โซลเวอร์ คุซเนตซอฟ
แผนภูมิที่สาม

ภารกิจที่ 7 ศึกษาฟังก์ชันให้สมบูรณ์และสร้างกราฟ

        ก่อนที่คุณจะเริ่มดาวน์โหลดตัวเลือกของคุณ ให้ลองแก้ไขปัญหาตามตัวอย่างที่ให้ไว้ด้านล่างสำหรับตัวเลือกที่ 3 ตัวเลือกบางตัวจะถูกเก็บถาวรในรูปแบบ .rar

        7.3 ศึกษาฟังก์ชันอย่างครบถ้วนและวางแผน

สารละลาย.

        1) ขอบเขตของคำจำกัดความ:         หรือ         นั่นคือ        .
.
ดังนั้น:        

        2) ไม่มีจุดตัดกับแกน Ox อันที่จริงสมการ         ไม่มีคำตอบ
ไม่มีจุดตัดกับแกน Oy เนื่องจาก        

        3) ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ ไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด นอกจากนี้ยังไม่มีความสมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด เพราะ
.
เราเห็นว่า         และ        

        4) ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ
.

; .

; .
ดังนั้น จุด         คือจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง (ความไม่ต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุด)

5) เส้นกำกับแนวตั้ง:       

ลองหาเส้นกำกับเฉียง         ที่นี่

;
.
ดังนั้นเราจึงมีเส้นกำกับแนวนอน: ย=0- ไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียง

        6) มาหาอนุพันธ์ตัวแรกกัน อนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
.
และนั่นคือเหตุผล
.
ลองหาจุดคงที่ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับศูนย์นั่นก็คือ
.

        7) มาหาอนุพันธ์อันดับสองกัน อนุพันธ์อันดับสอง:
.
และนี่เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบเนื่องจาก

หากปัญหาต้องมีการศึกษาฟังก์ชัน f (x) = x 2 4 x 2 - 1 โดยสมบูรณ์ด้วยการสร้างกราฟ เราจะพิจารณาหลักการนี้โดยละเอียด

ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ คุณควรใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น อัลกอริธึมการวิจัยประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

เนื่องจากการวิจัยดำเนินการในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จึงจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยขั้นตอนนี้

ตัวอย่างที่ 1

ด้านหลัง ตัวอย่างนี้เกี่ยวข้องกับการค้นหาศูนย์ของตัวส่วนเพื่อแยกพวกมันออกจาก ODZ

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +

ผลลัพธ์ก็คือ คุณจะได้ค่ารูท ลอการิทึม และอื่นๆ จากนั้น ODZ สามารถค้นหารากของระดับเลขคู่ประเภท g (x) 4 ด้วยอสมการ g (x) ≥ 0 สำหรับลอการิทึมให้บันทึก a g (x) ด้วยอสมการ g (x) > 0

ศึกษาขอบเขตของ ODZ และค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง

มีเส้นกำกับแนวตั้งที่ขอบเขตของฟังก์ชัน เมื่อขีดจำกัดด้านเดียวที่จุดดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุดเส้นขอบเท่ากับ x = ± 1 2

จากนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาลิมิตด้านเดียว แล้วเราจะได้: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ ลิม x → - 1 2 + 0 f (x) = ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

นี่แสดงว่าขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง x = ± 1 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ

ศึกษาฟังก์ชันว่าเป็นคู่หรือคี่

เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = y (x) ฟังก์ชันจะถือว่าเท่ากัน นี่แสดงให้เห็นว่ากราฟอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรเทียบกับ Oy เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = - y (x) ฟังก์ชันจะถือว่าเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าความสมมาตรสัมพันธ์กับที่มาของพิกัด ถ้าอย่างน้อยหนึ่งอสมการไม่เป็นที่พอใจ เราจะได้ฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป

ความเท่าเทียมกัน y (- x) = y (x) บ่งชี้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เมื่อก่อสร้างจำเป็นต้องคำนึงว่าจะมีสมมาตรสัมพันธ์กับออย

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน จะใช้ช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงโดยมีเงื่อนไข f " (x) ≥ 0 และ f " (x) ≤ 0 ตามลำดับ

คำจำกัดความ 1

จุดคงที่- นี่คือจุดที่เปลี่ยนอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์

จุดวิกฤติ- นี่คือจุดภายในจากโดเมนของคำจำกัดความโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

เมื่อตัดสินใจต้องคำนึงถึงหมายเหตุต่อไปนี้:

• สำหรับช่วงเวลาที่มีอยู่ของการเพิ่มและลดความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม f " (x) > 0 จุดวิกฤติจะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหา
• จุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยไม่มีอนุพันธ์จำกัดต้องรวมไว้ในช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง (เช่น y = x 3 โดยที่จุด x = 0 ทำให้ฟังก์ชันถูกกำหนด อนุพันธ์จะมีค่าอนันต์ ณ จุดนี้ จุด y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 รวมอยู่ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น);
• เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง ขอแนะนำให้ใช้วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่แนะนำโดยกระทรวงศึกษาธิการ

การรวมจุดวิกฤตในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงหากเป็นไปตามขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

สำหรับ จำเป็นต้องหาการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

• อนุพันธ์;
• จุดวิกฤติ
• แบ่งขอบเขตของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยใช้จุดวิกฤต
• กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง โดยที่ + คือการเพิ่มขึ้น และ - คือการลดลง

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์บนโดเมนของคำจำกัดความ f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

สารละลาย

ในการแก้ปัญหาคุณต้องมี:

• หาจุดคงที่ ตัวอย่างนี้มี x = 0;
• ค้นหาศูนย์ของตัวส่วน ตัวอย่างใช้ค่าศูนย์ที่ x = ± 1 2

เราวางจุดบนแกนตัวเลขเพื่อกำหนดอนุพันธ์ในแต่ละช่วง ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำจุดใดก็ได้จากช่วงเวลาและทำการคำนวณ หากผลลัพธ์เป็นบวก เราจะแสดง + บนกราฟ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น และ - หมายความว่ากำลังลดลง

เช่น f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 ซึ่งหมายความว่าช่วงแรกทางด้านซ้ายจะมีเครื่องหมาย + ให้พิจารณาจากเส้นจำนวน

คำตอบ:

• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา - ∞; - 1 2 และ (- 1 2 ; 0 ] ;
• มีช่วงเวลาลดลง [ 0 ; 1 2) และ 1 2 ; + .

ในแผนภาพ การใช้ + และ - จะแสดงภาพเชิงบวกและเชิงลบของฟังก์ชัน และลูกศรแสดงถึงการลดลงและการเพิ่มขึ้น

จุดปลายสุดของฟังก์ชันคือจุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและเป็นจุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนสัญญาณ

ตัวอย่างที่ 4

หากเราพิจารณาตัวอย่างโดยที่ x = 0 ค่าของฟังก์ชันในนั้นจะเท่ากับ f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 เมื่อเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก + เป็น - และผ่านจุด x = 0 จุดที่มีพิกัด (0; 0) จะถือเป็นจุดสูงสุด เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + เราจะได้จุดต่ำสุด

ความนูนและความเว้าถูกกำหนดโดยการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 ที่ใช้กันน้อยกว่าคือชื่อนูนลงแทนเว้า และนูนขึ้นแทนนูน

คำจำกัดความ 3

สำหรับ การกำหนดช่วงเวลาของความเว้าและความนูนจำเป็น:

• ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง
• ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสอง
• แบ่งพื้นที่คำจำกัดความออกเป็นช่วงตามจุดที่ปรากฏ
• กำหนดเครื่องหมายของช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองจากโดเมนของคำจำกัดความ

สารละลาย

ฉ "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

เราค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วน โดยในตัวอย่างของเรา เรามีค่าศูนย์ของตัวส่วน x = ± 1 2

ตอนนี้คุณต้องพล็อตจุดบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองจากแต่ละช่วงเวลา เราเข้าใจแล้ว

คำตอบ:

• ฟังก์ชั่นนูนออกมาจากช่วงเวลา - 1 2 ; 12 ;
• ฟังก์ชั่นเว้าจากช่วงเวลา - ∞ ; - 1 2 และ 1 2; + .

คำจำกัดความที่ 4

จุดสะท้อน– นี่คือจุดของรูปแบบ x 0 ; ฉ (x 0) . เมื่อมีค่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน เมื่อผ่าน x 0 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองผ่านและเปลี่ยนสัญญาณ และ ณ จุดนั้นเอง มันจะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จุดทั้งหมดถือเป็นโดเมนของฟังก์ชัน

ในตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่าไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนเครื่องหมายขณะผ่านจุด x = ± 1 2 ในทางกลับกันก็ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

การค้นหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ คุณต้องมองหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

คำจำกัดความที่ 5

เส้นกำกับเฉียงแสดงโดยใช้เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y = k x + b โดยที่ k = lim x → ∞ f (x) x และ b = lim x → ∞ f (x) - k x

สำหรับ k = 0 และ b ไม่เท่ากับอนันต์ เราจะพบว่าเส้นกำกับเฉียงกลายเป็น แนวนอน.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นกำกับถือเป็นเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้อนันต์ ช่วยให้สร้างกราฟฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว

หากไม่มีเส้นกำกับ แต่มีการกำหนดฟังก์ชันไว้ที่อนันต์ทั้งสอง จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อนันต์เหล่านี้เพื่อทำความเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีพฤติกรรมอย่างไร

ตัวอย่างที่ 6

ลองพิจารณาเป็นตัวอย่างว่า

k = ลิม x → ∞ f (x) x = ลิม x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = ลิม x → ∞ (f (x) - k x) = ลิม x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

เป็นเส้นกำกับแนวนอน หลังจากตรวจสอบฟังก์ชันแล้ว คุณสามารถเริ่มสร้างฟังก์ชันได้

การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลาง

เพื่อให้กราฟมีความแม่นยำมากขึ้น แนะนำให้ค้นหาค่าฟังก์ชันหลายค่าที่จุดกึ่งกลาง

ตัวอย่างที่ 7

จากตัวอย่างที่เราพิจารณา จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เราจึงได้ค่าที่ตรงกับค่าที่จุดเหล่านี้ นั่นคือเราได้ x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4

มาเขียนและแก้กัน:

ฉ (- 2) = ฉ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 µ 0, 27 ฉ (- 1) - ฉ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 µ 0 , 33 ฉ - 3 4 = ฉ 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 ฉ - 1 4 = ฉ 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 data - 0.08

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดกึ่งกลาง จำเป็นต้องสร้างเส้นกำกับ เพื่อการกำหนดที่สะดวก จะมีการบันทึกช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น การลดลง ความนูน และความเว้า ลองดูภาพด้านล่าง

จำเป็นต้องวาดเส้นกราฟผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใกล้เส้นกำกับโดยติดตามลูกศร

นี่เป็นการสรุปการสำรวจฟังก์ชันทั้งหมด มีหลายกรณีของการสร้างฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างที่ใช้การแปลงทางเรขาคณิต

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จะศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟได้อย่างไร?

ดูเหมือนว่าฉันเริ่มเข้าใจใบหน้าที่หยั่งรู้ทางจิตวิญญาณของผู้นำชนชั้นกรรมาชีพโลกผู้เขียนรวบรวมผลงาน 55 เล่ม... การเดินทางอันยาวนานเริ่มต้นด้วยข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ ฟังก์ชันและกราฟและตอนนี้ทำงานในหัวข้อที่ใช้แรงงานเข้มข้นซึ่งจบลงด้วยผลลัพธ์เชิงตรรกะ - บทความ เกี่ยวกับการศึกษาฟังก์ชันที่สมบูรณ์- งานที่รอคอยมานานมีการกำหนดดังนี้:

ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และสร้างกราฟตามผลการศึกษา

หรือเรียกสั้น ๆ ว่า: ตรวจสอบฟังก์ชันและสร้างกราฟ

ทำไมต้องสำรวจ?ในกรณีง่ายๆ เราจะเข้าใจฟังก์ชันพื้นฐานได้ไม่ยาก โดยวาดกราฟที่ได้จากการใช้ การแปลงทางเรขาคณิตเบื้องต้นและอื่น ๆ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติและการแสดงภาพกราฟิกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่านั้นยังห่างไกลจากความชัดเจน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องมีการศึกษาทั้งหมด

ขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหามีการสรุปไว้ในเอกสารอ้างอิง รูปแบบการศึกษาฟังก์ชั่นนี่คือคำแนะนำของคุณในส่วนนี้ คนโง่ๆ ต้องการคำอธิบายทีละขั้นตอนของหัวข้อ ผู้อ่านบางคนไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไรหรือจะจัดการงานวิจัยอย่างไร และนักเรียนขั้นสูงอาจสนใจเพียงบางประเด็นเท่านั้น แต่ไม่ว่าคุณจะเป็นใคร ผู้เยี่ยมชมที่รัก บทสรุปที่เสนอพร้อมตัวชี้ไปยังบทเรียนต่างๆ จะนำทางและนำทางคุณไปในทิศทางที่คุณสนใจได้อย่างรวดเร็ว หุ่นยนต์หลั่งน้ำตา =) คู่มือถูกจัดวางในรูปแบบไฟล์ pdf และเข้าแทนที่อย่างถูกต้องบนหน้า สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง.

ฉันคุ้นเคยกับการแบ่งงานวิจัยของฟังก์ชันออกเป็น 5-6 คะแนน:

6) จุดและกราฟเพิ่มเติมตามผลการวิจัย

เกี่ยวกับการดำเนินการขั้นสุดท้าย ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนสำหรับทุกคน - มันจะน่าผิดหวังมากหากถูกขีดฆ่าภายในไม่กี่วินาทีและงานจะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข การวาดที่ถูกต้องและแม่นยำคือผลลัพธ์หลักของการแก้ปัญหา! มีแนวโน้มที่จะ "ปกปิด" ข้อผิดพลาดในการวิเคราะห์ ในขณะที่กำหนดเวลาที่ไม่ถูกต้องและ/หรือประมาทอาจทำให้เกิดปัญหาได้แม้จะมีการศึกษาที่ดำเนินการอย่างสมบูรณ์ก็ตาม

ควรสังเกตว่าในแหล่งอื่นจำนวนจุดวิจัยลำดับการใช้งานและรูปแบบการออกแบบอาจแตกต่างกันอย่างมากจากโครงการที่ฉันเสนอ แต่ในกรณีส่วนใหญ่ก็เพียงพอแล้ว เวอร์ชันที่ง่ายที่สุดของปัญหาประกอบด้วย 2-3 ขั้นตอนเท่านั้นและจัดทำขึ้นดังนี้: "ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์และสร้างกราฟ" หรือ "ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 สร้างกราฟ"

โดยปกติแล้ว ถ้าคู่มือของคุณอธิบายอัลกอริธึมอื่นโดยละเอียดหรือครูของคุณต้องการให้คุณปฏิบัติตามการบรรยายของเขาอย่างเคร่งครัด คุณจะต้องทำการปรับเปลี่ยนวิธีแก้ปัญหาบางอย่าง ไม่ยากไปกว่าการเปลี่ยนส้อมเลื่อยไฟฟ้าด้วยช้อน

ลองตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคู่/คี่:

ตามด้วยการตอบกลับเทมเพลต:
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้ไม่เป็นคู่หรือคี่

เนื่องจากฟังก์ชันเปิดต่อเนื่อง จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

ไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียงเช่นกัน

บันทึก : ฉันเตือนคุณว่ายิ่งสูง ลำดับการเจริญเติบโตกว่า ดังนั้นขีดจำกัดสุดท้ายคือ “ บวกอนันต์"

มาดูกันว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรที่ระยะอนันต์:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราไปทางขวา กราฟจะขึ้นไปไกลอย่างไม่สิ้นสุด ถ้าเราไปทางซ้าย กราฟจะลงไปไกลอย่างไม่สิ้นสุด ใช่ มีข้อจำกัดสองประการภายใต้รายการเดียวด้วย หากคุณมีปัญหาในการถอดรหัสสัญญาณ โปรดไปที่บทเรียนเกี่ยวกับ ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด.

ดังนั้นฟังก์ชัน ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง- เมื่อพิจารณาว่าเราไม่มีจุดพักก็ชัดเจน ช่วงฟังก์ชัน: – จำนวนจริงใดๆ ก็ได้

เทคนิคทางเทคนิคที่มีประโยชน์

แต่ละขั้นตอนของงานจะนำข้อมูลใหม่เกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันมาให้ดังนั้นในระหว่างการแก้ปัญหาจึงสะดวกในการใช้ LAYOUT แบบใดแบบหนึ่ง ลองวาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนบนแบบร่างกัน สิ่งที่รู้อยู่แล้วอย่างแน่นอน? ประการแรก กราฟไม่มีเส้นกำกับ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องวาดเส้นตรง ประการที่สอง เรารู้ว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไรที่อนันต์ จากการวิเคราะห์ เราได้ประมาณค่าแรก:

โปรดทราบว่าเนื่องจาก ความต่อเนื่องและความจริงที่ว่ากราฟจะต้องข้ามแกนอย่างน้อยหนึ่งครั้ง หรืออาจมีทางแยกหลายจุด?

3) ค่าศูนย์ของฟังก์ชันและช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่

ขั้นแรก มาหาจุดตัดของกราฟกับแกนพิกัด มันง่ายมาก จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่:

เหนือระดับน้ำทะเลครึ่งหนึ่ง

หากต้องการค้นหาจุดตัดกับแกน (ศูนย์ของฟังก์ชัน) เราจำเป็นต้องแก้สมการและที่นี่รอเราอยู่ ความประหลาดใจอันไม่พึงประสงค์:

มีสมาชิกอิสระแฝงตัวอยู่ตอนท้ายซึ่งทำให้งานยากขึ้นมาก

สมการดังกล่าวมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก และส่วนใหญ่มักเป็นรากที่ไม่ลงตัว ในเทพนิยายที่เลวร้ายที่สุด ลูกหมูสามตัวกำลังรอเราอยู่ สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สิ่งที่เรียกว่า สูตรคาร์ดาโนแต่ความเสียหายของกระดาษเทียบได้กับการศึกษาวิจัยเกือบทั้งหมด ในเรื่องนี้เป็นการดีกว่าที่จะพยายามเลือกอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่ว่าจะเป็นทางวาจาหรือแบบร่าง ทั้งหมดราก. เรามาตรวจสอบว่าตัวเลขเหล่านี้คือ:
- ไม่เหมาะสม;
- มี!

โชคดีที่นี่ ในกรณีที่เกิดความล้มเหลว คุณยังสามารถทดสอบได้ และหากตัวเลขเหล่านี้ไม่พอดี ฉันเกรงว่าจะมีโอกาสน้อยมากที่จะได้กำไรจากสมการ ถ้าอย่างนั้น เป็นการดีกว่าที่จะข้ามประเด็นการวิจัยไปเลย - บางทีบางสิ่งบางอย่างจะชัดเจนยิ่งขึ้นในขั้นตอนสุดท้าย เมื่อคะแนนเพิ่มเติมจะถูกแยกออก และหากรากเห็นได้ชัดว่า "ไม่ดี" ก็ควรที่จะเงียบอย่างสุภาพเกี่ยวกับช่วงเวลาของความคงที่ของสัญญาณและดึงอย่างระมัดระวังมากขึ้น

อย่างไรก็ตาม เรามีรากที่สวยงาม ดังนั้นเราจึงหารพหุนาม โดยไม่เหลือเศษ:

อัลกอริทึมสำหรับการหารพหุนามด้วยพหุนามจะกล่าวถึงโดยละเอียดในตัวอย่างแรกของบทเรียน ขีดจำกัดที่ซับซ้อน.

ส่งผลให้ด้านซ้ายของสมการเดิม สลายตัวเป็นผลิตภัณฑ์:

และตอนนี้เล็กน้อยเกี่ยวกับ สุขภาพดีชีวิต. แน่นอนว่าฉันเข้าใจเรื่องนั้น สมการกำลังสองจำเป็นต้องแก้ไขทุกวัน แต่วันนี้เราจะมีข้อยกเว้น: สมการ มีรากที่แท้จริงสองอัน

ให้เราพล็อตค่าที่พบบนเส้นจำนวน และ วิธีช่วงเวลาเรามากำหนดสัญญาณของฟังก์ชันกันดีกว่า:


และดังนั้นตามช่วงเวลา กำหนดการตั้งอยู่
ต่ำกว่าแกน x และตามช่วงเวลา – เหนือแกนนี้

การค้นพบนี้ช่วยให้เราปรับแต่งเลย์เอาต์ของเราได้ และการประมาณกราฟที่สองจะมีลักษณะดังนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชันจะต้องมีค่าสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วงเวลาหนึ่ง และค่าต่ำสุดอย่างน้อยหนึ่งค่าในช่วงเวลาหนึ่ง แต่เรายังไม่รู้ว่ากำหนดการจะวนซ้ำกี่ครั้ง ที่ไหน และเมื่อใด อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันหนึ่งๆ สามารถมีได้มากมายนับไม่ถ้วน สุดขั้ว.

4) การเพิ่มขึ้น การลดลง และสุดขั้วของฟังก์ชัน

มาหาจุดวิกฤติกัน:

สมการนี้มีรากจริงสองอัน มาวางไว้บนเส้นจำนวนและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์:


ดังนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตาม และลดลงด้วย
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงจุดสูงสุด: .
เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด: .

ข้อเท็จจริงที่จัดตั้งขึ้นบังคับให้เทมเพลตของเราเข้าสู่กรอบงานที่ค่อนข้างเข้มงวด:

ไม่ต้องพูดอะไรมาก แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นสิ่งที่ทรงพลัง ในที่สุดเรามาทำความเข้าใจรูปร่างของกราฟกันดีกว่า:

5) จุดนูน ความเว้า และจุดเปลี่ยนเว้า

มาหาจุดวิกฤตของอนุพันธ์อันดับสองกัน:

มากำหนดสัญญาณกัน:


กราฟของฟังก์ชันจะนูนและเว้าบน ลองคำนวณพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้า:

เกือบทุกอย่างชัดเจนแล้ว

6) ยังคงต้องหาจุดเพิ่มเติมที่จะช่วยให้คุณสร้างกราฟและทดสอบตัวเองได้แม่นยำยิ่งขึ้น ในกรณีนี้มีเพียงไม่กี่รายการ แต่เราจะไม่ละเลย:

มาวาดรูปกันเถอะ:

สีเขียวมีการทำเครื่องหมายจุดเปลี่ยนเว้า และจุดเพิ่มเติมจะถูกทำเครื่องหมายด้วยไม้กางเขน กราฟของฟังก์ชันลูกบาศก์มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดเปลี่ยนเว้า ซึ่งจะอยู่ตรงกลางระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเสมอ

เมื่องานดำเนินไป ฉันเตรียมภาพวาดชั่วคราวสมมุติไว้สามภาพ ในทางปฏิบัติ การวาดระบบพิกัด ทำเครื่องหมายจุดที่พบ และหลังจากการวิจัยแต่ละจุดก็เพียงพอแล้ว ให้ประเมินทางจิตใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะอย่างไร มันจะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับนักเรียนที่มีการเตรียมตัวในระดับดีที่จะดำเนินการวิเคราะห์ดังกล่าวในหัวเพียงอย่างเดียวโดยไม่ต้องมีร่างจดหมาย

วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 2

สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

ทุกอย่างเร็วขึ้นและสนุกสนานมากขึ้นที่นี่ ซึ่งเป็นตัวอย่างโดยประมาณของการออกแบบขั้นสุดท้ายในตอนท้ายของบทเรียน

การศึกษาฟังก์ชันตรรกศาสตร์เศษส่วนเผยให้เห็นความลับมากมาย:

ตัวอย่างที่ 3

ใช้วิธีการแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เพื่อศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟโดยอิงจากผลการศึกษา

สารละลาย: ระยะแรกของการศึกษาไม่มีความโดดเด่นใดๆ ยกเว้นช่องโหว่ในพื้นที่คำจำกัดความ:

1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุด โดเมน: .

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้ไม่เป็นคู่หรือคี่

แน่นอนว่าฟังก์ชันนี้ไม่ใช่แบบคาบ

กราฟของฟังก์ชันแสดงถึงสองกิ่งที่ต่อเนื่องกันซึ่งอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายและขวา - นี่อาจเป็นข้อสรุปที่สำคัญที่สุดของจุดที่ 1

2) เส้นกำกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์

ก) ใช้ขีดจำกัดด้านเดียว เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่น่าสงสัย ซึ่งควรมีเส้นกำกับแนวตั้งอย่างชัดเจน:

แท้จริงแล้วหน้าที่คงอยู่ ช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดตรงจุด
และเส้นตรง (แกน) คือ เส้นกำกับแนวตั้งศิลปะภาพพิมพ์

b) ตรวจสอบว่ามีเส้นกำกับแบบเฉียงอยู่หรือไม่:

ใช่ มันตรง เส้นกำกับเฉียงกราฟิก ถ้า .

การวิเคราะห์ขีดจำกัดนั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากเป็นที่แน่ชัดแล้วว่าฟังก์ชันนั้นใช้เส้นกำกับแบบเฉียงของมัน ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

ประเด็นการวิจัยที่สองให้ข้อมูลที่สำคัญมากมายเกี่ยวกับฟังก์ชันนี้ มาวาดภาพคร่าวๆ กัน:

ข้อสรุปที่ 1 เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาของสัญญาณคงที่ ที่ “ลบอนันต์” กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ใต้แกน x อย่างชัดเจน และที่ “บวกอนันต์” กราฟจะอยู่เหนือแกนนี้ นอกจากนี้ ลิมิตด้านเดียวบอกเราว่าทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของจุด ฟังก์ชันจะมากกว่าศูนย์เช่นกัน โปรดทราบว่าในระนาบครึ่งซ้าย กราฟจะต้องข้ามแกน x อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ฟังก์ชันอาจไม่มีศูนย์ใดๆ ในครึ่งระนาบด้านขวา

ข้อสรุปที่ 2 คือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นทางด้านซ้ายของจุด (ไป "จากล่างขึ้นบน") ทางด้านขวาของจุดนี้ ฟังก์ชันจะลดลง (ไป “จากบนลงล่าง”) สาขาด้านขวาของกราฟจะต้องมีขั้นต่ำอย่างน้อยหนึ่งรายการอย่างแน่นอน ทางด้านซ้ายไม่รับประกันความสุดขั้ว

ข้อสรุปที่ 3 ให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับความเว้าของกราฟในบริเวณใกล้กับจุด เรายังไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับความนูน/ความเว้าที่อนันต์ได้ เนื่องจากสามารถกดเส้นตรงไปยังเส้นกำกับของมันทั้งจากด้านบนและด้านล่าง โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการวิเคราะห์ที่จะเข้าใจสิ่งนี้ได้ในตอนนี้ แต่รูปร่างของกราฟจะชัดเจนขึ้นในภายหลัง

ทำไมคำพูดเยอะจัง? เพื่อควบคุมประเด็นการวิจัยในภายหลังและหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด! การคำนวณเพิ่มเติมไม่ควรขัดแย้งกับข้อสรุปที่สรุปไว้

3) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดแกน

โดยใช้วิธีการช่วงเวลาเรากำหนดสัญญาณ:

, ถ้า ;
, ถ้า .

ผลลัพธ์ของประเด็นนี้สอดคล้องกับข้อสรุปที่ 1 อย่างสมบูรณ์ หลังจากแต่ละขั้นตอนให้ดูแบบร่าง ตรวจสอบการวิจัยทางจิตใจ และทำกราฟของฟังก์ชันให้สมบูรณ์

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ตัวเศษจะถูกหารแบบเทอมต่อเทอมด้วยตัวส่วน ซึ่งมีประโยชน์มากในการหาความแตกต่าง:

จริงๆ แล้ว สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วเมื่อค้นหาเส้นกำกับ

- จุดวิกฤติ

มากำหนดสัญญาณกัน:

เพิ่มขึ้นโดย และลดลงด้วย

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าต่ำสุด: .

ไม่มีความคลาดเคลื่อนกับข้อสรุปที่ 2 และเป็นไปได้มากว่าเรามาถูกทางแล้ว

ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันจะเว้าตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

เยี่ยมมาก - และคุณไม่จำเป็นต้องวาดอะไรเลย

ไม่มีจุดเปลี่ยน

ความเว้าสอดคล้องกับข้อสรุปที่ 3 อีกทั้งบ่งชี้ว่าที่ระยะอนันต์ (ทั้งตรงนั้นและตรงนั้น) กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในตำแหน่ง สูงกว่าเส้นกำกับของมันเฉียง

6) เราจะปักหมุดงานพร้อมคะแนนเพิ่มเติมอย่างเป็นเรื่องเป็นราว นี่คือจุดที่เราจะต้องทำงานหนัก เนื่องจากเรารู้เพียงสองประเด็นจากการวิจัย

และภาพที่หลายคนคงจินตนาการไว้เมื่อนานมาแล้ว:

ในระหว่างการปฏิบัติงาน คุณต้องตรวจสอบอย่างรอบคอบว่าไม่มีความขัดแย้งระหว่างขั้นตอนการวิจัย แต่บางครั้งสถานการณ์ก็เร่งด่วนหรือแม้แต่ทางตันจนหมดสิ้น การวิเคราะห์ "ไม่รวมกัน" - เท่านั้นเอง ในกรณีนี้ ฉันขอแนะนำเทคนิคฉุกเฉิน: เราจะค้นหาจุดที่เป็นของกราฟให้ได้มากที่สุด (เท่าที่เรามีความอดทน) และทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด การวิเคราะห์เชิงกราฟิกของค่าที่พบโดยส่วนใหญ่จะบอกคุณว่าความจริงอยู่ที่ไหนและอยู่ที่ไหนเป็นเท็จ นอกจากนี้ กราฟสามารถสร้างไว้ล่วงหน้าได้โดยใช้บางโปรแกรม เช่น ใน Excel (แน่นอนว่าต้องใช้ทักษะ)

ตัวอย่างที่ 4

ใช้วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เพื่อศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ในนั้น การควบคุมตนเองได้รับการปรับปรุงโดยความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน - กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน และหากมีบางอย่างในการวิจัยของคุณที่ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงนี้ ให้มองหาข้อผิดพลาด

แม้กระทั่งหรือ ฟังก์ชั่นคี่สามารถตรวจสอบได้เฉพาะที่ แล้วใช้ความสมมาตรของกราฟ วิธีนี้เหมาะสมที่สุด แต่ในความคิดของฉันมันดูผิดปกติมาก โดยส่วนตัวแล้วฉันดูเส้นจำนวนทั้งหมด แต่ก็ยังพบจุดเพิ่มเติมทางด้านขวาเท่านั้น:

ตัวอย่างที่ 5

ศึกษาฟังก์ชันให้ครบถ้วนและสร้างกราฟ

สารละลาย: สิ่งต่าง ๆ ยากลำบาก:

1) ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด: .

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันนี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

แน่นอนว่าฟังก์ชันนี้ไม่ใช่แบบคาบ

2) เส้นกำกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์

เนื่องจากฟังก์ชันเปิดต่อเนื่อง จึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

สำหรับฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง เป็นเรื่องปกติ แยกการศึกษาเรื่อง "บวก" และ "ลบอนันต์" อย่างไรก็ตาม ความสมมาตรของกราฟจะทำให้ชีวิตของเราง่ายขึ้น - ไม่ว่าจะมีเส้นกำกับทั้งซ้ายและขวาหรือไม่มีเลย ดังนั้น ขีดจำกัดอนันต์ทั้งสองจึงสามารถเขียนได้ภายใต้รายการเดียว ในระหว่างการแก้ปัญหาเราใช้ กฎของโลปิตาล:

เส้นตรง (แกน) คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟที่

โปรดทราบว่าฉันหลีกเลี่ยงอัลกอริธึมเต็มรูปแบบในการค้นหาเส้นกำกับแบบเฉียงได้อย่างไร: ขีด จำกัด นั้นถูกกฎหมายอย่างสมบูรณ์และชี้แจงพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ และเส้นกำกับแนวนอนถูกค้นพบ "ราวกับว่าในเวลาเดียวกัน"

จากความต่อเนื่องและการมีอยู่ของเส้นกำกับแนวนอนจะเป็นไปตามฟังก์ชันนั้น ขอบเขตด้านบนและ ขอบเขตด้านล่าง.

3) จุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่

เรายังย่อวิธีแก้ปัญหาให้สั้นลงด้วย:
กราฟจะผ่านจุดกำเนิด

ไม่มีจุดตัดอื่นที่มีแกนพิกัด ยิ่งไปกว่านั้น ช่วงเวลาของความคงที่ของเครื่องหมายนั้นชัดเจน และไม่จำเป็นต้องวาดแกน: ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ "x" เท่านั้น:
, ถ้า ;
, ถ้า .

4) การเพิ่มขึ้น การลดลง สุดขั้วของฟังก์ชัน


– จุดวิกฤติ

จุดมีความสมมาตรประมาณศูนย์อย่างที่ควรจะเป็น

ให้เราพิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์:


ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาและลดลงตามช่วงเวลา

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันถึงจุดสูงสุด: .

เนื่องจากทรัพย์สิน (ความแปลกประหลาดของฟังก์ชัน) ไม่จำเป็นต้องคำนวณขั้นต่ำ:

เนื่องจากฟังก์ชันลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง เห็นได้ชัดว่ากราฟอยู่ที่ "ลบอนันต์" ภายใต้เส้นกำกับของมัน ในช่วงเวลาดังกล่าว ฟังก์ชันก็จะลดลงเช่นกัน แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง - หลังจากผ่านจุดสูงสุด เส้นจะเข้าใกล้แกนจากด้านบน

จากที่กล่าวมาข้างต้น กราฟของฟังก์ชันจะนูนที่ “ลบอนันต์” และเว้าที่ “บวกอนันต์”

หลังจากการศึกษาครั้งนี้ได้วาดช่วงของค่าฟังก์ชัน:

หากคุณมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับประเด็นใดๆ ฉันขอแนะนำให้คุณวาดแกนพิกัดลงในสมุดบันทึกของคุณอีกครั้ง และวิเคราะห์ข้อสรุปแต่ละงานอีกครั้งโดยใช้ดินสอในมือ

5) ความนูน ความเว้า การหักงอของกราฟ

– จุดวิกฤติ

ความสมมาตรของจุดต่างๆ ยังคงอยู่ และเป็นไปได้มากว่าเราไม่ผิด

มากำหนดสัญญาณกัน:


กราฟของฟังก์ชันนูนออกมา และเว้าอยู่ .

ความนูน/ความเว้าในช่วงเวลาที่รุนแรงได้รับการยืนยันแล้ว

ที่จุดวิกฤติทั้งหมด มีจุดหักเหในกราฟ มาหาพิกัดของจุดเปลี่ยนเว้าและลดจำนวนการคำนวณอีกครั้งโดยใช้ความคี่ของฟังก์ชัน: