एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन कैसे ज्ञात करें। घन मीटर में आयतन कैसे ज्ञात करें। गणित के उद्भव और विकास के इतिहास के बारे में कहानियाँ

एक समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्मीय आकृति है जिसके सभी चेहरे समांतर चतुर्भुज हैं। यदि साधारण आयत चेहरे के रूप में कार्य करते हैं, तो समांतर चतुर्भुज आयताकार होता है और यह इस आकृति का आकार होता है जो पैनल हाउस, एक्वैरियम, किताबें, प्रिंटर या ईंट जैसी वास्तविक वस्तुओं के पास होता है।

बॉक्स की ज्यामिति

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज छह चेहरों से घिरा होता है, जबकि आकृति के विपरीत चेहरे एक दूसरे के बराबर और समानांतर होते हैं। यह ज्यामितीय आकृति एक सही चतुष्कोणीय प्रिज्म का एक विशेष मामला है। समांतर चतुर्भुज में 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं। प्रत्येक शीर्ष पर, आकृति के तीन किनारे मिलते हैं, जो समानांतर चतुर्भुज या उसके आयामों की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं। यदि आकृति की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है, तो बॉक्स घन में बदल जाता है।

वास्तविक जीवन में समानांतर

बड़ी संख्या में वस्तुएँ जो वास्तविकता में मौजूद हैं, एक समानांतर चतुर्भुज के आकार की हैं। उत्पादन में आसानी, भंडारण और परिवहन में आसानी, समान समानांतर चतुर्भुजों की आदर्श अनुकूलता, स्थिरता और आयामों की स्थिरता के कारण यह रूप व्यापक हो गया है। ईंटें, बक्से, स्मार्टफोन, बिजली की आपूर्ति, घर, कमरे, और बहुत कुछ जैसी वस्तुओं का समानांतर चतुर्भुज आकार होता है।

डिब्बे का आयतन

किसी भी ज्यामितीय निकाय की एक महत्वपूर्ण संपत्ति इसकी क्षमता है, अर्थात आकृति का आयतन। आयतन किसी वस्तु की एक विशेषता है जो इंगित करता है कि यह कितने इकाई घनों को धारण कर सकता है। सामान्य स्थिति में, किसी भी प्रिज्मीय आकृति के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहाँ So आकृति के आधार का क्षेत्रफल है, और h उसकी ऊँचाई है।

इस सूत्र को निम्न उदाहरण द्वारा आसानी से समझा जा सकता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास A4 पेपर की एक शीट है। यह एक साधारण आयत है, जिसकी विशेषता एक कड़ाई से परिभाषित क्षेत्र है। मोटे तौर पर, शीट एक विमान है। अब A4 पेपर की 500 शीटों के मानक रीम की कल्पना करें। यह पहले से ही एक त्रि-आयामी आकृति है, जिसमें समानांतर चतुर्भुज का आकार है। इसकी मात्रा का पता लगाना आसान है, यह आधार पर पड़ी शीट के क्षेत्रफल को उनकी संख्या से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, अर्थात प्रिज्म की ऊंचाई से।

एक समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म का एक विशेष मामला है, जो एक आयत पर आधारित है। एक आयत का क्षेत्रफल केवल उसकी भुजाओं का गुणनफल होता है, इसलिए एक घनाभ के लिए:

मात्रा निर्धारित करने के लिए, यह आंकड़ा की ऊंचाई से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। इस प्रकार, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना शरीर के तीन पक्षों के गुणन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक साधारण सूत्र द्वारा की जाती है:

वी = ए × बी × एच,

जहाँ a लंबाई है, b चौड़ाई है, h ज्यामितीय आकृति की ऊँचाई है।

एक घनाभ का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको बस इन तीन मापदंडों को मापने और उन्हें गुणा करने की आवश्यकता है। यदि आप ज्यामितीय आकृतियों के आयतन और क्षेत्रों के निर्धारण के लिए सूत्रों को लगातार ध्यान में नहीं रखना चाहते हैं, तो हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर की सूची का उपयोग करें: प्रत्येक उपकरण आपको बताएगा कि आपको कौन से मापदंडों को मापना चाहिए और तुरंत परिणाम की गणना करें। आइए कुछ उदाहरण देखें जहां आपको एक बॉक्स का आयतन निर्धारित करने की आवश्यकता हो सकती है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

मछलीघर

उदाहरण के लिए, आपने एक समांतर चतुर्भुज के आकार में एक पुराना एक्वैरियम खरीदा, लेकिन किसी ने आपको यह नहीं बताया कि इस डिज़ाइन में कितनी मात्रा है। एक्वैरियम की मात्रा एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है जो समुद्री जीवन के लिए हीटिंग सिस्टम की शक्ति निर्धारित करती है। इस विशेषता की गणना करना मुश्किल नहीं है - बस मछलीघर की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को मापें और इन आंकड़ों को कैलकुलेटर के रूप में दर्ज करें। मान लें कि मछलीघर की लंबाई 1 मीटर है, चौड़ाई 50 सेमी है, और ऊंचाई 70 सेमी है। एक सही गणना के लिए, सभी पक्षों को माप की एक ही इकाई, जैसे मीटर में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है।

वी = 1 x 0.5 x 0.7 = 0.35

इस प्रकार, मछलीघर की मात्रा 0.35 घन मीटर या 350 लीटर होगी। वॉल्यूम जानने के बाद, आप आसानी से हीटिंग सिस्टम के लिए पावर का चयन कर सकते हैं।

निर्माण

मान लीजिए कि आप अपने डाचा के लिए एक स्लैब फाउंडेशन डाल रहे हैं और आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि नींव डालने के लिए आपको कितना कंक्रीट चाहिए। स्लैब फाउंडेशन एक ठोस अखंड स्लैब है, जो पूरे भवन क्षेत्र के अंतर्गत स्थित है। कंक्रीट की आवश्यक मात्रा का पता लगाने के लिए, स्लैब की मात्रा की गणना करना आवश्यक है। स्लैब, सौभाग्य से, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार है, इसलिए आप कंक्रीट की आवश्यक मात्रा की आसानी से गणना कर सकते हैं। मान लीजिए कि आपका दचा 6 मीटर 6 मीटर का एक मानक घर है। आप पहले से ही तीन आवश्यक पैरामीटरों में से दो को जानते हैं। आवश्यकताओं के अनुसार, स्लैब फाउंडेशन की मोटाई कम से कम 10 सेमी होनी चाहिए, और आप स्वयं उपयुक्त आकार चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप 20 सेंटीमीटर मोटी स्लैब डालने का निर्णय लेते हैं एक सही गणना के लिए, माप के समान इकाइयों में सभी पैरामीटर सेट करें, अर्थात मीटर, और परिणाम प्राप्त करें:

वी = 6 x 6 x 0.2 = 7.2

इसलिए, नींव डालने के लिए आपको 7.2 घन मीटर कंक्रीट की आवश्यकता होगी।

निष्कर्ष

समांतर चतुर्भुज आकृतियों की मात्रा निर्धारित करना आपके लिए कई मामलों में उपयोगी हो सकता है: रोजमर्रा की समस्याओं से लेकर उत्पादन के मुद्दों तक, स्कूल के कामकार्यों को डिजाइन करने के लिए। हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको किसी भी जटिलता के कार्यों को हल करने में मदद करेगा।

डिब्बे का आयतन

आयतन मान हमें इस बात का अंदाजा देता है कि हमारे लिए रुचि की वस्तु किस स्थान पर रहती है, और एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमें इसके आधार क्षेत्र को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

रोजमर्रा की जिंदगी में, तरल पदार्थ की मात्रा को मापने के लिए, एक नियम के रूप में, इस तरह की माप इकाई का उपयोग लीटर = 1dm3 के रूप में किया जाता है।

माप की इस इकाई के अतिरिक्त, मात्रा निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

समानांतर चतुर्भुज सरलतम त्रि-आयामी आकृतियों से संबंधित है और इसलिए इसका आयतन ज्ञात करना कठिन नहीं है।

समानांतर चतुर्भुज का आयतन उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है। वे। किसी आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन पता करने के लिए, इसकी तीनों विमाओं का गुणा करना काफ़ी है।

एक घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी लंबाई लेने और इसे तीसरी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

एक बॉक्स की परिभाषा

और अब याद करते हैं कि समानांतर चतुर्भुज क्या है और यह घन से कैसे भिन्न होता है।

एक समांतर चतुर्भुज एक त्रि-आयामी आकृति है, जिसके आधार पर एक बहुभुज स्थित है। एक घनाभ की सतह में छह आयत होते हैं, जो इस घनाभ के फलक होते हैं। इसलिए, यह तर्कसंगत है कि समांतर चतुर्भुज के छह चेहरे होते हैं, जिसमें समांतर चतुर्भुज होते हैं। इस बहुभुज के सभी फलक, जो एक दूसरे के विपरीत स्थित हैं, के आयाम समान हैं।

समांतर चतुर्भुज के सभी किनारे फलकों की भुजाएँ हैं। लेकिन चेहरों के संपर्क के बिंदु इस आकृति के शीर्ष हैं।

व्यायाम:

1. चित्र को ध्यान से देखो और बताओ कि यह तुम्हें क्या याद दिलाता है?
2. सोचिए और उत्तर दीजिए कि रोजमर्रा की जिंदगी में आप इस तरह की आकृति का सामना कहां कर सकते हैं?
3. समांतर चतुर्भुज के कितने किनारे होते हैं?

समानांतर चतुर्भुज की किस्में

Parallelepipeds को कई किस्मों में बांटा गया है, जैसे:

आयताकार;
इच्छुक;
घन।

आयताकार समांतर चतुर्भुज में वे आकृतियाँ शामिल हैं जिनके फलक आयतों से बने हैं।

यदि साइड फेस इसके आधार के लंबवत नहीं हैं, तो आपके पास एक झुका हुआ समांतर चतुर्भुज है।

घन जैसी आकृति भी एक समांतर चतुर्भुज है। अपवाद के बिना, इसके सभी चेहरे वर्ग के रूप में हैं।

बॉक्स गुण

अध्ययन के तहत आकृति में कई गुण हैं, जिनके बारे में अब हम जानेंगे:

सबसे पहले, इस आकृति के विपरीत चेहरे बराबर और एक दूसरे के समानांतर हैं;

दूसरे, यह बिना किसी अपवाद के केवल अपने किसी भी विकर्ण के मध्य के संबंध में सममित है;

तीसरा, यदि आप समांतर चतुर्भुज के सभी विपरीत शीर्षों के बीच विकर्णों को लेते हैं और खींचते हैं, तो उनके पास केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

चौथा, वर्ग अपने विकर्ण की लंबाई है, योग के बराबर हैइसके 3 आयामों के वर्ग।

ऐतिहासिक संदर्भ

विभिन्न ऐतिहासिक युगों की अवधि में विभिन्न देशद्रव्यमान, लंबाई और अन्य राशियों को मापने के लिए विभिन्न प्रणालियों का उपयोग किया। लेकिन चूंकि इसने देशों के बीच व्यापारिक संबंधों को बाधित किया, और विज्ञान के विकास में भी बाधा डाली, इसलिए यह आवश्यक हो गया कि उपायों की एक एकीकृत अंतरराष्ट्रीय व्यवस्था हो जो सभी देशों के लिए सुविधाजनक हो।

मीट्रिक SI प्रणाली, जो अधिकांश देशों के अनुकूल थी, फ्रांस में विकसित की गई थी। मेंडेलीव के लिए धन्यवाद, रूस में उपायों की मीट्रिक प्रणाली भी पेश की गई थी।

लेकिन कई पेशे अभी भी अपने विशिष्ट मेट्रिक्स का उपयोग करते हैं, कभी-कभी यह परंपरा के लिए एक श्रद्धांजलि है, कभी-कभी यह सुविधा की बात है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नाविक अभी भी समुद्री मील में गति को मापना पसंद करते हैं, और मीलों में दूरी उनके लिए एक परंपरा है। लेकिन दुनिया भर के ज्वैलर्स माप की ऐसी इकाई को कैरेट के रूप में पसंद करते हैं - और उनके मामले में यह परंपरा और सुविधा दोनों है।

प्रशन:

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3. तेल को मापने की इकाई कौन याद रखता है?

इससे पहले कि हम लेख के व्यावहारिक भाग की ओर बढ़ें, जहाँ हम समानांतर चतुर्भुज के आयतन की तलाश करेंगे, आइए याद करें कि यह किस प्रकार का आंकड़ा है और पता करें कि हमें इन गणनाओं की आवश्यकता क्यों हो सकती है।

तीन परिभाषाएँ हैं, और वे सभी समकक्ष हैं। तो, एक समानांतर चतुर्भुज है:

1. छह फलकों वाला एक बहुफलक, जिनमें से प्रत्येक एक समांतर चतुर्भुज है।

2. षट्कोण, जिसमें एक दूसरे के समांतर तीन फलकों के जोड़े होते हैं।

3. प्रिज्म, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है।

शायद हमारे में सबसे आम वास्तविक जीवनमानी जाने वाली ज्यामितीय आकृति के प्रकार एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज और एक घन हैं। इसके अलावा, तिरछे और सीधे समानांतर चतुर्भुज हैं।

घनाभ: आयतन

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज इस तथ्य से अलग है कि इसका प्रत्येक चेहरा एक आयत है। इस आंकड़े के रोजमर्रा के उदाहरण के रूप में, हम एक साधारण बॉक्स (जूता, उपहार, डाक) का हवाला दे सकते हैं।

पहले आपको समांतर चतुर्भुज के आधार के दो पक्षों के मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है, जो एक दूसरे के लंबवत हैं (विमान में उन्हें चौड़ाई और लंबाई कहा जाएगा)।

पी \u003d ए * बी, जहां ए लंबाई है, बी चौड़ाई है।

अब हम एक और माप करते हैं - दी गई आकृति की ऊँचाई, जिसे हम H कहेंगे।

ठीक है, हम वांछित मात्रा का पता लगाते हैं यदि हम ऊंचाई को आधार क्षेत्र से गुणा करते हैं, अर्थात:

एक सीधे समांतर चतुर्भुज का आयतन

एक सीधी रेखा के समांतर चतुर्भुज को इस तथ्य से अलग किया जाता है कि इसके पार्श्व चेहरे इस तथ्य के कारण आयत हैं कि वे आंकड़े के आधारों के लंबवत हैं।

आयतन की गणना इसी तरह की जाती है, केवल अंतर यह है कि यहाँ ऊँचाई समांतर चतुर्भुज का किनारा नहीं है। इस मामले में, यह एक रेखा है जो आकृति के दो विपरीत चेहरों को जोड़ती है और इसके आधार पर लंबवत होती है।

चूँकि आपके बॉक्स का आधार समांतर चतुर्भुज है, आयत नहीं, आधार के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र कुछ अधिक जटिल है। अब यह ऐसा दिखेगा:

पी \u003d ए * बी * पाप (ए), जहां ए, बी लंबाई हैं और, तदनुसार, आधार की चौड़ाई, और "ए" वह कोण है जो वे एक दूसरे को काटते समय बनाते हैं।

तिरछे समांतर चतुर्भुज का आयतन कैसे ज्ञात करें?

कोई भी समानांतर चतुर्भुज जो सीधा नहीं है उसे तिरछा माना जाता है।

इस तथ्य के कारण कि इस आकृति के चेहरे आधार के लंबवत नहीं हैं, आपको पहले ऊंचाई खोजने की जरूरत है। इसे आधार के क्षेत्र से गुणा करना (ऊपर सूत्र देखें), आपको आयतन मिलेगा:

वी \u003d पी * एन, जहां पी आधार का क्षेत्र है, एच ऊंचाई है।

वर्गाकार फलकों वाले समानांतर चतुर्भुज का आयतन

घन एक ऐसा आयताकार समांतर चतुर्भुज होता है, जिसके छः फलकों में से प्रत्येक एक वर्ग होता है। इसका तात्पर्य इस आकृति की संपत्ति से है - इसके सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए ऐसे बच्चों के खिलौने को क्यूब्स के रूप में कल्पना करें।

खैर, एक घन का आयतन खोजने के साथ, सब कुछ आम तौर पर बेहद सरल है। ऐसा करने के लिए, आपको केवल एक माप (किनारों) बनाने और परिणामी मूल्य को तीसरी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इस कदर:

वी = ए³।

समानांतर चतुर्भुज का आयतन हमारे लिए जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है?

मान लीजिए कि आप इस तरह की समस्या से हैरान हैं कि आपकी कार के ट्रंक में कितने बॉक्स फिट हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको अपने आप को एक शासक या टेप उपाय, एक कलम, कागज की एक शीट, साथ ही साथ उपरोक्त घनाभ सूत्र के साथ बांटने की जरूरत है।

एक बॉक्स का आयतन मापकर और आपके पास मौजूद बॉक्स की संख्या से गुणा करके, आपको पता चल जाएगा कि उन्हें कार के ट्रंक में फिट करने में कितने घन सेंटीमीटर लगते हैं।

और हां, याद रखें कि कुछ मामलों में घन सेंटीमीटर को मीटर में बदलने की सलाह दी जाएगी। इसलिए, यदि परिणामस्वरूप आपको 50 सेमी घन के बराबर बॉक्स की मात्रा मिली, तो अनुवाद करने के लिए, बस इस आंकड़े को 0.001 से गुणा करें। यह आपको घन मीटर देगा। और अगर आप लीटर में आयतन जानना चाहते हैं, तो परिणाम घन मीटर में 1000 से गुणा करें।

अक्सर छात्र आक्रोश से पूछते हैं: "यह मेरे लिए जीवन में कैसे उपयोगी होगा?"। प्रत्येक विषय के किसी भी विषय पर। समांतर चतुर्भुज के आयतन के बारे में विषय कोई अपवाद नहीं है। और यहाँ यह कहना संभव है: "यह काम आएगा।"

उदाहरण के लिए, कैसे पता करें कि पार्सल मेलबॉक्स में फिट होगा या नहीं? बेशक, आप परीक्षण और त्रुटि से सही चुन सकते हैं। क्या होगा अगर ऐसी कोई संभावना नहीं है? तब गणना बचाव में आएगी। बॉक्स की क्षमता जानने के बाद, आप पार्सल की मात्रा (कम से कम लगभग) की गणना कर सकते हैं और प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं।

समानांतर पाइप और इसके प्रकार

यदि हम इसका नाम प्राचीन ग्रीक से शाब्दिक रूप से अनुवादित करते हैं, तो यह पता चलता है कि यह समानांतर विमानों से बनी एक आकृति है। समानांतर चतुर्भुज की ऐसी समकक्ष परिभाषाएँ हैं:

• समांतर चतुर्भुज के रूप में आधार के साथ एक प्रिज्म;
• पॉलीहेड्रॉन, जिसका प्रत्येक फलक एक समांतर चतुर्भुज है।

इसके प्रकार इसके आधार पर स्थित हैं और पार्श्व पसलियों को कैसे निर्देशित किया जाता है, इसके आधार पर प्रतिष्ठित किया जाता है। सामान्य तौर पर, कोई बोलता है तिरछा समानांतर चतुर्भुजजिसका आधार और सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं। यदि पिछले दृश्य के पक्ष आयत बन जाते हैं, तो इसे पहले से ही कॉल करने की आवश्यकता होगी प्रत्यक्ष. और कम से आयताकारऔर आधार में भी 90º कोण होते हैं।

इसके अलावा, ज्यामिति में वे उत्तरार्द्ध को इस तरह से चित्रित करने का प्रयास करते हैं कि यह ध्यान देने योग्य है कि सभी किनारे समानांतर हैं। यहाँ, वैसे, गणितज्ञों और कलाकारों के बीच मुख्य अंतर देखा जाता है। उत्तरार्द्ध के लिए परिप्रेक्ष्य के कानून के अनुपालन में शरीर को व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। और इस मामले में किनारों की समानता पूरी तरह से अदृश्य है।

पेश किए गए नोटेशन के बारे में

नीचे दिए गए सूत्रों में, तालिका में दर्शाए गए पदनाम मान्य हैं।

एक तिरछे बॉक्स के लिए सूत्र

क्षेत्रों के लिए पहला और दूसरा:

तीसरा बॉक्स के आयतन की गणना के लिए है:

चूँकि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको उपयुक्त भावों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

एक घनाभ के लिए सूत्र

पहले पैराग्राफ के समान - क्षेत्रों के लिए दो सूत्र:

और वॉल्यूम के लिए एक और:

पहला कार्य

स्थिति। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है जिसका आयतन ज्ञात करना है। विकर्ण ज्ञात है - 18 सेमी - और तथ्य यह है कि यह क्रमशः पार्श्व चेहरे और पार्श्व किनारे के तल के साथ 30 और 45 डिग्री के कोण बनाता है।

समाधान।समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको तीन समकोण त्रिभुजों में सभी भुजाएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है। वे आवश्यक बढ़त मान देंगे जिसके लिए आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है।

पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि 30º कोण कहाँ है। ऐसा करने के लिए, आपको उसी शीर्ष से पार्श्व फलक का एक विकर्ण खींचना होगा जिससे समांतर चतुर्भुज का मुख्य विकर्ण खींचा गया था। उनके बीच का कोण वही होगा जो आपको चाहिए।

पहला त्रिभुज, जो आधार की एक भुजा देगा, निम्नलिखित होगा। इसमें वांछित पक्ष और दो विकर्ण खींचे गए हैं। यह आयताकार है। अब आपको विपरीत पैर (आधार पक्ष) और कर्ण (विकर्ण) के अनुपात का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह 30º की ज्या के बराबर है। अर्थात्, आधार के अज्ञात पक्ष को 30º या ½ की साइन से गुणा करके विकर्ण के रूप में निर्धारित किया जाएगा। इसे "ए" अक्षर से चिह्नित करें।

दूसरा एक त्रिभुज होगा जिसमें एक ज्ञात विकर्ण और एक किनारा होगा जिसके साथ यह 45º बनाता है। यह भी आयताकार है, और आप फिर से पैर के कर्ण के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, पार्श्व किनारे विकर्ण के लिए। यह 45º के कोसाइन के बराबर है। यही है, "सी" की गणना 45º के विकर्ण और कोसाइन के उत्पाद के रूप में की जाती है।

सी = 18 * 1/√2 = 9 √2 (सेमी)।

उसी त्रिकोण में आपको एक और पैर खोजने की जरूरत है। तीसरे अज्ञात - "इन" की गणना करने के लिए यह आवश्यक है। इसे "x" अक्षर से चिह्नित करें। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके गणना करना आसान है:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (सेमी)।

अब हमें एक और समकोण त्रिभुज पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें पहले से ही शामिल है प्रसिद्ध पार्टियां"एस", "एक्स" और जिसे गिनने की जरूरत है, "इन":

सी \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (सेमी)।

तीनों मात्राएँ ज्ञात हैं। आप मात्रा के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

वी \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (सेमी 3)।

उत्तर:समांतर चतुर्भुज का आयतन 729√2 सेमी 3 है।

दूसरा कार्य

स्थिति। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए। यह समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को जानता है जो आधार पर स्थित है, 3 और 6 सेमी, साथ ही इसका तीव्र कोण - 45º। पार्श्व रिब का झुकाव 30º के आधार पर होता है और यह 4 सेमी के बराबर होता है।

समाधान।समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको उस सूत्र को लेने की आवश्यकता है जो एक झुके हुए समांतर चतुर्भुज के आयतन के लिए लिखा गया था। लेकिन इसमें दोनों मात्राएं अज्ञात हैं।

आधार का क्षेत्र, यानी समांतर चतुर्भुज, उस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा जिसमें ज्ञात पक्षों और उनके बीच के तीव्र कोण की साइन को गुणा करना आवश्यक है।

एस ओ \u003d 3 * 6 पाप 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (सेमी 2)।

दूसरा अज्ञात ऊंचाई है। इसे आधार के ऊपर के चार शीर्षों में से किसी से भी खींचा जा सकता है। यह एक समकोण त्रिभुज से पाया जा सकता है, जिसमें ऊँचाई पैर है, और पार्श्व किनारा कर्ण है। इस मामले में, 30º का कोण अज्ञात ऊंचाई के विपरीत स्थित है। तो, आप कर्ण के लिए पैर के अनुपात का उपयोग कर सकते हैं।

n \u003d 4 * पाप 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2।

अब सभी मान ज्ञात हैं और आप आयतन की गणना कर सकते हैं:

वी \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (सेमी 3)।

उत्तर:आयतन 18 √2 सेमी 3 है।

तीसरा कार्य

स्थिति। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसे एक सीधी रेखा के रूप में जाना जाता है। इसके आधार की भुजाएँ एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं और 2 और 3 सेमी के बराबर होती हैं। उनके बीच का तीव्र कोण 60º है। समांतर चतुर्भुज का छोटा विकर्ण आधार के बड़े विकर्ण के बराबर होता है।

समाधान।समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम आधार क्षेत्रफल और ऊँचाई वाले सूत्र का उपयोग करते हैं। दोनों मात्राएँ अज्ञात हैं, लेकिन उनकी गणना करना आसान है। पहली ऊंचाई है।

चूँकि समांतर चतुर्भुज का छोटा विकर्ण बड़े आधार के समान आकार का होता है, इसलिए उन्हें उसी अक्षर d से निरूपित किया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज का सबसे बड़ा कोण 120º है, क्योंकि यह एक तीव्र कोण के साथ 180º बनाता है। बता दें कि आधार के दूसरे विकर्ण को "x" अक्षर से निरूपित किया जाता है। अब, आधार के दो विकर्णों के लिए कोज्या प्रमेय लिखा जा सकता है:

d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º।

वर्गों के बिना मूल्यों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, तब से उन्हें फिर से दूसरी शक्ति तक बढ़ा दिया जाएगा। डेटा को प्रतिस्थापित करने के बाद, यह पता चला:

डी 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 कॉस 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7।

अब ऊँचाई, जो समानांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा भी है, त्रिभुज में पैर होगी। कर्ण शरीर का ज्ञात विकर्ण होगा, और दूसरा पैर "x" होगा। आप पायथागॉरियन प्रमेय लिख सकते हैं:

एन 2 \u003d डी 2 - एक्स 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12।

इसलिए: n = √12 = 2√3 (सेमी)।

अब दूसरी अज्ञात राशि आधार का क्षेत्रफल है। दूसरी समस्या में वर्णित सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है।

एस ओ \u003d 2 * 3 पाप 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (सेमी 2)।

सब कुछ एक मात्रा सूत्र में मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:

वी = 3√3 * 2√3 = 18 (सेमी 3)।

उत्तर: वी \u003d 18 सेमी 3।

चौथा कार्य

स्थिति। निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाले समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करना आवश्यक है: आधार 5 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग है; पार्श्व फलक समचतुर्भुज हैं; आधार के ऊपर के शीर्षों में से एक आधार पर स्थित सभी शीर्षों से समान दूरी पर है।

समाधान।पहले आपको स्थिति से निपटने की जरूरत है। वर्ग के बारे में पहले पैराग्राफ से कोई सवाल नहीं है। दूसरा, समचतुर्भुजों के बारे में, यह स्पष्ट करता है कि समांतर चतुर्भुज झुका हुआ है। इसके अलावा, इसके सभी किनारे 5 सेमी के बराबर हैं, क्योंकि रोम्बस की भुजाएँ समान हैं। और तीसरे से यह स्पष्ट हो जाता है कि इससे खींचे गए तीन विकर्ण बराबर हैं। ये दो हैं जो साइड चेहरों पर स्थित हैं, और आखिरी समानांतर चतुर्भुज के अंदर है। और ये विकर्ण किनारे के बराबर होते हैं, अर्थात इनकी लंबाई भी 5 सेमी होती है।

आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको झुके हुए समांतर चतुर्भुज के लिए लिखे गए सूत्र की आवश्यकता होगी। फिर, इसमें कोई ज्ञात मात्राएँ नहीं हैं। हालाँकि, आधार के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है क्योंकि यह एक वर्ग है।

एस ओ \u003d 5 2 \u003d 25 (सेमी 2)।

ऊंचाई के मामले में थोड़ा और मुश्किल है। यह तीन आकृतियों में ऐसा होगा: एक समांतर चतुर्भुज, एक चतुर्भुज पिरामिड और एक समद्विबाहु त्रिभुज। अंतिम परिस्थिति का उपयोग किया जाना चाहिए।

चूंकि यह ऊंचाई है, यह एक पैर है सही त्रिकोण. इसमें कर्ण एक ज्ञात किनारा होगा, और दूसरा पैर वर्ग के आधे विकर्ण के बराबर है (ऊंचाई भी औसत है)। और आधार का विकर्ण खोजना आसान है:

डी = √(2 * 5 2) = 5√2 (सेमी)।

ऊंचाई को किनारे की दूसरी डिग्री और आधे विकर्ण के वर्ग के अंतर के रूप में गणना करने की आवश्यकता होगी और वर्गमूल निकालने के लिए मत भूलना:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (सेमी)।

वी \u003d 25 * 2.5 √2 \u003d 62.5 √2 (सेमी 3)।

उत्तर: 62.5 √2 (सेमी 3)।

स्कूल ज्ञान का एक विशाल कटोरा है जिसमें कई विषय शामिल हैं जो किसी भी बच्चे को रूचि दे सकते हैं। गणित सटीक विज्ञानों की रानी है। सख्त और अनुशासित, वह गलतियाँ बर्दाश्त नहीं करती है। एक वयस्क के रूप में भी, साधारण जीवनहम विभिन्न गणितीय समस्याओं का सामना कर सकते हैं: एक बाथरूम में टाइल बिछाने के लिए वर्ग मीटर की गणना, एक टैंक की मात्रा निर्धारित करने के लिए घन मीटर, आदि, हम उन स्कूली बच्चों के बारे में क्या कह सकते हैं जो अभी अपना गणितीय पथ शुरू कर रहे हैं।

बहुत बार, गणित का अध्ययन शुरू करना, अधिक सटीक रूप से, ज्यामिति, छात्र त्रि-आयामी वाले फ्लैट आंकड़ों को भ्रमित करते हैं। एक घन को एक वर्ग कहा जाता है, एक गेंद को एक वृत्त कहा जाता है, एक समानांतर चतुर्भुज एक साधारण आयत है। और यहाँ सूक्ष्मताएँ हैं।

बच्चे की मदद करने में कठिनाई गृहकार्य, यह नहीं जानना कि किस आकृति का आयतन या क्षेत्रफल - सपाट या बड़ा है, खोजने की आवश्यकता है। समतल आकृतियों जैसे वर्ग, वृत्त, आयत का आयतन ज्ञात करना असंभव है। उनके मामले में, केवल क्षेत्र पाया जा सकता है। कार्य पर आगे बढ़ने से पहले, आपको आवश्यक विशेषताएँ तैयार करनी चाहिए:

1. हमें आवश्यक डेटा को मापने के लिए एक शासक।
2. कैलक्यूलेटर आगे गणना की गणना करने के लिए।

आरंभ करने के लिए, वॉल्यूमेट्रिक आयत की अवधारणा पर विचार करें। यह एक समानांतर चतुर्भुज है। इसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है। चूँकि उसके पास उनमें से छह हैं, इसलिए सभी समांतर चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज के चेहरे हैं।

जहाँ तक इसके फलकों की बात है, वे भिन्न हो सकते हैं, अर्थात्, यदि सीधी भुजा के फलक आयत हैं, तो यह एक सम घनाभ है, लेकिन यदि सभी छह फलक आयत हैं, तो हमारे पास एक घनाभ है।

1. समस्या को पढ़ने के बाद, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि वास्तव में क्या पाया जाना चाहिए; आंकड़ा लंबाई, मात्रा या क्षेत्र।
2. समस्या में आकृति के किस भाग पर विचार किया गया है - एक किनारा, एक शीर्ष, एक चेहरा, एक पक्ष, या शायद पूरी आकृति एक पूरे के रूप में?

निर्धारित किए गए सभी कार्यों को निर्धारित करने के बाद, आप सीधे गणनाओं के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इसके लिए हमें विशेष सूत्र चाहिए। इसलिए, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई (अर्थात आकृति की मोटाई) को आपस में गुणा किया जाता है। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

वी = ए * बी * एच,

वीसमांतर चतुर्भुज का आयतन है, जहाँ ए- इसकी लंबाई बी- चौड़ाई और एच- ऊंचाई क्रमशः।

महत्वपूर्ण!शुरू करने से पहले, सभी मापों को गणना की एक इकाई में बदलें। उत्तर निश्चित रूप से घन इकाई में होना चाहिए।

उदाहरण एक

निम्नलिखित आयामों के साथ शराब के लिए टैंक की मात्रा निर्धारित करें:

• तीन मीटर लंबा;
• चौड़ाई दो मीटर पचास सेंटीमीटर;
• तीन सौ सेंटीमीटर ऊँचा।

आरंभ करने के लिए, हमें माप की इकाइयों पर सहमत होना चाहिए और उन्हें गुणा करना चाहिए:

डेटा को गुणा करने पर, हमें घन मीटर में उत्तर मिलता है, अर्थात एक घन में 3 * 2.5 * 3 \u003d 22.5 मीटर।

उदाहरण दो

कैबिनेट चार मीटर ऊंची, सत्तर सेंटीमीटर चौड़ी और 80 सेंटीमीटर गहरी है।

गणना सूत्र जानने के बाद, आप गुणा कर सकते हैं। लेकिन जल्दी मत करो, जैसा कि शुरुआत में कहा गया था, आपको इकाइयों को आपस में समन्वयित करना चाहिए, अर्थात, यदि आप सेंटीमीटर में गणना करना चाहते हैं, तो सभी गणनाओं को सेंटीमीटर में अनुवाद करें, यदि मीटर में, तो मीटर में। चलो दोनों विकल्प करते हैं।

तो चलिए सेंटीमीटर से शुरू करते हैं। मीटर को सेंटीमीटर में बदलें:

वी = 400 * 70 * 80;

वी = 2240000 सेंटीमीटर घन।

अब मीटर:

वी = 4 * 0.7 * 0.8;

वी = 2.24 मीटर घन।

उपरोक्त जोड़तोड़ के आधार पर, यह स्पष्ट है कि क्यूबिक मीटर के साथ काम करना आसान और अधिक समझने योग्य है।

उदाहरण तीन

एक कमरा दिया जिसकी मात्रा की गणना की जानी है। इस कमरे की लंबाई पांच मीटर, चौड़ाई तीन और छत की ऊंचाई 2.5 है। दोबारा, हम उस सूत्र का उपयोग करते हैं जिसे हम जानते हैं:

वी = ए * बी * एच;

जहां a कमरे की लंबाई है और 5 के बराबर है, b चौड़ाई है और 3 के बराबर है और h ऊंचाई है, जो 2.5 के बराबर है

चूंकि सभी इकाइयां मीटर में दी गई हैं, आप तुरंत गणना के लिए आगे बढ़ सकते हैं। ए, बी और एच को एक साथ गुणा करना:

वी=5*3*2.5;

वी = 37.5 मीटर घन।

तो, एक निष्कर्ष के रूप में, हम कह सकते हैं कि आंकड़ों के आयतन या क्षेत्र की गणना के लिए बुनियादी गणितीय नियमों को जानने के साथ-साथ आंकड़ों (फ्लैट या वॉल्यूमेट्रिक) की सही पहचान करना, सेंटीमीटर को मीटर में बदलने में सक्षम होना और इसके विपरीत - आप अपने बच्चे के लिए ज्यामिति सीखना आसान बना सकते हैं, जो इस प्रक्रिया को और अधिक रोचक और आकर्षक बना सकता है, क्योंकि स्कूल में सभी संचित ज्ञान का उपयोग भविष्य में सबसे सामान्य रोजमर्रा की जिंदगी में सफलतापूर्वक किया जा सकता है।

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