju ühed levinumad ja need teadmised võivad reaalses elus arvutustes kasuks tulla.

Kumer nelinurk on kujund, mis koosneb neljast tipust üksteisega ühendatud küljelt, mis moodustavad külgedega koos neli nurka, kusjuures nelinurk ise on alati samal tasapinnal sirgjoonega, millel asub üks selle külgedest. Teisisõnu, kogu kujund on selle mis tahes külje ühel küljel.

Kokkupuutel

Nagu näete, on määratlus üsna lihtne meelde jätta.

Põhiomadused ja tüübid

Peaaegu kõik meile teadaolevad neljast nurgast ja küljelt koosnevad kujundid on omistatavad kumeratele nelinurkadele. Eristada saab järgmist:

rööpkülik;
ruut;
ristkülik;
trapetsikujuline;
romb.

Kõiki neid figuure ühendab mitte ainult see, et nad on nelinurksed, vaid ka see, et nad on ka kumerad. Vaadake lihtsalt diagrammi:

Joonisel on kujutatud kumer trapets. Siin on näha, et trapets asub lõigu samal tasapinnal või ühel küljel. Kui teete sarnaseid toiminguid, saate teada, et kõigi teiste külgede puhul on trapets kumer.

Kas rööpkülik on kumer nelinurk?

Ülal on rööpküliku kujutis. Nagu jooniselt näha, rööpkülik on ka kumer. Kui vaadata joonist nende sirgete suhtes, millel asuvad lõigud AB, BC, CD ja AD, selgub, et see on nende joonte põhjal alati samal tasapinnal. Rööpküliku põhiomadused on see, et selle küljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed samamoodi nagu vastasnurgad on üksteisega võrdsed.

Kujutage nüüd ette ruutu või ristkülikut. Oma põhiomaduste järgi on nad ka rööpkülikukujulised, st kõik nende küljed on paigutatud paaridesse paralleelselt. Ainult ristküliku puhul võivad külgede pikkused olla erinevad ja nurgad täisnurksed (võrdsed 90 kraadiga), ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed ja nurgad on samuti täisnurgad, samas kui rööpküliku külgede pikkused ja nurgad võivad olla erinevad.

Selle tulemusena nelinurga kõigi nelja nurga summa peab olema võrdne 360 kraadiga. Lihtsaim viis seda määrata ristküliku abil: ristküliku kõik neli nurka on õiged, see tähendab 90 kraadi. Nende 90-kraadiste nurkade summa annab 360 kraadi ehk teisisõnu, kui liita 90 kraadi 4 korda, saad soovitud tulemuse.

Kumera nelinurga diagonaalide omadus

Kumera nelinurga diagonaalid lõikuvad. Tõepoolest, seda nähtust saab visuaalselt jälgida, vaadake lihtsalt joonist:

Vasakpoolsel joonisel on kujutatud mittekumerat nelinurka või nelinurka. Nagu soovite. Nagu näha, siis diagonaalid ei ristu, vähemalt mitte kõik. Paremal on kumer nelinurk. Siin on juba täheldatud diagonaalide lõikumise omadust. Sama omadust võib pidada ka nelinurga kumeruse märgiks.

Nelinurga muud omadused ja kumeruse tunnused

Täpsemalt, selle termini järgi on väga raske nimetada mingeid konkreetseid omadusi ja omadusi. Seda on lihtsam isoleerida erinevat tüüpi seda tüüpi nelinurkade järgi. Võite alustada rööpkülikuga. Teame juba, et see on nelinurkne kujund, mille küljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed. Samal ajal hõlmab see ka rööpküliku diagonaalide omadust üksteisega ristuda, aga ka kujundi enda kumeruse märki: rööpkülik on alati samal tasapinnal ja selle mis tahes külje suhtes ühel küljel.

Niisiis, peamised omadused ja omadused on teada:

nelinurga nurkade summa on 360 kraadi;
kujundite diagonaalid lõikuvad ühes punktis.

Ristkülik. Sellel joonisel on kõik samad omadused ja omadused nagu rööpkülikul, kuid kõik selle nurgad on 90 kraadi. Sellest ka nimi, ristkülik.

Ruut, sama rööpkülik, kuid selle nurgad on õiged, nagu ristkülik. Seetõttu nimetatakse ruutu harva ristkülikuks. Kuid ruudu peamine eristav omadus, lisaks juba eespool loetletud, on see, et selle kõik neli külge on võrdsed.

Trapets on väga huvitav kujund.. See on ka nelinurk ja ka kumer. Selles artiklis on trapetsi juba käsitletud joonise näitel. On selge, et ta on ka kumer. Peamine erinevus ja vastavalt ka trapetsi märk seisneb selles, et selle küljed ei pruugi olla üksteisega absoluutselt võrdsed nii pikkuse kui ka nurkade väärtusega. Sel juhul jääb joonis alati samale tasapinnale mis tahes sirge suhtes, mis ühendab selle mis tahes kahte tippu piki joonist moodustavaid segmente.

Romb on sama huvitav kuju. Osaliselt võib rombi pidada ruuduks. Rombi tunnuseks on asjaolu, et selle diagonaalid mitte ainult ei lõiku, vaid jagavad ka rombi nurgad pooleks ning diagonaalid ise lõikuvad täisnurga all, see tähendab, et nad on risti. Kui rombi külgede pikkused on võrdsed, siis jagatakse ka diagonaalid ristumiskohas pooleks.

Deltoidid või kumerad rombid (rombid) võib olla erineva küljepikkusega. Kuid samal ajal on endiselt säilinud nii rombi enda peamised omadused ja tunnused kui ka kumeruse tunnused ja omadused. See tähendab, et võime jälgida, et diagonaalid poolitavad nurki ja lõikuvad täisnurga all.

Tänane ülesanne oli läbi mõelda ja mõista, mis on kumerad nelinurgad, mis need on ja millised on nende peamised tunnused ja omadused. Tähelepanu! Tasub veel kord meenutada, et kumera nelinurga nurkade summa on 360 kraadi. Näiteks kujundite ümbermõõt on võrdne kõigi joonist moodustavate segmentide pikkuste summaga. Nelinurkade ümbermõõdu ja pindala arvutamise valemeid käsitletakse järgmistes artiklites.

Kumerate nelinurkade tüübid

Definitsioon. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Kinnisvara. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed ja vastasnurgad on võrdsed.

Kinnisvara. Rööpküliku diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga.

1 rööpkülikumärk. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis on nelinurk rööpkülik.

2 rööpküliku märk. Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, siis on nelinurk rööpkülik.

3 rööpküliku märk. Kui nelinurgas lõikuvad diagonaalid ja lõikepunkt poolitatakse, siis on see nelinurk rööpkülik.

Definitsioon. Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks külge ei ole paralleelsed. Paralleelseid külgi nimetatakse põhjustel.