Funkcie komplexnej premennej. Diferenciácia funkcií komplexnej premennej. Derivát FKP. Cauchy-Riemannove podmienky. Analytické funkcie Lineárna funkcia komplexnej premennej

Nech funguje = u(x, y)+iv(x, y) je definovaný v blízkosti bodu z = X+iy. Ak premenná z prírastok  z= X+i r, potom funkciu
dostane prírastok


= (z+ z)–
=u(X+ X, r+ r)+

+ iv(X+ X, r+ r) - u(x, y) - iv(x, y) = [u(X+ X, r+ r) –

– u(x, y)] + i[v(X+ X, r+ r) - v(x, y)] =

= u(x, y) + i v(x, y).

Definícia. Ak existuje limit

=

,

potom sa táto limita nazýva derivácia funkcie
v bode z a označuje sa f(z) alebo
. Teda podľa definície

=

=

. (1.37)

Ak je funkcia
má v bode deriváciu z, potom hovoria, že funkcia
v bode rozlíšiteľné z. Samozrejme, aby bola funkcia diferencovateľná
je potrebné, aby funkcie u(x, y) A v(x, y) boli odlíšiteľné. To však na existenciu derivátu nestačí f(z). Napríklad pre funkciu w== X–iy funkcie u(x, y)=X

A v(x, y)=–r diferencovateľné vo všetkých bodoch M( x, y), ale limit pomeru
pri  X0,  r0 neexistuje, pretože ak  r= 0,  X 0 teda  w/ z= 1,

ak  X = 0,  r 0 teda  w/z = -1.

Neexistuje jediný limit. To znamená, že funkcia

w= nemá v žiadnom bode derivát z. Pre existenciu derivácie funkcie komplexnej premennej sú potrebné ďalšie podmienky. Ktoré presne? Odpoveď na túto otázku dáva nasledujúca veta.

Veta. Nechajte funkcie u(x, y) A v(x, y) sú diferencovateľné v bode M( x, y). Potom v poradí pre funkciu

= u(x, y) + iv(x, y)

mal v bode derivát z = X+iy, je potrebné a postačujúce, aby rovnosť platila

Rovnosti (1,38) sa nazývajú Cauchyho-Riemannove podmienky.

Dôkaz. 1) Nevyhnutnosť. Nechajte funkciu
má deriváciu v bode z, to znamená, že existuje limita

=

=
.(1.39)

Limit na pravej strane rovnosti (1.39) nezávisí od toho, ktorou cestou sa bod uberá  z =  X+i r usiluje

na 0. Najmä ak y = 0, x  0 (obr. 1.10), potom

Ak x = 0, y  0 (obr. 1.11), potom

(1.41)

Obr.1.10 Obr. 1.11

Ľavé strany v rovnosti (1,40) a (1,41) sú rovnaké. To znamená, že aj pravé strany sú si rovné

Z toho vyplýva

Teda z predpokladu existencie derivátu f(z) nasleduje rovnosť (1.38), to znamená, že Cauchyho-Riemannove podmienky sú nevyhnutné pre existenciu derivácie f(z).

1) Dostatok. Predpokladajme teraz, že sú splnené rovnosti (1,38):

a dokázať, že v tomto prípade funkcia
má v bode deriváciu z= X+iy, teda limit (1,39)

=

existuje.

Keďže funkcie u(x, y) A v(x, y) sú diferencovateľné v bode M( x, y), potom celkový prírastok týchto funkcií v bode M( x, y) môžu byť zastúpené vo forme

kde  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 pri  X0, r0.

Keďže na základe (1.38),

teda

=
,

 1 =  1 +i 1 0,  2 =  2 +i 2 0 pri z =  X+ir0.

teda

Od  z 2 =  X 2 + r 2 , potom  X/ z1,  r/z1. Preto

pri  z  0.

Z toho vyplýva, že pravá strana rovnosti (1,42) má limit pri  z 0, teda aj ľavá strana má limit at  z 0 a tento limit nezávisí od toho, na ktorej ceste  z inklinuje k 0. Je teda dokázané, že ak v bode M(x,y) sú splnené podmienky (1.38), potom funkcia
má v bode deriváciu z = X+iy, a

Veta je úplne dokázaná.

V procese dokazovania vety boli získané dva vzorce (1.40) a (1.42) pre deriváciu funkcie komplexnej premennej

Pomocou vzorcov (1.38) môžeme získať ďalšie dva vzorce

, (1.43)

. (1.44)

Ak je funkcia f(z) má deriváciu vo všetkých bodoch oblasti D, potom hovoríme, že funkcia
je diferencovateľný v doméne D. Na to je potrebné a postačujúce, aby boli vo všetkých bodoch domény D splnené Cauchyho-Riemannove podmienky.

Príklad. Skontrolujte Cauchy-Riemannove podmienky

funkcie e z .

Pretože e z = e x+iy = e X(kos r + i hriech r),

To u(X, r) = Re e z = e X cos r, v(X, r) = Im e z = e X hriech r,

,
,

teda,

Cauchy-Riemannove podmienky pre funkciu e z splnené vo všetkých bodoch z. Takže funkcia e z je diferencovateľná na celej rovine komplexnej premennej a

Diferenciabilita sa dokazuje presne rovnakým spôsobom

funkcie z n , cos z, hriech z,ch z,sh z, Ln z a platnosť vzorcov

(z n) = n z n-1, (kos z) = -hriech z, (hriech z) = cos z,

(kap z) = sh z, (sh z) = kap z, (Ln z) = 1/z.

Pre funkcie komplexnej premennej ostávajú v platnosti všetky pravidlá pre diferenciáciu funkcií reálnej premennej. Dôkaz týchto pravidiel vyplýva z definície derivácie rovnako ako pre funkcie reálnej premennej.

Funkcie komplexnej premennej.
Diferenciácia funkcií komplexnej premennej.

Tento článok otvára sériu lekcií, v ktorých zvážim typické problémy súvisiace s teóriou funkcií komplexnej premennej. Na úspešné zvládnutie príkladov musíte mať základné znalosti o komplexných číslach. Ak chcete materiál konsolidovať a zopakovať, stačí navštíviť stránku. Budete tiež potrebovať zručnosti na nájdenie parciálne deriváty druhého rádu. Tu sú, tieto parciálne deriváty... aj teraz som bol trochu prekvapený, ako často sa vyskytujú...

Téma, ktorú začíname skúmať, nepredstavuje žiadne zvláštne ťažkosti a vo funkciách komplexnej premennej je v zásade všetko jasné a dostupné. Hlavné je dodržať základné pravidlo, ktoré som si experimentálne odvodil. Pokračuj v čítaní!

Pojem funkcie komplexnej premennej

Najprv si obnovme vedomosti o školskej funkcii jednej premennej:

Funkcia jednej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej (z oblasti definície) zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie. Prirodzene, „x“ a „y“ sú reálne čísla.

V zložitom prípade je funkčná závislosť špecifikovaná podobne:

Jednohodnotová funkcia komplexnej premennej- to je pravidlo, podľa ktorého každý obsiahly hodnota nezávislej premennej (z oblasti definície) zodpovedá len jednej obsiahly funkčná hodnota. Teória uvažuje aj s viachodnotovými a niektorými ďalšími typmi funkcií, no pre jednoduchosť sa zameriam na jednu definíciu.

Aký je rozdiel medzi komplexnou premennou funkciou?

Hlavný rozdiel: komplexné čísla. Nie som ironický. Takéto otázky často nechávajú ľudí v stuporoch, na konci článku vám poviem zábavný príbeh. Na lekcii Komplexné čísla pre figuríny komplexné číslo sme uvažovali v tvare . Odvtedy sa zmenilo písmeno „z“. premenlivý, potom to označíme takto: , pričom „x“ a „y“ môžu byť rôzne platné významy. Zhruba povedané, funkcia komplexnej premennej závisí od premenných a , ktoré nadobúdajú „obyčajné“ hodnoty. Z tejto skutočnosti logicky vyplýva nasledujúci bod:

Funkciu komplexnej premennej možno zapísať ako:
, kde a sú dve funkcie dvoch platné premenných.

Funkcia sa volá reálna časť funkcie
Funkcia sa volá imaginárnu časť funkcie

To znamená, že funkcia komplexnej premennej závisí od dvoch reálnych funkcií a . Aby sme si všetko konečne objasnili, pozrime sa na praktické príklady:

Príklad 1

Riešenie: Nezávislá premenná „zet“, ako si pamätáte, je zapísaná v tvare , teda:

(1) Nahradili sme .

(2) Pre prvý člen bol použitý skrátený násobiaci vzorec. V termíne boli otvorené zátvorky.

(3) Opatrne zarovnané, nezabúdajme na to

(4) Preusporiadanie pojmov: najskôr prepíšeme pojmy , v ktorom nie je žiadna pomyselná jednotka(prvá skupina), potom výrazy, kde sú (druhá skupina). Treba poznamenať, že prehadzovanie výrazov nie je potrebné a tento krok je možné preskočiť (skutočne to urobíte ústne).

(5) Pre druhú skupinu to vyberieme zo zátvoriek.

V dôsledku toho sa ukázalo, že naša funkcia je zastúpená vo forme

odpoveď:
– reálna časť funkcie.
– imaginárna časť funkcie.

Aké funkcie to boli? Najbežnejšie funkcie dvoch premenných, z ktorých môžete nájsť také populárne parciálne deriváty. Bez milosti to nájdeme. Ale o niečo neskôr.

Algoritmus pre riešený problém možno v stručnosti napísať takto: do pôvodnej funkcie dosadíme , vykonáme zjednodušenia a všetky pojmy rozdelíme do dvoch skupín - bez imaginárnej jednotky (reálna časť) a s imaginárnou jednotkou (imaginárna časť) .

Príklad 2

Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Predtým, ako sa vrhnete do boja na zložitom lietadle s vytiahnutou dámou, dovoľte mi, aby som vám dal najdôležitejšie rady na túto tému:

BUĎ OPATRNÝ! Musíte byť opatrní, samozrejme, všade, ale v komplexných číslach by ste mali byť opatrní ako kedykoľvek predtým! Pamätajte, že opatrne otvorte zátvorky, nič nestratíte. Podľa mojich pozorovaní je najčastejšou chybou strata znamienka. Neponáhľaj sa!

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Teraz kocka. Pomocou skráteného vzorca násobenia odvodíme:
.

Vzorce sú veľmi vhodné na použitie v praxi, pretože výrazne urýchľujú proces riešenia.

Diferenciácia funkcií komplexnej premennej.

Mám dve správy: dobrú a zlú. Začnem tým dobrým. Pre funkciu komplexnej premennej platia pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií. Derivácia sa teda berie úplne rovnako ako v prípade funkcie reálnej premennej.

Zlou správou je, že pre mnoho zložitých premenných funkcií neexistuje žiadna derivácia a musíte na to prísť je to odlíšiteľné jednu alebo druhú funkciu. A „zistenie“, ako sa vaše srdce cíti, je spojené s ďalšími problémami.

Uvažujme o funkcii komplexnej premennej. Aby bola táto funkcia diferencovateľná, je potrebné a postačujúce:

1) Aby existovali parciálne derivácie prvého rádu. Na tieto zápisy hneď zabudnite, keďže v teórii funkcií komplexnej premennej sa tradične používa iný zápis: .

2) Na uskutočnenie tzv Cauchy-Riemannove podmienky:

Len v tomto prípade bude derivát existovať!

Príklad 3

Riešenie je rozdelená do troch po sebe nasledujúcich etáp:

1) Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Táto úloha bola diskutovaná v predchádzajúcich príkladoch, takže ju zapíšem bez komentára:

Odvtedy:

Takto:

– imaginárna časť funkcie.

Dovoľte mi dotknúť sa ešte jedného technického bodu: v akom poradí napísať pojmy v reálnej a imaginárnej časti? Áno, v princípe je to jedno. Napríklad skutočná časť môže byť napísaná takto: , a ten pomyselný – takto: .

2) Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok. Sú dve.

Začnime kontrolou stavu. nachádzame parciálne deriváty:

Podmienka je teda splnená.

Samozrejme, dobrou správou je, že parciálne deriváty sú takmer vždy veľmi jednoduché.

Kontrolujeme splnenie druhej podmienky:

Výsledok je rovnaký, ale s opačnými znamienkami, teda podmienka je tiež splnená.

Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, preto je funkcia diferencovateľná.

3) Nájdime deriváciu funkcie. Derivát je tiež veľmi jednoduchý a nachádza sa podľa obvyklých pravidiel:

Imaginárna jednotka sa pri diferenciácii považuje za konštantu.

odpoveď: - skutočná časť, – imaginárna časť.
Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené, .

Existujú dva ďalšie spôsoby, ako nájsť derivát, samozrejme sa používajú menej často, ale informácie budú užitočné pre pochopenie druhej lekcie - Ako nájsť funkciu komplexnej premennej?

Derivát možno nájsť pomocou vzorca:

V tomto prípade:

Teda

Musíme vyriešiť inverzný problém - vo výslednom výraze musíme izolovať . Aby ste to dosiahli, je potrebné v termínoch a mimo zátvoriek:

Opačná akcia, ako si mnohí všimli, je o niečo zložitejšia; na kontrolu je vždy lepšie vziať výraz na koncepte alebo ústne otvoriť zátvorky späť, pričom sa uistite, že výsledok je presne

Zrkadlový vzorec na nájdenie derivátu:

V tomto prípade: , Preto:

Príklad 4

Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie . Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Ak sú splnené Cauchyho-Riemannove podmienky, nájdite deriváciu funkcie.

Krátke riešenie a približná ukážka finálneho návrhu na konci hodiny.

Sú Cauchy-Riemannove podmienky vždy splnené? Teoreticky sa častejšie nenapĺňajú, ako plnia. Ale v praktických príkladoch si nepamätám prípad, že by neboli splnené =) Ak teda vaše parciálne deriváty „nekonvergujú“, potom s veľmi vysokou pravdepodobnosťou môžete povedať, že ste niekde urobili chybu.

Poďme si skomplikovať naše funkcie:

Príklad 5

Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie . Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítajte

Riešenie: Algoritmus riešenia je úplne zachovaný, ale na konci bude pridaný nový bod: nájdenie derivácie v bode. Pre kocku už bol odvodený požadovaný vzorec:

Definujme skutočnú a imaginárnu časť tejto funkcie:

Pozor a ešte raz pozor!

Odvtedy:

Takto:
– reálna časť funkcie;
– imaginárna časť funkcie.

Kontrola druhej podmienky:

Výsledok je rovnaký, ale s opačnými znamienkami, teda podmienka je tiež splnená.

Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, preto je funkcia diferencovateľná:

Vypočítajme hodnotu derivácie v požadovanom bode:

odpoveď:, , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené,

Funkcie s kockami sú bežné, takže tu je príklad na posilnenie:

Príklad 6

Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie . Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítajte.

Riešenie a príklad ukončenia na konci hodiny.

V teórii komplexnej analýzy sú definované aj ďalšie funkcie komplexného argumentu: exponent, sínus, kosínus atď. Tieto funkcie majú nezvyčajné a dokonca bizarné vlastnosti - a to je naozaj zaujímavé! Naozaj vám chcem povedať, ale tu, ako sa to stáva, nie je referenčná kniha alebo učebnica, ale kniha riešení, takže zvážim rovnaký problém s niektorými bežnými funkciami.

Najprv o tzv Eulerove vzorce:

Pre hocikoho platnéčísla, platia nasledujúce vzorce:

Môžete si ho tiež skopírovať do svojho notebooku ako referenčný materiál.

Prísne vzaté, existuje len jeden vzorec, ale zvyčajne pre pohodlie píšu aj špeciálny prípad s mínusom v exponente. Parameter nemusí byť jedno písmeno, môže to byť zložitý výraz alebo funkcia, dôležité je len to, aby akceptovali len platný významy. V skutočnosti to teraz uvidíme:

Príklad 7

Nájdite derivát.

Riešenie: Všeobecná línia strany zostáva neotrasiteľná – je potrebné rozlišovať skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Nižšie uvediem podrobné riešenie a komentár ku každému kroku:

Odvtedy:

(1) Namiesto toho nahraďte „z“.

(2) Po nahradení musíte vybrať skutočné a imaginárne časti prvý v ukazovateli vystavovateľov. Ak to chcete urobiť, otvorte zátvorky.

(3) Zoskupíme imaginárnu časť ukazovateľa, pričom imaginárnu jednotku umiestnime mimo zátvorky.

(4) Akciu školy používame s titulmi.

(5) Pre násobiteľ používame Eulerov vzorec a .

(6) Otvorte zátvorky, výsledkom čoho bude:

– reálna časť funkcie;
– imaginárna časť funkcie.

Ďalšie akcie sú štandardné, skontrolujme splnenie podmienok Cauchy-Riemann:

Príklad 9

Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie . Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Nech je to tak, derivát nenájdeme.

Riešenie: Algoritmus riešenia je veľmi podobný predchádzajúcim dvom príkladom, ale sú tu veľmi dôležité body, takže sa znova vyjadrím k počiatočnej fáze krok za krokom:

Odvtedy:

1) Namiesto toho nahraďte „z“.

(2) Najprv vyberieme reálnu a imaginárnu časť vnútri sínusu. Na tieto účely otvárame zátvorky.

(3) Používame vzorec a .

(4) Použitie parita hyperbolického kosínusu: A zvláštnosť hyperbolického sínusu: . Hyperbolika, aj keď nie je z tohto sveta, v mnohom pripomína podobné goniometrické funkcie.

Nakoniec:
– reálna časť funkcie;
– imaginárna časť funkcie.

Pozor! Znamienko mínus odkazuje na imaginárnu časť a za žiadnych okolností by sme ju nemali stratiť! Pre jasnú ilustráciu možno výsledok získaný vyššie prepísať takto:

Skontrolujeme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:

Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.

odpoveď:, , Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.

Dámy a páni, poďme na to sami:

Príklad 10

Určite reálnu a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann.

Zámerne som vybral ťažšie príklady, pretože sa zdá, že každý si s niečím poradí, ako napríklad lúpané arašidy. Zároveň si precvičíte pozornosť! Luskáčik na konci hodiny.

No, na záver sa pozriem na ďalší zaujímavý príklad, keď je v menovateli zložitý argument. V praxi sa to stalo niekoľkokrát, pozrime sa na niečo jednoduché. Ej, starnem...

Príklad 11

Určite reálnu a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann.

Riešenie: Opäť je potrebné rozlišovať reálnu a imaginárnu časť funkcie.
Ak potom

Vynára sa otázka, čo robiť, keď je v menovateli „Z“?

Všetko je jednoduché - pomôže štandardný spôsob násobenia čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom, to už bolo použité v príkladoch lekcie Komplexné čísla pre figuríny. Spomeňme si na školský vzorec. Už máme v menovateli, čo znamená, že konjugovaný výraz bude . Preto musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa:

Nechajte funkciu W = f(Z) sa dáva na nejakú množinu a Z 0 , patriaci E, hraničný bod tohto súboru. Pridajme Z 0 = X 0 + i· r 0 prírastok Δ Z = Δ X+ i· Δ r ukázať Z = Z 0 + Δ Z patril mnohým E. Potom funkcia W = u+ i· v = f(Z) = u(X, r)+ i· v(X, r). Získame prírastok Δ W = Δ u+ i· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

Ak existuje konečná hranica
, potom sa volá derivácia funkcief(Z) v bodeZ 0 mnohýmiE, a je označený
,
,
, W" .

Formálne je derivačná funkcia komplexnej premennej definovaná úplne rovnako ako derivačná funkcia reálnej premennej, ale ich obsah je odlišný.

V definícii derivácie funkcie f(X) skutočná premenná v určitom bode X 0 , X→ x 0 pozdĺž priamky. V prípade funkcie komplexnej premennej f(Z), Z môže usilovať o Z 0 pozdĺž akejkoľvek rovinnej cesty vedúcej k bodu Z 0 .

Preto je požiadavka na existenciu derivácie funkcie komplexnej premennej veľmi prísna. To vysvetľuje, že ani jednoduché funkcie komplexnej premennej nemajú deriváciu.

Príklad.

Zvážte funkciu W = = X- i· r. Ukážme, že táto funkcia nemá v žiadnom bode deriváciu. Zoberme si akýkoľvek bod Z 0 = X 0 + i· r 0 , dajme tomu prírastok Δ Z = Δ X+ i· Δ r, potom funkcia dostane prírastok. Prostriedky

,
,

Najprv zvážime Δ Z = Δ X + i· Δ r také, že Δ X → 0 a Δ r = 0 , teda bod Z 0 + Δ Z → Z 0 pozdĺž vodorovnej priamky. V tomto prípade to dostaneme

Teraz zvážime prírastok ∆ Z také, že ∆ X = 0 a ∆ r → 0 , t.j. Kedy Z 0 + ∆ Z→ Z 0 pozdĺž zvislej priamky a bude to zrejmé
.

Výsledné limity sú rôzne, teda pomer nemá žiadne obmedzenie ∆ Z → 0 , teda funkciu
nemá v žiadnom bode derivát Z 0 .

Poďme zistiť význam derivácie vzhľadom na množinu. Nechaj E je skutočnou osou a W = f(Z) = X, potom je to obyčajná reálna funkcia reálnej premennej f(X) = X a jeho derivácia bude rovnaká 1 (
).

Nechaj to teraz E- toto je celé lietadlo (Z). Ukážme, že funkcia f(Z) = X v tomto prípade nemá v žiadnom bode deriváciu. Naozaj, v tomto prípade
.Z toho je zrejmé, že ak
A
, To
. Ak
, A
, To
.Preto ten postoj nemá žiadne obmedzenie
, teda funkcia f(Z) = X nemá v žiadnom bode derivát
.

Všimnite si, že ak sa uvažuje o komplexnej funkcii reálnej premennej, potom z definície derivácie okamžite vyplýva, že
, teda (toto je derivácia vzhľadom na reálnu os).

Vzorec pre inkrementáciu funkcií.

Nechajte funkciu W = f(Z) má v bode Z 0 derivát
. Ukážme, že platí zobrazenie (1), kde je množstvo
, Kedy
.

Skutočne, podľa definície derivátu máme
, teda hodnotu
, Kedy
. Preto sa uskutoční reprezentácia (1) (vynásobte obe strany
a presuňte ho
na ľavú stranu).

Prednáška č. 8 Diferenciabilita a diferenciál funkcie komplexnej premennej

Funkcia W = f(Z) volal v bode rozlíšiteľnéZ 0 , ak v tomto bode prebieha reprezentácia (2), kde A je pevné komplexné číslo a množstvo
má tendenciu k nule, keď
.

Ak je funkcia W = f(Z) v bode rozlíšiteľné Z 0 , potom hlavný lineárny vzhľadom k
jej súčasťou A·
prírastok
v bode Z 0 volal diferenciálna funkcia f(Z) v bode a je určený
.

Veta platí.

Veta.

Aby bola funkciaW = f(Z) bolo v tomto bode rozlíšiteľnéZ 0 , je potrebné a postačujúce, aby mal v tomto bode konečnú deriváciu
a vždy sa ukáže, že v zastúpení (2)
.

Dôkaz.

Nevyhnutnosť. Nech je funkcia v bode diferencovateľná Z 0 . Ukážme, že v tomto bode má konečnú deriváciu a táto derivácia sa rovná číslu A. Kvôli diferenciácii f(Z) v bode Z 0 prebieha reprezentácia (2), čo znamená
(3). Prejdenie na limit tu o
dostaneme to
, Prostriedky
.

Primeranosť. Nechajte funkciu f(Z) má v bode Z 0 konečný derivát
. Ukážme, že zobrazenie (2) platí. Vzhľadom na existenciu derivátu
prebieha reprezentácia (1), ale je to aj reprezentácia (2), v ktorej A =
. Dostatok bol stanovený.

Ako vieme, diferenciál, berúc ako diferenciál nezávisle premennej Z jeho prírastok
, teda za predpokladu
, môžeme písať
a preto
(toto je pomer diferenciálov, nie jeden symbol).

Uvažujme nejakú komplexnú veličinu $w$, ktorá je daná výrazom $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, kde $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ sú reálne funkcie reálnej premennej $z=x+yi$.

Táto veličina je komplexnou funkciou reálnej premennej.

Definícia 1

Funkcia $w(z)$ sa nazýva analytická v určitom bode z, ak je táto funkcia diferencovateľná v niektorom okolí tohto bodu z.

Definícia 2

Funkcia sa nazýva analytická v niektorej doméne D, ak je analytická v každom bode tejto oblasti.

Nech sú funkcie $u(x),\, \, \, v(x)$ diferencovateľné.

Definícia 3

Výraz $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ sa nazýva derivácia komplexnej funkcie reálnej premennej vzhľadom na na skutočný argument $x$.

Derivácia vzhľadom na skutočný argument $y$ je definovaná podobne.

Na výpočet derivácie používame nasledujúci vzorec:

\ \

1) Pre funkciu $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ dostaneme:

\ \

2) Pre funkciu $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ dostaneme:

\ \

Aby bola nejaká funkcia $w(z)$ v určitom bode diferencovateľná $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$, je potrebné a postačujúce, aby $u(x,y) $ a $v(x,y)$ boli diferencovateľné v bode $(x_(0) ;y_(0))$ a boli splnené nasledujúce podmienky:

\[\begin(pole)(l) (\frac(\čiastočné u(x,y))(\čiastočné x) =\frac(\čiastočné v(x,y))(\čiastočné y) ) \\ ( \frac(\čiastočné u(x,y))(\čiastočné y) =-\frac(\čiastočné v(x,y))(\čiastočné x) ) \end(pole).\]

Tieto podmienky sa nazývajú Cauchy-Riemannove podmienky.

Poznámka 1

Cauchyho-Riemannove podmienky sú vzťahy, ktoré spájajú reálnu a imaginárnu časť diferencovateľnej funkcie $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, kde $u(x,y) ,\, \, \, v(x,y)$ sú reálne funkcie reálnej premennej $z=x+yi$.

Vyberme skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Dajme $z=x+yi$ a dostaneme:

Preto $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - požadované reálne a imaginárne časti funkcie.

Použime Cauchy-Riemannove podmienky: $\frac(\čiastočné u)(\čiastočné x) =\frac(\čiastočné v)(\čiastočné y) ;\frac(\čiastočné u)(\čiastočné y) =-\ frac( \čiastočné v)(\čiastočné x) $.

\[\begin(pole)(l) (\frac(\čiastočné u)(\čiastočné x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\čiastočné v)(\čiastočné y) =2e^(1+2r) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2r) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2r) \cdot \sin ( -2x)) \end(pole)\] \[\začiatok(pole)(l) (\frac(\čiastočné u)(\čiastočné y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\čiastočné v)(\čiastočné x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(pole)\]

Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené pre akékoľvek reálne $x,y$. Preto je funkcia analytická pre akékoľvek reálne $x,y$.

Nájdeme deriváciu funkcie a vypočítame hodnotu derivácie funkcie v danom bode $z_(0) =\frac(\pi )(6) $.

Derivácia funkcie má tvar:

Vypočítajme hodnotu derivácie funkcie v danom bode

V praxi sa môžete stretnúť s nasledujúcimi problémami.

Problém 1

Vzhľadom na reálnu časť $u(x,y)$ niektorej funkcie komplexnej premennej $w(z)$ je potrebné nájsť imaginárnu časť $v(x,y)$ tejto funkcie. Rekonštruujte funkciu $w(z)$ zo známych reálnych a imaginárnych častí.

Problém 2

Vzhľadom na imaginárnu časť $v(x,y)$ niektorej funkcie komplexnej premennej $w(z)$ je potrebné nájsť imaginárnu časť $u(x,y)$ tejto funkcie. Rekonštruujte funkciu $w(z)$ zo známych reálnych a imaginárnych častí.

Algoritmus na riešenie problému 2 bude nasledujúci:

nájsť skutočnú časť pomocou Cauchy-Riemannových podmienok;
zostav funkciu $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
vykonajte transformácie a vyberte premennú $z=x+yi$ alebo $\overline(z)=x-yi$.

Poznámka 1

Pri riešení praktických problémov môžu byť užitočné nasledujúce vzťahy:

\ \ \

Poznámka 2

Operácia delenia imaginárnou jednotkou $i$ je ekvivalentná operácii násobenia $-i$.

Príklad 3

Z reálnej časti $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ nejakej funkcie komplexnej premennej obnovte jej imaginárnu časť $v(x,y)$ a obnovte túto funkciu, pričom funkcia spĺňa počiatočnú podmienku $w(0)=0$.

Nájdite imaginárnu časť $v(x,y)$ požadovanej funkcie $w(z)$. Použime prvú Cauchy-Riemannovu podmienku:

\[\frac(\čiastočné u(x,y))(\čiastočné x) =\frac(\čiastočné v(x,y))(\čiastočné y) .\]

Nahradíme pôvodné hodnoty a získame:

\[\frac(\čiastočné v(x,y))(\čiastočné y) =\frac(\čiastočné (-x^(2) +y^(2) -5y))(\čiastočné x) =-2x \] \ \

Nájdeme neznámu funkciu $\phi (x)$.

Použime druhú Cauchy-Riemannovu podmienku:

\[\frac(\čiastočné u(x,y))(\čiastočné y) =-\frac(\čiastočné v(x,y))(\čiastočné x).\] \ \[\phi "(x) =5\šípka doprava \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

teda

Imaginárna časť požadovanej funkcie $w(z)$ sa obnoví, potom môžeme napísať samotnú funkciu:

Transformujme výsledný výraz:

\ \[=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \

Pomocou počiatočnej podmienky $w(0)=0$ nájdeme hodnotu konštanty $C$.

Požadovaná funkcia má teda tvar:

Imaginárna časť funkcie bude mať formu.

Veta

Aby bola funkcia w = f(z) , vymedzené v nejakej oblasti D komplexná rovina, bola v bode diferencovateľná z 0 = X 0 + ir 0 ako funkcia komplexnej premennej z, je potrebné a postačujúce, aby jeho reálna a imaginárna časť u A v boli v tomto bode rozlíšiteľné ( X 0 ,r 0) ako funkcie reálnych premenných X A r a že okrem toho sú v tomto bode splnené Cauchyho-Riemannove podmienky:

; ;

Ak sú splnené Cauchyho-Riemannove podmienky, potom derivácia f"(z) môžu byť zastúpené v ktorejkoľvek z nasledujúcich foriem:

Dôkaz

Dôsledky

Príbeh

Tieto podmienky sa prvýkrát objavili v diele d'Alemberta (1752) V diele Eulera, ohláseného Akadémii vied v Petrohrade v roku 1777, podmienky prvýkrát dostali charakter všeobecného znaku analytičnosti funkcií. použil tieto vzťahy na skonštruovanie teórie funkcií, počnúc memoárom, predloženým Parížskej akadémii vied v roku 1814. Riemannova slávna dizertačná práca o základoch teórie funkcií pochádza z roku 1851.

Literatúra

Shabbat B.V.Úvod do komplexnej analýzy. - M.: Veda, . - 577 s.
Titchmarsh E. Teória funkcií: Prekl. z angličtiny - 2. vyd., prepracované. - M.: Veda, . - 464 s.
Privalov I. I.Úvod do teórie funkcií komplexnej premennej: Príručka pre vysoké školy. - M.-L.: Štátne vydavateľstvo, . - 316 s.
Evgrafov M. A. Analytické funkcie. - 2. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Veda, . - 472 s.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo sú „Cauchy-Riemannove podmienky“ v iných slovníkoch:

Riemann, nazývaný aj d'Alembert Eulerove podmienky, vzťahy spájajúce skutočnú a imaginárnu časť akejkoľvek diferencovateľnej funkcie komplexnej premennej. Obsah 1 Znenie ... Wikipedia

Cauchyho-Riemannove podmienky, alebo D'Alembert Eulerove podmienky, podmienky na reálnej u = u(x,y) a imaginárnej v = v(x,y) časti funkcie komplexnej premennej, zabezpečujúce nekonečnú spojitú diferencovateľnosť f( z) ako funkcia komplexu... ... Wikipedia

D Alembert Eulerove podmienky, podmienky na skutočnom u=u(x, y).a imaginárnom v=v(x, y).časti funkcie komplexnej premennej zabezpečujúcej monogenitu a analytickosť f(z) ako funkcie komplexnej premennej. Aby funkcia w=f(z),… … Matematická encyklopédia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (francúzsky Augustin Louis Cauchy; 21. august 1789, Paríž 23. máj 1857, Saux (Eau de Seine)) Francúzsky matematik, člen Parížskej akadémie vied, vytvoril základy matematickej analýzy a sám vytvoril obrovský príspevok k analýze ... Wikipedia