Metoder för att analysera olinjära system under deterministiska influenser. Statistiska metoder för att identifiera olinjära system. Dispersionsuppskattningar av graden av olinjäritet hos ett objekt. Konstruktion av ett fasporträtt av ett olinjärt system

Nästan alla styrsystem är strängt taget olinjära, d.v.s. beskrivs av icke-linjära ekvationer. Linjära styrsystem är deras linjära modeller, som erhålls genom konventionell linjärisering - linjärisering som består av att expandera olinjära funktioner till en Taylor-serie och förkasta olinjära termer. Sådan linjärisering är dock inte alltid möjlig. Om olinjäriteten medger den vanliga linjäriseringen, kallas sådan olinjäritet oväsentlig. Annars sägs olinjäriteten vara signifikant. Alla typer av reläelement har betydande olinjäriteter. Även i de fall där konventionell linjärisering är möjlig kan det ofta vara nödvändigt att överväga den ursprungliga olinjära modellen i slutskedet av studien.

Ett olinjärt automatiskt styrsystem är ett system som innehåller minst en länk som beskrivs av en olinjär ekvation.

Typer av olinjära länkar:

länk av relätyp;

länk med bitvis linjär karaktäristik;

en länk med en kurvlinjär egenskap av vilken form som helst;

en länk vars ekvation innehåller produkten av variabler eller deras derivator och deras andra kombinationer;

olinjär länk med fördröjning;

olinjär impulslänk;

logisk länk;

länkar som beskrivs av bitvis linjära styrsystem, inklusive de med variabel struktur.

I fig. 2.1 presenterar reläegenskaper av olika typer:

egenskaper hos ett idealiskt relä (a);

egenskaper hos ett relä med en dödzon (b);

egenskaper hos ett relä med hysteres (c);

egenskaper hos ett relä med en dödzon och hysteres (g);

kvantiseringsegenskaper efter nivå (d).

I fig. 2.2 presenterar bitvis linjära egenskaper:

bitvis linjär karaktäristik med mättnad (a);

bitvis linjär karaktäristik med dödzon och mättnad (b)

bitvis linjär karakteristik med dödzon (c);

backlash (karakteristisk för en länk med backlash) (g);

diodkarakteristik (d);

styckvis linjär karaktäristik med hysteres och mättnad (e).

Det finns statiska och dynamiska olinjäriteter. De förra presenteras i form av olinjära statiska egenskaper, de senare i form av olinjära differentialekvationer.

Reglerkroppens drivning, oavsett vad den kan vara (elektrisk, hydraulisk eller pneumatisk), har alltid, för det första, en dödzon vid utgången; för det andra mättnadszonen vid kanterna. Dessutom kan hysteres också förekomma. Det finns också frekvensomriktare relaterade till länkar av relätyp.

Dödzonen uttrycks av det faktum att motorn har en viss minsta startström, tills den når vilken motorn kommer att stå stilla.

HYSTERES (av grekiskan hysteres - fördröjning, fördröjning), ett fenomen som består i att fysiska. en storhet som kännetecknar en kropps tillstånd (till exempel magnetisering) beror tvetydigt på fysikaliska egenskaper. en storhet som kännetecknar yttre förhållanden (till exempel magnetfält). G. observeras i de fall där kroppens tillstånd vid ett givet ögonblick bestäms av yttre förhållanden inte bara samtidigt, utan också vid tidigare tidpunkter. Ett tvetydigt beroende av kvantiteter observeras i varje process, eftersom förändring av kroppens tillstånd alltid kräver en viss tid (avslappningstid) och kroppens reaktion släpar efter orsakerna som orsakar det.

Icke-linjära system har ett antal grundläggande egenskaper jämfört med linjära. Dessa funktioner är särskilt följande:

Superpositionsprincipen håller inte, och studiet av ett olinjärt system under flera influenser kan inte reduceras till en studie under en påverkan;

Stabiliteten och naturen hos övergångsprocessen beror på storleken på den initiala avvikelsen från jämviktspositionen;

Under fasta yttre påverkan är flera (och ibland ett oändligt antal) jämviktspositioner möjliga;

Fria steady-state processer uppstår som är omöjliga i linjära system (till exempel självsvängningar).

Det finns inga universella analytiska (matematiska) metoder för att studera olinjära system. I processen att utveckla teorin om automatisk styrning utvecklades olika matematiska metoder för analys och syntes av olinjära system, som var och en är tillämplig på en viss klass av system och problem. De mest använda metoderna för att studera icke-linjära system är:

Fasplansmetod;

Lyapunov funktionsmetod;

Harmonisk linjäriseringsmetod (harmonisk balansmetod);

Metoder för att studera absolut stabilitet.

Varje studie av mer eller mindre komplexa olinjära system slutar som regel med matematisk modellering. Och i detta avseende är matematisk modellering en av de universella (icke-analytiska) forskningsmetoderna.

Fas plan

Om ekvationerna för styrsystemet presenteras i normal form, bestämmer systemets tillståndsvektor unikt dess tillstånd. Varje tillstånd i systemet i tillståndsutrymmet motsvarar en punkt. Den punkt som motsvarar systemets nuvarande tillstånd kallas en representerande punkt. När tillståndet ändras, beskriver den representerande punkten en bana. Denna bana kallas fasbanan. Uppsättningen av fasbanor som motsvarar alla möjliga initiala förhållanden kallas ett fasporträtt.

Fasbanan och fasporträttet kan representeras visuellt i fallet med ett tvådimensionellt fasutrymme. Det tvådimensionella fasutrymmet kallas fasplanet.

Fasplanet är ett koordinatplan i vilket två variabler (faskoordinater) plottas längs koordinataxlarna, vilka unikt bestämmer tillståndet för andra ordningens system.

Metoden för analys och syntes av ett styrsystem baserat på konstruktionen av ett fasporträtt kallas för fasplansmetoden.

Från fasporträttet kan man bedöma karaktären av övergående processer. I synnerhet, med hjälp av fasbanan, kan du konstruera en kvalitativ tidskaraktäristik utan beräkningar - en kurva av x mot tid, och omvänt, med hjälp av tidskaraktäristiken, kan du kvalitativt konstruera en fasbana.

Som ett exempel kommer vi först att konstruera en tidskaraktäristik med hjälp av fasbanan och sedan konstruera en fasbana med hjälp av tidskaraktäristiken. Låt fasbanan anges (Fig. 2.4, a).

Efter att ha markerat de karakteristiska punkterna på den (startpunkten, skärningspunkterna med koordinataxlarna), plottar vi motsvarande punkter på det tillfälliga planet och förbinder dem med en jämn kurva (fig. 2.4, b).

Låt nu tidskaraktäristiken anges (Fig. 2.5, a). Efter att ha markerade karakteristiska punkter på den (startpunkten, extrempunkterna och skärningspunkterna med tidsaxeln), plottar vi motsvarande punkter på fasplanet och förbinder dem med en jämn kurva

(Fig. 2.5,6).

Fasporträtt av olinjära system kan innehålla en typ av speciell kurva - isolerade slutna banor. Dessa kurvor kallas begränsa cykler. Om, från insidan och utsidan, fasbanorna konvergerar till gränscykeln (Fig. 2.8, a),

då kallas en sådan gränscykel en stabil gränscykel. En stabil gränscykel motsvarar asymptotiskt orbitalt stabil periodisk rörelse (självsvängningar).

Om fasbanorna inom och utanför gränscykeln rör sig bort från den (fig. 2.8,6), kallas en sådan gränscykel en instabil gränscykel. En periodisk process som motsvarar en instabil gränscykel kan inte observeras.

Om rörelsen börjar inom en sådan gränscykel, konvergerar processen till ett jämviktsläge. Om rörelsen börjar utanför en sådan gränscykel, divergerar processen. En instabil gränscykel fungerar som gränsen för attraktionsregionen, eller gränsen för stabiliteten för jämviktspositionen (ursprunget).

Två gränscykler är möjliga (fig. 2.8, c, d). inre för-

gränscykel i fig. 2.8, i är stabil, och självsvängningar motsvarar det, och den yttre gränscykeln är instabil och är gränsen för regionen för självsvängningar: självsvängningar uppstår för alla initiala avvikelser som inte går utöver den yttre gränscykeln .

Den yttre gränscykeln i fig. 2.8, d är stabil och motsvarar självsvängningar, och den inre gränscykeln är instabil och är gränsen för attraktionsområdet för jämviktspositionen. I ett system med ett sådant fasporträtt uppstår självsvängningar när systemet avviker tillräckligt från jämviktsläget - en avvikelse som går utöver den interna gränscykeln. Om systemet rör sig inom en instabil gränscykel, närmar det sig ett jämviktsläge.

Harmonisk linjäriseringsmetod

Den harmoniska linjäriseringsmetoden, eller harmonisk balansmetoden, utvecklades ursprungligen för att studera periodiska förhållanden. Men senare började den användas även för stabilitetsanalys och syntes av olinjära system.

Huvudidén med metoden är följande. Kontrollerade system (objekt) har som regel egenskapen hos ett lågpassfilter: när periodiska moder inträffar sänder de inte, eller sänder med större dämpning, andra och högre övertoner. Och kärnan i den harmoniska linjäriseringsmetoden är att beskriva en olinjär länk med en linjär ekvation, som erhålls genom att försumma (kassera) de indikerade övertonerna i expansionen av den olinjära funktionen i en Fourier-serie.

Den harmoniska linjäriseringsmetoden är en ungefärlig metod. Dess fördel är dock att den är tillämpbar på system av vilken ordning som helst, i motsats till fasplansmetoden, som endast effektivt kan tillämpas på andra ordningens system.

Goldfarb-metoden (metod för att studera symmetriska självsvängningar)

Lyapunov funktionsmetod

Forskningsmetoden baserad på konstruktionen av Lyapunov-funktionen, inklusive den direkta Lyapunov-metoden, började kallas metoden för Lyapunov-funktioner.

Metod för att studera absolut stabilitet

Problemet med absolut stabilitet övervägdes först av A. I. Lurie, och det kallas ibland Lurie-problemet. Han utvecklade en metod för att lösa detta problem, baserad på konstruktionen av Lyapunov-funktionen. År 1961 Den rumänska vetenskapsmannen V.M. Popov publicerade ett dokument där han beskrev en frekvensmetod för att lösa detta problem. Detta resulterade i en stor ström av arbete i denna riktning.

För uppgifter:

Förhållandet mellan den transienta processen och fasporträttet:

(Besekersky-Popov s. 595 många saker)

Närvaron av olinjäriteter i styrsystem leder till beskrivningen av ett sådant system med olinjära differentialekvationer, ofta av ganska höga ordningar. Som bekant kan de flesta grupper av olinjära ekvationer inte lösas i en allmän form, och man kan bara tala om speciella fall av lösning, därför spelar olika ungefärliga metoder en viktig roll i studien av olinjära system.

Med hjälp av ungefärliga metoder för att studera olinjära system är det vanligtvis omöjligt att få en tillräckligt fullständig förståelse av systemets alla dynamiska egenskaper. Men med deras hjälp är det möjligt att besvara ett antal individuella väsentliga frågor, såsom frågan om stabilitet, närvaron av självsvängningar, arten av några speciella lägen, etc.

För närvarande finns det ett stort antal olika analytiska och grafanalytiska metoder för att studera icke-linjära system, bland vilka vi kan lyfta fram metoderna för fasplanet, anpassning, punkttransformationer, harmonisk linjärisering, Lyapunovs direkta metod, frekvensmetoder för att studera det absoluta Popovs stabilitet, metoder för att studera icke-linjära system på elektroniska modeller och datorer.

Kort beskrivning av några av de listade metoderna.

Fasplanmetoden är korrekt, men har begränsad tillämpning, eftersom den är praktiskt taget otillämpbar för styrsystem, vars beskrivning inte kan reduceras till andra ordningens styrningar.

Den harmoniska linjäriseringsmetoden är en ungefärlig metod, den har inga begränsningar för ordningen på differentialekvationer. Vid tillämpning av denna metod antas det att det finns harmoniska svängningar vid systemets utgång, och den linjära delen av styrsystemet är ett högpassfilter. I fallet med svag filtrering av signaler av den linjära delen av systemet, när man använder den harmoniska linjäriseringsmetoden, är det nödvändigt att ta hänsyn till högre övertoner. Samtidigt blir analysen av stabilitet och kvalitet på styrprocesser för icke-linjära system mer komplicerad.

Den andra Lyapunov-metoden tillåter att man endast erhåller tillräckliga förhållanden för stabilitet. Och om instabiliteten hos kontrollsystemet bestäms på grundval av det, är det i ett antal fall nödvändigt att ersätta Lyapunov-funktionen för att kontrollera korrektheten av det erhållna resultatet med en annan och utföra stabilitetsanalys igen. Dessutom finns det inga allmänna metoder för att bestämma Lyapunov-funktionen, vilket gör den praktiska tillämpningen av denna metod svår.

Det absoluta stabilitetskriteriet låter dig analysera stabiliteten hos olinjära system med hjälp av frekvensegenskaper, vilket är en stor fördel med denna metod, eftersom den kombinerar den matematiska apparaten för linjära och olinjära system till en enda helhet. Nackdelarna med denna metod inkluderar komplexiteten i beräkningar vid analys av stabiliteten hos system med en instabil linjär del. Därför är det nödvändigt att använda olika metoder för att erhålla det korrekta resultatet på stabiliteten hos olinjära system. Och endast sammanträffandet av olika resultat kommer att tillåta oss att undvika felaktiga bedömningar om stabiliteten eller instabiliteten hos det designade automatiska styrsystemet.

Stabilitetskriterium Popova V.M.

(rumänsk vetenskapsman)

Detta är en frekvensmetod för att studera stabiliteten hos en NL ACS med en entydig olinjäritet som uppfyller villkoret

Jämviktspositionens stabilitet beaktas

Tillräckliga förutsättningar absolut stabilitet Sådana system formulerades av V.M. Popov.

1. Överföringsfunktionen introduceras

Det antas att
motsvarar ett asymptotiskt stabilt system (kontrollerat av något av stabilitetskriterierna).

2. Frekvenssvar hittas
.

3. Ett modifierat frekvenssvar är konstruerat
,

som bestäms av relationen

Re
=Re
,

Jag är
= .

4. Konstruerad på det komplexa planet
.

Popov-kriterium:

Om genom en punkt
en rät linje kan dras på den verkliga axeln så att den modifierade AFC
låg på ena sidan av denna raka linje, sedan en stängd NL självgående pistol kommer att vara absolut stabil.

Exempel. Undersök den absoluta stabiliteten för NL självgående kanoner med blockschemat i fig. 1, om

Sedan allt i den karakteristiska ekvationen av 2:a ordningen är större än noll, alltså
- är asymptotiskt stabil och därför är villkor (1) i Popovs stabilitetskriterium uppfyllt.

Re
=Re
=

Jag är
=Jag är
=

Vi bygger en AFFC
.

Asymptotisk stabilitet för en speciell form

olinjära egenskaper

1. Tvetydig olinjär egenskap

Vilotillståndet kommer att vara absolut stabilt om

1.
motsvarar ett asymptotiskt stabilt system.

2.

2. System med reläkarakteristik

r=0 . Detta är ett specialfall av egenskapen som diskuterats ovan.

Tillräckligt villkor för absolut stabilitet - istället för villkor (2)

3. Icke-linjäritet av relätyp

1.
- asymptotiskt stabil.

2.Jag är

Absolut processstabilitet

Låt oss nu betrakta stabiliteten inte för stabiliseringssystem (nominellt läge - viloläge), utan fallet när det nominella läget kännetecknas av insignalen
och utsignal
, som är begränsad kontinuerlig tidens funktioner.

Vi kommer att anta att det olinjära elementet har formen
, Var
är en kontinuerlig envärdig funktion som uppfyller villkoret

de där. förändringshastigheten för den olinjära karakteristiken är begränsad. Detta är ett ganska strikt villkor.

I detta fall för att säkerställa absolut stabilitet i den begränsade processen
,
det räcker att villkoren är uppfyllda6

1.
- var asymptotiskt stabil.

2.
.

I det speciella fallet när r=0

eller

Teorin förknippad med utvecklingen av Popovs idéer är ännu inte komplett, nya, starkare resultat är möjliga här. En sammanfattning av sådana resultat hittills finns i Naumovs bok "Icke-linjära automatiska styrsystem".

Ungefärliga metoder för att studera olinjära automatiska styrsystem

Harmonisk balansmetod

När man studerar NL ACS är det ibland möjligt att observera utseendet av periodiska förändringar i utgångsvärdet y(t) även i de fall där
Om vi, när vi studerar självgående vapen, begränsar oss till linjär modell med konstanta koefficienter, då kan det indikerade fenomenet (naturliga svängningar) bara uppstå om det finns rent imaginära rötter i den karakteristiska ekvationen
.

Men med denna förklaring kommer en liten förändring i systemets parametrar att "skifta" roten från den imaginära axeln till vänster eller höger och de naturliga svängningarna antingen dämpar eller svajar. I praktiken, i olinjära system, kvarstår periodiska svängningar av utsignalen med små förändringar i systemparametrarna.

Denna typ av odämpade svängningar förklaras av systemets olinjära natur. De kallas självsvängningar.

Tänk på metoden harmonisk balans, vilket gör det möjligt att bestämma närvaron eller frånvaron av självsvängningar baserat på det ömsesidiga flödet av fas-frekvenssvaret för den linjära delen och egenskaperna hos det olinjära elementet.

Låt oss betrakta ett enslingssystem där ett olinjärt element identifieras

(1)

och linjär del med överföringsfunktion
.

Förment:

1.
motsvarar ett stabilt system,

2. olinjär egenskap
- udda symmetrisk, dvs.

,

3.ingångssignal
, dvs. Detta är ett stabiliseringssystem.

Vi kommer att leta efter utsignalen y(t) som

, (2)

Var - amplitud av självsvängningar,

- frekvens av självsvängningar.

Och måste fastställas.

Sinusformad hypotes y(t) ser godtycklig ut. Ytterligare villkor kommer dock att ges under vilka denna hypotes blir naturlig.

Eftersom den
,(3)

Låt oss missa signalen
sekventiellt genom det olinjära elementet och den linjära delen och hitta ekvationer från vilka det kommer att vara möjligt att bestämma amplituden och frekvens självsvängningar i NL självgående vapen.

Genomgång
via linjärt element

Därför att
- periodisk funktion, sedan signalen
vid utgången av det olinjära element kommer också att vara en periodisk funktion, men skiljer sig från en sinusvåg.

Räckvidd
Räckvidd

Som bekant kan vilken periodisk funktion som helst representeras av en Fourier-serie:

(4)

Vi antar att den fria termen i formel (4) är lika med noll. Detta kommer till exempel att ske när egenskapen hos ett icke-linjärt element uppfyller villkoret

, dvs det är en udda funktion.

Här Fourier-koefficienterna Och bestäms:

,

(5)

Låt oss omvandla (4) genom att multiplicera och dividera varje term på höger sida med
(6)

.

Låt oss påminna dig om det

(8)

Alltså när man passerar signalen
genom ett olinjärt element, vid utgången av det olinjära elementet finns en signal
innehåller många övertoner som är multiplar av . (se bilden ovan).

Signalflöde
genom den linjära delen

Från teorin om linjära system vet vi att om ingången av en linjär länk med en överföringsfunktion
, motsvarande ett stabilt system, ger en övertonssignal, i ett stabilt tillstånd kommer det att finnas en signal vid utgången av denna länk.

Här
- Frekvenssvarsmodul
vid punkten ,

argument
.

Med hjälp av dessa relationer kan vi skriva ner uttryck för
, passera separat genom den linjära delen alla komponenter i serien (8) och sedan summera de resulterande uttrycken för

På grund av systemets linjäritet är ett sådant förfarande lagligt.

Vi får, förutsatt
:

Det resulterande uttrycket (9) för
har en ganska komplex struktur. Det kan avsevärt förenklas att använda filterhypotes.

När vi studerade frekvensegenskaperna för typiska elementära enheter såg vi att deras frekvenssvar tenderar till noll vid

Filterhypotesen är att frekvensgången på höger sida av (9) minskar med ökande frekvens så snabbt att i (9) endast den första termen kan tas med i beräkningen, motsvarande k=1, och anser att de återstående villkoren är försumbara. Med andra ord är filterhypotesen hypotesen att den linjära delen av ACS praktiskt taget inte tillåter högfrekventa svängningar att passera igenom. Därför förenklas formel (9) (och detta är approximationen av metoden) enligt följande:

Således, när vi stänger systemet under antagandet av filterhypotesen, kommer vi att få en harmonisk balans (därav namnet på metoden - metoden för harmonisk balans)

Låt oss titta på hur man använder metod harmonisk balans bestämma amplituden A och frekvens självsvängningar.

Låt oss presentera konceptet ekvivalent överföringsfunktion för ett icke-linjärt element:

(11)

Om
(och detta sker med entydiga symmetriska olinjära egenskaper), då

(12)

Den karakteristiska ekvationen för en sluten ACS (Fig. 1) har formen:

eller frekvenssvar

(13)

(14)

Låt oss föreställa oss

Sedan kommer ekvation (14) att skrivas om:

=
(17)

Likhet (14) eller (17) är grunden för den grafanalytiska metoden för att bestämma parametrarna för självsvängningar A Och .

Fas-frekvenssvaret för den linjära delen är konstruerad på det komplexa planet

och egenskaper hos det olinjära elementet

Om kurvorna skär varandra, existerar självsvängningar i ACS.

Frekvensen av självsvängningar vid skärningspunkten för kurvorna längs
, och amplituden är enligt
.

Låt oss ta en närmare titt på det valda området

Vi känner till amplituden och frekvensen för punkterna närmast kurvornas skärningspunkt. Amplituden och frekvensen i skärningspunkten kan bestämmas till exempel genom att dela segmentet på mitten.

Harmonisk linjäriseringsmetod

Detta är en mycket effektiv ungefärlig metod för att bestämma periodiska oscillationer i NL ACS.

För att tillämpa metoden för harmonisk linearisering av olinjäritet är det nödvändigt att uppfylla kravet: den linjära delen måste ha filteregenskaper, d.v.s. den bör inte tillåta höga frekvenser att passera igenom.

I praktiken är detta krav vanligtvis uppfyllt.

Låt det finnas ett olinjärt element

(1)

Låta
(2)

Sedan
(3)

Låt oss expandera (1) till en Fourier-serie:

Kom ihåg att den icke-linjära funktionen F(x) , utökad till en Fourier-serie, har formen:

,

,
,

Då kommer Fourier-serien för vår olinjäritet att se ut så här:

++högre övertoner (4)

Låt oss sätta en konstant komponent

Från ekvation (2):

Från ekvation (3):

Sedan kan ekvation (4) skrivas om:

,

I ekvation (5) försummar vi höga frekvenser och detta är approximationen av metoden.

Det olinjära elementet vid
ersätts av linjärt uttryck (5), som, när den linjära delfilterhypotesen är uppfylld, har formen:

(6)

Denna procedur kallas harmonisk linjärisering.

Odds
Och
på konstant a Och . I dynamiskt läge, när de ändras A Och , koefficienter
Och
Kommer förändras. Detta är skillnaden mellan harmonisk linjärisering och konventionell linjärisering. (Med konventionell linearisering, koefficienten för den linjäriserade ekvationen TILL beror på linjäriseringspunkten). Beroende av linjäriseringskoefficienter på A Och låter dig tillämpa metoder för att studera linjära system på NL ACS (6) och analysera egenskaperna hos NL ACS som inte kan detekteras med konventionell linjärisering.

Harmoniska linjäriseringskoefficienter

några typiska olinjäriteter

Reläkarakteristik

2. Reläkarakteristik med dödzon

,
Oscillationsamplitud

3. Reläkarakteristik med hysteresloop

,
,

4. Reläkarakteristik med dödzon och hysteresloop

,

Tänk nu på ett slutet system.

,

Vi kan introducera begreppet överföringsfunktionen för ett icke-linjärt element

,

.

Sedan den karakteristiska ekvationen för en sluten ACS:

,

eller

När naturliga odämpade svängningar med konstant amplitud och frekvens uppstår i ett slutet system blir de harmoniska linjäriseringskoefficienterna konstanta och det automatiska styrsystemet blir linjärt. Och i ett linjärt system indikerar närvaron av periodiska odämpade oscillationer närvaron av rent imaginära rötter.

Alltså att bestämma periodisk lösningar måste ersättas i den karakteristiska ekvationen
. Här - aktuell frekvens, och - frekvens av självsvängningar.

De okända i denna ekvation är Och .

Låt oss isolera de verkliga och imaginära delarna i denna ekvation.

Låt oss introducera notationen för frekvensen och amplituden för den önskade periodiska lösningen:
,
.

Vi får två ekvationer med två okända.

När vi löser dessa ekvationer finner vi Och - Amplitud och frekvens för periodiska lösningar i NL ACS.

Med hjälp av dessa ekvationer kan du inte bara bestämma Och , men också bygga ett beroende Och t.ex. från förstärkningen av ACS TILL.

Sedan, med tanke på TILL variabler skriver vi:

Undrar TILL, vi hittar Och , dvs.
Och

Kan välja TILL så att

1. det skulle inte räcka

2. det skulle vara ofarligt för självgående vapen,

3. det skulle inte finnas några självsvängningar.

Med samma ekvationer är det möjligt på planet av två parametrar (till exempel, T Och TILL) konstruera linjer med lika värden för amplituden och frekvensen av självsvängningar. För denna ekvation skriver vi om:

Ange numeriska värden , vi får
Och

Från dessa grafer kan du välja T Och TILL.

Bestämning av stabiliteten hos lösningar i olinjära automatiska styrsystem

Självsvängningar i NL ACS måste motsvara stabila periodiska lösningar. Därför, efter att ha hittat amplituden och frekvenser periodiska lösningar är det nödvändigt att undersöka dem för stabilitet.

Låt oss överväga en ungefärlig metod för att studera stabiliteten hos periodiska lösningar i NL ACS med hjälp av Mikhailov-hodografen.

Låt NL självgående vapen

,
.
- erhålls med den harmoniska linjäriseringsmetoden.

Karakteristisk ekvation för ett slutet system

Låt oss skriva ner ekvationen för den karakteristiska kurvan (Mikhailovs hodograf), som vi ersätter med den
.

- aktuellt frekvensvärde längs Mikhailov-hodografen,

- frekvens av harmonisk linjärisering (självsvängningar).

Då för varje givet permanent Och Mikhailov-kurvan kommer att ha samma form som för vanliga linjära system.

För periodiska lösningar motsvarande Och , Mikhailovs hodograf kommer att passera genom ursprunget för koordinater (eftersom systemet är på stabilitetsgränsen).

För att bestämma stabiliteten hos periodiska lösningar ger vi ökning

Jag fet
Mikhailov-kurvan kommer att ta position 1, och när

- position 2, då är den periodiska lösningen stabil.

Jag fet
kurvan tar position 2, och när
- position 1, då är den periodiska lösningen instabil.

"Teorin om automatisk kontroll"

"Metoder för att studera icke-linjära system"

1. Metod för differentialekvationer

Differentialekvationen för ett slutet olinjärt system av n:e ordningen (fig. 1) kan omvandlas till ett system av n-differentialekvationer av första ordningen i formen:

där: – variabler som kännetecknar systemets beteende (en av dem kan vara en kontrollerad variabel). – olinjära funktioner; u – sätta inflytande.

Vanligtvis är dessa ekvationer skrivna i ändliga skillnader:

var är de ursprungliga förutsättningarna.

Om avvikelserna inte är stora kan detta system lösas som ett system av algebraiska ekvationer. Lösningen kan representeras grafiskt.

2. Fasrymdsmetod

Låt oss betrakta fallet när den yttre påverkan är noll (U = 0).

Systemets rörelse bestäms av en förändring i dess koordinater - som en funktion av tiden. Värdena kännetecknar när som helst systemets tillstånd (fas) och bestämmer koordinaterna för systemet med n-axlar och kan representeras som koordinaterna för någon (representerande) punkt M (Fig. 2).

Fasrum är systemets koordinatrum.

När tiden t ändras, rör sig punkt M längs en bana som kallas fasbanan. Om vi ​​ändrar de initiala förutsättningarna får vi en familj av fasbanor som kallas fasporträtt. Fasporträttet bestämmer karaktären av övergångsprocessen i ett icke-linjärt system. Fasporträttet har speciella punkter som systemets fasbanor tenderar eller förflyttas bort (det kan finnas flera av dem).

Fasporträttet kan innehålla slutna fasbanor, som kallas gränscykler. Gränscykler kännetecknar självsvängningar i systemet. Fasbanorna skär sig inte någonstans, förutom speciella punkter som kännetecknar systemets jämviktstillstånd. Gränscykler och jämviktstillstånd kan vara stabila eller instabila.

Fasporträttet karaktäriserar helt och hållet det olinjära systemet. Ett karakteristiskt drag hos icke-linjära system är närvaron av olika typer av rörelser, flera jämviktstillstånd och närvaron av gränscykler.

Fasrumsmetoden är en grundläggande metod för att studera icke-linjära system. Det är mycket enklare och bekvämare att studera icke-linjära system på fasplanet än att plotta transienta processer i tidsdomänen.

Geometriska konstruktioner i rymden är mindre visuella än konstruktioner på ett plan, när systemet är av andra ordningen och fasplansmetoden används.

Tillämpning av fasplansmetoden för linjära system

Låt oss analysera förhållandet mellan övergångsprocessens natur och fasbanornas kurvor. Fasbanor kan erhållas antingen genom att integrera fasbaneekvationen eller genom att lösa den ursprungliga differentialekvationen av 2:a ordningen.

Låt systemet vara givet (Fig. 3).

Låt oss överväga systemets fria rörlighet. I detta fall: U(t)=0, e(t)=– x(t)

I allmänhet har differentialekvationen formen

Var (1)

Detta är en homogen differentialekvation av andra ordningen; dess karakteristiska ekvation är lika med

. (2)

Rötterna till den karakteristiska ekvationen bestäms av relationerna

(3)

Låt oss representera en 2:a ordningens differentialekvation i form av ett system

1:a ordningens ekvationer:

(4)

var är förändringshastigheten för den kontrollerade variabeln.

I det linjära systemet som betraktas representerar variablerna x och y faskoordinaterna. Vi konstruerar fasporträttet i rymden av koordinaterna x och y, d.v.s. på fasplanet.

Om vi ​​exkluderar tid från ekvation (1) får vi ekvationen för integralkurvor eller fasbanor.

. (5)

Detta är en separerbar ekvation

Låt oss överväga flera fall

Filerna GB_prog.m och GB_mod.mdl, och analysen av den spektrala sammansättningen av det periodiska läget vid utgången av den linjära delen - med hjälp av filerna GB_prog.m och R_Fourie.mdl. Innehåll i filen GB_prog.m: % Studie av olinjära system med harmonisk balansmetoden % Filer som används: GB_prog.m, GB_mod.mdl och R_Fourie.mdl. % Använda beteckningar: NE - olinjärt element, LP - linjärt parti. %Rensar alla...

Tröghetsfri i det tillåtna (begränsade uppifrån) frekvensområdet, bortom vilket det blir trögt. Beroende på typen av egenskaper särskiljs icke-linjära element med symmetriska och asymmetriska egenskaper. En egenskap som inte beror på riktningen för de storheter som bestämmer den kallas symmetrisk, d.v.s. har symmetri i förhållande till systemets ursprung...

Låt oss överväga ett kemiskt-tekniskt objekt, vars ingång får en slumpmässig signal Och(/), och en slumpmässig process observeras vid utgången på(/). När man använder korrelationsmetoder för att identifiera linjära objekt med konstanta parametrar, antas vanligtvis (eller testsignalen är speciellt vald på detta sätt) att de slumpmässiga funktionerna och t) Och på (t) är stationära och stationära parrelaterade i vid mening, dvs. deras matematiska förväntningar är konstanta, och auto- och korskorrelationsfunktioner är funktioner av inte två, utan ett argument som är lika med deras skillnad.

Vid identifiering av icke-linjära dynamiska system, villkoren för normaliteten av sannolikhetstätheter av funktioner och t) Och y(t) och deras gemensamma sannolikhetstätheter som regel inte är uppfyllda, dvs. egenskaperna hos ett objekt bestäms under förhållanden där funktionernas gemensamma sannolikhetstätheter och t) Och på(/) är inte gaussiska.

Därför fungerar den villkorliga sannolikhetstätheten y(t) relativt och t) kommer också att vara icke-Gaussisk. Regressionen av den slumpmässiga utgående variabeln i förhållande till den slumpmässiga ingångsfunktionen för givna värden av argumenten är i det allmänna fallet olinjär, och korrelationen av funktioner Och(0 och på (t) heteroskedastisk.

För att identifiera icke-linjära objekt räcker det alltså inte längre med korrelationsmetoder som arbetar med matematiska förväntningar och korrelationsfunktioner för slumpmässiga processer. Felet i att lösa problemet med att identifiera ett icke-linjärt objekt med hjälp av korrelationsmetoder som används för linjära system är större, ju starkare regression av funktioner y(t) relativt och t) skiljer sig från linjär och ju större ojämnheten är i den matematiska förväntan av betingade varianser.

Problemet med att identifiera icke-linjära objekt som fungerar under förhållanden med slumpmässiga störningar är ett mycket komplext matematiskt problem, som för närvarande är under utveckling och fortfarande är långt ifrån färdigställt. Ändå är det redan möjligt att nämna ett antal metoder som, även om de inte kan anses vara uttömmande, ger en ganska bra ungefärlig lösning på problemet med att identifiera olinjära objekt med hjälp av statistiska metoder. Dessa metoder inkluderar: 1) metoder baserade på användningen av dispersion och interdispersiva funktioner av slumpmässiga processer; 2) metod för linjärisering av icke-linjär regression i områden med homoskedasticitet av den matematiska förväntan av den villkorliga variansen av funktionen y(t) relativt och t) 3) Wiener metod för att identifiera icke-linjära system; 4) en metod för att identifiera icke-linjära system baserat på användningen av apparaten för villkorade Markov-processer.

Låt oss kort titta på var och en av de listade metoderna.

1. Om beroendet mellan värdena för slumpmässiga funktioner Och(0 och på (t) icke-linjär, då kan korrelationskoefficienten mellan värdena för en slumpmässig funktion inte längre tjäna som ett tillräckligt bra kriterium för att mäta närheten av sambandet mellan dem. Därför att karakterisera sambandet mellan Och Och på används

spridningsförhållanden, som bestäms genom spridningsfunktioner (2, 3].

Ömsesidig spridningsfunktion 0 yU (*, t) för verkliga slumpmässiga funktioner y(t) Och och t) Och auto-dispersion (dispersion) funktion G„ K (*, m) för en slumpmässig process Och(t) bestäms av relationerna

Var M( ) - symbol för matematisk förväntan; M.

Baserat på värdena definierade ovan p ui, t| Storbritannien och R du kan bygga ett speciellt TV-kriterium för att testa hypotesen om linjäriteten i sambandet mellan signaler y och och:

Var P- antal experiment; Till- antal intervall i korrelationstabellen. Låt oss kontrollera hypotesen om linjäriteten i sambandet mellan y t Och etc för det föremål som diskuteras i §6.4. Fungera

N(t), konstruerad från in- och utimplementeringarna av systemet, visas i fig. 8.2. I det här fallet reduceras identifieringsproblemet till att söka efter okända parametrar för objektet, som är koefficienterna för operatören i Hilbert-utrymmet. Signalen vid systemingången utökas till en serie Laguerre-underfunktioner:

med odds

Ris. 8.3.

Ris. 8.4.

Här P-th Laguerre funktion g n(t)är konstruerad som en produkt av Laguerre-polynomet ln(t) till exponent:

Observera att Laplace-bilden av Laguerre-polynomen baserad på (8.19) har formen

Detta visar att de nödvändiga Laguerre-koefficienterna kan erhållas genom att skicka signalen och t) genom en kedja av linjära dynamiska länkar (se fig. 8.3).

Operatören för ett olinjärt system representeras som en expansion i Ermnt-polynom:

som är ortogonala på den reella axeln - oo t. Hermitfunktionerna är konstruerade från hermitpolynom:

med hjälp av vilken övergångsoperatorn från Laguerre-koefficienterna för insignalen till utsignalen skrivs i formen

Relation (8.20) är giltig för alla icke-linjära objekt och kan användas som grund för dess identifiering. Identifieringsmetoden förenklas avsevärt om en speciell signal i form av Gaussiskt vitt brus appliceras på ingången. I detta fall är Laguerre-funktionerna okorrelerade Gaussiska slumpmässiga processer med lika varianser. I det här fallet, bestämning av koefficienter... Till reducerar till att hitta korskorrelationsfunktionen för systemutgången och hermitpolynomen:

Bestämning av odds b(j... Till slutför lösningen på identifieringsproblemet. Det allmänna beräkningsschemat visas i fig. 8.4.

Vid lösning av problem med att identifiera kemiska tekniska objekt har den övervägda metoden begränsad tillämpning av ett antal skäl. De senare inkluderar till exempel svårigheter som uppstår när man flyttar från koefficienter b tj k till objektets tekniska parametrar. Metoden är inte lämplig för icke-stationära system. Svårigheter att implementera denna procedur under normal drift av anläggningen minskar också metodens effektivitet. Slutligen är behovet av att trunkera alla operationer associerade med passager till gränsen och ersättning av serier med ändliga summor källor till ytterligare beräkningsfel.

4. Ett annat möjligt tillvägagångssätt för att konstruera optimala filter för icke-linjära system är baserat på användningen av apparaten för villkorade Markov-processer. Låt oss överväga kärnan i detta tillvägagångssätt med hjälp av ett specifikt exempel.

EXEMPEL Låt den användbara signalen vara en rektangulär puls

ögonblicket för uppkomsten av vilket t på segmentet 0 x T måste bestämmas. Pulshöjd En 0 och dess varaktighet h antas vara känd. Signalen som kommer till objektet är och (t)=s(*)+m> (*) är summan av den användbara komponenten s(0 och vitt brus w(*), som beskrivs av sannolikhetsintegralen)