ลักษณะของฟังก์ชันกำลัง ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ p

ฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน คุณสมบัติโดยธรรมชาติ และกราฟที่สอดคล้องกันเป็นหนึ่งในพื้นฐานของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีความสำคัญคล้ายคลึงกับตารางสูตรคูณ หน้าที่เบื้องต้นเป็นพื้นฐานในการสนับสนุนการศึกษาประเด็นทางทฤษฎีทั้งหมด

บทความด้านล่างนี้ให้ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับหัวข้อฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น เราจะแนะนำคำศัพท์และให้คำจำกัดความ มาศึกษาฟังก์ชันพื้นฐานแต่ละประเภทโดยละเอียดและวิเคราะห์คุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านั้น

ฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชั่นคงที่ (คงที่);
รากที่ n;
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพี่น้อง

ฟังก์ชันคงที่ถูกกำหนดโดยสูตร: y = C (C คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง) และยังมีชื่อ: ค่าคงที่อีกด้วย ฟังก์ชันนี้กำหนดความสอดคล้องของค่าจริงใดๆ ของตัวแปรอิสระ x กับค่าเดียวกันของตัวแปร y - ค่าของ C

กราฟของค่าคงที่เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกนแอบซิสซาและผ่านจุดที่มีพิกัด (0, C) เพื่อความชัดเจน เราจะนำเสนอกราฟของฟังก์ชันคงที่ y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (ระบุด้วยสีดำ แดง และน้ำเงินในรูปวาด ตามลำดับ)

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชันพื้นฐานนี้กำหนดโดยสูตร y = xn (n คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1)

ลองพิจารณาฟังก์ชันสองรูปแบบ

รากที่ n, n – เลขคู่

เพื่อความชัดเจน เราระบุภาพวาดที่แสดงกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว: y = x, y = x 4 และ ย = x8 คุณสมบัติเหล่านี้มีรหัสสี: สีดำ สีแดง และสีน้ำเงินตามลำดับ

กราฟของฟังก์ชันระดับคู่จะมีลักษณะคล้ายกันกับค่าอื่นของเลขชี้กำลัง

คำจำกัดความ 3

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n โดย n เป็นเลขคู่

ขอบเขตคำจำกัดความ – เซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทั้งหมด [ 0 , + ∞) ;
เมื่อ x = 0 ฟังก์ชัน y = xn มีค่าเท่ากับศูนย์
ที่ให้ไว้ ฟังก์ชั่นฟังก์ชั่นรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นคู่หรือคี่);
พิสัย: [ 0 , + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้ y = x n โดยที่เลขชี้กำลังรูตคู่จะเพิ่มขึ้นตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันมีความนูนโดยมีทิศทางขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
กราฟของฟังก์ชันสำหรับเลขคู่ n ผ่านจุด (0; 0) และ (1; 1)

รูทที่ n, n – เลขคี่

ฟังก์ชันดังกล่าวถูกกำหนดให้กับจำนวนจริงทั้งชุด เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณากราฟของฟังก์ชันต่างๆ y = x 3 , y = x 5 และ เอ็กซ์ 9 . ในรูปวาดจะมีการระบุด้วยสี: สีดำ สีแดง และสีน้ำเงินเป็นสีของเส้นโค้งตามลำดับ

ค่าคี่อื่น ๆ ของเลขชี้กำลังรากของฟังก์ชัน y = x n จะให้กราฟประเภทที่คล้ายกัน

คำจำกัดความที่ 4

คุณสมบัติของฟังก์ชันรากที่ n โดย n เป็นเลขคี่

ขอบเขตคำจำกัดความ – เซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่
ช่วงของค่า – ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด
ฟังก์ชัน y = x n สำหรับเลขชี้กำลังรูทคี่จะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ
ฟังก์ชั่นมีความเว้าในช่วงเวลา (- ∞ ; 0 ] และนูนในช่วงเวลา [ 0 , + ∞);
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0);
ไม่มีเส้นกำกับ
กราฟของฟังก์ชันสำหรับเลขคี่ n ส่งผ่านจุด (- 1 ; - 1), (0 ; 0) และ (1 ; 1)

ฟังก์ชั่นพลังงาน

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร y = x a

ลักษณะของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง

เมื่อฟังก์ชันกำลังมีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม a ประเภทของกราฟของฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมันจะขึ้นอยู่กับว่าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่หรือคี่ รวมถึงเครื่องหมายที่เลขชี้กำลังมี ลองพิจารณากรณีพิเศษทั้งหมดนี้โดยละเอียดด้านล่าง
เลขชี้กำลังอาจเป็นเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล - ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ ประเภทของกราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันก็แตกต่างกันไป เราจะวิเคราะห์กรณีพิเศษโดยการตั้งค่าเงื่อนไขหลายประการ: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
ฟังก์ชันกำลังสามารถมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ได้ เราจะวิเคราะห์กรณีนี้โดยละเอียดด้านล่างด้วย

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคี่ เช่น a = 1, 3, 5...

เพื่อความชัดเจน เราระบุกราฟของฟังก์ชันยกกำลังดังกล่าว: y = x (สีกราฟิกสีดำ), y = x 3 (กราฟสีน้ำเงิน) y = x 5 (สีแดงของกราฟ) y = x 7 (สีเขียวกราฟิก) เมื่อ a = 1 เราจะได้ฟังก์ชันเชิงเส้น y = x

คำนิยาม 6

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นค่าบวกคี่

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และความเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0 ; 0) (ไม่รวมฟังก์ชันเชิงเส้น)
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนบวกคู่ เช่น a = 2, 4, 6...

เพื่อความชัดเจน เราจะระบุกราฟของฟังก์ชันกำลังดังกล่าว: y = x 2 (กราฟิกสีดำ) y = x 4 (กราฟสีน้ำเงิน) y = x 8 (สีแดงของกราฟ) เมื่อ a = 2 เราจะได้ฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งกราฟจะเป็นพาราโบลากำลังสอง

คำนิยาม 7

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นบวก:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ลดลงสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟฟังก์ชันกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนลบคี่: y = x - 9 (กราฟิกสีดำ); y = x - 5 (กราฟสีน้ำเงิน); y = x - 3 (กราฟสีแดง); y = x - 1 (สีเขียวกราฟิก) เมื่อ a = - 1 เราจะได้สัดส่วนผกผัน ซึ่งกราฟจะเป็นไฮเปอร์โบลา

คำจำกัดความ 8

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบคี่:

เมื่อ x = 0 เราจะได้ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ สำหรับ a = - 1, - 3, - 5, …. ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

พิสัย: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันเป็นเลขคี่เพราะ y (- x) = - y (x);
ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันมีความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และความเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 1, - 3, - 5, - - -

จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันยกกำลัง y = x a เมื่อ a เป็นจำนวนลบคู่: y = x - 8 (กราฟิกสีดำ); y = x - 4 (กราฟสีน้ำเงิน); y = x - 2 (สีแดงของกราฟ)

คำนิยาม 9

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นลบ:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

เมื่อ x = 0 เราจะได้ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง เนื่องจาก lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 xa = + ∞ สำหรับ a = - 2, - 4, - 6, …. ดังนั้น เส้นตรง x = 0 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

ฟังก์ชันเป็นคู่ เนื่องจาก y(-x) = y(x);
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0) และลดลงสำหรับ x ∈ 0; + ;
ฟังก์ชันมีความเว้าที่ x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 เนื่องจาก:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 เมื่อ a = - 2 , - 4 , - 6 , . - - -

จุดผ่านของฟังก์ชัน: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

จากจุดเริ่มต้น ให้ใส่ใจกับประเด็นต่อไปนี้: ในกรณีที่ a เป็นเศษส่วนบวกที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ผู้เขียนบางคนใช้ช่วงเวลา - ∞ เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันกำลังนี้ + ∞ โดยกำหนดว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ในขณะนี้ ผู้เขียนสิ่งพิมพ์ทางการศึกษาหลายฉบับเกี่ยวกับพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ นอกจากนี้เราจะปฏิบัติตามตำแหน่งนี้: เราจะรับเซต [ 0 ; + ) . คำแนะนำสำหรับนักเรียน: หาความคิดเห็นของครูในประเด็นนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

มาดูฟังก์ชันกำลังกันดีกว่า y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ โดยมีเงื่อนไขว่า 0< a < 1 .

ให้เราอธิบายฟังก์ชันกำลังด้วยกราฟ y = x a เมื่อ a = 11 12 (กราฟิกสีดำ); a = 5 7 (สีแดงของกราฟ); a = 1 3 (กราฟสีน้ำเงิน); a = 2 5 (สีเขียวของกราฟ)

ค่าอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง a (ระบุ 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

คำนิยาม 10

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่ 0< a < 1:

พิสัย: y ∈ [ 0 ; + ) ;
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ) ;
ฟังก์ชั่นนูนสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞);
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ

มาวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลังกัน y = x a เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยมีเงื่อนไขว่า a > 1

ให้เราอธิบายฟังก์ชันกำลังด้วยกราฟ y = x a ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดโดยใช้ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (สีดำ แดง น้ำเงิน เขียวของกราฟ ตามลำดับ)

ค่าอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง a ที่ให้ > 1 จะให้กราฟที่คล้ายกัน

คำนิยาม 11

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a > 1:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ [ 0 ; + ) ;
พิสัย: y ∈ [ 0 ; + ) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ) ;
ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ (0 ; + ∞) (เมื่อ 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
ผ่านจุดของฟังก์ชัน: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

โปรดทราบ! เมื่อ a เป็นเศษส่วนลบที่มีตัวส่วนเป็นคี่ ในงานของผู้เขียนบางคนมีความเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความในกรณีนี้คือช่วงเวลา - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) โดยมีข้อแม้ว่าเลขชี้กำลัง a เป็นเศษส่วนลดไม่ได้ ปัจจุบันผู้เขียน สื่อการศึกษาในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ อย่ากำหนดฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนที่มีตัวส่วนคี่สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ นอกจากนี้ เรายังยึดมั่นในมุมมองนี้: เราใช้เซต (0 ; + ∞) เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบแบบเศษส่วน คำแนะนำสำหรับนักเรียน: ชี้แจงวิสัยทัศน์ของครู ณ จุดนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง

เรามาต่อในหัวข้อและวิเคราะห์ฟังก์ชันกำลัง y = x a ที่ให้มา: - 1< a < 0 .

ให้เรานำเสนอภาพวาดกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (สีดำ, สีแดง, สีฟ้า, สีเขียวของ เส้นตามลำดับ)

คำนิยาม 12

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังที่ - 1< a < 0:

ลิม x → 0 + 0 xa = + ∞ เมื่อ - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

พิสัย: y ∈ 0 ; + ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ไม่มีจุดเปลี่ยน

ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันกำลัง y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (ดำ แดง น้ำเงิน สีเขียวเส้นโค้งตามลำดับ)

คำนิยาม 13

คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับ a< - 1:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + ;

lim x → 0 + 0 xa = + ∞ เมื่อ< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ฟังก์ชั่นลดลงสำหรับ x ∈ 0; + ;
ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; + ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0;
จุดผ่านของฟังก์ชัน: (1; 1) .

เมื่อ a = 0 และ x ≠ 0 เราได้รับฟังก์ชัน y = x 0 = 1 ซึ่งกำหนดเส้นที่ไม่รวมจุด (0; 1) (ตกลงกันว่านิพจน์ 0 0 จะไม่ได้รับความหมายใด ๆ ).

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้ดูแตกต่างออกไปตามค่าของฐาน a ลองพิจารณากรณีพิเศษ

ก่อนอื่น เรามาดูสถานการณ์ที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 (0< a < 1) . ตัวอย่างที่ดีคือกราฟของฟังก์ชันสำหรับ a = 1 2 (เส้นโค้งสีน้ำเงิน) และ a = 5 6 (เส้นโค้งสีแดง)

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีลักษณะคล้ายกันสำหรับค่าฐานอื่นๆ ภายใต้เงื่อนไข 0< a < 1 .

คำนิยาม 14

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:

พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานน้อยกว่าหนึ่งกำลังลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ + ∞;

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่ามากกว่าหนึ่ง (a > 1)

ให้เราอธิบายกรณีพิเศษนี้ด้วยกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = 3 2 x (เส้นโค้งสีน้ำเงิน) และ y = e x (สีแดงของกราฟ)

ค่าฐานอื่นๆ ซึ่งเป็นหน่วยที่ใหญ่กว่าจะทำให้กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะคล้ายกัน

คำนิยาม 15

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:

ขอบเขตคำจำกัดความ – ชุดของจำนวนจริงทั้งหมด
พิสัย: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานมากกว่า 1 เพิ่มขึ้นเป็น x ∈ - ∞; + ;
ฟังก์ชั่นมีความเว้าที่ x ∈ - ∞; + ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
เส้นกำกับแนวนอน – เส้นตรง y = 0 โดยมีตัวแปร x พุ่งไปที่ - ∞;
จุดผ่านของฟังก์ชัน: (0; 1) .

ฟังก์ชันลอการิทึมมีรูปแบบ y = log a (x) โดยที่ a > 0, a ≠ 1

ฟังก์ชั่นดังกล่าวถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์เท่านั้น: สำหรับ x ∈ 0; + .

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมได้ ชนิดที่แตกต่างขึ้นอยู่กับค่าของฐาน a

ให้เราพิจารณาสถานการณ์ก่อนเมื่อ 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

ค่าฐานอื่นๆ ที่ไม่ใช่หน่วยที่ใหญ่กว่า จะให้กราฟประเภทเดียวกัน

คำนิยาม 16

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานน้อยกว่าหนึ่ง:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ค่าฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น +∞;
ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ลอการิทึม
ฟังก์ชั่นมีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; + ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ

ตอนนี้เรามาดูกรณีพิเศษเมื่อฐานของฟังก์ชันลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง: a > 1 . ภาพวาดด้านล่างแสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม y = log 3 2 x และ y = ln x (กราฟสีน้ำเงินและสีแดง ตามลำดับ)

ค่าอื่นของฐานที่มากกว่าหนึ่งจะให้กราฟประเภทเดียวกัน

คำนิยาม 17

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเมื่อฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ 0 ; + . เนื่องจาก x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากทางขวา ค่าฟังก์ชันจึงมีแนวโน้มเป็น - ∞ ;
ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ∞ (จำนวนจริงทั้งชุด);
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นเลขคี่หรือเลขคู่)
ฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ 0; + ;
ฟังก์ชันนี้นูนออกมาสำหรับ x ∈ 0; + ;
ไม่มีจุดเปลี่ยน
ไม่มีเส้นกำกับ
จุดผ่านของฟังก์ชัน: (1; 0) .

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มาดูคุณสมบัติของแต่ละรายการและกราฟิกที่เกี่ยวข้องกัน

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติของคาบ เช่น เมื่อค่าฟังก์ชันถูกทำซ้ำที่ ความหมายที่แตกต่างกันอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันตามช่วงเวลา f (x + T) = f (x) (T – จุด) ดังนั้นรายการ "คาบบวกที่เล็กที่สุด" จะถูกเพิ่มเข้าไปในรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ นอกจากนี้เราจะระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกลายเป็นศูนย์

ฟังก์ชันไซน์: y = บาป(x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นไซน์

คำนิยาม 18

คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์:

โดเมนคำจำกัดความ: จำนวนจริงทั้งชุด x ∈ - ∞ ; + ;
ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π · k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
ฟังก์ชันไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด π 2 + 2 π · k; 1 และค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
ฟังก์ชันไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันโคไซน์: y = คอส(x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าคลื่นโคไซน์

คำนิยาม 19

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคไซน์:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุด: T = 2 π;
ช่วงของค่า: y ∈ - 1 ; 1 ;
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่ เนื่องจาก y (- x) = y (x);
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นสำหรับ x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z และลดลงสำหรับ x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าสูงสุดเฉพาะที่จุด 2 π · k ; 1, k ∈ Z และค่าต่ำสุดเฉพาะที่จุด π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
ฟังก์ชันโคไซน์จะเว้าเมื่อ x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z และนูนเมื่อ x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันแทนเจนต์: y = เสื้อ ก (x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่า แทนเจนต์

คำนิยาม 20

คุณสมบัติของฟังก์ชันแทนเจนต์:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
พฤติกรรมของฟังก์ชันแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . ดังนั้น เส้นตรง x = π 2 + π · k k ∈ Z จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง
ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π · k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเป็น - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
ฟังก์ชันแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π · k ; 0 , k ∈ Z ;

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์: y = ค ที ก (x)

กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าโคแทนเจนตอยด์ .

คำนิยาม 21

คุณสมบัติของฟังก์ชันโคแทนเจนต์:

โดเมนของคำจำกัดความ: x ∈ (π · k ; π + π · k) โดยที่ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม);

พฤติกรรมของฟังก์ชันโคแทนเจนต์บนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความ lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . ดังนั้น เส้นตรง x = π · k k ∈ Z จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง

ระยะเวลาบวกที่น้อยที่สุด: T = π;
ฟังก์ชันจะหายไปเมื่อ x = π 2 + π · k สำหรับ k ∈ Z (Z คือเซตของจำนวนเต็ม)
ช่วงของค่า: y ∈ - ∞ ; + ;
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชันจะลดลงสำหรับ x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
ฟังก์ชันโคแทนเจนต์จะเว้าสำหรับ x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z และนูนสำหรับ x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
ไม่มีเส้นกำกับเฉียงหรือแนวนอน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ได้แก่ อาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ บ่อยครั้งเนื่องจากการมีอยู่ของคำนำหน้า "ส่วนโค้ง" ในชื่อ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจึงเรียกว่าฟังก์ชันส่วนโค้ง .

ฟังก์ชันอาร์คไซน์: y = a rc sin (x)

คำนิยาม 22

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กไซน์:

ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชันอาร์กไซน์มีความเว้าสำหรับ x ∈ 0; 1 และความนูนของ x ∈ - 1 ; 0 ;
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0) ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชันด้วย
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์: y = a rc cos (x)

คำนิยาม 23

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - 1 ; 1 ;
พิสัย: y ∈ 0 ; พาย;
ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป (ไม่เป็นคู่หรือคี่)
ฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์มีความเว้าที่ x ∈ - 1; 0 และความนูนของ x ∈ 0; 1 ;
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด 0; พาย 2;
ไม่มีเส้นกำกับ

ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์: y = a rc t g (x)

คำนิยาม 24

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
ช่วงของค่า: y ∈ - π 2 ; พาย 2;
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก y (- x) = - y (x) ;
ฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด
ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์มีความเว้าสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] และนูนสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞);
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด (0; 0) ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชันด้วย
เส้นกำกับแนวนอนเป็นเส้นตรง y = - π 2 เป็น x → - ∞ และ y = π 2 เป็น x → + ∞ (ในรูป เส้นกำกับเป็นเส้นสีเขียว)

ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์: y = a rc c t g (x)

คำนิยาม 25

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กโคแทนเจนต์:

โดเมนคำจำกัดความ: x ∈ - ∞ ; + ;
พิสัย: y ∈ (0; π) ;
ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบทั่วไป
ฟังก์ชันลดลงทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ส่วนโค้งมีความเว้าสำหรับ x ∈ [ 0 ; + ∞) และความนูนสำหรับ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
จุดเปลี่ยนเว้ามีพิกัด 0; พาย 2;
เส้นกำกับแนวนอนคือเส้นตรง y = π ที่ x → - ∞ (เส้นสีเขียวในรูปวาด) และ y = 0 ที่ x → + ∞

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ฟังก์ชัน y = ax, y = ax 2, y = a/x เป็นฟังก์ชันกำลังชนิดพิเศษที่ n = 1, n = 2, n = -1 .

ถ้า nจำนวนเศษส่วน พี/ ถามโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ ถามและตัวเศษคี่ รแล้วค่า อาจมีเครื่องหมายสองอัน และกราฟก็มีอีกส่วนหนึ่งที่ด้านล่างของแกน x เอ็กซ์และมีความสมมาตรกับส่วนบน

เราเห็นกราฟของฟังก์ชันสองค่า y = ±2x 1/2 เช่น แสดงด้วยพาราโบลาที่มีแกนนอน

กราฟฟังก์ชัน ย = xnที่ n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 - กราฟเหล่านี้ผ่านจุด (1; 1)

เมื่อไร n = -1 เราได้รับ อติพจน์- ที่ n < - 1 กราฟของฟังก์ชันกำลังจะอยู่เหนือไฮเปอร์โบลาเป็นอันดับแรก นั่นคือ ระหว่าง x = 0และ x = 1แล้วลดลง (ที่ x > 1- ถ้า n> -1 กราฟไปทางอื่น ค่าลบ เอ็กซ์และค่าเศษส่วน nคล้ายกันในแง่บวก n.

กราฟทั้งหมดจะประมาณกับแกน x อย่างไม่มีกำหนด เอ็กซ์,และถึงแกนพิกัด ที่โดยไม่ต้องสัมผัสพวกเขา เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับไฮเปอร์โบลา กราฟเหล่านี้จึงเรียกว่าไฮเปอร์โบลา n ไทยคำสั่ง.

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ฟังก์ชั่นพลังงาน

พลัง เรียกว่าฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรที่ไหน, พี – จำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

ฉัน - ดัชนี- จำนวนธรรมชาติคู่ จากนั้นฟังก์ชั่นพลังงาน ที่ไหนn

ดี ( ย )= (−; +).

2) ช่วงของค่าของฟังก์ชันคือชุดของตัวเลขที่ไม่เป็นลบหาก:

เซตของจำนวนที่ไม่เป็นบวก หาก:

3) ) . ดังนั้นฟังก์ชันเฮ้ย .

4) ถ้า ฟังก์ชันจะลดลงตามเอ็กซ์ (- ; 0] และเพิ่มขึ้นด้วยเอ็กซ์ และลดลงที่เอ็กซ์ \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

กราฟ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=x^(2n)$

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังคี่ตามธรรมชาติ

โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

$f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด

พิสัยเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

$f\left(x\right)0$ สำหรับ $x\in (0,+\infty)$

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

ฟังก์ชันนี้มีลักษณะเว้าสำหรับ $x\in (-\infty ,0)$ และนูนสำหรับ $x\in (0,+\infty)$

กราฟ (รูปที่ 3)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มกันก่อน

คำจำกัดความ 3

กำลังของจำนวนจริง $a$ ที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม $n$ ถูกกำหนดโดยสูตร:

รูปที่ 4.

ตอนนี้ให้เราพิจารณาฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม คุณสมบัติ และกราฟของมัน

คำจำกัดความที่ 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ เรียกว่าฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ถ้าดีกรีมากกว่าศูนย์ เราก็มาถึงกรณีของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราได้พูดคุยกันแล้วข้างต้น สำหรับ $n=0$ เราจะได้ฟังก์ชันเชิงเส้น $y=1$ เราจะปล่อยให้ผู้อ่านพิจารณา ยังคงต้องพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ

คุณสมบัติของฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ

โดเมนของคำจำกัดความคือ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นคู่ แสดงว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ ถ้าเป็นเลขคี่ แสดงว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่

$f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด

ขอบเขต:

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ แล้ว $(0,+\infty)$; ถ้าเป็นเลขคี่ แล้ว $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$

สำหรับเลขชี้กำลังคี่ ฟังก์ชันจะลดลงเป็น $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ฟังก์ชันจะลดลงเป็น $x\in (0,+\infty)$ และเพิ่มขึ้นเป็น $x\in \left(-\infty ,0\right)$

$f(x)\ge 0$ ทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ

คุณคุ้นเคยกับฟังก์ชั่นต่างๆ y=x, y=x 2 , ย=x 3 , y=1/xเป็นต้น ฟังก์ชันทั้งหมดนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลัง เช่น ฟังก์ชัน ย=x พีโดยที่ p คือจำนวนจริงที่กำหนด คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับค่าที่ xและ พีปริญญาก็สมเหตุสมผล x พี- ให้เราพิจารณากรณีต่างๆ ที่คล้ายกันโดยขึ้นอยู่กับเลขยกกำลัง พี

ดัชนี พี=2น- จำนวนธรรมชาติเท่ากัน

ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง ย=x 2น, ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ มีดังต่อไปนี้

คุณสมบัติ:

ขอบเขตคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด เช่น เซต R

ชุดของค่า - ตัวเลขที่ไม่เป็นลบเช่น y มากกว่าหรือเท่ากับ 0

การทำงาน ย=x 2นแม้กระทั่งเพราะว่า x 2น =(-x) 2น

ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x<0 และเพิ่มขึ้นตามระยะ x>0

กราฟของฟังก์ชัน ย=x 2นมีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น ย=x 4 .

2. ตัวบ่งชี้ พี=2n-1- จำนวนธรรมชาติคี่ ในกรณีนี้คือฟังก์ชันยกกำลัง ย=x 2n-1โดยที่ เป็นจำนวนธรรมชาติ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

โดเมนคำจำกัดความ - ตั้งค่า R;

ชุดของค่า - ชุด R;

การทำงาน ย=x 2n-1แปลกเพราะ (- เอ็กซ์) 2n-1 =x 2n-1 ;

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบนแกนจริงทั้งหมด

กราฟของฟังก์ชัน y=x2n-1มีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น ย=x3.

3.ตัวบ่งชี้ พี=-2n, ที่ไหน ไม่มีจำนวนธรรมชาติ

ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง ย=x -2น =1/x 2น มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ชุดของค่า - ตัวเลขบวก y>0;

ฟังก์ชัน ย =1/x 2นแม้กระทั่งเพราะว่า 1/(-x) 2น =1/x 2น ;

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา x<0 и убывающей на промежутке x>0.

กราฟของฟังก์ชัน y =1/x 2นมีรูปแบบเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y เป็นต้น =1/x 2 .

4.ตัวบ่งชี้ พี=-(2n-1), ที่ไหน n- จำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้คือฟังก์ชันกำลัง ย=x -(2n-1)มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

โดเมนของคำจำกัดความ - ตั้งค่า R ยกเว้น x=0;

ชุดค่า - ชุด R ยกเว้น y=0;

การทำงาน ย=x -(2n-1)แปลกเพราะ (- เอ็กซ์) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

ฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา x<0 และ x>0.

กราฟของฟังก์ชัน ย=x -(2n-1)มีรูปแบบเหมือนกับกราฟของฟังก์ชัน เป็นต้น y=1/x 3 .

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คุณสมบัติ และกราฟ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คุณสมบัติ และกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (ฟังก์ชันวงกลม, ฟังก์ชันส่วนโค้ง) - ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันอาร์คซิน

กราฟของฟังก์ชัน .

อาร์คไซน์ตัวเลข มค่ามุมนี้เรียกว่า x, ซึ่ง

ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องและมีขอบเขตตามเส้นจำนวนทั้งหมด การทำงาน กำลังเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด

[แก้ไข]คุณสมบัติของฟังก์ชัน arcsin

[แก้ไข] รับฟังก์ชัน arcsin

กำหนดให้มีฟังก์ชันตลอดทั้งตัว ขอบเขตของคำจำกัดความเธอเกิดขึ้นเป็น โมโนโทนิคเป็นชิ้น ๆและดังนั้น การติดต่อแบบผกผัน ไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้น เราจะพิจารณากลุ่มที่จะเพิ่มและรับมูลค่าทั้งหมดอย่างเคร่งครัด ช่วงของค่า- เนื่องจากสำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลา แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน ดังนั้นในช่วงเวลานี้จึงจะมี ฟังก์ชันผกผัน ซึ่งมีกราฟสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันบนส่วนที่สัมพันธ์กับเส้นตรง