ฟังก์ชันเลขคี่กำลัง ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ p

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันกำลัง เลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ กราฟของฟังก์ชันกำลัง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
คู่มือเชิงโต้ตอบ "กฎและแบบฝึกหัดพีชคณิต" สำหรับเกรด 9
หนังสือเรียนมัลติมีเดียสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 "พีชคณิตใน 10 นาที"

ประเภทของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

พวกเรายังคงศึกษาฟังก์ชันตัวเลขต่อไป หัวข้อของบทเรียนวันนี้จะเป็นฟังก์ชันกำลังด้วย แต่ไม่ใช่กับเลขชี้กำลังธรรมชาติ แต่จะเป็นจำนวนเต็มลบ
มีรูปแบบดังนี้: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$
ฟังก์ชันหนึ่งที่เรารู้ดีคืออติพจน์ พวกคุณจำกราฟไฮเปอร์โบลาได้ไหม? สร้างมันขึ้นมาเอง

มาดูหนึ่งในฟังก์ชั่นที่เหมาะกับเราและกำหนดคุณสมบัติของมันกัน $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
มาเริ่มการศึกษาของเราด้วยความเท่าเทียมกัน เป็นที่น่าสังเกตว่าคุณสมบัติความเท่าเทียมกันทำให้การสร้างกราฟฟังก์ชันง่ายขึ้นอย่างมากเพราะว่า เราสามารถพล็อตกราฟได้ครึ่งหนึ่งแล้วจึงสะท้อนกลับ
ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริง ยกเว้นศูนย์ เราทุกคนรู้ดีว่าเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ โดเมนของคำจำกัดความคือชุดสมมาตร เราดำเนินการคำนวณค่าของฟังก์ชันจากอาร์กิวเมนต์เชิงลบ
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
ฟังก์ชั่นของเราคือเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสร้างกราฟสำหรับ $x≥0$ แล้วสะท้อนกราฟนั้นสัมพันธ์กับแกน y
เพื่อนๆ คราวนี้ ฉันขอเสนอให้สร้างกราฟของฟังก์ชันร่วมกัน เช่นเดียวกับที่พวกเขาทำในคณิตศาสตร์ "สำหรับผู้ใหญ่" ขั้นแรก เราจะกำหนดคุณสมบัติของฟังก์ชันของเรา จากนั้นเราจะสร้างกราฟตามคุณสมบัติเหล่านั้น เราจะคำนึงว่า $x>0$
1. โดเมนของคำจำกัดความ D(y)=(0;+∞)
2. ฟังก์ชันลดลง เรามาตรวจสอบกัน ให้ $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. เนื่องจากเราหารด้วยจำนวนที่มากกว่า จึงกลายเป็นว่าฟังก์ชันนั้นก็คือ มากกว่าจะน้อยลงซึ่งหมายถึงการลดลง
3. ฟังก์ชั่นถูกจำกัดจากด้านล่าง แน่นอนว่า $\frac(1)(x^2)>0$ ซึ่งหมายความว่ามีขอบเขตจากด้านล่าง
ไม่มีขีดจำกัดบน เนื่องจากหากเรารับค่าของอาร์กิวเมนต์ที่น้อยมาก ใกล้ศูนย์ ค่าของฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์
4. ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด คุ้มค่าที่สุดไม่ เนื่องจากฟังก์ชันไม่มีขอบเขตบน จะทำอย่างไรกับค่าที่น้อยที่สุดเนื่องจากฟังก์ชันมีขอบเขตจากด้านล่าง

ฟังก์ชันที่มีค่าน้อยที่สุดหมายความว่าอย่างไร

มีจุด x0 ที่ว่าสำหรับ x ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความ $f(x)≥f(x0)$ แต่ฟังก์ชันของเราลดลงตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้นจะมีตัวเลข $x1>x0$ แต่ $f(x1)

กราฟของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

ลองพลอตฟังก์ชันของเราทีละจุด




กราฟของฟังก์ชันเราคล้ายกับกราฟของไฮเปอร์โบลามาก
ลองใช้คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันและแสดงกราฟที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด

ลองเขียนคุณสมบัติของฟังก์ชันของเราสำหรับค่าทั้งหมดของ x
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞)
2) ฟังก์ชั่นที่สม่ำเสมอ
3) เพิ่มขึ้น (-∞;0] ลดลง
สารละลาย. ฟังก์ชันจะลดลงตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ จากนั้นจะถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ค่าที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ที่ด้านซ้ายสุดของส่วน $f(1)=1$ ค่าที่น้อยที่สุดจะอยู่ทางด้านขวาสุด $f(3)=\frac(1)(27)$
คำตอบ: ค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 1 ค่าน้อยที่สุดคือ 1/27

ตัวอย่าง. สร้างกราฟของฟังก์ชัน $y=(x+2)^(-4)+1$
สารละลาย. กราฟของฟังก์ชันของเราได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(-4)$ โดยเลื่อนไปทางซ้ายสองหน่วยและขึ้นหนึ่งหน่วย
มาสร้างกราฟกันเถอะ:

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุดของฟังก์ชัน $y=\frac(1)(x^4)$ บนเซ็กเมนต์
2. สร้างกราฟของฟังก์ชัน $y=(x-3)^(-5)+2$

ความรู้ ฟังก์ชันเบื้องต้นเบื้องต้น คุณสมบัติ และกราฟสำคัญไม่น้อยไปกว่าการรู้ตารางสูตรคูณ พวกเขาเป็นเหมือนรากฐาน ทุกสิ่งทุกอย่างขึ้นอยู่กับพวกเขา ทุกสิ่งทุกอย่างถูกสร้างขึ้นจากพวกเขา และทุกสิ่งทุกอย่างก็ขึ้นอยู่กับพวกเขา

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการฟังก์ชันพื้นฐานหลักๆ ทั้งหมด จัดทำกราฟ และให้ข้อมูลโดยไม่มีข้อสรุปหรือข้อพิสูจน์ คุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นตามโครงการ:

• พฤติกรรมของฟังก์ชันที่ขอบเขตของขอบเขตของคำจำกัดความ เส้นกำกับแนวตั้ง (หากจำเป็น ดูการจำแนกประเภทบทความเกี่ยวกับจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน)
• คู่และคี่;
• ช่วงเวลาของความนูน (นูนขึ้น) และความเว้า (นูนลง) จุดเปลี่ยนเว้า (หากจำเป็น ดูบทความเรื่องความนูนของฟังก์ชัน ทิศทางของความนูน จุดเปลี่ยนเว้า เงื่อนไขของความนูนและการเว้า)
• เส้นกำกับเฉียงและแนวนอน
• จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน
• คุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันบางอย่าง (เช่น คาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

หากคุณสนใจหรือไปที่ส่วนต่างๆ ของทฤษฎีเหล่านี้ได้

ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นคือ: ฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่), รากที่ n, ฟังก์ชันยกกำลัง, เลขชี้กำลัง, ฟังก์ชันลอการิทึม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

การนำทางหน้า

ฟังก์ชั่นถาวร

ฟังก์ชันคงที่ถูกกำหนดให้กับเซตของจำนวนจริงทั้งหมดด้วยสูตร โดยที่ C คือจำนวนจริงบางตัว ฟังก์ชันคงที่เชื่อมโยงค่าจริงแต่ละค่าของตัวแปรอิสระ x กับค่าเดียวกันของตัวแปรตาม y - ค่า C ฟังก์ชันค่าคงที่เรียกอีกอย่างว่าค่าคงที่

กราฟของฟังก์ชันคงที่เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x และผ่านจุดที่มีพิกัด (0,C) ตามตัวอย่าง เราจะแสดงกราฟของฟังก์ชันคงที่ y=5, y=-2 และซึ่งในรูปด้านล่างสอดคล้องกับเส้นสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน ตามลำดับ

คุณสมบัติของฟังก์ชันคงที่

• โดเมน: เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
• ฟังก์ชันคงที่คือเลขคู่
• ช่วงของค่า: ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเอกพจน์ C
• ฟังก์ชันคงที่จะไม่เพิ่มขึ้นและไม่ลดลง (เพราะเหตุนี้จึงเป็นค่าคงที่)
• มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงความนูนและความเว้าของค่าคงที่
• ไม่มีเส้นกำกับ
• ฟังก์ชันส่งผ่านจุด (0,C) ของระนาบพิกัด

รากของระดับที่ n

ลองพิจารณาฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน ซึ่งได้จากสูตร โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

รากของดีกรีที่ n, n เป็นเลขคู่

เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันรูทที่ n สำหรับค่าคู่ของเลขชี้กำลังรูท n

ดังตัวอย่าง นี่คือรูปภาพที่มีรูปภาพของกราฟฟังก์ชัน และสอดคล้องกับเส้นสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน

กราฟของฟังก์ชันรูทระดับคู่จะมีลักษณะคล้ายกันกับค่าอื่นของเลขชี้กำลัง

คุณสมบัติของฟังก์ชันรูทที่ n สำหรับเลขคู่

รากที่ n, n เป็นเลขคี่

ฟังก์ชันรูทที่ n ที่มีเลขชี้กำลังรูทคี่ n ถูกกำหนดไว้บนชุดของจำนวนจริงทั้งชุด ตัวอย่างเช่น นี่คือกราฟฟังก์ชัน และสอดคล้องกับเส้นโค้งสีดำ สีแดง และสีน้ำเงิน

สำหรับค่าคี่อื่นๆ ของเลขชี้กำลังราก กราฟฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n สำหรับเลขคี่ n

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตรของแบบฟอร์ม

ลองพิจารณารูปแบบของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง

เริ่มต้นด้วยฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a ในกรณีนี้ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชันนั้นขึ้นอยู่กับความสม่ำเสมอหรือความคี่ของเลขชี้กำลังตลอดจนเครื่องหมายของมัน ดังนั้นก่อนอื่นเราพิจารณาฟังก์ชันกำลังสำหรับค่าบวกคี่ของเลขชี้กำลัง a จากนั้นสำหรับเลขชี้กำลังบวกคู่จากนั้นสำหรับเลขชี้กำลังลบเลขคี่และสุดท้ายสำหรับค่าลบ a

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนและไม่ลงตัว (รวมถึงประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว) ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง a เราจะพิจารณาพวกมัน ประการแรก สำหรับ a จากศูนย์ถึงหนึ่ง อย่างที่สอง สำหรับค่าที่มากกว่าหนึ่ง ประการที่สาม สำหรับ a จากลบหนึ่งถึงศูนย์ ประการที่สี่ สำหรับค่าน้อยกว่าลบหนึ่ง

ในตอนท้ายของส่วนนี้ เพื่อความสมบูรณ์ เราจะอธิบายฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นเลขคี่

ลองพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นคี่ ซึ่งก็คือ โดยมี a = 1,3,5,....

รูปด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง – เส้นสีดำ – เส้นสีน้ำเงิน – เส้นสีแดง – เส้นสีเขียว สำหรับ a=1 เรามี ฟังก์ชันเชิงเส้นย=x

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นเลขคี่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคู่

ลองพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกคู่ นั่นคือ สำหรับ a = 2,4,6,....

ตัวอย่างเช่น เราให้กราฟของฟังก์ชันกำลัง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง สำหรับ a=2 เรามีฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งก็คือกราฟ พาราโบลากำลังสอง.

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกเป็นคู่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบคี่

ดูกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับค่าลบคี่ของเลขชี้กำลัง นั่นคือสำหรับ a = -1, -3, -5,....

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันกำลังตามตัวอย่าง - เส้นสีดำ - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง - เส้นสีเขียว สำหรับ a=-1 เรามี สัดส่วนผกผันซึ่งเป็นกราฟของใคร ไฮเปอร์โบลา.

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขคี่ ตัวบ่งชี้เชิงลบ.

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบคู่

มาดูฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ a=-2,-4,-6,….

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง – เส้นสีดำ – เส้นสีน้ำเงิน – เส้นสีแดง

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบคู่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่า 1

บันทึก!ถ้า a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนถือว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังเป็นช่วง มีการกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ตอนนี้ผู้เขียนหนังสือเรียนหลายเล่มเกี่ยวกับพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังในรูปแบบของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เราจะยึดถือมุมมองนี้อย่างแม่นยำ กล่าวคือ เราจะถือว่าเซตนี้เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังบวกแบบเศษส่วน เราขอแนะนำให้นักเรียนค้นหาความคิดเห็นของครูเกี่ยวกับประเด็นที่ละเอียดอ่อนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรือไม่ลงตัว a และ

ให้เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ a=11/12 (เส้นสีดำ), a=5/7 (เส้นสีแดง), (เส้นสีน้ำเงิน), a=2/5 (เส้นสีเขียว)

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มมากกว่า 1

ให้เราพิจารณาฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะหรืออตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม a และ

ให้เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันกำลังที่กำหนดโดยสูตร (เส้นสีดำ สีแดง สีน้ำเงิน และสีเขียว ตามลำดับ)

>

สำหรับค่าอื่นของเลขชี้กำลัง a กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงที่มากกว่าลบหนึ่งและน้อยกว่าศูนย์

บันทึก!ถ้า a เป็นเศษส่วนลบที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนถือว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังเป็นช่วง . มีการกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ตอนนี้ผู้เขียนหนังสือเรียนหลายเล่มเกี่ยวกับพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังในรูปแบบของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เราจะยึดถือมุมมองนี้อย่างแม่นยำ กล่าวคือ เราจะพิจารณาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบที่เป็นเศษส่วนให้เป็นเซต ตามลำดับ เราขอแนะนำให้นักเรียนค้นหาความคิดเห็นของครูเกี่ยวกับประเด็นที่ละเอียดอ่อนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

มาดูฟังก์ชันกำลังกันดีกว่า

เพื่อให้มีความคิดที่ดีเกี่ยวกับรูปแบบของกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับ เราจะยกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชัน (เส้นโค้งสีดำ สีแดง สีน้ำเงิน และสีเขียว ตามลำดับ)

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลัง a,

ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็มซึ่งมีค่าน้อยกว่าลบหนึ่ง

ให้เรายกตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสำหรับ โดยมีเส้นสีดำ แดง น้ำเงิน และเขียว ตามลำดับ

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มน้อยกว่าลบหนึ่ง

เมื่อ a = 0 เรามีฟังก์ชัน - นี่คือเส้นตรงที่ไม่รวมจุด (0;1) (มีการตกลงกันว่าจะไม่ให้ความสำคัญใด ๆ กับนิพจน์ 0 0)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันพื้นฐานหลักอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ที่ไหน และ รับ ชนิดที่แตกต่างขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a ลองคิดดูสิ

ขั้นแรก ให้พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับค่าจากศูนย์ถึงหนึ่ง นั่นคือ

ตามตัวอย่าง เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับ a = 1/2 – เส้นสีน้ำเงิน, a = 5/6 – เส้นสีแดง กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะคล้ายกันสำหรับค่าอื่นของฐานจากช่วงเวลา

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานน้อยกว่าหนึ่ง

ให้เราไปยังกรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าหนึ่งนั่นคือ

เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะนำเสนอกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - เส้นสีน้ำเงินและ - เส้นสีแดง สำหรับค่าอื่นของฐานที่มากกว่าหนึ่ง กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานถัดไปคือฟังก์ชันลอการิทึม โดยที่ , . ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้นนั่นคือสำหรับ

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a

เริ่มจากกรณีที่ .

ตามตัวอย่าง เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมสำหรับ a = 1/2 – เส้นสีน้ำเงิน, a = 5/6 – เส้นสีแดง สำหรับค่าฐานอื่นๆ ที่ไม่เกิน 1 กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานน้อยกว่าหนึ่ง

มาดูกรณีที่ฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง ()

ลองแสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม - เส้นสีน้ำเงิน - เส้นสีแดง สำหรับค่าอื่นของฐานที่มากกว่าหนึ่ง กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมจะมีลักษณะคล้ายกัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติ และกราฟ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์) อยู่ในฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น ตอนนี้เราจะดูกราฟและแสดงคุณสมบัติของพวกเขา

ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีแนวคิด ความถี่(การเกิดซ้ำของค่าฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันซึ่งแตกต่างกันตามช่วงเวลา โดยที่ T คือคาบ) ดังนั้น รายการจึงถูกเพิ่มเข้าไปในรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ "ช่วงบวกที่น้อยที่สุด". นอกจากนี้ สำหรับแต่ละฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องหายไป

ทีนี้มาจัดการกับฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดตามลำดับกัน

ฟังก์ชันไซน์ y = บาป(x) .

ขอให้เราวาดกราฟของฟังก์ชันไซน์ เรียกว่า "คลื่นไซน์"

คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์ y = sinx

ฟังก์ชันโคไซน์ y = cos(x) .

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ (เรียกว่า "โคไซน์") มีลักษณะดังนี้:

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคไซน์ y = cosx

ฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan(x)

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ (เรียกว่า “แทนเจนต์อยด์”) มีลักษณะดังนี้:

คุณสมบัติของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tanx

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg(x)

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ (เรียกว่า "โคแทนเจนต์อยด์"):

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctgx

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คุณสมบัติ และกราฟ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (อาร์กไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์) เป็นฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น บ่อยครั้ง เนื่องจากคำนำหน้า "ส่วนโค้ง" ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจึงถูกเรียกว่าฟังก์ชันส่วนโค้ง ตอนนี้เราจะดูกราฟและแสดงคุณสมบัติของพวกเขา

ฟังก์ชันอาร์กไซน์ y = อาร์คซิน(x)

ลองพลอตฟังก์ชันอาร์คไซน์:

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กโคแทนเจนต์ y = arcctg(x)

บรรณานุกรม.

• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 สถาบันการศึกษาทั่วไป
• Vygodsky M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา
• โนโวเซลอฟ เอส.ไอ. พีชคณิตและฟังก์ชันเบื้องต้น
• ตูมานอฟ เอส.ไอ. พีชคณิตเบื้องต้น คู่มือการศึกษาด้วยตนเอง.

คุณคุ้นเคยกับฟังก์ชั่นต่างๆ y=x, y=x 2 , ย=x 3 , y=1/xเป็นต้น ฟังก์ชันทั้งหมดนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลัง เช่น ฟังก์ชัน ย=x พีโดยที่ p คือจำนวนจริงที่กำหนด คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงอย่างมีนัยสำคัญและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับค่าที่ xและ พีปริญญาก็สมเหตุสมผล x พี. ให้เราพิจารณากรณีต่างๆ ที่คล้ายกันโดยขึ้นอยู่กับเลขยกกำลัง พี

ดัชนี พี=2น- จำนวนธรรมชาติเท่ากัน

ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง ย=x 2น, ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ มีดังต่อไปนี้

คุณสมบัติ:

ขอบเขตคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด เช่น เซต R

ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบเช่น y มากกว่าหรือเท่ากับ 0

การทำงาน ย=x 2นแม้กระทั่งเพราะว่า x 2น =(-x) 2น

ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x<0 และเพิ่มขึ้นตามระยะ x>0

กราฟของฟังก์ชัน ย=x 2นมีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น ย=x 4 .

2. ตัวบ่งชี้ พี=2n-1- จำนวนธรรมชาติคี่ ในกรณีนี้คือฟังก์ชันยกกำลัง ย=x 2n-1โดยที่ เป็นจำนวนธรรมชาติ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R;

ชุดของค่า - ชุด R;

การทำงาน ย=x 2n-1แปลกเพราะ (- เอ็กซ์) 2n-1 =x 2n-1 ;

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบนแกนจริงทั้งหมด

กราฟของฟังก์ชัน y=x2n-1มีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น ย=x3.

3.ตัวบ่งชี้ พี=-2n, ที่ไหน ไม่มีจำนวนธรรมชาติ

ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง ย=x -2น =1/x 2น มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y>0;

ฟังก์ชัน ย =1/x 2นแม้กระทั่งเพราะว่า 1/(-x) 2น =1/x 2น ;

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x<0 и убывающей на промежутке x>0.

กราฟของฟังก์ชัน y =1/x 2นมีรูปแบบเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y เป็นต้น =1/x 2 .

4.ตัวบ่งชี้ พี=-(2n-1), ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง ย=x -(2n-1)มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

โดเมนของคำจำกัดความ - ตั้งค่า R ยกเว้น x=0;

ชุดค่า - ชุด R ยกเว้น y=0;

การทำงาน ย=x -(2n-1)แปลกเพราะ (- เอ็กซ์) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x<0 และ x>0.

กราฟของฟังก์ชัน ย=x -(2n-1)มีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น y=1/x 3 .

1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คุณสมบัติ และกราฟ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คุณสมบัติ และกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (ฟังก์ชันวงกลม, ฟังก์ชันส่วนโค้ง) - ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1. ฟังก์ชันอาร์คซิน

กราฟของฟังก์ชัน .

อาร์คไซน์ตัวเลข มค่ามุมนี้เรียกว่า x, ซึ่ง

ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องและมีขอบเขตตามเส้นจำนวนทั้งหมด การทำงาน กำลังเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด

1. [แก้ไข]คุณสมบัติของฟังก์ชัน arcsin

1. [แก้ไข] รับฟังก์ชัน arcsin

กำหนดให้มีฟังก์ชันตลอดทั้งตัว ขอบเขตของคำจำกัดความเธอเกิดขึ้นเป็น โมโนโทนิคเป็นชิ้น ๆและดังนั้น การติดต่อแบบผกผัน ไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้น เราจะพิจารณากลุ่มที่จะเพิ่มและรับมูลค่าทั้งหมดอย่างเคร่งครัด ช่วงของค่า- . เนื่องจากสำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลา แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน ดังนั้นในช่วงเวลานี้จึงจะมี ฟังก์ชันผกผัน ซึ่งมีกราฟสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันบนส่วนที่สัมพันธ์กับเส้นตรง

ฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y = x พีโดยที่ p คือจำนวนจริงที่กำหนด

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลัง

1. ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พี = 2n- จำนวนธรรมชาติคู่:
   • ขอบเขตคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด เช่น เซต R
   • ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบเช่น y ≥ 0;
   • ฟังก์ชั่นเป็นคู่;
   • ฟังก์ชันลดลงในช่วงเวลา x ≤ 0 และเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x ≥ 0
   ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง p = 2n: ย = x 4.


2. ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พี = 2n - 1- จำนวนธรรมชาติคี่:
   • โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R;
   • ชุดของค่า - ชุด R;
   • ฟังก์ชั่นแปลก
   • ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบนแกนจริงทั้งหมด
   ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง p = 2n - 1: ย = x 5.


3. ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พี = -2n, ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ:
   • ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y > 0;
   • ฟังก์ชั่นเป็นคู่;
   • ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x 0
   ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง p = -2n: y = 1/x 2.


4. ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พี = -(2n - 1), ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ:
   • โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R ยกเว้น x = 0;
   • ชุดค่า - ชุด R ยกเว้น y = 0;
   • ฟังก์ชั่นแปลก
   • ฟังก์ชันลดลงเป็นระยะ x 0
   ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พี- จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก:
   • โดเมนคำจำกัดความ - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ x ≥ 0;
   • ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ y ≥ 0;
   • ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x ≥ 0
   ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง p โดยที่ p เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม: y = x 4/3.


6. ถ้าเป็นตัวบ่งชี้ พี- จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ:
   • โดเมนคำจำกัดความ - จำนวนบวก x > 0;
   • ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y > 0;
   • ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา x > 0
   ตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลัง p โดยที่ p เป็นจำนวนจริงที่เป็นลบซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม: y = x -1/3.

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ฟังก์ชั่นพลังงาน

พลัง เรียกว่าฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรที่ไหน, พี – จำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

ฉัน . ดัชนี- จำนวนธรรมชาติคู่ จากนั้นฟังก์ชั่นพลังงาน ที่ไหนn

ดี ( ย )= (−; +).

2) ช่วงของค่าของฟังก์ชันคือชุดของตัวเลขที่ไม่เป็นลบหาก:

เซตของจำนวนที่ไม่เป็นบวก หาก:

3) ) . ดังนั้นฟังก์ชันเฮ้ย .

4) ถ้า ฟังก์ชันจะลดลงตามเอ็กซ์ (- ; 0] และเพิ่มขึ้นด้วยเอ็กซ์ และลดลงที่เอ็กซ์ }